专题01 一元二次方程（期末复习讲义）九年级数学上学期苏科版

该初中数学一元二次方程期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，构建“概念-解法-判别式-根与系数关系-应用”的完整知识体系。每个知识点均以定义解析、易错点警示和实例辨析呈现，直观呈现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与精准方法指导，基础、重难、综合练习覆盖不同能力需求。题型示例如增长率问题（“森林覆盖率从24%到26%”）和面积问题（“矩形花圃围篱笆”），培养模型意识与应用意识。配套答题模板和易错点拨助力学生提升运算能力，教师可实施分层教学，高效推进复习。

专题01 一元二次方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程的概念 能准确判断一个方程是不是一元二次方程，能根据一元二次方程及其解的概念求所含参数的值； 基础常考点，常出现在选择题或填空题，求参数的值时，容易忘记考虑二次项系数不为0的隐藏条件。 一元二次方程的解法 理解配方法，能用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程； 必考点，一般为解答题的前两一题 一元二次方程根的判别式 会用根的判别式判断方程根的情况，会根据根的情况求参数的取值范围。 必考点，通常多为选择或填空题 一元二次方程根与系数关系 了解一元二次方程的根与系数的关系，会利用根与系数关系求相应代数式的值。 常考，一般为填空题 一元二次方程的应用 能利用一元二次方程解决生活中相关的实际问题，并能根据具体问题的实际意义，检验方程根的合理性。 必考点，一元二次方程的应用有两个常考的类型，一是增长率问题，多为选择题或填空题，二是面积问题，多为解答题。 知识点01 一元二次方程的概念 1.一元二次方程的概念 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 三个条件：①一个未知数；②最高次数为2次；③等号两边均为整式。 2.一元二次方程的一般形式：（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数． ·示例：例如、、等都是一元二次方程，但是类似方程，分母中含有未知数的方程不是一元二次方程，因为方程两边并不都是整式；像这种也不是，因为该方程含有两个未知数，属于二元方程。 ·易错点： 最易错的是，这个也不一定是一元二次方程，因为该式子中没有明确说明是否为0，当等于0时，该方程为一元一次方程。 知识点02 一元二次方程的解法 1．直接开平方法：适合于或形式的方程． 2．配方法： （1）整理成一般式，并化二次项系数为1； （2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项； （3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）把方程整理成的形式； （5）运用直接开平方法解方程． 3．公式法： （1）把方程化为一般形式，即； （2）确定的值； （3）求出的值，判断有解无解； （4）将的值代入求解即可． 4．因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或． 示例：一元二次方程的解法看似简单，其实，要想快速解对一元二次方程，必须熟练掌握以上四种方法，并且在解方程时正确选择合适的方法： 或，像这两种情况适合选用直接开平方法； 像这种直接给出的是一般式的样子，适合公式法； 像这种二次项系数为1，而一次项系数为偶数时，适合配方法； 或,像这样的方程方便因式分解的可以采用因式分解法去解。 ·易错点： 一元二次方程的解法中最易错的有三个地方： 其一：是直接利用直接开平方法时，很多同学都直接只写一个正根，例如：由直接得到，这是错误的，应该得到或。 其二：是使用公式法求一元二次方程的根时，忘记将方程变成一般式，就直接套公式求根； 例如由，直接使用求根公式，得到，此处错误在于方程中的应该是，因为将方程整理成一般式为：，所以. 其三：是使用一元二次方程求根公式前，忘记使用判别式判断方程有没有根，就直接使用公式求解，发现根号下是负数时，又涂改，这个很不好，应该先使用判别式判断根的情况后，确定有解，再使用公式去求其根。 知识点03 一元二次方程根的判别式 1.利用一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况： （1）根的判别式：一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式． （2）一元二次方程根的情况与判别式的关系 · 当时，方程有两个不相等的实数根； · 当时，方程有两个相等的实数根； · 当时，方程没有实数根． 示例：例如，要利用根的判别式判断方程根的情况，先求出判别式>0,方程有两个不相等的实数根。 ·易错点： 此处的易错点与方程的解法中一样，求一个一元二次方程的判别式之前一定要先将方程整理成一般式，然后再求判别式，判断根的情况。 另外，再根据方程根的情况求参数的取值范围时，不要忘记考虑二次项系数不为0这一条件！ 知识点04 一元二次方程根与系数关系（韦达定理） 根与系数关系： 设（其中为常数，），两根分别为，， 则，． 示例：例如方程的两根之和为，。 ·易错点： 使用一元二次方程根与系数关系解决问题易错点有两个：一是忘记将方程整理成一般式，错误判断各项系数；二是没有利用根的判别式判断根的情况就利用根与系数关系求解。 例如：该方程判别式,显然方程无实数根，如果直接使用根与系数关系求，就是错误的，切记！ 知识点05 一元二次方程的应用 一元二次方程的应用题常考问题类型有以下几种： 1.增长率问题 （1）增长率=增长量÷基础量．（2）设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则；当为平均下降率时，则有． 2.销售问题：（1）利润=售价－成本．（2）利润率=×100％． 3.图形面积问题：解出结果要重点检验，不要忘记舍去不符合题意的结果。 4.图形动点问题：这种类型通常要结合勾股定理或者根据面积关系列出一元二次方程，解出结果，检验，舍去不符合实际的答案。 题型一 一元二次方程的概念 解｜题｜技｜巧 根据一元二次方程的概念判断一个方程是不是一元二次方程，要注意观察三个条件： ①一个未知数；②最高次数为2次；③等号两边均为整式； 尤其是第三个条件最容易忘记，也是错误律最高的地方； 易｜错｜点｜拨 在选择题中遇到判断一个方程是不是一元二次方程时，错误最多的是，选项中如果出现类似于这样的 ，或者是的方程，很多同学认为这个是一元二次方程，其实是错的，因为第一个方程中没有明确说明是否为0，当等于0时，该方程为一元一次方程，如果在这个式子后面注明也是可以的。而第二个方程中分母中含有未知数，不符合等号两边都是整式的条件。 【典例1】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）将一元二次方程化为一般形式为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24九年级上·江苏无锡·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式4】（23-24九年级上·江苏无锡·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 题型二 一元二次方程的解法 答｜题｜模｜板 解一元二次方程一般步骤： 第一步：根据所给一元二次方程的结构特点判断适合用哪种方法； 第二步：如果采用公式法，将方程整理成一般式，正确找出的值； 第三步：求出根的判别式，根据判别式的正负判断方程是否有实数根； 第四步：如果根的判别式非负，说明方程有实数根，利用求根公式，求出方程的根；否则说明无解即可。 例如：解方程：； 解：，………………判断此方程适合用公式法或配方法，将方程整理成一般式 ∴8>0， ∴此方程有两个不相等的实数根， 即 ∴，； 【典例1】（25-26九年级上·江苏南通·期末）解方程： (1)； (2) 【变式1】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）解方程： (1)； (2) 【变式3】（24-25九年级上·江苏南京·期末）解方程： (1)； (2)． 【变式4】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）解方程： (1)； (2)． 题型三 利用一元二次方程根的判别式判断根的情况 答｜题｜模｜板 利用一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况的一般步骤如下： （1）先将方程整理成一般式，正确找出方程的 （2）将的值代入求出判别式的值； （3）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系得出方程根的情况： · 当时，方程有两个不相等的实数根； · 当时，方程有两个相等的实数根； · 当时，方程没有实数根． 易｜错｜点｜拨 利用一元二次方程根的判别式判断的情况易错点在于，求判别式之前一定要先将方程整理成一般式，然后再求判别式，判断根的情况，否则求出的判别式的值就是错误的，自然得到的结果很有可能也是错误的。 【典例1】（23-24九年级上·江苏南京·期末）一元二次方程（a是常数，）的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定有没有实数根 【变式1】（2025·江苏扬州·中考真题）关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【变式2】（2025·河南·中考真题）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【典例2】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）已知关于x 的方程：． (1)若该方程有一个根是3，求该方程的另一个根； (2)证明：无论k 取何值，该方程总有实数根． 【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知关于x的一元二次方程（k为常数）． (1)若方程的一个根为2，求k的值和方程的另一个根； (2)求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 题型四 根据一元二次方程根的情况求参数的取值范围 答｜题｜模｜板 如果已知一元二次方程根的情况，反过来求方程中所含参数的取值或范围通用解法如下： （1）先将方程整理成一般式，正确找出方程的 ，此处的 的值中至少有一个带有参数字母； （2）将的表达式代入求出判别式； （3）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系列出对应的不等式或方程； · 当方程有两个不相等的实数根时， ； · 当方程有两个相等的实数根时， ； · 当方程没有实数根时， ． （4）解出所列的不等式或方程，从而求出参数的值或者取值范围。 易｜错｜点｜拨 一元二次方程根的情况，反过来求方程中所含参数的取值或范围，这种类型问题最容易出错的地方就是忽略二次项系数不能为0这个隐含条件。 【典例1】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．且 D． 【变式1】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若关于的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出二个满足题意的的值为 ． 【变式3】（24-25九年级上·江苏常州·期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 【变式4】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 题型五 根据一元二次方程根与系数关系求代数式的值 答｜题｜模｜板 利用一元二次方程根与系数关系求一些代数式的值，通用解法如下： （1）先将一元二次方程整理成一般式，如（其中），两根分别为，； （2）根据，，求出两根之和，两根之积； （3）将所求代数式变形成包含，的形式； （4）将第（2）步中所求的，的值代入即可求出。 常用变形如下： ; ; 易｜错｜点｜拨 这种利用根与系数关系的问题，大部分错误都是出现在忘记将方程变成一般式就直接利用，，求出两根之和，两根之积，可想而知，结果肯定是错的，例如：方程，粗心大意的同学直接把当成2去计算，这种错误只要细心都可以避免掉。 【典例1】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若、是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A．3 B． C．5 D． 【变式1】（24-25九年级上·江苏南京·期末）下列一元二次方程中，两根之和是6的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知一元二次方程有两个实数根，则 ． 【变式3】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则 ． 【变式4】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）关于的方程的两根为、，则的值为 ． 题型六 一元二次方程的应用 答｜题｜模｜板 一元二次方程的应用题考查频率最高的就是增长率问题和图形面积问题，这种问题的解答方法如下： （1）审题：仔细审题，找出初始量和以相同增长率增长过两次之后的量各是多少（下降的情况类似）； （2）根据等量关系式：=变化两次之后的量，列出对应的方程； （3）解出方程，舍去不符合题意的结果； 不论是哪种涉及到一元二次方程应用的问题，解完方程后，一定要检验结果是否符合实际生活和题意！ 易｜错｜点｜拨 这种问题有一中情况出错率较高，就是题目所给条件不是连续两次增长后的结果，而是增长两次之后，包含第一次和第二次的总和，例如电影院的票房等问题，所以审题时一定要看清是否包含前几次的。 【典例1】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）我国经过多年坚持不懈地植树造林，到年底全国森林覆盖率为．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，继续大力发展植树造林，至年底全国森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽； (3)建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）有一块长，宽的矩形铁皮． (1)如图，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长． (2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，若想折出底面积为的有盖盒子，则裁剪下来的边角料面积为__________． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）若是关于的方程的一个根，则的值为（   ） A．2 B． C．6 D． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）用配方法解一元二次方程，此方程可化为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 4．（24-25九年级上·江苏南京·期末）解方程： (1)； (2)． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）已知：一元二次方程 (1)当方程的一个根为时，求出的值； (2)k取什么值时，此方程有两个不相等实数根． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）某社区为了解决停车难的问题，计划将一块矩形空地改建成一个小型停车场，其中阴影部分为停车位区域，其余部分均为宽度是x米的道路，如图所示，已知米，米，且停车区域(即阴影部分)的面积为880米，求道路的宽度x(米)． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为(　　) A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）若关于x的方程没有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的方程：． (1)若该方程有一个根是2，求的值； (2)证明：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 6．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）泰州蟹黄汤包享誉全国，某饭店销售旺季平均每天卖300份蟹黄汤包礼盒，卖出1份礼盒的利润是23元．如果每份礼盒的售价下降1元，那么平均每天多卖出20份． (1)如果每份礼盒的售价下降元，那么每份的利润为_____元，平均每天可卖出礼盒____份（结果用含的代数式表示）； (2)每份礼盒售价下降多少元时，该饭店每天获得的利润是6720元？ 7．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）如图，矩形中，，，动点P从点A出发，以每秒的速度向点B匀速移动，同时，点Q从点C出发，以每秒的速度向点D匀速移动，当其中一点到达终点时停止，同时另一点也随之停止移动． (1)经过多少时间时，四边形为矩形； (2)经过多少时间时，四边形的面积为； (3)经过多少时间时，点P和点Q之间的距离是． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，请说明理由； (2)已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 2．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）今年秋学期起，新吴区全面实行课间15分钟，各校充分利用走廊、平台、小广场、转角等“金角银边”，打造更多适合学生的运动空间．某校有一块长为21米、宽为10米的矩形小广场，计划在其中打造两块相同的运动区域，两块运动区域之间及周边留有宽度相等的人行通道，且人行通道的宽度不能超过3米． (1)如果两块运动区域的面积之和为，求人行通道的宽度； (2)能否改变人行通道的宽度，使得每块运动区域的宽与长之比等于，请说明理由． 4．（24-25九年级上·江苏南京·期末）矩形种植区域如图所示，米，米．现计划从中开垦出两个正方形区域用于种植青菜，其余区域种植胡萝卜，已知，胡萝卜种植区域的面积是原矩形区域面积的一半，设米． (1)______米（用含的代数式表示），______米； (2)求的长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程的概念 能准确判断一个方程是不是一元二次方程，能根据一元二次方程及其解的概念求所含参数的值； 基础常考点，常出现在选择题或填空题，求参数的值时，容易忘记考虑二次项系数不为0的隐藏条件。 一元二次方程的解法 理解配方法，能用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程； 必考点，一般为解答题的前两一题 一元二次方程根的判别式 会用根的判别式判断方程根的情况，会根据根的情况求参数的取值范围。 必考点，通常多为选择或填空题 一元二次方程根与系数关系 了解一元二次方程的根与系数的关系，会利用根与系数关系求相应代数式的值。 常考，一般为填空题 一元二次方程的应用 能利用一元二次方程解决生活中相关的实际问题，并能根据具体问题的实际意义，检验方程根的合理性。 必考点，一元二次方程的应用有两个常考的类型，一是增长率问题，多为选择题或填空题，二是面积问题，多为解答题。 知识点01 一元二次方程的概念 1.一元二次方程的概念 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 三个条件：①一个未知数；②最高次数为2次；③等号两边均为整式。 2.一元二次方程的一般形式：（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数． ·示例：例如、、等都是一元二次方程，但是类似方程，分母中含有未知数的方程不是一元二次方程，因为方程两边并不都是整式；像这种也不是，因为该方程含有两个未知数，属于二元方程。 ·易错点： 最易错的是，这个也不一定是一元二次方程，因为该式子中没有明确说明是否为0，当等于0时，该方程为一元一次方程。 知识点02 一元二次方程的解法 1．直接开平方法：适合于或形式的方程． 2．配方法： （1）整理成一般式，并化二次项系数为1； （2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项； （3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）把方程整理成的形式； （5）运用直接开平方法解方程． 3．公式法： （1）把方程化为一般形式，即； （2）确定的值； （3）求出的值，判断有解无解； （4）将的值代入求解即可． 4．因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或． 示例：一元二次方程的解法看似简单，其实，要想快速解对一元二次方程，必须熟练掌握以上四种方法，并且在解方程时正确选择合适的方法： 或，像这两种情况适合选用直接开平方法； 像这种直接给出的是一般式的样子，适合公式法； 像这种二次项系数为1，而一次项系数为偶数时，适合配方法； 或,像这样的方程方便因式分解的可以采用因式分解法去解。 ·易错点： 一元二次方程的解法中最易错的有三个地方： 其一：是直接利用直接开平方法时，很多同学都直接只写一个正根，例如：由直接得到，这是错误的，应该得到或。 其二：是使用公式法求一元二次方程的根时，忘记将方程变成一般式，就直接套公式求根； 例如由，直接使用求根公式，得到，此处错误在于方程中的应该是，因为将方程整理成一般式为：，所以. 其三：是使用一元二次方程求根公式前，忘记使用判别式判断方程有没有根，就直接使用公式求解，发现根号下是负数时，又涂改，这个很不好，应该先使用判别式判断根的情况后，确定有解，再使用公式去求其根。 知识点03 一元二次方程根的判别式 1.利用一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况： （1）根的判别式：一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式． （2）一元二次方程根的情况与判别式的关系 · 当时，方程有两个不相等的实数根； · 当时，方程有两个相等的实数根； · 当时，方程没有实数根． 示例：例如，要利用根的判别式判断方程根的情况，先求出判别式>0,方程有两个不相等的实数根。 ·易错点： 此处的易错点与方程的解法中一样，求一个一元二次方程的判别式之前一定要先将方程整理成一般式，然后再求判别式，判断根的情况。 另外，再根据方程根的情况求参数的取值范围时，不要忘记考虑二次项系数不为0这一条件！ 知识点04 一元二次方程根与系数关系（韦达定理） 根与系数关系： 设（其中为常数，），两根分别为，， 则，． 示例：例如方程的两根之和为，。 ·易错点： 使用一元二次方程根与系数关系解决问题易错点有两个：一是忘记将方程整理成一般式，错误判断各项系数；二是没有利用根的判别式判断根的情况就利用根与系数关系求解。 例如：该方程判别式,显然方程无实数根，如果直接使用根与系数关系求，就是错误的，切记！ 知识点05 一元二次方程的应用 一元二次方程的应用题常考问题类型有以下几种： 1.增长率问题 （1）增长率=增长量÷基础量．（2）设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则；当为平均下降率时，则有． 2.销售问题：（1）利润=售价－成本．（2）利润率=×100％． 3.图形面积问题：解出结果要重点检验，不要忘记舍去不符合题意的结果。 4.图形动点问题：这种类型通常要结合勾股定理或者根据面积关系列出一元二次方程，解出结果，检验，舍去不符合实际的答案。 题型一 一元二次方程的概念 解｜题｜技｜巧 根据一元二次方程的概念判断一个方程是不是一元二次方程，要注意观察三个条件： ①一个未知数；②最高次数为2次；③等号两边均为整式； 尤其是第三个条件最容易忘记，也是错误律最高的地方； 易｜错｜点｜拨 在选择题中遇到判断一个方程是不是一元二次方程时，错误最多的是，选项中如果出现类似于这样的 ，或者是的方程，很多同学认为这个是一元二次方程，其实是错的，因为第一个方程中没有明确说明是否为0，当等于0时，该方程为一元一次方程，如果在这个式子后面注明也是可以的。而第二个方程中分母中含有未知数，不符合等号两边都是整式的条件。 【典例1】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐项分析即可得解，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、2二元一次方程，故不是一元二次方程，不符合题意； B、是一元二次方程，符合题意； C、将整理为，是一元三次方程，不符合题意； D、是分式方程，不符合题意； 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，解题关键是熟练掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A、，方程有2个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； B、，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； C、，是一元二次方程，故符合题意； D、，未知数最高次为3，故不是一元二次方程，不符合题意， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）将一元二次方程化为一般形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，根据一元二次方程的一般式：，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【变式3】（23-24九年级上·江苏无锡·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】根据：“只含有一个未知数，且含有未知数的最高项的次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，进行判断即可． 【详解】解：A、，是二元一次方程，不符合题意； B、，含有2个未知数，不符合题意； C、，不是整式方程，不符合题意； D、，是一元二次方程，符合题意； 故选D． 【变式4】（23-24九年级上·江苏无锡·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程是一元二次方程进行判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、当时，方程为，不是一元二次方程，故该选项不合题意； 、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不合题意； 、方程中未知数的最高次数是，不是一元二次方程，故该选项不合题意； 、方程是一元二次方程，故该选项符合题意； 故选：． 题型二 一元二次方程的解法 答｜题｜模｜板 解一元二次方程一般步骤： 第一步：根据所给一元二次方程的结构特点判断适合用哪种方法； 第二步：如果采用公式法，将方程整理成一般式，正确找出的值； 第三步：求出根的判别式，根据判别式的正负判断方程是否有实数根； 第四步：如果根的判别式非负，说明方程有实数根，利用求根公式，求出方程的根；否则说明无解即可。 例如：解方程：； 解：，………………判断此方程适合用公式法或配方法，将方程整理成一般式 ∴8>0， ∴此方程有两个不相等的实数根， 即 ∴，； 【典例1】（25-26九年级上·江苏南通·期末）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，灵活运用这四种方法是解一元二次方程的关键． （1）运用配方法求解即可； （2）运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 原方程的解是，； （2）， ， ， ， 或， 原方程的解为，． 【变式1】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）用直接开方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， 或， ，； （2）解：， ， ， 或， ，． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）先把方程右边的部分移到左边，然后提取公因式分解因式，把一元二次方程化成一元一次方程，解方程即可； （2）先把常数项移到等号右边，然后利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得， 因式分解得， ∴或， ∴，； （2）解：， 整理得， 配方得，即， 开方得， ∴，． 【变式3】（24-25九年级上·江苏南京·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了一元二次方程—因式分解法以及一元二次方程—配方法，解题的关键是掌握提公因式法分解因式以及配方法． （1）提公因式法因式分解解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：． （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ． 【变式4】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）把常数移到右边，再利用配方法解答即可； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 题型三 利用一元二次方程根的判别式判断根的情况 答｜题｜模｜板 利用一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况的一般步骤如下： （1）先将方程整理成一般式，正确找出方程的 （2）将的值代入求出判别式的值； （3）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系得出方程根的情况： · 当时，方程有两个不相等的实数根； · 当时，方程有两个相等的实数根； · 当时，方程没有实数根． 易｜错｜点｜拨 利用一元二次方程根的判别式判断的情况易错点在于，求判别式之前一定要先将方程整理成一般式，然后再求判别式，判断根的情况，否则求出的判别式的值就是错误的，自然得到的结果很有可能也是错误的。 【典例1】（23-24九年级上·江苏南京·期末）一元二次方程（a是常数，）的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定有没有实数根 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查根的判别式，根据得判断即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 【变式1】（2025·江苏扬州·中考真题）关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况． 【详解】解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【变式2】（2025·河南·中考真题）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【典例2】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）已知关于x 的方程：． (1)若该方程有一个根是3，求该方程的另一个根； (2)证明：无论k 取何值，该方程总有实数根． 【答案】(1)0 (2)见解析 【知识点】由一元二次方程的解求参数、因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念，根的判别式，掌握相关知识是解题的关键． （1）把代入方程中得到关于的一元一次方程，解方程求出的值，再把的值代入原方程求出原方程的解即可； （2）根据根的判别式进行判断即可． 【详解】（1）解：∵方程有一个根是3， ∴， 解得：． ∴原方程为，即， 解得，． ∴该方程的另一个根为0； （2）∵ ∴， ∴无论取何值，该方程总有实数根． 【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知关于x的一元二次方程（k为常数）． (1)若方程的一个根为2，求k的值和方程的另一个根； (2)求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1)，另一根为0 (2)详见解析 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、由一元二次方程的解求参数、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，一元二次方程的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，先把代入方程，得，然后再把代入方程，求出，即可作答． （2）先求出，然后分析无论k取何值，，即可作答． 【详解】（1）解：把代入方程， 得 ∴； 把代入方程， 得， ∴， 即，另一根为0； （2）解：∵， ∴， ∵无论k取何值，， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根． 题型四 根据一元二次方程根的情况求参数的取值范围 答｜题｜模｜板 如果已知一元二次方程根的情况，反过来求方程中所含参数的取值或范围通用解法如下： （1）先将方程整理成一般式，正确找出方程的 ，此处的 的值中至少有一个带有参数字母； （2）将的表达式代入求出判别式； （3）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系列出对应的不等式或方程； · 当方程有两个不相等的实数根时， ； · 当方程有两个相等的实数根时， ； · 当方程没有实数根时， ． （4）解出所列的不等式或方程，从而求出参数的值或者取值范围。 易｜错｜点｜拨 一元二次方程根的情况，反过来求方程中所含参数的取值或范围，这种类型问题最容易出错的地方就是忽略二次项系数不能为0这个隐含条件。 【典例1】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．且 D． 【答案】A 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了根的判别式，对k是否为零进行分类讨论及熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．需要讨论方程是否为二次方程，当时，方程变为一次方程，有实根；当时，利用判别式求范围． 【详解】解：∵ 方程有实数根， 当时，方程为， 解得，有实根； 当时，方程为一元二次方程，判别式， ∴ ，即； 综上，． 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若关于的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程没有实数根，得到判别式小于，即可求解，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出二个满足题意的的值为 ． 【答案】，（答案不唯一） 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，由一元二次方程有两个不相等的实数根得到，求出k的取值范围，再在范围内取值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴可以取值，， 故答案为：，1（答案不唯一）． 【变式3】（24-25九年级上·江苏常州·期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】2 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根．先计算根的判别式的意义得到，然后解关于k的一次方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得， 故答案为：2． 【变式4】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 题型五 根据一元二次方程根与系数关系求代数式的值 答｜题｜模｜板 利用一元二次方程根与系数关系求一些代数式的值，通用解法如下： （1）先将一元二次方程整理成一般式，如（其中），两根分别为，； （2）根据，，求出两根之和，两根之积； （3）将所求代数式变形成包含，的形式； （4）将第（2）步中所求的，的值代入即可求出。 常用变形如下： ; ; 易｜错｜点｜拨 这种利用根与系数关系的问题，大部分错误都是出现在忘记将方程变成一般式就直接利用，，求出两根之和，两根之积，可想而知，结果肯定是错的，例如：方程，粗心大意的同学直接把当成2去计算，这种错误只要细心都可以避免掉。 【典例1】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若、是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由此即可得解． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴， 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·江苏南京·期末）下列一元二次方程中，两根之和是6的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系解答即可．本题考查一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于，两根之积等于，解题的关键是理解熟记以上知识点． 【详解】解：由题意可知： A. ，两根之和为；故不符合题意； B. ，两根之和为；故符合题意； C. ，两根之和为；故不符合题意； D. ，两根之和为；故不符合题意． 故选：B 【变式2】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知一元二次方程有两个实数根，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，两根之和等于、两根之积等于．根据一元二次方程根和系数的关系即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程得两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式4】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）关于的方程的两根为、，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查根与系数关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握整体代入的思想解决问题．由方程的两根为、，可得，利用整体代入的思想解决问题． 【详解】解：∵的方程的两根为、， ∴， ∴ ． 故答案为： 题型六 一元二次方程的应用 答｜题｜模｜板 一元二次方程的应用题考查频率最高的就是增长率问题和图形面积问题，这种问题的解答方法如下： （1）审题：仔细审题，找出初始量和以相同增长率增长过两次之后的量各是多少（下降的情况类似）； （2）根据等量关系式：=变化两次之后的量，列出对应的方程； （3）解出方程，舍去不符合题意的结果； 不论是哪种涉及到一元二次方程应用的问题，解完方程后，一定要检验结果是否符合实际生活和题意！ 易｜错｜点｜拨 这种问题有一中情况出错率较高，就是题目所给条件不是连续两次增长后的结果，而是增长两次之后，包含第一次和第二次的总和，例如电影院的票房等问题，所以审题时一定要看清是否包含前几次的。 【典例1】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）我国经过多年坚持不懈地植树造林，到年底全国森林覆盖率为．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，继续大力发展植树造林，至年底全国森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这两年森林覆盖率的年平均增长率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设这两年森林覆盖率的年平均增长率为， 由题意得， 故选：． 【典例2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽； (3)建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)宽为5米，长为米 (3)不能，理由见解析 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、列代数式、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意列出代数式即可． （2）根据花圃的面积刚好为平方米，结合题意可列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． （3）设花圃的一边长为米，则，根据花圃的面积为平方米，列出一元二次方程，然后由根的判别式，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵长方形花圃的宽长为米， ∴另一边的长为米， 故答案为：； （2）解：∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， ∵墙的最大可用长度为米， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：此时花圃的长与宽边分别为米和5米； （3）解：建成花圃的面积不可能为平方米，理由如下： 设花圃的一边长为米， 则， 根据题意可得：， 整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴建成花圃的面积不可能为平方米． 【变式1】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）由题意得,，则，再由勾股定理得出关于的一元二次方程，计算即可得解； （2）根据题意得出关于的一元二次方程，计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意得：,，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：（不符合题意，舍去），； 当秒时，的长度等于； （2）解：存在秒，能够使得五边形的面积等于．理由如下： 由题意可得：矩形的面积是：，， ∵使得五边形的面积等于， ∴的面积为， ∴， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 即当秒时，使得五边形的面积等于． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）有一块长，宽的矩形铁皮． (1)如图，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长． (2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，若想折出底面积为的有盖盒子，则裁剪下来的边角料面积为__________． 【答案】(1)截去的小正方形的边长； (2)． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据长方形的面积公式列一元二次方程求出边长． 设正方形的边长为，根据长方体盒子的底面积为，列一元二次方程求解，要把不符合题意的解舍去； 设左侧阴影正方形的边长为，根据盒子的底面积为为，列一元二次方程求出阴影正方形的边长，再求出盒子底面的长和宽，从而可以求出右侧阴影长方形的长，根据长方形的面积公式求出边角料的面积． 【详解】（1）解：设正方形的边长为， 根据题意可得：， 整理得：， 分解因式得：， 解得：，(舍去)， 答：裁去的正方形的边长为； （2）解：设左侧阴影正方形的边长为， 根据题意可得：， 整理得：， 分解因式得：， 解得：，(舍去)， 盒子的底面宽为，长为， 右侧阴影长方形的长为， 裁剪下来的边角料面积为， 故答案为：． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）若是关于的方程的一个根，则的值为（   ） A．2 B． C．6 D． 【答案】A 【知识点】由一元二次方程的解求参数、一元二次方程的定义 【分析】本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键．将代入，再求解即可． 【详解】解：由题意得，将代入， 得， 解得：， 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）用配方法解一元二次方程，此方程可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【详解】解：， ， ，即， 故选：B． 3．（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．通过计算判别式并分析其符号即可确定根的情况． 【详解】解：对于方程，其判别式为： 由于，则，因此． 故判别式恒为负数，方程无实数根， 故选：C． 4．（24-25九年级上·江苏南京·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程－公式法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， ，； （2）解：， ， ， ∴，． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）已知：一元二次方程 (1)当方程的一个根为时，求出的值； (2)k取什么值时，此方程有两个不相等实数根． 【答案】(1) (2)时，此方程有两个不相等的实数根 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式；理解方程的解，掌握根的判别式：“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程有无的实数根．”是解题的关键． （1）将代入方程，即可求解； （2）由根的判别式得，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得, 解得：． （2）∵，，， ∴ ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴时，此方程有两个不相等的实数根 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）某社区为了解决停车难的问题，计划将一块矩形空地改建成一个小型停车场，其中阴影部分为停车位区域，其余部分均为宽度是x米的道路，如图所示，已知米，米，且停车区域(即阴影部分)的面积为880米，求道路的宽度x(米)． 【答案】6米 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 根据阴影部分的面积相等列出方程，求出解即可． 【详解】解：宽度是x米的道路，根据题意，得 ， 解得（舍去）． 所以道路的宽度是6米． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，由一元二次方程有实数根可得，解不等式即可. 【详解】∵， 解得：， 故选：D． 4．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）若关于x的方程没有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一元一次不等式的解集、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解不等式，掌握当一元二次方程根的判别式小于零时，该方程没有实数根是解答本题的关键． 先把方程化成一般式，然后再运用根的判别式，列不等式求解即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的方程没有实数根， ∴， 即， 解得：． 故选：D． 5．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的方程：． (1)若该方程有一个根是2，求的值； (2)证明：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，解题的关键是掌握学会用转化的思想解决问题． （1）根据方程解的定义，将代入方程，得到关于的一元一次方程，解方程求解即可； （2）证明即可． 【详解】（1）解：∵方程：的一个根为2， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∵， ∴， ∴该方程总有两个不相等的实数根． 6．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）泰州蟹黄汤包享誉全国，某饭店销售旺季平均每天卖300份蟹黄汤包礼盒，卖出1份礼盒的利润是23元．如果每份礼盒的售价下降1元，那么平均每天多卖出20份． (1)如果每份礼盒的售价下降元，那么每份的利润为_____元，平均每天可卖出礼盒____份（结果用含的代数式表示）； (2)每份礼盒售价下降多少元时，该饭店每天获得的利润是6720元？ 【答案】(1)， (2)每份礼盒售价下降9元时，该饭店每天获得的利润为6720元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意列式即可； （2）设每份礼盒售价下降x元时，根据题意得到方程，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：每份礼盒的售价下降元，那么每份的利润为元， 平均每天可卖出礼盒份； （2）解：设每份礼盒售价下降x元， 根据题意可得：， 解得：（负值舍去） 故每份礼盒售价下降9元时，该饭店每天获得的利润为6720元． 7．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）如图，矩形中，，，动点P从点A出发，以每秒的速度向点B匀速移动，同时，点Q从点C出发，以每秒的速度向点D匀速移动，当其中一点到达终点时停止，同时另一点也随之停止移动． (1)经过多少时间时，四边形为矩形； (2)经过多少时间时，四边形的面积为； (3)经过多少时间时，点P和点Q之间的距离是． 【答案】(1)当时，四边形为矩形； (2)当t为5时，四边形的面积为． (3)当t为或时，点P和点Q的距离为 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、几何问题(一元一次方程的应用)、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含t的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）当运动时间为t s时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值； （3）过点Q作于点E，则，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，，，． 依题意得：， 解得：． 答：当时，四边形为矩形； （2）解：依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：当t为5时，四边形的面积为． （3）解：过点Q作于点E，则，如图所示． 依题意得：， 即， 解得，． 答：当t为或时，点P和点Q的距离为． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，请说明理由； (2)已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)是“黄金方程”，理由见解析 (2)的最小值为． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、配方法的应用 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解黄金方程解的定义． （1）求出方程的解，根据黄金方程的定义判断即可； （2）利用配方法，非负数的性质求解． 【详解】（1）解：是“黄金方程”，理由如下： ∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵， ∴一元二次方程是“黄金方程”； （2）解：∵关于x的一元二次方程是“黄金方程”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 2．（（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可； （2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可． 【详解】（1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）今年秋学期起，新吴区全面实行课间15分钟，各校充分利用走廊、平台、小广场、转角等“金角银边”，打造更多适合学生的运动空间．某校有一块长为21米、宽为10米的矩形小广场，计划在其中打造两块相同的运动区域，两块运动区域之间及周边留有宽度相等的人行通道，且人行通道的宽度不能超过3米． (1)如果两块运动区域的面积之和为，求人行通道的宽度； (2)能否改变人行通道的宽度，使得每块运动区域的宽与长之比等于，请说明理由． 【答案】(1)2米 (2)不能，理由见解析 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、分式方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设人行通道的宽度为米，根据图形中的面积关系建立方程，解方程求出的值，再根据人行通道的宽度不能超过3米即可得出答案； （2）设当人行通道的宽度为米时，每块运动区域的宽与长之比等于，先求出每块运动区域的宽与长，再建立分式方程，解方程求出的值，然后根据人行通道的宽度不能超过3米即可得出答案． 【详解】（1）解：设人行通道的宽度为米， 由题意得：， 整理得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：人行通道的宽度为2米． （2）解：设当人行通道的宽度为米时，每块运动区域的宽与长之比等于， 则每块运动区域的两条边长分别为，， ∵， ∴， ∴每块运动区域的长为，宽为， 则， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 因为人行通道的宽度不能超过3米，且， 所以不能改变人行通道的宽度，使得每块运动区域的宽与长之比等于． 4．（24-25九年级上·江苏南京·期末）矩形种植区域如图所示，米，米．现计划从中开垦出两个正方形区域用于种植青菜，其余区域种植胡萝卜，已知，胡萝卜种植区域的面积是原矩形区域面积的一半，设米． (1)______米（用含的代数式表示），______米； (2)求的长． 【答案】(1)，25 (2)米 【知识点】列代数式、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式，解题的关键是： （1）根据线段的和差即可得出米，根据计划从中开垦出两个正方形区域用于种植青菜，，可得米； （2）根据胡萝卜种植区域的面积是原矩形区域面积的一半，列方程即可求得DF的长． 【详解】（1）解：∵计划从矩形种植区域开垦出两个正方形区域用于种植青菜，，米． ∴米，米，， ∴米，（米）， 故答案为：，25； （2）解：由题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴米． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $