专题04 相似三角形（期末复习讲义）九年级数学上学期苏科版

该初中数学相似三角形期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，以“知识点+模型分类表”构建知识体系，涵盖比例性质、相似判定、位似等内容，突出相似三角形判定（压轴题）和实际应用（必考）等重难点，呈现清晰知识脉络。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，基础通关练夯实基础，重难突破练提升能力，综合拓展练培养创新意识。如“相似三角形实际应用”题型，引导学生用数学思维抽象几何模型，通过推理列比例式求解，结合易错点拨（面积比与相似比关系），助力教师精准教学，学生分层提升。

专题04 相似三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 比例的基本性质 成比例线段、黄金分割 理解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；理解黄金分割，会用黄金分割解决相关的实际问题； 常考点，常出现在期末考试的选择题或填空题； 属于基础题。 平行线分线段成比例 掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； 常考点，一般位于选择题前两三题或者填空题前三题，属于基础题； 相似图形的概念、相似比 相似三角形的概念与性质 通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。理解相似三角形的性质定理相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 必考点，选择题和填空题的属于基础题 相似三角形的判定方法 掌握相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三 角形相似，以及相似三角形判定定理的证明。 必考题，解答题，难度较大，压轴题可能性较大。 位似图形的概念和性质 理解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小，会利用位似将一个图形放大或缩小； 常考考点，一般为选择或填空题，属于基础题。 用相似三角形解决实际问题 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题；知道中心投影和平行投影的概念。 必考考点，多为解答题，选题填空题偶尔也会出现难度中等 。 知识点01 比例的相关概念及性质 1．线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比． 2．比例中项：如果，即，我们就把b叫做a，c的比例中项． 3．比例的性质： 性质 内容 性质1 ⇔（a，b，c，d≠0）． 性质2 如果，那么． 性质3 如果=…=（b+d+…+n≠0），则=（不唯一）． 4. 黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比． ·示例：已知点是线段的黄金分割点，,且点，则线段的长为 。 计算方法如下：因为点C叫做线段AC的黄金分割点，所以, 则 已知全长，求小线段，则： , ·易错点：上面的示例中有一个条件至关重要，，如果把这个条件去掉，那么答案就有两个，因为我们不知道这个黄金分割点C是靠近A的，还是靠近B的，这也是这种题目最易犯错的地方。 知识点02 相似三角形的概念、性质 1．相似三角形概念：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比． 2．相似三角形性质：(此性质会考选填1题，解答1题) （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例； （2）相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线）成比例； （3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．(此性质特别易错，常考要小心！) ·示例：如果已知,相似比为1:2, 的面积为9，则的面积为 ； ,所以 ·易错点：根据相似三角形的性质计算线段长或面积时，要注意一个问题，就是面积比与其他比都是不同的，边长比，周长比，对应中线比，对应角平分线的比，对应高线的比都是等于相似比的，只有面积比是平方比，这点要牢记。 知识点03 相似三角形的判定方法(相似三角形判定会考选填1题，解答1题，压轴题可能性较大) 1. 平行线分线段成比例定理： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 如图所示： 其实，只要等式两边的线段对应，等式就成立，都可以通过比例的基本性质得到。 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似。 几何语言：,这个结论的本质就是相似模型中的A字型相似。 2.相似三角形的判定四种判定方法总结： （1）有两角对应相等，两三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （3）三边对应成比例，两三角形相似； （4）平行线分线段成比例推论． ·示例：判定相似三角形的方法很多，注意根据不同条件选择恰当的方法，不过上面四种方法中使用频率最高的还是方法一中的通过两角对应相等来证明三角形的相似，因为条件简单，遇到问题优先考虑该方法，如果不行，在考虑方法2，用的最少的是方法3. ·易错点： 注意区分这两种说法： 说法一：“”；说法二：相似 说法一中对应点是确定的，而第二种说法中对应点是不确定的，遇到该问题要分情况讨论！ 知识点04 相似多边形的概念及性质 1．相似多边形概念：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比． 2．相似多边形的性质：（相似多边形的性质类似于相似三角形性质） （1）相似多边形的对应边成比例； （2）相似多边形的对应角相等； （3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方． 知识点05 位似图形的概念及性质 1．位似图形的概念：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比． 2．位似图形的性质：（常考选择或填空1题） （1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k； （2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比． 3．位似图形作图的步骤：（注意作图的方向） （1）确定位似中心； （2）确定原图形的关键点； （3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数； （4）作出原图形中各关键点的对应点； （5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点． ·示例：位似图形的作图范例，如图：注意区分两种情况的不同。 ·易错点： 位似的作图问题严格按照步骤完成，注意要作的图形位于位似中心的哪边，是同一侧，还是两侧，这是这种题目最易出错的一个地方。 知识点06 平行投影与中心投影（常常与相似三角形结合放在解答题中考查） 1.平行投影：在平行光的照射下，物体所产生的影成为平行投影。平行投影下：物高与影长成比例。 2.中心投影：在点光源的照射下,物体所产生的影称为中心投影。 3.平行投影、中心投影的作用：可以借助两种投影结合相似三角形的知识求物体的高度或者距离。 知识点07 常见相似模型 重要相似模型一:A字型相似 A字型相似 正A字型相似 斜A字型相似（共角） 斜A字型相似（共角共边） 经典图示 已知条件 或 或 重要结论 重要相似模型二:8字型相似 8字型相似 正8字型相似 斜8字型相似（共角） 燕尾型相似 经典图示 已知条件 或 或 重要结论 重要相似模型三:一线三等角相似 一线三等角型相似 同侧一线三等角型相似 异侧一线三等角型相似 经典图示 已知条件 重要结论 字母对应关系可以按图示方向逆时针写 字母对应关系可以按图示方向逆时针写 知识点08 相似三角形的应用 相似三角形的实际应用常见类型有两类：测量高度和测量宽度，主要是利用构造相似三角形，利用相似的性质解决不便于测量的高度和宽度问题。 ·示例：例如测量河宽： 0. 在河岸取一点，连接并延长至，使（k为比例系数，方便计算）； 0. 连接并延长至，使三点共线； 0. 证明（对顶角相等，内错角相等）； 0. 列比例式，测量的长度即可求出。 ·易错点：这种问题的解答难度不大，错误主要集中在计算量上，很多学生计算能力不行，计算量稍大一些就会出错，提高计算能力，细心计算是非常必要的。 题型一 比例性质相关求值、比例尺 解｜题｜技｜巧 利用比例的基本性质求值问题是期末考试常考，必考的小考点之一，属于基础题型，大多数位于填空题的第1-2题，主要解法有两种，一种是利用比例的基本性质通过变形求解，此种方法适合解答题书写过程使用；另一种是利用设k法，直接代入求值，方便快捷，不易出错。 易｜错｜点｜拨 在使用设k法解决比例求值问题时，也可以不用k,直接将所给的比值的代入所求式子求值，这种方法虽然简单快捷，但不可以用来书写解答题，不规范，容易丢分。 【典例1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）若，则的值为 ． 【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若，则 ． 【变式2】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知线段，，则线段的比例中项为 cm． 【典例2】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在比例尺为的某地旅游地图上，经测量景点与景点相距约，则这两景点实际距离约 ． 【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）A市建设规划图上，城区南北长约，而A市城区南北实际长，规划图采用的比例尺是 ． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若高邮到南京的距离约为，则在比例尺为的地图上的距离为 ． 题型二 黄金分割问题 解｜题｜技｜巧 黄金分割与黄金比问题，是属于比例中的一个考点，也是期末考试的一个常考的知识点，一般出现在选择或填空题中，多为填空题，解答题中出现的可能性较低，难度较小，属于基础题型，通常所求问题有两种，其一是求长度，求小线段或者大线段或者全长，其二是给出长度求比值，第一种类型考的最多。 牢记下面几个重要结论，有助于提高解题速度和正确率： 已知点是线段的黄金分割点， 已知全长，求大线段，则：,即 已知全长，求小线段，则：,即 已知大线段，求全长，则：,即 已知小线段，求全长，则：,即 已知大线段，求小线段，则：,即 已知小线段，求大线段，则：,即 易｜错｜点｜拨 有关黄金分割的计算问题错误率最高的出现在计算上，因为其中涉及到无理数的运算和二次根式的化简问题，所以有很多同学会，但做不对，所以要提高自己的计算能力至关重要！ 【典例1】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）当矩形窗户宽与高的比是黄金比（黄金比约为0.618）时，这扇窗户看上去比较和谐．一扇高2米的窗户，当宽约为 时，看上去比较和谐（结果精确到0.01）． 【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在矩形中，与的比为黄金比，这样的矩形称为黄金矩形，它给人以美感．若用长的铁丝围成一个黄金矩形，则它的较长一边的长为 ． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，一架小提琴中、、各部分长度的比满足，则的值为 ． 题型三 相似三角形的性质（小题） 解｜题｜技｜巧 相似三角形的性质放在选择题或填空题中的考查主要是考查周长比和面积比的问题，通常选择题和填空题会有一题，属于基础题，只要牢记相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，一般不会出错，但要注意有时会反向考查，就是题目给出面积比，让我们求相似比或周长比，此时需要开方计算。 易｜错｜点｜拨 根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，计算时要注意的是求面积比或者翻过来由面积比求相似比时需要平方或者开方计算，与周长比不同。这一点易错，要牢记！ 【典例1】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，中，，，且，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【变式1】（24-25九年级上·江苏南通·期末）若，且，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知，，的面积为1，则的面积为（   ） A．1 B．3 C．9 D．81 题型四 平行线分线段成比例 解｜题｜技｜巧 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。常用的变形图有如下三种。考试中可能还会有简化版本的图形出现，所以利用该定理解决问题求线段长度或线段比值时，要灵活处理，可以将所给图形补全还原成如下图形即可。 注意，只要等式两边的线段一定要对应！。 易｜错｜点｜拨 利用平行线分线段成比例定理解决计算线段长度或线段比值时，一定要注意等号两边的线段一定要对应，否则就是错误的，尤其是像上图中（2）（3）最易错! 【典例1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，，直线a、b与分别相交于点A、B、C和点D、E、F．设，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，连接格点，，点，是线段与网格线的交点，则 ． 【变式2】（2025·江苏南京·二模）如图，，直线，与，，分别交于点，，和点，，．若，，，则的长为（　　） A．2.5 B．3 C．4.5 D．5 题型五 相似三角形的判定方法 解｜题｜技｜巧 相似三角形的判定方法很多，但使用频率最高的是“有两角对应相等，两三角形相似”，因为条件少，使用方便，另外，关于角的相等证明方法较多，思路比较广，但是，我们也不能忽略或忘记后面几种方法，期末或中考压轴题最易出现“意想不到”的问题，出题人如果不想让我们使用“两角”来证相似，这样很容易导致思路受阻，所以，说方法一使用较多，只是告诉咱们优先考虑方法一，但如果方法一行不通，就要想到尝试其他方法，所以要灵活处理。 关于相似的判定问题，还要掌握常见的“相似模型”，这样可以提高解决问题的速度和效率，牢记各种常见模型的使用条件和结论，包括基本图形。 易｜错｜点｜拨 使用常见的相似模型解决问题时，要注意使用条件，以及原题图形与基本图形的不同之处，不要生搬硬套，防止出现错误。 【典例1】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形相似，下列四种画法中，正确的是（   ） A．B． C． D． 【变式1】（2025·江苏南京·二模）如图，在正方形中，是的中点，点在上，且．求证：． 【变式2】（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在和中，、分别是、上一点，． (1)当，时，判断与是否相似，如果相似请证明，不相似请举反例说明． (2)当，时，判断与是否相似，如果相似请证明，不相似请举反例说明． 题型六 位似图形的概念及性质 解｜题｜技｜巧 位似图形就是相似图形的一种特殊情况，不仅形状相似，而且“位置还相似”，理解这一点非常重要，这个知识点考查方式通常就两种，第一种是利用位似图形的性质计算线段长或图形面积或面积比，比较简单，和三角形相似性质一样；第二种是关于位似的作图题，这个为解答题，一般位于解答题的前两题，难度一般，作图问题通常也分为两个类型，一是作出一个图形的位似图形，二是两个图形作好了，让我们找出位似中心，并写出或求出位似中心的坐标等信息。 关于位似的方向问题，有如下规律要牢记： 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；这里要注意位似图形位于位似中心两侧的情况。 【典例1】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，与位似，位似中心为点O， ，的面积为18，则面积为（   ） A．54 B．24 C．32 D． 【变式1】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，和是以点为位似中心的位似图形，且，则和的相似比为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，一块三角尺与其在灯光照射下的投影构成位似图形，且相似比为．若三角尺的一边长为，则其投影三角形的对应边的长为（  ） A． B． C． D． 【典例2】位似作图 （24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)向左平移3个单位，向上平移1个单位，请画出平移后的； (2)以点O为位似中心在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； (3)已知点在线段上，则点P在位似上的对应点坐标为 ． 【变式1】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，的顶点坐标分别为，，．以坐标原点为位似中心，将按相似比2：1放大，得到． (1)在图中画出（不要求写出画法）； (2)的面积为__________． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，是边长为1个单位的小正方形组成的方格，在网格中建立平面直角坐标系，使点A、C的坐标分别为和 ．顶点都在格点上，将的三边分别扩大得到（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形． (1)在图中画出点P，并直接写出点P的坐标； (2)画出绕原点O逆时针旋转所得； (3)若以（2）中旋转后所得扇形作为圆锥侧面围成一个圆锥，则所得圆锥底面半径为 ． 题型七 相似三角形的实际应用 解｜题｜技｜巧 相似三角形实际应用题的核心解题逻辑是将实际场景抽象为几何图形，通过证明三角形相似，利用 “对应边成比例” 的性质建立方程，求解未知量。 一、 常见题型分类及解题方法 1. 测量物体高度类（高频考点） 这类问题的核心是测量不可直接到达的物体高度（如旗杆、大树、建筑物）： · 设待测物体高度为h，测量其影长； · 测量一个已知高度的参照物（如标杆）的高度和影长； · 证明； · 列比例式：，求解。 2. 测量距离宽度类 这类问题用于测量不可直接跨越的距离（如河宽、峡谷宽、两建筑物间距），核心是构造 “无公共边的相似三角形”。“三点一线” 构造相似 易｜错｜点｜拨 相似三角形的应用一般出错点都在计算上，因为题目数据都比较真实，或接近与实际情况，所以计算量通常都比较大，所以计算就容易出错，细心+二次检查是最好的应对办法。 【典例1】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，在阳光下，某一时刻，旗杆的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆在地面上的影长为，在墙面上的影为．同一时刻，直立于地面长的标杆的影长为，求旗杆的高度． 【变式1】（24-25九年级上·江苏南通·期末）（1）计算：； （2）如图，利用标杆测量楼高，点A，D，B在同一直线上，，垂足分别为E，C．若测得，求楼高． 【典例2】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，测得，，，且，．求该古城墙的高度． 【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图1，平直的公路旁有一竖直灯杆，在灯光下，小华从灯杆的底部处沿直线前进到达点，在处测得自己的影长．小华身高． (1)求灯杆的长； (2)若小华从处继续沿直线前进到处（如图2），求此时小华的影长的长． 【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，工地上竖立着两根电线杆、，它们相距，分别自两杆上高出地面、的A、C处，向两侧地面上的E和D、B和F处用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳与的交点P离地面的高度是多少米？ 期末基础通关练（测试时间：30分钟） 1．（24-25九年级上·江苏南京·期末）若，则的值为 ． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）已知点在线段上，且．若，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，E为边上的中点，交于点O，若，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．12 D．24 4．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到．其中，B，D两点的坐标分别为，，则的值等于 ． 5．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，相交于点E，在一条直线上．． (1)求的值； (2)求的长． 6．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，为平行四边形的对角线，且平分；点在的延长线上，． (1)求证：四边形是菱形． (2)求证：． 7．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，是边长为1个单位的小正方形组成的方格，在网格中建立平面直角坐标系，使点A、C的坐标分别为和 ．顶点都在格点上，将的三边分别扩大得到（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形． (1)在图中画出点P，并直接写出点P的坐标； (2)画出绕原点O逆时针旋转所得； (3)若以（2）中旋转后所得扇形作为圆锥侧面围成一个圆锥，则所得圆锥底面半径为 ． 8．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，正方形的边长为4，是边的中点，点在射线上，过点作于点，垂足为，连接． (1)求证：； (2)设，是否存在实数，使得与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 9．（24-25九年级上·山东·期末）“远远的街灯明了，好像闪着无数的明星．天上的明星现了，好像是点着无数的街灯……”家住济宁的小华，夜晚听着郭沫若的诗句在街上散步，发现自己由路灯A走向路灯B的过程中，当她行到P点时，她在路灯B下的影长为1.5米，且恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了5米到Q处，恰好她在路灯A下的影子位于路灯B的正下方（已知小华身高1.6米，路灯B高8米） (1)计算小华站在Q处在路灯A下的影长； (2)计算路灯A的高度． 10．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，为了求出海岛上的山峰的高度，在D处和F处树立标杆和，标杆的高都是20米，D，F两处相隔200米，并且，和在同一平面内．从标杆后退80米的G处，可以看到顶峰A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆后退160米的H处，可以看到顶峰A和标杆顶端E在一条直线上．求山峰的高度及它和标杆的水平距离各是多少米？ 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在和中，，，点M为中点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，点G是的重心，D是边上一点，，连接，连接并延长分别交于点E、F，则的值为（  ） A． B． C． D．2 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，已知矩形的边长，，若将矩形绕点C旋转，使点B的对应点恰好落在上，连接，则的长为 ． 5．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，正方形的边长为8，的半径为4，点P是上一个动点，则的最小值为 ． 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 1．（2025·江苏·一模）请仅用无刻度直尺（即不使用刻度尺上的刻度功能）和0.5毫米黑色墨水签字笔作出所要求的图形并在答题卡上保留作图痕迹． 如图1，已知平行四边形，点E为边上任意一点且，请作出线段的中点； 2．（25-26九年级上·上海·月考）如图，在中，，点F在边上，点D在的延长线上，，点E在边上，且满足． (1)求证：； (2)如果，求证：． 3．（25-26九年级上·山东日照·月考）课本中有一道作业题，有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，交于点， (1)加工成的正方形零件的边长为多少？ (2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的相邻两边长就不能确定，但这个矩形的面积有最大值，求这个矩形面积的最大值； (3)如图3，小颖想如果这块余料形状改为的斜板，已知，，，要把它加工成一个形状为平行四边形的工件，使在上，、两点分别在上，且，则平行四边形的面积为多少？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 相似三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 比例的基本性质 成比例线段、黄金分割 理解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；理解黄金分割，会用黄金分割解决相关的实际问题； 常考点，常出现在期末考试的选择题或填空题； 属于基础题。 平行线分线段成比例 掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； 常考点，一般位于选择题前两三题或者填空题前三题，属于基础题； 相似图形的概念、相似比 相似三角形的概念与性质 通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。理解相似三角形的性质定理相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 必考点，选择题和填空题的属于基础题 相似三角形的判定方法 掌握相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三 角形相似，以及相似三角形判定定理的证明。 必考题，解答题，难度较大，压轴题可能性较大。 位似图形的概念和性质 理解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小，会利用位似将一个图形放大或缩小； 常考考点，一般为选择或填空题，属于基础题。 用相似三角形解决实际问题 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题；知道中心投影和平行投影的概念。 必考考点，多为解答题，选题填空题偶尔也会出现难度中等 。 知识点01 比例的相关概念及性质 1．线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比． 2．比例中项：如果，即，我们就把b叫做a，c的比例中项． 3．比例的性质： 性质 内容 性质1 ⇔（a，b，c，d≠0）． 性质2 如果，那么． 性质3 如果=…=（b+d+…+n≠0），则=（不唯一）． 4. 黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比． ·示例：已知点是线段的黄金分割点，,且点，则线段的长为 。 计算方法如下：因为点C叫做线段AC的黄金分割点，所以, 则 已知全长，求小线段，则： , ·易错点：上面的示例中有一个条件至关重要，，如果把这个条件去掉，那么答案就有两个，因为我们不知道这个黄金分割点C是靠近A的，还是靠近B的，这也是这种题目最易犯错的地方。 知识点02 相似三角形的概念、性质 1．相似三角形概念：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比． 2．相似三角形性质：(此性质会考选填1题，解答1题) （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例； （2）相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线）成比例； （3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．(此性质特别易错，常考要小心！) ·示例：如果已知,相似比为1:2, 的面积为9，则的面积为 ； ,所以 ·易错点：根据相似三角形的性质计算线段长或面积时，要注意一个问题，就是面积比与其他比都是不同的，边长比，周长比，对应中线比，对应角平分线的比，对应高线的比都是等于相似比的，只有面积比是平方比，这点要牢记。 知识点03 相似三角形的判定方法(相似三角形判定会考选填1题，解答1题，压轴题可能性较大) 1. 平行线分线段成比例定理： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 如图所示： 其实，只要等式两边的线段对应，等式就成立，都可以通过比例的基本性质得到。 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似。 几何语言：,这个结论的本质就是相似模型中的A字型相似。 2.相似三角形的判定四种判定方法总结： （1）有两角对应相等，两三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （3）三边对应成比例，两三角形相似； （4）平行线分线段成比例推论． ·示例：判定相似三角形的方法很多，注意根据不同条件选择恰当的方法，不过上面四种方法中使用频率最高的还是方法一中的通过两角对应相等来证明三角形的相似，因为条件简单，遇到问题优先考虑该方法，如果不行，在考虑方法2，用的最少的是方法3. ·易错点： 注意区分这两种说法： 说法一：“”；说法二：相似 说法一中对应点是确定的，而第二种说法中对应点是不确定的，遇到该问题要分情况讨论！ 知识点04 相似多边形的概念及性质 1．相似多边形概念：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比． 2．相似多边形的性质：（相似多边形的性质类似于相似三角形性质） （1）相似多边形的对应边成比例； （2）相似多边形的对应角相等； （3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方． 知识点05 位似图形的概念及性质 1．位似图形的概念：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比． 2．位似图形的性质：（常考选择或填空1题） （1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k； （2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比． 3．位似图形作图的步骤：（注意作图的方向） （1）确定位似中心； （2）确定原图形的关键点； （3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数； （4）作出原图形中各关键点的对应点； （5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点． ·示例：位似图形的作图范例，如图：注意区分两种情况的不同。 ·易错点： 位似的作图问题严格按照步骤完成，注意要作的图形位于位似中心的哪边，是同一侧，还是两侧，这是这种题目最易出错的一个地方。 知识点06 平行投影与中心投影（常常与相似三角形结合放在解答题中考查） 1.平行投影：在平行光的照射下，物体所产生的影成为平行投影。平行投影下：物高与影长成比例。 2.中心投影：在点光源的照射下,物体所产生的影称为中心投影。 3.平行投影、中心投影的作用：可以借助两种投影结合相似三角形的知识求物体的高度或者距离。 知识点07 常见相似模型 重要相似模型一:A字型相似 A字型相似 正A字型相似 斜A字型相似（共角） 斜A字型相似（共角共边） 经典图示 已知条件 或 或 重要结论 重要相似模型二:8字型相似 8字型相似 正8字型相似 斜8字型相似（共角） 燕尾型相似 经典图示 已知条件 或 或 重要结论 重要相似模型三:一线三等角相似 一线三等角型相似 同侧一线三等角型相似 异侧一线三等角型相似 经典图示 已知条件 重要结论 字母对应关系可以按图示方向逆时针写 字母对应关系可以按图示方向逆时针写 知识点08 相似三角形的应用 相似三角形的实际应用常见类型有两类：测量高度和测量宽度，主要是利用构造相似三角形，利用相似的性质解决不便于测量的高度和宽度问题。 ·示例：例如测量河宽： 0. 在河岸取一点，连接并延长至，使（k为比例系数，方便计算）； 0. 连接并延长至，使三点共线； 0. 证明（对顶角相等，内错角相等）； 0. 列比例式，测量的长度即可求出。 ·易错点：这种问题的解答难度不大，错误主要集中在计算量上，很多学生计算能力不行，计算量稍大一些就会出错，提高计算能力，细心计算是非常必要的。 题型一 比例性质相关求值、比例尺 解｜题｜技｜巧 利用比例的基本性质求值问题是期末考试常考，必考的小考点之一，属于基础题型，大多数位于填空题的第1-2题，主要解法有两种，一种是利用比例的基本性质通过变形求解，此种方法适合解答题书写过程使用；另一种是利用设k法，直接代入求值，方便快捷，不易出错。 易｜错｜点｜拨 在使用设k法解决比例求值问题时，也可以不用k,直接将所给的比值的代入所求式子求值，这种方法虽然简单快捷，但不可以用来书写解答题，不规范，容易丢分。 【典例1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）若，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】比例的性质 【分析】本题主要考查了比例的性质，由已知比例可得，再把代入所求表达式中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若，则 ． 【答案】 【知识点】分式的求值、比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，分式的化简求值，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 设，得到，代入计算即可． 【详解】解：设， ， ， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知线段，，则线段的比例中项为 cm． 【答案】 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例中项，理解比例中项的概念是解题的关键． 根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负． 【详解】解∶根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得∶比例中项的平方等于两条线段的乘积， 设它们的比例中项是，则， 解得：，（线段是正数，负值舍去）， 故答案为． 【典例2】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在比例尺为的某地旅游地图上，经测量景点与景点相距约，则这两景点实际距离约 ． 【答案】60 【知识点】比例线段 【分析】本题考查成比例线段，设这两景点实际距离为，利用比例尺的定义得到，求出x的值后，把单位化为即可． 【详解】解：设这两景点实际距离为， ， 解得， ， 故答案为：60． 【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）A市建设规划图上，城区南北长约，而A市城区南北实际长，规划图采用的比例尺是 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例尺图上距离实际距离是解题的关键．根据比例尺的公式计算即可． 【详解】解：由题意得，比例尺． 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若高邮到南京的距离约为，则在比例尺为的地图上的距离为 ． 【答案】 【知识点】比例线段 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，比例尺，理解比例尺的概念是解题关键．设地图上的距离为，根据比例尺列方程求解即可． 【详解】解：设地图上的距离为， 则， 解得：， 即地图上的距离为， 故答案为：． 题型二 黄金分割问题 解｜题｜技｜巧 黄金分割与黄金比问题，是属于比例中的一个考点，也是期末考试的一个常考的知识点，一般出现在选择或填空题中，多为填空题，解答题中出现的可能性较低，难度较小，属于基础题型，通常所求问题有两种，其一是求长度，求小线段或者大线段或者全长，其二是给出长度求比值，第一种类型考的最多。 牢记下面几个重要结论，有助于提高解题速度和正确率： 已知点是线段的黄金分割点， 已知全长，求大线段，则：,即 已知全长，求小线段，则：,即 已知大线段，求全长，则：,即 已知小线段，求全长，则：,即 已知大线段，求小线段，则：,即 已知小线段，求大线段，则：,即 易｜错｜点｜拨 有关黄金分割的计算问题错误率最高的出现在计算上，因为其中涉及到无理数的运算和二次根式的化简问题，所以有很多同学会，但做不对，所以要提高自己的计算能力至关重要！ 【典例1】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）当矩形窗户宽与高的比是黄金比（黄金比约为0.618）时，这扇窗户看上去比较和谐．一扇高2米的窗户，当宽约为 时，看上去比较和谐（结果精确到0.01）． 【答案】 【知识点】黄金分割 【分析】本题主要查了黄金分割．利用黄金分割的概念进行解答，特别是利用黄金比进行计算，按照题意宽与高等于黄金比，可得得宽高，即可得到答案． 【详解】解：∵宽与高的比是黄金比，设窗户的宽为x米， ∴宽高， ∴， 解得， 故答案为： ． 【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在矩形中，与的比为黄金比，这样的矩形称为黄金矩形，它给人以美感．若用长的铁丝围成一个黄金矩形，则它的较长一边的长为 ． 【答案】 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割，一元一次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．设它的较长一边的长为，则它的较短一边的长为，然后根据题意可得：，从而进行计算即可解答． 【详解】解：设它的较长一边的长为，则它的较短一边的长为， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的根， 它的较长一边的长为， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，一架小提琴中、、各部分长度的比满足，则的值为 ． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程、黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割比的应用；正确建立方程是解题关键．设，，则，根据建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设，，则， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列分式方程的解， ∴， 故答案为：． 题型三 相似三角形的性质（小题） 解｜题｜技｜巧 相似三角形的性质放在选择题或填空题中的考查主要是考查周长比和面积比的问题，通常选择题和填空题会有一题，属于基础题，只要牢记相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，一般不会出错，但要注意有时会反向考查，就是题目给出面积比，让我们求相似比或周长比，此时需要开方计算。 易｜错｜点｜拨 根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，计算时要注意的是求面积比或者翻过来由面积比求相似比时需要平方或者开方计算，与周长比不同。这一点易错，要牢记！ 【典例1】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，中，，，且，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定好性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．由已知可得，再证明，得到，即可求出的长． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·江苏南通·期末）若，且，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键． 根据相似三角形的性质得到，代入数值计算即可． 【详解】解：， ， ，，， ， ， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知，，的面积为1，则的面积为（   ） A．1 B．3 C．9 D．81 【答案】C 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，由此即可求解． 【详解】解：已知，， ∴， ∴， ∵的面积为1， ∴． 故选：C ． 题型四 平行线分线段成比例 解｜题｜技｜巧 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。常用的变形图有如下三种。考试中可能还会有简化版本的图形出现，所以利用该定理解决问题求线段长度或线段比值时，要灵活处理，可以将所给图形补全还原成如下图形即可。 注意，只要等式两边的线段一定要对应！。 易｜错｜点｜拨 利用平行线分线段成比例定理解决计算线段长度或线段比值时，一定要注意等号两边的线段一定要对应，否则就是错误的，尤其是像上图中（2）（3）最易错! 【典例1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，，直线a、b与分别相交于点A、B、C和点D、E、F．设，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理得出，然后代入数值求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴， 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，连接格点，，点，是线段与网格线的交点，则 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】此题重点考查平行线分线段成比例定理．取格点C、E、F，连接、、、，则经过点E、F，且，，，由，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：取格点C、E、F，连接、、、，则经过点E、F， ∵网格中每个小正方形的边长均为1， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2025·江苏南京·二模）如图，，直线，与，，分别交于点，，和点，，．若，，，则的长为（　　） A．2.5 B．3 C．4.5 D．5 【答案】B 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理得出，然后代入数值求解即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，即， ∴， 故选：B． 题型五 相似三角形的判定方法 解｜题｜技｜巧 相似三角形的判定方法很多，但使用频率最高的是“有两角对应相等，两三角形相似”，因为条件少，使用方便，另外，关于角的相等证明方法较多，思路比较广，但是，我们也不能忽略或忘记后面几种方法，期末或中考压轴题最易出现“意想不到”的问题，出题人如果不想让我们使用“两角”来证相似，这样很容易导致思路受阻，所以，说方法一使用较多，只是告诉咱们优先考虑方法一，但如果方法一行不通，就要想到尝试其他方法，所以要灵活处理。 关于相似的判定问题，还要掌握常见的“相似模型”，这样可以提高解决问题的速度和效率，牢记各种常见模型的使用条件和结论，包括基本图形。 易｜错｜点｜拨 使用常见的相似模型解决问题时，要注意使用条件，以及原题图形与基本图形的不同之处，不要生搬硬套，防止出现错误。 【典例1】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形相似，下列四种画法中，正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用三边对应成比例判定相似、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 先求出题干三角形的三边长，再分别求出各选项三角形的三边长，判断三边是否对应成比例来判断相似． 【详解】解：可求题干三角形中三边长（从小到大）为：， A、可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意； B、可求三角形三边长（从小到大）为：，则，故相似，符合题意； C、同理可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意； D、同理可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意， 故选：B． 【变式1】（2025·江苏南京·二模）如图，在正方形中，是的中点，点在上，且．求证：． （2025·江苏南京·二模）如图，在正方形中，是的中点，点在上，且．求证：． 【答案】见解析 【知识点】相似三角形的判定综合、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 设正方形的边长为．则，，再利用正方形的性质与勾股定理求得，．即可根据相似三角形的判定定理得出结论． 【详解】证明：法一：设正方形的边长为． 是的中点， ． ． 四边形为正方形， ． 在Rt中，， ． 又， ． 同理． ． ． 在和中，， ． 法二：设正方形的边长为． 是的中点， ． ． 四边形为正方形， ． 在Rt中，， ． 又， ． 同理． 在中，， ． ． 又， ． 在和中， ， ． 法三： ． 四边形为正方形， ． 是的中点， ， ． 在和中， ， ． ． ， ， ． 在和中， ， ． 【变式2】（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在和中，、分别是、上一点，． (1)当，时，判断与是否相似，如果相似请证明，不相似请举反例说明． (2)当，时，判断与是否相似，如果相似请证明，不相似请举反例说明． 【答案】(1)相似，证明见解析 (2)与不相似，说明见解析 【知识点】相似三角形的判定综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （）由，得，即得，，进而得，即可求证； （）画出图形举出反例即可． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，但不是对应边的夹角， ∴与不相似， 反例如图所示： 题型六 位似图形的概念及性质 解｜题｜技｜巧 位似图形就是相似图形的一种特殊情况，不仅形状相似，而且“位置还相似”，理解这一点非常重要，这个知识点考查方式通常就两种，第一种是利用位似图形的性质计算线段长或图形面积或面积比，比较简单，和三角形相似性质一样；第二种是关于位似的作图题，这个为解答题，一般位于解答题的前两题，难度一般，作图问题通常也分为两个类型，一是作出一个图形的位似图形，二是两个图形作好了，让我们找出位似中心，并写出或求出位似中心的坐标等信息。 关于位似的方向问题，有如下规律要牢记： 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；这里要注意位似图形位于位似中心两侧的情况。 【典例1】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，与位似，位似中心为点O， ，的面积为18，则面积为（   ） A．54 B．24 C．32 D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：， ， 与位似， ，， ， ， ， 的面积为18， 面积为32， 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，和是以点为位似中心的位似图形，且，则和的相似比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查了位似图形、相似比，位似图形的相似比就是位似图形的位似比，位似图形的位似比就等于位似中心与对应点连线段的长度之比． 【详解】解：， ， ， 和的相似比为． 故选： B． 【变式2】（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，一块三角尺与其在灯光照射下的投影构成位似图形，且相似比为．若三角尺的一边长为，则其投影三角形的对应边的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．设边长为的投影三角形的对应边长为，利用相似三角形的性质得到，然后利用比例的性质求出即可． 【详解】解：设边长为的投影三角形的对应边长为， 根据题意得， 解得． 故选：B． 【典例2】位似作图 （24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)向左平移3个单位，向上平移1个单位，请画出平移后的； (2)以点O为位似中心在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； (3)已知点在线段上，则点P在位似上的对应点坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】平移(作图)、求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查了作图−位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．也考查了平移变换． （1）利用点平移的坐标变换规律得到点的坐标，然后描点可得； （2）把点A、B的横纵坐标都乘以2得到点的坐标，然后描点可得； （3）把点P的横纵坐标都乘以2得到其对应点的坐标． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，为所作； （3）解：点P在位似上的对应点坐标为． 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，的顶点坐标分别为，，．以坐标原点为位似中心，将按相似比2：1放大，得到． (1)在图中画出（不要求写出画法）； (2)的面积为__________． 【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】在坐标系中画位似图形、利用网格求三角形面积 【分析】此题考查了画位似图形，利用网格求三角形的面积，熟练掌握位似图形的画法是解题的关键： （1）根据位似图形的性质画出图形； （2）利用割补法求出面积． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：， 故答案为6． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，是边长为1个单位的小正方形组成的方格，在网格中建立平面直角坐标系，使点A、C的坐标分别为和 ．顶点都在格点上，将的三边分别扩大得到（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形． (1)在图中画出点P，并直接写出点P的坐标； (2)画出绕原点O逆时针旋转所得； (3)若以（2）中旋转后所得扇形作为圆锥侧面围成一个圆锥，则所得圆锥底面半径为 ． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3) 【知识点】在坐标系中画位似图形、画旋转图形、求圆锥底面半径 【分析】本题考查网格作图，熟练掌握旋转性质，圆锥的弧长计算，底面圆周长计算，位似性质，是解题的关键． （1）对应点连线的交点P即为旋转中心； （2）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点，即可； （3）设底面圆的半径为根据底面圆周长=扇形的弧长，构建方程求解． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求，； （2）解：如图，即为所求； （3）解：设底面圆的半径为 ， 由题意， ． 故答案为：． 题型七 相似三角形的实际应用 解｜题｜技｜巧 相似三角形实际应用题的核心解题逻辑是将实际场景抽象为几何图形，通过证明三角形相似，利用 “对应边成比例” 的性质建立方程，求解未知量。 一、 常见题型分类及解题方法 1. 测量物体高度类（高频考点） 这类问题的核心是测量不可直接到达的物体高度（如旗杆、大树、建筑物）： · 设待测物体高度为h，测量其影长； · 测量一个已知高度的参照物（如标杆）的高度和影长； · 证明； · 列比例式：，求解。 2. 测量距离宽度类 这类问题用于测量不可直接跨越的距离（如河宽、峡谷宽、两建筑物间距），核心是构造 “无公共边的相似三角形”。“三点一线” 构造相似 易｜错｜点｜拨 相似三角形的应用一般出错点都在计算上，因为题目数据都比较真实，或接近与实际情况，所以计算量通常都比较大，所以计算就容易出错，细心+二次检查是最好的应对办法。 【典例1】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，在阳光下，某一时刻，旗杆的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆在地面上的影长为，在墙面上的影为．同一时刻，直立于地面长的标杆的影长为，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查了相似三角形的相似的应用，灵活运用相似三角形的判定与性质解决实际问题是解题的关键． 如图：分别延长、相交于点F，，易得，则；再证明，然后运用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图：分别延长、相交于点F，， 根据题意得： ，解得： ∵ ， ∵， ∴， ∵， ， ，即，解得：． 答：旗杆的高度为． 【变式1】（24-25九年级上·江苏南通·期末）（1）计算：； （2）如图，利用标杆测量楼高，点A，D，B在同一直线上，，垂足分别为E，C．若测得，求楼高． 【答案】（1）；（2） 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、相似三角形实际应用 【分析】本题考查了特殊角的三角函数，相似三角形的判定与性质，解题的关键是： （1）把特殊角的三角函数代入计算即可； （2）证明，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 【典例2】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，测得，，，且，．求该古城墙的高度． 【答案】古城墙的高度为 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的应用，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：，， ， 由题意，得：， ， ， ， ； 答：古城墙的高度为． 【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图1，平直的公路旁有一竖直灯杆，在灯光下，小华从灯杆的底部处沿直线前进到达点，在处测得自己的影长．小华身高． (1)求灯杆的长； (2)若小华从处继续沿直线前进到处（如图2），求此时小华的影长的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意可得：，，从而可得，然后证明字模型，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答； （2）根据题意可得：，，从而可得，然后证明字模型，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：，， ， ， ， 解得：， 灯杆的长为； （2）由题意得：，， ， ， ， 解得：； ∴此时小华的影长的长为． 【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，工地上竖立着两根电线杆、，它们相距，分别自两杆上高出地面、的A、C处，向两侧地面上的E和D、B和F处用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳与的交点P离地面的高度是多少米？ 【答案】2.4米 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，正确找出相似三角形是解答本题的关键．设米，米，根据，得到，，再利用相似三角形的性质列出方程组，然后即可求解． 【详解】解：由题意得：米，米，米， 设米，米，则米， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 解得：， 答：钢丝绳与的交点P离地面的高度是米． 期末基础通关练（测试时间：30分钟） 1．（24-25九年级上·江苏南京·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例的性质得，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）已知点在线段上，且．若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程、比例的性质 【分析】本题考查比例的性质，解一元二次方程，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 设，则，根据，则，化简整理得，再解这个一元二次方程即可求解． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴或(不符合题意，舍去)， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，E为边上的中点，交于点O，若，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行边形的性质，相似三角形的判定和性质，理解相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答关键． 根据平行四边形的性质求得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方来求出，同理可得求得，再根据平行四边形的一条对角线将这个平行四边形分成面积相等的两个部分来求解． 【详解】解：中，为边上的中点， ，． ， ，， ， ，， 即， 同理可得， ． 故选：C． 4．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到．其中，B，D两点的坐标分别为，，则的值等于 ． 【答案】或1.5 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】本题考查位似变换、坐标与图形的性质．根据信息，找到与的比值，即求得相似比；然后根据求解即可． 【详解】解：∵B，D两点的坐标分别为，， ∴，， ∴， ∵把放大后得到， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，相交于点E，在一条直线上．． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例； （1）由，利用平行线分线段成比例，可得出，由，再利用平行线分线段成比例，即可求出的值； （2）由，利用平行线分线段成比例，可得出，结合，，即可求出的长． 【详解】（1）∵， ， 又∵， ； （2）∵， ， 又，， ． 6．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，为平行四边形的对角线，且平分；点在的延长线上，． (1)求证：四边形是菱形． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据等角对等边证明边相等、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是菱形、相似三角形的判定综合 【分析】（1）根据角平分线的定义及平行线的性质得，，从而即可得证； （2）由菱形的性质可得，．则．由，，证明三角形相似即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，菱形的判定及性质，相似三角形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 7．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，是边长为1个单位的小正方形组成的方格，在网格中建立平面直角坐标系，使点A、C的坐标分别为和 ．顶点都在格点上，将的三边分别扩大得到（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形． (1)在图中画出点P，并直接写出点P的坐标； (2)画出绕原点O逆时针旋转所得； (3)若以（2）中旋转后所得扇形作为圆锥侧面围成一个圆锥，则所得圆锥底面半径为 ． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3) 【知识点】求圆锥底面半径、画旋转图形、在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查网格作图，熟练掌握旋转性质，圆锥的弧长计算，底面圆周长计算，位似性质，是解题的关键． （1）对应点连线的交点P即为旋转中心； （2）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点，即可； （3）设底面圆的半径为根据底面圆周长=扇形的弧长，构建方程求解． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求，； （2）解：如图，即为所求； （3）解：设底面圆的半径为 ， 由题意， ． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，正方形的边长为4，是边的中点，点在射线上，过点作于点，垂足为，连接． (1)求证：； (2)设，是否存在实数，使得与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在实数，使得与相似，或5 【知识点】根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后问题可求证； （2）由题意可分当点在线段上，当点在线段延长线上，然后根据相似三角形的性质可进行求解 【详解】（1）解：在正方形中，， ， ， ； （2）解：存在实数，使得与相似． 理由如下： 如图，当点在线段上，连接， 若，则， ， ， 四边形为平行四边形， ， 是的中点， ， ，即． 如图，当点在线段延长线上，连接． 若，则，， ， ， ． ， 点为的中点． ， ． ，即， ， ，即． 综上所述，满足条件的的值为2或5． 9．（24-25九年级上·山东·期末）“远远的街灯明了，好像闪着无数的明星．天上的明星现了，好像是点着无数的街灯……”家住济宁的小华，夜晚听着郭沫若的诗句在街上散步，发现自己由路灯A走向路灯B的过程中，当她行到P点时，她在路灯B下的影长为1.5米，且恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了5米到Q处，恰好她在路灯A下的影子位于路灯B的正下方（已知小华身高1.6米，路灯B高8米） (1)计算小华站在Q处在路灯A下的影长； (2)计算路灯A的高度． 【答案】(1)1米 (2)12米 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，然后利用相似三角形的性质列出比例式进行求解即可； （2）证明，然后利用相似三角形的性质列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，，，， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， 即：小华站在Q处在路灯A下的影长为1米； （2）解：∵，， ∴， ∴， 即：， ∴， 即：路灯A的高度为12米． 10．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，为了求出海岛上的山峰的高度，在D处和F处树立标杆和，标杆的高都是20米，D，F两处相隔200米，并且，和在同一平面内．从标杆后退80米的G处，可以看到顶峰A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆后退160米的H处，可以看到顶峰A和标杆顶端E在一条直线上．求山峰的高度及它和标杆的水平距离各是多少米？ 【答案】山峰的高度为70米，它和标杆的水平距离是200米 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键． 根据题意可得：，，，从而可得，然后证明字模型相似，，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 解得：， 山峰的高度为70米，它和标杆的水平距离是200米． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，先由，，则，，又，所以，然后根据相似三角形的性质即可求解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即 ∴， ∴ 故选：C． 2．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在和中，，，点M为中点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】如图，延长至，使，连接，证明，可得，，证明，，可得，，证明，，可得，再进一步利用中位线的性质求解即可. 【详解】解：如图，延长至，使，连接， ∵，而， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点，， ∴为的中位线， ∴； 故选：C 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，点G是的重心，D是边上一点，，连接，连接并延长分别交于点E、F，则的值为（  ） A． B． C． D．2 【答案】D 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合、重心的有关性质 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的重心，三角形中位线定理，取中点M，连接，取中点M，连接，，点E为的中点，由三角形中位线定理推出，判定，推出，得到，求出，即可得出结果． 【详解】解：取中点M，连接， ∵点G是的重心， ，点E为的中点， ∴是的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，已知矩形的边长，，若将矩形绕点C旋转，使点B的对应点恰好落在上，连接，则的长为 ． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】过点作于点，先求出，再由旋转的性质证明，得到，然后由等腰三角形三线合一的性质，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 矩形的边长，， ，， ， ， ， 在中，， 由旋转的性质可知，，，， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，正方形的边长为8，的半径为4，点P是上一个动点，则的最小值为 ． 【答案】10 【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、点与圆上一点的最值问题 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，连接，在上截取，可证得，从而．即当点D，点P，点E三点共线时，有最小值，即有最小值． 【详解】解：如图，连接，在上截取， ∵正方形的边长为8，的半径为4， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点D、P、E共线时，最小， ∵， ∴的最小值为10， 故答案为：10． 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 1．（2025·江苏·一模）请仅用无刻度直尺（即不使用刻度尺上的刻度功能）和0.5毫米黑色墨水签字笔作出所要求的图形并在答题卡上保留作图痕迹． 如图1，已知平行四边形，点E为边上任意一点且，请作出线段的中点； 【答案】见详解 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、由平行截线求相关线段的长或比值、利用平行四边形的判定与性质求解、无刻度直尺作图 【分析】本题主要考查了无刻度直尺作图，涉及平行四边形的性质和判定，三角形中位线的性质及平行线分线段成比例定理，熟知相关性质是正确解答此题的关键． 连接，的对角线，连接两个平行四边形的对角线交点，与的交点即为的中点． 【详解】解：连接的对角线交于点，连接的对角线交于点，连接与的交点即为的中点． 点即为求作的点； 理由：中，， ， 四边形是平行四边形， ，同理， 是的中位线， ， ， ， ， 即点为的中点． 2．（25-26九年级上·上海·月考）如图，在中，，点F在边上，点D在的延长线上，，点E在边上，且满足． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合 【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，证明三角形相似是解题的关键． （1）根据，得出，证明，得出，从而得出，结合，即可证明； （2）证明为等腰直角三角形，得出，，从而得出，，由（1）知，从而得，证明，得出，从而得，由（1）知，则，即可证明． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 又， ； （2）证明：，， 为等腰直角三角形， ，， ，， 由（1）知， ， ， ， ，即， ，即， 由（1）知， ，即， ． 3．（25-26九年级上·山东日照·月考）课本中有一道作业题，有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，交于点， (1)加工成的正方形零件的边长为多少？ (2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的相邻两边长就不能确定，但这个矩形的面积有最大值，求这个矩形面积的最大值； (3)如图3，小颖想如果这块余料形状改为的斜板，已知，，，要把它加工成一个形状为平行四边形的工件，使在上，、两点分别在上，且，则平行四边形的面积为多少？ 【答案】(1)加工成的正方形零件的边长为 (2)这个矩形面积的最大值是 (3)平行四边形的面积为 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查了平行四边形、矩形、正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）根据题意得到四边形是矩形，设，则，证明，得到，即，解方程的即可求解； （2）结合（1）设，则，则，根据面积公式，结合二次函数图象的性质求解即可； （3）如图所示，过点作于点，交于点，同理，，则，由等面积法得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：当加工零件是正方形时，，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴加工成的正方形零件的边长为； （2）解：根据题意，四边形是矩形，四边形是矩形，，， 设，则， ∴，即， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴这个矩形面积的最大值是； （3）解：如图所示，过点作于点，交于点， 同理，，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴平行四边形的面积为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $