专题05 位置与坐标（期末复习讲义）七年级数学上学期新教材鲁教版五四制

该初中数学期末复习讲义以“位置与坐标”为核心，通过知识模块表格系统梳理确定位置的方法、平面直角坐标系等5大模块，明确核心考点、复习目标及考情规律，结合坐标特征、对称变换等知识点和12类题型，构建清晰知识脉络，突出坐标系与几何图形结合等重难点。 讲义亮点在于分层练习设计与解题技巧指导，基础通关练夯实坐标读写等基础，重难突破练聚焦几何与坐标综合题，综合拓展练融入规律探究与自定义问题。如“坐标平面内的规律探究”题型引导学生观察点坐标与序号关系，培养抽象能力和创新意识，解题技巧如“将几何条件代数化”助力学生用数学思维解决问题，支持分层教学与自主复习。

专题05 位置与坐标（期末复习讲义） 知识模块 核心考点 复习目标 考情规律 1. 确定位置的方法 1. 行列定位法（如电影院座位）。 2. 方位角 + 距离定位法。 3. 经纬度定位法。 1. 能描述生活中确定位置的常用方法。2. 理解无论何种方法，其数学本质都需要两个独立的数据。 主要在选择题、填空题中考查，要求根据描述确定位置，或判断某种方法所需的“数对”个数。是坐标系概念的铺垫。 2. 平面直角坐标系 1. 坐标系构成：原点、横轴（x轴）、纵轴（y轴）、象限。 2. 点的坐标：有序数对 (x, y)。 3. 特殊点的坐标特征：坐标轴、象限角平分线上的点。 1. 能画出平面直角坐标系，并会写出给定点的坐标。 2. 能根据坐标在坐标系中描点。 3. 掌握坐标轴及象限角平分线上点的坐标特征。 必考基础。高频考查：①根据点位置写坐标/根据坐标描点；②判断点所在象限；③求坐标轴、象限角平分线上点的坐标。易错点：混淆各象限符号，忽略坐标的有序性。 3. 坐标的应用（图形与变换） 坐标与轴对称：关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标变化规律。 1. 能建立适当坐标系表示图形顶点坐标。 2. 理解并应用轴对称引起的坐标变化规律，求变换后点的坐标或图形。 核心与中档题考点。考查方式：①解答题中，求图形轴对称后的顶点坐标并作图；②综合题中，与几何图形结合，利用坐标变换规律求边长、面积或进行证明。 4. 坐标的应用（几何与面积） 1. 利用点坐标求水平或竖直的线段长度。 2. “铅垂线法”求平面图形面积。 1. 会计算坐标系中平行于坐标轴的线段长度（绝对值相减）。 2. 掌握将不规则图形面积转化为规则图形（如矩形、梯形）进行计算的方法。 常作为综合题的一部分。利用坐标求线段长是基础；利用“割补法”或“铅垂线法”求三角形、四边形面积是重要能力，为后续函数与几何综合题奠基。 5. 坐标的简单规律探索 根据一组有规律点的坐标，探索并归纳其变化规律，写出后续点的坐标。 1. 能观察点坐标与序号（n）之间的关系。 2. 能归纳并用代数式表示坐标的规律。 常以选择题、填空题压轴形式出现，考查观察、归纳和代数表达能力。属于区分度题目。 知识点01平面直角坐标系点的坐标特征 1、各象限内坐标符号 第一象限： 第二象限： 第三象限： 第四象限： 2、坐标轴上 x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0，原点的坐标为（0,0） 3、中点坐标公式：已知平面内任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点坐标为() 知识点02平面直角坐标系中的坐标对称特征 在平面直角坐标系中，点P(x，y)关于x轴对称的对称点的坐标是(x，－y)，关于y轴对称的对称点的坐标是(－x，y)，关于原点对称的对称点的坐标是(－x，－y)． 题型一、用有序数对表示路线 解｜题｜技｜巧 将路线分解为一系列关键点，用有序数对顺序表示这些点。注意：1. 明确参照点（原点）；2. 规定方向（如左右为x轴，上下为y轴）；3. 按行进顺序记录点坐标。 【典例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，点用表示，点用表示．若用表示由点到点的一种走法，并规定从点到点只能向上或向右走，用上述表示法再写出另外两种走法，并判断这几种走法的路程是否相等． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图所示的是某市部分路段示意图，已知体育场的位置用表示． (1)小颖家在东王小区，她家的位置可以用___________表示； (2)李红家的位置在处，请在图中标出她家的位置； (3)从电影院到邮局的一条路线可用表示，类比这种路线表示方法，在（2）的条件下，写出李红从家到少年宫的一条路线． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，一个点在的方格(每小格边长为1)上沿着网格线运动，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负，如果从A到B记为，从B到A记为，其中第一个数表示左右方向及运动的距离，第二个数表示上下方向及运动距离． (1)填空：图中(____，____)，(____，____)； (2)若这个点从A处去P处的行走路线依次为：，请在图中标出P的位置． 题型二、用有序数对表示位置 解｜题｜技｜巧 关键在于选择合适的原点与坐标轴。步骤：1. 选定参照点为原点；2. 确定互相垂直的两个方向为x、y轴正方向；3. 测量目标点沿两轴到原点的距离（带方向），即得坐标。确保数据有序（先横后纵）。 【典例2】（25-26七年级上·河北邯郸·开学考试）王伟坐在教室的第列、第排，用数对表示，李林坐在教室的第列、第排，用数对表示．张乐与李林在同一列，在王伟的前一排，张乐的位置用数对表示是（    ）． A． B． C． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期中）如果将电影票上“6排3号”记作，那么“4排10号”记作 ． 【变式2】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）2025年4月，解放军正在台湾海峡南部举行“海峡雷霆－2025A”军事演习．如图，解放军一艘船在雾中航行，某时刻雷达屏幕上出现了A，B，C三个目标．记图中目标A，B的位置分别为，．则目标C的位置应表示为（ ， ）． 题型三、写出点的坐标 解｜题｜技｜巧 过点分别作x轴、y轴的垂线，垂足对应的数值即为横、纵坐标。明确坐标的有序性：(横坐标, 纵坐标)。注意象限或坐标轴，确定数值前的正负号。口诀：“先横后纵，括号逗号” 【典例3】（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）已知点，轴，且，则点坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1】（25-26七年级上·山东东营·月考）第四象限内的点满足，，则点的坐标是 ． 【变式2】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，点的坐标为，点在第二象限，点在第三象限，若轴，则点的坐标为 ． 题型四、判断点所在的象限 解｜题｜技｜巧 根据坐标(x, y)的正负号直接判断：第一象限(+, +)；第二象限(-, +)；第三象限(-, -)；第四象限(+, -)。坐标轴上点不属于任何象限（x轴上y=0，y轴上x=0）。 【典例4】（25-26八年级上·山东青岛·期中）若点在x轴上，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（25-26七年级上·山东济宁·月考）在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，则下列说法中正确的有（    ）个 ①一只风筝飞到距点A处20米处，该条件不能确定位置 ②若，则点A一定在第一、三象限的角平分线上 ③若点A在第一象限，则点一定在第二象限 ④若点A在第四象限，那么点A到x轴的距离是 A．4 B．3 C．2 D．1 题型五、几何和坐标的综合 解｜题｜技｜巧 将几何图形的特征转化为坐标条件。例如，等腰三角形可能隐含横坐标相同（底边垂直y轴）或纵坐标相同（底边垂直x轴），或利用两点间距离公式（勾股定理）表示边长相等。核心是 “几何条件代数化”。 【典例5】（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ． 【变式1】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，边与轴交于点G，点在边上.将沿折叠，点落在点处.若点的坐标为，求点的坐标． 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，已知两点，其中满足为第三象限内一点． (1)请写出两点的坐标：________． (2)若点到两坐标轴的距离相等，且，求点的坐标． 题型六、在平面直角坐标系内描点 解｜题｜技｜巧 严格按坐标(x, y)描点。步骤：1. 在x轴上找到横坐标x，过此点作x轴的垂线；2. 在y轴上找到纵坐标y，过此点作y轴的垂线；3. 两条垂线的交点即为所求点。务必细心，避免看反坐标。 【典例6】（25-26八年级上·福建宁德·月考）在如图所示的网格中有四个点，鹏鹏在该网格中建立了一个平面直角坐标系，然后得到点的坐标为，点的坐标为，则点和点的坐标分别为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·北京丰台·期末）五子棋的比赛规则：率先在棋盘上形成横、纵或斜线的连续五颗同色棋子为获胜方．在如图所示的一盘棋中，若①的位置是，②的位置是，现轮到黑棋走，小明认为黑棋放在位置胜利；小亮认为黑棋放在位置胜利．下列说法正确的是（   ） A．小明、小亮均正确 B．小明、小亮均错误 C．小明正确，小亮错误 D．小明错误，小亮正确 题型七、用坐标平面表示位置 解｜题｜技｜巧 即建立合适的坐标系。关键是根据图形特征灵活选择原点位置（如以图形中心、顶点或对称点为原点），以使关键点的坐标尽量简单（多零值、小整数）。这能极大简化后续计算和表示。 【典例7】（25-26八年级上·山东济南·月考）天文学家以流星雨辐射的区域的星座给流星雨命名，如图，把狮子座的星座图放在网格中，若点 A 的坐标是，点 C 的坐标是，则点 B 的坐标是 ． 【变式1】（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图是根据某学校的平面示意图建立的平面直角坐标系，学校的入口位于坐标原点，弘毅楼位于点，从弘毅楼出发沿射线方向前行是致远楼，从致远楼向左转后直行到博雅楼，则点的坐标是 ． 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期中）以天安门广场所在位置为原点，图中小正方形的边长为单位长度，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)地坛公园的坐标为_________，朝阳公园的坐标为_________； (2)若北京奥林匹克公园位于天安门广场正上方8个单位长度，则北京奥林匹克公园的坐标为_________； (3)现准备在处建一个公园，请你标出公园的位置． 题型八、已知象限求参数 解｜题｜技｜巧 根据点所在象限的坐标符号特征，列出关于参数的不等式组。例如，点(a-2, 3)在第二象限，则{a-2 < 0; 3 > 0}，解出a<2。注意边界情况（坐标轴）往往需要单独讨论。 【典例8】（25-26七年级上·山东济南·期中）若点在轴上，则点坐标为 ． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知点，解答下列各题 (1)点在轴上，直接写出点的坐标为_____； (2)点的坐标为，直线轴，直接写出点的坐标为_____； (3)若点在第一象限，且它到轴的距离与轴的距离相等，求的值． 【变式2】（25-26八年级上·山东济南·期中）已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求出点的坐标． (2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标． (3)若点在第三象限，且它到轴的距离等于4，求出点的坐标． 题型九、用方向角和距离表示位置 解｜题｜技｜巧 步骤：1. 确定基准方向（如正北）和观测点（原点）；2. 描述目标点：从基准方向顺时针或逆时针旋转的角度（方向角），以及到观测点的距离。需明确角度与距离的顺序。 【典例9】25．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图是小明家相对于学校的位置图，下列描述能确定小明家位置的是（    ） A．在距离学校处 B．在学校的北偏西方向 C．在学校的北偏西方向处 D．在学校的北偏西方向处 【变式1】（19-20七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图所示，小明在A处，小红在B处，小李在C处，米，米，下列说法正确的是（    ） A．小红在小明北偏东方向处 B．小红在小明南偏西方向处 C．小明在小红南偏西方向，距离为10米处 D．小明在小李北偏东方向，距离为18米处 【变式2】（25-26八年级上·贵州六盘水·期中）如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点处有目标出现．按某种规则，点，的位置可以分别表示为，则点的位置可以表示为 ． 题型十、坐标平面内的点坐标对称 解｜题｜技｜巧 掌握规律：1. 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标变相反数，(x,y)→(x,-y)。2. 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标变相反数，(x,y)→(-x,y)。3. 关于原点对称：横、纵坐标均变相反数，(x,y)→(-x,-y)。 【典例10】（24-25八年级上·山东济宁·月考）已知：点与点关于x轴对称，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．3 【变式1】（25-26八年级上·江苏南通·月考）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值为 ． 【变式2】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，过点B作直线轴，点P是直线l上的一个动点，以为边作等腰，(点A，P，Q呈逆时针排列)，当点P在直线l上运动时，点Q也随之运动．点Q在运动的过程中，的最小值为 ． 题型十一、坐标平面内的规律探究 解｜题｜技｜巧 观察点坐标与序号n的关系。常用方法：1. 列表，分别观察横、纵坐标与n的数值关系；2. 寻找等差、等比或循环规律；3. 用含n的代数式表示坐标。可能涉及符号规律（如(-1) n）和分段规律。 【典例11】（25-26七年级上·山东泰安·月考）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·山东济宁·月考）如图，在单位长度为1的方格纸上，，，，……，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为 ． 【变式2】（25-26八年级上·山东日照·期中）电子蜘蛛在边长为1的正方形网格上织网，若电子蜘蛛从出发，先爬到，再下一步爬到……以这样的规律织网．例如，再下一步即．若，则的坐标是 ． 题型十二、坐标平面内的自定义问题 解｜题｜技｜巧 仔细阅读并理解新定义或新运算规则。关键在于将新规则“翻译”成关于点坐标的代数关系或操作步骤，然后类比已学的坐标知识（如距离公式、中点公式）进行推理或计算。理解规则本质是解题前提。 【典例12】（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且平行于轴，给出如下定义：点先关于轴对称得点，再将点关于直线对称得点，则称点是点关于轴和直线的二次反射点．    (1)已知，，则它们关于轴和直线的二次反射点的坐标分别是___________ (2)若点的坐标是，其中，点关于轴和直线的二次反射点是点，求线段的长． 【变式1】（25-26八年级上·北京丰台·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，给出如下定义：若P为内（不含边界）一点，且与的一条边相等，则称P为的关联点． (1)在中，的关联点是______； (2)如图2，若P为内一点，且P为的关联点，当______时，；此时，______； (3)直线l为过点，且与x轴平行的直线，若直线l上存在的三个关联点，直接写出m的取值范围． 【变式2】（24-25八年级下·福建泉州·期中）阅读与思考： 在平面直角坐标系中，直线l过点且平行于x轴，对于点M和平行四边形，给出如下定义：点M关于直线l的对称点落在平行四边形所围成的图形上及其内部，则称点M是平行四边形关于直线l的可触碰点．已知点 (1)平行四边形对角线交点坐标为______；是平行四边形关于直线l的可触碰点，则a的取值范围是______． (2)已知点P是直线上的一动点，当P是平行四边形关于直线l的可触碰点时，求满足条件的所有点P组成的几何图形的面积． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·山东临沂·期末）北斗七星是指大熊座的天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七星，古人把这七星联系起来想象成为古代舀酒的斗形，故名北斗．小超同学将自己观察到的北斗七星画在下图的网格中，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点的坐标为，表示“开阳”的点的坐标为，则表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为 ． 2．（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）如图，，点E，B，C在轴上，已知点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 36．（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点A的坐标为． (1)若点A在轴上，求点A的坐标； (2)若点，直线轴，求的值； (3)若点A在第四象限，且到两坐标轴距离之和为9，求的值； (4)点的坐标为，若直线轴，且线段的长为5，求的值及点的坐标． 3．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于x轴对称的． (2)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______． (3)若点与点关于轴对称，若，则点的坐标为______． 4．（22-23八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，直线经过点且与轴平行． (1)请在坐标系中画出关于轴对称的图形． (2)请在坐标系中画出关于直线对称的图形． (3)若点是内一点，则点关于直线对称的坐标是 ． 5．（25-26八年级上·河南郑州·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在图中画出并标出字母； (2)若点P与点C关于y轴对称，则点P的坐标为______； (3)已知Q为y轴上一点，若的面积为8，请直接写出点Q的坐标． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，一支激光笔在点处射出一束激光，激光的射出方向与水平方向夹角为，每当激光碰到长方形的边时就会发生反射．已知激光第次碰到长方形边上的点为，激光第次碰到长方形边上的点为，，则激光第次碰到长方形边上的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东青岛·期末）青岛是旅游热点城市，前海一线的回澜阁、小青岛更是游客网红打40．（23-24八年级上·江苏南通·月考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)点D在x轴上，使得，仅用无刻度的直尺作出点D；（不写作法，保留作图痕迹） (2)点P在y轴上，使得的周长最小，作出点P．（不写作法，保留作图痕迹） 3．（25-26八年级上·山东青岛·月考）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．的边在轴上，两点的坐标分别为、，，且，点从出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． (1)两点的坐标分别是 ， ； (2)是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 4．（25-26七年级上·重庆·月考）如图，小航设计了一个的“相反数”转换方阵，其工作程序是：点击任意一个方格， 它本身以及它上、下、左、右的方格中的数均会变为原来的相反数．其中第2行第1 列的方格记为， 如：点击方格， 那么方格、、、四个方格中的“”均会变为“”． （1）依次点击方格，后，第3行的3个数从左到右分别是 ； （2）若要将方格中的数“”变为“”，同时要求其它方格中的数均为“”， 则需要点击方格的最少次数是 5．（2025八年级上·全国·专题练习）新考法  如图，在平面直角坐标系中，，点A的坐标为，点为轴正半轴上一动点，点为第一象限的一点，且，的延长线交轴于点，当点运动时，点的坐标是否也随着变化？若不变，求出点的坐标；若变化，请说明理由． 6．（25-26八年级上·山东淄博·月考）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；较大值称为点P的“长距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”． (1)点到x轴的距离为　　，到y轴的距离为　　，点A的“短距”为　　． (2)若点是“完美点”，求a的值． (3)若点的长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 6．（24-25八年级下·重庆潼南·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，点C为y轴负半轴上一点，且满足．    (1)求直线的解析式； (2)如图2，点E是线段的中点，点M，N分别是线段上的两个动点，连接，求的最小值； (3)若点P是x轴上一动点，当时，请直接写出所有满足条件的点P的坐标． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26八年级上·山东青岛·期中）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2026次运算后得到点 ． 2．（25-26八年级上·山东济南·期中）规定在平面直角坐标系中，任意不重合的两点之间的折线距离为．例如，点与点之间的折线距离为．已知点，若点的坐标为，且，则 ． 3．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”．若点的长距为5，且点在第三象限内，点的坐标为，则点 “完美点”（填是或不是）． 4．（25-26八年级上·山东济宁·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，顶点的坐标为，． (1)若． ①点C的位置如图1所示，求点C的坐标； ②如图2，若点坐标为，连接和，求证：； (2)若，如图3，点的位置不变，点随点位置的变化而变化，②中的其它条件不变，和又有怎样的数量关系？请证明你的猜想． 5．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，直线交y轴于点M，将沿直线翻折，得到，线段交y轴于H，动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度．沿折线向终点C运动． (1)求点的坐标； (2)若点P的运动时间为t秒，连接、，的面积为，求与的关系式，并直接写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，当点P移动到线段上时，连接，若，求此时的值． 试卷第58页，共60页 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 位置与坐标（期末复习讲义） 知识模块 核心考点 复习目标 考情规律 1. 确定位置的方法 1. 行列定位法（如电影院座位）。 2. 方位角 + 距离定位法。 3. 经纬度定位法。 1. 能描述生活中确定位置的常用方法。2. 理解无论何种方法，其数学本质都需要两个独立的数据。 主要在选择题、填空题中考查，要求根据描述确定位置，或判断某种方法所需的“数对”个数。是坐标系概念的铺垫。 2. 平面直角坐标系 1. 坐标系构成：原点、横轴（x轴）、纵轴（y轴）、象限。 2. 点的坐标：有序数对 (x, y)。 3. 特殊点的坐标特征：坐标轴、象限角平分线上的点。 1. 能画出平面直角坐标系，并会写出给定点的坐标。 2. 能根据坐标在坐标系中描点。 3. 掌握坐标轴及象限角平分线上点的坐标特征。 必考基础。高频考查：①根据点位置写坐标/根据坐标描点；②判断点所在象限；③求坐标轴、象限角平分线上点的坐标。易错点：混淆各象限符号，忽略坐标的有序性。 3. 坐标的应用（图形与变换） 坐标与轴对称：关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标变化规律。 1. 能建立适当坐标系表示图形顶点坐标。 2. 理解并应用轴对称引起的坐标变化规律，求变换后点的坐标或图形。 核心与中档题考点。考查方式：①解答题中，求图形轴对称后的顶点坐标并作图；②综合题中，与几何图形结合，利用坐标变换规律求边长、面积或进行证明。 4. 坐标的应用（几何与面积） 1. 利用点坐标求水平或竖直的线段长度。 2. “铅垂线法”求平面图形面积。 1. 会计算坐标系中平行于坐标轴的线段长度（绝对值相减）。 2. 掌握将不规则图形面积转化为规则图形（如矩形、梯形）进行计算的方法。 常作为综合题的一部分。利用坐标求线段长是基础；利用“割补法”或“铅垂线法”求三角形、四边形面积是重要能力，为后续函数与几何综合题奠基。 5. 坐标的简单规律探索 根据一组有规律点的坐标，探索并归纳其变化规律，写出后续点的坐标。 1. 能观察点坐标与序号（n）之间的关系。 2. 能归纳并用代数式表示坐标的规律。 常以选择题、填空题压轴形式出现，考查观察、归纳和代数表达能力。属于区分度题目。 知识点01平面直角坐标系点的坐标特征 1、各象限内坐标符号 第一象限： 第二象限： 第三象限： 第四象限： 2、坐标轴上 x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0，原点的坐标为（0,0） 3、中点坐标公式：已知平面内任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点坐标为() 知识点02平面直角坐标系中的坐标对称特征 在平面直角坐标系中，点P(x，y)关于x轴对称的对称点的坐标是(x，－y)，关于y轴对称的对称点的坐标是(－x，y)，关于原点对称的对称点的坐标是(－x，－y)． 题型一、用有序数对表示路线 解｜题｜技｜巧 将路线分解为一系列关键点，用有序数对顺序表示这些点。注意：1. 明确参照点（原点）；2. 规定方向（如左右为x轴，上下为y轴）；3. 按行进顺序记录点坐标。 【典例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，点用表示，点用表示．若用表示由点到点的一种走法，并规定从点到点只能向上或向右走，用上述表示法再写出另外两种走法，并判断这几种走法的路程是否相等． 【答案】（合理即可），这三种走法的路程是相等的 【分析】本题考查有序数对的应用，根据题意结合图形，找出由A到B的路线，再用坐标表示各个顶点的坐标，用“→”连接即可．观察几种走法有什么相同之处，由此分析它们的路程是否相等．注意：走法的答案不唯一． 【详解】解：走法一：， 走法二：， 这三种走法的路程是相等的． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图所示的是某市部分路段示意图，已知体育场的位置用表示． (1)小颖家在东王小区，她家的位置可以用___________表示； (2)李红家的位置在处，请在图中标出她家的位置； (3)从电影院到邮局的一条路线可用表示，类比这种路线表示方法，在（2）的条件下，写出李红从家到少年宫的一条路线． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】此题主要考查了有序数对确定位置，正确理解有序数对意义是解题关键． （1）直接利用已知有序数对，结合平位置得出答案； （2）利用已知有序数对，进而得出答案； （3）先规划好路线，再用有序数对表示路线即可． 【详解】（1）解：小颖家在东王小区，她家的位置可以用表示； 故答案为：； （2）解：如图所示：李红家的位置即为所求； （3）解：李红从家到少年宫的一条路线可以为： ． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，一个点在的方格(每小格边长为1)上沿着网格线运动，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负，如果从A到B记为，从B到A记为，其中第一个数表示左右方向及运动的距离，第二个数表示上下方向及运动距离． (1)填空：图中(____，____)，(____，____)； (2)若这个点从A处去P处的行走路线依次为：，请在图中标出P的位置． 【答案】(1)，；， (2)答案见解析 【分析】本题主要考查了利用有序数对确定点的位置的方法，解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用有序数对表示． （1）根据题中规定即可获得答案； （2）结合题中规定，依次确定点，，及的位置，即可获得答案． 【详解】（1）解：由题中规定，向上向右走均为正，向下向左走均为负，则图中，； 故答案为：，；，； （2）解：点P位置如图所示． 题型二、用有序数对表示位置 解｜题｜技｜巧 关键在于选择合适的原点与坐标轴。步骤：1. 选定参照点为原点；2. 确定互相垂直的两个方向为x、y轴正方向；3. 测量目标点沿两轴到原点的距离（带方向），即得坐标。确保数据有序（先横后纵）。 【典例2】（25-26七年级上·河北邯郸·开学考试）王伟坐在教室的第列、第排，用数对表示，李林坐在教室的第列、第排，用数对表示．张乐与李林在同一列，在王伟的前一排，张乐的位置用数对表示是（    ）． A． B． C． 【答案】A 【分析】本题考查用数对表示位置，读懂题意，掌握数对表示位置的规则是解决问题的关键．先理解题中数对表示位置的规则，再由张乐与李林在同一列，在王伟的前一排，确定张乐位置为第列、第排，即可确定答案． 【详解】解：李林坐在教室的第列，张乐与李林在同一列，则张乐在教室的第列； 王伟坐在教室的第排，张乐在王伟的前一排，则张乐在教室的第排； 张乐的位置用数对表示是第列、第排， 即张乐的位置用数对表示是， 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期中）如果将电影票上“6排3号”记作，那么“4排10号”记作 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标确定位置，解题的关键是理解题目的规定，知道坐标与位置的对应关系． 根据有序数对确定点的位置，可得答案． 【详解】解：在电影票上，如果将“6排3号”记作，那么“4排10号”应记作． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）2025年4月，解放军正在台湾海峡南部举行“海峡雷霆－2025A”军事演习．如图，解放军一艘船在雾中航行，某时刻雷达屏幕上出现了A，B，C三个目标．记图中目标A，B的位置分别为，．则目标C的位置应表示为（ ， ）． 【答案】 5 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据题意得到圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的第二个数是解题的关键． 根据题意可得圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的第二个数，即可解答． 【详解】解：根据题意，目标C的位置应表示为． 故答案为：5；． 题型三、写出点的坐标 解｜题｜技｜巧 过点分别作x轴、y轴的垂线，垂足对应的数值即为横、纵坐标。明确坐标的有序性：(横坐标, 纵坐标)。注意象限或坐标轴，确定数值前的正负号。口诀：“先横后纵，括号逗号” 【典例3】（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）已知点，轴，且，则点坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了与坐标轴平行的平行线上点的坐标特点，学会分类讨论是解决本题的关键． 由平行于x轴可知，A、B两点纵坐标相等，再根据线段的长为5，B点可能在A点的左边或右边，分别求B点坐标即可． 【详解】解：∵轴， ∴A、B两点纵坐标相等，即B点纵坐标为4． 又∵A点坐标为， ∴B点横坐标可能为或． ∴B点坐标为或． 故选D． 【变式1】（25-26七年级上·山东东营·月考）第四象限内的点满足，，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中象限内点的坐标特征，解题的关键是结合第四象限点的符号（横坐标正、纵坐标负）分析坐标的取值． 由得，由得；结合第四象限内点的横坐标为正、纵坐标为负，确定，． 【详解】解：， ； ， ； 点在第四象限， ，， ，，即点的坐标为． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，点的坐标为，点在第二象限，点在第三象限，若轴，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质及轴，得到轴，结合点的坐标，即可求解． 本题主要考查坐标与图形，解题的关键是：熟练掌握坐标与图形． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴， ∵点的坐标为，轴， ∴轴， ∴点的横坐标为：，纵坐标为：，即：， ∴点的横坐标为：，纵坐标为：，即：， 故答案为：． 题型四、判断点所在的象限 解｜题｜技｜巧 根据坐标(x, y)的正负号直接判断：第一象限(+, +)；第二象限(-, +)；第三象限(-, -)；第四象限(+, -)。坐标轴上点不属于任何象限（x轴上y=0，y轴上x=0）。 【典例4】（25-26八年级上·山东青岛·期中）若点在x轴上，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标特征，熟练掌握“x轴上点的纵坐标为0”以及“各象限内点的坐标符号规律”是解题的关键． 先利用x轴上点的坐标特征求出的值，再代入得到点的坐标，最后根据象限内点的坐标符号判断所在象限． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， ∴， ∴点的坐标为即， ∵点的横坐标，纵坐标 ∴点在第三象限 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的特征，熟练掌握平面直角坐标系中点的特征是解题的关键，根据平面直角坐标系各象限点的坐标符号特征，判断点的横纵坐标符号即可确定所在象限． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴点的横坐标为正数．纵坐标为负数． ∴点在第四象限， 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·山东济宁·月考）在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，则下列说法中正确的有（    ）个 ①一只风筝飞到距点A处20米处，该条件不能确定位置 ②若，则点A一定在第一、三象限的角平分线上 ③若点A在第一象限，则点一定在第二象限 ④若点A在第四象限，那么点A到x轴的距离是 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，涉及点的位置确定、象限角平分线条件、象限判断及点到坐标轴的距离等概念，需逐一分析各说法的正确性． 【详解】解：① 距点A处20米的所有点构成一个以A为圆心，20米为半径的圆，仅距离不能确定具体位置，故 ①正确； ② 若，则，点A的坐标为，满足，在第二、四象限角平分线上，不一定在第一、三象限角平分线上，故②错误； ③ 点A在第一象限，则且，即且，点中，，所以点B在第二象限，故③正确； ④ 点A在第四象限，则且，点A到x轴的距离为，而，但与不一定相等，故④错误． 综上，正确说法有①和③，一共2个． 故选：C． 题型五、几何和坐标的综合 解｜题｜技｜巧 将几何图形的特征转化为坐标条件。例如，等腰三角形可能隐含横坐标相同（底边垂直y轴）或纵坐标相同（底边垂直x轴），或利用两点间距离公式（勾股定理）表示边长相等。核心是 “几何条件代数化”。 【典例5】（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定以及坐标与图形，过点作轴于点，过点作轴于点，构造，利用全等三角形的性质得到线段之间的关系，进而求出点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 轴，轴， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的坐标为， ，轴， ． 故答案为． 【变式1】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，边与轴交于点G，点在边上.将沿折叠，点落在点处.若点的坐标为，求点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，正方形的性质，坐标与图形变化-对称，利用勾股定理求出正方形的边长是解题关键．设，可得，在中，利用勾股定理可求出，根据翻折的性质得出，，，设，在中利用勾股定理可求出a值，即可得答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，如图，设， ∴，，， 即， ∴，同理可得， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∵将沿折叠，点D落在点F处．点F的坐标为， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为． 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，已知两点，其中满足为第三象限内一点． (1)请写出两点的坐标：________． (2)若点到两坐标轴的距离相等，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】利用非负数的和为时每个非负数都为来求、的值； 先根据点到坐标轴距离相等求出，再结合平行和线段长度求出点的坐标． 【详解】（1）解： ∵，且，， ∴，． 解得：，． ∴，． 故答案为：，． （2）解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴或，所以或8． ∵为第三象限内一点， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，为． ∵， 当在右侧时，点的横坐标为，即． 当在左侧时，点的横坐标为，即． 综上，或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了非负数的性质、平面直角坐标系中点的坐标特征，解题关键是熟练掌握非负数的性质，以及平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，准确分析线段长度与坐标的关系． 题型六、在平面直角坐标系内描点 解｜题｜技｜巧 严格按坐标(x, y)描点。步骤：1. 在x轴上找到横坐标x，过此点作x轴的垂线；2. 在y轴上找到纵坐标y，过此点作y轴的垂线；3. 两条垂线的交点即为所求点。务必细心，避免看反坐标。 【典例6】（25-26八年级上·福建宁德·月考）在如图所示的网格中有四个点，鹏鹏在该网格中建立了一个平面直角坐标系，然后得到点的坐标为，点的坐标为，则点和点的坐标分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了坐标确定位置，建立正确的平面直角坐标系是解本题的关键． 根据与的坐标建立平面直角坐标系，确定出与的坐标即可． 【详解】解：如图建立平面直角坐标系， 则点和点的坐标分别为， 故选：D． 【变式1】（2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系，根据“少”“年”的坐标确定直角坐标系，读出点的坐标即可． 【详解】解：∵“少”“年”的坐标分别为、， ∴建立直角坐标系如下： ， ∴“强”的坐标为， 故选：B 【变式2】（24-25七年级下·北京丰台·期末）五子棋的比赛规则：率先在棋盘上形成横、纵或斜线的连续五颗同色棋子为获胜方．在如图所示的一盘棋中，若①的位置是，②的位置是，现轮到黑棋走，小明认为黑棋放在位置胜利；小亮认为黑棋放在位置胜利．下列说法正确的是（   ） A．小明、小亮均正确 B．小明、小亮均错误 C．小明正确，小亮错误 D．小明错误，小亮正确 【答案】A 【分析】本题主要考查了用坐标系确定位置，根据题意建立适当平面直角坐标系进行求解是解决本题的关键．根据题意白棋①的位置是，黑棋②建立坐标系可确定原点的位置，依据题目所给规则进行判定即可得出答案． 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，由图可知，黑棋放在或位置就胜利了． ∴小明、小亮均正确， 故选：A． 题型七、用坐标平面表示位置 解｜题｜技｜巧 即建立合适的坐标系。关键是根据图形特征灵活选择原点位置（如以图形中心、顶点或对称点为原点），以使关键点的坐标尽量简单（多零值、小整数）。这能极大简化后续计算和表示。 【典例7】（25-26八年级上·山东济南·月考）天文学家以流星雨辐射的区域的星座给流星雨命名，如图，把狮子座的星座图放在网格中，若点 A 的坐标是，点 C 的坐标是，则点 B 的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标表示位置，解题的关键是根据已知点的坐标建立平面直角坐标系．根据点A和点C的坐标，建立平面直角坐标系，即可得出点B的坐标． 【详解】解：∵点A的坐标是，点C的坐标是， 建立如图所示平面直角坐标系， 由图可知，， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图是根据某学校的平面示意图建立的平面直角坐标系，学校的入口位于坐标原点，弘毅楼位于点，从弘毅楼出发沿射线方向前行是致远楼，从致远楼向左转后直行到博雅楼，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，得出也在一条直线上是解题关键． 根据题意结合全等三角形的判定与性质得出，进而得出也在一条直线上，求出的长即可得出点坐标． 【详解】解：连接， 由题意可得：，则， 在和中 ， ， ， ∵在一条直线上， ∴也在一条直线上， ∴，则， ∴点坐标为：． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期中）以天安门广场所在位置为原点，图中小正方形的边长为单位长度，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)地坛公园的坐标为_________，朝阳公园的坐标为_________； (2)若北京奥林匹克公园位于天安门广场正上方8个单位长度，则北京奥林匹克公园的坐标为_________； (3)现准备在处建一个公园，请你标出公园的位置． 【答案】(1)， (2) (3)图见解析 【分析】本题考查用坐标表示实际位置，正确的求出点的坐标是解题的关键： （1）根据点所在的位置，写出点的坐标即可； （2）根据题意，写出点的坐标即可； （3）根据点的坐标，画出公园的位置，即可． 【详解】（1）解：由图可知，地坛公园的坐标为，朝阳公园的坐标为； 故答案为：，； （2）由题意，北京奥林匹克公园的坐标为； 故答案为：； （3）公园的位置如图所示： 题型八、已知象限求参数 解｜题｜技｜巧 根据点所在象限的坐标符号特征，列出关于参数的不等式组。例如，点(a-2, 3)在第二象限，则{a-2 < 0; 3 > 0}，解出a<2。注意边界情况（坐标轴）往往需要单独讨论。 【典例8】（25-26七年级上·山东济南·期中）若点在轴上，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查了x轴上点的坐标特征，解题的关键是正确求得的值． 根据轴上点的坐标特征，纵坐标为，由此求出的值，再代入横坐标表达式计算即可． 【详解】解：∵点在轴上， ∴纵坐标， 解得， ∴横坐标， ∴点的坐标为． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知点，解答下列各题 (1)点在轴上，直接写出点的坐标为_____； (2)点的坐标为，直线轴，直接写出点的坐标为_____； (3)若点在第一象限，且它到轴的距离与轴的距离相等，求的值． 【答案】(1)点P的坐标为； (2) (3)2026 【分析】本题考查了求点的坐标以及已知点所在的象限求参数、坐标与图形． （1）根据在轴上的点的纵坐标为0，进行列式计算，即可作答； （2）根据直线轴，得出点和点的横坐标是相等的，进行列式计算，即可作答； （3）根据点在第一象限，且它到轴、轴的距离相等，得出点的纵坐标和横坐标相等，即，解出，再把代入求解即可作答． 【详解】（1）解：∵点在x轴上， ， ， ， ∴点P的坐标为； （2）解：点Q的坐标为，点，直线轴， ， ， ； ； （3）解：∵点在第一象限，且它到x轴的距离与y轴的距离相等， ∴点的纵坐标和横坐标相等， ∴， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·山东济南·期中）已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求出点的坐标． (2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标． (3)若点在第三象限，且它到轴的距离等于4，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了坐标与图形，熟知坐标轴上的点及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解答本题的关键． （1）根据题意得：点在y轴上，得到，解出的值，由此得到答案； （2）根据直线轴，得到，解出的值，由此得到答案； （3）根据点在第三象限，且它到轴的距离等于4，得到，解出的值，由此得到答案． 【详解】（1）解：∵点在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． （2）解：∵点的坐标为，直线轴， ∴， ∴， ∴． ∴点的坐标为． （3）解：∵点在第三象限，且它到轴的距离等于4， ∴， 解得， ∴， 故点的坐标为． 题型九、用方向角和距离表示位置 解｜题｜技｜巧 步骤：1. 确定基准方向（如正北）和观测点（原点）；2. 描述目标点：从基准方向顺时针或逆时针旋转的角度（方向角），以及到观测点的距离。需明确角度与距离的顺序。 【典例9】25．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图是小明家相对于学校的位置图，下列描述能确定小明家位置的是（    ） A．在距离学校处 B．在学校的北偏西方向 C．在学校的北偏西方向处 D．在学校的北偏西方向处 【答案】D 【分析】本题考查了用方向角和距离确定物体的位置，解决本题的关键是理解方向角的含义．根据方向角的定义，可得答案． 【详解】解：由题意得：方向角为北偏西， 所以小明家相对于学校的位置，在学校的北偏西方向处， 故选：D． 【变式1】（19-20七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图所示，小明在A处，小红在B处，小李在C处，米，米，下列说法正确的是（    ） A．小红在小明北偏东方向处 B．小红在小明南偏西方向处 C．小明在小红南偏西方向，距离为10米处 D．小明在小李北偏东方向，距离为18米处 【答案】C 【分析】本题考查了方向角的定义，解决本题的关键是熟记方向角的定义．根据方向角的定义进行判断，即可解答． 【详解】解：∵在的北偏东方向的米处， ∴小红在小明北偏东方向的米处，故A，B错误； ∵在的南偏西方向的米处， ∴小明在小红南偏西，距离为10米处，故C正确， ∵在的南偏西方向的米处， ∴小明在小李南偏西，距离为18米处，故D错误． 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·贵州六盘水·期中）如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点处有目标出现．按某种规则，点，的位置可以分别表示为，则点的位置可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据题意得到圆圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的第二个数是解题关键．根据题意可得：圆圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的第二个数，可得答案． 【详解】解：∵A，B的位置分别表示为． ∴目标C的位置表示为． 故答案为： 题型十、坐标平面内的点坐标对称 解｜题｜技｜巧 掌握规律：1. 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标变相反数，(x,y)→(x,-y)。2. 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标变相反数，(x,y)→(-x,y)。3. 关于原点对称：横、纵坐标均变相反数，(x,y)→(-x,-y)。 【典例10】（24-25八年级上·山东济宁·月考）已知：点与点关于x轴对称，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标关于坐标轴对称的知识，解题的关键是掌握两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数． 根据点关于x轴对称的性质，横坐标相等，纵坐标互为相反数，列出方程求解m和n，再计算即可解答． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴，纵坐标相反：， ∴，， ∴． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南通·月考）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求得，的值，代入式子即可解答．本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特点，熟练掌握“关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数”是解题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称， ，， ． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，过点B作直线轴，点P是直线l上的一个动点，以为边作等腰，(点A，P，Q呈逆时针排列)，当点P在直线l上运动时，点Q也随之运动．点Q在运动的过程中，的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称-最短问题，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的性质，如图，过点作轴于，过点作轴于，利用全等三角形的性质证明是定值，点在直线上运动，原点到直线的距离为，作点关于直线是对称点，连接，，.根据，求出即可． 【详解】如图，过点作轴于，过点作轴于， ， ， ， ， ， ， ∵ 轴， ， ， ∵， ， ∴点在直线上运动，原点到直线的距离为， 作点关于直线是对称点，连接，，， ， 在中，， ， 故答案为：． 题型十一、坐标平面内的规律探究 解｜题｜技｜巧 观察点坐标与序号n的关系。常用方法：1. 列表，分别观察横、纵坐标与n的数值关系；2. 寻找等差、等比或循环规律；3. 用含n的代数式表示坐标。可能涉及符号规律（如(-1) n）和分段规律。 【典例11】（25-26七年级上·山东泰安·月考）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查点的坐标规律，解题的关键是得到点的坐标变化规律；由坐标系可知：第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，第5次接着运动到点，第6次接着运动到点…..；由此可知：点的坐标变化规律为横坐标是连续的正整数，纵坐标按1、0、2、0重复循环下去，然后问题可求解． 【详解】解：由坐标系可知：第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，第5次接着运动到点，第6次接着运动到点…..；由此可知：点的坐标变化规律为横坐标是连续的正整数，纵坐标按1、0、2、0重复循环下去， ∵， ∴第2025次运动后，动点P的坐标为； 故选D． 【变式1】（25-26七年级上·山东济宁·月考）如图，在单位长度为1的方格纸上，，，，……，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，解题的关键是根据部分点的坐标找到规律． 由，，，，可得（，且为整数），据此即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴可得（，且为整数）， ∵， ∴，即， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·山东日照·期中）电子蜘蛛在边长为1的正方形网格上织网，若电子蜘蛛从出发，先爬到，再下一步爬到……以这样的规律织网．例如，再下一步即．若，则的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是坐标规律探究，根据移动规律，点的坐标每4步循环一次，因此计算2025除以4的余数即可得到答案. 【详解】解：由移动规律可得：， ， ，即， ，即， ，即 ， ∴坐标每4步一次循环， ∵，， ∴. 故答案为：. 题型十二、坐标平面内的自定义问题 解｜题｜技｜巧 仔细阅读并理解新定义或新运算规则。关键在于将新规则“翻译”成关于点坐标的代数关系或操作步骤，然后类比已学的坐标知识（如距离公式、中点公式）进行推理或计算。理解规则本质是解题前提。 【典例12】（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且平行于轴，给出如下定义：点先关于轴对称得点，再将点关于直线对称得点，则称点是点关于轴和直线的二次反射点．    (1)已知，，则它们关于轴和直线的二次反射点的坐标分别是___________ (2)若点的坐标是，其中，点关于轴和直线的二次反射点是点，求线段的长． 【答案】(1)， (2)6 【分析】本题考查了轴对称的性质，两点之间的距离，解题的关键是掌握新定义二次反射点的理解和运用． （1）根据二次反射点的定义直接得出答案； （2）根据二次反射点的定义得出坐标，利用两点之间的距离则可得出答案． 【详解】（1）解：关于轴的对称点为，点关于直线的对称点为， ∵， ∴， ∴； 关于轴的对称点为，点关于直线的对称点为， ∵， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）解：当时，关于轴的对称点为，点关于直线的对称点为， ∵， ∴， ∴， ∴的长为； 当时，关于轴的对称点为，点关于直线的对称点为， ∵， ∴， ∴， ∴的长为； 当时，关于轴的对称点为，点关于直线的对称点为， ∵， ∴， ∴， ∴的长为； 综上，的长为6． 【变式1】（25-26八年级上·北京丰台·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，给出如下定义：若P为内（不含边界）一点，且与的一条边相等，则称P为的关联点． (1)在中，的关联点是______； (2)如图2，若P为内一点，且P为的关联点，当______时，；此时，______； (3)直线l为过点，且与x轴平行的直线，若直线l上存在的三个关联点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，； (2)30，15； (3)． 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，坐标与图形，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合的思想解决问题是解答的关键． （1）连接，根据对称性可判断；连接，过点分别作x轴，y轴的垂线，证明，可判断；连接，过点分别作x轴，y轴的垂线，根据三角形的三边关系和直角三角形的边的关系可判断； （2）根据关联点的概念分三种情况解答即可． （3）根据关联点的概念分三种情况解答即可． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵A点与B点关于y轴对称，点在y轴上， ， ∴点是的关联点； 连接，过点分别作x轴，y轴的垂线，如图， 则， ， 在与中， ， ， ， ∴点是的关联点； 连接，过点分别作x轴，y轴的垂线，如图， ， ， ∴点不是的关联点； 综上所述，的关联点是， 故答案为：； （2）解：， ， ， 若，则点P在线段的垂直平分线上，即点P在y轴线段上，，若，此时P与C重合，不合题意； 若，则点P在线段的垂直平分线上，若，此时P在外，不合题意； 若，， 在和中，， ， ， 设， ， ， ， ， ； 故答案为：30，15； （3）解：由题意知，的关联点P，满足或或， 若，则点P在线段的垂直平分线上，即点P在轴上； 若，则点P在线段的垂直平分线上； 若，则点P在以点A为圆心，长为半径的圆弧上， 设的中点为G，则，如图， 由图可知，当直线l在过点G且平行于x轴的直线与x轴之间时，直线l存在的关联点， ∴直线l为过点且与x轴平行的直线， 若直线l上存在的三个关联点， ∴m的取值范围是． 【变式2】（24-25八年级下·福建泉州·期中）阅读与思考： 在平面直角坐标系中，直线l过点且平行于x轴，对于点M和平行四边形，给出如下定义：点M关于直线l的对称点落在平行四边形所围成的图形上及其内部，则称点M是平行四边形关于直线l的可触碰点．已知点 (1)平行四边形对角线交点坐标为______；是平行四边形关于直线l的可触碰点，则a的取值范围是______． (2)已知点P是直线上的一动点，当P是平行四边形关于直线l的可触碰点时，求满足条件的所有点P组成的几何图形的面积． 【答案】(1)， (2)满足条件的所有点P组成的几何图形的面积为 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解可触碰点的定义． （1）根据平行四边形性质可得对角线交点坐标为，即，求出关于直线直线的对称点为，关于直线直线的对称点为，即得a的取值范围是； （2）求出点A、B、C、D关于直线的对称点分别为，，，，根据P是直线上的一动点，且是平行四边形ABCD关于直线l的可触碰点，分别将，，，代入，知，，为满足条件的所有点P组成的几何图形的顶点，求出直线的解析式为，联立，解得满足条件的所有点P组成的几何图形另一个顶点为，再根据三角形面积公式列式计算可得答案． 【详解】（1）解：，，，， 平行四边形对角线交点坐标为，即， 关于直线直线的对称点为，关于直线直线的对称点为， 是平行四边形关于直线l的可触碰点，则a的取值范围是； 故答案为：，； （2）解：由题意：点A、B、C、D关于直线的对称点分别为，，，， 是直线上的一动点，且是平行四边形关于直线l的可触碰点， 将代入得：， 解得，不合题意， 将代入得：， 解得，符合题， 将代入得：， 解得，符合题意， 将代入：， 解得，符合题意， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得， 直线的解析式为， 由，令有 联立， 解得， 满足条件的所有点P组成的几何图形为以，，，为顶点的四边形，如图， 满足条件的所有点P组成的几何图形的面积 满足条件的所有点P组成的几何图形的面积为 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·山东临沂·期末）北斗七星是指大熊座的天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七星，古人把这七星联系起来想象成为古代舀酒的斗形，故名北斗．小超同学将自己观察到的北斗七星画在下图的网格中，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点的坐标为，表示“开阳”的点的坐标为，则表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用坐标确定位置，解题的关键就是确定坐标原点和x、y轴的位置．根据“摇光”的点的坐标与“开阳”的点的坐标先判断平面直角坐标系的原点，确定x轴，y轴，根据坐标系确定表示“天权”的点的坐标即可． 【详解】解：由表示“摇光”的点的坐标为，表示“开阳”的点的坐标为，如图： 可知：表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为； 故答案为： 2．（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）如图，，点E，B，C在轴上，已知点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是利用全等三角形的对应边相等求出点的坐标． 先根据点、的坐标求出和的长度，再利用全等三角形的性质得出和的长度，进而求出点的坐标． 【详解】解：已知点， 轴， ， ， ， 又， ，且在第二象限， 点的坐标是， 故选：D． 36．（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点A的坐标为． (1)若点A在轴上，求点A的坐标； (2)若点，直线轴，求的值； (3)若点A在第四象限，且到两坐标轴距离之和为9，求的值； (4)点的坐标为，若直线轴，且线段的长为5，求的值及点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)当的值为2时，点的坐标为；当的值为时，点的坐标为 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，在y轴上的点的坐标特点，平行于坐标轴的直线上的点的坐标特点，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据点的坐标特征，列出方程求解即可； （2）根据直线平行横轴，利用纵坐标相等，列方程求解即可； （3）根据象限内点的坐标特征求出的取值范围，然后根据点到坐标轴的距离之和列出方程求解即可； （4）根据轴，两点横坐标相等，列出方程求出点坐标，然后分类讨论，利用线段的长度列出方程求解，求出点的值及点的坐标． 【详解】（1）解：根据题意得，， 解得，代入， ∴； （2）解：∵直线轴， ∴两点的纵坐标相等， ∴， 解得； （3）解：因为点A在第四象限， 所以，所以， 所以点A到轴的距离为，点A到轴的距离为． 因为点A到两坐标轴距离之和为9， 所以， 解得； （4）解：因为直线轴，所以两点的横坐标相等，即，解得， 所以， 所以点A的坐标为． 因为线段的长为5， 所以当点在点A上方时，， 解得， 此时点的坐标为； 当点在点A下方时，， 解得， 此时点的坐标为． 综上所述，当的值为2时，点的坐标为；当的值为时，点的坐标为． 3．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于x轴对称的． (2)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______． (3)若点与点关于轴对称，若，则点的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2)，，； (3)或 【分析】本题主要考查的是作图-轴对称变换，熟知关于x轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． （1）根据关于x轴对称的点的坐标特点画出即可； （2）根据各点在坐标系中的位置写出其坐标即可； （3）先根据对称的性质求出点P的横坐标，进而确定点P的坐标即可． 【详解】（1）解∶如图：即为所求； （2）解：由平面直角坐标系可知，，，， 故答案为：，，； （3）解：∵，点与点关于轴对称， ∴， 即 ∴或， ∴点P的坐标或． 故答案为：或． 4．（22-23八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，直线经过点且与轴平行． (1)请在坐标系中画出关于轴对称的图形． (2)请在坐标系中画出关于直线对称的图形． (3)若点是内一点，则点关于直线对称的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了轴对称作图，在平面直角坐标系中找到一个点关于特定直线的对称点，数形结合是解答本题的关键． （1）先确定出点，，关于轴的对称点，然后连线即可得出； （2）先确定出点，，关于直线的对称点，然后连线即可得出； （3）根据轴对称的性质，可得点与点的对称点纵坐标相同，再由轴对称的性质可得点的对称点横坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：点关于直线对称点的纵坐标为，横坐标为， ∴点关于直线对称的坐标是． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·河南郑州·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在图中画出并标出字母； (2)若点P与点C关于y轴对称，则点P的坐标为______； (3)已知Q为y轴上一点，若的面积为8，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了直角坐标系下图形的绘制，点关于坐标轴对称的特征，三角形面积公式的计算，解决本题的关键是分类讨论点Q的位置． （1）根据点的坐标画三角形即可； （2）根据两个点关于y轴对称，则纵坐标不变，横坐标变为对应的相反数，由此求解即可； （3）设点，根据点Q位于点A上方和点Q位于点A下方两种情况，结合面积求解即可． 【详解】（1）解：如下： （2）解：∵点P与点C关于y轴对称，且， ∴； 故答案为：； （3）解：∵点Q为y轴上一点， ∴设点， 当点Q位于点A上方时， 则， 即，解得， 此时点； 当点Q位于点A下方时， 则， 即，解得， 此时点； ∴点Q的坐标为或． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，一支激光笔在点处射出一束激光，激光的射出方向与水平方向夹角为，每当激光碰到长方形的边时就会发生反射．已知激光第次碰到长方形边上的点为，激光第次碰到长方形边上的点为，，则激光第次碰到长方形边上的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标变化规律问题，解题的关键是根据题意画出符合要求的图形，找出其中的规律．画出激光的反射路线，可知激光经过次反射回到点，且，，，，，，再根据即可求解，由激光的反射路线得出点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：如图，激光经过次反射回到点，且，，，，，， ∵， ∴点的坐标即为点的坐标， ∴激光第次碰到长方形边上的点的坐标为， 故选：C． 2．（24-25七年级下·山东青岛·期末）青岛是旅游热点城市，前海一线的回澜阁、小青岛更是游客网红打40．（23-24八年级上·江苏南通·月考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)点D在x轴上，使得，仅用无刻度的直尺作出点D；（不写作法，保留作图痕迹） (2)点P在y轴上，使得的周长最小，作出点P．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，轴对称最短距离问题，熟练掌握利用轴对称求最短距离问题是解题的关键． （1）取格点即为所求的点D； （2）作点A关于y轴对称的点，连接交y轴于点P即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，取格点即为所求的点D，连接， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示，点P即为所求． ∵ ∴的周长 ∴当点P为与y轴的交点时，的周长最小． 3．（25-26八年级上·山东青岛·月考）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．的边在轴上，两点的坐标分别为、，，且，点从出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． (1)两点的坐标分别是 ， ； (2)是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点坐标为或或 【分析】本题考查了偶次方和算术平方根的非负性，勾股定理，等腰三角形定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用算术平方根非负性，偶次幂非负性求出，即可； （）由题意得，然后分当时，当时，当时三种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵点从出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动， ∴，点表示的数为， ∵，， ∴，， ∴， 如图，当时， ∵，， ∴， ∵， ∴，解得：； ∴点表示的数为， ∴点坐标为； 如图，当时， ∴点表示的数为， ∴点坐标为； 如图，当时， ∴， ∴点表示的数为； ∴点坐标为 综上可得：为等腰三角形时，点坐标为或或． 4．（25-26七年级上·重庆·月考）如图，小航设计了一个的“相反数”转换方阵，其工作程序是：点击任意一个方格， 它本身以及它上、下、左、右的方格中的数均会变为原来的相反数．其中第2行第1 列的方格记为， 如：点击方格， 那么方格、、、四个方格中的“”均会变为“”． （1）依次点击方格，后，第3行的3个数从左到右分别是 ； （2）若要将方格中的数“”变为“”，同时要求其它方格中的数均为“”， 则需要点击方格的最少次数是 【答案】 、、 5次 【分析】本题考查了“相反数”转换方阵，熟练掌握相反数定义，“相反数”转换方阵的工作程序是解题的关键 （1）点击方格后，第3行的3个数从左到右分别是、、，点击方格后，第3行的3个数从左到右分别是、、； （2）要点击，，，，，至少5次． 【详解】解：（1）依次点击方格后，“相反数”转换方阵中的数如图所示，第3行的3个数从左到右分别是、、，点击方格后，第3行的3个数从左到右分别是、、，“相反数”转换方阵如下： （2）第一次点击，“相反数”转换方阵如下： 第二次点击，“相反数”转换方阵如下： 第三次点击，“相反数”转换方阵如下： 第四次点击，“相反数”转换方阵如下： 第五次点击，“相反数”转换方阵如下： 符合要求，需要点击方格的最少次数是5次． 故答案为：5次． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）新考法  如图，在平面直角坐标系中，，点A的坐标为，点为轴正半轴上一动点，点为第一象限的一点，且，的延长线交轴于点，当点运动时，点的坐标是否也随着变化？若不变，求出点的坐标；若变化，请说明理由． 【答案】点E的坐标不变，点E的坐标为 【分析】本题主要考查坐标与图形及全等三角形的性质与判定，熟练掌握图形与坐标及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，进而可得，则有，最后问题可求解． 【详解】解：点E的坐标不变．理由如下： ， ． ， ， ． 又， ， ， ， ． 又， ， ， ∴点E的坐标为． 6．（25-26八年级上·山东淄博·月考）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；较大值称为点P的“长距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”． (1)点到x轴的距离为　　，到y轴的距离为　　，点A的“短距”为　　． (2)若点是“完美点”，求a的值． (3)若点的长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 【答案】(1)2，3，2 (2)或 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点到坐标轴的距离，解一元一次方程，弄清题意是解题的关键； （1）根据“短距”的定义解答即可； （2）根据完美点的定义可得，即可求出答案； （3）先根据“长距”是5求出b，进而得出点D的坐标，然后根据“完美点”的定义判断即可． 【详解】（1）解：点到x轴的距离为2，到y轴的距离为3． ∵点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”， 又∵，， ∴点的“短距”为2， 故答案为：2，3，2； （2）解：由条件可知， ∴或， 解得或． （3）解：点的长距为5，且点在第三象限内， ， 解得：， ， 点的坐标为， 点到轴、轴的距离都是8， 是“完美点”． 6．（24-25八年级下·重庆潼南·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，点C为y轴负半轴上一点，且满足．    (1)求直线的解析式； (2)如图2，点E是线段的中点，点M，N分别是线段上的两个动点，连接，求的最小值； (3)若点P是x轴上一动点，当时，请直接写出所有满足条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出的坐标，根据，求出点坐标待定系数法求出函数解析式即可； （2）作点关于的对称点，关于的对称点，连接，得到，进而得到当四点共线时，的值最小为的长，进行求解即可； （3）先求出，当点在轴负半轴上时，如图，作点关于轴的对称点，连接，作于点，易得为等腰直角三角形，设，则：，在中，勾股定理求出的值，进而求出的值，在，勾股定理求出的长，进而求出点坐标，当点在轴正半轴上时，利用对称性，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当，； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴； （2）作点关于的对称点，关于的对称点，连接，，则：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，； ∵， ∴当四点共线时，的值最小为的长， ∴的最小值为：； （3）由（2）知：， ∴， 当点在轴负半轴上时，如图，作点关于轴的对称点，连接，作于点，则：， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：，即：， 解得：（负值舍去）； ∴， 在中，， ∴； 当点在轴正半轴上时，由对称性可知：； 综上：或． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，坐标与轴对称，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，实数的运算等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26八年级上·山东青岛·期中）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2026次运算后得到点 ． 【答案】 【分析】本题主要考查点的坐标规律，解题的关键是理解题意；根据冰雹猜想的运算规则，对点的横纵坐标同步进行运算：若为奇数则乘3加1，若为偶数则除以2；通过计算前几次运算结果，发现从第2次运算开始进入循环圈→→，周期为3；计算2026次运算相对于循环起点的位置，即可得到结果． 【详解】解：点经过1次运算得，2次运算得，3次运算得，4次运算得，5次运算得，6次运算得，7次运算得，……；从第2次运算开始，点进入循环圈→→； ∵，， ∴经过2026次运算后得到点； 故答案为． 2．（25-26八年级上·山东济南·期中）规定在平面直角坐标系中，任意不重合的两点之间的折线距离为．例如，点与点之间的折线距离为．已知点，若点的坐标为，且，则 ． 【答案】1或3 【分析】本题主要考查了坐标与图形、绝对值方程等知识点，正确理解折线距离以及绝对值方程的解法是解题的关键．根据折线距离的定义可得关于m的绝对值方程，解方程即可解答． 【详解】解析：∵，，且， ∴， 解得：或． 故答案为：1或3． 3．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”．若点的长距为5，且点在第三象限内，点的坐标为，则点 “完美点”（填是或不是）． 【答案】是 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点到坐标轴的距离，解一元一次方程，弄清题意是解题的关键． 根据点C在第三象限且长距为5，可求出b的值，再代入点D的坐标，计算点到x轴和y轴的距离，即可判断是否相等． 【详解】解：∵点在第三象限，长距为5， ∴，， ∴ 解得， ∴点D坐标为． ∵点D到x轴距离为8，到y轴距离为8，距离相等， ∴点D是完美点． 故答案为：是． 4．（25-26八年级上·山东济宁·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，顶点的坐标为，． (1)若． ①点C的位置如图1所示，求点C的坐标； ②如图2，若点坐标为，连接和，求证：； (2)若，如图3，点的位置不变，点随点位置的变化而变化，②中的其它条件不变，和又有怎样的数量关系？请证明你的猜想． 【答案】(1)①点C的坐标为；②见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，三角形内角和定理的应用； （1）①过点C作轴于点M．证明得出，即可得出点C的坐标； ②过点C作轴于点M．根据①可得，进而得出，，可得，进而根据三角形内角和定理即可得证； （2）过点C作轴于点M．同理可得，进而可得，，根据平行线的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：①过点C作轴于点M． ， ． 又， ． 在和中， ． ． 点C的坐标为． ②解：过点C作轴于点M． 由①可得：． ． 又， ． ， 即． ， ． ， ． ， ． ， ． （2）解：． 证明：过点C作轴于点M． 同理可得． ． 又， ． ． 即． ， ． ， ． 轴，轴， ． ． ． 5．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，直线交y轴于点M，将沿直线翻折，得到，线段交y轴于H，动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度．沿折线向终点C运动． (1)求点的坐标； (2)若点P的运动时间为t秒，连接、，的面积为，求与的关系式，并直接写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，当点P移动到线段上时，连接，若，求此时的值． 【答案】(1) (2)，的取值范围为且 (3) 【分析】（1）过点作于点，先求出，，再根据角平分线的性质可得，然后设点的坐标为，则，，利用的面积可求出的值，由此即可得； （2）分两种情况：①当点在（不含点）上运动，即时，先求出的长，再利用三角形的面积公式计算即可得；②当点在（不含点）上运动时，即时，先求出，再证出，然后利用三角形的面积公式计算即可得； （3）过点作，交延长线于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定可得，则，然后求出的值，代入计算即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵，， ∴，， 由折叠的性质得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，，， ∴， 设点的坐标为，则，， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为． （2）解：由题意得：点从点运动到点所需的时间为秒，点从点运动到点所需的时间为秒， 则当时，点与点重合，不能构成， ∴且， 由（1）已得：，． ①如图，当点在（不含点）上运动，即时， 则， ∴， ∴的面积为； ②如图，当点在（不含点）上运动时，即时， 则， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得：， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴的面积为； 综上，，的取值范围为且． （3）解：如图，过点作，交延长线于点， ∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得：当点移动到线段上时，， ∴，解得， 将代入得：． 【点睛】本题考查了点坐标、三角形全等的判定与性质、角平分线的性质定理、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、函数关系式等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 试卷第58页，共60页 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $