第二单元 方程(组)与不等式(组) 2026年中考数学一轮专题复习（苏州）

第二单元 方程(组)与不等式(组) 基础课5 一次方程(组)与不等式(组) 基础巩固 1．(2025三区统考一模)已知，则下列不等式一定成立的是( ) A. B. C. D. 2．(2025贵州)已知是关于的方程的解，则的值为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3．(七上练习改编)下列方程变形中，正确的是( ) A. 方程，去分母，得 B. 方程，去括号，得 C. 方程，移项，得 D. 方程，系数化为1，得 4．(七下习题改编)，为下列哪一个二元一次方程式的解( ) A. B. C. D. 5．(2025福建)不等式的解集在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 6．不等式的非负整数解有( ) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 无数个 7．(2025山西)不等式组 的解集是 ( ) A. B. C. D. 无解 8．(2025泸州)《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程(组)解的问题.例如方程恰有一个正整数解，。类似地，方程的正整数解的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9．(2025成都)任意给一个数，按下列程序进行计算.若输出的结果是15，则的值为　　　　。 10．(新考法 新定义) 定义新运算：，其中，，，为实数.例如：。若，则　　 　　。 11．(七下复习题改编)已知方程组则的值为　　　　。 12．新考法 结论开放 写出一个不等式，使它与不等式组合为一个不等式组，不等式组的解集是，你写出的这个不等式是　　　　　　　　 　　　　。 13．(2025眉山)解方程：。 14．(2025黑白卷)解方程组： 15．(2025常熟第一次适应性模拟)解不等式组： 16．(2025天津)解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答. (1) 解不等式①，得　　　　　　　　； (2) 解不等式②，得　　　　　　　　； (3) 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4) 原不等式组的解集为　　　　　　　　。 综合训练 17．(七下复习题改编)实数对应的点在数轴上的位置如图所示，则不等式组的解集为( ) A. B. C. D. 18．新考法 代数推理 在一场虚拟寻宝游戏中，玩家当前位置的横坐标满足。游戏设定有一个危险区域，若玩家横坐标进入特定范围就会触发警报.下列关于危险区域横坐标范围的设定中，会使玩家永远不会进入危险区域的是( ) A. B. C. D. 参考答案 1. C 2. C 3. D　【解析】方程－=1，去分母，得3(3x＋1)－2(1－2x)=6，故A选项错误；方程3(x＋1)=6－2(x－3)，去括号，得3x＋3=6－2x＋6，故B选项错误；方程3x－2=2x＋1，移项，得3x－2x=1＋2，故C选项错误；方程t=，系数化为1，得t=，故D选项正确. 4. A　【解析】将x=－3，y=1代入各式，A选项：(－3)＋2×1=－1，正确；B选项：(－3)－2×1=－5≠1，故此选项错误；C选项：2×(－3)＋3×1=－3≠6，故此选项错误；D选项：2×(－3)－3×1=－9≠－6，故此选项错误. 5. C　【解析】∵x＋1≤2，∴x≤2，其解集表示如选项C中图所示. 6. B　【解析】解不等式x－2≤得x≤，∴不等式的非负整数解是0，1，2，3，共4个. 7. C　【解析】令解不等式①，得x＞2，解不等式②，得x≤3，∴该不等式组的解集为2＜x≤3. 8. C　【解析】由2x＋3y=21得2x=21－3y，故(21－3y)是偶数，可得3y是奇数且21－3y＞0，∴y＜7，y可取1，3，5，对应x取9，6，3，故C选项正确. 9. 3　【解析】由题意知，6x－3=15，解得x=3. 10. 1　【解析】由题意知：(2x，3)∙(3，－1)=2x∙3＋3×(－1)=6x－3=3，∴x=1. 11. 2　【解析】令①－②得，3x－x＋y－3y=9－5，2x－2y=4，2(x－y)=4，∴x－y=2. 一题多解法 令①×3得，9x＋3y=27③，③－②得，8x=22，解得x=，将x=代入①中，得y=，∴x－y=－=2. 12. x＋1≥0(答案不唯一)　【解析】根据题意可得，需写一个不等式，其解集为x≥－1，由条件可知x≥－1，故不等式x＋1≥0与不等式－x＞－1组合为一个不等式组，解集是－1≤x＜1. 13. 解：去括号，得2x－2=2＋x， 移项，得2x－x=2＋2， 合并同类项，得x=4. 14. 解：令 由②×2，得2x＋4y=6③， 由①＋③，得5x=15， 解得x=3. 将x=3代入②，得3＋2y=3， 解得y=0， ∴原方程组的解为 15. 解：令 解不等式①，得x≥－， 解不等式②，得x＜2， ∴原不等式组的解集为－≤x＜2. 16. 解：(1)x≤1； (1)x≥－2； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示如解图； 第16题解图 (4)－2≤x≤1. 17. C　【解析】由数轴的性质可得－2＜m＜－1，令解不等式①，得x＞－2，解不等式②，得x≤m，∴原不等式组的解集为－2＜x≤m. 18. A　【解析】根据玩家位置范围和危险区域范围逐项分析判断如下：A选项：玩家位置范围为x＞－1，危险区域范围为x≤－2，两者没有共同区域，所以玩家永远不会进入危险区域；B选项：玩家位置范围为x＞－1，危险区域范围为x＜0，两者有共同区域－1＜x＜0，所以玩家可能会进入危险区域；C选项：玩家位置范围为x＞－1，危险区域范围为x＞－3，两者有共同区域x＞－1，所以玩家可能会进入危险区域；D选项：玩家位置范围为x＞－1，危险区域范围为x＜1，两者有共同区域－1＜x＜1，所以玩家可能会进入危险区域. 学科网（北京）股份有限公司 $ 基础课7 一元二次方程 基础巩固 1．(九上思考改编)若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 2．(九上练习题改编)用配方法解方程，变形后的结果正确的是( ) A. B. C. D. 3．(2024贵州)一元二次方程的解是( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 4．(2025湖北省卷)一元二次方程的两个实数根为，，下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 5．(2025昆山八校联考零模)已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( ) A. B. C. 且 D. 且 6．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为( ) A. 2 B. C. 2或 D. 7． 若一元二次方程的根为，则该一元二次方程为( ) A. B. C. D. 8．(2025安徽)下列方程中，有两个不相等的实数根的是( ) A. B. C. D. 9．(九上复习题改编)若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以为( ) A. B. C. 0 D. 10．新考法 结论开放 若关于的方程有实数根，则的值可以是 　　　　　　　　(写出一个即可). 11．(2025星海实验中学模拟)设，是一元二次方程的两个实数根，则的值是　　　　. 12．解方程：. 13．(2025齐齐哈尔)解方程：. 14．(九上练习改编)解方程：. 综合训练 15．(2025姑苏区一模)定义：若一元二次方程的两个实数根相差1，则称这样的方程为邻根方程.如方程的两根为，，所以是邻根方程.若关于的方程是邻根方程，则　　　 　. 16．(2025昆山八校联考零模)如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”.例如，方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”. (1) 下列方程是三倍根方程的是　　　　； ①； ②； ③. (2) 若关于的方程是“三倍根方程”，则　　　　； (3) 若是关于的“三倍根方程”，求代数式的值. 参考答案 1. B　 2. C　 3. B 4. D　【解析】∵x2－4x＋3=0，∴a=1，b=－4，c=3，∴x1＋x2=－=4，x1∙x2==3. 5. A　【解析】将方程整理为一般式，得x2－2x＋3m=0，根据题意知Δ=(－2)2－4×1×3m＞0，解得m＜. 6. A　【解析】∵关于x的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4=0的一个根是x=0，∴a2－4=0且a＋2≠0，解得a=2. 7. D　【解析】一元二次方程ax2＋bx＋c=0的求根公式为x=，由题意，得a=－2，b=3，c=1，∴该一元二次方程为－2x2＋3x＋1=0. 8. D　【解析】A选项：由根的判别式可知：Δ=02－4×1×1=－4＜0，∴方程没有实数根，不符合题意；B选项：由根的判别式可知：Δ=(－2)2－4×1×1=0，∴方程有两个相等的实数根，不符合题意；C选项：由根的判别式可知：Δ=12－4×1×1＜0，∴方程没有实数根，不符合题意；D选项：由根的判别式可知：Δ=12－4×1×(－1)=5＞0，∴方程有两个不相等的实数根，符合题意. 9. A　【解析】∵关于x的一元二次方程x2＋x－t=0没有实数根，∴Δ=12＋4×t＜0，解得t＜－1，∴t的值可以是－2. 10. 0(答案不唯一)　【解析】根据题意得Δ=(－2)2－4c≥0，解得c≤1，所以c可以取0. 11. 28　【解析】∵m，n是一元二次方程x2－4x－12=0的两个实数根，∴m＋n=4，m2－4m－12=0，∴m2=4m＋12，∴m2＋4n=4m＋12＋4n=4(m＋n)＋12=4×4＋12=28. 12. 解：由题意得a=1，b=4，c=－2， ∴b2－4ac=42－4×1×(－2)=24＞0， ∴x==， ∴x1=－2－，x2=－2＋. 13. 解：∵x2－7x=－12， ∴x2－7x＋12=0， ∴(x－4)(x－3)=0， ∴x－4=0或x－3=0， ∴x1=4，x2=3. 14. 解：∵x2－9=2x＋6， ∴(x＋3)(x－3)=2(x＋3)， ∴(x＋3)(x－3)－2(x＋3)=0， ∴(x＋3)(x－3－2)=0， ∴x＋3=0，x－3－2=0， ∴x1=－3，x2=5. 15. 3或1　【解析】解方程，得(x－2)(x－m)=0，∴x1=2，x2=m.∵关于x的方程x2－(m＋2)x＋2m=0是“邻根方程”，∴m－2=1或2－m=1，解得m=3或m=1. 16. 解：(1)③； 【解法提示】解方程x2－3x＋2=0得x1=1，x2=2，所以x2－3x＋2=0不是“三倍根方程”；解方程x2－3x=0得x1=0，x2=3，所以x2－3x=0不是“三倍根方程”；解方程x2－8x＋12=0得x1=2，x2=6，所以x2－8x＋12=0是“三倍根方程”. (2)； 【解法提示】设方程x2－6x＋c=0的两根分别为t，3t，根据根与系数的关系得t＋3t=6，t∙3t=c，解得t=，所以c=3×()2=. (3)设方程的两根分别为a，3a， 根据根与系数的关系得a＋3a=m＋n，a∙3a=mn， 即m＋n=4a，mn=3a2， 所以===. 学科网（北京）股份有限公司 $ 提升课8 方程(组)及不等式的实际应用 考法巩固 1．(七下练习改编)小霞原有存款52元，小明原有存款70元，从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为( ) A. B. C. D. 2．(2025连云港)新考法 数学文化 《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢？”(凫：野鸭.所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇？”)如果设经过天能够相遇，根据题意，得( ) A. B. C. D. 3．(2025云南)某书店今年3月份盈利6 000元，5月份盈利6 200元.设该书店每月盈利的平均增长率为.根据题意，下列方程正确的是( ) A. B. C. D. 4．(2025三区统考一模)端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售.细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是( ) A. B. C. D. 5．(2025福建)为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块的矩形菜地作为实践基地，如图所示.设矩形的一边长为，根据题意可列方程( ) A. B. C. D. 6．(2025陕西)草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓.小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多.已知小康平均每小时采摘，小悦平均每小时采摘，小康采摘的时长是　　 　　小时. 7．(2025河北)甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，.如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则　　　　. 8．我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务.一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时.求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里. 9．(2025湖北省卷)某商店销售A，B两种水果.A水果标价14元／，B水果标价18元／. (1) 小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共，合计付款46元.这两种水果各买了多少千克？ (2) 妈妈让小明再到这家商店买A，B两种水果，要求B水果比A水果多买，合计付款不超过50元.设小明买A水果. ① 若这两种水果按标价出售，求的取值范围； ② 小明到这家商店后，发现A，B两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过不优惠，超过后，超过的部分打七五折. (注： “打七五折”指按标价的出售)若小明合计付款48元，求的值. 能力提升 10．“今天立夏，过来吃碗三虾面.”在百年老字号裕面堂内，一位老苏州说，苏州人立夏传统“尝三鲜”是蚕豆、苋菜、蒜苗，今年立夏提前吃碗夏令三虾面尝尝鲜.为了抓住这一商机，两商户决定生产预制面.据统计，甲商户每小时生产600包，乙商户每小时生产800包，甲、乙两商户每天共生产16小时，且每天生产的三虾面总包数为11 400包. (1) 甲、乙两商户每天分别生产多少小时？ (2) 由于三虾面在网上直播热销，客户纷纷追加订单，两商户每天均增加了生产时间，其中甲商户比乙商户多增加2小时，在整个生产过程中，甲商户每小时产量不变，而乙商户由于机器损耗及人员不足，每增加一个小时，每小时产量将减少140包，这样两商户一天生产的面条总量将比原来多1 200包.求甲商户增加的生产时间为多少小时？ 参考答案 1. A　 2. A　 3. A　 4. C 5. C　【解析】矩形的一边长为x m，则邻边长度为(5－x)m，根据矩形面积公式，可得x(5－x)=6. 6. 1.2　【解析】设小康采摘的时长为x小时，则小悦采摘的时长也为x小时，根据题意，得6x－4x=2.4，解得x=1.2，∴小康采摘的时长为1.2小时. 7. 99　【解析】由题意，得解得 ∴a＋b=99. 8. 解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里. 根据题意，得 －=22， 解得 x=2. 经检验，x=2是原分式方程的解，且符合实际. 答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里. 9. 解：(1)设购买A种水果x kg，B种水果y kg， 依题意，得解得 答：购买A种水果2 kg，B种水果1 kg； (2)①∵小明买A水果m kg，则买B水果(m＋1) kg， ∴14m＋18(m＋1)≤50，解得m≤1， ∴结合实际可得0＜m≤1； ②∵小明买A水果m kg，则买B水果(m＋1)kg，易知m＋1＞1， ∴14m×0.75＋18×1＋18(m＋1－1)×0.75=48， 解得m=1.25. 10. 解：(1)设甲商户每天生产x小时，乙商户每天生产y小时， 由题意，得 解得 答：甲商户每天生产7小时，乙商户每天生产9小时； (2)设甲商户增加的生产时间为m小时，则乙商户增加的生产时间为(m－2)小时，乙商户每小时生产800－140∙(m－2)=(1 080－140m)件， 由题意，得600(7＋m)＋(1 080－140m)(9＋m－2)=11 400＋1 200， 解得m1=2，m2=3， 当m=2时，m－2=0，不符合题意，舍去， ∴m=3. 答：甲商户增加的生产时间为3小时. 学科网（北京）股份有限公司 $ 基础课6 分式方程 基础巩固 1．(八下习题改编)下列方程中，不是分式方程的是( ) A. B. C. D. 2．解分式方程时，去分母正确的是( ) A. B. C. D. 3．已知是分式方程的解，则实数的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4．新考法 新定义 对于实数，，定义一种新运算“”为：，例如：，则的解是( ) A. B. C. D. 5．(八下练习改编)分式方程的解为正数，则的取值范围是( ) A. B. 且 C. D. 且 6．(2025齐齐哈尔)如果关于的分式方程 无解，那么实数的值是( ) A. B. C. 或 D. 且 7．(2025甘肃)方程的解是　　　　. 8．(2025北京)方程的解为　　　　. 9．(2024武汉)分式方程的解是　　　　. 10．(2025昆山八校联考零模)若关于的分式方程(为常数)有增根，则的值是　　　　. 11． 已知关于的分式方程. (1) 若分式方程的解是，则的值是　　　　； (2) 若分式方程的解是非负数，且满足不等式，则所有满足条件的偶数的值之和为　　　　. 12．(2025四市联考一模)解方程：. 13．(2025威海)解分式方程：. 14．(八下复习题改编)解方程：. 15． 解方程：. 综合训练 16．(2025广东省卷)新考法 注重过程性 在解分式方程 时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：. 第五步：检验：当时，， 第六步： 原分式方程的解为. 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确，若不正确，请写出你的解答过程. 参考答案 1. A　 2. C 3. C　【解析】方程两边同乘x(x＋k)，得10(x＋k)－20x=x(x＋k)，当x=2时，10(2＋k)－20×2=2×(2＋k)，解得k=3. 4. C　【解析】根据定义得，=－2，去分母得，1=2－2x－8，解得x=－，经检验x=－是原分式方程的解. 5. B　【解析】方程两边同乘x－1得，2=x－1－m，解得x=m＋3，∵分式方程=1－的解为正数，∴m＋3＞0，∴m＞－3.∵x≠1，即m＋3≠1，∴m≠－2，∴m的取值范围为m＞－3且m≠－2. 6. C　【解析】方程去分母，得mx－x=2(1－x)，整理，得(m＋1)x=2.∵原方程无解，∴①整式方程无解，则m＋1=0，解得m=－1；②分式方程有增根，则x－1=0，解得x=1，把x=1代入(m＋1)x=2，得：m＋1=2，解得m=1，∴m的值为1或－1. 7. －1　　【解析】去分母，得2x=x－1，移项，得x=－1，经检验，x=－1是原方程的解，∴原方程的解为x=－1. 8. x=2　【解析】方程两边乘最简公分母x(x－6)，得2x＋x－6=0，解得x=2，经检验x=2是原方程的解. 9. x=－3　【解析】原方程去分母，得x2－x=x2－2x－3，解得x=－3，检验：当x=－3时，(x－1)(x－3)≠0，∴原方程的解为x=－3. 10. －1　【解析】去分母，得1＋m=x－4，解得x=m＋5.∵原方程有增根，∴x－4=0，即x=4，∴m＋5=4，解得m=－1. 11. (1)－5；　【解析】(1)解分式方程－=5，去分母，得4x－a＋2a=5(x－2)，解得x=a＋10，∵x=5，∴a=－5. (2)－20.　【解析】∵分式方程的解是非负数，∴a＋10≥0，且a＋10≠2，∴a≥－10且a≠－8，又∵a满足不等式a－1≤1，∴a≤2，∴a的取值范围为－10≤a≤2，且a≠－8，∴满足条件的偶数a的值有－10，－6，－4，－2，0，2，∴这些数之和为－10＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2=－20. 12. 解：方程两边同时乘(x－3)，得2x＋x－3=x＋1， 移项、合并同类项，得2x=4， 解得x=2， 检验：当x=2时，x－3≠0， ∴原分式方程的解为x=2. 13. 解：原方程去分母，得x－2－2x＋1=－1， 解得x=0， 检验：当x=0时，2x－1≠0， ∴原分式方程的解为x=0. 14. 解：方程两边同时乘x(x－1)， 得2x=1－3(x－1)， 解得x=， 检验：当x=时，x(x－1)≠0， ∴原分式方程的解为x=. 15. 解：方程两边同乘(x－2)2，得x(x－2)－(x－2)2=4， 解得x=4， 检验：当x=4时，(x－2)2≠0， ∴原分式方程的解为x=4. 16. 解：小李的解法中第一步是去分母， 去分母的依据是等式的性质，小李的解答过程不正确， 正确的解答过程如下： 去分母，得∙(x－2)=－∙(x－2)－2(x－2)， 整理，得1－x=－1－2x＋4， 移项、合并同类项，得x=2， 检验：当x=2时，x－2=0， ∴原分式方程无解. 学科网（北京）股份有限公司 $