专题01 集合与常用逻辑用语（期末复习讲义）高一数学上学期人教B版必修第一册

该高中数学复习讲义以“核心考点-复习目标-考情规律”表格为框架，系统梳理集合与常用逻辑用语知识体系，分知识点细化元素特性、集合关系、运算等内容，结合易错点示例（如元素互异性、空集特殊性），构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于分层题型设计，通过“解题技巧+易错点拨”指导集合运算、参数求解等题型，跨章节综合题（如集合与函数结合）培养数学思维，配套基础、重难、拓展练习，助力分层提升，为教师精准教学和学生自主复习提供实用支持。

专题01 集合与常用逻辑用语（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 集合的基本概念 掌握集合的基本概念、表示方法及元素与集合的关系 基础必考点，常出现在小题； 集合间的基本关系 能准确判断子集、真子集 基础必考点，常出现在小题.有时与充要条件结合出现在答题之中； 集合间的基本运算 熟练计算集合的交集、并集、补集，能解决含参数的集合问题 高频考点，以数集（含一元一次不等式、一元二次不等式的解集）的交集、并集、补集运算为核心，常结合数轴考查，需注意区间端点的取舍. 含参数的集合问题 在熟练掌握集合基础知识的基础上，学会分类讨论的方法. 多为主观题，往往与其他章节的结合，如集合与不等式、函数的结合等；易错是元素互异性应用不当、忽略空集的特殊性. 充分必要条件判定 需掌握“定义法”“集合法”两种判定方法 常结合函数、不等式等知识点，多为小题，也有在主观题中与集合运算结合的命题. 全称命题与特称命题的否定 理解概念、掌握对量词的改写和结论的否定的方法. 高频基础题型，易错点是仅否定结论而未改写量词 知识点01 集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示. (3)集合的表示法：列举法、描述法、区间法、图示法. (4)常见数集的记法 集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R ·易错点：集合中元素的互异性. 示例：已知集合A＝{－1，a2－2a＋1，a－4}，若4∈A，则a的值可能为(　　) A.－1，3 B.－1 C.－1，3，8 D.－1，8 【答案】D 【解析】由题意，若a2－2a＋1＝4，解得a＝3或a＝－1，若a－4＝4，解得a＝8， 当a＝－1时，A＝{－1，4，－5}满足题意， 当a＝3时，A＝{－1，4，－1}违背了集合中元素间的互异性， 当a＝8时，A＝{－1，4，49}满足题意， 综上所述，a的值可能为－1，8. 知识点02 集合的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A). (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA). (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. ·易错点：忽视空集特殊性. 示例：(多选)已知集合M＝{－1，1}，N＝{x|mx＝1}，且N⊆M，则实数m的值可以为(　　) A.－2 B.－1 C.0 D.1 【答案】BCD 【解析】当N＝∅时，满足N⊆M，此时m＝0； 当N≠∅时，m≠0， 解mx＝1可得，x＝. 因为N⊆M，所以＝－1或＝1. 当＝－1时，m＝－1； 当＝1时，m＝1. 综上所述，m＝0或m＝－1或m＝1. 知识点03 集合的基本运算 表示 运算 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 示例：(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U(M∪N)等于(　　) A.{x|x＝3k，k∈Z} B.{x|x＝3k－1，k∈Z} C.{x|x＝3k－2，k∈Z} D.∅ 【答案】A 【解析】方法一　M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}， 所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}， 所以∁U(M∪N)＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数， 即∁U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}. 方法二　集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集. 知识点04 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 示例：（25-26高一上·江苏常州·期中）“”是“函数在区间上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性求参数值、判断命题的充分不必要条件 【分析】由二次函数的单调性，以及充分条件和必要条件的概念可得结果. 【详解】函数是二次函数，开口向上，对称轴为， 二次函数开口向上时，在对称轴左侧单调递减， 因此需要满足，即； 当时，满足，函数一定在上单调递减，所以“”是充分条件； 函数在上单调递减时，只需要，不一定非要，所以“”不是必要条件. 故选：A. 知识点05 全称量词与存在量词、全称量词命题和存在量词命题 1.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. 2.全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，¬p(x) ∀x∈M，¬p(x) 示例：（25-26高一上·江苏连云港·期中）命题“”的否定为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解. 【详解】命题“”， 则其否定为：. 故选：D 题型一 集合的运算 解｜题｜技｜巧 1.解决集合含义问题的关键点 (1)确定集合中的代表元素. (2)确定元素的限制条件. (3)理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾. 2.对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示. 3.一般规律： （1）先定集合类型：判断集合是 “有限集”（用列举法 / 韦恩图）还是 “无限数集”（用数轴法）； （2）关键词翻译：把 “且” 转化为交集，“或” 转化为并集，“都不” 转化为补集的交集； （3）参数验证：含参数的集合问题，结果必须代入验证互异性和集合关系. 易｜错｜点｜拨 1.如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况； 2.计算补集前，必须先明确全集U的范围，没有全集的补集是无意义的. 【典例1】（25-26高一上·福建泉州·月考）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】并集的概念及运算 【分析】先解出集合，然后利用集合并集运算即可. 【详解】因为集合， 所以， 故选：C. 【典例2】（25-26高三上·山东·月考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断两个集合的包含关系、交集的概念及运算、并集的概念及运算 【分析】分析集合A和集合B中元素的特性，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】当，即k为偶数时，， 当，即k为奇数时，， 所以集合A中元素为除以6余1的整数和除以6余4的整数， 因为， 所以集合B中元素为除以6余1的整数， 所以，故B正确，A错误； 当，即，当，，即，所以，故C错误； 由得，，为除以6余1的整数和除以6余4的整数，并不是全体整数，故D错误. 故选：B 【典例3】（多选）（25-26高一上·全国·月考）已知集合，，全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】判断两个集合的包含关系、交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算 【分析】根据集合的基本运算及集合之间的关系进行求解即可． 【详解】对于A，因为,，根据集合B的定义知，故A正确， 对于B，由，知，故B正确； 对于C，，可知， 由知，而，故，故C错误； 对于D，，显然，故D错误． 故选：AB． 【变式1】（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交集的概念及运算 【分析】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出. 【详解】因为，所以， 故选：D. 【变式2】（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】公式法解绝对值不等式、解不含参数的一元二次不等式、交集的概念及运算、列举法表示集合 【分析】解绝对值不等式与一元二次不等式确定，再由交集的定义即可得解. 【详解】由得，所以，因为且，满足条件的自然数x为，即， 所以， 故选：B． 题型二 集合的应用 解｜题｜技｜巧 1.容斥原理是一种数学计数方法，用于处理在计数过程中出现的重叠问题.其基本思想是先不考虑重叠的情况，将所有对象数目计算出来，然后再将重复计算的数目排除出去； 2.在解决数量关系问题、阴影面积问题时，通过应用容斥原理，可以有效地解决涉及重叠或包含关系的问题，确保计算结果的准确性； 3.一般步骤： 第一步：明确集合定义； 第二步：提取已知条件； 第三步：套用公式或画韦恩图. 易｜错｜点｜拨 1.集合交集、并集计数问题，两者在应用中容易因概念混淆、边界处理不当而出错； 2.忽略 “空集” 的特殊情况： （1）默认两个集合一定有交集，忽略A∩B=∅的情况； （2）计算补集时，忘记全集U的范围，导致补集为空或遗漏元素. 3. 重复计算或遗漏元素（有限集计数）. 【典例1】（25-26高一上·安徽黄山·期中）某校举办运动会，比赛项目分为田径和球类．高一（1）班共有50名同学，其中有18人参加田径比赛，有22人参加球类比赛，两类比赛都不参加的人数是都参加的人数的3倍，则两类比赛都参加的同学有 人． 【答案】5 【知识点】利用Venn图求集合、容斥原理的应用 【分析】利用Venn图即可求解． 【详解】设两类比赛都参加的人数为，画出Venn图如图所示， 则，解得，即两类比赛都参加的同学有5人． 故答案为：5.    【变式1】（25-26高一上·安徽六安·期中）为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、书法社团和围棋社团，若高一（10）班共有45名学生，每个学生至少参加一个社团，其中有29人参加篮球社团，26人参加书法社团，24人参加围棋社团，三个社团均参加的有4人，则恰好参加一个社团的学生有（   ） A．8人 B．10人 C．13人 D．15人 【答案】D 【知识点】利用Venn图求集合 【分析】利用Venn图求解即可. 【详解】如图所示： 设恰好参加一个社团的人数为，恰好参加两个社团的人数为，则①， 又②， 联立①②得，. 故选：D. 【变式2】（多选）（2025高三·全国·专题练习）江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（   ） A．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B．只参加球类一项比赛的人数有2人 C．只参加径赛一项比赛的人数为0人 D．只参加田赛一项比赛的人数为3人 【答案】CD 【知识点】容斥原理的应用、利用Venn图求集合 【分析】根据题意画出韦恩图，标出各集合包含的元素个数，列方程即可逐一求得. 【详解】设全班同学组成全集，参加田赛的同学组成集合，参加径赛的同学组成集合， 参加球类比赛的同学组成集合，设同时参加径赛和球类比赛的人数为， 根据题意，画出韦恩图如图所示， 则，解得. 对于A，由图知同时参加径赛和球类比赛的人数为人，故A错误； 对于B，只参加球类一项比赛的人数为人，故B错误； 对于C，只参加径赛一项比赛的人数为人，故C正确； 对于D，由图知只参加田赛一项比赛的人数为3人，故D正确. 故选：CD． 题型三 充分、必要条件的判定（跨章节/学科题型） 解｜题｜技｜巧 充分、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断. (2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止； （4）反例法：举反例证明 “推不出” 的情况. 易｜错｜点｜拨 1.混淆 “充分条件” 与 “必要条件” 的定义： （1）分不清 “谁能推出谁”，把 “p是q的充分条件” 误说成 “q是p的充分条件”； （2）对关键词理解偏差：看到 “只要p，就q”，分不清p是q的充分条件；看到 “只有p，才q”，误以为p是q的充分条件. 2. 忽略 “特殊值 / 特殊情况” 的反例作用 （1）判定 “p⇏q” 时，不会举反例； （2）仅凭主观感觉推导，不借助特殊值验证. 【典例1】（2025·四川成都·模拟预测）“是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【知识点】既不充分也不必要条件 【分析】根据不等关系结合充分与必要条件判断即可. 【详解】当时，满足，但是此时； 当，满足，但此时； 故“是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【变式1】(2025·北京房山区模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，且在[0，＋∞)上单调递减，对于实数a，b，则“a2<b2”是“f(a)>f(b)”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由定义在R上的函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，得函数f(x)是R上的偶函数，而f(x)在[0，＋∞)上单调递减，因此f(a)>f(b)⇔f(|a|)>f(|b|)⇔|a|<|b|⇔a2<b2，所以“a2<b2”是“f(a)>f(b)”的充要条件. 【变式2】（25-26高三上·山东日照·期中）已知函数的定义域为，命题，命题是增函数，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、比较函数值的大小关系 【分析】根据函数的单调性及命题充分必要性的概念直接判断. 【详解】充分性：函数的定义域为，若，不能就此判断是增函数， 例如函数，此时，满足， 但该函数在定义域不是增函数，所以则是的不充分条件. 必要性：若是增函数，根据增函数定义，一定有，则是的必要条件. 综上，是的必要不充分条件. 故选：B. 题型四 利用集合的关系或运算求参数的值(范围)（跨章节/学科题型） 解｜题｜技｜巧 1. 化简集合：明确集合的表示形式，化抽象为具体； 2. 分类讨论：空集优先原则，只要涉及子集、真子集的关系，第一步必须讨论空集的情况； 3. 数形结合：借助数轴或 Venn 图辅助分析； 4. 求解参数：转化集合关系，列方程（组）或不等式（组）（常见的集合关系与代数转化： ）； 5. 验证结果：检验元素互异性、端点取舍、空集条件是否满足. 易｜错｜点｜拨 1.空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解； 2.忽略集合元素的互异性，导致增解； 3.数轴分析时，端点取舍错误. 【典例1】（25-26高一上·山东德州·期中）已知集合，集合，若，记的所有取值构成的集合为，则集合的子集个数为 . 【答案】8 【知识点】根据集合的包含关系求参数、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】接着分别和求出B结合求集合C，进而可得其子集个数. 【详解】因为集合，集合，且， 当时，则，满足； 当时，则，可得或，解得或； 综上所述：，集合的子集个数为. 故答案为：8. 【典例2】（25-26高一上·湖南长沙·期中）设集合，． (1)若时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、并集的概念及运算 【分析】（1）根据并集的概念进行运算即可. （2）问题转化为，求实数的取值范围，需分和讨论. 【详解】（1）∵，∴， ∴. （2）∵，∴， ①当B是空集时，∴，解得， ②当B不是空集时，则，∴． 综上所述：. 【变式1】(2025·衡水模拟)已知集合A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{x|x≤a}，若(∁RA)∪B＝R，则实数a的取值范围为(　　) A.(1，＋∞) B.[1，＋∞) C.(－∞，1) D.(－∞，1] 【答案】B 【解析】由题可知A＝{x|y＝ln(1－x2)}＝{x|－1<x<1}， ∁RA＝{x|x≤－1或x≥1}， 所以由(∁RA)∪B＝R，得a≥1. 【变式2】（25-26高一上·广西南宁·期中）记全集，已知集合，． (1)若，求； (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1)． (2) 【知识点】根据并集结果求集合或参数、交并补混合运算 【分析】（1）求出集合与集合，利用集合的补集与交集运算即可. （2）求出集合的补集，结合已知条件得到不等式组，求解即可. 【详解】（1），则． 由，得，则， 所以． （2）依题意，， 因为，所以，解得， 故a的取值范围为． 题型五 充分、必要条件的应用（跨章节/学科题型） 解｜题｜技｜巧 1.已知p是q的充分 / 必要条件，求参数的取值范围解题策略：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. 2.解题步骤（以含参数的不等式为例）： （1）求解集合A和B（若含参数，需保留参数）； （2）根据条件关系转化为对应的集合包含关系； （3）结合数轴，列出关于参数的不等式（组）； （4）验证端点值（是否可取等号，避免漏解或错解 易｜错｜点｜拨 1.忽略 “范围大小” 与条件的关系 （1）不理解 “小范围能推出大范围，大范围推不出小范围” 的核心规律； （2）判定数集类条件时，颠倒范围大小和条件的对应关系. 2.解决集合包含关系的参数问题时，若直接列不等式，忽略端点能否取等号，会导致范围扩大或缩小. 【典例1】(2025·晋城联考)已知集合P＝{y|y＝x＋a，－1<x≤2}，Q＝{x|ln(2－x)<0}，若x∈P是x∈Q的必要不充分条件，则实数a的取值范围为 .  【答案】[0，2] 【解析】由y＝x＋a，－1<x≤2，则a－1<y≤a＋2， 所以P＝{y|a－1<y≤a＋2}， 由ln(2－x)<0，即ln(2－x)<ln 1，解得1<x<2， 所以Q＝{x|1<x<2}， 因为x∈P是x∈Q的必要不充分条件，则Q⫋P， 所以 解得0≤a≤2. 所以实数a的取值范围为[0，2]. 【典例2】（25-26高一上·重庆铜梁·月考）已知集合，非空集合. (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)是否存在实数m，使得是的必要不充分条件，若存在，求出m取值范围，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数 【分析】（1）利用集合包含关系得到两个不等式：左端点满足，右端点满足，再结合集合非空条件，联立解得的范围. （2）由得两个不等式：且，结合解得，然后检查在此范围内是否成立. 【详解】（1）由题意，是的充分条件，所以， 即且，且， 解得且，取交集得， 故实数的取值范围为. （2）若是的必要不充分条件，则且， 由得 结合，解得， 此时的右端点，所以，即成立， 因此存在实数，其取值范围为. 【变式1】（25-26高二上·广东清远·月考）若“”是“”的必要不充分条件，则a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据必要不充分条件求参数 【分析】根据必要不充分条件求参数范围即可. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所以,推不出， 所以． 故选：C 【变式2】（25-26高一上·重庆·月考）已知集合和集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据必要不充分条件求参数 【分析】（1）根据集合的交集运算讨论，，列不等式即可得实数的取值范围； （2）根据必要不充分条件得⫋，从而列不等式组即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由，得： ①若，即时，，符合题意； ②若，即时，此时，要满足， 则需或，解得； 综上，实数的取值范围为； （2）∵q是p的必要不充分条件， ∴⫋， 则或，解得：， 故实数的取值范围为. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交并补混合运算 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交集的概念及运算 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 3．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【知识点】补集的概念及运算 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 4.（25-26高三上·北京·月考）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】根据存在量词命题“”的否定形式为“”判断即可. 【详解】将命题“，”中的存在量词“”改为全称量词“”，“”否定为“”，得到“，”. 故选：A. 5．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明 【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·全国·月考）若，，则为（    ） A．，或 B．，或或 C．，或 D．，或或 【答案】B 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】由特称命题的否定相关概念可得答案. 【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题，注意到时无定义，故改写该存在量词命题的否定时应补足定义域，于是或或． 故选：B． 2．（2025·上海闵行·一模）已知，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】集合新定义 【分析】根据题中的定义求解即可. 【详解】且，因为， 对于，所以；对于，所以； 则， 故选：C. 3．（25-26高一上·福建三明·月考）已知集合，，若，则的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】先由题设得到，接着分和求出B，结合分析求解即可. 【详解】因为，所以， 当时，，满足； 当时，，则或，解得或， 综上所述，a的所有取值构成的集合为. 故选：D 4．（25-26高三上·安徽·月考）已知集合，，若，则（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】B 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】因为集合只有一个元素，又可得对应元素相等，所以集合也只有一个元素，即，求出即可求出. 【详解】令解得或. 因为， 所以，，即. 所以， 所以，即. 所以. 故答案为：B. 5．（25-26高一上·北京·期中）“若，则”为真命题，则实数的一个值为 . 【答案】0（答案不唯一，满足即可） 【知识点】根据集合的包含关系求参数、已知命题的真假求参数 【分析】分析可知，结合包含关系运算求解即可. 【详解】“若，则”为真命题，则， 可得，解得，例如. 故答案为：0（答案不唯一，满足即可）. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一上·四川·月考）定义：不小于x的最小整数，在数学中通常用向上取整函数表示，符号为，读作“x的上取整”，如，.已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列举法表示集合 【分析】分，和三种情况讨论，结合定义即可得解. 【详解】当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 综上所述，. 故选：B. 2．（2025高三上·湖北·专题练习）已知集合 ，.若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算 【分析】首先确定集合的补集，然后根据求出的范围. 【详解】因为集合， 所以. 因为集合，， 当不为空集时， 所以，解得. 当为空集时，，解得. 综上，的取值范围为. 故选：A 3．（2025高一·全国·专题练习）若对任意，都有，则称非空集合为“和谐集”，已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】集合新定义、求集合的子集（真子集）、判断元素与集合的关系 【分析】根据集合的新定义及元素与集合的关系判断求解. 【详解】由且可得： 若，则， 所以“和谐集”不含元素； 若，不存在，所以“和谐集”不含元素； 若，则，要求也属于该集合，产生矛盾， 所以“和谐集”不含元素； 若，则， 若，则， 若，则； 所以集合的子集中“和谐集”只有. 故选：B． 4．（25-26高一上·福建宁德·期中）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据或且非的真假求参数、根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）分和两种情况进行讨论即可； （2）分真假和假真两种情况进行讨论求解，再取并集即可． 【详解】（1）因为为真命题， 所以当时，不等式为，在上恒成立，符合题意； 当时，解得． 综上，实数的取值范围为． （2）若为真命题，即， 则对于． 由于， 所以，解得， 又因为有且只有一个是真命题， 所以当真假时， 解得； 当假真时， 解得． 所以实数的取值范围为． 5．（25-26高一上·广东深圳·月考）已知集合，非空集合． (1)若，求：的取值集合； (2)若是的必要条件，求：的取值集合． 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据必要不充分条件求参数、根据交集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）首先求出集合的具体元素，根据判断集合中的元素特征，列方程求解的值，验证排除即可； （2）根据已知条件得出集合之间的关系，从而可得到集合的所有可能情况，逐一验证即可. 【详解】（1）化简得，解得或，所以， 因为，所以且， 所以，即，解得或， 当时，，即，化简得，解得或，即，不符合题意，舍去； 当时，，即，化简得，解得或，即，满足题意. 故． （2）若是的必要条件，则， 又，由（1）可知或或. ①由（1）可知当时，. ②当时，由，解得或，由（1）知不成立； 当时，方程，即的解为或，，此时，舍去. ③当时，由（1）可得或，此时不符合题意，舍去； 当时，由（1）可知，此时，舍去. 综上所述：. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 集合的基本概念 掌握集合的基本概念、表示方法及元素与集合的关系 基础必考点，常出现在小题； 集合间的基本关系 能准确判断子集、真子集 基础必考点，常出现在小题.有时与充要条件结合出现在答题之中； 集合间的基本运算 熟练计算集合的交集、并集、补集，能解决含参数的集合问题 高频考点，以数集（含一元一次不等式、一元二次不等式的解集）的交集、并集、补集运算为核心，常结合数轴考查，需注意区间端点的取舍. 含参数的集合问题 在熟练掌握集合基础知识的基础上，学会分类讨论的方法. 多为主观题，往往与其他章节的结合，如集合与不等式、函数的结合等；易错是元素互异性应用不当、忽略空集的特殊性. 充分必要条件判定 需掌握“定义法”“集合法”两种判定方法 常结合函数、不等式等知识点，多为小题，也有在主观题中与集合运算结合的命题. 全称命题与特称命题的否定 理解概念、掌握对量词的改写和结论的否定的方法. 高频基础题型，易错点是仅否定结论而未改写量词 知识点01 集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示. (3)集合的表示法：列举法、描述法、区间法、图示法. (4)常见数集的记法 集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R ·易错点：集合中元素的互异性. 示例：已知集合A＝{－1，a2－2a＋1，a－4}，若4∈A，则a的值可能为(　　) A.－1，3 B.－1 C.－1，3，8 D.－1，8 知识点02 集合的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A). (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA). (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. ·易错点：忽视空集特殊性. 示例：(多选)已知集合M＝{－1，1}，N＝{x|mx＝1}，且N⊆M，则实数m的值可以为(　　) A.－2 B.－1 C.0 D.1 知识点03 集合的基本运算 表示 运算 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 示例：(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U(M∪N)等于(　　) A.{x|x＝3k，k∈Z} B.{x|x＝3k－1，k∈Z} C.{x|x＝3k－2，k∈Z} D.∅ 知识点04 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 示例：（25-26高一上·江苏常州·期中）“”是“函数在区间上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点05 全称量词与存在量词、全称量词命题和存在量词命题 1.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. 2.全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，¬p(x) ∀x∈M，¬p(x) 示例：（25-26高一上·江苏连云港·期中）命题“”的否定为（　　） A． B． C． D． 题型一 集合的运算 解｜题｜技｜巧 1.解决集合含义问题的关键点 (1)确定集合中的代表元素. (2)确定元素的限制条件. (3)理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾. 2.对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示. 3.一般规律： （1）先定集合类型：判断集合是 “有限集”（用列举法 / 韦恩图）还是 “无限数集”（用数轴法）； （2）关键词翻译：把 “且” 转化为交集，“或” 转化为并集，“都不” 转化为补集的交集； （3）参数验证：含参数的集合问题，结果必须代入验证互异性和集合关系. 易｜错｜点｜拨 1.如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况； 2.计算补集前，必须先明确全集U的范围，没有全集的补集是无意义的. 【典例1】（25-26高一上·福建泉州·月考）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·山东·月考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】（多选）（25-26高一上·全国·月考）已知集合，，全集，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 题型二 集合的应用 解｜题｜技｜巧 1.容斥原理是一种数学计数方法，用于处理在计数过程中出现的重叠问题.其基本思想是先不考虑重叠的情况，将所有对象数目计算出来，然后再将重复计算的数目排除出去； 2.在解决数量关系问题、阴影面积问题时，通过应用容斥原理，可以有效地解决涉及重叠或包含关系的问题，确保计算结果的准确性； 3.一般步骤： 第一步：明确集合定义； 第二步：提取已知条件； 第三步：套用公式或画韦恩图. 易｜错｜点｜拨 1.集合交集、并集计数问题，两者在应用中容易因概念混淆、边界处理不当而出错； 2.忽略 “空集” 的特殊情况： （1）默认两个集合一定有交集，忽略A∩B=∅的情况； （2）计算补集时，忘记全集U的范围，导致补集为空或遗漏元素. 3. 重复计算或遗漏元素（有限集计数）. 【典例1】（25-26高一上·安徽黄山·期中）某校举办运动会，比赛项目分为田径和球类．高一（1）班共有50名同学，其中有18人参加田径比赛，有22人参加球类比赛，两类比赛都不参加的人数是都参加的人数的3倍，则两类比赛都参加的同学有 人． 【变式1】（25-26高一上·安徽六安·期中）为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、书法社团和围棋社团，若高一（10）班共有45名学生，每个学生至少参加一个社团，其中有29人参加篮球社团，26人参加书法社团，24人参加围棋社团，三个社团均参加的有4人，则恰好参加一个社团的学生有（   ） A．8人 B．10人 C．13人 D．15人 【变式2】（多选）（2025高三·全国·专题练习）江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（   ） A．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B．只参加球类一项比赛的人数有2人 C．只参加径赛一项比赛的人数为0人 D．只参加田赛一项比赛的人数为3人 题型三 充分、必要条件的判定（跨章节/学科题型） 解｜题｜技｜巧 充分、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断. (2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止； （4）反例法：举反例证明 “推不出” 的情况. 易｜错｜点｜拨 1.混淆 “充分条件” 与 “必要条件” 的定义： （1）分不清 “谁能推出谁”，把 “p是q的充分条件” 误说成 “q是p的充分条件”； （2）对关键词理解偏差：看到 “只要p，就q”，分不清p是q的充分条件；看到 “只有p，才q”，误以为p是q的充分条件. 2. 忽略 “特殊值 / 特殊情况” 的反例作用 （1）判定 “p⇏q” 时，不会举反例； （2）仅凭主观感觉推导，不借助特殊值验证. 【典例1】（2025·四川成都·模拟预测）“是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】(2025·北京房山区模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，且在[0，＋∞)上单调递减，对于实数a，b，则“a2<b2”是“f(a)>f(b)”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【变式2】（25-26高三上·山东日照·期中）已知函数的定义域为，命题，命题是增函数，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型四 利用集合的关系或运算求参数的值(范围)（跨章节/学科题型） 解｜题｜技｜巧 1. 化简集合：明确集合的表示形式，化抽象为具体； 2. 分类讨论：空集优先原则，只要涉及子集、真子集的关系，第一步必须讨论空集的情况； 3. 数形结合：借助数轴或 Venn 图辅助分析； 4. 求解参数：转化集合关系，列方程（组）或不等式（组）（常见的集合关系与代数转化： ）； 5. 验证结果：检验元素互异性、端点取舍、空集条件是否满足. 易｜错｜点｜拨 1.空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解； 2.忽略集合元素的互异性，导致增解； 3.数轴分析时，端点取舍错误. 【典例1】（25-26高一上·山东德州·期中）已知集合，集合，若，记的所有取值构成的集合为，则集合的子集个数为 . 【典例2】（25-26高一上·湖南长沙·期中）设集合，． (1)若时，求； (2)若，求的取值范围． 【变式1】(2025·衡水模拟)已知集合A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{x|x≤a}，若(∁RA)∪B＝R，则实数a的取值范围为(　　) A.(1，＋∞) B.[1，＋∞) C.(－∞，1) D.(－∞，1] 【变式2】（25-26高一上·广西南宁·期中）记全集，已知集合，． (1)若，求； (2)若，求a的取值范围． 题型五 充分、必要条件的应用（跨章节/学科题型） 解｜题｜技｜巧 1.已知p是q的充分 / 必要条件，求参数的取值范围解题策略：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. 2.解题步骤（以含参数的不等式为例）： （1）求解集合A和B（若含参数，需保留参数）； （2）根据条件关系转化为对应的集合包含关系； （3）结合数轴，列出关于参数的不等式（组）； （4）验证端点值（是否可取等号，避免漏解或错解 易｜错｜点｜拨 1.忽略 “范围大小” 与条件的关系 （1）不理解 “小范围能推出大范围，大范围推不出小范围” 的核心规律； （2）判定数集类条件时，颠倒范围大小和条件的对应关系. 2.解决集合包含关系的参数问题时，若直接列不等式，忽略端点能否取等号，会导致范围扩大或缩小. 【典例1】(2025·晋城联考)已知集合P＝{y|y＝x＋a，－1<x≤2}，Q＝{x|ln(2－x)<0}，若x∈P是x∈Q的必要不充分条件，则实数a的取值范围为 .  【典例2】（25-26高一上·重庆铜梁·月考）已知集合，非空集合. (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)是否存在实数m，使得是的必要不充分条件，若存在，求出m取值范围，若不存在，说明理由. 【变式1】（25-26高二上·广东清远·月考）若“”是“”的必要不充分条件，则a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·重庆·月考）已知集合和集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 4.（25-26高三上·北京·月考）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·全国·月考）若，，则为（    ） A．，或 B．，或或 C．，或 D．，或或 2．（2025·上海闵行·一模）已知，若，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·福建三明·月考）已知集合，，若，则的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·安徽·月考）已知集合，，若，则（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 5．（25-26高一上·北京·期中）“若，则”为真命题，则实数的一个值为 . 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一上·四川·月考）定义：不小于x的最小整数，在数学中通常用向上取整函数表示，符号为，读作“x的上取整”，如，.已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三上·湖北·专题练习）已知集合 ，.若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 3．（2025高一·全国·专题练习）若对任意，都有，则称非空集合为“和谐集”，已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（25-26高一上·福建宁德·期中）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 5．（25-26高一上·广东深圳·月考）已知集合，非空集合． (1)若，求：的取值集合； (2)若是的必要条件，求：的取值集合． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $