专项训练 利用函数单调性求等差数列前n项和的最值问题-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

专项训练 利用函数单调性求等差数列前n项和的最值问题（解析版） 必备知识： (1)前n项和：当公差d≠0时，Sn＝na1＋d＝n2＋是关于n的二次函数且常数项为0. (2)单调性：当d>0时，数列{an}为递增数列；当d<0时，数列{an}为递减数列；当d＝0时，数列{an}为常数列． 解题通法：求等差数列前n项和Sn及最值的2种方法 (1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． (2)邻项变号法 ①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm； ②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.　 专题训练： 一、单选题 1．记为等差数列的前项和，已知，则取最小值时，的取值为（   ） A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】B 【知识点】求等差数列前n项和的最值 【分析】根据等差数列的通项公式确定数列的项的正负情况，即可求得答案. 【详解】由题意知为等差数列， 由，知数列为递增数列， 且当时，，当时，， 所以当的取值为22时，取最小值. 故选：B. 2．已知各项均不为零的等差数列的前n项和为，满足，，则的公差d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、根据等差数列前n项和的最值求参数 【分析】根据题意分析得，，应用等差数列的通项公式列不等式求范围. 【详解】由题知，当且仅当时，取得最大值， 又，故只需，即可， 若数列公差为，即，，解得， 则的取值范围为. 故选：A 3．等差数列满足，若为前项和，则最大时，的值为（    ） A．9或10 B．8 C．9 D．10或11 【答案】A 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、求等差数列前n项和的最值 【分析】根据已知条件求出，把表示为关于n的二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】， ∴， 关于n的二次函数，其对称轴为， ∵，∴当或时，最大． 故选：A． 4．若为等差数列，为的前项和，，，则当（  ）时  取最大值. A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据等差数列前n项和的最值求参数 【分析】推导出数列为递减数列，且当时，，当时，，由此可得出结论. 【详解】因为若为等差数列，为的前项和，则， 因为，则，故， 设等差数列的公差为，则，即数列为递减数列， 故当时，，当时，， 所以，当时，取最大值. 故选：B. 5．数列的前项和为，则（    ） A．存在最大值，且最大值为 B．存在最大值，且最大值为30 C．存在最小值，且最小值为 D．存在最小值，且最小值为30 【答案】B 【知识点】求等差数列前n项和、求等差数列前n项和的最值、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据与的关系，可得，可知为等差数列，根据其单调性可解. 【详解】根据题意，， 当时，， 两式相减得：， 即，所以数列为以首项，为公差的单调递减等差数列， 则，所以， 可知存在最大值，为. 故选：B 6．已知是等差数列的前项和，且，，则（    ） A．数列为递增数列 B． C．的最大值为 D． 【答案】C 【知识点】等差数列的单调性、求等差数列前n项和、求等差数列前n项和的最值 【分析】根据等差数列的性质及前项和公式逐项判断即可. 【详解】由题意，，，则，故B错误； 数列的公差，所以数列为递减数列，故A错误； 由于时，，时，， 所以的最大值为，故C正确； ，故D错误. 故选：C. 7．若等差数列的前n项和为，，．则取得最小值时n的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和的最值 【分析】利用等差数列下标和的性质及前项和公式可得的通项公式，由可得等差数列的前4项为负数，从第五项开始为正数，即可得结果. 【详解】因为为等差数列， ，所以，， ，所以， 所以， 所以，解得， 所以等差数列的前4项为负数，从第五项开始为正数， 所以取得最小值时为4. 故选：. 8．已知等差数列的前项和为，若、则“有最大值”是“公差”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】充要条件的证明、求等差数列前n项和的最值 【分析】根据等差数列项的符号特点和前项和最值的关系进行分析. 【详解】充分性：等差数列的前项和为， 前项和可看做关于的函数，若有最大值，则不满足充分性； 必要性：等差数列的前项和为，若、公差，则等差数列每一项都是负数，显然取到最大值，必要性成立. 故选：B. 二、多选题 9．已知是等差数列的前项和，，，则（   ） A． B． C．当时，取最大值 D．的最小值是0 【答案】BC 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和的最值 【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式求解即可. 【详解】因为， 所以， 设数列的公差为， 所以， 对于A：，故A选项错误； 对于B：，故B选项正确； 对于C：， 所以当或时，取得最大值，，故C正确； 对于D：由C选项可知，当时，单调递减，所以没有最小值，所以D错误； 故选：BC 10．在等差数列中，，，记数列的前n项和为，下列选项正确的是（   ） A． B．数列是递增数列 C．当取得最小值时， D．数列的前10项和为50 【答案】ABD 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、含绝对值的等差数列前n项和、二次函数法求等差数列前n项和的最值 【分析】首先根据等差数列的通项公式求首项和公差，即可求通项和，再结合选项依次判断. 【详解】由条件可知，，解得：，，故A正确； 所以， 所以，，所以数列是递增数列，故B正确； 的对称轴为，所以当取得最小值时，，故C错误； 当时，，当时，，所以数列的前10项和为 ，故D正确. 故选：ABD 11．已知是等差数列的前n项和，，，则（   ） A． B． C．当或时，取最大值 D．的最小值为0 【答案】BC 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和的最值 【分析】先求等差数列的公差，进而得，逐一验证即可求解. 【详解】∵，所以，故A错误； ∵， ∴， ∴，， 所以，故B正确； 由，所以当或时，取最大值，即，故C正确； 由，无最小值，故D错误； 故选：BC. 三、填空题 12．在等差数列中，，，则该数列的前 项的和最小． 【答案】10或11． 【知识点】求等差数列前n项和、求等差数列前n项和的最值 【分析】根据，得，得是首项为负数的递增数列，求出，令，求出，即可得到答案. 【详解】因为，所以，其中为公差， 所以，所以． 所以是首项为负数的递增数列， 则有． 令，则， 所以，所以当或11时，有最小值． 故答案为：10或11. 13．已知等差数列的前n项和为，若，，则的最大值为 ． 【答案】49 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、求等差数列前n项和的最值 【分析】设公差为，利用等差数列项的基本量运算求得公差，求得其前n项和，利用二次函数的性质即得. 【详解】设公差为，因，，则， 即，解得， ， 当时，取得最大值，最大值为49． 故答案为：49. 14．已知数列是以3为公差的等差数列，是其前项的和，若是数列中的唯一最小项，则数列的首项的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】确定数列中的最大（小）项、求等差数列前n项和 【分析】利用等差数列的前项和公式，再结合递推思想，即可求出范围. 【详解】由等差数列的前项和公式可得：， 由是中的唯一最小项，则， 即，解得， 故答案为：. 四、解答题 15．已知是等差数列的前n项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)n为何值时，取得最大值并求其最大值. 【答案】(1) (2)，取得最大值56 【知识点】求等差数列前n项和的最值、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据与关系求解； （2）法一，利用二次函数求最值；法二，由项的符号求最值. 【详解】（1）由题意可知：， 当时，， 当时，， 当时，，符合， ∴数列的通项公式； （2）法一：， 由二次函数图象及知或时，取得最大值56. 法二：当时，， 当时，， 当时，， 所以当或时，有最大值. 16．记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)写出的表达式，并求的最大值及取得最大值时的值． 【答案】(1) (2)，的最大值为30，此时为5或 6 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和的最值 【分析】（1）利用等差数列的通项公式把条件转化成关于首项与公差的方程，解方程即可； （2）利用等差数列的前项公式得到的表达式，利用二次函数的单调性求出的最值即可. 【详解】（1）设首项为 ，公差为 ， 依题意得： ， 解方程得：， 所以通项公式为：. （2）由等差数列求和公式： ， ， 即：， 这是一个开口向下的二次函数（系数 )，在对称轴处取得最大值， 对称轴方程为：， 由于 为正整数，需检查 和 ： ， . 因此， 的最大值为 30，此时的值为5或6. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项训练 利用函数单调性求等差数列前n项和的最值问题（学生版） 必备知识： (1)前n项和：当公差d≠0时，Sn＝na1＋d＝n2＋是关于n的二次函数且常数项为0. (2)单调性：当d>0时，数列{an}为递增数列；当d<0时，数列{an}为递减数列；当d＝0时，数列{an}为常数列． 解题通法：求等差数列前n项和Sn及最值的2种方法 (1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． (2)邻项变号法 ①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm； ②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.　 专题训练： 一、单选题 1．记为等差数列的前项和，已知，则取最小值时，的取值为（   ） A．21 B．22 C．23 D．24 2．已知各项均不为零的等差数列的前n项和为，满足，，则的公差d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．等差数列满足，若为前项和，则最大时，的值为（    ） A．9或10 B．8 C．9 D．10或11 4．若为等差数列，为的前项和，，，则当（  ）时  取最大值. A． B． C． D． 5．数列的前项和为，则（    ） A．存在最大值，且最大值为 B．存在最大值，且最大值为30 C．存在最小值，且最小值为 D．存在最小值，且最小值为30 6．已知是等差数列的前项和，且，，则（    ） A．数列为递增数列 B． C．的最大值为 D． 7．若等差数列的前n项和为，，．则取得最小值时n的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．已知等差数列的前项和为，若、则“有最大值”是“公差”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 9．已知是等差数列的前项和，，，则（   ） A． B． C．当时，取最大值 D．的最小值是0 10．在等差数列中，，，记数列的前n项和为，下列选项正确的是（   ） A． B．数列是递增数列 C．当取得最小值时， D．数列的前10项和为50 11．已知是等差数列的前n项和，，，则（   ） A． B． C．当或时，取最大值 D．的最小值为0 三、填空题 12．在等差数列中，，，则该数列的前 项的和最小． 13．已知等差数列的前n项和为，若，，则的最大值为 ． 14．已知数列是以3为公差的等差数列，是其前项的和，若是数列中的唯一最小项，则数列的首项的取值范围是 ． 四、解答题 15．已知是等差数列的前n项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)n为何值时，取得最大值并求其最大值. 16．记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)写出的表达式，并求的最大值及取得最大值时的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $