专题06 统计与概率（期末复习讲义）九年级数学上学期苏科版

该初中数学统计与概率期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标及考情规律，将平均数、中位数、众数、方差、概率等知识点按“定义-示例-易错点”分层呈现，结合题型解题技巧构建知识脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与精准方法指导，如加权平均数计算强调权重处理技巧，方差结合稳定性分析培养数据意识，概率计算通过列表法树状图提升推理能力。基础通关练到综合拓展练适配不同学生，助力教师实施分层教学，提升复习效率。

专题06 统计与概率（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 平均数、中位数、众数 理解平均数、中位数、众数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，知道它们是对数据集中趋势的描述； 必考考点，常出现在期末考试的选择题或解答题；属于基础题； 方差 体会刻画数据离散程度的意义，会计算一组简单数据的离差平方和、方差；体会样本与总体的关系，知道可以用样本平均数估计总体平 均数，用样本方差估计总体方差； 必考考点，属于基础题； 等可能条件下的概率 能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定随机事件发生的所有可能结果，计算随机事件的概率。 必考考点，选择题和填空题、解答题都会出现，解答题出现的可能性最大，难度一般； 知识点01 平均数、中位数、众数 1.平均数：一般地，如果有个数，，…，，那么，叫做这n个数的平均数，读作“x拔”． 2.加权平均数：如果个数中，出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（这里），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中f1，f2，…，fk叫做权． 3．众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数． 4．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数． ·示例：（24-25九年级上·江苏镇江·期末）射击训练班中的甲乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 a 8 c 乙 8 9 b 根据以上信息，请解答下面的问题： (1)______，______，______； (2)教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ (3)选手乙再射击第6次，由于发挥失常，命中的成绩仅是5环，则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会______．（填“变大”、“变小”或“不变”）． ·易错点：加权平均数是期末考试考查频率最高的一种平均数，计算时不要当成普通平均数计算，它与普通平均数计算方法是不同的，它的值与各个数据的权重有关。 知识点02 方差 1.方差的概念与计算方法：在一组数据，，…，中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．通常用“”表示，即． 2.方差的意义：方差是一个重要的统计概念，它反映了数据的波动程度。具体来说，方差是所有数据与均值之差的平方和的平均值，方差越大，数据的波动越剧烈，说明数据之间的差异越大；方差越小，数据的波动越平稳，说明数据之间的差异越小。在实际应用中，方差可以用来评估数据的稳定性和不确定性。 ·示例：（24-25九年级上·江苏盐城·期末）甲、乙、丙三名学生参加掷实心球体育项目测试，他们一周测试成绩的平均数相同，方差如下：，，，则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是 ． ·易错点：方差的意义是最重要的，方差反映的是一组数据的稳定性，也就是各个数据偏离它们平均数的大小程度。 知识点03 等可能条件下的概率 1.三种概率的计算方法 （1）公式法：P（A）=，其中为所有事件的总数，为事件A发生的总次数． （2）列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率． （3）画树状图法：当一次试验要涉及2个或更多的因素时，通常采用画树状图来求事件发生的概率． 2.利用频率估计概率 （1）定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数P附近，因此，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率． （2）适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统计频率来估计概率． （3）方法：进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为是这个事件发生的概率． ·示例：（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是0.5． (1)如图1，在一定时间段内，，之间电流能够正常通过的概率为___________； (2)如图2，请用列表或画树状图的方法，求在一定时间段内，，之间电流能够正常通过的概率． 提示：在一次试验中，每个电子元件的状态有两种可能（通电、断开），并且这两种状态的可能性相等． ·易错点：概率的计算解答题主要就两种方法，列表法和画树状图法，这两种方法各有优缺点，根据不同的问题选择合适的方法。相比较说树状图的适用范围更广，各种情形都可使用。 题型一 平均数的计算 解｜题｜技｜巧 平均数的考查主要围绕算术平均数和加权平均数展开，常结合实际场景出题，侧重对概念理解和计算准确性的考查。考查加权平均数的频率更大，在计算时，首先分清平均数的类型，然后按照相应公式计算。 易｜错｜点｜拨  高频易错点 1. 混淆算术平均数与加权平均数 · 易错场景：当数据存在 “重复次数” 或 “占比权重” 时，误用算术平均数公式。 · 举例：求 10 名学生的平均分，其中 3 人得 80 分，5 人得 90 分，2 人得 100 分，若直接用  计算就会出错，需用加权平均数 。 2. 计算加权平均数时权重处理错误 · 易错点 1：权重比例换算错误（如把 “占比 30%” 直接当作 30 代入计算，而非 0.3）。 · 易错点 2：遗漏权重总和的计算（如分组数据中忘记将各组人数相加得到总人数）。 【典例1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）本学期小明平时测验、期中考试和期末考试的数学成绩分别为92分、100分和110分，如果分别按、、的份额计算他本学期的数学总评分，那么他本学期的数学总评分是 分． 【变式1】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）某校食堂销售三种午餐盒饭的有关数据如图所示，该食堂销售午餐盒饭的平均价格是 元． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）学校开展了纪念“一二•九”运动的合唱比赛，其中评分项目为歌曲内容，精神面貌和艺术效果，并依次按照计算综合成绩．某班这三项分别得了90分、90分和88分，则该班的综合成绩是 分． 【变式3】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）已知五个数据：的平均数是，现增加了一个数据后的平均数仍不变，则增加的这个数据是（  ） A．0 B．2 C．4 D．5 【变式4】（2025·江苏宿迁·三模）某校把学生数学的期中、期末两次成绩分别是按，的比例计入学期总成绩，小明数学期中成绩是80分，期末成绩是90分，那么他的数学学期总成绩为 分． 题型二 中位数的概念 解｜题｜技｜巧 中位数的考查核心围绕 “数据排序” 和 “中间位置确定” 展开，常与平均数、众数结合考查数据的集中趋势，题型以选择、填空和解答题的统计综合题为主。 中位数的计算通常有三种类型： 一、直接计算未排序数据的中位数：对数据先排序，再按数据奇偶性不同进行计算； 二、分组数据（频数分布表）的中位数： 1. 步骤：计算累计频数→确定中位数所在组→（选考）估算中位数； 2. 关键：中位数是将累计频数达到的那一组 三、结合统计图表求中位数: 从条形图、折线图中提取数据，排序后计算中位数；或从扇形图中确定各部分数量，再分析中位数. 易｜错｜点｜拨 高频易错点： 1. 未排序直接找中位数 · 易错场景：拿到数据后，不进行从小到大（或从大到小）排序，直接选取中间位置的数。 2. 数据个数奇偶性判断错误 · 易错点 1：n为偶数时，漏算中间两个数的平均数，直接选其中一个数作为中位数。 · 易错点 2：计算位置时出错，如 n=10，误将第 5 个数据当作中位数，实际应为第 5 和第 6 个数据的平均数。 3. 分组数据中中位数所在组判断失误 · 易错场景：频数分布表中，未计算累计频数，仅凭每组频数大小判断中位数组。 【典例1】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）在学校举办的“导师育人故事”演讲比赛中，参赛的名学生的成绩如表所示： 成绩／分 人数／名 这名学生成绩的中位数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）九年级(1)班50名学生的年龄情况如下表所示(单位：岁)，则该班级学生年龄的中位数为 岁． 年龄 14 15 16 17 人数 3 21 25 1 【变式2】（24-25九年级上·江苏常州·期末）2024年巴黎奥运会跳水项目女子台决赛中，中国选手全红婵以425.6的高分夺得冠军，她5跳的成绩分别为90.0分、84.8分、76.8分、92.4分、81.6分，则5次成绩的中位数为 分． 【典例2】（24-25九年级上·江苏常州·期末）已知一组数据：，这组数据的平均数与中位数相等，则 ． 【变式1】（2025·江苏常州·二模）一群运动爱好者沿着规定的跑道跑步，前9位跑完全程所需时间(单位：秒)记录如下：130，125，135，140，120，138，145，155，150．当第10位跑步者的时间加入后中位数未发生改变，则第10位的时间可能为（    ） A．126 B．138 C．141 D．133 【变式2】（2025·江苏徐州·一模）某公司拟推出由5个小礼品组成的礼品套盒，统计序号为1到5号的小礼品的质量如图所示．为了提高礼品套盒的品质，公司决定再增选2个小礼品放入套盒，且7个小礼品质量的中位数与原来5个小礼品质量的中位数相等，增选的2个小礼品的质量可以是（   ） A．50克、60克 B．70克、90克 C．90克、100克 D．60克、60克 题型三 众数的概念 解｜题｜技｜巧 众数的考查聚焦于 “数据出现频次” 的判断，常与平均数、中位数结合考查数据的集中趋势，题型以选择、填空和统计综合解答题为主。 众数的考查类型分为两种： 一、直接判断一组数据的众数：定义：一组数据中出现次数最多的数据值，关键：可存在多个众数，也可没有众数； 二、结合统计图表找众数； 1. 条形图：高度最高的柱子对应的数据值为众数 2. 频数分布表：频数最大的组对应的数据 / 组别为众数 3. 扇形图：占比最大的类别为众数对应的类别 易｜错｜点｜拨 高频易错点 1. 混淆众数与 “出现次数” · 易错场景：把众数当成数据出现的次数，而非出现次数最多的数据本身。 · 举例：数据 5,5,6,7,7,7中，7出现 3 次（次数最多），众数是7，而非3。 2. 忽略 “多众数” 或 “无众数” 的情况 · 易错点 ：认为一组数据只有一个众数，遗漏多个众数的情况。 举例：数据1,2,2,3,3中，2和3出现次数相同且最多，众数是2和3。 3. 统计图表中误判众数 · 易错场景 1：条形图中误将 “频数” 当作众数，而非频数最高对应的数据值。 · 易错场景 2：扇形图中把 “占比最大的百分比” 当作众数，而非占比最大的类别。 举例：扇形图中 “男生占比 55%，女生占比 45%”，众数对应的类别是男生，而非 55%。 4. 混淆众数与平均数、中位数的性质 · 易错点 1：认为众数受极端值影响（实际不受，极端值不改变数据出现的次数）。 举例：数据 1,3,3,100中，极端值100不影响众数，众数仍为3。 · 易错点 2：误用众数描述不适合的场景，如 “求班级平均成绩” 用众数而非平均数。 5. 根据众数求未知参数时考虑不全面 · 易错场景：已知众数求未知值时，遗漏参数的多种可能情况。 · 举例：数据 2,3,x,3,5的众数是3，则x可以是任意数（只要不出现比 3 次更多的数），而非只能等于3。 【典例1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）有一组数据：，，，，则这组数据的众数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）体育课上五名同学定点投篮（每人投5球）投中的球数1，1，4，3，5的众数为 ． 【变式2】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）某公司25名营销人员某月销售某种商品的数量如下（单位：件）： 月销售量 60 50 40 35 30 20 人数 1 4 4 6 7 3 该公司营销人员该月销售量的中位数，众数分别为（   ） A．37.5件，35件 B．35件，35件 C．37.5件，30件 D．35件，30件 【变式3】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）某校有15名同学参加校园文化艺术节某单项比赛，预赛分数各不相同，取前8名同学参加决赛．其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这15名同学分数的（   ） A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差 题型四 利用平均数、中位数、众数综合决策 解｜题｜技｜巧 常考 “分析哪个统计量最适合描述数据” 的综合题，核心思路是先看数据是否有极端值，再看决策目标： 1. 若数据无极端值 → 优先用平均数反映整体水平； 2. 若数据有极端值 → 优先用中位数反映中等水平； 3. 若决策目标是 “选最普遍的选项” → 优先用众数。 易｜错｜点｜拨 高频易错点： 易错点 1：盲目选择平均数，忽略极端值影响 对策：先观察数据中是否有明显偏大 / 偏小的数，有则优先考虑中位数。 易错点 2：混淆众数的决策目标，用众数衡量 “平均水平” 对策：众数的核心是 “多数情况”，仅适用于 “选最常见选项” 的场景，不能用于计算均值。 易错点 3：决策题未说明理由 【典例1】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）为迎接明年4月份的体育考试，九年级开展了本学期周末锻炼次数调查，便于开展后期针对性训练．现从本年级男生、女生中各抽取20名学生锻炼次数（记为x次）进行分析，将锻炼次数分为以下4组，A组：；B组：；C组：；D组：；现将数据收集、整理、分析如下． 收集数据：男生：5，6，8，9，7，1，10，3，4，8，5，0，7，2，7，6，8，4，8，11． 女生20名学生中的次数分别是：9，7，9，9，9，8，9，8． 整理分析数据： 表1： 容量等级 男生 a 6 8 2 女生 4 5 8 3 表2： 平均数 众数 中位数 男生 5.95 b 6.5 女生 5.95 9 c 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述表中的__________，__________，__________； (2)通过以上数据分析，你认为男生还是女生锻炼的情况更好，请说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表： 成绩统计表 组别 成绩x（分） 百分比 A组 B组 C组 a D组 E组 根据所给信息，解答下列问题： (1)本次调查的成绩统计表中 ，并补全条形统计图； (2)这200名学生成绩的中位数会落在 组（填A、B、C、D或E）； (3)试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数． 【变式2】（24-25九年级上·江苏连云港·期末）某校举行的“吾有所爱，其名中华”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段． (1)初赛由39名学生评委给每位选手打分（百分制），对学生评委给某位选手的打分数据进行整理、描述和分析，得到频数分布直方图如图（数据分5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组），其中第3组的数据如下：85，86，86，86，86，86，87，87，88，88，88，89，89，89．根据以上信息，回答下列问题： ①这39个学生评委所打分数的中位数在第______组； ②若这39个学生评委所打分数的众数在第3组，则众数是______分； (2)决赛由7名教师评委给每位选手打分（十分制），从形象、表达、内容三项对进入决赛的3位选手分别进行打分，各项成绩分别去掉一个最高分和一个最低分，其余5名评委所打分数的平均数作为该项的最终得分，3位选手部分得分信息如下： 3位选手各项最终得分 选手 形象 表达 内容 甲 8 7 9 乙 9 8 8 丙 7 9 m 其中，7位教师评委对丙选手“内容”的打分为：8，7，7，8，8，9，10． ①表中______； ②若将形象、表达、内容三项得分依次按的比例确定最终成绩，那么哪位选手的最终成绩最高？ 【变式3】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）为了解某校九年级学生每天的睡眠时间，随机对20名学生进行问卷调查，问卷选项如下：A．7小时；B．8小时；C．9小时；D．10小时．将调查结果绘制成如下图的扇形统计图和条形统计图．已知扇形统计图是正确的，条形统计图有一个选项的人数是错误的． (1)条形统计图中错误的是__________选项的人数，正确的应该是__________人； (2)这20名同学每天睡眠时间的众数是__________小时； (3)请计算这20名同学每天的平均睡眠时间． 【变式4】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）为提高同学们的宪法意识，学校将组织“弘扬宪法精神，共筑法治校园”知识竞赛，共100道单选题，每题1分，满分为100分．王老师为了从甲、乙两名同学中选择一名同学代表班级参赛，对他们进行了培训和指导，期间甲、乙完成了十次模拟答题．为了比较这两名同学的成绩，绘制了如下的统计图和统计表： 甲、乙成绩统计表 平均成绩/分 中位数/分 方差/分2 甲 96 8.6 乙 96 96 (1)_______，________； (2)你认为王老师会选择哪位同学代表班级参赛？请说明理由； (3)若将每题1分改为每题0.5分，其余不变，则甲这10次成绩的方差将_________（填“变大”、“变小”或“不变”）． 题型五 方差的意义与计算 解｜题｜技｜巧 方差的考查核心围绕数据波动程度的定量分析展开，常与平均数结合考查数据的集中趋势和离散程度，题型以选择、填空和统计综合解答题为主。通常都是给出一组数据的方差，根据几组数据的方差进行分析对比它们稳定性的差别，然后做出评价。 方差的考查类型通常有如下几种类型： 类型1：给出一组数据，直接计算方差； 类型2：方差与平均数的综合计算，已知两组数据的平均数，对比方差大小；或已知方差，求数据中的未知参数； 类型3：方差的实际应用（决策型）：利用方差判断数据波动程度：方差越大，数据波动越大；方差越小，数据越稳定（这种情况考得最多） 类型4：结合统计图表求方差：从条形图、频数分布表中提取数据，先计算平均数，再代入方差公式计算； 易｜错｜点｜拨 高频易错点 1. 记错方差公式，计算步骤遗漏 · 易错点 1：忘记先计算平均数，直接用数据与某个值的差的平方和计算。 · 易错点 2：公式中漏掉 “除以数据个数n”，误将平方和当作方差。 2. 混淆 “方差与数据波动的关系” · 易错场景：误认为方差越大，数据越稳定；或反之。 · 结论：方差越大，数据波动越大，稳定性越差；方差越小，数据波动越小，稳定性越好。 3. 数据变换后方差计算错误 方差计算规律：若数据的方差为 ，则： ① 数据 （为常数）的方差仍为 （平移不改变方差）； ② 数据 （为常数）的方差为 （缩放改变方差）； ③ 数据的方差为 。 · 易错点：忽略系数的平方 。 【典例1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）质检部门对甲、乙两厂生产的乒乓球质量进行抽查，所抽取乒乓球直径的方差分别是：，则 厂生产的乒乓球质量比较稳定． 【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）若一组数据1，3，5，7，9的方差是，另一组数据11，12，13，14，15的方差是，则 （填“>”“<”或“=”）． 【变式2】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）某家电销售商场1～6周销售甲、乙两种品牌冰箱的数量如图所示（单位：台），甲、乙两种冰箱销售数量的方差分别记为，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【典例2】利用方差做出决策 （24-25九年级上·江苏扬州·期末）为迎接学校“英语听说”大赛，某班在甲、乙两名同学中选拔一人参加，在相同的测试条件下，两人5次测试成绩（单位：分）如表： 甲：28，28，27，28，29． 乙：25，29，27，30，29． (1)下列表格中的______，______，______； 平均数 众数 中位数 方差 甲 28 28 28 c 乙 a 29 b 3.2 (2)班主任根据这5次的测试成绩，应选择谁参加学校“英语听说”大赛更合适，请说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）江苏盐城，中国盐文化发源地．某校举办“我为盐文化代言”演讲比赛，五位评委进行现场打分（评分取整数），将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图． 根据以上信息，回答下列问题： (1)完成表格； 平均数/分 中位数/分 方差/分 甲 ① 乙 9 丙 ② 8 (2)根据（1）中数据分析，从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由； (3)在比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后乙的方差记为，则______．（填“”或“”或“”） 【变式2】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）实验初中九年级（1）班和（2）班进行了一次数学测试，各班前5名的成绩分别是： 九（1）班：92，86，85，85，77；九（2）班：92，89，85，85，79． 两班前5名成绩的有关统计数据见表： 班级 平均分 中位数 众数 九（1） 85 b 85 九（2） a 85 85 请解决下面问题： (1)填空：________，________； (2)计算九年级（2）班前5名成绩的方差； (3)已知九年级（1）班前5名成绩的方差为，根据以上信息，说明哪个班前5名的整体成绩比较好． 题型六 等可能条件下的概率计算 解｜题｜技｜巧 等可能条件下的概率（即古典概型）是统计与概率板块的核心考点，考查形式以选择、填空和解答题为主，侧重对列举法的掌握和等可能前提的理解。 等可能条件下的概率的考查类型，及解决策略如下： 类型1：直接枚举法求概率： 1. 适用条件：试验结果有限且少（一步试验） 2. 公式：P(A)= 类型2：列表法求概率： 1. 适用条件：两步试验（如两次摸球、两次掷骰子）； 2. 步骤：列二维表格，横行、纵列分别表示两步试验的结果，列出所有等可能结果； 类型3：树状图法求概率： 1. 适用条件：两步及以上试验，或不放回试验（结果无重复）； 2. 步骤：分阶段画树状分支，标注每一步的结果和概率，统计所有等可能结果； 易｜错｜点｜拨 高频易错点 1.混淆 “放回试验” 与 “不放回试验” 易错场景 1：不放回试验中，误将第二次试验的总数与第一次相同。 举例：从 2 红 1 白共 3 个球中不放回摸两次，第一次摸红球后，第二次总数应为 2，而非 3； 易错场景 2：放回试验中，遗漏重复结果（如（红 1，红 1）是有效结果）。 2.列举结果时 “重复” 或 “遗漏” 易错点 1：有序试验忽略顺序，如两枚骰子（1,2）和（2,1）是两个不同结果，误算为一个； 易错点 2：无序试验重复计算，如摸两个球（红，白）和（白，红）是同一个结果，误算为两个； 举例：同时掷两枚骰子，所有等可能结果是 6×6=36种，而非15种（后者是无序情况）。 3.忽略 “等可能” 的前提条件 易错场景：试验结果不满足 “等可能性” 时，误用古典概型公式。 【典例1】利用概率公式计算概率 （24-25九年级上·江苏盐城·期末）甲布袋装有个红球和个白球，随机从甲袋中摸出一个球，摸出红球的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·江苏南通·期末）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标上“大”“美”“海”“安”四个汉字，随机摸出一个小球，摸出的小球上的汉字是“美”的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在冬季的概率为（   ） A． B． C． D． 【典例2】利用列表法或树状图计算概率 （24-25九年级下·江苏徐州·期末）2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞、滑板、冲浪、运动攀岩，依次记为A、B、C、D．某数学兴趣小组把这四个项目分别写在四张背面无差别的卡片上，他们将这些卡片背面朝上洗匀放好，从中选出两个项目，制作宣传画用以宣传．他们先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，将剩下卡片洗匀后，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽到的卡片恰好是C（冲浪）和D（运动攀岩）的概率． 【变式1】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，转盘A，B中的各个扇形的面积分别相等，转盘A的3个扇形中分别标有数字1，2，3，转盘B的3个扇形中分别标有数字4，5，6． (1)现任意转动转盘A1次(若指针落在扇形的边界线上，则重转1次)，当转盘停止转动时，则指针落在标有数字1的扇形的概率为 ； (2)现任意转动转盘A，B各1次(若指针落在扇形的边界线上，则重转1次)，当转盘停止转动时，求转盘A，B的指针所落扇形中的两个数字之和为奇数的概率． (请用画树状图或列表等方法说明理由) 【变式2】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）为了解我国的数学文化，小明和小红从《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》（依次用A、B、C表示）三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本． (1)小明抽取到《周髀算经》这本书的概率为______； (2)请用列表或画树状图的方法求小明和小红抽取的两本书中有《九章算术》的概率． 【变式3】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）4张相同的卡片正面分别写有中国二十四节气中的“立春”、“雨水”、“惊蛰”、“春分”的字样，将卡片的背面朝上． (1)洗匀后从中随机抽取1张卡片，抽到“立春”的概率为_______； (2)洗匀后从中随机抽取2张卡片，用树状图或列表的方法，求抽到“雨水”和“春分”的概率（画图或列表时可将“立春”、“雨水”、“惊蛰”、“春分”分别用A、B、C、D表示）． 【变式4】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）一只不透明的袋子中装有2个白球、1个红球和1个绿球，这些球除颜色外其余都相同． (1)将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到白球的概率是 ； (2)将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录颜色后不放回，再从中剩下的摸出1个球．求两次摸到的球颜色相同的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（2025·江苏泰州·一模）某校举行“珍爱生命”演讲比赛，已知某位选手的“演讲内容”、“语言表达”和“形象风度”这三项得分分别为90分，85分，80分，若按的比例计算平均得分，则该选手的平均得分是（   ） A．85分 B．86分 C．87分 D．88分 2．（2025·江苏连云港·模拟预测）第九届亚洲冬季运动会于2月14日在哈尔滨正式收官，这是继北京冬奥会后，我国举办的又一重大综合性国际冰雪运动盛会，也是自1996年后哈尔滨第二次承办亚冬会． 中国队在历届亚冬会上获得的金牌数分别是：4，9，15，15，9，19，11，12，32． 这组数据的中位数是（ ） A．9 B．12 C．15 D．19 3．（2025·江苏苏州·一模）某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数大于100，可以选择（    ） A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、丁 D．丙、戊 4．（2025·江苏宿迁·三模）数据3，4，9，6，4，4，6的中位数、众数分别是（    ） A．6，4 B．6，6 C．4，4 D．9，6 5．（2025·江苏无锡·二模）已知一组数据：13，11，8，10，10，这组数据的众数和中位数分别是（   ） A．10，9 B．10，10．4 C．10，8 D．10，10 6．（2025·江苏盐城·二模）如图是盐城市2025年4月日的天气情况，这5天中最低气温（单位：）的中位数与众数分别是（   ） A．10，14 B．12，14 C．12，12 D．11，14 7．（2025·江苏徐州·二模）如图，是某商店连续5天用水量（吨）的折线统计图．下列说法正确的是（    ） A．平均数是5吨 B．中位数是6吨 C．众数是4吨或8吨 D．第1天用水量最少 8．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知排球队6名上场队员的身高（单位：）分别是：． 现用两名身高是的队员分别换下场上身高为的队员，与换人前相比，现在计算结果不受影响的是（ ） A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 9．（2025·江苏宿迁·二模）某科技兴趣小组成员的年龄分别是：13、9、10、8、14、13、13，这组数的中位数是 ． 10．（2025·江苏苏州·二模）已知一组数据，，，，，，的平均数是，则这组数据的众数是 51．（2025·江苏南京·三模）某龙舟队有12名队员，该龙舟队调整前与调整后队员体重（单位：千克）情况如表所示，与调整前相比，该龙舟队调整后队员体重的方差 （填“变小”、“不变”或“变大”）． 体重 调整前人数 调整后人数 50 2 3 60 5 3 70 5 6 12．（2025·江苏盐城·三模）甲、乙两款智能手环分别对同一用户进行15次静息心率监测（单位：次/分钟），监测数据的平均值均为72次/分钟，心率波动的方差分别为，则在此次监测中，采集到更稳定心率数据的手环是 ．（填“甲”或“乙”） 13．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，正六边形飞镖游戏板，对角线，相交于点O．假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的(若投中各区域的边界线或没有投中游戏板，则重投1次)，现向该游戏板随机投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影区域的概率是 ． 14．（2025·江苏淮安·中考真题）为了解某品牌A、B两种型号扫地机器人的销售情况，商场对这两种型号的扫地机器人1～8月份的销售情况进行了调查统计，并对统计数据进行了整理分析． 数据整理：1～8月份A、B型号扫地机器人销售情况条形统计图 数据分析： 平均数 中位数 众数 A型号 a 14 12 B型号 12 b c 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空： ， ， ； (2)请对商场八月份以后这两种型号扫地机器人的进货意向提出合理的建议，并说明理由． 15．（2025·江苏扬州·中考真题）为角逐市校园“音乐达人”大赛，小红和小丽参加了校内选拔赛，10位评委的评分情况如下（单位：分）． 表1评委评分数据 评委 评委评分 小红 7 8 7 8 7 7 7 8 7 9 小丽 7 7 6 8 8 8 8 8 7 8 表2评委评分数据分析 选手 平均数 中位数 众数 小红 7 小丽 8 根据以上信息，回答下列问题： (1)表2中______，______，______； (2)你认为小红和小丽谁的成绩较好？请说明理由． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（2025·江苏扬州·一模）为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的平均数是（   ） A．53 B．55 C．56 D．64 2．（2025·江苏苏州·二模）学校抽查了10名青年教师的年龄情况（见下表）： 年龄（岁） 24 25 26 27 28 人数 2 3 2 1 2 这10名教师年龄的众数、中位数分别是（   ） A．2，25岁 B．2，26岁 C．28岁，岁 D．25岁，岁 3．（2025·江苏无锡·三模）为深入贯彻落实《关于进一步深化农村改革扎实推进乡村全面振兴的实施意见》精神，某镇组织开展“村”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：54，64，51，50，61，56，则这组数据的中位数是（  ） A．51 B．55 C．50 D．56 4．（2025·江苏南京·二模）若第一组数据各不相等）的平均数为，则第二组数据，b，c，d，e，m与第一组数据相比（   ） A．平均数变大，方差变小 B．平均数不变，方差变大 C．平均数变大，方差不变 D．平均数不变，方差变小 5．（2025·江苏南京·二模）某工厂生产的商品有A，B两种型号，为了了解它们的质量是否符合标准，分别抽取了这两种型号的商品各5件进行调查，并将两组数据绘制成折线统计图（如图所示）．这两组数据的下列统计量中，可能相等的是（　　） 抽取的两种型号商品的质量折线统计图 A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数 6．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，转盘中5个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是 ． 7．（2025·江苏徐州·模拟预测）某校举办“最佳校园歌手”的演唱比赛，五位评委对进入决赛的甲、乙两位学生的演唱进行现场打分，其得分情况如下： 根据以上信息，回答下列问题： (1)第________号评委给两位学生打分相同； (2)甲、乙演唱成绩的中位数分别是________分，________分； (3)请应用所学的统计知识，判断“最佳校园歌手”是哪一位学生，并说明理由． 8．（2025·江苏常州·模拟预测）《哪吒》自年月日上映以来，便如同一颗重磅炸弹，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号，，，来表示，这张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为_____； (2)将哪吒和敖丙的组合或太乙真人和申公豹的组合称为“一套”，小明和小红依次从中随机抽取一张卡片（不放回），请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张卡片恰好一套的概率． 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 1．（2025·江苏泰州·二模）随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程为．该汽车租赁公司有A、B、C三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为300元/辆，380元/辆，500元/辆．为了选择合适型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下： 【整理数据】 （1）在A型纯电动汽车满电续航里程扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为 ； 【分析数据】 型号 平均里程（） 中位数（） 众数（） A 400 400 410 B 432 m 440 C 453 450 n （2）由上表填空： ， ； 【判断决策】 （3）结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由． 2．（2025·江苏连云港·二模）为弘扬中华传统文化，某地近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：唐诗；宋词；论语；三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．抽签形式：把四个项目名称分别写在4张质地均匀的不透明卡片正面，卡片背面向上摆放，每次抽签前先洗匀． (1)小丽参加“单人组”．她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率为______； (2)小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．请用画树状图或列表的方法求该“双人组”恰好抽中“唐诗”和“宋词”的概率． 3．（2025·江苏苏州·模拟预测）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 请结合上述信息，解答下列问题： (1)补全调查结果的条形统计图； (2)小刚和小强分别从五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 统计与概率（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 平均数、中位数、众数 理解平均数、中位数、众数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，知道它们是对数据集中趋势的描述； 必考考点，常出现在期末考试的选择题或解答题；属于基础题； 方差 体会刻画数据离散程度的意义，会计算一组简单数据的离差平方和、方差；体会样本与总体的关系，知道可以用样本平均数估计总体平 均数，用样本方差估计总体方差； 必考考点，属于基础题； 等可能条件下的概率 能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定随机事件发生的所有可能结果，计算随机事件的概率。 必考考点，选择题和填空题、解答题都会出现，解答题出现的可能性最大，难度一般； 知识点01 平均数、中位数、众数 1.平均数：一般地，如果有个数，，…，，那么，叫做这n个数的平均数，读作“x拔”． 2.加权平均数：如果个数中，出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（这里），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中f1，f2，…，fk叫做权． 3．众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数． 4．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数． ·示例：（24-25九年级上·江苏镇江·期末）射击训练班中的甲乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 a 8 c 乙 8 9 b 根据以上信息，请解答下面的问题： (1)______，______，______； (2)教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ (3)选手乙再射击第6次，由于发挥失常，命中的成绩仅是5环，则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会______．（填“变大”、“变小”或“不变”）． 甲选手的成绩中8环出现了3次，出现次数最多， 甲选手的成绩众数为8，即， ，即； 把乙选手的成绩按由小到大排列为5，7，9，9，10， 乙选手的成绩的中位数为9； （2）解：教练的理由为：甲乙的平均数相同，甲的方差小于乙的方差，所以成绩比较稳定，所以教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛； （3）第6次为5环，与平均数相差比较大， 选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会变大． ·易错点：加权平均数是期末考试考查频率最高的一种平均数，计算时不要当成普通平均数计算，它与普通平均数计算方法是不同的，它的值与各个数据的权重有关。 知识点02 方差 1.方差的概念与计算方法：在一组数据，，…，中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．通常用“”表示，即． 2.方差的意义：方差是一个重要的统计概念，它反映了数据的波动程度。具体来说，方差是所有数据与均值之差的平方和的平均值，方差越大，数据的波动越剧烈，说明数据之间的差异越大；方差越小，数据的波动越平稳，说明数据之间的差异越小。在实际应用中，方差可以用来评估数据的稳定性和不确定性。 ·示例：（24-25九年级上·江苏盐城·期末）甲、乙、丙三名学生参加掷实心球体育项目测试，他们一周测试成绩的平均数相同，方差如下：，，，则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是 ． ∵， ∴甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是乙. ·易错点：方差的意义是最重要的，方差反映的是一组数据的稳定性，也就是各个数据偏离它们平均数的大小程度。 知识点03 等可能条件下的概率 1.三种概率的计算方法 （1）公式法：P（A）=，其中为所有事件的总数，为事件A发生的总次数． （2）列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率． （3）画树状图法：当一次试验要涉及2个或更多的因素时，通常采用画树状图来求事件发生的概率． 2.利用频率估计概率 （1）定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数P附近，因此，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率． （2）适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统计频率来估计概率． （3）方法：进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为是这个事件发生的概率． ·示例：（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是0.5． (1)如图1，在一定时间段内，，之间电流能够正常通过的概率为___________； (2)如图2，请用列表或画树状图的方法，求在一定时间段内，，之间电流能够正常通过的概率． 提示：在一次试验中，每个电子元件的状态有两种可能（通电、断开），并且这两种状态的可能性相等． （1）解：由题意得，A，B之间电流能够正常通过的概率为． （2）画树状图如下：          由树状图可知，电流经过，D之间时两个电子元件的状态共有4种等可能的结果，其中，之间电流能够正常通过的结果共有3种．         （，D之间电流能够正常通过）． ·易错点：概率的计算解答题主要就两种方法，列表法和画树状图法，这两种方法各有优缺点，根据不同的问题选择合适的方法。相比较说树状图的适用范围更广，各种情形都可使用。 题型一 平均数的计算 解｜题｜技｜巧 平均数的考查主要围绕算术平均数和加权平均数展开，常结合实际场景出题，侧重对概念理解和计算准确性的考查。考查加权平均数的频率更大，在计算时，首先分清平均数的类型，然后按照相应公式计算。 易｜错｜点｜拨  高频易错点 1. 混淆算术平均数与加权平均数 · 易错场景：当数据存在 “重复次数” 或 “占比权重” 时，误用算术平均数公式。 · 举例：求 10 名学生的平均分，其中 3 人得 80 分，5 人得 90 分，2 人得 100 分，若直接用  计算就会出错，需用加权平均数 。 2. 计算加权平均数时权重处理错误 · 易错点 1：权重比例换算错误（如把 “占比 30%” 直接当作 30 代入计算，而非 0.3）。 · 易错点 2：遗漏权重总和的计算（如分组数据中忘记将各组人数相加得到总人数）。 【典例1】本学期小明平时测验、期中考试和期末考试的数学成绩分别为92分、100分和110分，如果分别按、、的份额计算他本学期的数学总评分，那么他本学期的数学总评分是 分． 【答案】 【知识点】求加权平均数 【分析】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数是解题的关键．根据加权平均数进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）某校食堂销售三种午餐盒饭的有关数据如图所示，该食堂销售午餐盒饭的平均价格是 元． 【答案】 【知识点】求扇形统计图的某项数目、求加权平均数 【分析】本题考查获取扇形统计图信息，加权平均数．根据扇形统计图获取信息，利用加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：（元）， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）学校开展了纪念“一二•九”运动的合唱比赛，其中评分项目为歌曲内容，精神面貌和艺术效果，并依次按照计算综合成绩．某班这三项分别得了90分、90分和88分，则该班的综合成绩是 分． 【答案】89 【知识点】求加权平均数 【分析】本题主要考查加权平均数．根据加权平均数的计算公式进行计算即可得出答案． 【详解】解：该班的综合成绩是分， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）已知五个数据：的平均数是，现增加了一个数据后的平均数仍不变，则增加的这个数据是（  ） A．0 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】已知 平均数求未知数据的值 【分析】本题考查了平均数的含义及求平均数的方法，本题关键是理解增加一个数后，平均数与原来的平均数相等，那么增加的数等于前面若干个数的平均数，依此即可求解． 【详解】解：增加了一个数据后的平均数仍不变 增加的这个数据与原来的平均数相等为． 故选：C． 【变式4】（2025·江苏宿迁·三模）某校把学生数学的期中、期末两次成绩分别是按，的比例计入学期总成绩，小明数学期中成绩是80分，期末成绩是90分，那么他的数学学期总成绩为 分． 【答案】 【知识点】求加权平均数 【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数计算公式求解，即可解题． 【详解】解：他的数学学期总成绩为（分）； 故答案为：． 题型二 中位数的概念 解｜题｜技｜巧 中位数的考查核心围绕 “数据排序” 和 “中间位置确定” 展开，常与平均数、众数结合考查数据的集中趋势，题型以选择、填空和解答题的统计综合题为主。 中位数的计算通常有三种类型： 一、直接计算未排序数据的中位数：对数据先排序，再按数据奇偶性不同进行计算； 二、分组数据（频数分布表）的中位数： 1. 步骤：计算累计频数→确定中位数所在组→（选考）估算中位数； 2. 关键：中位数是将累计频数达到的那一组 三、结合统计图表求中位数: 从条形图、折线图中提取数据，排序后计算中位数；或从扇形图中确定各部分数量，再分析中位数. 易｜错｜点｜拨 高频易错点： 1. 未排序直接找中位数 · 易错场景：拿到数据后，不进行从小到大（或从大到小）排序，直接选取中间位置的数。 2. 数据个数奇偶性判断错误 · 易错点 1：n为偶数时，漏算中间两个数的平均数，直接选其中一个数作为中位数。 · 易错点 2：计算位置时出错，如 n=10，误将第 5 个数据当作中位数，实际应为第 5 和第 6 个数据的平均数。 3. 分组数据中中位数所在组判断失误 · 易错场景：频数分布表中，未计算累计频数，仅凭每组频数大小判断中位数组。 【典例1】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）在学校举办的“导师育人故事”演讲比赛中，参赛的名学生的成绩如表所示： 成绩／分 人数／名 这名学生成绩的中位数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求中位数 【分析】本题考查了中位数和众数，将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数的平均数）叫做这组数据的中位数，根据中位数的定义进行求解即可． 【详解】解：这15名学生的成绩从小到大排列，中位数是第个： 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）九年级(1)班50名学生的年龄情况如下表所示(单位：岁)，则该班级学生年龄的中位数为 岁． 年龄 14 15 16 17 人数 3 21 25 1 【答案】16 【知识点】求中位数 【分析】本题主要考查了中位数的定义， 根据中位数的定义解答，即将一组数据从小到大（从大到小）依次排列，最中间的一个或两个的平均数，即为中位数． 【详解】解：一共有50个数据，最中间的是第25，26个，这两个数都是16岁，这两个数的平均数也是16岁，所以班级学生年龄的中位数为16岁． 故答案为：16． 【变式2】（24-25九年级上·江苏常州·期末）2024年巴黎奥运会跳水项目女子台决赛中，中国选手全红婵以425.6的高分夺得冠军，她5跳的成绩分别为90.0分、84.8分、76.8分、92.4分、81.6分，则5次成绩的中位数为 分． 【答案】84.8 【知识点】求中位数 【分析】本题考查了中位数，掌握中位数的定义是关键．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．将一组数据按照从小到大的顺序排列，数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数． 【详解】解：把成绩从小到大排列为76.8分、81.6分、84.8分、90.0分、92.4分， ∵最中间的分数为84.8分， ∴5次成绩的中位数为84.8分． 故答案为：84.8 【典例2】（24-25九年级上·江苏常州·期末）已知一组数据：，这组数据的平均数与中位数相等，则 ． 【答案】或或 【知识点】求一组数据的平均数、 利用中位数求未知数据的值 【分析】本题考查了平均数和中位数，由数据可得平均数为，再分中位数为，和解答即可求解，掌握中位数的定义是解题的关键． 【详解】解：数据的平均数为， 若中位数为，则，解得； 若中位数为，则，解得； 若中位数为，则，解得； 综上，或或， 故答案为：或或． 【变式1】（2025·江苏常州·二模）一群运动爱好者沿着规定的跑道跑步，前9位跑完全程所需时间(单位：秒)记录如下：130，125，135，140，120，138，145，155，150．当第10位跑步者的时间加入后中位数未发生改变，则第10位的时间可能为（    ） A．126 B．138 C．141 D．133 【答案】B 【知识点】 利用中位数求未知数据的值 【分析】本题主要考查中位数，熟练掌握中位数是解题的关键；由题意可把前9位的数据从小到大进行排列，得到前9位的中位数，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：前9位的数据从小到大进行排列为120，125，130，135，138，140，145，150，155，其中位数为138， ∴当第10位跑步者的时间加入后中位数未发生改变，则第10位的时间可能为138； 故选B． 【变式2】（2025·江苏徐州·一模）某公司拟推出由5个小礼品组成的礼品套盒，统计序号为1到5号的小礼品的质量如图所示．为了提高礼品套盒的品质，公司决定再增选2个小礼品放入套盒，且7个小礼品质量的中位数与原来5个小礼品质量的中位数相等，增选的2个小礼品的质量可以是（   ） A．50克、60克 B．70克、90克 C．90克、100克 D．60克、60克 【答案】B 【知识点】求中位数、 利用中位数求未知数据的值 【分析】本题考查了中位数“将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数”，熟记中位数的定义是解题关键．先求出原来5个小礼品质量的中位数为克，再根据中位数的定义可得增选的2个小礼品的质量一个需在克以下，一个需在克以上，由此即可得． 【详解】解：由图可知，原来5个小礼品质量的中位数为克， 要使7个小礼品质量的中位数与原来5个小礼品质量的中位数相等，则增选的2个小礼品的质量一个需在克以下，一个需在克以上， 观察四个选项可知，只有选项B符合， 故选：B． 题型三 众数的概念 解｜题｜技｜巧 众数的考查聚焦于 “数据出现频次” 的判断，常与平均数、中位数结合考查数据的集中趋势，题型以选择、填空和统计综合解答题为主。 众数的考查类型分为两种： 一、直接判断一组数据的众数：定义：一组数据中出现次数最多的数据值，关键：可存在多个众数，也可没有众数； 二、结合统计图表找众数； 1. 条形图：高度最高的柱子对应的数据值为众数 2. 频数分布表：频数最大的组对应的数据 / 组别为众数 3. 扇形图：占比最大的类别为众数对应的类别 易｜错｜点｜拨 高频易错点 1. 混淆众数与 “出现次数” · 易错场景：把众数当成数据出现的次数，而非出现次数最多的数据本身。 · 举例：数据 5,5,6,7,7,7中，7出现 3 次（次数最多），众数是7，而非3。 2. 忽略 “多众数” 或 “无众数” 的情况 · 易错点 ：认为一组数据只有一个众数，遗漏多个众数的情况。 举例：数据1,2,2,3,3中，2和3出现次数相同且最多，众数是2和3。 3. 统计图表中误判众数 · 易错场景 1：条形图中误将 “频数” 当作众数，而非频数最高对应的数据值。 · 易错场景 2：扇形图中把 “占比最大的百分比” 当作众数，而非占比最大的类别。 举例：扇形图中 “男生占比 55%，女生占比 45%”，众数对应的类别是男生，而非 55%。 4. 混淆众数与平均数、中位数的性质 · 易错点 1：认为众数受极端值影响（实际不受，极端值不改变数据出现的次数）。 举例：数据 1,3,3,100中，极端值100不影响众数，众数仍为3。 · 易错点 2：误用众数描述不适合的场景，如 “求班级平均成绩” 用众数而非平均数。 5. 根据众数求未知参数时考虑不全面 · 易错场景：已知众数求未知值时，遗漏参数的多种可能情况。 · 举例：数据 2,3,x,3,5的众数是3，则x可以是任意数（只要不出现比 3 次更多的数），而非只能等于3。 【典例1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）有一组数据：，，，，则这组数据的众数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求众数 【分析】本题考查了众数的意义，一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数．根据众数的定义求解即可． 【详解】解：由数据可知，这组数据的众数是． 故选： C． 【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）体育课上五名同学定点投篮（每人投5球）投中的球数1，1，4，3，5的众数为 ． 【答案】1 【知识点】求众数 【分析】本题考查了众数的概念，掌握众数是指一组数据中出现次数最多的数据是解题关键．根据众数的概念求解即可． 【详解】解：这组数据中，1出现了两次，次数最多， 则众数为1， 故答案为：1． 【变式2】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）某公司25名营销人员某月销售某种商品的数量如下（单位：件）： 月销售量 60 50 40 35 30 20 人数 1 4 4 6 7 3 该公司营销人员该月销售量的中位数，众数分别为（   ） A．37.5件，35件 B．35件，35件 C．37.5件，30件 D．35件，30件 【答案】D 【知识点】求中位数、求众数 【分析】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义． 根据中位数和众数的定义求解即可． 【详解】解：∵最中间的数据为第13名销售人员的销售量为 35， ， ∴这 25 名销售人员在该月销售量的中位数是35， ∵出现的次数最多 ∴众数为 30 ． 故选：D． 【变式3】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）某校有15名同学参加校园文化艺术节某单项比赛，预赛分数各不相同，取前8名同学参加决赛．其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这15名同学分数的（   ） A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差 【答案】B 【知识点】运用中位数做决策 【分析】本题考查中位数概念的理解，解题的关键在于正确理解相关概念．根据中位数的概念求解，即可解题． 【详解】解：取前8名同学进入决赛，故15名同学的成绩从大到小排列，进入决赛的成绩高于或等于排在第8位的成绩， 故要判断能否进入决赛，只需知道这15名同学成绩的中位数； 故选：B． 题型四 利用平均数、中位数、众数综合决策 解｜题｜技｜巧 常考 “分析哪个统计量最适合描述数据” 的综合题，核心思路是先看数据是否有极端值，再看决策目标： 1. 若数据无极端值 → 优先用平均数反映整体水平； 2. 若数据有极端值 → 优先用中位数反映中等水平； 3. 若决策目标是 “选最普遍的选项” → 优先用众数。 易｜错｜点｜拨 高频易错点： 易错点 1：盲目选择平均数，忽略极端值影响 对策：先观察数据中是否有明显偏大 / 偏小的数，有则优先考虑中位数。 易错点 2：混淆众数的决策目标，用众数衡量 “平均水平” 对策：众数的核心是 “多数情况”，仅适用于 “选最常见选项” 的场景，不能用于计算均值。 易错点 3：决策题未说明理由 【典例1】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）为迎接明年4月份的体育考试，九年级开展了本学期周末锻炼次数调查，便于开展后期针对性训练．现从本年级男生、女生中各抽取20名学生锻炼次数（记为x次）进行分析，将锻炼次数分为以下4组，A组：；B组：；C组：；D组：；现将数据收集、整理、分析如下． 收集数据：男生：5，6，8，9，7，1，10，3，4，8，5，0，7，2，7，6，8，4，8，11． 女生20名学生中的次数分别是：9，7，9，9，9，8，9，8． 整理分析数据： 表1： 容量等级 男生 a 6 8 2 女生 4 5 8 3 表2： 平均数 众数 中位数 男生 5.95 b 6.5 女生 5.95 9 c 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述表中的__________，__________，__________； (2)通过以上数据分析，你认为男生还是女生锻炼的情况更好，请说明理由． 【答案】(1)4，8，7.5 (2)女生锻炼的情况更好，理由为：女生的中位数、众数均比男生的高 【知识点】求众数、运用中位数做决策、求中位数 【分析】本题考查平均数、众数、中位数，解题的关键是明确题意，理解有关概念，找出所求问题需要的条件． （1）用20减去已知各部分的人数可求出a；根据中位数、众数的定义可求出b，c； （2）根据它们的平均数，中位数，众数比较分析，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：； ∵男生锻炼8次的人最多， ∴； ∵女生锻炼次数从小到大排列后，排在第10和第11位的数是7和8， ∴． 故答案为：4，8，7.5； （2）解：女生锻炼的情况更好，理由为：女生的中位数、众数均比男生的高． 【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表： 成绩统计表 组别 成绩x（分） 百分比 A组 B组 C组 a D组 E组 根据所给信息，解答下列问题： (1)本次调查的成绩统计表中 ，并补全条形统计图； (2)这200名学生成绩的中位数会落在 组（填A、B、C、D或E）； (3)试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数． 【答案】(1)20，见解析 (2)D (3)估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）有300人 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、画条形统计图、求中位数 【分析】本题主要考查了统计表和统计图的综合运用、用样本估计总体等知识．综合运用所学知识并且正确计算是解题的关键． （1）用1减去其余各组人数所占的百分数即可得a的值，进而可求出C组人数，补全条形统计图即可． （2）按照中位数的定义解答即可． （3）用总人数乘以D组人数所占百分比即可． 【详解】（1）， C组人数为：， 补全条形统计图如图所示： （2）， ， ∴200名学生成绩的中位数会落在D组． （3）（人） 估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数为300人． 【变式2】（24-25九年级上·江苏连云港·期末）某校举行的“吾有所爱，其名中华”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段． (1)初赛由39名学生评委给每位选手打分（百分制），对学生评委给某位选手的打分数据进行整理、描述和分析，得到频数分布直方图如图（数据分5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组），其中第3组的数据如下：85，86，86，86，86，86，87，87，88，88，88，89，89，89．根据以上信息，回答下列问题： ①这39个学生评委所打分数的中位数在第______组； ②若这39个学生评委所打分数的众数在第3组，则众数是______分； (2)决赛由7名教师评委给每位选手打分（十分制），从形象、表达、内容三项对进入决赛的3位选手分别进行打分，各项成绩分别去掉一个最高分和一个最低分，其余5名评委所打分数的平均数作为该项的最终得分，3位选手部分得分信息如下： 3位选手各项最终得分 选手 形象 表达 内容 甲 8 7 9 乙 9 8 8 丙 7 9 m 其中，7位教师评委对丙选手“内容”的打分为：8，7，7，8，8，9，10． ①表中______； ②若将形象、表达、内容三项得分依次按的比例确定最终成绩，那么哪位选手的最终成绩最高？ 【答案】(1)①3；②86 (2)①8；②丙选手的最终成绩最高． 【知识点】求加权平均数、求中位数、求众数 【分析】本题考查统计表，加权平均数、众数、中位数等知识． （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）①根据平均数的定义求解即可； ②根据加权平均数的定义求解即可判断． 【详解】（1）解：①这39个学生评委所打分数的中位数是第20个数，在第3组； ②若这39个学生评委所打分数的众数在第3组，则众数是86分； 故答案为：3；86； （2）解：①分数为：8，7，7，8，8，9，10， 分别去掉一个最高分和一个最低分，为8，7，8，8，9， ∴； ②甲的最终成绩，； 乙的最终成绩，； 丙的最终成绩，； ； 丙选手的最终成绩最高． 【变式3】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）为了解某校九年级学生每天的睡眠时间，随机对20名学生进行问卷调查，问卷选项如下：A．7小时；B．8小时；C．9小时；D．10小时．将调查结果绘制成如下图的扇形统计图和条形统计图．已知扇形统计图是正确的，条形统计图有一个选项的人数是错误的． (1)条形统计图中错误的是__________选项的人数，正确的应该是__________人； (2)这20名同学每天睡眠时间的众数是__________小时； (3)请计算这20名同学每天的平均睡眠时间． 【答案】(1)D，2 (2)8 (3)这20名同学每人每天的睡眠时间约是8.3小时 【知识点】求众数、求一组数据的平均数、条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】本题考查了扇形与条形统计图，众数和平均数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据扇形统计图和总人数求出各选项人数，即可求解； （2）根据众数的概念求解即可； （3）根据平均数的计算方法求解即可． 【详解】（1）A选项人数为（人），B选项人数为（人），C选项人数为（人），D选项人数为（人）， ∴条形统计图中错误的是D选项的人数，正确的应该是2人； （2）由条形统计图可得，B选项的人数最多 ∴这20名同学每天睡眠时间的众数是8小时； （3）（小时） ∴这20名同学每人每天的睡眠时间约是8.3小时． 【变式4】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）为提高同学们的宪法意识，学校将组织“弘扬宪法精神，共筑法治校园”知识竞赛，共100道单选题，每题1分，满分为100分．王老师为了从甲、乙两名同学中选择一名同学代表班级参赛，对他们进行了培训和指导，期间甲、乙完成了十次模拟答题．为了比较这两名同学的成绩，绘制了如下的统计图和统计表： 甲、乙成绩统计表 平均成绩/分 中位数/分 方差/分2 甲 96 8.6 乙 96 96 (1)_______，________； (2)你认为王老师会选择哪位同学代表班级参赛？请说明理由； (3)若将每题1分改为每题0.5分，其余不变，则甲这10次成绩的方差将_________（填“变大”、“变小”或“不变”）． 【答案】(1)，； (2)选择甲，理由见解析 (3)变小 【知识点】求中位数、求方差、根据方差判断稳定性、运用方差做决策 【分析】本题考查中位数，方差等知识点，熟练掌握基本公式和知识点是解题关键； （1）先列出甲的所有成绩，然后找到中位数即可；直接利用方差的计算公式直接计算乙的方差即可； （2）可通过成绩的上升趋势或者方差进行选择，言之有理即可； （3）根据方差的公式可知，当每个数与平均数的差值变小时，方差也会减小，即可答题． 【详解】（1）解：甲的成绩从低到高依次为：， 其中位数为：， 乙的所有成绩为：， ∴其方差为： （2）解：选择甲，甲的成绩呈上升趋势，甲的最好成绩比乙高，甲比乙的高分次数多；选择乙，乙的方差较小，乙的成绩更稳定（答案不唯一，言之有理即可）； （3）解：若将每题1分改为每题0.5分，其余不变，则所有的成绩离平均成绩的差都会减少，故甲这10次成绩的方差将变小． 题型五 方差的意义与计算 解｜题｜技｜巧 方差的考查核心围绕数据波动程度的定量分析展开，常与平均数结合考查数据的集中趋势和离散程度，题型以选择、填空和统计综合解答题为主。通常都是给出一组数据的方差，根据几组数据的方差进行分析对比它们稳定性的差别，然后做出评价。 方差的考查类型通常有如下几种类型： 类型1：给出一组数据，直接计算方差； 类型2：方差与平均数的综合计算，已知两组数据的平均数，对比方差大小；或已知方差，求数据中的未知参数； 类型3：方差的实际应用（决策型）：利用方差判断数据波动程度：方差越大，数据波动越大；方差越小，数据越稳定（这种情况考得最多） 类型4：结合统计图表求方差：从条形图、频数分布表中提取数据，先计算平均数，再代入方差公式计算； 易｜错｜点｜拨 高频易错点 1. 记错方差公式，计算步骤遗漏 · 易错点 1：忘记先计算平均数，直接用数据与某个值的差的平方和计算。 · 易错点 2：公式中漏掉 “除以数据个数n”，误将平方和当作方差。 2. 混淆 “方差与数据波动的关系” · 易错场景：误认为方差越大，数据越稳定；或反之。 · 结论：方差越大，数据波动越大，稳定性越差；方差越小，数据波动越小，稳定性越好。 3. 数据变换后方差计算错误 方差计算规律：若数据的方差为 ，则： ① 数据 （为常数）的方差仍为 （平移不改变方差）； ② 数据 （为常数）的方差为 （缩放改变方差）； ③ 数据的方差为 。 · 易错点：忽略系数的平方 。 【典例1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）质检部门对甲、乙两厂生产的乒乓球质量进行抽查，所抽取乒乓球直径的方差分别是：，则 厂生产的乒乓球质量比较稳定． 【答案】甲 【知识点】运用方差做决策 【分析】本题考查了运用方差作决策，根据方差越小，质量越稳定，进行作答即可． 【详解】解：∵，且， 则甲厂生产的乒乓球质量比较稳定， 故答案为：甲． 【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）若一组数据1，3，5，7，9的方差是，另一组数据11，12，13，14，15的方差是，则 （填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【知识点】求一组数据的平均数、求方差 【分析】本题考查了方差，分别计算出、，比较即可得解，熟练掌握方差的计算公式是解此题的关键． 【详解】解：，， ， ， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）某家电销售商场1～6周销售甲、乙两种品牌冰箱的数量如图所示（单位：台），甲、乙两种冰箱销售数量的方差分别记为，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【知识点】根据方差判断稳定性 【分析】此题考查了方差的意义．结合图形，乙的成绩波动比较大，则波动大的方差就大．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：从图看出：甲两种冰箱销售数量波动较小，说明它的成绩较稳定，乙的波动较大，则其方差大， 故选：C． 【典例2】利用方差做出决策 （24-25九年级上·江苏扬州·期末）为迎接学校“英语听说”大赛，某班在甲、乙两名同学中选拔一人参加，在相同的测试条件下，两人5次测试成绩（单位：分）如表： 甲：28，28，27，28，29． 乙：25，29，27，30，29． (1)下列表格中的______，______，______； 平均数 众数 中位数 方差 甲 28 28 28 c 乙 a 29 b 3.2 (2)班主任根据这5次的测试成绩，应选择谁参加学校“英语听说”大赛更合适，请说明理由． 【答案】(1)28；29；； (2)甲同学，理由见解析 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、求方差、运用方差做决策 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数和方差，掌握相关定义和意义是解题关键． （1）根据平均数、中位数、方差的定义和公式求解即可； （2）根据平均数、中位数、众数和方差的意义分析即可． 【详解】（1）解：甲同学的方差， 乙同学的平均数， 将乙同学的成绩从小到大排列为：25、27、29、29、30，则中位数， 故答案为：28；29；； （2）解：应选择乙同学参加学校“英语听说”大赛更合适， 理由：甲、乙两名同学测试成绩的平均数相同，乙同学的中位数和众数略高于甲同学，但甲同学的方差更小，成绩更稳定，所以应选择甲同学参加． 【变式1】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）江苏盐城，中国盐文化发源地．某校举办“我为盐文化代言”演讲比赛，五位评委进行现场打分（评分取整数），将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图． 根据以上信息，回答下列问题： (1)完成表格； 平均数/分 中位数/分 方差/分 甲 ① 乙 9 丙 ② 8 (2)根据（1）中数据分析，从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由； (3)在比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后乙的方差记为，则______．（填“”或“”或“”） 【答案】(1)9， (2)选甲更合适，理由见解析 (3) 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、求方差、运用方差做决策 【分析】本题考查了中位数，平均数，方差，熟练掌握相关定义与意义是解题关键． （1）分别根据中位数、平均数的定义进行计算，即可得到答案； （2）根据（1）中表格，结合平均数和方差的意义进行分析，即可得到答案； （3）先计算出去掉一个最高分和一个最低分后以的平均分，再根据方差公式计算，最后比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：由甲得分的折线统计图可知，甲得分的排序为：10、9、9、8、8， 甲得分的中位数为9， 由丙得分的扇形统计图可知，丙得分分别为：8，8，8，10，10， 丙的平均数为（分） 故答案为：9，． （2）解：选甲更合适， 理由：因为甲、乙、丙三人平均成绩一样，说明三人实力相当，但是甲的方差最小，说明甲的成绩更稳定，所以选甲更合适； （3）解：去掉一个最高分和一个最低分之后，乙的平均数为， 乙的方差， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）实验初中九年级（1）班和（2）班进行了一次数学测试，各班前5名的成绩分别是： 九（1）班：92，86，85，85，77；九（2）班：92，89，85，85，79． 两班前5名成绩的有关统计数据见表： 班级 平均分 中位数 众数 九（1） 85 b 85 九（2） a 85 85 请解决下面问题： (1)填空：________，________； (2)计算九年级（2）班前5名成绩的方差； (3)已知九年级（1）班前5名成绩的方差为，根据以上信息，说明哪个班前5名的整体成绩比较好． 【答案】(1)86，85 (2) (3)九年级（2）班前五名的整体成绩比较好 【知识点】运用方差做决策、求中位数、利用平均数做决策、求一组数据的平均数 【分析】本题考查了中位数与众数、平均数与方差，熟练掌握方差和平均数的意义是解题关键． （1）根据中位数的定义和平均数的计算公式求解即可得； （2）根据方差的计算公式求解即可得； （3）从中位数与众数、平均数与方差的角度进行分析即可得． 【详解】（1）解：， 将九（1）班前5名成绩按从小到大进行排序为77，85，85，86，92， 则其中位数， 故答案为：86，85． （2）解： ， 答：九年级（2）班前5名成绩的方差为． （3）解：因为九年级（1）班和九年级（2）班的前五名同学的成绩的中位数与众数相同；九年级（2）班的平均分比九年级（1）的平均分高；九年级（2）班的方差比九年级（1）的方差小，说明九年级（2）班前五名的成绩更稳定， 所以九年级（2）班前五名的整体成绩比较好． 题型六 等可能条件下的概率计算 解｜题｜技｜巧 等可能条件下的概率（即古典概型）是统计与概率板块的核心考点，考查形式以选择、填空和解答题为主，侧重对列举法的掌握和等可能前提的理解。 等可能条件下的概率的考查类型，及解决策略如下： 类型1：直接枚举法求概率： 1. 适用条件：试验结果有限且少（一步试验） 2. 公式：P(A)= 类型2：列表法求概率： 1. 适用条件：两步试验（如两次摸球、两次掷骰子）； 2. 步骤：列二维表格，横行、纵列分别表示两步试验的结果，列出所有等可能结果； 类型3：树状图法求概率： 1. 适用条件：两步及以上试验，或不放回试验（结果无重复）； 2. 步骤：分阶段画树状分支，标注每一步的结果和概率，统计所有等可能结果； 易｜错｜点｜拨 高频易错点 1.混淆 “放回试验” 与 “不放回试验” 易错场景 1：不放回试验中，误将第二次试验的总数与第一次相同。 举例：从 2 红 1 白共 3 个球中不放回摸两次，第一次摸红球后，第二次总数应为 2，而非 3； 易错场景 2：放回试验中，遗漏重复结果（如（红 1，红 1）是有效结果）。 2.列举结果时 “重复” 或 “遗漏” 易错点 1：有序试验忽略顺序，如两枚骰子（1,2）和（2,1）是两个不同结果，误算为一个； 易错点 2：无序试验重复计算，如摸两个球（红，白）和（白，红）是同一个结果，误算为两个； 举例：同时掷两枚骰子，所有等可能结果是 6×6=36种，而非15种（后者是无序情况）。 3.忽略 “等可能” 的前提条件 易错场景：试验结果不满足 “等可能性” 时，误用古典概型公式。 【典例1】利用概率公式计算概率 （24-25九年级上·江苏盐城·期末）甲布袋装有个红球和个白球，随机从甲袋中摸出一个球，摸出红球的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率公式． 由甲布袋装有个红球和个白球，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：甲布袋装有个红球和个白球， 随机从甲袋中摸出一个球，摸出红球的概率是：， 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·江苏南通·期末）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标上“大”“美”“海”“安”四个汉字，随机摸出一个小球，摸出的小球上的汉字是“美”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．直接利用概率公式计算． 【详解】解：∵袋子中分别装着标有“大”“美”“海”“安”四个汉字的4个小球， ∴从袋中摸出一个球，则球上的汉字刚好是“美”的概率是． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在冬季的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，根据二十四个节气中，立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒，共六个节气在冬季，计算即可得解，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：∵二十四个节气中，立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒，共六个节气在冬季， ∴从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在冬季的概率为， 故选：A． 【典例2】利用列表法或树状图计算概率 （24-25九年级下·江苏徐州·期末）2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞、滑板、冲浪、运动攀岩，依次记为A、B、C、D．某数学兴趣小组把这四个项目分别写在四张背面无差别的卡片上，他们将这些卡片背面朝上洗匀放好，从中选出两个项目，制作宣传画用以宣传．他们先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，将剩下卡片洗匀后，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽到的卡片恰好是C（冲浪）和D（运动攀岩）的概率． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率． 先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出抽到的两张卡片恰好是C（冲浪）和D（运动攀岩）的结果数是2，然后根据概率公式计算． 【详解】解：画树状图如下： ， 共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是C（冲浪）和D（运动攀岩）的结果数为2， 数学兴趣小组抽到的两张卡片恰好是C（冲浪）和D（运动攀岩）的概率． 【变式1】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，转盘A，B中的各个扇形的面积分别相等，转盘A的3个扇形中分别标有数字1，2，3，转盘B的3个扇形中分别标有数字4，5，6． (1)现任意转动转盘A1次(若指针落在扇形的边界线上，则重转1次)，当转盘停止转动时，则指针落在标有数字1的扇形的概率为 ； (2)现任意转动转盘A，B各1次(若指针落在扇形的边界线上，则重转1次)，当转盘停止转动时，求转盘A，B的指针所落扇形中的两个数字之和为奇数的概率． (请用画树状图或列表等方法说明理由) 【答案】(1) (2) 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查了用概率公式求概率和用画树状图或列表的方法求概率.掌握概率公式是关键． （1）直接用求概率的方法求概率即可. （2）列出表格，可以得出等可能的结果以及两个数字之和为奇数的结果，然后利用概率公式求概率即可． 【详解】（1）解：当转盘停止转动时，则指针落在标有数字的扇形的概率为 故答案为： （2）解：根据题意，列表如下： 由表可知，共有种等可能的结果，其中转盘，的指针所落扇形中的两个数字之和为奇数的有种结果， 所以转盘，的指针所落扇形中的两个数字之和为奇数得概率为． 【变式2】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）为了解我国的数学文化，小明和小红从《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》（依次用A、B、C表示）三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本． (1)小明抽取到《周髀算经》这本书的概率为______； (2)请用列表或画树状图的方法求小明和小红抽取的两本书中有《九章算术》的概率． 【答案】(1) (2)． 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接用概率公式求解即可； （2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中小明和小红抽取的两本书中有《九章算术》的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有3本书，每本书被小明抽到的概率相同， ∴小明抽到《周髀算经》的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中小明和小红抽取的两本书中有《九章算术》的结果有4种， ∴小明和小红抽取的两本书中有《九章算术》的概率． 【变式3】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）4张相同的卡片正面分别写有中国二十四节气中的“立春”、“雨水”、“惊蛰”、“春分”的字样，将卡片的背面朝上． (1)洗匀后从中随机抽取1张卡片，抽到“立春”的概率为_______； (2)洗匀后从中随机抽取2张卡片，用树状图或列表的方法，求抽到“雨水”和“春分”的概率（画图或列表时可将“立春”、“雨水”、“惊蛰”、“春分”分别用A、B、C、D表示）． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了简单的概率计算、利用树状图法求概率，熟练掌握列举法是解题关键． （1）直接利用概率公式计算即可得； （2）先画出树状图，从而可得洗匀后从中随机抽取2张卡片的所有等可能的结果，再找出抽到“雨水”和“春分”的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】（1）解：因为洗匀后从中随机抽取1张卡片共有4种等可能的结果， 所以洗匀后从中随机抽取1张卡片，抽到“立春”的概率为， 故答案为：． （2）解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，洗匀后从中随机抽取2张卡片共有12种等可能的结果，其中，抽到“雨水”和“春分”的结果有2种， 所以抽到“雨水”和“春分”的概率为， 答：抽到“雨水”和“春分”的概率为． 【变式4】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）一只不透明的袋子中装有2个白球、1个红球和1个绿球，这些球除颜色外其余都相同． (1)将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到白球的概率是 ； (2)将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录颜色后不放回，再从中剩下的摸出1个球．求两次摸到的球颜色相同的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了简单事件的概率，树状图或列表法求较复杂事件的概率；掌握概率公式是解题的关键； （1）所有等可能的情况有4种，取到白球的情况有2种，由概率公式即可求解； （2）画出树状图，一共有12种等可能得情况，两次摸到的球颜色相同的有2种，由概率公式即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：画出树状图如下： ∴一共有12种等可能得情况，两次摸到的球颜色相同的有2种， ∴． 答：两次摸到的球颜色相同的概率为． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（2025·江苏泰州·一模）某校举行“珍爱生命”演讲比赛，已知某位选手的“演讲内容”、“语言表达”和“形象风度”这三项得分分别为90分，85分，80分，若按的比例计算平均得分，则该选手的平均得分是（   ） A．85分 B．86分 C．87分 D．88分 【答案】B 【知识点】求加权平均数 【分析】本题主要考查了加权平均数．根据加权平均数的定义进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵（分）， ∴该选手的平均得分是86分． 故选：B． 2．（2025·江苏连云港·模拟预测）第九届亚洲冬季运动会于2月14日在哈尔滨正式收官，这是继北京冬奥会后，我国举办的又一重大综合性国际冰雪运动盛会，也是自1996年后哈尔滨第二次承办亚冬会． 中国队在历届亚冬会上获得的金牌数分别是：4，9，15，15，9，19，11，12，32． 这组数据的中位数是（ ） A．9 B．12 C．15 D．19 【答案】B 【知识点】求中位数 【分析】本题考查中位数，熟知中位数是将数据按从小到大排序后，位于中间位置的数．本题数据个数为奇数，中位数是将数据按照从小到大排序后的第5个数据，进而求解即可． 【详解】解：数据排序后为：4, 9, 9, 11, 12, 15, 15, 19, 32． ∵数据个数为奇数， ∴中位数为第5个数据，即12． 故选：B． 3．（2025·江苏苏州·一模）某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数大于100，可以选择（    ） A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、丁 D．丙、戊 【答案】A 【知识点】 利用中位数求未知数据的值、运用中位数做决策 【分析】本题考查中位数．根据前5个盲盒的中位数是100，再加两个后中位数大于100，可知后选的两个盲盒质量都大于100，据此即可得到答案． 【详解】解：前5个盲盒的中位数是100，由图可知有两个盲盒质量小于100，两个盲盒质量大于100． A、若选择甲、丁，则有4个盲盒质量大于100，其他不变，故中位数会大于100，因此选项A符合题意； B、若选择乙、戊，则有4个盲盒质量小于100，其他不变，故中位数会小于100，因此选项B不符合题意； C、若选择丙、丁，则有3个盲盒质量小于100，3个大于100，故中位数还是100，因此选项C不符合题意； D、若选择丙、戊，则有4个盲盒质量小于100，其他不变，故中位数会小于100，因此选项D不符合题意； 故选：A． 4．（2025·江苏宿迁·三模）数据3，4，9，6，4，4，6的中位数、众数分别是（    ） A．6，4 B．6，6 C．4，4 D．9，6 【答案】C 【知识点】求中位数、求众数 【分析】本题考查了求众数和中位数，掌握找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 根据众数和中位数的定义即可求解． 【详解】解：将数据3，4，9，6，4，4，6从小到大排列为：3，4，4，4，6，6，9， 则可知4出现的次数最多，最中间的数为4， ∴众数和中位数均是4， 故选：C． 5．（2025·江苏无锡·二模）已知一组数据：13，11，8，10，10，这组数据的众数和中位数分别是（   ） A．10，9 B．10，10．4 C．10，8 D．10，10 【答案】D 【知识点】求中位数、求众数 【分析】本题主要考查了众数和中位数，根据众数和中位数的定义解题即可． 【详解】解：从小到大排列为：8，10，10，11，13， 其中出现最多次数的为：10， ∴众数为10， 一共5个数，中位数为第3个数， ∴中位数为：10， 故选：D． 6．（2025·江苏盐城·二模）如图是盐城市2025年4月日的天气情况，这5天中最低气温（单位：）的中位数与众数分别是（   ） A．10，14 B．12，14 C．12，12 D．11，14 【答案】B 【知识点】求中位数、求众数 【分析】本题考查了中位数与众数，根据中位数和众数的定义即可得出答案． 【详解】解：最低气温中，出现的次数最多，故众数为， 将温度按从小到大排列为，，，，，故中位数为． 故选：B． 7．（2025·江苏徐州·二模）如图，是某商店连续5天用水量（吨）的折线统计图．下列说法正确的是（    ） A．平均数是5吨 B．中位数是6吨 C．众数是4吨或8吨 D．第1天用水量最少 【答案】B 【知识点】折线统计图、求一组数据的平均数、求中位数、求众数 【分析】本题考查了折线统计图、平均数、众数和中位数等知识，熟练掌握统计的基本知识是解题的关键； 先根据折线统计图写出具体的数据，再根据平均数、众数和中位数的定义逐项判断即可得解． 【详解】解：由折线统计图可得，这5天的用水量分别是：2，4，6，8，10（单位：吨）， A、平均数是吨，故本选项说法错误； B、中位数是6吨，故本选项说法正确； C、2，4，6，8，10这5个数据都出现了1次，都是这组数据的众数，故本选项说法错误； D、第4天用水量最少，是2吨，故本选项说法错误； 故选：B． 8．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知排球队6名上场队员的身高（单位：）分别是：． 现用两名身高是的队员分别换下场上身高为的队员，与换人前相比，现在计算结果不受影响的是（ ） A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 【答案】D 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、求众数、求方差 【分析】本题考查众数，中位数，平均数，方差，掌握相关知识是解决问题的关键．换人前后，数据总和增加导致平均数变化；众数从原数据无众数变为出现两次；方差因数据值改变而变化；中位数因中间两数仍为和而保持不变． 【详解】解：∵ 原始数据排序后为， 中位数 ； 换人后数据排序为， 中位数 ； ∴ 中位数不变， 换人前后，数据总和增加导致平均数变化；众数从原数据无众数变为出现两次；方差因数据值改变而变化 ∴不受影响的是中位数． 故选：D． 9．（2025·江苏宿迁·二模）某科技兴趣小组成员的年龄分别是：13、9、10、8、14、13、13，这组数的中位数是 ． 【答案】13 【知识点】求中位数 【分析】本题考查了中位数，解题的关键是掌握求中位数的方法，将数据有小到大排列好，如果是奇数个数据，中位数就位最中间的数． 【详解】解：小组成员的年龄有小到大：8、9、10、13、13、13、14， 故中位数为第四位对应的数：13， 故答案为：13． 10．（2025·江苏苏州·二模）已知一组数据，，，，，，的平均数是，则这组数据的众数是 【答案】 【知识点】已知 平均数求未知数据的值、求众数 【分析】本题考查了平均数和众数，根据平均数的定义求出，进而得出这一组数据，再根据众数的定义即可求解，掌握平均数和众数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴这一组数据为，，，，，，， ∴这组数据的众数是， 故答案为：． 11．（2025·江苏南京·三模）某龙舟队有12名队员，该龙舟队调整前与调整后队员体重（单位：千克）情况如表所示，与调整前相比，该龙舟队调整后队员体重的方差 （填“变小”、“不变”或“变大”）． 体重 调整前人数 调整后人数 50 2 3 60 5 3 70 5 6 【答案】变大 【知识点】求方差 【分析】此题主要考查了方差的定义．利用调整后队员体重的波动比原来大，进而得出方差变大． 【详解】解：∵调整后队员体重的波动比原来大， ∴与调整前相比，该龙舟队调整后队员体重的方差变大． 故答案为：变大． 12．（2025·江苏盐城·三模）甲、乙两款智能手环分别对同一用户进行15次静息心率监测（单位：次/分钟），监测数据的平均值均为72次/分钟，心率波动的方差分别为，则在此次监测中，采集到更稳定心率数据的手环是 ．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【知识点】根据方差判断稳定性 【分析】本题考查利用方差判断稳定性，根据方差越小，数据越稳定，进行判断即可． 【详解】解：∵平均值相同，且， 故采集到更稳定心率数据的手环是甲； 故答案为：甲． 13．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，正六边形飞镖游戏板，对角线，相交于点O．假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的(若投中各区域的边界线或没有投中游戏板，则重投1次)，现向该游戏板随机投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影区域的概率是 ． 【答案】 【知识点】几何概率 【分析】本题考查几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：如图，连接， 根据正六边形的性质，可知图中所有小三角形的面积都相等， ∴任意投掷飞镖一次，飞镖投中阴影部分的概率为． 故答案为：． 14．（2025·江苏淮安·中考真题）为了解某品牌A、B两种型号扫地机器人的销售情况，商场对这两种型号的扫地机器人1～8月份的销售情况进行了调查统计，并对统计数据进行了整理分析． 数据整理：1～8月份A、B型号扫地机器人销售情况条形统计图 数据分析： 平均数 中位数 众数 A型号 a 14 12 B型号 12 b c 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空： ， ， ； (2)请对商场八月份以后这两种型号扫地机器人的进货意向提出合理的建议，并说明理由． 【答案】(1)14，13，14 (2)建议多进B型号扫地机器人．理由见解析 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、运用中位数做决策、求众数 【分析】本题考查平均数、中位数、众数，利用统计数据做决策： （1）根据平均数、中位数、众数的定义，结合条形统计图，即可求解； （2）观察统计图，B型号需求逐渐上升的趋势，进而做出决策． 【详解】（1）解：A型号平均数：； 将B型销量按从小到大顺序排列为：5，8，11， 12，14，14，15，17， 第4位和第5位的平均数为：， B型号中位数； B型销量中14出现了2次，出现的次数最多， B型号众数； 故答案为：14，13，14； （2）解：建议多进B型号扫地机器人． 理由：B 型销量从年初的较低水平逐渐上升，八月份已高于 A 型；基于这一走势，商场可适当增加 B 型的进货量以满足需求． 15．（2025·江苏扬州·中考真题）为角逐市校园“音乐达人”大赛，小红和小丽参加了校内选拔赛，10位评委的评分情况如下（单位：分）． 表1评委评分数据 评委 评委评分 小红 7 8 7 8 7 7 7 8 7 9 小丽 7 7 6 8 8 8 8 8 7 8 表2评委评分数据分析 选手 平均数 中位数 众数 小红 7 小丽 8 根据以上信息，回答下列问题： (1)表2中______，______，______； (2)你认为小红和小丽谁的成绩较好？请说明理由． 【答案】(1)；7；8 (2)小丽的成绩较好，理由见解析 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、求众数、运用众数做决策 【分析】本题主要考查了平均数，中位数和众数，熟知平均数，中位数和众数的定义是解题的关键． （1）根据平均数，中位数和众数的定义求解即可； （2）两人平均成绩相同，而小丽的中位数和众数大，据此可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，； 把小红的10位评委的评分按照从低到高排列为：7，7，7，7，7，7，8，8，8，9， ∴小红的10位评委的评分的中位数为分，即； ∵小丽的10位评委的评分中，评分为8分的人数最多， ∴小丽的10位评委的评分的众数为8，即； （2）解：小丽的成绩较好，理由如下： 从平均数来看，两人的平均成绩相同，从中位数和众数来看，小丽的中位数和众数均大于小红的中位数和众数，故小丽的成绩较好． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1.（2025·江苏扬州·一模）为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的平均数是（   ） A．53 B．55 C．56 D．64 【答案】C 【知识点】求一组数据的平均数 【分析】本题主要考查平均数，熟练掌握求一组数据的平均数是解题的关键；因此此题可根据平均数的求法进行求解即可． 【详解】解：由题意得：； 故选C． 2．（2025·江苏苏州·二模）学校抽查了10名青年教师的年龄情况（见下表）： 年龄（岁） 24 25 26 27 28 人数 2 3 2 1 2 这10名教师年龄的众数、中位数分别是（   ） A．2，25岁 B．2，26岁 C．28岁，岁 D．25岁，岁 【答案】D 【知识点】求中位数、求众数 【分析】本题考查了众数与中位数，熟知二者的概念是解题关键； 根据众数（众数指在一组数据中出现次数最多的数值）和中位数（中位数‌是指将一组数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数值。如果数据的个数是奇数，则中位数是中间那个数；如果数据的个数是偶数，则中位数是中间两个数的平均值‌）的定义求解即可. 【详解】解：这10个数据中，25出现的次数最多，有3次， 所以这组数据的众数是25岁； 按照从小到大的顺序排列后，第5和第6个数据分别是25和26， 所以这组数据的中位数是岁； 故选：D. 3．（2025·江苏无锡·三模）为深入贯彻落实《关于进一步深化农村改革扎实推进乡村全面振兴的实施意见》精神，某镇组织开展“村”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：54，64，51，50，61，56，则这组数据的中位数是（  ） A．51 B．55 C．50 D．56 【答案】B 【知识点】求中位数 【分析】本题考查了中位数的定义，先把数据排序，位于中间位置的数为中位数，如果中间位置的数有两个，那么取它们的平均数作为中位数，即可作答． 【详解】解：先排序，得：50，51，54，56，61，64， 一共有个数据，排在中间位置的数分别是54，56 ∴这组数据的中位数是， 故选：B 4．（2025·江苏南京·二模）若第一组数据各不相等）的平均数为，则第二组数据，b，c，d，e，m与第一组数据相比（   ） A．平均数变大，方差变小 B．平均数不变，方差变大 C．平均数变大，方差不变 D．平均数不变，方差变小 【答案】D 【知识点】 利用已知的平均数求相关数据的平均数、求方差 【分析】本题主要考查了算术平均数和方差．根据算术平均数和方差的定义解答即可． 【详解】解：由题意可知，第二组数据，，，，，与第一组数据相比，平均数不变， 设第一组数据的方差为，第二组数据的方差为， 则， ， ，， 若第一组数据，，，，的平均数为，则第二组数据，，，，，与第一组数据相比平均数不变，方差变小． 故选：D． 5．（2025·江苏南京·二模）某工厂生产的商品有A，B两种型号，为了了解它们的质量是否符合标准，分别抽取了这两种型号的商品各5件进行调查，并将两组数据绘制成折线统计图（如图所示）．这两组数据的下列统计量中，可能相等的是（　　） 抽取的两种型号商品的质量折线统计图 A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数 【答案】B 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、求众数、求方差 【分析】本题考查了折线统计图，方差等统计量，解题的关键是能识别统计图的信息，利用方差是反应离散程度的量来判断即可． 【详解】解：根据两种型号商品的质量折线统计图可知，两种型号商品的质量的平均数，中位数，众数都不同， 根据图形的离散程度差不多，故方差可能相等， 故选：B． 6．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，转盘中5个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是 ． 【答案】 【知识点】几何概率 【分析】本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式是解题关键．先求出任意转动转盘1次共有5种等可能的结果，其中，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的结果有3种，再利用概率公式计算即可得． 【详解】解：由图可知，任意转动转盘1次共有5种等可能的结果，其中，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的结果有3种， 则当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是， 故答案为：． 7．（2025·江苏徐州·模拟预测）某校举办“最佳校园歌手”的演唱比赛，五位评委对进入决赛的甲、乙两位学生的演唱进行现场打分，其得分情况如下： 根据以上信息，回答下列问题： (1)第________号评委给两位学生打分相同； (2)甲、乙演唱成绩的中位数分别是________分，________分； (3)请应用所学的统计知识，判断“最佳校园歌手”是哪一位学生，并说明理由． 【答案】(1)3 (2)9，8 (3)甲，理由见解析 【知识点】折线统计图、求一组数据的平均数、求中位数 【分析】本题考查了折线统计图，中位数，平均数等知识，解题的关键是： （1）观察折线统计图即可得出结论； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）分别计算甲、乙演唱成绩的平均数，即可判断． 【详解】（1）解：根据折线统计图可得，第3号评委给两位学生打分相同， 故答案为：3； （2）解：∵甲演唱成绩从小到大为：7、8、9、9、10， ∴甲演唱成绩的中位数为9， 乙演唱成绩从小到大为：8、8、8、9、9， ∴乙演唱成绩的中位数为8， 故答案为：9，8； （3）解：“最佳校园歌手”是甲 理由：甲演唱成绩的平均数为， 乙演唱成绩的平均数为， ∵， ∴“最佳校园歌手”是甲．（答案不唯一） 8．（2025·江苏常州·模拟预测）《哪吒》自年月日上映以来，便如同一颗重磅炸弹，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号，，，来表示，这张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为_____； (2)将哪吒和敖丙的组合或太乙真人和申公豹的组合称为“一套”，小明和小红依次从中随机抽取一张卡片（不放回），请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张卡片恰好一套的概率． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了求概率． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）画出树状图，再根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，小明和小红他们抽到的两张卡片恰好配套的结果有种， 小明和小红他们抽到的两张卡片恰好一套的概率为 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 1．（2025·江苏泰州·二模）随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程为．该汽车租赁公司有A、B、C三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为300元/辆，380元/辆，500元/辆．为了选择合适型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下： 【整理数据】 （1）在A型纯电动汽车满电续航里程扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为 ； 【分析数据】 型号 平均里程（） 中位数（） 众数（） A 400 400 410 B 432 m 440 C 453 450 n （2）由上表填空： ， ； 【判断决策】 （3）结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由． 【答案】（1）；（2）430，450；（3）B型，理由见解析 【知识点】求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联、运用中位数做决策、求众数 【分析】本题考查的是条形统计图，扇形统计图，众数和中位数的定义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．掌握定义是解题的关键． （1）先求出总数，然后用乘续航里程为的占比即可； （2）分别根据中位数和众数的定义解答即可； （3）结合平均里程、中位数、众数以及每天的租金解答即可． 【详解】解：（1）（辆）， 在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为：， 故答案为：； （2）由题意得，． 故答案为：430，450； （3）小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为，故A型号的平均数、中位数和众数均低于420，不符合要求； B、C型号符合要求，但B型号的租金比C型号的租金优惠，所以选择B型号的纯电动汽车较为合适． 2．（2025·江苏连云港·二模）为弘扬中华传统文化，某地近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：唐诗；宋词；论语；三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．抽签形式：把四个项目名称分别写在4张质地均匀的不透明卡片正面，卡片背面向上摆放，每次抽签前先洗匀． (1)小丽参加“单人组”．她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率为______； (2)小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．请用画树状图或列表的方法求该“双人组”恰好抽中“唐诗”和“宋词”的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好抽中“三字经”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及该“双人组”恰好抽中“唐诗”和“宋词”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好抽中“三字经”的结果有1种， ∴恰好抽中“三字经”的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中该“双人组”恰好抽中“唐诗”和“宋词”的结果有：，共2种， ∴该“双人组”恰好抽中“唐诗”和“宋词”的概率为． 3．（2025·江苏苏州·模拟预测）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 请结合上述信息，解答下列问题： (1)补全调查结果的条形统计图； (2)小刚和小强分别从五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率． 【答案】(1)见解析； (2) 【知识点】画条形统计图、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的信息识别，用树状图或列表求概率，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据条形统计图和扇形统计图的信息得到总的人数，再根据圆心角的所占比例算出结果即可补全条形统计图； （2）审清题意可知，列出树状图得到结果即可； 【详解】（1）解：由题意可得： 总的人数为：（人） 选厨艺的人数为：（人） 选园艺的人数为；（人） （2）解：把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为A，B，C，D，E，画树状图如下： 共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种， ∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $