8.1 直线的方程（2大考点+9大题型）（讲义）-2026年新高考数学大一轮复习讲义之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

8.1 直线的方程 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 知识点一：直线的倾斜角和斜率 3 知识点二：直线的方程 4 03 探究核心题型 5 题型一：倾斜角与斜率的计算问题 5 题型二：三点共线问题 6 题型三：直线与线段相交问题 6 题型四：求直线的方程 7 题型五：与坐标轴围成的三角形问题 8 题型六：夹角问题 8 题型七：过定点问题 9 题型八：求直线的轨迹方程 9 题型九：中点公式的应用 10 04 课时精练 12 1、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 2、根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式). 知识点一：直线的倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角 若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示 （1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为 （2）倾斜角的取值范围 2、直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）越大，直线越陡峭 （5）倾斜角与斜率的关系 当时，直线平行于轴或与轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小； 3、过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点，，则 （1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关． （2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 4、三点共线． 两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在． 知识点二：直线的方程 1、直线的截距 若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距 （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关） （2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线 2、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于轴的直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 3、求曲线（或直线）方程的方法： 在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种： （1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率 （2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） 4、线段中点坐标公式 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式． 5、两直线的夹角公式 若直线与直线的夹角为，则. 题型一：倾斜角与斜率的计算问题 【例题1】（2025·高三·河北衡水·期中）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【例题2】直线经过两点，，将绕其与轴的交点逆时针旋转得到直线，则的斜率为（   ） A． B．3 C．-3 D． 【方法技巧与总结】 正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当时，直线的斜率不存在，倾斜角为，求斜率可用，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割．牢记“斜率变化分两段，是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．这可通过画正切函数在上的图像来认识． 【变式1】已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列命题： ①任何一条直线都有唯一的倾斜角： ②任何一条直线都有唯一的斜率： ③倾斜角为90°的直线不存在： ④倾斜角为0°的直线只有一条． 其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【变式3】（2025·高三·江苏镇江·月考）在平面直角坐标系中，若角的终边位于直线，则（    ） A．-1 B． C． D． 题型二：三点共线问题 【例题3】若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【例题4】（2025·高三·北京·期末）已知、、三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 斜率是反映直线相对于轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因． 【变式4】已知三点，则“三点共线”是“或”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5】若三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【变式6】若，，三点共线，则实数a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型三：直线与线段相交问题 【例题5】已知点，若直线与线段AB相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题6】设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 一般地，若已知，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边． 【变式7】（2025·高三·贵州铜仁·月考）过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有交点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式8】已知点，，若直线与线段AB相交，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式9】已知点，过的直线（不垂直于轴）与线段相交，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型四：求直线的方程 【例题7】（2025·上海奉贤·一模）已知向量，则经过点且与垂直的直线方程为 ． 【例题8】（2025·高三·河北邢台·期中）已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的一般式方程为 ． 【方法技巧与总结】 要重点掌握直线方程的特征值（主要指斜率、截距）等问题；熟练地掌握和应用直线方程的几种形式，尤其是点斜式、斜截式和一般式． 【变式10】已知△ABC的三个顶点，，，则经过两边和的中点的直线方程为 ． 【变式11】（2025·湖南长沙·三模）过点，且在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线共有 条． 【变式12】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）若直线的截距之和为2，且，则的最小值为 . 题型五：与坐标轴围成的三角形问题 【例题9】已知直线l过点，且分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，则面积最小值为 ． 【例题10】（2025·高三·陕西延安·期中）已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为 . 【方法技巧与总结】 （1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说． （2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏． 【变式13】已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，直线l的方程为 . 【变式14】已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积不大于1，则实数的取值范围是 . 【变式15】若经过点的直线在，轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为 . 题型六：夹角问题 【例题11】若两直线的方程分别为，，则与的夹角为 ． 【例题12】直线与的夹角正切值为 . 【方法技巧与总结】 若直线与直线的夹角为，则. 【变式16】（2025·高三·天津静海·月考）已知的顶点，高所在直线方程为，角的平分线所在直线方程为．求：点的坐标 ；边所在直线方程 ． 【变式17】若直线过点且与直线，的夹角相等，则直线的方程是 ． 【变式18】已知两条直线的方程分别是；，；，则两条直线的夹角 ． 题型七：过定点问题 【例题13】（2025·高三·上海浦东新·期中）已知实数，，成等差数列（，不同时为0），则点到直线的最大距离是 . 【例题14】直线过定点 ，倾斜角的最小值是 . 【方法技巧与总结】 合并参数 【变式19】已知实数，，成等差数列，则点到直线的最大距离是 ． 【变式20】已知圆O：分别与直线：和：交于点A，B和C，D，设，的中点分别为P，Q，则面积的最大值为 ． 【变式21】（2025·江苏南京·二模）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点到直线的距离为，则的取值范围为 . 题型八：求直线的轨迹方程 【例题15】记直线与直线的交点的轨迹为，则使得直线与恰有一个交点的的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例题16】（2025·高三·陕西西安·月考）已知向量，，且.若点的轨迹过定点，则这个定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 （1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率 （2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） 【变式22】在平面直角坐标系xOy中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹为菱形 B．到原点的距离最小值为1 C．点的轨迹不与坐标轴相交 D．点的轨迹所围成的图形面积为4 【变式23】已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式24】古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：已知平面内两个定点A，B及动点P，若（且），则点P的轨迹是圆．后来人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，也叫阿氏圆．在平面直角坐标系中，，，直线，直线，P为，的交点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型九：中点公式的应用 【例题17】已知，，，是的中点，则 ． 【例题18】已知中，，，线段，的中点分别在，轴上，则边上的中线所在的直线的方程为 .（结果用一般式表示） 【方法技巧与总结】 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则 【变式25】设，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，中点为，则的值为 . 【变式26】设，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，中点为，则的值为 . 【变式27】设为不同的两点，直线，记，当 时，直线经过的中点． 1．若点在圆上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）下列结论正确的是（   ） A．过点，的直线的倾斜角为 B．若直线与直线垂直，则 C．直线与直线之间的距离是 D．已知，，点在轴上，则的最小值是5 3．（多选题）已知直线过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程可能为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·高三·上海宝山·期末）已知第一象限的点和经过直线，若直线的倾斜角为，则的最小值为 ． 5．（2025·高三·云南曲靖·月考）若实数x，y满足，则的取值范围是 . 6．一束光线从点射出，沿倾斜角150°的直线射到x轴上，经x轴反射后，反射线所在的直线方程为 ． 7．已知直线垂直于直线，且过点，则直线在轴上的截距为 . 8．过点作直线，使得直线和连接点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 9．已知直线，，直线与、分别交于B、C两点，若点在线段BC上，且，则的方程为 ． 10．已知直线均过点． (1)若直线过点，且，求直线的方程（写成斜截式）； (2)若直线在轴和轴上的截距互为相反数，求直线的方程（写成斜截式）； (3)若直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程（写成斜截式）． 11．已知的顶点坐标为． (1)求过点且与直线平行的直线的方程（写成一般式）； (2)求边上的中垂线所在直线的方程（写成一般式）． 12．设直线的方程为. (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (2)若直线与轴、轴分别交于点，，且，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程. 13．已知直线：恒过点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)当点到直线的距离最大时，求直线的方程； 14．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点是. (1)若直线过点，且点到直线的距离相等，求直线的方程； (2)若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，求证：当取得最小值直线平分的面积. 15．已知直线与直线的交点为. (1)直线经过，且与直线垂直，求直线的一般式方程； (2)直线经过，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 16．已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 17．已知直线，直线和． (1)求证：直线恒过定点； (2)设（1）中的定点为与的交点分别为，若恰为的中点，求． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1 直线的方程 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 知识点一：直线的倾斜角和斜率 3 知识点二：直线的方程 4 03 探究核心题型 5 题型一：倾斜角与斜率的计算问题 5 题型二：三点共线问题 7 题型三：直线与线段相交问题 8 题型四：求直线的方程 11 题型五：与坐标轴围成的三角形问题 13 题型六：夹角问题 15 题型七：过定点问题 17 题型八：求直线的轨迹方程 21 题型九：中点公式的应用 25 04 课时精练 28 1、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 2、根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式). 知识点一：直线的倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角 若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示 （1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为 （2）倾斜角的取值范围 2、直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）越大，直线越陡峭 （5）倾斜角与斜率的关系 当时，直线平行于轴或与轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小； 3、过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点，，则 （1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关． （2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 4、三点共线． 两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在． 知识点二：直线的方程 1、直线的截距 若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距 （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关） （2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线 2、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于轴的直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 3、求曲线（或直线）方程的方法： 在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种： （1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率 （2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） 4、线段中点坐标公式 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式． 5、两直线的夹角公式 若直线与直线的夹角为，则. 题型一：倾斜角与斜率的计算问题 【例题1】（2025·高三·河北衡水·期中）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设该直线的倾斜角为， 由可得， 所以直线的斜率， 由，故． 故选：A 【例题2】直线经过两点，，将绕其与轴的交点逆时针旋转得到直线，则的斜率为（   ） A． B．3 C．-3 D． 【答案】C 【解析】直线的斜率，逆时针旋转后，则直线的倾斜角为， 直线的斜率. 故选：C. 【方法技巧与总结】 正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当时，直线的斜率不存在，倾斜角为，求斜率可用，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割．牢记“斜率变化分两段，是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．这可通过画正切函数在上的图像来认识． 【变式1】已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线的倾斜角为， 由直线方程为， 所以直线的斜率为，即， 又，所以， 故选：A. 【变式2】下列命题： ①任何一条直线都有唯一的倾斜角： ②任何一条直线都有唯一的斜率： ③倾斜角为90°的直线不存在： ④倾斜角为0°的直线只有一条． 其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】B 【解析】命题①，任何直线都有唯一的倾斜角（范围），故①正确； 命题②，当直线倾斜角为时，斜率不存在，故②错误； 命题③，倾斜角为的直线（垂直于轴的直线）存在，故③错误； 命题④，倾斜角为的直线有无数条（与轴平行或重合的直线），故④错误. 综上，正确的命题有1个. 故选：B 【变式3】（2025·高三·江苏镇江·月考）在平面直角坐标系中，若角的终边位于直线，则（    ） A．-1 B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线倾斜角为， 由直线方程可得：， 又角的终边位于直线， 由两角的终边相同可知：. 故选：C 题型二：三点共线问题 【例题3】若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于、、三点共线，则， 即，解得. 故选：A. 【例题4】（2025·高三·北京·期末）已知、、三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用可得出关于的等式，由此可求得实数的值.由于、、三点共线，则，即，解得. 故选：C. 【方法技巧与总结】 斜率是反映直线相对于轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因． 【变式4】已知三点，则“三点共线”是“或”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当时，三点均在直线上； 当时，，而直线的斜率不存在，显然三点不在一条直线上； 当时，若三点共线，则，即，解得或． 综上，若三点共线，则或或， 故“三点共线”是“－4或”的必要不充分条件． 故选：C. 【变式5】若三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线的斜率，直线方程为，即， 由点共线，得在直线上，所以. 故选：A 【变式6】若，，三点共线，则实数a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】由三点共线得，即，解得． 故选：A. 题型三：直线与线段相交问题 【例题5】已知点，若直线与线段AB相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，恒过点且斜率为，如下图示， 所以，， 由图知，要使直线与线段有交点，则或，故或. 故选：C 【例题6】设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知，. 令，且. 则可以看作是线段上（含端点）的点与点连线的斜率. 如图，记，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则直线的倾斜角的范围是. 所以，或. 所以的取值范围是. 故选：A. 【方法技巧与总结】 一般地，若已知，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边． 【变式7】（2025·高三·贵州铜仁·月考）过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有交点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题得，， 因为直线与连接，两点的线段总有交点， 结合图象可知，. 故选：A. 【变式8】已知点，，若直线与线段AB相交，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线过定点， 而，， 由图可知，要使直线与线段AB相交， 则或，即k的取值范围是. 故选：B. 【变式9】已知点，过的直线（不垂直于轴）与线段相交，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】点，过的直线（不垂直于轴）与线段相交， 如图， ， 且过的直线（不垂直于轴）与线段相交， 直线需绕点逆时针旋转至倾斜角为（不含），此时斜率范围为， 直线需绕点顺时针旋转至倾斜角为（不含），此时斜率范围为． 综上所述，直线斜率的取值范围是． 故选：C. 题型四：求直线的方程 【例题7】（2025·上海奉贤·一模）已知向量，则经过点且与垂直的直线方程为 ． 【答案】 【解析】因为向量，则与垂直的直线方程斜率为， 则经过点且与垂直的直线方程为， 即得 故答案为： 【例题8】（2025·高三·河北邢台·期中）已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的一般式方程为 ． 【答案】 【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率． 因为直线过点，所以直线的点斜式方程为， 化为一般式，得． 故答案为： 【方法技巧与总结】 要重点掌握直线方程的特征值（主要指斜率、截距）等问题；熟练地掌握和应用直线方程的几种形式，尤其是点斜式、斜截式和一般式． 【变式10】已知△ABC的三个顶点，，，则经过两边和的中点的直线方程为 ． 【答案】 【解析】由题意，中点，中点， 则， 直线：， 即. 故答案为：. 【变式11】（2025·湖南长沙·三模）过点，且在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线共有 条． 【答案】3 【解析】因为在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线， 故设直线为或或， 若直线过点，则，得直线为； 若直线过点，则，得直线为； 若直线过点，则，得直线为； 所以满足条件的直线有3条； 故答案为：3. 【变式12】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）若直线的截距之和为2，且，则的最小值为 . 【答案】 【解析】将直线转换为截距式，即，则， 由， 当且仅当，即时取等号， 故得的最小值为. 故答案为：. 题型五：与坐标轴围成的三角形问题 【例题9】已知直线l过点，且分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，则面积最小值为 ． 【答案】24 【解析】 由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为， 则直线的方程为， 因为直线分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，所以， 令，则，即， 令，则，即， 所以 其中，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，即面积最小值为. 故答案为： 【例题10】（2025·高三·陕西延安·期中）已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为 . 【答案】或 【解析】设直线的方程为，则，且， 解得或者， ∴直线l的方程为或，即或. 故答案为：或. 【方法技巧与总结】 （1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说． （2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏． 【变式13】已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，直线l的方程为 . 【答案】x＋2y－4＝0 【解析】法一，利用截距式设出直线方程，再利用基本不等式求面积最小时的直线方程；法二显然存在，设(其中)求出坐标，然后求解三角形的面积，再利用基本不等式求解面积的最小值时的直线方程.法一　设直线l：，且a＞0，b＞0，因为直线l过点M(2,1)，所以，则≥，故ab≥8， 故S△AOB的最小值为×ab＝×8＝4， 当且仅当＝时取等号，此时a＝4，b＝2， 故直线l：，即x＋2y－4＝0. 法二　设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)， ，B(0,1－2k)， S△AOB＝ (1－2k) ＝≥ (4＋4)＝4， 当且仅当－4k＝－ ，即k＝－时，等号成立， 故直线l的方程为y－1＝－ (x－2)，即x＋2y－4＝0. 故答案为：. 【变式14】已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积不大于1，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】直线不过原点，所以. 令，则，令，则，故面积，解得， 综上，的取值范围是且. 故答案为： 【变式15】若经过点的直线在，轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为 . 【答案】// 【解析】由条件可知，直线不过原点， 设直线，则，则， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为. 故答案为： 题型六：夹角问题 【例题11】若两直线的方程分别为，，则与的夹角为 ． 【答案】 【解析】直线平行于轴，直线的斜率，倾斜角为， 所以直线与的夹角为. 故答案为：. 【例题12】直线与的夹角正切值为 . 【答案】13 【解析】由得，则该直线的斜率， 又由得，则该直线的斜率， 设与的夹角为（）， 则，则，. 所以与的夹角为13. 故答案为：13 【方法技巧与总结】 若直线与直线的夹角为，则. 【变式16】（2025·高三·天津静海·月考）已知的顶点，高所在直线方程为，角的平分线所在直线方程为．求：点的坐标 ；边所在直线方程 ． 【答案】 ； . 【解析】∵的顶点，高所在直线方程为， 角的平分线所在直线方程为， ∴直线的斜率， ∴直线的方程为：，即， 联立，得， ∴B点坐标为； ∵，，角的平分线所在直线方程为， ∴， ∴，解得或（舍）， ∴直线的方程为：，即． 故答案为：；. 【变式17】若直线过点且与直线，的夹角相等，则直线的方程是 ． 【答案】或 【解析】直线的斜率，直线的斜率， 依题意直线的斜率存在，设斜率为， 所以，整理得，可得或， 又直线过点，则或， 整理得或. 故答案为：或 【变式18】已知两条直线的方程分别是；，；，则两条直线的夹角 ． 【答案】/ 【解析】；的方向向量为， ；的方向向量为， 则， 因为，所以. 故答案为：. 题型七：过定点问题 【例题13】（2025·高三·上海浦东新·期中）已知实数，，成等差数列（，不同时为0），则点到直线的最大距离是 . 【答案】 【解析】因为实数，，成等差数列（，不同时为0）， 则，即， 直线即为， 可得，可知直线过定点， 所以点到直线的最大距离是. 故答案为：. 【例题14】直线过定点 ，倾斜角的最小值是 . 【答案】 【解析】直线可以化为， 则，所以直线过定点. 直线可化为， . 即直线的斜率满足， 设直线的倾斜角， 则，从而， 则倾斜角的最小值是. 故答案为：，. 【方法技巧与总结】 合并参数 【变式19】已知实数，，成等差数列，则点到直线的最大距离是 ． 【答案】 【解析】因为，，成等差数列，所以，即， 方程可化为，即， 所以直线过定点， 设点到直线的距离为，则，当且仅当与直线垂直时等号成立， 所以当与直线垂直时，点到直线的距离最大， 最大距离等于， 所以点到直线的最大距离是， 故答案为：. 【变式20】已知圆O：分别与直线：和：交于点A，B和C，D，设，的中点分别为P，Q，则面积的最大值为 ． 【答案】2 【解析】由题得：，令解得即过定点，同理可得过定点． 当时，与垂直，根据对称性可知此时，； 当时，与垂直，根据对称性可知此时，； 当和斜率都存在且不为0时，，此时与垂直，即， 根据垂径定理可知，，， 所以四边形为矩形，所以，，当且仅当时等号成立，则面积的最大值为2． 故答案为：2. 【变式21】（2025·江苏南京·二模）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点到直线的距离为，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】动直线 过定点 ， 动直线 即 过定点 . 因为，所以直线与直线垂直， 又直线的斜率一定存在， 注意到时，满足，但此时直线垂直轴，斜率不存在， 故点在以为直径的圆上（去除点）， 圆心为 ，半径 ， 圆心到直线 的距离为 所以圆与直线 相切（切点不是点），的最小值为0； 圆的直径，且点到直线 的距离为，所以， 即的取值范围为 . 故答案为： 题型八：求直线的轨迹方程 【例题15】记直线与直线的交点的轨迹为，则使得直线与恰有一个交点的的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】直线与直线的交点的轨迹为， 直线方程可化为， 由可得，所以直线过定点， 直线方程可化为， 由可得，所以直线过定点， 设线段的中点为，设点，因为，则两直线垂直，即， 由直角三角形的几何性质可得， 即，化简可得， 所以点的轨迹为圆（除去点）， 直线过定点，在轨迹上， 直线与圆相切时，直线与恰有一个交点，此时, 直线经过时，直线与恰有一个交点，此时, 过圆上的一点做切线只有一条故使得直线与恰有一个交点的的个数是2个. 故选：C. 【例题16】（2025·高三·陕西西安·月考）已知向量，，且.若点的轨迹过定点，则这个定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，故，整理得到：， 故定点为：. 故选：A. 【方法技巧与总结】 （1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率 （2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） 【变式22】在平面直角坐标系xOy中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹为菱形 B．到原点的距离最小值为1 C．点的轨迹不与坐标轴相交 D．点的轨迹所围成的图形面积为4 【答案】A 【解析】设点坐标为，由，得，而， 则，即，即点的轨迹方程为， 当，且时，方程为；当，且时，方程为； 当，且时，方程为；当，且时，方程为， 因此点的轨迹如图所示，且易知，， 则，所以点的轨迹为菱形，故选项A正确； 对于选项B，原点到直线的距离为，所以B错误； 对于选项C，由图知点的轨迹与轴，轴都相交，所以C错误； 对于选项D，点的轨迹所围成的图形的面积为，所以D错误. 故选：A. 【变式23】已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意动点P到定点的距离比它到直线的距离大1， 则动点P到定点的距离与它到直线的距离相等， 故动点P的轨迹为以F为焦点的抛物线，其方程为， 设，则， 则，则, 由于线段AB的中点为且在抛物线含焦点的一侧区域内，则直线AB的斜率存在，， 故， 故直线的方程为，即， 故选：D 【变式24】古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：已知平面内两个定点A，B及动点P，若（且），则点P的轨迹是圆．后来人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，也叫阿氏圆．在平面直角坐标系中，，，直线，直线，P为，的交点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，，此时，交点为， 当时，直线的斜率为k，直线的斜率为，所以， 综上，， ，所以直线恒过点， ，所以直线恒过点， 由P为，的交点，则， 设，连接EF， 则点P的轨迹是以EF为直径的圆（除去F点），圆心为线段EF的中点， 半径为，故P的轨迹方程为， 根据题意作图，如图2所示， 由题意可知圆C上一点，满足，取， 则，满足， 下面证明对任意的，连接PD，都满足，即， ， ， 所以， 连接DQ，所以， 又，所以， 当且仅当D，P，Q三点共线，且P位于D，Q之间时取等号． 故选：D． 题型九：中点公式的应用 【例题17】已知，，，是的中点，则 ． 【答案】5 【解析】因为是的中点，所以，即， 所以的长为． 故答案为：5． 【例题18】已知中，，，线段，的中点分别在，轴上，则边上的中线所在的直线的方程为 .（结果用一般式表示） 【答案】 【解析】设，则，得，， 而线段的中点坐标为， 故边上的中线的斜率， 故中线所在的直线的方程为，即. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则 【变式25】设，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，中点为，则的值为 . 【答案】 【解析】由于，经过的定点为，所以， 由，经过定点，故， 因为，所以两直线垂直，如图， 因此为直角三角形，所以. 故答案为： 【变式26】设，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，中点为，则的值为 . 【答案】 【解析】由于经过的定点为，所以， 直线变形为， 所以经过定点，故， 因为，所以两直线垂直，如图， 因此为直角三角形，所以. 故答案为： 【变式27】设为不同的两点，直线，记，当 时，直线经过的中点． 【答案】 【解析】线段的中点， 若直线经过的中点，则， 即， 则，故. 故答案为： 1．若点在圆上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，圆，可得圆心，半径为1， 因为的几何意义是点与两点连线的斜率，设，即， 当直线与圆相切时， 则满足圆心到切线的距离等于半径，即，解得， 又由点在圆上， 所以. 故选：B. 2．（多选题）下列结论正确的是（   ） A．过点，的直线的倾斜角为 B．若直线与直线垂直，则 C．直线与直线之间的距离是 D．已知，，点在轴上，则的最小值是5 【答案】BD 【解析】对于A，直线倾斜角为，斜率，，A不正确； 对于B，直线与直线垂直，则，解得，B正确； 对于C，平行线间的距离，C不正确； 对于D，令点关于轴的对称点为， 连结交轴与，为轴上任一点，连接， 如图，则， 当且仅当点为线段与轴的交点时取等号， ， 因此，的最小值为5，D正确. 故选：BD 3．（多选题）已知直线过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】①若直线在两坐标轴上的截距都为，可设其方程为， 由直线经过点可得，，解得， 故直线的方程为，即. ②若直线的在两坐标轴上的截距都不为，可设其方程为， 由直线经过点可得，，解得， 故直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 故选：CD 4．（2025·高三·上海宝山·期末）已知第一象限的点和经过直线，若直线的倾斜角为，则的最小值为 ． 【答案】//1.125 【解析】由题设知，可得， ∴， 当且仅当时，即时，等号成立，的最小值为. 故答案为：. 5．（2025·高三·云南曲靖·月考）若实数x，y满足，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意，解得， 设，则与图象有交点， 当时，，当时，， 作出的图象，如图所示 由图象可得. 故答案为： 6．一束光线从点射出，沿倾斜角150°的直线射到x轴上，经x轴反射后，反射线所在的直线方程为 ． 【答案】 【解析】由题意知，入射光线所在直线的斜率为， 所以入射光线方程，整理得， 令得，所以入射光线与x轴的交点为， 由对称性知，反射光线的斜率为，所以反射光线的方程为， 即, 故答案为：. 7．已知直线垂直于直线，且过点，则直线在轴上的截距为 . 【答案】 【解析】由，得. 所以直线的斜率为. 因为直线垂直于直线，所以直线的斜率为2. 因为直线过点，所以直线的方程为，即. 令，解得，所以直线在轴上的截距为. 方法二：由，得. 所以直线在轴上的截距为. 故答案为：. 8．过点作直线，使得直线和连接点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【解析】如图，当过点时，，当过点时，， 故直线和连接点的线段总有公共点，则， 又，所以 故答案为： 9．已知直线，，直线与、分别交于B、C两点，若点在线段BC上，且，则的方程为 ． 【答案】 【解析】由，且点在线段上，得．设，， 则， 即 解得 则． 因为，所以的方程为，即． 故答案为：. 10．已知直线均过点． (1)若直线过点，且，求直线的方程（写成斜截式）； (2)若直线在轴和轴上的截距互为相反数，求直线的方程（写成斜截式）； (3)若直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程（写成斜截式）． 【解析】（1），又，所以， 所以直线的方程为，即； （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，不满足条件； 当直线斜率为时，直线的方程为，不满足条件； 当斜率存在且不为时，设直线的方程为， 令，则，令，则， 因为直线在轴和轴上的截距互为相反数， 所以，所以或， 又因为直线过点，所以， 所以当时，；当时，； 所以直线的方程为或； （3）因为直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，所以直线的斜率一定存在且不为， 又直线过点，所以设直线的方程为， 令，则，令，则， 所以，解得， ， 当且仅当，即时，取得最小值， 所以直线的方程为，即. 11．已知的顶点坐标为． (1)求过点且与直线平行的直线的方程（写成一般式）； (2)求边上的中垂线所在直线的方程（写成一般式）． 【解析】（1）设过点且与直线平行的直线为，其斜率为， 则，设， 整理得：. （2）边上的中垂线所在直线为，其斜率为 ，直线，，解得， 又因为的中点坐标为，即， 故可设， 整理得：. 12．设直线的方程为. (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (2)若直线与轴、轴分别交于点，，且，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程. 【解析】（1）直线的方程可化为. 因为不经过第二象限，所以， 解得，从而的取值范围为. （2）直线的方程可化为， 令，得，令，得， 所以，， 从而， 当且仅当，即时等号成立， 因此面积的最小值为2， 此时直线的方程为. 13．已知直线：恒过点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)当点到直线的距离最大时，求直线的方程； 【解析】（1）直线的方程化为，令，解得， 所以点的坐标为. （2）由（1）知直线恒过定点，当且仅当时，点到直线的距离最大， 而直线的斜率，则直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 14．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点是. (1)若直线过点，且点到直线的距离相等，求直线的方程； (2)若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，求证：当取得最小值直线平分的面积. 【解析】（1）因为点到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点， ①当直线与平行， 因为，且过点， 所以方程为，即； ②当直线通过的中点， 所以， 所以的方程为，即． 综上：直线的方程为或． （2）由题意设，其中为正数，可设直线的方程为， 因为直线过点，所以， ， 由基本不等式可得， 当且仅当即时，取等号， 此时直线的方程为，即， 点到直线的距离， 点到直线的距离， ， ， 所以， 故当取得最小值时，直线平分的面积. 15．已知直线与直线的交点为. (1)直线经过，且与直线垂直，求直线的一般式方程； (2)直线经过，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【解析】（1）联立，解得，即， 由与直线垂直可得其斜率为， 所以直线的方程为，即； （2）当在两坐标轴上的截距均为0时，易知此时方程为； 当在两坐标轴上的截距不为0时，可设直线的方程为， 因为，且直线经过点，，所以， 故此时直线的方程为； 综上可知，直线的方程为或. 16．已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【解析】（1）直线的方程可化为， 根据直线的点斜式方程，可知无论取何值，直线总过定点． （2）由题意，直线，即， 因为直线不经过第四象限，所以，解得． 所以的取值范围为 （3）由题意知，，当时，，即点， 当时，，即点， 所以，， 所以的面积 因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 所以，此时，直线． 17．已知直线，直线和． (1)求证：直线恒过定点； (2)设（1）中的定点为与的交点分别为，若恰为的中点，求． 【解析】（1）证明：可化为， 由于，则，解得， 即直线恒过定点．所以直线恒过定点. （2）由（1）知，不妨设， 因为恰为的中点，所以． 因为分别在直线和直线上， 所以，解得，所以． 将代入直线的方程得：，解得. 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $