第五单元 四边形 2026年中考数学一轮专题复习（苏州）

第五单元检测 (时间：40分钟 满分：50分) 一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 1 正多边形的内角和等于外角和的3倍，则该正多边形的边数是( ) A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 2 如图是反映四边形之间关系的结构图，其中①、②、③、④表示需要添加的条件，则下列描述不正确的是( ) A. ①可表示对角线互相垂直 B. ②可表示一组邻边相等 C. ③可表示对角线相等 D. ④可表示对角线相等且互相垂直平分 3 如图，在中，平分交于点，连接，点，分别是，的中点，连接。若，，则的长为( ) A. 4 B. C. 5 D. 4 如图，在矩形中，是的中点，是上一点，且 ， ，，则矩形的面积为( ) A. B. C. D. 5 如图，在菱形中，， ，连接，是上一点，连接，以为边在右方作等边，连接。随着点在上运动，的值为( ) A. 1 B. 2 C. D. 无法确定 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 6 四边形具有不稳定性.如图，矩形按箭头方向变形成平行四边形，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则　　　 　 。 7 如图，正五边形和正六边形有一条公共边，若正六边形的一条对角线与正五边形的一边的夹角为，则的度数为　　　　。 8 如图，在菱形中，，于点，交对角线于点，若，则的值为　　　　　　　　。 9 如图，在正方形中，，点，在边上，，分别是，的中点，和交于点，若，则图中阴影部分的面积为　　　　。 10 将矩形与矩形按如图方式放置，点，，共线，点，，共线，连接，取的中点，连接。若，，则的长为　　　　。 三、解答题(本大题共2小题，共20分) 11 (本题满分10分)如图，在中，对角线，交于点，平分，交于点，且 。 (1) 求证：； (2) 若，，求的面积. 12 (本题满分10分)如图，四边形为矩形，点在边上，四边形为菱形. (1) 求证：； (2) 试探究：当矩形长、宽满足什么关系时，菱形为正方形？请说明理由. 参考答案 1. A　【解析】设这个正多边形的边数是n，根据题意，得(n－2)×180°=3×360°，解得n=8，∴该正多边形的边数是8. 2. B 3. A　【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠AMB=∠CBM.∵BM平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBM，∴∠ABM=∠AMB，∴AB=AM，∵点E，F分别是BM，CM的中点，∴EF是△BMC的中位线，∴BC=2EF=6.∵AM=2DM，∴AB=AM=4. 4. C　【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°.∵F是BC的中点，∠BEC=90°，∴EF=BF=FC=4 cm，BC=2EF=2×4=8(cm).∵∠ECD=30°，∴∠BCE=90°－∠ECD=90°－30°=60°，∴△CEF是等边三角形.如解图，过点E作EG⊥CF于点G，则EG=EF=×4=2(cm)，∴矩形ABCD的面积=8×2=16(cm2). 第4题解图 5. A　【解析】如解图，连接BD，BE，∵△DEF是等边三角形，∴∠EDF=60°，DE=DF=EF.∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，BC=CD，∴∠BCD=180°－∠ABC=60°，∴△BCD是等边三角形，∴BD=CD，∠EDF=∠BDC=60°，∴∠BDE＋∠BDF=∠BDF＋∠CDF，∴∠BDE=∠CDF，在△BDE和△CDF中，∴△BDE≌△CDF(SAS)，∴BE=CF，∵菱形的对角线互相垂直且平分，∴AC垂直平分BD，∴DE=BE，∴CF=EF，∴=1. 第5题解图 6. 30　【解析】∵S平行四边形A′B′C′D′=∙S矩形ABCD，∴平行四边形A′B′C′D′的底边A′D′上的高等于A′B′的一半，∴∠A′=30°. 7. 84°　【解析】如解图，易知BE平分∠ABC，则∠ABM==60°，正五边形每个内角的度数为=108°，∴在四边形ABMI中，∠1=360°－60°－108°－108°=84°. 第7题解图 8. 　【解析】如解图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是菱形，DE⊥AB，AD=13，AC=24，∴AC⊥BD，CD=AD=13，OA=OC=12，AB∥CD，∴DE⊥CD，∴∠DFC＋∠BDE=∠BDC＋∠BDE=90°，∴∠DFC=∠BDC，∴sin∠DFC=sin∠BDC==. 第8题解图 9. 　【解析】如解图，连接GH，过点M作MN⊥GH于点N，延长NM交AD于点Q，∵在正方形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，∴四边形GHDA是矩形，∴GH=AD=AB=6，GH∥AD，∴△GMH∽△FME，∴==2，∵MN＋MQ=AB=3，∴MN=2，MQ=1，∴S△GHM=GH∙MN=×6×2=6，∴S△EFM=EF∙MQ=×3×1=，S矩形GHDA=3×6=18，∴S阴影部分=S矩形GHDA－S△GHM－S△EFM=18－6－=. 第9题解图 10. 　【解析】如解图，延长GH交AD于点M，∵四边形ABCD与四边形CEFG都是矩形，∴CD=CE=FG=1，BC=EF=CG=3，BE∥AD∥FG，∴DG=CG－CD=3－1=2，∠HAM=∠HFG.∵H是AF的中点，∴AH=FH.又∵∠AHM=∠FHG，∴△AMH≌△FGH(ASA).∴AM=FG=1，MH=GH，∴MD=AD－AM=3－1=2，在Rt△MDG中，GM==2，∴GH=GM=. 第10题解图 11. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD= 120°. ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠EAD=60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴AB=AE； (2)解：∵=，∴AB=BC. 由(1)得，△ABE是等边三角形， ∴AE=BE=AB=BC， ∴CE=BC，∴AE=CE. ∵∠AEB=60°， ∴∠ACE=∠CAE=30°， ∴∠BAC=90°， ∴AB=AC∙tan 30°=4， ∴S▱ABCD=AB∙AC=4×4=16. 12. (1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC，∠B=∠C=90°. ∵四边形AEDF是菱形， ∴AE=DE. 在Rt△ABE和Rt△DCE中， ∴Rt△ABE≌Rt△DCE(HL)； (2)解：当矩形ABCD长宽满足：BC=2AB时，菱形AEDF为正方形. 理由：∵Rt△ABE≌Rt△DCE， ∴BE=CE， ∴BC=2BE=2CE， ∵BC=2AB=2DC， ∴AB=BE，CE=DC. ∵∠B=∠C=90°， ∴∠AEB=∠DEC=45°， ∴∠AED=180°－∠AEB－∠DEC= 90°， ∴菱形AEDF为正方形. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 四边形 基础课23 平行四边形与多边形 基础巩固 1 (2025昆山八校联考零模)一个多边形的每个内角均为 ，则这个多边形是( ) A. 七边形 B. 六边形 C. 五边形 D. 四边形 2 (八下练习改编)如图，在平行四边形中， ，则的度数为( ) A. B. C. D. 3 (2025湖北省卷)如图，平行四边形的对角线交点在原点.若，则点的坐标是( ) A. B. C. D. 4 如图，在中，于点，于点，若，的周长为40，则的长为( ) A. 8 B. 9 C. 12 D. 13 5 (八下习题改编)如图，的对角线，相交于点，点为的中点，连接，交于点，连接，若的面积为36，则的面积为( ) A. 6 B. 2.4 C. 4.5 D. 3 6 如图，在平行四边形中，，为的中点， 。若，则的长为( ) A. B. 3 C. D. 4 7 新考法 条件开放 如图，在中，，分别为，边上的点，连接，，要使，需添加一个条件：　　　　　　　　　　　　　　　　。 8 (2025苏州二模)如图，，是正八边形的两条对角线，则　 　　　。 9 (2025新疆)如图，在中，的平分线交于点，若，则　　　　。 10 如图，在四边形中，，于点，于点，垂足分别为，，。 (1) 求证：四边形是平行四边形； (2) 若，，，求四边形的周长. 11 (八下复习题改编)如图，在中，延长至点，使，连接，交于点。 (1) 求证：； (2) 过点作，垂足为，若，，求的长. 综合训练 12 (2025安徽)在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动(不与端点重合)，且满足，则下列为定值的是( ) A. 四边形的周长 B. 的大小 C. 四边形的面积 D. 线段的长 13 (2025苏州16题考法) 如图，在中，与对角线垂直且相等，点为边上一点，连接，过点作于点，点在边上，连接，若，，则的最小值为　　　　　　　　。 参考答案 1. C　【解析】每个外角的度数是180°－108°=72°，则这个多边形的边数是360°÷72°=5. 2. B　【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C.∵∠A＋∠C=120°，∴∠C=60°. 3. C　【解析】∵平行四边形ABCD的对角线交点在原点，∴OA=OC，∴点A与点C关于坐标原点O中心对称.∵点A的坐标是(－1，2)，∴点C的坐标是(1，－2). 4. A　【解析】在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，AB=CD，BC=AD，S▱ABCD=BC∙AE=CD∙AF，∵AE∶AF=2∶3，▱ABCD的周长为40，∴CD∶BC=2∶3，CD＋BC=20，∴CD=8，BC=12，∴AB=CD=8. 5. D　【解析】∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点E，∴S△AED=S▱ABCD=×36=9，BE=DE.∵点O为AD的中点，∴S△AEO=S△AED=×9=.∵BE=DE，AO=OD，∴OE∥AB，OE=AB，∴△AGB∽△EGO，∴==2，∴S△AOG=S△AEO=×=3. 6. C　【解析】∵平行四边形ABCD中，E为AB的中点，∴AB=2AE.∵AB=2AD，∴AD=AE.又∵∠DAB=60°，∴△ADE是等边三角形，∴∠DEA=∠ADE=60°，DE=AE=BE，∴∠EDB=∠EBD.∵∠DEA=∠EDB＋∠EBD=60°，∴∠EDB=∠EBD=30°，∴∠ADB=∠ADE＋∠EDB=90°.∵AD=BC=2，∴AB=4，∴BD===2. 7. AF=CE(答案不唯一)　【解析】若添加AF=CE，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC.∵AF=CE，∴DF=BE.∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BF=DE. 8. 　【解析】如解图，设正八边形ABCDEFGH的中心为O，连接OF，OD，∵八边形ABCDEFGH为正八边形，∴中心角∠DOF=360°×=90°，设OD=OF=a，∴AE=2a，DF=a，∴AE∶DF=2a∶a=. 第8题解图 9. 2　【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，且AD=2，∴BC=AD=2，AB∥CD，∴∠DCE=∠BEC.∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=∠DCE，∴∠BCE=∠BEC，∴BE=BC=2. 10. (1)证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AED=∠CFB=90°. ∵AD=BC，AE=CF， ∴Rt△DAE≌Rt△BCF(HL)， ∴∠ADE=∠CBF， ∴AD∥BC. ∵AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形； (2)解：∵EF=2，DF=10， ∴DE=EF＋DF=2＋10=12. ∵∠AED=90°，AE=5， ∴AD===13. ∵CF⊥BD，CF=AE=5， ∴∠CFD=90°，CD===5. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=13，AB=CD=5， ∴四边形ABCD的周长为2(BC＋AB)=2×(13＋5)=26＋10. 11. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=DC， ∴∠E=∠DCF. ∵AE=AB，∴AE=DC. 在△AEF和△DCF中， ∴△AEF≌△DCF(AAS)； (2)解：如解图，过点A作AH∥CE交BC于点H，连接GH，则∠BAH=∠E. ∵AD∥BC，∴四边形AHCF为平行四边形，∴AF=CH. 由(1)得△AEF≌△DCF， ∴AF=DF. ∵AD=BC，∴BH=CH. ∵CG⊥AB， ∴GH=BH=BC， ∴∠B=∠BGH. ∵∠BGH=∠BAH＋∠AHG， ∠B=2∠E， ∴∠BAH=∠AHG，∴AG=GH. ∵AG=BG=4， ∴BG=3，BC=2GH=2AG=8， ∴在Rt△BCG中，由勾股定理， 得CG===. 第11题解图 12. C　【解析】如解图，连接EG，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A=∠C，AD=BC，AD∥BC.∵E，G分别为边AD，BC的中点，∴AE=CG.又∵AF=CH，∴△AEF≌△CGH，∴EF=GH，同理可证EH=GF，∴四边形EFGH为平行四边形.∵AE∥BG，且AE=BG，∴四边形ABGE为平行四边形，∴S△EFG=S四边形EFGH=S四边形ABGE=S四边形ABCD，∴S四边形EFGH=S四边形ABCD，∴四边形EFGH的面积为定值，其余选项皆随点F，H的变化而变化，故选C. 第12题解图 13. 2－4　【解析】如解图，取DC的中点G，连接BG，EG，FG，∵DE⊥PC，∴EG=CD.∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD=AB=8，AD=BC，AD∥BC.∵AD⊥BD，AD=BD，∴BD⊥BC，BC=BD，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BG=CD=EG=4，BG⊥CD.∵BF=2，∴在Rt△BFG中，由勾股定理可得FG==2.∵EF≥FG－EG=2－4，∴当G，E，F三点共线时，EF取得最小值，最小值为2－4. 第13题解图 学科网（北京）股份有限公司 $ 基础课24 矩形、菱形和正方形 基础巩固 1 (八下练习改编)如图，四边形是正方形，点在正方形的对角线上.若，则的度数为( ) A. B. C. D. 2 如图，在菱形中，连接，。若 ，则的度数为( ) A. B. C. D. 3 (武老师 快答 答疑高频试题 次)如图，在菱形中，为的中点，为的中点，，，则的长为( ) A. B. C. D. 4 (2025辽宁)如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为( ) A. 1 B. 5 C. D. 5 如图，矩形的边，分别落在平面直角坐标系轴和轴上，且，，则点的坐标为( ) A. B. C. D. 6 如图，在正方形中，两条对角线，相交于点，点是上一点，连接，若，，则的长为( ) A. B. C. D. 7 (八下习题改编)若菱形的周长为，两对角线之和为，则菱形面积为( ) A. B. C. D. 8 如图，顺次连接矩形四条边的中点得到四边形，若，，则四边形的面积为( ) A. 24 B. 26 C. 28 D. 30 9 (2025平江中学二模)如图，在矩形中，对角线的垂直平分线交直线于点，交直线于点，交直线于点，交直线于点，连接。若，，则的长为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 10 (2025姑苏区一模)如图，在菱形中，为边上一点，且，与交于点。下列结论：；平分；；，其中正确的是( ) A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③ 11 (八下复习题改编)如图，在矩形中，对角线，相交于点，点在上，垂直平分，若，则矩形的周长为　　　　　　　　。 12 (2025扬州)如图，在中，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点，，连接，。 (1) 求证：四边形是菱形； (2) 若，，平分，求的长. 综合训练 13 综合与实践 数学活动课上，老师让同学们探讨矩形、正方形的剪拼和平移问题.如图①，四边形和都是正方形纸片，点，，在同一条直线上，若沿着，分别将纸片剪开，然后将平移至，平移至。 初步探究 (1) 求证：①四边形是正方形；②当与交于点时，； 深入探究 (2) 如图②，将四边形和由正方形都改为矩形，且，当四边形为矩形时，试探究和之间的数量关系，并说明理由. 参考答案 1. B　【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD=45°.∵CE=CD，∴∠CED=∠CDE=×(180°－45°)=67.5°，∴∠AED=180°－67.5°=112.5°. 2. C　【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴∠DCA=∠1=20°，∴∠2=90°－∠DCA=70°. 3. C　【解析】由题意可得，MO是△BCD的中位线，BM=BC，∴DC=2OM=4.∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=4，∴BM=BC=2，由勾股定理可得AM===2. 4. D　【解析】∵四边形ABCD为矩形，AB=3，AE=4，BE=BC，∴∠BAD=∠CDA=90°，CD=AB=3，∴BE==5，∴BC=AD=BE=5，∴DE=AD－AE=1，∴在Rt△CDE中，CE==. 5. B　【解析】∵矩形AOBC的边AO，BO分别落在平面直角坐标系y轴和x轴上，∴∠AOB=∠OAC=∠OBC=90°，∴BC⊥x轴，AC⊥y轴.∵AO=3，AB=5，∴AC=OB===4，BC=AO=3，∴C(4，3). 6. A　【解析】如解图，过点O作OF⊥BC于点F，∵四边形ABCD是正方形，AB=4，∴BC=AB=4，∠OBC=∠OCB=45°，∴△OBC是等腰直角三角形，∴OF=BF=CF=BC=2.∵BE=1，∴EF=BF－BE=2－1=1，在Rt△OEF中，由勾股定理得OE===. 第6题解图 7. C　【解析】如解图，∵菱形的周长为40 cm，∴菱形的边长为10 cm，AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，∵对角线的和为28 cm，∴AO＋BO=14 cm，∴(AO＋BO)2=196 cm2.∴AO2＋BO2＋2AO∙BO=196 cm2.∵AO2＋BO2=100 cm2，∴2AO∙BO=96 cm2=AC×BD，∴S菱形ABCD=AC∙BD=96 cm2. 第7题解图 8. D　【解析】∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=10，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=6，AD=BC=10.∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，∴AH=DH=BF=CF=5，AE=BE=DG=CG=3，∴S四边形EFGH=S矩形ABCD－4S△AEH=6×10－4××5×3=30. 9. C　【解析】在Rt△ABE中，AB=4，BE=3，由勾股定理得AE===5.∵直线FH是线段AC的中垂线，∴AE=CE，∴∠EAC=∠ECA.又∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠HAC=∠ECA，∴∠EAC=∠HAC.又∵AC⊥EH，∴∠AEH=∠AHE，∴AE=AH=5.∵AD∥BC，∴△FBE∽△FAH，∴=，∴=，解得BF=6. 10. A　【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB=CD.∵DE=CD，∴DE=AB，∴四边形ABED是等腰梯形，∴AE=BD，故①正确；∵AD∥BC，∴∠AEB=∠DAE.∵DA=DC=DE，∴∠DAE=∠DEA，∴∠DEA=∠AEB，∴EA平分∠BED，故②正确；∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADB=∠BDC，∠ADC=∠ABE.∵四边形ABED是等腰梯形，∴∠ABE=∠BED=∠ADC.∵∠AED=∠AEB，∴∠ADF=∠AED.∵∠DAF=∠DAE，∴△ADF∽△AED，∴=，∴AD2=AF∙AE，故③正确；∵∠BEF=∠BDC，∠EBF=∠DBC，∴△BEF∽△BDC，∴=，∴BE∙BC=BF∙BD，故④正确.故选A. 11. 4＋4　【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB.∵AE垂直平分BO，∴OE=BE=OB=OA，∴∠OAE=30°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴∠BAO=60°，AB=OA=OB.∵AE=，∴AB=2，BC=AB∙tan 60°=2，∴矩形ABCD的周长为2(AB＋BC)=4＋4. 12. (1)证明：∵直线EF是AC的垂直平分线， ∴EA=EC，FA=FC，OA=OC，∠AOE=∠COF=90°. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠OAE=∠OCF， 在△OAE和△OCF中， ∴△OAE≌△OCF， ∴EA=FC， ∴EA=EC=FA=FC， ∴四边形AFCE是菱形； (2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=3，BC=5， ∴CD=AB=3，∠D=∠B. ∵四边形AFCE是菱形， ∴∠ACB=∠ACE， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE=∠DCE， ∴∠DCE=∠BCA， 又∵∠D=∠B， ∴△CDE∽△CBA， ∴=， ∴=， ∴DE=. 13. (1)证明：①由平移的性质可知AH=IF，AI=HF，BH=GF， ∴四边形AHFI是平行四边形. ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形， ∴CE=EF=GF，AB=BC. ∵BH=GF， ∴BH=CE， ∴AB=BC=HE. ∵∠B=∠E=90°， ∴△ABH≌△HEF(SAS)， ∴AH=HF，∠AHB=∠HFE， ∴四边形AHFI是菱形. ∵∠FHE＋∠HFE=90°， ∴∠AHB＋∠FHE=90°， ∴∠AHF=90°， ∴四边形AHFI为正方形； ②∵四边形AHFI是正方形， ∴∠OFI=90°， ∴∠IFG＋∠GFO=90°. ∵FG⊥IO， ∴∠GIF＋∠IFG=90°， ∴∠GFO=∠GIF. ∵∠IGF=∠FGO=90°， ∴△IGF∽△FGO， ∴=， ∴FG2=OG∙IG； (2)解：EF=CE. 理由：∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形， ∴∠B=∠E=90°，GF=CE， 当四边形AHFI为矩形时，∠AHF=90°， ∴∠AHB＋∠EHF=90°. ∵∠HFE＋∠EHF=90°， ∴∠AHB=∠HFE， ∴△ABH∽△HEF， ∴=. 同(1)可得BH=GF=CE， ∴BC=HE， ∴=. ∵BC=AB， ∴=， ∴EF=CE. 学科网（北京）股份有限公司 $