等差数列前n项和的最值问题（基础巩固篇）训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版选择性必修二 第四章 数列 课时5 等差数列前n项和的最值问题 （基础巩固篇）（解析版） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（2023·山东济宁高三期中考试题）：已知等差数列的通项公式为，则其前项和的最大值为（） A. 25 B. 26 C. 27 D. 28 答案：A 解析：令，即，解得。故时，，时，，最大。，，。 2.（2024·河北邯郸高三月考）：等差数列的前项和为，则的最小值为（） A. -15 B. -16 C. -17 D. -18 答案：B 解析：，由二次函数性质，当时，取得最小值。 3.（2023·河南濮阳高三一模）：已知等差数列中，，，则前项和的最大值为（） A. 100 B. 105 C. 110 D. 115 答案：C 解析：，令，得。时，，故最大，。 4.（2024·湖北宜昌高三调考题）：等差数列的前项和为，若，则使最小的为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 答案：B 解析：由可知，数列前4项为负，从第5项开始为正，故最小。 5.（2023·广东江门高三质检题）：已知等差数列的前项和，若，则当取得最小值时的值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 答案：A 解析：代入得，解得，，当时，最小。 6.（2024·湖南衡阳高三联考）：等差数列中，，，则当取得最小值时，的值为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 答案：B 解析：，令，得，故时，最小。 7.（2023·江西赣州高三月考）：设等差数列的前项和为，若，则下列结论错误的是（） A. B. C. D. 答案：B 解析：由得，，故；，符号不确定；。 8.（2024·安徽芜湖高三一模）：已知等差数列的前项和为，且，，则使成立的最大自然数为（） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 答案：A 解析：，，。，，，使的最大为10。 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.（2023·江苏常州高三期中考试题）：已知等差数列的公差，前项和为，则下列说法正确的是（） A. 数列单调递减 B. 有最大值 C. 若满足几，则最大 D. 若满足，则最大 答案：ABCD 解析：，数列单调递减，有最大值；，前5项为正，最大；，且为最大值。 10.（2024·福建三明高三调考题）：等差数列的前项和为，则下列结论正确的是（） A. 公差 B. 当时，取得最小值 C. 最小值为 D. 数列是等差数列 答案：ACD 解析：，，；，时，时，最小值为，B错误；，是等差数列。 11.（2023·浙江嘉兴高三质检题）：已知等差数列中，，，前项和为，则（） A. 的最大值在或时取得 B. 最大为 C. 当时，递减 D. 当时， 答案：ABCD 解析：，；，为最大值；时，，递减。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（2024·四川南充高三月考）：等差数列中，，，则的最大值为______。 答案： 解析：，令得，。 13.（2023·陕西咸阳高三一模）：已知等差数列的前项和，则的最大值为______。 答案： 解析：，当时，最大值为。 14.（2024·辽宁营口高三联考）：等差数列中，，，则当取得最小值时，______。 答案： 解析：，令得，，故或时最小，填即可。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）（2023·山西阳泉高三期中考试题）：已知等差数列中，，，求的最大值及对应的值。 解答： 由得， 解得。 ，令，得。 故时，最大，。 16.（15分）（2024·广西玉林高三调考题）：已知等差数列的前项和为，且，。 （1）求数列的通项公式； （2）当为何值时，取得最小值，最小值是多少？ 解答： （1）设公差为，，解得。 通项公式。 （2）对恒成立，数列单调递增，故时，最小，。 17.（15分）（2023·云南玉溪高三一模）：已知等差数列的前项和为，且。 （1）求的通项公式； （2）求的最值及对应的值。 解答： （1）当时，； 当时，。 时，，故。 （2）， 因为，所以或时，取得最小值，，无最大值。 18.（17分）（2024·贵州六盘水高三联考）：已知等差数列中，，，，数列的前项和为。 （1）求和； （2）求的最小值及对应的值。 解答： （1）， 。 （2）， 由二次函数性质，时，取得最小值。 19.（17分）（2023·甘肃平凉高三调考题）：已知等差数列的公差，前项和为，且现有，、、成等比数列。 （1）求数列的通项公式； （2）求的最值及对应的值。 解答： （1）由题意得，即， 展开得，整理得， 因为，所以，代入得。 通项公式。 （2）对恒成立，数列单调递增， 故时，取得最小值，无最大值。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版选择性必修二 第四章 数列 课时5 等差数列前n项和的最值问题 （基础巩固篇）（原卷版） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（2023·山东济宁高三期中考试题）：已知等差数列的通项公式为，则其前项和的最大值为（） A. 25 B. 26 C. 27 D. 28 2.（2024·河北邯郸高三月考）：等差数列的前项和为，则的最小值为（） A. -15 B. -16 C. -17 D. -18 3.（2023·河南濮阳高三一模）：已知等差数列中，，，则前项和的最大值为（） A. 100 B. 105 C. 110 D. 115 4.（2024·湖北宜昌高三调考题）：等差数列的前项和为，若，则使最小的为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5.（2023·广东江门高三质检题）：已知等差数列的前项和，若，则当取得最小值时的值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.（2024·湖南衡阳高三联考）：等差数列中，，，则当取得最小值时，的值为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7.（2023·江西赣州高三月考）：设等差数列的前项和为，若，则下列结论错误的是（） A. B. C. D. 8.（2024·安徽芜湖高三一模）：已知等差数列的前项和为，且，，则使成立的最大自然数为（） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.（2023·江苏常州高三期中考试题）：已知等差数列的公差，前项和为，则下列说法正确的是（） A. 数列单调递减 B. 有最大值 C. 若满足，则最大 D. 若满足，则最大 10.（2024·福建三明高三调考题）：等差数列的前项和为，则下列结论正确的是（） A. 公差 B. 当时，取得最小值 C. 最小值为 D. 数列是等差数列 11.（2023·浙江嘉兴高三质检题）：已知等差数列中，，，前项和为，则（） A. 的最大值在或时取得 B. 最大为 C. 当时，递减 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（2024·四川南充高三月考）：等差数列中，，，则的最大值为______。 13.（2023·陕西咸阳高三一模）：已知等差数列的前项和，则的最大值为______。 14.（2024·辽宁营口高三联考）：等差数列中，，，则当取得最小值时，______。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）（2023·山西阳泉高三期中考试题）：已知等差数列中，，，求的最大值及对应的值。 16.（15分）（2024·广西玉林高三调考题）：已知等差数列的前项和为，且，。 （1）求数列的通项公式； （2）当为何值时，取得最小值，最小值是多少？ 17.（15分）（2023·云南玉溪高三一模）：已知等差数列的前项和为，且。 （1）求的通项公式； （2）求的最值及对应的值。 18.（17分）（2024·贵州六盘水高三联考）：已知等差数列中，，，，数列的前项和为。 （1）求和； （2）求的最小值及对应的值。 19.（17分）（2023·甘肃平凉高三调考题）：已知等差数列的公差，前项和为，且，、、成等比数列。 （1）求数列的通项公式； （2）求的最值及对应的值。 原卷版答案 一、单选题 1. A 2. B 3. C 4. B 5. A 6. B 7. B 8. A 二、多选题 9. ABCD 10. ACD 11. ABCD 三、填空题 12. 13. 14. 四、解答题 15.解答： 由得， 解得。 ，令，得。 故时，最大，。 16. 解答： （1）设公差为，，解得。 通项公式。 （2）对恒成立，数列单调递增，故时，最小，。 17. 解答： （1）当时，； 当时，。 时，，故。 （2）， 因为，所以或时，取得最小值，，无最大值。 18. 解答： （1）， 。 （2）， 由二次函数性质，时，取得最小值。 19.解答： （1）由题意得，即， 展开得，整理得， 因为，所以，代入得。 通项公式。 （2）对恒成立，数列单调递增， 故时，取得最小值，无最大值。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $