精品解析：广东省深圳市红岭中学2025-2026学年九年级上学期第七周周测数学试卷

初三数学第七周周末卷 一、选择题（共8小题） 1. 如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握左视图即从左边看到的图形，正视图即从正面看到的图形，俯视图即从上面看到的图形是解题的关键． 根据左视图是从左边看到的图形求解即可． 【详解】解：从左边看这个几何体，看到的图形为： ． 故选：C． 2. 下列函数中，表示是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的一般式是对各个选项进行判断即可． 【详解】解：根据反比例函数的定义，可判断出只有表示是的反比例函数． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式，也可转化为的形式，特别注意不要忽略这个条件． 3. 如果和都不为零，且，那么下列比例中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据逆用比例的基本性质，将乘积式化成比例式，逐个判定即可． 【详解】解：A、∵，∴，故此选项错误，不符合题意； B、∵，∴，故此选项正确，符合题意； C、∵，∴，故此选项错误，不符合题意； D、∵，∴，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查比例的基本性质，熟练掌握根据比例的基本性质，将乘积式化成比例式是解题的关键． 4. 如图，将长方形纸片折叠，使A点落在上的F处，折痕为，若沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（ ） A. 邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 两个全等的直角三角形构成正方形 D. 轴对称图形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定，根据矩形的性质，折叠的性质，以及正方形的判定方法，即可得出结论． 【详解】解：∵长方形纸片， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形（邻边相等的矩形是正方形）； 故选A． 5. 2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，正确画出树状图或列表是解题的关键；利用列表法，可求出所有可能的结果数，抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的结果数，由概率公式即可求解． 【详解】解：记“龙”“行”“龘”“龘”四张卡片分别为A、B、C、D，列表如下： A B C D A B C D 所有可能结果12种，其中抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的结果有8种， 则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的概率为：， 故选：A． 6. 下列各组数中，成比例的是（ ）． A. 1，，， B. 1，4，2， C. 5，6，2，3 D. ，，1， 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例的定义，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A．，不符合题意； B．，不符合题意； C．，不符合题意； D．，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了比例的定义，如果四个数 满足，则这四个数成比例． 7. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定逐项进行分析即可．此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定三角形相似的方法是解题的关键． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似， 故本选项符合题意； D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意． 故选：C． 8. 某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空白区域的面积=矩形空地的面积可得． 【详解】解：设花带的宽度为xm，则可列方程为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系． 二、填空题（共5小题） 9. 已知α、β是方程x2－2x－1＝0的两个根，则α2＋2β＝_____． 【答案】5 【解析】 【分析】先用一元二次方程跟与系数的关系，再利用方程变形即可 【详解】解：由题意可得： ∴ ∴ ∵α、β是方程x2－2x－1＝0的两个根 ∴ ∴ ∴α2＋2β=5 故答案是：5 【点睛】本题考查一元二次方程跟与系数的关系，换元法是关键 10. 一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷骰子两次，第一次正面朝上的数字作为十位数，第二次正面朝上的数字作为个位数，则这个两位数能被3整除的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】列出所有可能出现的情况，再得到能被3整除的情况，最后根据概率公式解答． 【详解】解：画树状图如下， 所有等可能的情况共36种，其中组成的两位数中能被3整除的有12，15，21，24，33，36，42，45，51，54，63，66共12种， 即这个两位数能被3整除的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查画树状图或列表法求概率，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 11. 鹦鹉螺是一类古老的软体动物． 鹦鹉螺曲线的每个半径与后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工． 如图，是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为__________． （结果保留到） 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可解答． 本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割比等于是解题的关键． 【详解】∵是的黄金分割点，线段的长为， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，若平行于，为中点，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设，根据为中点，，得到，，然后根据，得到，进而得到，即可得到答案． 【详解】解：设， 为中点，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 13. 如图，已知，，上一点，满足，，则___． 【答案】 【解析】 【分析】作交于，作于，令（个单位长度），根据平行法判定，进而得到对应边成比例，求得BE的长，再由锐角三角函数，求得AH、BH的长，由勾股定理计算HE的长，据此解题即可． 【详解】解：作交于，作于，令（个单位长度） 则 ， HE= 故答案为： 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，是重要考点，难度一般，作出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键． 三、解答题（共7小题） 14. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）无解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）运用公式法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴此方程无解； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∴ ∴或， ∴． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的图形； （2）以点为位似中心，在原点的异侧画出与位似，且位似比为的位似图形，并写出点的坐标； （3）若点为边上的一点，写出经过第（），（）两题的变换后对应点的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 解：如图，即为所求，； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了作图——位似变换、作图——轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质、位似的性质是解题的关键． （）根据轴对称的性质作图即可； （）根据位似的性质作图，即可得出答案； （）结合轴对称的性质、位似的性质可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：经过（）题变换后点的对应点的坐标为，经过（）题变换后的对应点坐标为． 16. 八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图． 类别 频数（人数） 频率 小说 0.5 戏剧 4 散文 10 0.25 其他 6 合计 1 根据图表提供的信息，解答下列问题： （1）八年级一班有多少名学生？ （2）请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比； （3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出2名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率． 【答案】（1）40（2）15%（3） 【解析】 【分析】（1）用散文的频数除以其频率即可求得样本总数； （2）根据其他类的频数和总人数求得其百分比即可； （3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是丙与乙的情况，即可确定出所求概率． 【详解】（1）∵喜欢散文的有10人，频率为0．25， ∴m=10÷0．25=40； （2）在扇形统计图中，“其他”类所占的百分比为 ×100%=15%， 故答案为15%； （3）画树状图，如图所示： 所有等可能的情况有12种，其中恰好是丙与乙的情况有2种， ∴P（丙和乙）==． 17. 我市从 2018 年 1 月 1 日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自 行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入 8 万元购进 A、B 两种型号的 电动自行车共 30 辆，其中每辆 B 型电动自行车比每辆 A 型电动自行车多 500 元．用 5 万元购进的 A 型电动自行车与用 6 万元购进的 B 型电动自行车数量一 样． （1）求 A、B 两种型号电动自行车的进货单价； （2）若 A 型电动自行车每辆售价为 2800 元，B 型电动自行车每辆售价为 3500 元，设该商店计划购进 A 型电动自行车 m 辆，两种型号的电动自行车全部销售 后可获利润 y 元．写出 y 与 m 之间的函数关系式； （3）该商店如何进货才能获得最大利润；此时最大利润是多少元． 【答案】（1）A、B 两种型号电动自行车的进货单价分别为 2500 元 3000 元；（2）y=﹣200m+15000（20≤m≤30）；（3）m=20 时，y 有最大值，最大值为 11000 元． 【解析】 【分析】（1）设 A、B 两种型号电动自行车的进货单价分别为 x 元、（x+500）元，根据用 5 万元购进的 A 型电动自行车与用 6 万元购进的 B 型电动自行车数量一 样，列分式方程即可解决问题； （2）根据总利润=A 型的利润+B 型的利润，列出函数关系式即可； （3）利用一次函数的性质即可解决问题． 【详解】解：（1）设 A、B 两种型号电动自行车的进货单价分别为 x 元、（x+500） 元， 由题意：=， 解得：x=2500， 经检验：x=2500 是分式方程的解， 答：A、B 两种型号电动自行车的进货单价分别为 2500 元 3000 元； （2）y=300m+500（30﹣m）=﹣200m+15000（20≤m≤30）； （3）∵y=300m+500（30﹣m）=﹣200m+15000， ∵﹣200＜0，20≤m≤30， ∴m=20 时，y 有最大值，最大值为 11000 元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用等知识，读懂题意，找准等量关系列出方程，找准数量关系列出函数关系是解题的关键． 18. 如图，四边形是矩形，、分别是、上的点，，连接、，，于． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形为矩形， ，， 又， ，即， 四边形为平行四边形， 又， 四边形为菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质可得，，利用等式的性质可得，于是可证得四边形为平行四边形，又由于，于是结论得证； （2）利用矩形的性质可得，利用勾股定理可求得，由菱形的性质可得，利用直角三角形的两个锐角互余可得，进而可证得，根据相似三角形的性质可得，据此即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形为矩形， ， 在中， ， 由（1）可得：四边形为菱形， ， 又， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 即：， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等式的性质，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各种基本图形的判定与性质是解题的关键． 19. 为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． （1）甲生的方案：如图①，根据测试距离为的大视力表制作一个测试距离为的小视力表．如果大视力表中“E”的高是，那么小视力表中相应“E”的高是多少？ （2）乙生的方案：使用平面镜来解决房间小的问题．如图②，若使墙面镜子能呈现完整的视力表，由平面镜成像原理，作出了光路图，其中视力表的上、下边沿A，B发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼C处．如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理与性质，可以根据平行线得到相似三角形进行解答． （1）根据平行，可以得到，结合相似三角形对应边成比例，即可得到的长度； （2）作，垂足为，并延长交于，根据平行，可得，结合相似三角形对应边上的高的比等于相似比，可得，由此便可以得到的长度，解答本题． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∴， ∴， ∴． 答：小视力表中相应“E”的长是； 【小问2详解】 解：作，垂足为D，并延长交于E， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴（米）， ∴镜长至少为米． 20. 定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”． 【概念感知】 （1）如图1，在中，，，，试判断是否是“准黄金”三角形，请说明理由． 【问题探究】 （2）如图2，是“准黄金”三角形，BC是“金底”，把沿BC翻折得到，连AB接AD交BC的延长线于点E，若点C恰好是的重心，求的值． 【拓展提升】 （3）如图3，，且直线与之间的距离为3，“准黄金”的“金底”BC在直线上，点A在直线上．，若是钝角，将绕点按顺时针方向旋转得到，线段交于点D． ①当时，则_________； ②如图4，当点B落在直线上时，求的值． 【答案】 （1）是“准黄金”三角形， 理由：如图，过点A作于点D， ∵，， ∴． ∴． ∴是“准黄金”三角形． （2）； （3）①；②． 【解析】 【分析】（1）过点A作于点D，先求出AD的长度，然后得到，即可得到结论； （2）根据题意，由“金底”的定义得，设，，由勾股定理求出AB的长度，根据比值即可求出的值； （3）①作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，先求出AC的长度，由相似三角形的性质，得到AF=2DF，由解直角三角形，得到，则，即可求出DF的长度，然后得到CD的长度； ②由①可知，得到CE和AC的长度，分别过点，D作，，垂足分别为点G，F，然后根据相似三角形的判定和性质，得到，然后求出CD和AD的长度，即可得到答案． 【详解】解：（1）略 （2）∵点A，D关于BC对称， ∴，． ∵是“准黄金”三角形，BC是“金底”， ∴． 不防设，， ∵点为的重心， ∴． ∴，． ∴． ∴． （3）①作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，如图： 由题意得AE=3， ∵， ∴BC=5， ∵， ∴， 在Rt△ABE中，由勾股定理得： ， ∴， ∴； ∵∠AEC=∠DFA=90°，∠ACE=∠DAF， ∴△ACE∽△DAF， ∴， 设，则， ∵∠ACD=30°， ∴， ∴， 解得： ∴． ②如图，过点A作于点E，则． ∵是“准黄金”三角形，BC是“金底”， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，． 分别过点，D作，，垂足分别为点G，F， ∴，，，则． ∵， ∴． ∴． ∴设，，． ∵， ∴，且． ∴． ∴． ∴，解得． ∴，． ∴． 【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了重心的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，旋转的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是依据题意画出图形，根据数形结合的思想进行解答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学第七周周末卷 一、选择题（共8小题） 1. 如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，表示是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果和都不为零，且，那么下列比例中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将长方形纸片折叠，使A点落在上的F处，折痕为，若沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（ ） A. 邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 两个全等的直角三角形构成正方形 D. 轴对称图形是正方形 5. 2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 下列各组数中，成比例的是（ ）． A. 1，，， B. 1，4，2， C. 5，6，2，3 D. ，，1， 7. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 8. 某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题） 9. 已知α、β是方程x2－2x－1＝0的两个根，则α2＋2β＝_____． 10. 一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷骰子两次，第一次正面朝上的数字作为十位数，第二次正面朝上的数字作为个位数，则这个两位数能被3整除的概率为__________． 11. 鹦鹉螺是一类古老的软体动物． 鹦鹉螺曲线的每个半径与后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工． 如图，是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为__________． （结果保留到） 12. 如图，若平行于，为中点，，则_________． 13. 如图，已知，，上一点，满足，，则___． 三、解答题（共7小题） 14. 解方程： （1） （2） 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的图形； （2）以点为位似中心，在原点的异侧画出与位似，且位似比为的位似图形，并写出点的坐标； （3）若点为边上的一点，写出经过第（），（）两题的变换后对应点的坐标． 16. 八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图． 类别 频数（人数） 频率 小说 0.5 戏剧 4 散文 10 0.25 其他 6 合计 1 根据图表提供的信息，解答下列问题： （1）八年级一班有多少名学生？ （2）请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比； （3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出2名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率． 17. 我市从 2018 年 1 月 1 日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自 行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入 8 万元购进 A、B 两种型号的 电动自行车共 30 辆，其中每辆 B 型电动自行车比每辆 A 型电动自行车多 500 元．用 5 万元购进的 A 型电动自行车与用 6 万元购进的 B 型电动自行车数量一 样． （1）求 A、B 两种型号电动自行车的进货单价； （2）若 A 型电动自行车每辆售价为 2800 元，B 型电动自行车每辆售价为 3500 元，设该商店计划购进 A 型电动自行车 m 辆，两种型号的电动自行车全部销售 后可获利润 y 元．写出 y 与 m 之间的函数关系式； （3）该商店如何进货才能获得最大利润；此时最大利润是多少元． 18. 如图，四边形是矩形，、分别是、上的点，，连接、，，于． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 19. 为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． （1）甲生的方案：如图①，根据测试距离为的大视力表制作一个测试距离为的小视力表．如果大视力表中“E”的高是，那么小视力表中相应“E”的高是多少？ （2）乙生的方案：使用平面镜来解决房间小的问题．如图②，若使墙面镜子能呈现完整的视力表，由平面镜成像原理，作出了光路图，其中视力表的上、下边沿A，B发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼C处．如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 20. 定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”． 【概念感知】 （1）如图1，在中，，，，试判断是否是“准黄金”三角形，请说明理由． 【问题探究】 （2）如图2，是“准黄金”三角形，BC是“金底”，把沿BC翻折得到，连AB接AD交BC的延长线于点E，若点C恰好是的重心，求的值． 【拓展提升】 （3）如图3，，且直线与之间的距离为3，“准黄金”的“金底”BC在直线上，点A在直线上．，若是钝角，将绕点按顺时针方向旋转得到，线段交于点D． ①当时，则_________； ②如图4，当点B落在直线上时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $