精品解析：河北省百师联盟2026届高三上学期一轮复习12月质量检测数学试卷

2026届高三一轮复习12月质量检测 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 4 2 若集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点，底面，则以下向量可以作平面的法向量的是（ ） A. B. C. D. 4. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则函数（ ） A B. C. D. 5. 如图，在直三棱柱中，为线段中点，分别为线段与线段上的点，则线段长的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在三棱锥，平面平面是边长为2的等边三角形，，则二面角的正切值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，记三棱锥的体积为为的中点，且平面，则该三棱锥外接球的表面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列各式化简结果为的有（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在多面体中，平面平面，且交线与确定的平面与交于点，则下列结论正确的是（ ） A. 点在线段上的位置不确定 B. 平面 C 平面 D. 平面 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，平行六面体中，延长至点，使，则向量可用向量表示为__________. 13. 已知一球与一圆台的上､下底面及其侧面都相切，圆台的上､下底面的半径分别为，则球的体积为__________. 14. 如图，在中，为的中点，为上一点，且满足，.若，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列前项和为，且. （1）求实数的值； （2）若，求的通项公式； （3）将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，求的值. 16. 某勘测队在河岸的一侧隔河进行测绘工作，河岸一侧两地相距50米，河对岸有两地，测得米，. （1）求的值； （2）若测量后发现，求两地的距离. 17. 如图，在三棱锥中，平面，为上靠近点的三等分点. （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 如图，正方体的棱长为6，且分别为，的中点. （1）证明：平面平面； （2）平面将正方体截成两部分，若这两部分的体积分别为，求的值. 19. 已知函数. （1）求函数的极值. （2）若，函数有两个零点，且. ①求的值； ②求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三一轮复习12月质量检测 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的乘除运算法则求出复数，然后求出模即可. 【详解】因为，所以. 故选：A. 2. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式确定集合，再由交集定义计算． 【详解】， 又，所以， 故选：D． 3. 如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点，底面，则以下向量可以作平面的法向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出平面内的两个不共线向量的坐标，然后根据法向量的定义验证． 【详解】由题意，，，是中点，则， 因此， 对于A选项，，不是法向量，A错； 对于B选项，，是法向量，B正确； 对于C选项，，不是法向量，C错； 对于D选项，，不是法向量，D错； 故选：B． 4. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则函数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的平移规则求解即可. 【详解】因为将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象， 所以. 故选：C. 5. 如图，在直三棱柱中，为线段的中点，分别为线段与线段上的点，则线段长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据垂直关系建立空间直角坐标系，然后设出的坐标，根据两点距离公式列出的表达式，最后根据二次函数的性质求出最小值即可. 【详解】因为直三棱柱中，，所以以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则. 因为点在线段上，设，， 所以，所以. 因为点在线段上，所以设，所以. 为了求其最小值，则时，， 此时， 根据二次函数的性质，由于，所以当时，取最小值为. 故选：C. 6. 如图，在三棱锥，平面平面是边长为2的等边三角形，，则二面角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取中点，连接，作于点，证明是二面角的平面角，然后在直角三角形中计算其正切值. 【详解】取中点，连接，由题意得，作于点，连接， 因为平面平面，平面， 所以平面， 而平面，所以，同理， 又，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以是二面角的平面角， 由已知得，，， 所以， 故选：B. 7. 如图，记三棱锥的体积为为的中点，且平面，则该三棱锥外接球的表面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三棱锥体积的范围先确定的范围，然后确定三棱锥外接球的球心大概位置，然后根据勾股定理和基本不等式的性质求出外接球半径的范围，最后根据球的表面积公式求出结果即可. 【详解】因为，所以. 由于三棱锥的体积为，平面， 所以，所以. 因为等腰直角中，为的中点， 所以. 因为，所以三棱锥外接球的球心在直线上. 设外接球半径为，则根据勾股定理得 ，化简得， 即， 当且仅当时等号成立. 因为，当时，； 当时，； 所以， 此时该外接球的表面积为. 故选：C. 8. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知在上恒成立，设，可得在上恒成立，由，可得为极小值点，得到，利用求出，从而得到，只有当时，，从而得到，设，利用导数法求出的最小值为，由，得到在上恒成立时，进而得解. 【详解】上单调递增， 在上恒成立， 设， 在上恒成立， ， 为的极小值点， ， ， ，， 将代入，得到， ， 当，， 当时，，这与在上恒成立矛盾， 故必有时， ， ， ， 设，， 的解为，则在上是单调递增函数， 的解为，则在上是单调递减函数， 则在处取最小值，且最小值为， 故在上恒成立， ， 在上恒成立时，， ，， 的取值范围为. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是两条不同直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据平面与平面平行的判定、线面垂直的判定、线面平行的判定定理逐项判断即可. 【详解】对于A： 要判定两平面平行，则需要一平面内的两条相交直线都平行于另一平面才能成立， 而A中直线不一定相交，所以A错误； 对于B： 由于，所以，因为，所以，B正确； 对于C： 因为，所以垂直于平面内的任意直线，而，所以能在内找到与直线平行的直线， 所以，C正确； 对于D： 因为，所以或者,而n⊄α，所以，D正确. 故选：BCD. 10. 下列各式化简结果为的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二倍角的正切公式、和差倍角的正弦公式、诱导公式等逐项计算即可. 【详解】对于A： ，A正确； 对于B： ，B错误； 对于C： ，C正确； 对于D： ，D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在多面体中，平面平面，且交线与确定的平面与交于点，则下列结论正确的是（ ） A. 点在线段上的位置不确定 B. 平面 C. 平面 D. 平面 【答案】BC 【解析】 【分析】由面面平行的性质定理得线线平行，可确定E点位置，从而判断A，再结合线面平行的判定定理判断BC，用反证法判断D. 【详解】平面平面，平面和平面分别与平面交于，所以，同理， 所以，又，所以是平行四边形， 所以，又，所以，即为中点，A错； 四边形是平行四边形，则，又，所以， 所以是平行四边形，所以，由线面平行的判定定理得BC均正确； 若平面，则平面， 于是平面与平面重合，与已知矛盾，故D错误. 故选：BC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，平行六面体中，延长至点，使，则向量可用向量表示为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理和图形的几何关系求解即可. 【详解】由题意，由于平行六面体中，， 所以. 故答案为：. 13. 已知一球与一圆台的上､下底面及其侧面都相切，圆台的上､下底面的半径分别为，则球的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设球的半径为,圆台的母线长为 ，高为 ，则 ,根据题目得到，结合，求出 ，所以;所以球的体积为 . 【详解】设球的半径为,圆台的母线长为 ，高为 ，则 , 画出圆台的轴截面，如图所示： 则四边形是等腰梯形，且 ，内切圆圆心即球心 ；所以圆台的母线长为，即， 因为在圆台中有即，即 ，所以; 所以球的体积为 故答案为： 14. 如图，在中，为的中点，为上一点，且满足，.若，则__________. 【答案】##0.4 【解析】 【分析】设，在中，利用向量加减法的三角形法则表示出，进而表示出；设，同理，在中表示出，根据平面向量基本定理列出方程组，求出，即可得到的值，即可得解. 【详解】因为， 所以. 设，所以①. 因为为的中点，所以. 设，又， 所以 ②. 由①②可得，解得. 所以，所以. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且. （1）求实数的值； （2）若，求的通项公式； （3）将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将代入等式中，根据已知条件计算即可. （2）根据已知条件求出，然后计算并化简，可判定数列是等差数列，进而求得通项公式. （3）先求出公共项为，然后利用裂项相消法进行求和计算. 【小问1详解】 因为. 令，， 得 化简得，解得. 【小问2详解】 由（1）得， 当时，所以， 两式相减得， 化简得，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列， 所以. 【小问3详解】 数列的项为，数列的项为 公共项需满足，即， 设，则公共项为. 所以 16. 某勘测队在河岸的一侧隔河进行测绘工作，河岸一侧两地相距50米，河对岸有两地，测得米，. （1）求的值； （2）若测量后发现，求两地的距离. 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】（1）先利用三角函数的二倍角公式求出，然后求出，进而根据正弦定理求出结果即可. （2）先根据余弦定理求出，然后根据余弦定理求出，最后根据余弦定理求出结果. 【小问1详解】 因为，所以. 所以，所以. 在中，根据正弦定理，，即， 解得. 【小问2详解】 在中，根据余弦定理，， 化简得，由于，所以解得米. 因为，在中，根据余弦定理， 化简得，解得米. 在中，根据余弦定理， 化简得，解得米. 17. 如图，在三棱锥中，平面，为上靠近点的三等分点. （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）要证明线线垂直，则需要通过证明线面垂直得到，而要证明线面垂直，则需要证明该直线与平面内的两条相交直线垂直，即证明. （2）先根据垂直关系建立空间直角坐标系，然后列出各个点的坐标，根据向量夹角的余弦公式求出结果即可. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以. 因为，平面， 所以平面，又平面， 所以. 【小问2详解】 根据题意，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 所以. 设平面与平面的法向量为， 则，. 所以，，令，则，所以. ，令，则，所以. 所以. 18. 如图，正方体的棱长为6，且分别为，的中点. （1）证明：平面平面； （2）平面将正方体截成两部分，若这两部分的体积分别为，求的值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）要证明面面平行，则需要证明一平面内的两条相交直线分别与另一平面平行，即证明平面，平面. （2）先确定平面截正方体所得的截面，然后求出该部分体积和正方体的总体积，进而求得比值. 【小问1详解】 连接，则因为分别为的中点，所以， 由且，则四边形为平行四边形，则， 所以且，四边形是平行四边形，所以， 由，又平面，而不在平面内， 所以平面，平面， 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 取的中点，连接，又是的中点，则， 由且，则四边形为平行四边形，则， 所以，故平面即为平面在正方体中的截面， 因为正方体的棱长为6，所以正方体的体积为， 由图易知为棱台，其体积， 所以，则. 19. 已知函数. （1）求函数的极值. （2）若，函数有两个零点，且 ①求值； ②求证：. 【答案】（1）当时函数无极值，当时有极小值 （2）① 1，②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求导函数得到，分析得到当时，函数在上单调递增，无极值；当时函数有极小值 （2）函数有两个零点则， ，利用对数的运算得到；要证，即证，设，只需证，构造函数，证明当时，即可. 【小问1详解】 函数 的定义域为,且, 当时，恒成立，所以函数在上单调递增，无极值； 当时，令 ，解得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 所以函数有极小值 【小问2详解】 ①因为函数有两个零点，且， 所以 ， ，即， ， 两边取自然对数得到 两式相减得，即； ②因为，所以要证，即证即证即证 设 ，所以要证，只需证 设 ，则在上恒成立； 所以函数在上单调递增， 所以当时， ，即 成立； 所以成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $