7.5 空间向量及其应用（7大考点+15大题型）（讲义）-2026年新高考数学大一轮复习讲义之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

该高中数学高考复习资料聚焦空间向量及其应用，系统覆盖空间向量运算、法向量、空间角与距离等高考核心考点，以“知识点-题型-精练”逻辑架构整合内容，通过考点梳理构建知识网络，方法指导提炼解题通法，真题训练强化实战应用，助力学生突破立体几何证明与计算难点。 资料创新采用“题型分层+变式拓展”设计，如异面直线所成角、二面角等题型均配备例题解析与变式训练，培养学生用数学思维分析空间关系的能力。设置课时精练分层检测，结合课标核心素养要求，帮助教师精准把控复习节奏，有效提升学生空间想象与逻辑推理能力，为高考高效复习提供有力支撑。

7.5 空间向量及其应用 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 知识点一：空间向量及其加减运算 3 知识点二：空间向量的数乘运算 3 知识点三：空间向量的数量积运算 4 知识点四：空间向量的坐标运算及应用 5 知识点五：法向量的求解与简单应用 6 知识点六：空间角公式． 7 知识点七：空间中的距离 7 03 探究核心题型 9 题型一：空间向量的线性运算 9 题型二：共线定理的应用 12 题型三：数量积运算 13 题型四：证明三点共线 17 题型五：证明共面的方法 21 题型六：证明线线平行 26 题型七：证明线面平行 29 题型八：证明面面平行 35 题型九：证明线线垂直 37 题型十：证明线面垂直 41 题型十一：证明面面垂直 44 题型十二：求异面直线所成角 48 题型十三：求线面角 55 题型十四：求二面角 62 题型十五：求距离问题 70 04 课时精练 76 1、能用向量法解决异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用. 2、弄清折叠问题中的变量与不变量，掌握折叠问题中线面位置关系的判断和空间角的计算问题. 知识点一：空间向量及其加减运算 （1）空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或． （2）零向量与单位向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记作．当有向线段的起点与终点重合时，． 模为1的向量称为单位向量． （3）相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量． 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为． （4）空间向量的加法和减法运算 ①，．如图所示． ②空间向量的加法运算满足交换律及结合律 ， 知识点二：空间向量的数乘运算 （1）数乘运算 实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时，与向量方向相同；当时，向量与向量方向相反．的长度是的长度的倍． （2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 ，． （3）共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作． （4）共线向量定理 对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使． （5）直线的方向向量 如图8-153所示，为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为② ①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式． （6）共面向量 如图8-154所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量． （7）共面向量定理 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． 推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式． ②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立． 知识点三：空间向量的数量积运算 （1）两向量夹角 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作． （2）数量积定义 已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，． （3）空间向量的数量积满足的运算律： ，（交换律）； （分配律）． 知识点四：空间向量的坐标运算及应用 （1）设，，则； ； ； ； ； ． （2）设，，则． 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标． （3）两个向量的夹角及两点间的距离公式． ①已知，，则； ； ； ； ②已知，，则， 或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式． （4）向量在向量上的投影为． 知识点五：法向量的求解与简单应用 （1）平面的法向量： 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量． 几点注意： ①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有． 第一步：写出平面内两个不平行的向； 第二步：那么平面法向量，满足． （2）判定直线、平面间的位置关系 ①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，． 若∥，即，则； 若，即，则． ②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且． 若∥，即，则； 若，即，则． （3）平面与平面的位置关系 平面的法向量为，平面的法向量为． 若∥，即，则；若⊥，即，则⊥． 知识点六：空间角公式． （1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则． （2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则． （3）二面角公式： 设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中． 知识点七：空间中的距离 求解空间中的距离 （1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算． 如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． （2）点到平面的距离 为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线． 题型一：空间向量的线性运算 【例题1】（2025·高三·云南昆明·期中）在平行六面体中，为与的交点，若，则下列向量中与相等的向量是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据向量的运算法则，可得 . 故选：B. 【例题2】空间四边形中，，，，且，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知空间四边形中，，，， 且，，如图， 所以， 所以． 故选：D 【解题总结】 空间向量的运算包括空间向量的加法、减法、数乘、数量积的几何意义及坐标运算，可以类比平面向量的运算法则． 【变式1】已知在四面体中，，为的中点，若.则（　　） A． B． C． D．3 【答案】B 【解析】因为，为的中点， 所以， 又，则， 所以. 故选：B 【变式2】如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 故选：D. 【变式3】（2025·高二·陕西宝鸡·期中）如图，在四面体中，，点在上，且，为中点，则等于（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由 . 故选：B 题型二：共线定理的应用 【例题3】（2025·高三·河北·开学考试）已知空间向量与共线，则（    ） A．-1 B． C． D．1 【答案】C 【解析】因为空间向量与共线， 所以，解得，所以. 故选：C 【例题4】（2025·高二·广东广州·期中）已知为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为和，若，则（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】因为，所以，从而设，即， 由于为空间内三个不共面的向量， 所以解得所以． 故选：B 【解题总结】 空间共线向量定理：． 利用此定理可解决立体几何中的平行问题． 【变式4】（2025·高二·福建龙岩·期中）设向量不共面，已知，若三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为三点共线，所以，则存在实数，使得， 由已知得 故 由于不共面，故解得 另解:因为向量不共面，所以， 由已知得 故向量表达式中的系数对应成比例，即，解得． 故选：C. 【变式5】已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（       ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【解析】因， 对于A，由 ，因与共点，故A，B，D三点共线，故A正确； 对于B，因，故三点不共线，故B错误； 对于C，因，故三点不共线，故C错误； 对于D，因与没有确定的倍数关系，故三点不共线，故D错误. 故选：A. 题型三：数量积运算 【例题5】（2025·高二·北京·期中）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A． B．8 C．-4 D．4 【答案】C 【解析】因为，， 所以 . 故选：C. 【例题6】（2025·高二·江西南昌·月考）已知点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以点为原点，以所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系； 则点，设点的坐标为，由题意可得， 所以， 所以， 由二次函数的性质可得，当时，取得最小值为； 当或1，且或1时，取得最大值为0， 则的取值范围是. 故选：B． 【解题总结】 ； 求模长时，可根据； 求空间向量夹角时，可先求其余弦值．要判断空间两向量垂直时，可以求两向量的数量积是否为0，即． 为锐角；为钝角．由此，通常通过计算的值来判断两向量夹角是锐角还是钝角． 【变式6】（2025·高二·福建泉州·月考）如图，在平行六面体中，,且，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在平行六面体中，且， 由， 则 ， 所以. 故选：C. 【变式7】（2025·高二·河南新乡·月考）《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，，，，，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【解析】方法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ，，，， ， . 方法二：由题意得， ， ， 堑堵为直三棱柱，且， ． 故选：B. 【变式8】（2025·高二·安徽安庆·月考）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则的长度为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由条件知，，， 又二面角的平面角为，则， 所以 ，所以. 故选：C 题型四：证明三点共线 【例题7】（2025·高三·河北秦皇岛·期中）如图，在四棱锥中，，，，为的中点，，． (1)证明：平面； (2)已知，，，四点均在球的球面上，证明：，，三点共线． 【解析】（1）如图，连接．因为，为的中点，所以． 又因为，，所以． 又因为，，则，所以．   又因为，，平面，平面， 所以平面．又平面，所以．   又因为，，平面，平面， 所以平面．   （2）方法一，如图，以点为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向， 建立空间直角坐标系，则，，，，，．   设，由得 ， 解得，，所以点的坐标为．   因为，所以． 又因为为，的公共点，所以，，三点共线．   方法二，如图，不妨设为的中点，为的中点，连接，则． 由（1）知平面，所以平面．由，得． 直线上任一点到，，三点的距离相等，所以直线．   同理，过点且垂直于平面的直线上任一点到，，三点的距离相等， 所以直线．因为，所以点即为点，所以，，三点共线．   【例题8】如图，在棱长均相等的平行六面体中，用空间向量证明下列结论．若是棱的中点，是上靠近点的三等分点，求证：三点共线． 【解析】 如图，在平行六面体中，设 因是棱的中点，是上靠近点的三等分点， 则 ， 又， 所以，由于有公共点 故三点共线． 【解题总结】 先构造共起点的向量，，然后证明存在非零实数，使得． 【变式9】在正方体中，G为的重心，证明：三点共线. 【解析】设的中点为，连接GB，GD，，，   ， 因为G为的重心，所以， 所以， 所以，即三点共线. 【变式10】如图，在平行六面体中，点在对角线上，且，点在对角线上，且．求证：、、三点共线．    【解析】在平行六面体中，令，，， 则，，， 因此， 又，， 因此， 于是，即有，而与有公共点， 所以、、三点共线． 题型五：证明共面的方法 【例题9】（2025·高三·安徽·开学考试）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，. (1)证明：平面平面； (2)若，，，，P，A，B，C在同一个球面上，球心为O. （i）求与平面所成角的正弦值； （ii）设，N为PC的中点且H，A，O，N四点共面，求实数的值. 【解析】（1）证明：因为平面，平面，所以， 又，平面，平面，， 所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）（i）在四边形中，因为，，， 故； 又，，则，所以， 结合，则， 以A为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由（1）知平面，平面，故， 因为P，A，B，C在同一个球面上，且为直角，即可得PB的中点到的距离均相等， 故为外接球直径，则球心O为PB的中点， 则，，，，， 所以，，， 设平面PBC的一个法向量为， 则，即，令，得，，所以， 设与平面所成角为， 则. （ii）因为分别为的中点，所以， 所以，，由（i）知， ， H，A，O，N四点共面，存在实数a，b，使得， 即， ，解得. 【例题10】（2025·高三·云南昆明·月考）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，分别是上的点，且． (1)证明： (2)已知四点共面，求的长． 【解析】（1）证明：连接与，因为底面是正方形，所以， 又因为平面，且平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）以为坐标原点，以分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系， 如图所示，因为，所以， 又因为，则知分别是和上的三分点， 可得， 设，则， 设平面的法向量，则， 令，可得，所以， 因为平面，所以，即，解得， 所以的长为. 【解题总结】 要证明多点（如，，，）共面，可使用以下方法解题． 先作出从同一点出发的三个向量（如，，），然后证明存在两个实数，使得． 【变式11】（2025·广东茂名·二模）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为的中点，．    (1)证明：； (2)若为线段上一点，且四点共面，求三棱锥的体积． 【解析】（1）由题意知， 因为， 所以，又平面，又平面， 所以，又平面，且， 所以平面，又平面，所以. （2）因为平面，又平面， 所以，又，所以两两垂直， 如图以A为原点，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为 则， 不妨令，则所以 设，则， 因为四点共面，则，解得， 即，所以. 【变式12】如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，，，底面，分别为侧棱的中点，点在上且．求证：四点共面. 【解析】因为平面是菱形，所以， 由平面，平面，得， 所以两两垂直，建立如图空间直角坐标系， ， 则， 由知，点为靠近的三等分点，则， 所以， 设，则，解得， 则，所以共面， 又直线的公共点为，所以四点共面. 题型六：证明线线平行 【例题11】如图，在直三棱柱中，，，．是的中点，是与的交点． (1)求直三棱柱的体积； (2)若是的中点，证明：平面； 【解析】（1）. （2）由题意，以原点，所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如下图： 所以 ， 所以， 设平面的法向量，则， 令，则， 因为，所以， 且平面，则平面. 【例题12】（2025·高二·河南郑州·月考）如图，在平行六面体中，设向量，向量，向量，M，N分别是棱的中点．    (1)用向量表示向量、向量、向量； (2)证明． 【解析】（1）在平行六面体中， ， M，N分别是棱的中点， ， ， （2）证明：由（1）知， 又不共线， 所以． 【变式13】已知在正四棱柱中，，，E为的中点，F为的中点．求证： (1)且； (2)． 【解析】（1）在正四棱柱中，可以建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，． 由，，， 得，， 所以且． （2），由于，显然，故． 【解题总结】 将证线线平行转化为证两向量共线．设是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为，则． 【变式14】长方体中，，分别是面对角线，上的点，且，．求证：． 【解析】如图所示，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设，，，则得下列各点的坐标： ，，，，，. 由即，可得：， 由，即，可得：． ，，． 又与不共线，． 题型七：证明线面平行 【例题13】如图，在正方体中，，，，点M，N分别是，的中点．    (1)试用，，表示． (2)求证：平面． 【解析】（1） 因为，所以， 同理，， 所以； （2）证明：因为，所以，即， 因为平面，平面，所以平面． 【例题14】（2025·高二·上海·期中）如图，斜棱柱的所有棱长都等于2，，平面平面． (1)求证：． (2)求二面角的平面角的余弦值． (3)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【解析】（1）连接交于点，则，连接． 在中，，， 所以． 所以， 所以，由于平面平面， 所以底面． 以所在直线为轴、轴、轴建立如图2所示的空间直角坐标系， 则． 由于， 则， 所以． （2）由于平面，由（1）可知， 所以平面的法向量． 设平面，则 设，得到取， 所以． 所以二面角的平面角的余弦值是． （3）存在，点在的延长线上且使，使得平面. 解法1：假设在直线上存在点，使平面． 设，则， 得， 由（1）可知 设平面，则 设，得到 不妨取． 又因为平面， 所以，即，得， 即点在的延长线上且使． 解法2：连接，由题设知， 因为平面，平面，所以平面， 所以在平面找到过点有即为所求. 如图3． 假设在直线上存在点，使平面， 在的延长线上取点，使， 则，从而平面． 【解题总结】 （1）利用共面向量定理．设为平面内不共线的两个向量，证明存在两个实数，使得，则． （2）转化为证明直线和平面内的某一直线平行． （3）转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（此方法最常用）． 【变式15】如图，在斜三棱柱中，，四边形为矩形，是的中点，是与的交点．在线段上是否存在点，使得平面？ 【解析】因为，所以， 因为四边形为矩形，所以， 又平面,平面, 所以平面，又平面，所以， 因为，所以， 由余弦定理得， 即，所以，所以， 又因为平面,平面, 所以平面， 所以以为原点，建立如图空间直角坐标系， 则， 则，， 设， 所以，， 设平面的法向量为， 则即令，则， 要证平面，则，即，解得， 所以，所以． 故在线段上存在点，使得平面． 【变式16】（2025·高二·江苏镇江·月考）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 【解析】因为在上，且， 所以. 同理. 所以 ， 又与不共线，则共面， 又平面，得平面. 【变式17】如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 【解析】由已知，， 可知，则， 又矩形中有，且， 平面， 所以平面， 又， 则平面， 所以两两垂直， 故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则， 所以. 易知平面的一个法向量等于， 所以， 所以， 又平面， 所以平面. 题型八：证明面面平行 【例题15】在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点.证明平面平面，并求平面与平面的距离. 【解析】以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，. ,，, 设平面的法向量为， 由，得， 令，则，故. 设平面的法向量为， , 由，得， 令，则，故. 由于，所以平面平面. 平面与平面的距离为. 【例题16】如图，在长方体中，，，.求证：平面平面. 【解析】以D为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，， 所以平面的一个法向量为. 因为，即， 所以平面平面. 【解题总结】 （1）证明两平面内有两条相交直线分别平行． （2）转化为证两平面的法向量平行（常用此方法）． 题型九：证明线线垂直 【例题17】（2025·高二·河北石家庄·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点.    (1)求证：； (2)求线段的长. 【解析】（1） 因为直三棱柱中，平面, 平面,所以,且, 所以原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则, 所以, 则，所以. （2）因为,所以,则. 【例题18】（2025·高二·吉林·期中）如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，点是上一点，且． (1)建立适当的坐标系并求点的坐标； (2)求证：． 【解析】（1）因平面，底面是边长为1的正方形，则两两互相垂直， 故可以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 如图，易得，，，. 设，则， 由代入坐标，可得， 解得，故点的坐标为. （2）由（1）易得， 因，故. 【解题总结】 设直线的方向向量为，则． 这里要特别指出的是，用向量法证明两直线尤其是两异面直线垂直是非常有效的方法． 【变式18】如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且.求. 【解析】法一：平面，四边形为矩形， 故可以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、、， 则，， 因为，所以，解得， 故； 法二：如图，连接，因为底面，且底面， 所以，又因为，， 、平面，所以平面， 又平面，所以， 从而， 因为，所以， 所以，于是，所以，即， 所以，所以； 法三：如图，连接交于点N， 因为底面，且底面，所以， 又因为，， 、平面，所以平面， 又平面，所以， 在矩形中，有， 所以，即， 令，因为M为的中点， 则，，， 由， 得，解得， 所以. 【变式19】（2025·陕西西安·二模）如图，在直四棱柱中，的中点分别为.    (1)证明：. 【解析】（1）在直四棱柱中，因为，所以两两垂直， 又因为，所以， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系. 因为，所以， 则， 从而， 所以； 题型十：证明线面垂直 【例题19】（2025·高二·山东菏泽·开学考试）如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 【解析】（1）因为平面，，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，所以，. （2）依题意得， 所以， 则，即， 又因为，平面，所以平面. 【例题20】（2025·高三·江西上饶·月考）如图所示，在高为2的斜三棱柱中，设点在底面的射影为点，且四点构成边长为2的正方形.设分别为，的中点. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)证明：平面. 【解析】（1）以点为坐标原点，以为轴､轴正方向，过点且垂直于底面的直线向上的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，由四边形是正方形，且顶点在底面的射影是点，棱柱的高为2，得， 则， 故. 设直线与所成的角为， 则， 直线与所成角的余弦值为 （2）由，， 设平面的法向量为. 由，得， 由，得，取，得. 由于，因此向量与共线， 即平面， 【解题总结】 （1）证明直线和平面内的两天相交直线垂直． （2）证明直线和平面内的任一直线垂直． （3）转化为证明直线与平面的法向量共线． 【变式20】（2025·高二·吉林·期末）如图在边长是4的正方体中，，分别为AB，的中点.    (1)求异面直线EF与所成角的大小. (2)证明：平面. 【解析】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 得，，，，，， 所以，， ， 所以异面直线EF与所成角为； （2）设平面的法向量为， ，， 所以，所以，解得， 令，则，所以平面的法向量为， 因为，所以，所以， 所以平面. 题型十一：证明面面垂直 【例题21】如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面.求证： (1)； (2)平面平面. 【解析】（1）取的中点为，连接，因为， 所以，因为侧面底面， 因为侧面底面，平面， 所以底面，又因为四棱锥的底面是直角梯形， 所以以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 所以，， ， 所以. （2）， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则可以求得面的一个法向量； 设平面的法向量为， 则，令，则， 则可以求得面的一个法向量， 又因为， 所以，平面平面. 【例题22】（2025·高二·四川绵阳·月考）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 【解析】（1） 依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，． 由E为棱的中点，得． 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以向量为平面的一个法向量，而， 所以，又平面，所以平面． （2）设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得为平面的一个法向量． 设平面的法向量，又向量，， 则，即， 不妨令，可得为平面的一个法向量． 因为，所以． 所以平面平面． 【解题总结】 （1）转化为证明两平面的法向量互相垂直 （2）转化为证明一平面内的一条直线垂直于另一个平面． 【变式21】如图，四边形为正方形，平面，，.证明：平面平面 【解析】由题意易知两两互相垂直. 如图，以D为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系.设. 依题意有， 则， 所以， ， 即， 又，平面， 故平面.又平面， 所以平面平面. 【变式22】如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 【解析】如图，以C为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 因为， 所以， 所以平面平面． 题型十二：求异面直线所成角 【例题23】（2025·高三·黑龙江·月考）如图，在三棱锥中，底面，，，二面角的大小为，为的中点. (1)证明：平面； (2)若，求异面直线与所成角的余弦值. 【解析】（1）证法一：因为，，为的中点，所以， 因为底面，平面，所以， 又因为，、平面，所以平面. 证法二：因为，，为的中点，所以， 因为底面，平面，所以， 所以，， 所以， 又因为为的中点，所以. 又因为，、平面，所以平面. （2）解法一：因为，，所以即为二面角的平面角，所以， 因为，，，为的中点， 所以，所以，， 因为平面，平面，所以，所以. 因为底面，， 故以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 则，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 解法二：取的中点，连接和， 因为，，所以即为二面角的平面角，所以， 因为，，，为的中点， 所以，所以，， 因为平面，平面，所以，所以. 所以， 因为为的中点，为的中点，所以为的中位线， 所以，，所以为异面直线与所成的角. 因为平面，平面，所以， 由勾股定理得， 在中，由余弦定理可得 . 所以异面直线与所成角的余弦值为. 解法三：因为底面，， 故以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，，为的中点， 所以，所以， 所以. 设，则、、、，， 则，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，，所以. 易知平面的一个法向量为， 又二面角的大小为，所以，解得（负值舍去）. 所以，， 所以，所以异面直线与所成角的余弦值为. 【例题24】（2025·高三·四川巴中·月考）已知在长方体中，，点为的中点，点为的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 【解析】（1）如图，以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 由于，则， 故, 设平面的法向量为，则, 即，令，则， 则，即， 而平面，故平面； （2）由（1）知，故，而， 故， 则异面直线与所成的角的余弦值为. 【解题总结】 设两异面直线a和b的方向向量为和，利用求角余弦公式可求得和的夹角，由于两向量所成角的范围是，而两异面直线所成角的范围是．所以． 【变式23】（2025·青海·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，是的中点． (1)证明：平面平面． (2)证明：平面． (3)求直线与直线所成角的余弦值． 【解析】（1）证明：，即，． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，而平面，所以． 又因为，，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2）证明：取的中点，连接，，，． 则在中，．因为平面，平面， 所以平面． 在中，，，， 所以，即. 而，，则有，所以，， 所以是等边三角形，所以，即． 因为平面，平面，所以平面． 因为，平面，平面， 所以平面平面，而平面，所以平面． （3）连接，结合（1）（2）易得两两垂直， 以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，， 所以，． 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为． 【变式24】（2025·高三·河北沧州·月考）如图，在等腰梯形中，，，垂足为E，且，延长线段至点P，使得.将沿翻折至的位置，D到达的位置，使得. (1)证明：平面平面； (2)求直线与所成角的大小； (3)求三棱锥与三棱锥所围成的公共部分的外接球的表面积. 【解析】（1）由题意得，， 在中，因为， 所以，同理可得. 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以. 在中，因为，，所以，即. 又，平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）以E为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设直线与所成的角为， 则， 又，故直线与所成角为. （3）如图，设，则三棱锥即为所求的公共部分， 易知， 则是等腰直角三角形，即， 设的外接圆半径为，三棱锥的外接球半径为， 因为，所以，则， 由正弦定理得，故， 所以外接球的表面积. 题型十三：求线面角 【例题25】（2025·高三·重庆·月考）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，是的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面的夹角的正弦值. 【解析】（1）因为底面是正方形，则， 又底面，平面， 则，， 以为原点，分别以，，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 又是中点，故， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即 令，则，，所以， 所以，故， 又不在平面内，所以平面. （2）由（1）得，平面的一个法向量为. ，所以， 又，， 设直线与平面的夹角为， 所以. 所以直线与平面的夹角的正弦值为. 【例题26】（2025·四川成都·一模）如图，三棱柱中，侧面为菱形，．    (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）连接，交于O，连接，由侧面为菱形， 可得，O为与的中点． 又，而平面，所以平面， 而平面，故， 又垂直平分，故． （2）因为，且O为的中点，所以， 又因为，所以，故， 由菱形，故，故，故，从而两两垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，所以为等边三角形．又，所以， 则． 则，于是． 设是平面的法向量，则， 故，取，则，故． 设直线与平面所成角为． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【解题总结】 设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成角的大小，则． 【变式25】（2025·浙江·一模）如图所示，已知四棱锥平面平面，. (1)证明：平面平面； (2)设为的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）法一：取中点，连接. 因为且且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以. 因为所以，又因为，且，所以平面，⋯ 故平面，平面，所以平面平面. 法二：不妨设，以为原点，分别以为轴建系， 则， 所以， 设平面的法向量为 由，所以，令，则， 所以平面的一个法向量， 设平面的法向量， 由，，令，则， 所以平面的一个法向量， 因为，故平面平面. （2）法一：不妨设，以为原点，分别以为轴建系， 则，所以， ， 由，得平面的法向量， 设与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 法二：由，得， 设与平面所成的角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【变式26】（2025·高三·安徽合肥·月考）如图，四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面.    (1)证明：； (2)若点是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【解析】（1）取的中点，连接与交于点， 在底面矩形中，可得，， 即，则， 可得，所以， 因为平面， ，则平面， 且，所以， 因为，平面 可得平面，且平面， 所以. （2）以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则， 可得，，， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设，其中， 则， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 则， 整理可得，解得或（舍去），即. 【变式27】（2025·高三·吉林长春·期中）如图，在四棱锥中，平面，，E为棱的中点，平面与棱相交于点F，且，.    (1)求证：； (2)已知点M在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【解析】（1）因为平面，平面， 所以平面，又平面，平面平面， 所以，又， 所以. （2）由平面，平面，所以， 所以， 得，有，所以， 建立如图空间直角坐标系.   ， 则， 设，则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以，设直线与平面所成的角为， 则， 整理得，解得，即. 题型十四：求二面角 【例题27】（2025·高三·河北邯郸·月考）如图，在直三棱柱中，，为中点，，． (1)证明：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【解析】（1）因为，平面， 所以平面，又平面，所以， 又因为，，所以， 则，又，所以， 则，又，平面，所以平面， 又平面，所以． （2）以为坐标原点，分别以所在方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则有，即， 令，则，所以， 由（1）可知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 【例题28】（2025·河北保定·二模）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点.    (1)当为棱的中点时，证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】（1）取的中点，连接，， 因为为的中点，所以， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以 又平面平面，所以平面. （2）因为平面， 在平面内，所以， 即两两垂直， 故可以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则 因为，所以， 所以.   设平面的法向量为， 则，取，得，所以 因为平面，所以平面. 所以为平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【解题总结】 （1）在平面内，，在平面β内，（是交线的方向向量），其方向如图所示，则二面角的平面角的余弦值为． （2）设是二面角的两个半平面的法向量，其方向一个指向二面角内侧，另一个指向二面角的外侧，则二面角的余弦值为． 【变式28】（2025·高二·四川广安·期中）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. (1)取线段中点M，连接，证明：平面; (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点E，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）在四棱锥中，取中点N，连接， 由为 的中点，且，， 得，， 则四边形为平行四边形，所以， 而平面，不在平面内， 所以平面. （2）取 的中点O，连接， 由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面. 由，，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以O为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）令，， ，， 设平面的法向量为， 则， 取，得， 平面的法向量为， 于是， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点E，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 【变式29】（2025·高三·重庆·月考）如图，直角梯形，，，，为中点，将沿折起，使D到P处． (1)求证：平面； (2)若平面平面，，， （ⅰ）当时，求证：平面平面； （ⅱ）当二面角的正弦值为时，求的值． 【解析】（1）连接交于点，连接，由题意四边形是矩形，所以为中点， 又因为为中点，所以在中，有， 因为平面，平面，所以平面； （2）由，，得，则， 又平面平面，平面平面，平面， 面，面，则， 在矩形中，有， 以为原点，以方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示： 则有，，，，，， 所以，，， 由，． （ⅰ）当时，，， ，， ，， 又，平面，平面， 平面，平面，则平面平面． （ⅱ）取平面的法向量，设平面的法向量为， 则，令，则， 因为二面角的正弦值为，则余弦值为， ， 化简得：，解得或． 【变式30】（2025·高三·河南郑州·期中）如图在四棱锥中，平面平面，，是中点，是上一点． (1)当时，证明：平面； (2)平面与平面夹角的余弦值为，求的值． 【解析】（1）如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系， 则由题意得， ， 由，可得 证明：设平面的法向量为， 则，解得， 令，得. 因为， 所以 又平面，所以平面 （2）， 设，， 则 设平面的法向量为， 则， 取，则， 则， 化简得：， 解得， 所以. 题型十五：求距离问题 【例题29】（2025·高二·云南·期中）在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以点为原点,为轴建系，如图所示： 则，所以，, 所以的单位向量为， 所以点到直线的距离为， 故选：A. 【例题30】（2025·高二·天津·期末）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 则，， 设和的公垂线的方向向量， 则，即，令，则， ， . 故选：D. 【解题总结】 如图所示，平面的法向量为，点是平面内一点，点是平面外的任意一点，则点到平面的距离，就等于向量在法向量方向上的投影的绝对值，即或 【变式31】正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B 【变式32】（2025·高二·湖南邵阳·月考）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图建立空间直角坐标系，则，， 所以, 设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为 . 故选：D. 【变式33】（2025·广东佛山·一模）如图，四边形中，，，为中点，点在上，，.将四边形沿翻折至四边形.    (1)证明：平面平面； (2)若，求点到平面的距离. 【解析】（1）在四边形中，因为，， 所以四边形为平行四边形， 又因为，， 所以四边形为正方形，         折叠后，显然，， 又因为，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）法一：如图以为原点建立空间直角坐标系， 所以，，，，， 所以，，，     设平面的法向量， 则，令， 解得，，可得，     点到平面的距离为. 法二：如图，过点作，垂足为，连接， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，而平面，得到，            在中，，， 由余弦定理得，则. 即，         设点到平面的距离为， 由得， 又，，所以， 所以点到平面的距离为. 1．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知三棱锥中，，若分别为和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】由于对棱相等的三棱锥可如图构造在一个长方体中， 根据，可设， 则， 由图可知，则， 如图建系，可得， 所以 则， 即异面直线与所成角的余弦值为， 故选：C. 2．（2021·全国·模拟预测）如图，已知圆锥的轴截面是正三角形，是底面圆的直径，点在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，且，所以， 连接，则平面， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设圆的半径为，则、、、， ，， 设异面直线与所成的角为， 则：， 因此异面直线与所成角的余弦值为． 故选：A． 3．（2025·广东江门·模拟预测）如图，把边长为4的正方形纸片沿着对角线折成直二面角，分别为的中点，则点到直线的距离为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点，连接， 因为、均为等腰直角三角形，所以 , 由二面角是直二面角，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 如图，以为原点, 所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所 示的空间直角坐标系, 则 , 所以 , 所以 , 所以, , 设直线的单位方向向量为，则, 所以点 到直线的距离为 . 故选：B 4．（25-26高二上·天津滨海新·月考）如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则下列正确的个数为（    ）    ①当时，EP平面AB₁C ②当时，|PE|取得最小值，其值为 ③|PA|+|PC|的最小值为 ④当平面CEP时， A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 则，，，，，， ，，， 设点，因为， 所以，即， 解之可得，所以. 当时，， 所以，，, 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，， 所以. 因为， 所以不成立，所以与平面不平行.故①错误； 因为， 所以 ， 所以当时，取得最小值，且最小值为.故②正确； 因为 ， 所以当时，取得最小值，且最小值为.故③正确； 当平面时，点平面， 因为，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，，所以. 因为， 点平面，所以，所以.故④错误. 故选：C 5．（2025·广东广州·模拟预测）在三棱锥中，若，，则直线与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，以为原点，为轴，为轴，建立如下图所示空间直角坐标系， 则，设点， ， ， ，即， 同理，即 设，则， ， ，解得， 直线与平面夹角的正弦值等于点到平面的距离与的比值，即． 故选：B． 6．（25-26高二上·天津西青·月考）如图，点是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论不正确的（   ） A．当时，点一定在线段上 B．当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 C．当点在棱上运动时，的最小值为 D．线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为 【答案】C 【解析】对于A，若， 又因为平面，平面， 所以，又平面，可得平面， 所以，又因为是正方形，所以，所以点一定在线段上，故A正确； ， 对于C，如图，旋转平面，使之与平面共面， 连接交于，此时最短为，大小为，故C错误， 对于B，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 当为的中点时，则，，， 设三棱锥的外接球的球心为，则， 即，解得， ∴三棱锥的外接球半径， ∴三棱锥的外接球表面积为，则B正确； 设线段上存在点，设， 则可得，又，，， 则， 设异面直线与所成角为，若正切值为，则， 即，化简得， 解得，故线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为，故D正确. 故选：C. 7．（多选题）（2025·内蒙古赤峰·一模）如图，在三棱锥中，，，，分别是的中点，则（   ）    A． B．的长为 C．三棱锥外接球的半径为 D．异面直线所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】三棱锥中，，， 将三棱锥补形为长方体，如图所示： 则有，解得， 以为原点，的方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系： 点，分别是的中点， 则有，， 对于A，，所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，因为三棱锥的外接球的直径即为长方体的体对角线长， 所以，则三棱锥的外接球的半径为，故C不正确； 对于D，因为， 所以， 故异面直线，所成的角的余弦值是，故D正确. 故选：ABD． 8．（多选题）（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，，分别为线段，上的动点，则（   ）    A．异面直线与所成角的余弦值为 B．三棱锥体积的最小值为2 C．当平面时，线段的最小值为 D．存在点，，使得 【答案】AD 【解析】以为原点，，，所在直线分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，. 对于A，，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故A正确； 对于B，因为，的面积为定值， 所以当点到平面的距离最短时，三棱锥的体积最小， 显然当点与点重合时，点到平面的距离最短，则最短距离为， 所以三棱锥体积的最小值为，故B错误； 对于C，，， 设，，，， 则，，所以， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 若平面，则，即，则， 所以，， 所以， 当时，，故C错误； 对于D，，由C选项可知， 若，则， 即，则， 又，，存在满足的解，故D正确. 故选：AD. 9．（多选题）（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，点为线段上的一个动点，则下列结论正确的是（    ） A． B．三棱锥的体积是 C．的最小值为 D．直线与平面夹角正弦值的最大值为 【答案】ACD 【解析】以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设，，则， 则，故，故A正确； 因平面，则平面的一个法向量为， 则， 当时，有最小值，有最大值， 故直线与平面夹角正弦值的最大值为，故D正确； 因平面平面，平面，则平面， 所以，故B错误； 因平面，则展开使其与在同一平面，如图， 则的最小值为， 因为边长为等边三角形，是腰长为的等腰三角形， 则为的中点，则，故C正确. 故选：ACD． 10．（多选题）（2025·广东佛山·一模）在正三棱柱中，，为中点，点是线段上的动点，则（   ） A． B．有且仅有一个点，使得 C．有且仅有一个点，使得 D．有且仅有一个点，使得平面平面 【答案】AD 【解析】对于选项A： 因为正三棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面，又平面， 所以，所以A正确； 对于选项B： 如图建立空间直角坐标系，设，，则. 则，要使得， 那么，无解，所以不存在点使得，所以B错误； 对于选项C： ，要使得， 那么，所以，解得或， 所以存在两个点使得，所以C错误； 对于选项D： ，所以， 设平面的法向量为，则. 得到，令，则，所以. ， 设平面的法向量为，则. 得到，令，则，所以， 要使得两平面平行，则，解得， 所以有且仅有一个点使得平面平面，所以D正确. 故选：AD. 11．（2025·湖北武汉·三模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角为 . 【答案】/ 【解析】不妨设三棱柱的各条棱长均为2， 因为， 所以，， 因为， 所以， 即， 且， 所以， 又异面直线夹角的取值范围为， 所以异面直线与所成角为． 故答案为：． 12．（2025·湖南·模拟预测）如图，圆锥的顶点为S，点A，B，C，D在底面圆O的圆周上，且，的交点为圆心O，，，，则平面与平面夹角的余弦值为 ；若P是母线上一点，且，Q是平面内一点，则周长的最小值为 . 【答案】 【解析】由圆心O为的交点，得， 所以四边形为矩形. 又，，所以，故矩形为正方形. 由，得， 又，所以为等腰直角三角形，故. 如图，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以. 设平面的法向量为，则， 取，则，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则， 取，则，所以平面的一个法向量为， 所以，即平面与平面夹角的余弦值为. 由四边形为正方形得. 因为，，平面，所以平面，且点A与点C关于平面对称. 如图，连接AQ，AP，则，当且仅当三点共线时取等号. 在中，由余弦定理得， 所以，故周长的最小值为. 故答案为：；. 13．（25-26高二上·河北保定·期中）在正方体中，为线段的中点，为侧面上的动点.若，且，则点的轨迹长度为 . 【答案】6 【解析】 以为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， 设， 则，， ，， 即，， 当时，，此时为棱的中点； 当时，，此时为棱的中点， 设棱的中点为，棱的中点为，连接MN，则点的轨迹是线段MN， ，点的轨迹长度为6. 故答案为：. 14．（2025·四川成都·模拟预测）如图①所示，矩形中，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，得到图②的四棱锥为中点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的大小； (3)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 【解析】（1）取中点，连接，由N为PB中点，得， 依题意，，则， 于是四边形是平行四边形，，而平面，平面， 所以平面. （2）取中点，连接，由，得， 而平面平面，平面平面平面， 则平面， 过作，则平面，又平面， 于是， 在矩形中，，，则， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，令，得， 设直线BC与平面所成的角为，则， 所以直线BC与平面所成角的大小为. （3）连接，由，得，而， 则为的平面角，即， 过点作平面，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 显然平面，平面，则平面平面， 在平面内过作于点，则平面， 设，而，则，，， 即，， 所以， 于是，， 设平面PAM的法向量为， 则， 令，得， 设平面的法向量为， 因为，， 则， 令，得， 设平面和平面的夹角为， 则 令，，则，即， 则当时，有最小值， 所以平面和平面的夹角余弦值的最小值为． 15．（2025·江西宜春·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形为菱形，平面为棱上一点，且. (1)证明：平面平面； (2)设直线与平面交于点，证明：； (3)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【解析】（1）因为平面平面，所以， 因为四边形为菱形，所以， 又平面，且，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）因为四边形为菱形，所以， 又平面平面，所以平面， 又平面，且平面平面， 所以. （3） 设，以为原点，直线分别为轴，轴，过垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，. 设平面的法向量， 则，即， 令，解得，所以面的一个法向量为. 设平面的法向量， 则，即， 令，解得，所以平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 则. 16．（2025·广东·模拟预测）如图，在圆柱中，分别为上､下底面直径，连接，作于点，，记实数.    (1)若，求； (2)记平面与圆所在平面的夹角为，若，求. 【解析】（1）因为，所以， 记在下底面的投影为，则，平面，又平面， . 因此， 又因为在圆上，故有，故， 则. （2）以为原点，所在直线分别为轴，过点且垂直平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 易知，当时，此时平面与圆所在平面的夹角，，不符题意. 因此，由对称性，不妨设，则， 故， 设平面的法向量，则，得， 令，则，因此可取. 易知圆所在平面的一个法向量为， 则， 解得，即. 设，易知， 则，又， 则.          ①当时，， 由可得，即，解得， 又，解得； ②当时，， 由可得，即，解得， 又，解得. 综上所述，或. 17．（2025·辽宁沈阳·三模）如图，在四棱锥中，为的中点，，点在线段上    (1)证明：平面； (2)已知四点均在球的球面上．若直线与平面所成角的正弦值为，求． 【解析】（1）在四棱锥中，连接， 由，，得， 由为的中点，得， 则，所以，即， 又，平面， 所以平面. （2）连接，由（1）知平面， 又平面，则， 又，平面， 则平面，又平面，则， 令中点为，由（1）知， 因此， 即点是三棱锥外接球球心，连接， 以为坐标原点，向量的方向分别为轴正方向， 建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 设平面的一个法向量， 则，取，得， 设直线与平面所成角为， 则， 整理得，而，解得， 所以. 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.5 空间向量及其应用 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 知识点一：空间向量及其加减运算 3 知识点二：空间向量的数乘运算 3 知识点三：空间向量的数量积运算 4 知识点四：空间向量的坐标运算及应用 5 知识点五：法向量的求解与简单应用 6 知识点六：空间角公式． 7 知识点七：空间中的距离 7 03 探究核心题型 9 题型一：空间向量的线性运算 9 题型二：共线定理的应用 11 题型三：数量积运算 11 题型四：证明三点共线 13 题型五：证明共面的方法 14 题型六：证明线线平行 16 题型七：证明线面平行 18 题型八：证明面面平行 20 题型九：证明线线垂直 20 题型十：证明线面垂直 22 题型十一：证明面面垂直 24 题型十二：求异面直线所成角 25 题型十三：求线面角 27 题型十四：求二面角 29 题型十五：求距离问题 32 04 课时精练 34 1、能用向量法解决异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用. 2、弄清折叠问题中的变量与不变量，掌握折叠问题中线面位置关系的判断和空间角的计算问题. 知识点一：空间向量及其加减运算 （1）空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或． （2）零向量与单位向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记作．当有向线段的起点与终点重合时，． 模为1的向量称为单位向量． （3）相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量． 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为． （4）空间向量的加法和减法运算 ①，．如图所示． ②空间向量的加法运算满足交换律及结合律 ， 知识点二：空间向量的数乘运算 （1）数乘运算 实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时，与向量方向相同；当时，向量与向量方向相反．的长度是的长度的倍． （2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 ，． （3）共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作． （4）共线向量定理 对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使． （5）直线的方向向量 如图8-153所示，为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为② ①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式． （6）共面向量 如图8-154所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量． （7）共面向量定理 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． 推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式． ②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立． 知识点三：空间向量的数量积运算 （1）两向量夹角 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作． （2）数量积定义 已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，． （3）空间向量的数量积满足的运算律： ，（交换律）； （分配律）． 知识点四：空间向量的坐标运算及应用 （1）设，，则； ； ； ； ； ． （2）设，，则． 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标． （3）两个向量的夹角及两点间的距离公式． ①已知，，则； ； ； ； ②已知，，则， 或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式． （4）向量在向量上的投影为． 知识点五：法向量的求解与简单应用 （1）平面的法向量： 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量． 几点注意： ①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有． 第一步：写出平面内两个不平行的向； 第二步：那么平面法向量，满足． （2）判定直线、平面间的位置关系 ①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，． 若∥，即，则； 若，即，则． ②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且． 若∥，即，则； 若，即，则． （3）平面与平面的位置关系 平面的法向量为，平面的法向量为． 若∥，即，则；若⊥，即，则⊥． 知识点六：空间角公式． （1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则． （2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则． （3）二面角公式： 设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中． 知识点七：空间中的距离 求解空间中的距离 （1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算． 如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． （2）点到平面的距离 为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线． 题型一：空间向量的线性运算 【例题1】（2025·高三·云南昆明·期中）在平行六面体中，为与的交点，若，则下列向量中与相等的向量是（    ）    A． B． C． D． 【例题2】空间四边形中，，，，且，，则（　　） A． B． C． D． 【解题总结】 空间向量的运算包括空间向量的加法、减法、数乘、数量积的几何意义及坐标运算，可以类比平面向量的运算法则． 【变式1】已知在四面体中，，为的中点，若.则（　　） A． B． C． D．3 【变式2】如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·高二·陕西宝鸡·期中）如图，在四面体中，，点在上，且，为中点，则等于（  ）    A． B． C． D． 题型二：共线定理的应用 【例题3】（2025·高三·河北·开学考试）已知空间向量与共线，则（    ） A．-1 B． C． D．1 【例题4】（2025·高二·广东广州·期中）已知为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为和，若，则（    ） A．5 B． C．3 D． 【解题总结】 空间共线向量定理：． 利用此定理可解决立体几何中的平行问题． 【变式4】（2025·高二·福建龙岩·期中）设向量不共面，已知，若三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5】已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（       ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 题型三：数量积运算 【例题5】（2025·高二·北京·期中）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A． B．8 C．-4 D．4 【例题6】（2025·高二·江西南昌·月考）已知点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题总结】 ； 求模长时，可根据； 求空间向量夹角时，可先求其余弦值．要判断空间两向量垂直时，可以求两向量的数量积是否为0，即． 为锐角；为钝角．由此，通常通过计算的值来判断两向量夹角是锐角还是钝角． 【变式6】（2025·高二·福建泉州·月考）如图，在平行六面体中，,且，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【变式7】（2025·高二·河南新乡·月考）《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，，，，，则（    ） A． B．4 C． D． 【变式8】（2025·高二·安徽安庆·月考）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则的长度为（    ）．    A． B． C． D． 题型四：证明三点共线 【例题7】（2025·高三·河北秦皇岛·期中）如图，在四棱锥中，，，，为的中点，，． (1)证明：平面； (2)已知，，，四点均在球的球面上，证明：，，三点共线． 【例题8】如图，在棱长均相等的平行六面体中，用空间向量证明下列结论．若是棱的中点，是上靠近点的三等分点，求证：三点共线． 【解题总结】 先构造共起点的向量，，然后证明存在非零实数，使得． 【变式9】在正方体中，G为的重心，证明：三点共线. 【变式10】如图，在平行六面体中，点在对角线上，且，点在对角线上，且．求证：、、三点共线．    题型五：证明共面的方法 【例题9】（2025·高三·安徽·开学考试）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，. (1)证明：平面平面； (2)若，，，，P，A，B，C在同一个球面上，球心为O. （i）求与平面所成角的正弦值； （ii）设，N为PC的中点且H，A，O，N四点共面，求实数的值. 【例题10】（2025·高三·云南昆明·月考）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，分别是上的点，且． (1)证明： (2)已知四点共面，求的长． 【解题总结】 要证明多点（如，，，）共面，可使用以下方法解题． 先作出从同一点出发的三个向量（如，，），然后证明存在两个实数，使得． 【变式11】（2025·广东茂名·二模）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为的中点，．    (1)证明：； (2)若为线段上一点，且四点共面，求三棱锥的体积． 【变式12】如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，，，底面，分别为侧棱的中点，点在上且．求证：四点共面. 题型六：证明线线平行 【例题11】如图，在直三棱柱中，，，．是的中点，是与的交点． (1)求直三棱柱的体积； (2)若是的中点，证明：平面； 【例题12】（2025·高二·河南郑州·月考）如图，在平行六面体中，设向量，向量，向量，M，N分别是棱的中点．    (1)用向量表示向量、向量、向量； (2)证明． 【变式13】已知在正四棱柱中，，，E为的中点，F为的中点．求证： (1)且； (2)． 【解题总结】 将证线线平行转化为证两向量共线．设是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为，则． 【变式14】长方体中，，分别是面对角线，上的点，且，．求证：． 题型七：证明线面平行 【例题13】如图，在正方体中，，，，点M，N分别是，的中点．    (1)试用，，表示． (2)求证：平面． 【例题14】（2025·高二·上海·期中）如图，斜棱柱的所有棱长都等于2，，平面平面． (1)求证：． (2)求二面角的平面角的余弦值． (3)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【解题总结】 （1）利用共面向量定理．设为平面内不共线的两个向量，证明存在两个实数，使得，则． （2）转化为证明直线和平面内的某一直线平行． （3）转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（此方法最常用）． 【变式15】如图，在斜三棱柱中，，四边形为矩形，是的中点，是与的交点．在线段上是否存在点，使得平面？ 【变式16】（2025·高二·江苏镇江·月考）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 【变式17】如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 题型八：证明面面平行 【例题15】在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点.证明平面平面，并求平面与平面的距离. 【例题16】如图，在长方体中，，，.求证：平面平面. 【解题总结】 （1）证明两平面内有两条相交直线分别平行． （2）转化为证两平面的法向量平行（常用此方法）． 题型九：证明线线垂直 【例题17】（2025·高二·河北石家庄·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点.    (1)求证：； (2)求线段的长. 【例题18】（2025·高二·吉林·期中）如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，点是上一点，且． (1)建立适当的坐标系并求点的坐标； (2)求证：． 【解题总结】 设直线的方向向量为，则． 这里要特别指出的是，用向量法证明两直线尤其是两异面直线垂直是非常有效的方法． 【变式18】如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且.求. 【变式19】（2025·陕西西安·二模）如图，在直四棱柱中，的中点分别为.    (1)证明：. 题型十：证明线面垂直 【例题19】（2025·高二·山东菏泽·开学考试）如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 【例题20】（2025·高三·江西上饶·月考）如图所示，在高为2的斜三棱柱中，设点在底面的射影为点，且四点构成边长为2的正方形.设分别为，的中点. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)证明：平面. 【解题总结】 （1）证明直线和平面内的两天相交直线垂直． （2）证明直线和平面内的任一直线垂直． （3）转化为证明直线与平面的法向量共线． 【变式20】（2025·高二·吉林·期末）如图在边长是4的正方体中，，分别为AB，的中点.    (1)求异面直线EF与所成角的大小. (2)证明：平面. 题型十一：证明面面垂直 【例题21】如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面.求证： (1)； (2)平面平面. 【例题22】（2025·高二·四川绵阳·月考）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 【解题总结】 （1）转化为证明两平面的法向量互相垂直 （2）转化为证明一平面内的一条直线垂直于另一个平面． 【变式21】如图，四边形为正方形，平面，，.证明：平面平面 【变式22】如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 题型十二：求异面直线所成角 【例题23】（2025·高三·黑龙江·月考）如图，在三棱锥中，底面，，，二面角的大小为，为的中点. (1)证明：平面； (2)若，求异面直线与所成角的余弦值. 【例题24】（2025·高三·四川巴中·月考）已知在长方体中，，点为的中点，点为的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 【解题总结】 设两异面直线a和b的方向向量为和，利用求角余弦公式可求得和的夹角，由于两向量所成角的范围是，而两异面直线所成角的范围是．所以． 【变式23】（2025·青海·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，是的中点． (1)证明：平面平面． (2)证明：平面． (3)求直线与直线所成角的余弦值． 【变式24】（2025·高三·河北沧州·月考）如图，在等腰梯形中，，，垂足为E，且，延长线段至点P，使得.将沿翻折至的位置，D到达的位置，使得. (1)证明：平面平面； (2)求直线与所成角的大小； (3)求三棱锥与三棱锥所围成的公共部分的外接球的表面积. 题型十三：求线面角 【例题25】（2025·高三·重庆·月考）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，是的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面的夹角的正弦值. 【例题26】（2025·四川成都·一模）如图，三棱柱中，侧面为菱形，．    (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【解题总结】 设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成角的大小，则． 【变式25】（2025·浙江·一模）如图所示，已知四棱锥平面平面，. (1)证明：平面平面； (2)设为的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 【变式26】（2025·高三·安徽合肥·月考）如图，四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面.    (1)证明：； (2)若点是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【变式27】（2025·高三·吉林长春·期中）如图，在四棱锥中，平面，，E为棱的中点，平面与棱相交于点F，且，.    (1)求证：； (2)已知点M在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 题型十四：求二面角 【例题27】（2025·高三·河北邯郸·月考）如图，在直三棱柱中，，为中点，，． (1)证明：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【例题28】（2025·河北保定·二模）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点.    (1)当为棱的中点时，证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【解题总结】 （1）在平面内，，在平面β内，（是交线的方向向量），其方向如图所示，则二面角的平面角的余弦值为． （2）设是二面角的两个半平面的法向量，其方向一个指向二面角内侧，另一个指向二面角的外侧，则二面角的余弦值为． 【变式28】（2025·高二·四川广安·期中）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. (1)取线段中点M，连接，证明：平面; (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点E，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式29】（2025·高三·重庆·月考）如图，直角梯形，，，，为中点，将沿折起，使D到P处． (1)求证：平面； (2)若平面平面，，， （ⅰ）当时，求证：平面平面； （ⅱ）当二面角的正弦值为时，求的值． 【变式30】（2025·高三·河南郑州·期中）如图在四棱锥中，平面平面，，是中点，是上一点． (1)当时，证明：平面； (2)平面与平面夹角的余弦值为，求的值． 题型十五：求距离问题 【例题29】（2025·高二·云南·期中）在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【例题30】（2025·高二·天津·期末）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【解题总结】 如图所示，平面的法向量为，点是平面内一点，点是平面外的任意一点，则点到平面的距离，就等于向量在法向量方向上的投影的绝对值，即或 【变式31】正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式32】（2025·高二·湖南邵阳·月考）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【变式33】（2025·广东佛山·一模）如图，四边形中，，，为中点，点在上，，.将四边形沿翻折至四边形.    (1)证明：平面平面； (2)若，求点到平面的距离. 1．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知三棱锥中，，若分别为和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A．3 B． C． D． 2．（2021·全国·模拟预测）如图，已知圆锥的轴截面是正三角形，是底面圆的直径，点在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 3．（2025·广东江门·模拟预测）如图，把边长为4的正方形纸片沿着对角线折成直二面角，分别为的中点，则点到直线的距离为（    ） A．2 B． C． D． 4．（25-26高二上·天津滨海新·月考）如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则下列正确的个数为（    ）    ①当时，EP平面AB₁C ②当时，|PE|取得最小值，其值为 ③|PA|+|PC|的最小值为 ④当平面CEP时， A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2025·广东广州·模拟预测）在三棱锥中，若，，则直线与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·天津西青·月考）如图，点是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论不正确的（   ） A．当时，点一定在线段上 B．当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 C．当点在棱上运动时，的最小值为 D．线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为 7．（多选题）（2025·内蒙古赤峰·一模）如图，在三棱锥中，，，，分别是的中点，则（   ）    A． B．的长为 C．三棱锥外接球的半径为 D．异面直线所成角的余弦值为 8．（多选题）（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，，分别为线段，上的动点，则（   ）    A．异面直线与所成角的余弦值为 B．三棱锥体积的最小值为2 C．当平面时，线段的最小值为 D．存在点，，使得 9．（多选题）（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，点为线段上的一个动点，则下列结论正确的是（    ） A． B．三棱锥的体积是 C．的最小值为 D．直线与平面夹角正弦值的最大值为 10．（多选题）（2025·广东佛山·一模）在正三棱柱中，，为中点，点是线段上的动点，则（   ） A． B．有且仅有一个点，使得 C．有且仅有一个点，使得 D．有且仅有一个点，使得平面平面 11．（2025·湖北武汉·三模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角为 . 12．（2025·湖南·模拟预测）如图，圆锥的顶点为S，点A，B，C，D在底面圆O的圆周上，且，的交点为圆心O，，，，则平面与平面夹角的余弦值为 ；若P是母线上一点，且，Q是平面内一点，则周长的最小值为 . 13．（25-26高二上·河北保定·期中）在正方体中，为线段的中点，为侧面上的动点.若，且，则点的轨迹长度为 . 14．（2025·四川成都·模拟预测）如图①所示，矩形中，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，得到图②的四棱锥为中点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的大小； (3)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 15．（2025·江西宜春·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形为菱形，平面为棱上一点，且. (1)证明：平面平面； (2)设直线与平面交于点，证明：； (3)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 16．（2025·广东·模拟预测）如图，在圆柱中，分别为上､下底面直径，连接，作于点，，记实数.    (1)若，求； (2)记平面与圆所在平面的夹角为，若，求. 17．（2025·辽宁沈阳·三模）如图，在四棱锥中，为的中点，，点在线段上    (1)证明：平面； (2)已知四点均在球的球面上．若直线与平面所成角的正弦值为，求． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $