8.3 圆的方程（2大考点+8大题型）（讲义）-2026年新高考数学大一轮复习之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

该高中数学讲义聚焦圆的方程高考专题，涵盖圆的标准与一般方程、位置关系、圆系方程、轨迹方程等核心考点，按课标“理解几何要素，掌握方程，解决问题”要求，以主干知识梳理为基础，核心题型探究为重点，课时精练为巩固，构建系统复习框架。 资料突出数学思维培养，如阿氏圆问题结合数学史引导发现轨迹本质，8类题型配解题总结强化逻辑推理，设置变式与真题训练（含2025年月考/模拟题）。通过分层练习与方法指导，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供实用教学支持。

8.3 圆的方程 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 知识点一、圆的方程 3 知识点二、点与圆的位置关系判断 3 常用二级结论 3 03 探究核心题型 5 题型一：求圆的方程 5 题型二：与圆相关的对称问题 7 题型三：圆系方程 9 题型四：表示圆的充要条件 12 题型五：点与圆的位置关系 13 题型六：数形结合思想 16 题型七：阿氏圆问题 20 题型八：动点的轨迹方程 27 04 课时精练 32 （1）理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程． （2）能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 知识点一、圆的方程 （1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 （2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径 知识点二、点与圆的位置关系判断 （1）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． （2）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 常用二级结论 （1）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是 （2）圆的参数方程： ①的参数方程为（为参数）； ②的参数方程为（为参数）． 题型一：求圆的方程 【典例1-1】（2025·高三·重庆·月考）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆经过原点和点，线段的中点，直线的斜率， 则线段的中垂线方程为，即， 由，解得，因此圆的圆心，半径， 所以圆的方程为. 故选：A 【典例1-2】（2025·高三·云南·月考）如图：为锐角，为射线上的两定点，点为射线上的一动点，由米勒定理：当点为过点的圆与射线相切的切点时，最大．在平面直角坐标系中，若，点在轴上运动，则最大时，外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，外接圆的圆心在线段的垂直平分线上. 因为的中点为，直线的斜率， 所以的垂直平分线的斜率为，其方程为，整理得：. 设圆心为，半径， 化简得：，解得：或（舍去）. 此时，所以外接圆的方程为. 故选:C． 【解题总结】 （1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标（a，b）和半径r；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点．因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法． （2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等． 【变式1-1】已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为直径，所以圆心为， 半径， 所以圆的方程为. 故选：C. 【变式1-2】（2025·吉林长春·三模）经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设经过，，三个点的圆的方程为 ， 由题意可得，解得， 且满足， 所以经过，，三个点的圆的方程为， 即为. 故选：C. 【变式1-3】（2025·海南三亚·一模）已知圆与直线和都相切，且圆心在轴上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设所求圆的方程为， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：D. 题型二：与圆相关的对称问题 【典例2-1】（2025·四川凉山·一模）已知曲线上存在点与关于直线对称，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点关于直线的对称点，则线段的中点在直线上， 又，直线的方向向量，而， 因此，即， 消去得， 整理得，即，于是点在以点为圆心，1为半径的圆上， 而曲线是以点为圆心，为半径的圆，， 依题意，点在曲线上，则曲线与圆有公共点，即这两个圆相交或相切， 因此，即，解得， 所以r的取值范围为. 故选：C 【典例2-2】已知圆与圆关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆，圆心为，半径， 圆的标准方程为， 圆心为，半径， 由题可知与关于直线对称， 所以解得， 又，所以，故， 故选：A. 【解题总结】 （1）圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称 （2）圆关于点对称： ①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程 ②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点 （3）圆关于直线对称： ①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程 ②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线 【变式2-1】若圆上存在无数对点关于直线对称，则直线一定过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的标准方程为，圆心为． 由题意可得，直线一定过圆心． 故选：A 【变式2-2】（2025·广东汕头·一模）如果圆与圆关于直线l对称，则直线l的方程为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解析】圆圆心为，圆可化为，所以圆心为， 由题意可得直线l的方程为以两圆圆心、为端点的线段的中垂线方程， 设， 由两直线垂直斜率关系可得直线l的为1， 又两圆中点坐标为，所以直线l的方程为，即. 故选：D. 【变式2-3】（2025·北京通州·一模）若点关于直线的非重合对称点在圆上，则k、b的一组取值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】由于在圆上，圆心为， 要使关于直线的对称点在圆上， 则直线必经过圆心，故，结合选项可知：只有D符合， 故选：D 题型三：圆系方程 【典例3-1】过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】经过圆：和圆：交点的圆可设为，即， 圆心在直线上，故，解得， 所以圆的方程为. 故选：A. 【典例3-2】过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（   ） A． B．． C． D． 【答案】A 【解析】由题意设所求圆的方程为， 即， 圆心坐标为，代入中， 即，解得， 将代入中，即， 满足， 故所求圆的方程为， 故选：A 【解题总结】 求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）． （1）直线系方程：若直线与直线相交于点P，则过点P的直线系方程为： 简记为： 当时，简记为：（不含） （2）圆系方程：若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为： 简记为：，不含 当时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴） 注意：与圆C共根轴l的圆系 【变式3-1】求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设所求圆的方程为，则， 则圆心坐标为，代入直线，可解得. 故所求圆的方程为，即. 故选：A. 【变式3-2】圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为 ． 【答案】 【解析】设圆的方程为：， 整理得到：， 因为圆过，代入该点得到：即， 故圆的方程为：即， 故答案为：. 【变式3-3】过直线和圆的交点且过原点的圆的方程是 ． 【答案】 【解析】设所求圆的方程为， 因为过直线和圆的交点的圆过原点， 所以可得，解得， 将代入所设方程并化简可得所求圆的方程为：． 故答案为：. 题型四：表示圆的充要条件 【典例4-1】（2025·江西景德镇·模拟预测）“关于x，y的方程表示的曲线是圆”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【解析】化成标准方程， 所以，解得或， 因为或推不出，可以推出或， 所以方程表示圆是的必要不充分条件. 故选：B. 【典例4-2】下列方程一定表示圆的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，方程表示点，A不是； 对于B，方程化为，此方程表示圆，B是； 对于C，当时，方程表示点，C不是； 对于D，方程化为表示两条平行直线，D不是. 故选：B 【解题总结】 方程表示圆的充要条件是，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为，半径 【变式4-1】已知圆，则“”是“圆与轴有且仅有一个公共点”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】圆的标准方程为， 圆心，半径，有， 若，由，可得， 圆心到轴的距离，此时圆与轴相切； 若圆与轴相切， 则，可得， 所以“”是“圆与轴有且仅有一个公共点”的充要条件. 故选：C. 【变式4-2】（2025·四川眉山·三模）方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若方程表示圆，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 【变式4-3】（2025·贵州贵阳·模拟预测）“”是“方程表示圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由方程，可得， 若时，可得，此时方程表示圆，即充分性成立； 反之：方程表示圆时， 例如：当时，方程可化为也可以表示圆，所以必要性不成立， 所以“”是“方程表示圆”的充分不必要条件. 故选：A 题型五：点与圆的位置关系 【典例5-1】“点在圆外部”是“，或”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为点在圆外， 所以，解得， 所以或， 所以的取值范围为或， “点在圆外部”是“，或”的充分不必要条件. 故选：A. 【典例5-2】已知直线：，（，是不同时为0的实数，），圆：，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】因为，是不同时为0的实数，， 圆：的圆心为，半径为， 由点在圆C外，得， 则圆心到直线l的距离， 因此直线l与圆C相交，即“点在圆C外”是“直线l与圆C相交”的充分条件； 由直线l与圆C相交，得圆心到直线l的距离，则， 因此点在圆C外，即“点在圆C外”是“直线l与圆C相交”的必要条件， 所以“点在圆C外”是“直线l与圆C相交”的充要条件. 故选：C. 【解题总结】 在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约． 【变式5-1】已知点，，圆：，若圆上存在点，使得为锐角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，且圆上存在一点，在以为直径的圆外， 设以为直径的圆的圆心为，半径. 设圆的圆心为，则， 所以，则. 故选：D 【变式5-2】已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由圆，则圆， 所以，半径为，且或， 由点在圆外，则， 所以，可得， 综上，或. 故选：D 【变式5-3】已知点和圆，过点P作圆C的切线有两条，则k的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由方程表示圆，则，解得， 又过点作C的切线有两条，所以点P在圆外，则， 即恒成立，即， 所以实数的取值范围为，结合选项，可得选项AD符合题意. 故选：AD. 题型六：数形结合思想 【典例6-1】（2025·高三·广东·月考）已知两点，点在圆上运动，则的最大值与最小值之和为（    ） A．36 B．60 C．72 D．80 【答案】C 【解析】由点在圆上运动，设， ， ， 的最大值为， 最小值为， 的最大值与最小值之和为. 故选：C. 【典例6-2】（2025·广东·模拟预测）单位圆上有7个不同的点，则任意两点间距离平方和的最大值为（   ） A．42 B．49 C．56 D．64 【答案】B 【解析】设，则， 所以， 因为， 所以， 当7个点均匀分布在单位圆上时，根据正、余弦函数的图象和性质有， 则，因此所求的最大值为49． 故选：B． 【解题总结】 研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像．在此过程中，尤其要注意需对代数式进行等价变形，以防出现错误． 【变式6-1】已知点是圆上的动点，点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】法一：如图，设过，，三点的圆的半径为， 则，又， 所以，则是锐角，可得， 故取最大，最大， 则时，取得最小值，此时， 而是锐角，此时， 法二：如图，结合圆的性质设， 则由余弦定理得， 由基本不等式得， 当且仅当，即时取等， 故， 则的最大值是； 法三：设，由正弦定理得， 即，则， 因为，所以， 故为锐角，得到的最大值为． 故选：B． 【变式6-2】（2025·高三·贵州遵义·月考）多年前，我国的思想家墨子给出圆的概念：“一中同长也”．意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等，这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早年．已知点，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以点的轨迹是圆心为，半径的圆， 因为，所以在圆外， 所以， 故选：B. 【变式6-3】已知实数、、、满足，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设、，，，， 故、在圆上， 且， 因为，则， 因为，则是边长为的等边三角形， 而表示、到直线的距离之和， 又原点到直线的距离为， 如图所示：，，是的中点，作于，且， 所以，， 故在圆上，所以. 故的最小值为， 又， 所以的最小值为. 故选：D. 【变式6-4】直线（其中）被圆所截得的最短弦长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为可化为， 所以直线恒过定点， 由圆知圆心，半径， 由圆的几何性质知，当与直线垂直时，直线被圆所截得弦最短， 此时弦长为, 故选：B 题型七：阿氏圆问题 【典例7-1】古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：已知平面内两个定点A，B及动点P，若（且），则点P的轨迹是圆．后来人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，也叫阿氏圆．在平面直角坐标系中，，，直线，直线，P为，的交点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，，此时，交点为， 当时，直线的斜率为k，直线的斜率为，所以， 综上，， ，所以直线恒过点， ，所以直线恒过点， 由P为，的交点，则， 设，连接EF， 则点P的轨迹是以EF为直径的圆（除去F点），圆心为线段EF的中点， 半径为，故P的轨迹方程为， 根据题意作图，如图2所示， 由题意可知圆C上一点，满足，取， 则，满足， 下面证明对任意的，连接PD，都满足，即， ， ， 所以， 连接DQ，所以， 又，所以， 当且仅当D，P，Q三点共线，且P位于D，Q之间时取等号． 故选：D． 【典例7-2】已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线过定点， 直线过定点， 且直线与直线垂直，所以点的轨迹是以为直径的圆， 故圆心是，半径为则点的方程是 令，因为， 所以， 则 所以，可得点 则. 【解题总结】 已知平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆． 【变式7-1】（多选题）（2025·高三·山东烟台·期末）阿波罗尼斯是古希腊数学家，他研究发现：如果平面内一个动点到两个定点的距离之比为常数，且，那么这个点的轨迹为圆，这就是著名的阿氏圆.若点到点与点的距离之比为，则（    ） A．点的轨迹方程为 B．点到直线距离的最小值为 C．点到圆上的点的最大距离为 D．若到直线的距离为的点至少有3个，则 【答案】ACD 【解析】设点坐标为，由题意可得， 化简可得，故A正确； 在圆上，其圆心坐标为，半径为， 故点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减半径，即为 ，故B错误； 点到圆上的点的最大距离为到的距离加两个半径，即为 ，故C正确； 若到直线的距离为的点至少有3个， 设圆心到直线的距离为，则， 即，可得，故D正确， 故选：ACD 【变式7-2】（多选题）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，已知，，点P是满足的阿氏圆上的任一点，若点Q为抛物线E：上的动点，Q在直线上的射影为H，F为抛物线E的焦点，则下列选项正确的有（    ） A．的最小值为2 B．的面积最大值为 C．当最大时，的面积为 D．的最小值为 【答案】ACD 【解析】A选项，抛物线的准线方程为，， 由抛物线定义可得， 则， 由三角形三边关系可得， 当且仅当三点共线时，等号成立， 故的最小值为，A正确； B选项，由题意得，点的轨迹方程为， 化简得，即以为圆心，3为半径的圆， 直线，即， 圆心到直线的距离为， 则到直线的距离最大值为， 又， 故的面积最大值为，B错误； C选项，为定值，由勾股定理得， 且，， 要想取得最大值，则需最大， 如图所示，当与垂直且在图中位置时，取得最大值， 其中，故，，， 故当最大时， ， 则的面积为，C正确； D选项，由题意得，， ， 连接，线段与圆和抛物线的交点分别为， 即四点共线时，取得最小值， 最小值为， 故最小值为，D正确. 故选：ACD 【变式7-3】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，此时，交点为. 当时，由，斜率为， 由，斜率为，， 综上，. 又， 直线恒过， ，直线恒过， 若为的交点，则，设点， 所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点， 则圆心为的中点，圆的半径为， 故的轨迹方程为， 即，则有. 又，易知O、Q在该圆内， 又由题意可知圆上一点满足，取， 则，满足. 下面证明任意一点都满足，即， ， 又， . 所以， 又， 所以， 如图，当且仅当三点共线，且位于之间时，等号成立 即最小值为. 故选：A. 题型八：动点的轨迹方程 【典例8-1】已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若P为圆C上任意一点，，点Q满足，求点Q的轨迹方程. 【解析】（1）因为，所以点A在圆外， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为2，所以直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 即，解得. 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （2）设，，则. 因为，所以，即. 又因为点在圆C：上，所以. 将代入可得， 整理得，即点Q的轨迹方程为. 【典例8-2】如图，已知圆，是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、． (1)若轴，求四边形的面积； (2)若直线、与轴分别交于点、，证明：为定值； (3)求线段的中点的轨迹方程． 【解析】（1）当轴时，不妨设、，如图所示： 所以，，且， 连接，由切线长定理可得，，，故， 则． （2）设，因为， 所以直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，所以， 整理得，同理有， 所以、是方程的两个实根， 所以，， 所以为定值． （3）由题知，， 所以点、在以为直径的圆上， 由、得该圆的方程为， 将与相减，得直线的方程为． 取，得，所以直线过定点， 又因为为的中点，所以，即， 所以点在以为直径的圆上，该圆的方程为． 又不可能是圆的直径，所以点不可能与原点重合， 所以点的轨迹方程为，即． 【解题总结】 要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x，y的等量关系，根据题目条件，直接找到或转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在． 【变式8-1】已知的三个顶点的坐标分别为，，. (1)求边上中线所在直线的方程； (2)求边上高所在直线的方程； (3)若P为平面内一动点，O为原点，满足，求动点的轨迹方程. 【解析】（1）中点为，， 直线方程为：，即； （2），， 直线方程为：，即； （3）设，由得， 化简得：， 则点的轨迹方程为：. 【变式8-2】 已知圆过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆C上运动，求线段AB中点P的轨迹方程. 【解析】（1）线段的中点的坐标为， 直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即 由，解得，所以， , 所以圆的标准方程为. （2）设，，由于是线段的中点，已知， 则，即，所以， 将点的坐标代入圆的方程得， 整理得点的轨迹方程为：. 【变式8-3】已知平面内两定点，，动点满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)设是轨迹上一点，求的最小值和最大值； (3)已知直线，在上求一点，使到直线的距离最短. 【解析】（1）设动点， 因为，则，整理可得， 所以动点的轨迹方程为. （2）曲线：是以为圆心，半径的圆， 设，， 则， 因为，可知点在圆外，则， 当时，取到最小值； 当时，取到最大值； 所以的最小值为，最大值为. （3）因为圆心到直线的距离， 可知直线与圆相离， 当时，点到直线的距离最短为， 此时可设直线，代入点可得，即， 可得直线，设， 则点到直线的距离为， 则，解得或， 若，则在圆上，符合题意； 若，则不在圆上，不符合题意； 所以当点N为时，点到直线的距离最短，最短为. 1．（2025·高三·黑龙江·月考）已知中，，，则面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则， 设，由可得，整理得， 其轨迹是以点为圆心，半径为的圆.点到直线距离的最大值为圆的半径长2， 所以的面积的最大值为． 故选：D． 2．圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为圆的圆心在轴上，设圆的圆心为，半径为， 则圆的方程为，因为点、在圆上， 所以有，整理得：， 解得：，所以圆的方程为：. 故选：D. 3．已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由圆的方程可求出圆心， 又因为直线的斜率，且直线与直线垂直， 所以根据两条直线垂直，斜率之积为，可得直线的斜率是， 根据点斜式方程可知直线的方程是：,整理得. 故选：C 4．“康威圆定理”的内容如下：如图，的三条边长分别为，，．延长线段CA至点，使得，以此类推得到点，，，和，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．若在中，，，，康威圆圆心为K，则K的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，，， ， 则直线的方程为，所以， 是线段的中点，所以， 是线段的中点，所以， 设康威圆的方程为， 代入，，得： ，解得， 所以圆的一般方程为，即， 所以圆心. 故选：D 5．已知是轴正半轴上一点，点，若圆上存在点，使得，则点的纵坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点，， 又圆，即， 设圆上一点，， 又，且存在点满足， 则， 由，， 则有解， 即，其中， 化简可得方程有解， 又， 所以不等式， 又，所以恒成立， 即不等式为， 解得，又， 所以， 故选：D. 6．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨氏，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点、的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，， 已知，所以，即， 整理得， 又点的轨迹方程为，所以，解得，即. 因为，所以，则， 当、、三点共线时取得最小值，即. 又，所以最小值为. 故选：C. 7．（2025·高三·湖北·月考）莱莫恩（Lemoine）定理指出：过的三个顶点作它的外接圆的切线，分别和所在直线交于点，则三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemoine线．在平面直角坐标系中，若的三个顶点坐标分别为，则该三角形的Lemoine线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的外接圆方程设为， ， 解得， 外接圆方程为，即， 故外接圆的圆心坐标为，半径， 故外接圆在处切线方程为， 又，令得，，∴， ∴在处切线方程为， 又，令，得，∴， ∴直线，即. 由题意可知点三点在同一条直线上， ∴三角形的Lemoine线的方程为． 故选：B 8．已知圆上存在两个点到点的距离为，则可能的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以为圆心，为半径的圆， 圆化为标准方程为， 所以圆心，半径， 所以圆心距， 因为圆上存在两个点到点的距离为，所以圆与圆相交， 所以，解得或， 所以的取值范围为. 故选：B. 9．在平面直角坐标系中，已知点，若点为圆上的动点，则的最大值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心坐标为，半径为1， 设，则， 所以， 则， 上式表示到的距离的倍， 到的距离的最大值为， 所以的最大值为， 故选：C. 10．（多选题）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，点P满足，设点的轨迹为圆，则下列说法正确的是（    ） A．圆的方程是 B．若，满足圆的方程，则的最小值是 C．若圆上存在4个点到直线的距离为，则 D．过直线上的一点向圆引切线，，则四边形的面积的最小值为 【答案】ACD 【解析】选项A：设，由题意可得， 化简可得，故A正确； 选项B：由选项A知圆:的圆心为，半径长为， 设，则直线与圆:有公共点， 代入点到直线的距离公式，得：，解得， 所以的最小值是，故B错误； 选项C：圆的圆心为，半径为4，因为圆上存在4个点到直线的距离为1， 所以圆心到直线的距离小于3，所以，解得，故C正确； 选项D：如图所示，设， 因为， 当取最小值时，取最小值，即有最小值， 当时，此时取最小值，即为圆的圆心为到直线的距离， 所以，所以，故D正确； 故选：ACD. 11．（多选题）已知圆，点是圆上的任意一点，则以下说法错误的是（    ） A．的取值范围是 B．的最大值为3 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【解析】由题可知圆的圆心为，半径为1， 设，则，又点是圆C上的任意一点， 所以，解得， 所以的最大值为，最小值为，故A正确； 设，， 则， 当时，取最大值，故B错误； 表示点P到点的距离， 因为圆心到点的距离为， 故的最大值为，最小值为，故C错误； ，表示点P到直线距离的倍， 因为圆心到直线的距离为， 故点P到直线距离的最小值为， 故的最小值为，故D正确. 故选：BC 12．（多选题）已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点（和，不重合），则以下说法正确的是（   ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【解析】由可得，则，即得； 由可得，则，即得. 对于A，由上可得，，则，故A正确； 对于B，因，则，故，即B正确； 对于C，由B项知，，且，则点在以为直径的圆上， 故当且仅当点到直线的距离等于圆的半径时，的面积最大， 为，故C错误； 对于D，由上分析，可得， 由，即得，当且仅当时等号成立， 则， 即当时，取得最大值为，故D正确. 故选：ABD 13．（多选题）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（    ） A．点到点的距离为定值 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【解析】对于A，由得：， 点的轨迹是以为圆心，半径的圆，点到点的距离为该圆的半径，即定值，A正确； 对于B，，，的最大值为，B正确； 对于C，的几何意义为点到点的距离， 圆心到点的距离，的最大值为，C错误； 对于D，设，，，， ，，当，即时，取得最大值，最大值为，D正确. 故选：ABD. 14．在平面直角坐标系中，一条光线从点发出，经直线反射后，与圆相切，写出一条反射后光线所在直线的方程 . 【答案】或（写出一条即可） 【解析】设关于直线的对称点坐标为， 由题意得，解得，即， 由反射后的直线与圆相切，得过点的直线与圆相切， 圆，变形为，则圆心为，半径为2， 当过点B的直线斜率不存在时，即为， 则圆心到直线的距离为2，等于半径，符合题意， 当过点B的直线斜率存在时，设为k，则方程为，即， 所以圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为，即， 综上，反射后光线所在直线的方程为或. 故答案为：或（写出一条即可） 15．实数满足：，则的最大值为 . 【答案】6 【解析】如图： 点为圆：上一点，, 则表示线段的长度. 所以，当共线且在点两侧时取等号. 故答案为：6 16．已知点，，. (1)求直线的一般方程； (2)求外接圆的一般方程. 【解析】（1）直线BC的斜率，则方程为，变形为. （2）设外接圆的一般方程为， 因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的方程， 所以，即，解得， 故所求圆的一般方程为. 17．设，圆过三个点. (1)求圆的方程； (2)设点，若圆上存在两个不同的点，使得成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）易知圆心为线段垂直平分线和线段垂直平分线的交点， 因为，则，直线的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即， 又易知线段的垂直平分线的方程为， 由，解得，所以圆心为， 又，即圆半径为，所以圆的方程为. （2）设，因为，， 所以， 化简得，若，则， 此时，又，即不在圆上，不合题意，所以， 则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即两圆相交， 又， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 18．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得､阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点的轨迹为曲线， (1)求曲线的方程； (2)若点，求的最小值和最大值. (3)求曲线上的点到直线的最小距离. 【解析】（1）设， 则， 化简得，， 即. （2）由知，圆心为，半径， 因为， 所以点在圆外， ， 所以. （3）因为圆心到直线的距离为， 所以曲线上的点到直线的最小距离为. 19．已知以点为圆心的圆与直线相切． (1)求圆C的标准方程； (2)若直线l过点且与圆C交于AB两点，劣弧AB所对圆周角为，求直线l的方程； (3)从圆C外一点P向圆C引一条切线，切点为M，O为坐标原点，满足，求点P的轨迹方程． 【解析】（1）已知圆的圆心，且圆与直线相切， 可得：圆的半径， 综上可得：圆C的方程为：， （2）根据题意，其圆心为，半径为，已知劣弧所对的圆周角为，则所对的圆心角为，由此可知， 设圆心到直线的距离为，因此可得：，解得：. 当直线l的斜率不存在时，其方程为， 联立方程：，解得：或， 此时直线l与圆C的交点为，，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设其方程为，即， 则圆心C到直线l的距离，解得， 所以直线l的方程为， 综上，直线l的方程为或； （3）如图，PM为圆C的切线，连接MC，PC，则， 所以为直角三角形，即． 设，由（1）知，， 因为，所以， 化简得点P的轨迹方程为． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3 圆的方程 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 知识点一、圆的方程 3 知识点二、点与圆的位置关系判断 3 常用二级结论 3 03 探究核心题型 5 题型一：求圆的方程 5 题型二：与圆相关的对称问题 6 题型三：圆系方程 7 题型四：表示圆的充要条件 8 题型五：点与圆的位置关系 8 题型六：数形结合思想 9 题型七：阿氏圆问题 10 题型八：动点的轨迹方程 11 04 课时精练 14 （1）理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程． （2）能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 知识点一、圆的方程 （1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 （2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径 知识点二、点与圆的位置关系判断 （1）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． （2）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 常用二级结论 （1）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是 （2）圆的参数方程： ①的参数方程为（为参数）； ②的参数方程为（为参数）． 题型一：求圆的方程 【典例1-1】（2025·高三·重庆·月考）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2025·高三·云南·月考）如图：为锐角，为射线上的两定点，点为射线上的一动点，由米勒定理：当点为过点的圆与射线相切的切点时，最大．在平面直角坐标系中，若，点在轴上运动，则最大时，外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【解题总结】 （1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标（a，b）和半径r；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点．因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法． （2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等． 【变式1-1】已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·吉林长春·三模）经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·海南三亚·一模）已知圆与直线和都相切，且圆心在轴上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 题型二：与圆相关的对称问题 【典例2-1】（2025·四川凉山·一模）已知曲线上存在点与关于直线对称，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】已知圆与圆关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 【解题总结】 （1）圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称 （2）圆关于点对称： ①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程 ②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点 （3）圆关于直线对称： ①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程 ②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线 【变式2-1】若圆上存在无数对点关于直线对称，则直线一定过点（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·广东汕头·一模）如果圆与圆关于直线l对称，则直线l的方程为（   ） A． B． C．或 D． 【变式2-3】（2025·北京通州·一模）若点关于直线的非重合对称点在圆上，则k、b的一组取值为（   ） A．， B．， C．， D．， 题型三：圆系方程 【典例3-1】过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（   ） A． B．． C． D． 【解题总结】 求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）． （1）直线系方程：若直线与直线相交于点P，则过点P的直线系方程为： 简记为： 当时，简记为：（不含） （2）圆系方程：若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为： 简记为：，不含 当时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴） 注意：与圆C共根轴l的圆系 【变式3-1】求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为 ． 【变式3-3】过直线和圆的交点且过原点的圆的方程是 ． 题型四：表示圆的充要条件 【典例4-1】（2025·江西景德镇·模拟预测）“关于x，y的方程表示的曲线是圆”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【典例4-2】下列方程一定表示圆的是（    ）． A． B． C． D． 【解题总结】 方程表示圆的充要条件是，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为，半径 【变式4-1】已知圆，则“”是“圆与轴有且仅有一个公共点”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式4-2】（2025·四川眉山·三模）方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·贵州贵阳·模拟预测）“”是“方程表示圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型五：点与圆的位置关系 【典例5-1】“点在圆外部”是“，或”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例5-2】已知直线：，（，是不同时为0的实数，），圆：，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【解题总结】 在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约． 【变式5-1】已知点，，圆：，若圆上存在点，使得为锐角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知点和圆，过点P作圆C的切线有两条，则k的取值可能是（    ） A． B． C． D． 题型六：数形结合思想 【典例6-1】（2025·高三·广东·月考）已知两点，点在圆上运动，则的最大值与最小值之和为（    ） A．36 B．60 C．72 D．80 【典例6-2】（2025·广东·模拟预测）单位圆上有7个不同的点，则任意两点间距离平方和的最大值为（   ） A．42 B．49 C．56 D．64 【解题总结】 研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像．在此过程中，尤其要注意需对代数式进行等价变形，以防出现错误． 【变式6-1】已知点是圆上的动点，点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·高三·贵州遵义·月考）多年前，我国的思想家墨子给出圆的概念：“一中同长也”．意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等，这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早年．已知点，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知实数、、、满足，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-4】直线（其中）被圆所截得的最短弦长等于（    ） A． B． C． D． 题型七：阿氏圆问题 【典例7-1】古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：已知平面内两个定点A，B及动点P，若（且），则点P的轨迹是圆．后来人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，也叫阿氏圆．在平面直角坐标系中，，，直线，直线，P为，的交点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【典例7-2】已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题总结】 已知平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆． 【变式7-1】（多选题）（2025·高三·山东烟台·期末）阿波罗尼斯是古希腊数学家，他研究发现：如果平面内一个动点到两个定点的距离之比为常数，且，那么这个点的轨迹为圆，这就是著名的阿氏圆.若点到点与点的距离之比为，则（    ） A．点的轨迹方程为 B．点到直线距离的最小值为 C．点到圆上的点的最大距离为 D．若到直线的距离为的点至少有3个，则 【变式7-2】（多选题）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，已知，，点P是满足的阿氏圆上的任一点，若点Q为抛物线E：上的动点，Q在直线上的射影为H，F为抛物线E的焦点，则下列选项正确的有（    ） A．的最小值为2 B．的面积最大值为 C．当最大时，的面积为 D．的最小值为 【变式7-3】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型八：动点的轨迹方程 【典例8-1】已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若P为圆C上任意一点，，点Q满足，求点Q的轨迹方程. 【典例8-2】如图，已知圆，是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、． (1)若轴，求四边形的面积； (2)若直线、与轴分别交于点、，证明：为定值； (3)求线段的中点的轨迹方程． 【解题总结】 要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x，y的等量关系，根据题目条件，直接找到或转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在． 【变式8-1】已知的三个顶点的坐标分别为，，. (1)求边上中线所在直线的方程； (2)求边上高所在直线的方程； (3)若P为平面内一动点，O为原点，满足，求动点的轨迹方程. 【变式8-2】 已知圆过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆C上运动，求线段AB中点P的轨迹方程. 【变式8-3】已知平面内两定点，，动点满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)设是轨迹上一点，求的最小值和最大值； (3)已知直线，在上求一点，使到直线的距离最短. 1．（2025·高三·黑龙江·月考）已知中，，，则面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 2．圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程为（ ） A． B． C． D． 4．“康威圆定理”的内容如下：如图，的三条边长分别为，，．延长线段CA至点，使得，以此类推得到点，，，和，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．若在中，，，，康威圆圆心为K，则K的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．已知是轴正半轴上一点，点，若圆上存在点，使得，则点的纵坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨氏，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点、的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·高三·湖北·月考）莱莫恩（Lemoine）定理指出：过的三个顶点作它的外接圆的切线，分别和所在直线交于点，则三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemoine线．在平面直角坐标系中，若的三个顶点坐标分别为，则该三角形的Lemoine线的方程为（   ） A． B． C． D． 8．已知圆上存在两个点到点的距离为，则可能的值为（  ） A． B． C． D． 9．在平面直角坐标系中，已知点，若点为圆上的动点，则的最大值为（   ） A．3 B． C． D． 10．（多选题）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，点P满足，设点的轨迹为圆，则下列说法正确的是（    ） A．圆的方程是 B．若，满足圆的方程，则的最小值是 C．若圆上存在4个点到直线的距离为，则 D．过直线上的一点向圆引切线，，则四边形的面积的最小值为 11．（多选题）已知圆，点是圆上的任意一点，则以下说法错误的是（    ） A．的取值范围是 B．的最大值为3 C．的最小值为 D．的最小值为 12．（多选题）已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点（和，不重合），则以下说法正确的是（   ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 13．（多选题）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（    ） A．点到点的距离为定值 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 14．在平面直角坐标系中，一条光线从点发出，经直线反射后，与圆相切，写出一条反射后光线所在直线的方程 . 15．实数满足：，则的最大值为 . 16．已知点，，. (1)求直线的一般方程； (2)求外接圆的一般方程. 17．设，圆过三个点. (1)求圆的方程； (2)设点，若圆上存在两个不同的点，使得成立，求实数的取值范围. 18．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得､阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点的轨迹为曲线， (1)求曲线的方程； (2)若点，求的最小值和最大值. (3)求曲线上的点到直线的最小距离. 19．已知以点为圆心的圆与直线相切． (1)求圆C的标准方程； (2)若直线l过点且与圆C交于AB两点，劣弧AB所对圆周角为，求直线l的方程； (3)从圆C外一点P向圆C引一条切线，切点为M，O为坐标原点，满足，求点P的轨迹方程． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $