精品解析：福建省连城县第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

连城一中2025—2026学年上期月考2 高一数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. [3，5] D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式，得到，再根据集合交集的运算求解． 【详解】， ，解得， 则，所以． 故选：A． 2. 已知函数的图象是一条连续不断的曲线，则函数在下列哪个区间内必有零点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用零点存在定理可直接判断. 【详解】，,，由零点存在定理可知，在内必有零点. 故选：C 3. 已知函数（，且）的图象恒过点，若角的终边经过点，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，求得定点，然后再由角的终边经过点，利用三角函数的定义求解. 【详解】令，则， 所以函数（，且）的图象恒过点， 又角的终边经过点， 所以， 故选：B 4. 在同一坐标系内，函数（）和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的图象和一次函数的图象求出的取值范围，即可进行判断. 【详解】对于A，结合函数的图象得，结合的图象得，即，可能成立，故A正确； 对于B，结合函数的图象得，结合的图象得，即，两者矛盾，故B错误； 对于C，结合函数的图象得，结合的图象得，即，两者矛盾，故C错误； 对于D，结合函数的图象得，结合的图象得，无解，故D错误； 故选：A. 5. “或”是“存在实数x使得不等式成立”的（ ）． A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分非必条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式有解得到，解得答案. 【详解】存在实数x使得不等式成立，则， 解得或. 故“或”是“存在实数x使得不等式成立”的充要条件. 故选：C. 6. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用平方关系得到，再利用诱导公式，即可求解. 【详解】因为，则，又， 则，所以， 则， 故选：B. 7. 若函数（，为常数）在区间上有最大值，则在区间上（ ） A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值 【答案】C 【解析】 【分析】构造新函数为奇函数，利用奇函数求解． 【详解】设， 则， 所以是奇函数， 在上有最大值，则在上有最大值， 所以在上有最小值，于是在区间上有最小值， 故选：C． 8. 已知正实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知等式分离两变量得，构造函数，利用函数单调性比较大小可得. 【详解】由已知得， 即， 构造函数， 则，且， 所以， 又在单调递增，所以. 故选：B. 二、多项选择题 （本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法错误的是（ ） A. 与的终边相同 B. 若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形面积为 C. 终边在直线上的角的取值集合可表示为； D. 设是第一象限角，则为第一或第三象限角 【答案】BC 【解析】 【分析】由终边相同的角的关系可判断A；利用扇形面积公式可判断B；利用角的范围及其所在象限可判断C，D. 【详解】对于A：因为，故与的终边相同，故A正确； 对于B：圆心角，，故B错误； 对于C：终边在直线上的角的取值集合可表示为，故C错误； 对于D：若是第一象限角，即， 则，故为第一或第三象限角，故D正确. 故选：BC. 10. 已知，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用三个二次关系先计算参数可判定A，利用基本不等式可判定B、C、D. 【详解】由不等式的解集为， 可知是方程的两个根， 对于A项，由上可知，故A正确； 对于B项，因为，由基本不等式可知， 所以，当且仅当时取得等号，故B正确； 对于C项，由，则， 当且仅当，即时取得等号，故C正确； 对于D项，由，则， 所以 ， 当且仅当时取得等号，故D错误. 故选：ABC 11. 已知函数，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 【答案】CD 【解析】 【分析】作出函数图像判断A，举反例判断B，转化为一元函数，利用二次函数的性质判断C，指数函数的性质判断D即可. 【详解】结合函数的图象可知，， 由，得不出，故A错误， 令，此时，但是，故B错误. 因为，所以，所以，则， 又，所以， 由二次函数性质得在上单调递增，故，所以C正确. 因为，所以，故， 令，由指数函数性质得在上单调递增， 所以的取值范围为，故D正确. 故选：CD 【点睛】关键点点睛：本题考查求多变元表达式的范围，解题关键是合理利用函数图像找到变量关系，构造一元函数，然后利用指数函数的性质得到所要求的取值范围即可． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若命题“，使得”是真命题，则实数m的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】原命题转化为“方程有实数解”，再由可求实数的取值范围. 【详解】若命题“，使得”是真命题，也就是“方程有实数解”， ∴. 故答案为： 13. 已知函数，则的定义域是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的真数大于零和二次根式有意义的条件列出不等式组，结合指数函数单调性求解即可. 【详解】要使函数有意义，应满足，解得，即. 故答案为：. 14. 若函数满足：对于任意正数，，都有，，且，则称函数为“函数”. 已知函数（其中为自然对数的底数，）为“函数”，则实数的取值范围为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件将问题转化成在上恒成立和在恒成立，再利用指数函数的性质，即可求解. 【详解】因为是“函数”，则对于任意正数，，都有，， 所以在上恒成立， 又，即对一切恒成立， 因为，所以对一切恒成立，所以， 又由，得， 即，即， 得到，又，所以， 因为，则，所以，即， 又，则，所以，则， 综上可知，实数a的取值范围为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，. （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由平方关系及角的范围求得，再根据商数关系即可求. （2）应用诱导公式化简目标式，由（1）所得结果代入求值即可. 【小问1详解】 因为sin α＝，则，又<α<， 所以，则. 所以. 【小问2详解】 原式==. 16. 已知幂函数的图象关于轴对称． （1）求的值； （2）设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用幂函数的定义及性质计算即可； （2）将问题化为的值域为函数的值域的子集，利用集合间的基本关系计算参数即可. 【小问1详解】 由幂函数定义，知，解得或， 当时，的图象不关于轴对称，舍去， 当时，的图象关于轴对称，符合题意，因此． 【小问2详解】 由上易知， 由于对任意的，总存在，使成立， 设函数在上的值域为集合，函数在的值域为集合， 所以， 易知当时，的值域，则集合， 当时，的值域为，则集合， 又，得，解得. 17. 新华小学为丰富校园文化，展示少年风采，举办了创意show展演活动.该活动得到了众多人士的关注与肯定，随着活动的推进，有越来越多的学生参与其中，已知前3周参与活动的学生人数如下表所示： 活动举办第周 1 2 3 参与活动学生人数（人） 43 55 71 （1）现有三个模型：①，②且，③且.请根据表中数据，从中选择一个恰当的模型估算周后参与活动的学生人数（人），并求出你选择模型的解析式； （2）已知该校现有学生878名.请你计算几周后，全校将有超过一半的学生参与其中.（参考数据：） 【答案】（1）③， （2）10周后，全校将有超过一半的学生参与其中 【解析】 【分析】（1）根据表格数据可知函数递增且增长速度越来越快，故选择模型③；代入表格中三个点即可构造方程组求得未知数，进而得到所求模型； （2）根据（1）中结论可得不等式，结合题中数据分析求解即可. 【小问1详解】 从表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①， 且函数增长的速度越来越快，所以选择③且 代入表格中的三个点可得：，解得：， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知：， 令， 整理得，不等式两边取常用对数得，即. 因为，所以， 且，则， 所以10周后，全校将有超过一半的学生参与其中. 18. 已知二次函数满足，且． （1）求的解析式； （2）若对任意，恒成立，求实数m的取值范围； （3）若函数有且仅有一个零点，求实数t的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可得解； （2），，由参变量分离法可得出，结合二次函数的基本性质可求得实数的取值范围； （3）令，所以关于的方程有且仅有一个正实根，对实数的取值进行分类讨论，结合二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，综合可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，，所以， 则，又， 所以， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 由，得， 当时，，令，则， 所以对任意，恒成立，等价于在上恒成立， 因为开口向上，对称轴为， 所以在上的最大值为， 所以， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为函数有且仅有一个零点， 令，所以关于的方程有且仅有一个正实根， 因为，所以有且仅有一个正实根， 当，即时，方程可化为，解得，不符合题意； 当，即时，函数的图象是开口向上的抛物线，且恒过点， 所以方程恒有一个正实根； 当，即时，要使得有且仅有一个正实根， 则，解得. 综上，实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题第3小题解决的关键是熟练掌握二次方程根的分布，从而得解. 19. 某学校附近有条长500米，宽6米的道路（如图1所示的矩形ABCD），路的一侧划有100个长5米，宽米的停车位（如矩形），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，学校安保处李老师提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中． （图1改造前） （图2改造后） （1）若，求和的长； （2）求关于的函数表达式； （3）若，按照李老师的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？ （参考数据：，则，） 【答案】（1）， （2）， （3）59个 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的余弦、正弦定义，结合停车位的边长，计算和的长度. （2）根据图形中的线段长度关系，结合三角函数表达式，推导关于的函数关系式. （3）由求出对应的三角函数值，再根据停车位的排列线段关系计算改造后的数量，进而求增加的停车位个数. 【小问1详解】 注意到，又， 则. 则， 又，则，； 【小问2详解】 由图可得：， 又由（1），则， 即，. 【小问3详解】 由（2）得：, 则， 则， 化简得：，解得或. 因，则，故，. 设改造后停车位数量最大值为．如图，过停车位顶点作射线垂线，垂足为. 则顶点到线段距离为： 又由图及题意可得：，， 则， 注意到，则. ，则. 则，，又. 则，令, 即，得， 即改造后最大停车位数量为159，则改造后的停车位比改造前增加59个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 连城一中2025—2026学年上期月考2 高一数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. [3，5] D. 2. 已知函数的图象是一条连续不断的曲线，则函数在下列哪个区间内必有零点（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数（，且）的图象恒过点，若角的终边经过点，则（ ）． A. B. C. D. 4. 在同一坐标系内，函数（）和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. “或”是“存在实数x使得不等式成立”的（ ）． A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分非必条件 6. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数（，为常数）在区间上有最大值，则在区间上（ ） A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值 8. 已知正实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 （本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法错误的是（ ） A. 与的终边相同 B. 若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形面积为 C. 终边在直线上的角的取值集合可表示为； D. 设是第一象限角，则为第一或第三象限角 10. 已知，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 11. 已知函数，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若命题“，使得”是真命题，则实数m的取值范围为________． 13. 已知函数，则的定义域是_________． 14. 若函数满足：对于任意正数，，都有，，且，则称函数为“函数”. 已知函数（其中为自然对数的底数，）为“函数”，则实数的取值范围为 ___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，. （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知幂函数的图象关于轴对称． （1）求的值； （2）设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 17. 新华小学为丰富校园文化，展示少年风采，举办了创意show展演活动.该活动得到了众多人士的关注与肯定，随着活动的推进，有越来越多的学生参与其中，已知前3周参与活动的学生人数如下表所示： 活动举办第周 1 2 3 参与活动学生人数（人） 43 55 71 （1）现有三个模型：①，②且，③且.请根据表中数据，从中选择一个恰当的模型估算周后参与活动的学生人数（人），并求出你选择模型的解析式； （2）已知该校现有学生878名.请你计算几周后，全校将有超过一半的学生参与其中.（参考数据：） 18. 已知二次函数满足，且． （1）求的解析式； （2）若对任意，恒成立，求实数m的取值范围； （3）若函数有且仅有一个零点，求实数t的取值范围． 19. 某学校附近有条长500米，宽6米的道路（如图1所示的矩形ABCD），路的一侧划有100个长5米，宽米的停车位（如矩形），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，学校安保处李老师提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中． （图1改造前） （图2改造后） （1）若，求和的长； （2）求关于的函数表达式； （3）若，按照李老师的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？ （参考数据：，则，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $