8.2 两条直线的位置关系（2大考点+8大题型）（讲义）-2026年新高考数学大一轮复习之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

8.2 两条直线的位置关系 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 知识点一、直线平行与垂直的判定 3 知识点二、三种距离公式 3 03 探究核心题型 4 题型一：位置关系的判定 4 题型二：距离公式的简单应用问题 6 题型三：线段和差最值问题 8 题型四：含参数双直线问题 11 题型五：点关于线对称 14 题型六：线关于点对称 16 题型七：线关于线对称 18 题型八：将军饮马问题、胡不归问题、建桥选址问题 20 04 课时精练 25 （1）能根据斜率判定两条直线平行或垂直． （2）能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标． （3）掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 知识点一、直线平行与垂直的判定 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 知识点二、三种距离公式 1、两点间的距离 平面上两点的距离公式为． 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 2、点到直线的距离 点到直线的距离 特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离 3、两条平行线间的距离 已知是两条平行线，求间距离的方法： （1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． （2）设，则与之间的距离 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 题型一：位置关系的判定 【典例1-1】（2025·高三·浙江·月考）已知点，是曲线（为非零常数）上两个不同的点，则关于x，y的方程组的解的情况，下列说法错误的是（    ） A．当时，对任意的，方程组总是有解 B．当时，对任意的，方程组总是有解 C．当时，存在，使方程组有唯一解 D．当时，存在，使方程组有唯一解 【答案】A 【解析】对的解的情况，即考虑两条直线的斜率之间的关系，即考虑方程的根的个数，也就是两函数与的图象之间交点的个数，分类讨论验证即可.由题知．对的解的情况， 即考虑两条直线的斜率 之间的关系，即考虑方程的根的个数，也就是两函数与的图象之间交点的个数． 当时，存在使得图象，有两个交点，即，两条直线平行，即方程无解，故A选项错误；也存在，使得两图象没有交点，即无解，即两直线相交，方程组有唯一解，故选项C正确； 当时，图象有且仅有一个交点，故方程的解存在且唯一，不存在不同的点，使得无解，即两直线相交，方程组有唯一解B和D选项均正确， 故选：A． 【典例1-2】已知集合，．若，则的所有取值是（    ） A．0，1 B． C． D． 【答案】D 【解析】， ， 当时，，满足， 当时，， 或点在直线上，即， 整理得，解得或， 综上，的取值为， 故选：D 【解题方法总结】 判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设（不全为0），（不全为0），则： 当时，直线相交； 当时，直线平行或重合，代回检验； 当时，直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆． 【变式1-1】已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】联立，得， ∵直线与射线恒有公共点， ∴， 解得. ∴m的取值范围是. 故选：C. 【变式1-2】若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，即交点为， 因为交点在第一象限，所以. 故选：A 【变式1-3】若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，此时，不满足题意； 当时，解方程组得， 由题知，解得， 即实数a的取值范围为. 故选：A 题型二：距离公式的简单应用问题 【典例2-1】已知平行四边形的三个顶点，，，而且，，，按逆时针方向排列，则线段的长度为 ，点的坐标为 ． 【答案】 【解析】由题意，在平行四边形中，,,， 所以，， 所以，即， 故答案为：；. 【典例2-2】原点到直线的距离 . 【答案】5 【解析】原点到直线的距离为. 故答案为：5 【解题方法总结】 两点间的距离，点到直线的距离以及两平行直线间的距离的计算，特别注意点到直线距离公式的结构． 【变式2-1】以和轴上一点为顶点的三角形的面积为5，则的纵坐标为 . 【答案】或 【解析】∵点，∴， 设点P到的距离为d， ∵的面积为5，∴，得， ∵直线的方程为，即， 设P的坐标为， ∴，解得或， ∴的纵坐标为或． 故答案为：或． 【变式2-2】已知点到直线的距离为1，则 . 【答案】或 【解析】因为点到直线的距离为1， 所以，解得或. 故答案为：或. 【变式2-3】直线与直线之间的距离为 . 【答案】/ 【解析】因为， 所以平行线间的距离为， 故答案为：. 【变式2-4】若直线与直线间的距离为1，则 . 【答案】6或 【解析】直线化为， 根据平行线间的距离公式：， 解得：或. 故答案为：6或-14 题型三：线段和差最值问题 【典例3-1】（2025·高三·上海杨浦·期中）设，的最小值为 ； 【答案】 【解析】设，设， 把以为旋转中心逆时针旋转时，得出，则， 所以， 当且仅当四点共线时取最小值 则的最小值为. 故答案为：. 【典例3-2】（2025·高三·黑龙江·月考）函数的最大值为 ． 【答案】 【解析】因为， 所以问题可转化为求动点与点，的距离之差的最大值． 如图： 因为，当且仅当，，三点共线时等号成立， 所以，此时． 故答案为： 【解题方法总结】 数学结合，利用距离的几何意义进行转化． 【变式3-1】（2025·陕西西安·一模）已知，满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为， 所以. 所以表示圆上的点到与到的距离和. 如图： 所以（当为线段与圆的交点时取等号）. 故答案为： 【变式3-2】函数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】， 记点、、， 利用几何意义，根据两边之差小于第三边， 又注意到、、三点共线时可以取到最小值， 故，如下图所示： 又因为，则， 当时，，此时； 当时，设， 则， 此时. 综上所述，函数的取值范围是. 故答案为：. 【变式3-3】已知函数，则的最小值为 ． 【答案】5 【解析】， 转化为x轴上的动点到两定点，的距离之和最小， 由图可知，距离之和的最小值为5． 故答案为：. 题型四：含参数双直线问题 【典例4-1】设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P，点P不与点A，B重合，则的最小值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】由以及得，， 因，则两条直线垂直， 则， 则 ， 当且仅当，结合，即时等号成立， 故的最小值是． 故选：B． 【典例4-2】已知直线恒过定点，点也在直线上，其中、均为正数，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】由，得， 由得，则直线过定点，故， 代入直线，得，整理得， ， 当且仅当时，即时取等号， 故最小值为. 故选：D． 【解题方法总结】 利用几何意义进行转化 【变式4-1】（2025·河北·模拟预测）已知直线，直线，若与的交点为，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【解析】可变形为由可得，则恒过定点， 同理可得恒过定点，且有，则， 此时的轨迹是以为直径的圆：（除去点）． 因，由图知，当点在线段上时，的值最小，其最小值为. 故选：A． 【变式4-2】设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹是一条线段 B．的最大值为2 C．的最大值为4 D．点到直线的距离的最大值为 【答案】C 【解析】由直线，令，得，可得过定点， 动直线， 令，可得，即恒过定点， 由， 所以两条直线始终互相垂直，是两条直线的交点，所以， 所以点在以为直径的圆上，A错； , 由于，又， 所以， 所以，故，当且仅当取等号， 故B错，C对； 设到直线的距离为，由于， 故，当取等号，故最大值为，故D错， 故选：C 【变式4-3】已知直线：与直线：交于点，则的最大值为（   ） A．4 B．8 C．32 D．64 【答案】D 【解析】直线恒过定点， 直线化简为，恒过点， 当时，直线的斜率不存在，直线的斜率，则， 当时，，，，则， 综上：直线恒过定点，直线恒过定点，且， 因为直线与直线交于点， 所以点在以为直径的圆上，线段的中点坐标为， 且，则其轨迹方程为，圆的半径， 又转化为，其表示圆上的点到距离的平方， 设， 则，所以的最大值为64． 故选：D. 题型五：点关于线对称 【典例5-1】已知点与关于轴对称，点与点关于轴对称，点与点关于直线对称，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解析 ，，则．故选B． 【典例5-2】点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点关于直线的对称点为， 则，解得：， 点关于直线的对称点为. 故选：B. 【方法技巧】 求点关于直线对称的点 方法一：（一中一垂），即线段的中点M在对称轴上，若直线的斜率存在，则直线的斜率与对称轴的斜率之积为－1，两个条件建立方程组解得点 方法二：先求经过点且垂直于对称轴的直线（法线），然后由得线段的中点，从而得 【变式5-1】点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即. 故选：C. 【变式5-2】（2025·广东深圳·模拟预测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设关于直线的对称点为， 由对称关系可得， 解得． 则点到直线：的距离为． 故选：C． 【变式5-3】点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设对称点的坐标为则解得： 故选：B. 题型六：线关于点对称 【典例6-1】以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为1的正方形的四条边的方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设，方程所得图形关于原点、轴对称， 若在图形上，则、、均在图形上， 显然、满足，、不满足， 又图形是对角线在坐标轴上，边长为1的正方形， 所以，点在图形上，故方程为. 故选：D 【典例6-2】点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【答案】C 【解析】由题设关于对称的点为，若该点必在上， ∴，解得，即一定在直线上. 故选：C. 【方法技巧】 求直线l关于点中心对称的直线 求解方法是：在已知直线l上取一点关于点中心对称得，再利用，由点斜式方程求得直线的方程（或者由，且点到直线l及的距离相等来求解）． 【变式6-1】直线l：关于点对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为不在直线l：上， 所以可设直线l：关于点对称的直线方程为， 则，解得或（舍去）， 故所求直线方程为：. 故选：A 【变式6-2】直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（    ） A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0 【答案】B 【解析】由ax＋y＋3a－1＝0得， 由，得，∴M（－3，1）． 设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为， ∴，解得:C＝12或C＝－6（舍去）， ∴直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0． 故选：B． 【变式6-3】直线关于点对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即. 故选：D. 题型七：线关于线对称 【典例7-1】已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为 ． 【答案】 【解析】解法一：在直线上取一点，不妨取，则关于直线的对称点必在上． 设，则，解得即． 设与的交点为，则由，得，即． 又经过点，所以由两点式得直线的方程为， 即． 故答案为：． 解法二：直线：关于直线：对称的直线方程为 ， 即，所以直线的方程为． 故答案为：． 【典例7-2】已知直线，，若直线与关于直线l对称，则直线l的方程为 . 【答案】或 【解析】 易知与纵轴交于，交横轴于点， 联立直线与方程，得两直线交点为， 如上图所示网格中构造直角三角形，易知， 即， 又， 所以， 即为两直线与夹角的平分线， 所以直线符合题意，易知其方程为； 当直线l过点C且与垂直时，也符合题意，此时直线方程为. 故答案为：或. 【方法技巧】 求直线l关于直线对称的直线 若直线，则，且对称轴与直线l及之间的距离相等． 此时分别为，由，求得，从而得． 若直线l与不平行，则．在直线l上取异于Q的一点，然后求得关于直线对称的点，再由两点确定直线（其中）． 【变式7-1】若直线l与直线的夹角平分线为，则直线l的方程为 . 【答案】 【解析】由题意可得直线l与直线关于直线对称， 由于直线上的任意一点关于直线的对称点为， 因为已知直线，则的方程是，即， 故答案为：. 【变式7-2】若直线与直线关于直线对称，则直线的一般式方程为 . 【答案】 【解析】设直线上任意一点，则点关于直线对称点， 因为直线与直线关于直线对称，所以在直线上， 即，得到直线的一般式方程为 故答案为： 【变式7-3】直线：关于直线：的对称直线方程为 ． 【答案】 【解析】设直线关于直线对称的直线为，由，解得， 则点在直线上； 在直线上取一点，设其关于直线对称的点为， 则，解得，即， 所以直线的方程为，即． 故答案为： 题型八：将军饮马问题、胡不归问题、建桥选址问题 【典例8-1】（2025·高三·江西·月考）相传我国古代有这样一个故事：一个身处他乡的小伙子得知父亲病重的消息，便连夜赶回家，他父亲弥留之际不停念叨“胡不归？胡不归？”，这就是流传千百年的“胡不归问题”.如图，假设小伙子处于地，家在地，是驿道，其他地方均为沙地，，小伙子在驿道，沙地上行走的速度分别为，若小伙子为了更快回到家中，从沿走到（在上），再从走沙地直线回家，设，则此方案所用时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，由正弦定理得，得，故路段用时， 因为，则， 故，因此. 故路段用时， 则此方案所用时间为. 故选：A. 【典例8-2】已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不妨设点在点的左边，因为直线的倾斜角为， 且，所以点的坐标为， 则． 记， 则可将理解为直线上一动点到的距离之和， 如图，作出点关于直线的对称点， 则，连接，交直线于点， 则即的最小值， 且， 故的最小值为． 故选：A. 【方法技巧】 利用几何意义进行转化． 【变式8-1】唐代诗人李颀的诗句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着数学中的“将军饮马”问题．在平面直角坐标系中，军营所表示的区域为，军营附近有两条河流，，河流的方程为，河流的方程为．一位将军观望烽火之后从山脚点处出发，先到河流处饮马，再到河流处饮马，最后返回军营（只要到达军营所在区域即为返回军营），则“将军饮马”的总路程最短为 ． 【答案】9 【解析】 如图，过点A作河流的对称点，易得， 过点作河流的对称点， 由解得，即． 连结，交河流于点，交河流于点， 连结交圆（军营边界）于点， 则“将军饮马”的总路程最短为 ， 故答案为：9． 【变式8-2】2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为 ． 【答案】 【解析】 由题可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为， 则，解得即． 将军从出发点到河边的路线所在直线即为，又， 所以直线的方程为， 设将军在河边饮马的地点为， 则即为与的交点， ，解得， 所以． 故答案为： 【变式8-3】（2025·高三·吉林长春·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为 ． 【答案】5 【解析】作出图示， 设点关于直线的对称点为， 在直线上取点，由对称性可得， 所以， 当且仅当A、、三点共线时，等号成立， 因此，“将军饮马“的最短总路程为. 故答案为：. 1．如图，已知两点，，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于（　　） A．2 B．6 C．3 D．2 【答案】A 【解析】易知直线的方程为， 设点关于直线的对称点， 则且，解得，即， 又点关于轴的对称点， 由光的反射规律可知，共线，共线，从而共线， 所以光线所经过的路程长为 . 故选：A. 2．（2025·高三·河北石家庄·月考）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，直线的方程为，则边上的高所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】联立与的方程， 得，解得：； 设，则， 即， 将代入得， ， 联立①②，解得：，即， 直线的斜率为， 高的斜率为：， 所以直线的方程为：， ， 故选：D． 3．（2025·高三·北京顺义·月考）长度为4的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最大值为（    ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】D 【解析】设，则，即. 记线段的中点为点，设点的坐标为，则. 所以，即. 所以点的轨迹为以原点为圆心，半径的圆. 点到直线的距离为. 所以点到直线的距离的最大值为. 故选：D. 4．（2025·高三·河北·期中）已知，且.若直线与直线平行，且两直线间的距离为，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】因为直线与直线平行，所以，且，所以， 所以直线与直线平行， 两直线间的距离为，且， 所以，所以. 故选：C. 5．已知实数满足，，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 【答案】B 【解析】实数满足，， 即实数满足，， 则在直线上，在直线上， 直线与直线平行， 所以、两点间的最短距离为， 所以的最小值为. 故选：B 6．求点到直线的距离的最大值为（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】D 【解析】因为直线的方程为，所以直线过定点， 所以直线表示过定点的斜率存在的直线， 如图，当时，表示点到直线的距离， 当不垂直于时，表示点到直线的距离，显然， 所以点到直线距离的最大值为, 所以点到直线距离的最大值为. 故选：D 7．已知x，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】可看成点到点的距离的平方， 点在直线的图象上，点在反比例函数的图象上， 问题转化为在图象上找一点，使得它到直线的距离的平方最小. 注意到反比例函数的图象关于直线对称，直线也关于对称， 设，因为所以到直线的距离为， 当且仅当即时距离最小， 最短距离为，所以的最小值为. 故选：A. 8．（多选题）（2025·高三·江苏南通·期中）设，点，，若，则直线AB的斜率可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】设，点，，若，所以， 所以直线AB的斜率可能为或. 故选：AD. 9．（2025·上海普陀·一模）设，直线经过点，若向量，则点到直线的距离为 ． 【答案】 【解析】由直线经过点，设， 由向量，得， 所以点到直线的距离. 故答案为： 10．（2025·高三·河北石家庄·月考）已知直线：与直线：交于点M，点M关于直线对称的点为，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由，解得，可得， 所以，即，， 当时，，，则无意义； 当时，， 当且仅当即时等号成立； 当时，， 当且仅当即时等号成立； 综上，的取值范围是. 故答案为： 11．（2025·高三·陕西西安·月考）若抛物线与抛物线关于直线对称，则的焦点坐标为 ． 【答案】 【解析】由题意得的焦点为，设关于直线的对称点为， 则，解得，故的焦点坐标为． 故答案为：. 12．（2025·高三·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，设为点到直线的距离，当变化时的最大值为 . 【答案】/ 【解析】由题意，， 因为，所以， 即，所以的最大值为. 故答案为：. 13．已知直线与直线平行，则平行线间的距离为 . 【答案】/ 【解析】因为直线与直线平行， 所以，解得，所以直线可化为， 所以两平行直线间的距离是. 故答案为： 14．（2025·高三·上海嘉定·月考）在直角坐标平面内有一直角，，顶点的坐标为，所在直线方程为，则顶点的坐标为 . 【答案】. 【解析】因为，即，且所在直线方程为， 可设所在直线方程为， 代入点可得，解得， 即所在直线方程为， 联立方程组，解得， 所以顶点的坐标为. 故答案为：. 15．求函数的最小值． 【解析】解析 因为，所以函数是轴上的点与两定点、距离之和．的最小值就是的最小值．由平面几何知识可知，若关于轴的对称点为，则的最小值等于，即．所以． 16．求函数的值域. 【解析】将函数变形为，此式可看成定点到点的距离与定点到点的距离之差.即. 由图可知：（1）当点在轴上且不是直线与轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有，即. （2）当点恰好为直线与轴的交点时，有， 综上所述，函数的值域为. 17．（2025·高三·甘肃天水·期中）已知等腰直角三角形斜边所在直线过原点，且斜率为，一条直角边所在直线的方程为，且此三角形的面积为，求此直角三角形的直角顶点的坐标. 【解析】斜边所在直线过原点，且斜率为，斜边所在直线方程为； 设直角顶点为，到直线的距离为， 则，解得：； 设是与直线平行且距离为的直线，则与的交点即为直角顶点， 设，则，解得：； 当时，由得：，； 当时，由得：，； 综上所述：此直角三角形直角顶点的坐标为或. 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2 两条直线的位置关系 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 知识点一、直线平行与垂直的判定 3 知识点二、三种距离公式 3 03 探究核心题型 4 题型一：位置关系的判定 4 题型二：距离公式的简单应用问题 5 题型三：线段和差最值问题 5 题型四：含参数双直线问题 5 题型五：点关于线对称 6 题型六：线关于点对称 7 题型七：线关于线对称 8 题型八：将军饮马问题、胡不归问题、建桥选址问题 8 04 课时精练 10 （1）能根据斜率判定两条直线平行或垂直． （2）能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标． （3）掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 知识点一、直线平行与垂直的判定 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 知识点二、三种距离公式 1、两点间的距离 平面上两点的距离公式为． 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 2、点到直线的距离 点到直线的距离 特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离 3、两条平行线间的距离 已知是两条平行线，求间距离的方法： （1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． （2）设，则与之间的距离 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 题型一：位置关系的判定 【典例1-1】（2025·高三·浙江·月考）已知点，是曲线（为非零常数）上两个不同的点，则关于x，y的方程组的解的情况，下列说法错误的是（    ） A．当时，对任意的，方程组总是有解 B．当时，对任意的，方程组总是有解 C．当时，存在，使方程组有唯一解 D．当时，存在，使方程组有唯一解 【典例1-2】已知集合，．若，则的所有取值是（    ） A．0，1 B． C． D． 【解题方法总结】 判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设（不全为0），（不全为0），则： 当时，直线相交； 当时，直线平行或重合，代回检验； 当时，直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆． 【变式1-1】已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二：距离公式的简单应用问题 【典例2-1】已知平行四边形的三个顶点，，，而且，，，按逆时针方向排列，则线段的长度为 ，点的坐标为 ． 【典例2-2】原点到直线的距离 . 【解题方法总结】 两点间的距离，点到直线的距离以及两平行直线间的距离的计算，特别注意点到直线距离公式的结构． 【变式2-1】以和轴上一点为顶点的三角形的面积为5，则的纵坐标为 . 【变式2-2】已知点到直线的距离为1，则 . 【变式2-3】直线与直线之间的距离为 . 【变式2-4】若直线与直线间的距离为1，则 . 题型三：线段和差最值问题 【典例3-1】（2025·高三·上海杨浦·期中）设，的最小值为 ； 【典例3-2】（2025·高三·黑龙江·月考）函数的最大值为 ． 【解题方法总结】 数学结合，利用距离的几何意义进行转化． 【变式3-1】（2025·陕西西安·一模）已知，满足，则的最小值为 . 【变式3-2】函数的取值范围是 ． 【变式3-3】已知函数，则的最小值为 ． 题型四：含参数双直线问题 【典例4-1】设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P，点P不与点A，B重合，则的最小值是（    ） A． B． C． D．1 【典例4-2】已知直线恒过定点，点也在直线上，其中、均为正数，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【解题方法总结】 利用几何意义进行转化 【变式4-1】（2025·河北·模拟预测）已知直线，直线，若与的交点为，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式4-2】设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹是一条线段 B．的最大值为2 C．的最大值为4 D．点到直线的距离的最大值为 【变式4-3】已知直线：与直线：交于点，则的最大值为（   ） A．4 B．8 C．32 D．64 题型五：点关于线对称 【典例5-1】已知点与关于轴对称，点与点关于轴对称，点与点关于直线对称，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【典例5-2】点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧】 求点关于直线对称的点 方法一：（一中一垂），即线段的中点M在对称轴上，若直线的斜率存在，则直线的斜率与对称轴的斜率之积为－1，两个条件建立方程组解得点 方法二：先求经过点且垂直于对称轴的直线（法线），然后由得线段的中点，从而得 【变式5-1】点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·广东深圳·模拟预测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 题型六：线关于点对称 【典例6-1】以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为1的正方形的四条边的方程为（    ）． A． B． C． D． 【典例6-2】点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【方法技巧】 求直线l关于点中心对称的直线 求解方法是：在已知直线l上取一点关于点中心对称得，再利用，由点斜式方程求得直线的方程（或者由，且点到直线l及的距离相等来求解）． 【变式6-1】直线l：关于点对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（    ） A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0 【变式6-3】直线关于点对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 题型七：线关于线对称 【典例7-1】已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为 ． 【典例7-2】已知直线，，若直线与关于直线l对称，则直线l的方程为 . 【方法技巧】 求直线l关于直线对称的直线 若直线，则，且对称轴与直线l及之间的距离相等． 此时分别为，由，求得，从而得． 若直线l与不平行，则．在直线l上取异于Q的一点，然后求得关于直线对称的点，再由两点确定直线（其中）． 【变式7-1】若直线l与直线的夹角平分线为，则直线l的方程为 . 【变式7-2】若直线与直线关于直线对称，则直线的一般式方程为 . 【变式7-3】直线：关于直线：的对称直线方程为 ． 题型八：将军饮马问题、胡不归问题、建桥选址问题 【典例8-1】（2025·高三·江西·月考）相传我国古代有这样一个故事：一个身处他乡的小伙子得知父亲病重的消息，便连夜赶回家，他父亲弥留之际不停念叨“胡不归？胡不归？”，这就是流传千百年的“胡不归问题”.如图，假设小伙子处于地，家在地，是驿道，其他地方均为沙地，，小伙子在驿道，沙地上行走的速度分别为，若小伙子为了更快回到家中，从沿走到（在上），再从走沙地直线回家，设，则此方案所用时间为（    ） A． B． C． D． 【典例8-2】已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧】 利用几何意义进行转化． 【变式8-1】唐代诗人李颀的诗句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着数学中的“将军饮马”问题．在平面直角坐标系中，军营所表示的区域为，军营附近有两条河流，，河流的方程为，河流的方程为．一位将军观望烽火之后从山脚点处出发，先到河流处饮马，再到河流处饮马，最后返回军营（只要到达军营所在区域即为返回军营），则“将军饮马”的总路程最短为 ． 【变式8-2】2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为 ． 【变式8-3】（2025·高三·吉林长春·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为 ． 1．如图，已知两点，，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于（　　） A．2 B．6 C．3 D．2 2．（2025·高三·河北石家庄·月考）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，直线的方程为，则边上的高所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·高三·北京顺义·月考）长度为4的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最大值为（    ） A． B．3 C．4 D．6 4．（2025·高三·河北·期中）已知，且.若直线与直线平行，且两直线间的距离为，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．已知实数满足，，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 6．求点到直线的距离的最大值为（    ） A．3 B． C． D．5 7．已知x，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．（多选题）（2025·高三·江苏南通·期中）设，点，，若，则直线AB的斜率可能为（ ） A． B． C． D． 9．（2025·上海普陀·一模）设，直线经过点，若向量，则点到直线的距离为 ． 10．（2025·高三·河北石家庄·月考）已知直线：与直线：交于点M，点M关于直线对称的点为，则的取值范围是 . 11．（2025·高三·陕西西安·月考）若抛物线与抛物线关于直线对称，则的焦点坐标为 ． 12．（2025·高三·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，设为点到直线的距离，当变化时的最大值为 . 13．已知直线与直线平行，则平行线间的距离为 . 14．（2025·高三·上海嘉定·月考）在直角坐标平面内有一直角，，顶点的坐标为，所在直线方程为，则顶点的坐标为 . 15．求函数的最小值． 16．求函数的值域. 17．（2025·高三·甘肃天水·期中）已知等腰直角三角形斜边所在直线过原点，且斜率为，一条直角边所在直线的方程为，且此三角形的面积为，求此直角三角形的直角顶点的坐标. 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $