专题03 二次函数（期末复习讲义）九年级数学上学期苏科版

该初中数学二次函数期末复习讲义通过核心考点表格系统构建知识体系，将概念识别、图象性质、平移规律等要点按“基础概念-性质应用-综合拓展”递进组织，用对比表格呈现开口方向、最值等性质差异，清晰呈现重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与解题技巧指导，如“用二次函数解决销售问题”专题通过典例归纳“建立模型-求最值”步骤，培养模型意识与运算能力，综合题结合几何图形存在性问题，提升推理意识。基础通关练夯实基础，重难突破练针对压轴题，助力教师实施分层教学，学生自主复习效率高。

专题03 二次函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次函数的概念与识别 理解二次函数的概念，能根据概念正确识别二次函数的表达式。 基础常考点，常出现在期末考试的选择题中； 图象和性质 会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为的形式，能由此得出二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，得出二次函数的最大值或最小值. 必考点，一般位于选择题前两三题 图象和性质 会根据函数解析式求出图象的顶点坐标，判断出图象的开口方向，知道出图象的对称轴，求出二次函数的最大值或最小值. 必考点，各种题型均会涉及到；选择题和填空题的难度较容易，但解答题的难度通常综合性较强，难度较大。 二次函数图象的平移 理解二次函数图象平移的规律，能写出平移后的函数解析式，顶点坐标，对称轴，最值等。 常考，一般为选择、填空题 二次函数与一元二次方程 知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 常考考点，一般为选择或填空题，难度一般。 用二次函数解决实际问题 会通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式，利用二次函数的性质解决简单的实际问题。 必考考点，多为解答题，难度中等，类型主要是销售问题，图形面积问题，拱桥问题等 二次函数与几何图形的综合 能解决二次函数与三角形、特殊四边形、圆等综合的相关问题。 必考题型，基本上都是综合解答题，难度较大，通常为压轴题。 知识点01 二次函数的概念和三种形式 1、二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数． 2、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：（为常数，）． （2）顶点式：（为常数，），顶点坐标是（）． （3）两根式：，其中是二次函数与x轴的交点的横坐标，． 知识点02 二次函数的图象及性质 解析式 二次函数 对称轴 顶点 （，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小 当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大当x>–时，y随x的增大而减小 知识点03 二次函数图象（抛物线）的平移 平移方法：上加下减，左加右减。 知识点04 二次函数与一元二次方程的关系 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y＝0时，就变成了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）． 2．ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3．（1）b2–4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac＜0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 总之，抛物线与横轴交点的个数与对应一元二次方程解的个数是相同的。 知识点05 二次函数的应用题常见类型 1. 常见类型：（1）销售问题；（2）拱桥问题；（3）图形面积问题；（4）喷泉问题等。 2. 解题步骤： （1）审题； （2）设变量和解析式； （3）待定系数法求解析式； （4）利用二次函数性质解决问题； （5）写答案。 3．二次函数与几何图形综合问题类型：面积最值问题； 2．角度问题；3．特殊三角形存在性问题；4．特殊四边形存在性问题等等。 题型一 二次函数的识别 解｜题｜技｜巧 二次函数的识别就是对二次函数概念及其三种形式的考查，理解清楚二次函数的概念是解题的关键。 重点关注二次项系数及分母中是否含有变量，如果表达式中含有分母，而且分母中有自变量，那么该函数就不是二次函数，还有一个容易被同学忽略的就是二次项系数不能为0，如果二次项系数含有字母，使得它为0，那么该函数就变成了一次函数。 易｜错｜点｜拨 识别二次函数主要关注二次项系数是否有可能等于0，另外就是分母中是否变量，这是最易被忽视的。 【典例1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）下列函数属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 题型二 二次函数的图象与性质综合判断 解｜题｜技｜巧 期末考试或者中考数学试题中，常常会有这样一类题型，就是给一个二次函数的表达式或者图象或者表格，让我们判断所给说法是否正确，这种问题通常会涉及到二次函数的图象和性质的四个方面：一是顶点坐标，二是增减性；三是最值情况；四是与一元二次方程的关系或平移等其他性质，所以熟练掌握二次函数的各种性质是至关重要的。 易｜错｜点｜拨 关于二次函数图象与性质的判断，根据条件所给形式，通常有三种情况，一种形式是给出二次函数解析式；二是给出二次函数的图象，三是以表格形式给出，后两种是最能考查能力的，此处学生最易犯的错误是根据表格所给数据判断抛物线的开口方向错误，实际上只要看函数 的取值变化情况就可以轻松判断，当的值先变大再变小，那就是开口向下；当的值先变小再变大，那就是开口向上； 【典例1】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知二次函数的与的部分对应值如下表，那么下列判断中错误的是（    ） ．．． 1 2 3 4 ．．． ．．． ．．． A．该函数图像的顶点坐标是 B．当时，随着的增大而增大 C．当时， D．该函数图像与轴交于正半轴 【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④若，则，其中正确结论为（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数，在取不同值的情况下，部分函数值与的对应关系如下表：则下列结论： b … 0 2 4 … x … * 4 0 … y … * 0 0 8 … ①当时，有最小值；②无论取何值，二次函数的图像始终经过一个定点；③所有的最大值中，有最小值；④当时，的值始终为负数．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 题型三 图象和性质 解｜题｜技｜巧 二次函数这种形式是最方便的，可以很容易看出二次函数的所有性质，及图象的位置，但很多同学容易搞错，就是当形式变成的时候，容易把顶点坐标和对称轴搞错符号，这一点要注意。 易｜错｜点｜拨 注意二次函数与的顶点坐标和对称轴是不同的。 【典例1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）关于二次函数的图像与性质，下列说法正确的是（   ） A．抛物线开口向下 B．抛物线的顶点坐标是 C．该函数有最大值，最大值是3 D．当时，y随x的增大而减小 【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数有最大值是 D．函数有最小值是 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A．图象经过原点 B．图象的顶点坐标为 C．图象与x轴无公共点 D．图象与y轴的交点坐标为 题型四 图象和性质 解｜题｜技｜巧 的图象和性质的研究必须转化成形式才可以，转化方法有两种： 方法一：配方法，配方的过程类似与一元二次方程的配方法； 方法二：直接求出顶点坐标公式求出和,这样就可以写出形式了。 易｜错｜点｜拨 利用配方法将 转换成时，配方是计算量比较大的，尤其是含有分数或无理数时，计算时要细心，或者直接利用方法二计算也可以。 【典例1】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且经过，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③点在抛物线上，则；④点在抛物线上且，则，正确结论的序号是 ． 【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知，，是抛物线上的点，则(   ) A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知函数是常数，且图象经过，三点．下列结论：①；②如果，那么；③如果，那么．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【典例2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知二次函数，的解集为，且当时，函数最大值与最小值的差为2，则的值为 ． 【变式1】（24-25九年级上·江苏南京·期末）若点，在二次函数为常数，且的图象上，则a ．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【变式2】15．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数（为常数，且）． (1)该函数的图象必经过两个定点______， _____； (2)若该函数图象与轴只有一个交点，求函数图象的顶点坐标； (3)若点都在该函数图象上，且，直接写出的取值范围． 题型五 二次函数图象的平移 解｜题｜技｜巧 抛物线的平移规律：上加下减，左加右减，利用抛物线的平移规律可以很好的理解二次函数各种形式之间的关系，如下图所示： 易｜错｜点｜拨 抛物线的平移问题通常都是小题，难度一般，但是要注意细心审题，注意看清“由谁得到谁”，弄清楚平移的方向，这一点是比较容易搞错的。 【典例1】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·江苏连云港·期末）将二次函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数的图象经过点，则函数的图象经过的定点坐标为 ． 题型六 二次函数与一元二次方程 解｜题｜技｜巧 首先要理解清楚二次函数与一元二次方程的关系，如下图所示： ax2＋bx＋c＝0 一元二次方程 y＝ax2＋bx＋c 二次函数 令y＝0 其次，要明白ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解与二次函数图象之间的关系： ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 第三，在以上两点基础上，就可以明白下面为什么可以利用一元二次方程根的判别式来判断抛物线与横轴交点的个数了，反之，也可以利用抛物线与横轴交点的个数来判断对应方程根的个数，这两者是相同的。 【典例1】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴为，则下列结论：①，②，③，④，⑤（其中n为任意实数）．中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【变式1】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）二次函数（，，是常数，且）的图象的顶点坐标为，且与轴的两个交点位于原点两侧，则，，中为正数的（   ） A．只有 B．只有 C．只有 D．均为正数 【变式2】（24-25九年级上·江苏南通·期末）下表给出了二次函数中的部分对应值，可以估计方程的一个解的取值范围是（   ） … … … … A． B． C． D． 题型七 用二次函数解决实际问题 解｜题｜技｜巧 二次函数的实际应用种类较多，但期末考试常考的有：销售问题，图形面积问题，拱桥问题，喷泉问题等，其中考的频率最高的还是销售问题，求最大利润问题等。 利用二次函数解决此类问题的一般步骤如下： 1. 建立函数关系：明确利润、单价和销售量之间的关系，通常可以用“总利润 = 总售价总成本”或“总利润 = 单件利润 × 销售量”来建立二次函数的解析式。  2. 确定自变量范围：结合实际情况，确定自变量（如价格或销售量）的取值范围，以确保计算的结果在合理范围内。  3. 求解最大利润：在自变量的取值范围内，利用二次函数的性质（如顶点式）来求出最大值或最小值。  4. 检查结果：确保求得的最大值或最小值对应的自变量值在自变量的取值范围内，以确保结果的实际意义。  易｜错｜点｜拨 利用二次函数解决销售问题中的最大利润问题，最易出错的地方是第2步，忘了确定自变量的取值范围，导致计算最大值或最小值出现错误，切记，只要利用函数解决现实生活中的问题，必须求出自变量的取值范围，确保自变量的取值符合实际生活和题目意义。 【典例1】（24-25九年级下·江苏徐州·期末）一名批发商经销某产品，该产品的成本为20元/千克，物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元．销售过程中发现该产品的销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如表： 售价x（元/千克） … 50 60 70 80 … 销售量y（千克） … 100 90 80 70 … (1)求y与x的函数表达式； (2)该批发商若要获得4000元的利润，应将售价定为多少？ (3)该产品每千克售价为多少元时，该批发商获得的利润w（元）最大？求最大利润． 【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）农户销售某农产品，经市场调查发现：若售价为元/千克，日销售量为千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设日销售量为千克，售价为元/千克（且为正整数）， (1)求与之间的函数关系式； (2)若政府将销售价格定为不超过元/千克．设每日销售额元，求关于的函数表达式，并求的最大值和最小值； (3)市政府每日给农户补贴元后（为正整数），发现最大日收入（日收入=销售额+政府补贴）还是不超过元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于元，请直接写出所有符合题意的值： ． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）某种纪念品的成本价为每件10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为20元时，每天可售出600件，销售单价每上涨1元，每天销售量就减少20件．设每天的销售量为y（件），销售单价为x（元件）． (1)直接写出y关于x之间的函数关系式； (2)若销售该纪念品每天的利润为6720元，求该纪念品的销售单价； (3)若商家决定，每销售一件纪念品就捐赠a元（）给慈善机构，当每天销售最大利润为6400元时，求a的值． 【典例2】（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，利用的墙角修建一个梯形的储料场，已知新建墙的总长为，．设的长为，储料场的面积为． (1)求关于的函数表达式． (2)当取何值时，储料场的面积为？ (3)该储料场的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25九年级下·江苏南京·期末）如图，在一块空地上有一段长为米的旧墙，现在利用旧墙一部分（不超过）和100米长的木栏围成一个矩形菜园． (1)若，求矩形菜园面积的最大值； (2)若木栏增加米，矩形菜园面积的最大值为2800米，则的值为_____． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的二边靠墙，另三边一共用了米木栏． (1)为尽可能利用旧墙使所围成的矩形菜园的面积为平方米，求所利用旧墙的长； (2)怎样围可使围出的矩形菜园面积最大？请予以解答说明． 【典例3】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，河上有一座抛物线形的拱桥，水面宽时，水面离桥拱顶部，因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少米？（结果保留根号） 【变式1】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，南京长江四桥是中国首座三跨吊悬索桥，该索桥的主体部分由两座高度相同的索塔，三条缆索，，，以及连接缆索与桥面的吊杆组成．缆索，，的形状均近似是抛物线，索塔、吊杆均与桥面垂直．以O为原点，桥面所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．测得索塔，桥面，锚碇D到索塔的距离，缆索的最低点P到桥面的距离为． (1)求缆索所在抛物线的表达式； (2)同一直角坐标系中，缆索所在抛物线的表达式为． ①求b，c的值； ②为了加固桥梁，计划在索塔左、右两侧各安装一根吊杆，且两根吊杆之间的距离为要使两根吊杆的长度之和最小，如何确定两根吊杆的安装位置？请直接写出在索塔左侧需安装的吊杆与之间的距离． 【变式2】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，当水面宽时，水面距桥孔顶部．因降暴雨水位上升了到达位置．建立平面直角坐标系，如图1所示． (1)求此时水面的宽度（结果保留根号）； (2)一艘装满物资的小船，露出水面的高为，宽为（横断面如图2所示）．暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗？请说明理由． 题型八 二次函数与几何图形的综合 解｜题｜技｜巧 二次函数与几何图形的综合问题种类较多，大致可以分为以下几类： 类型一：二次函数与面积、长度最值相关问题； 类型二：二次函数与角度的存在性问题； 类型三： 方法点拨： 在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解． 【典例1】二次函数与图形面积问题 （24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，直线上方抛物线上是否存在点M，使得的面积等于3，若存在，写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． (3)P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），如图2，若点P在直线上方，连接交于点D，记，的面积分别为，，求的最大值． 【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）抛物线与 x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点， 点 P 是第四象限内抛物线上的一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，连接，设的面积为S，求S 的最大值，并求出此时点P 的坐标； (3)如图2，当的面积最大时，过P 作轴于点D， 交直线于 点E． 点， 连接 并延长交直线于点M， 点 N 是x轴上方抛物线上的一点，x 轴上是否存在一点Q，使得以F，M，N，Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在， 请说明理由． 【变式2】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）综合与探究：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，动点P 在直线上方的抛物线上，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，过原点0作直线I交抛物线于E、F两点，点E的横坐标为e，点F的横坐标为f，求证：是一个定值． 【典例2】二次函数与角度相关问题 （24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，过作轴，交直线于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标； (3)抛物线上是否存在点，使．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2025·江苏常州·三模）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． (1)求抛物线与直线l的函数表达式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接、，求当面积最大值时点P的坐标及该面积的最大值； (3)若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标． 【变式2】（2025·江苏徐州·模拟预测）在平面直角坐标系中中，二次函数的图象与轴交于点、（在的左侧），与轴交于点，其顶点的横坐标是． (1) ________， ________； (2)已知一次函数（k为常数）的图象为直线，直线与x轴交于点． ①连接，若，求的取值范围； ②当直线与该抛物线有且只有一个公共点时，在该抛物线上是否存在点，使得直线与所夹的锐角是的2倍？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【典例3】二次函数与特殊三角形相关问题 （2025·江苏徐州·模拟预测）如图（1），抛物线与轴交于，两点，与轴交于，顶点． (1)写出抛物线的解析式，点，点的坐标； (2)连接，在上方的抛物线上是否存在点使面积最大，若存在，求面积的最大值，若不存在请说明理由； (3)直线交抛物线于点，（点在点的右边），交直线于点，若，求的值； (4)如图（2），点是抛物线对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是直角三角形时，的值为______． 【变式1】（2025·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整数点”．抛物线（a为常数且）与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点P． (1)若，则抛物线的顶点坐标为_______，抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”共有_______个； (2)如图①，连接、、，若是直角三角形，求a的值； (3)若抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”恰好有8个，请直接写出a的取值范围． 【变式2】（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）的对称轴为直线，且经过点，该抛物线与x轴的负半轴交于点B． (1)此抛物线对应的函数表达式； (2)点P是抛物线上的一点，当的面积为某一值时，符合该值的点P恰好有三个，求对应点P的横坐标； (3)点M为抛物线对称轴上一点，点N为抛物线上一点，若是以为斜边的等腰直角三角形，直接写出点N的坐标． 【典例4】二次函数与特殊四边形相关问题 （24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线=1上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知二次函数（m为常数，且）． (1)当时，求该二次函数的图象的顶点坐标； (2)直线与该二次函数的图象交于两点，若当时，有，求b的取值范围； (3)顺次连接， ，，，得到矩形，若该二次函数的图象与矩形有三个公共点，请直接写出m的取值范围． 【变式2】（2025·江苏苏州·二模）如图，二次函数的图象与轴交于点，点在轴的正半轴上，以为边在第一象限作矩形． (1)点的坐标为___________； (2)若点在该函数的图象上，且矩形的长宽之比为，求点的坐标； (3)若矩形的面积为10，则的最大值是___________． 【典例5】二次函数与定值相关问题 （24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，直线，且与抛物线交于，两点． (1)求抛物线和直线的函数表达式； (2)设点，的横坐标分别为，，试判断的值是否会改变？若不变，求出该值；若改变，请说明理由； (3)若直线在直线上方运动，交点在点的左侧．作直线与交于点，如图2所示．在直线运动的过程中，试说明：点的横坐标是一个定值． 【变式1】（2025·江苏连云港·一模）已知抛物线（为常数，）经过点，函数图像与轴交于点，（在的左边），其对称轴与轴相交于点． (1)求的值； (2)为轴上方抛物线上的动点，过点作直线，，分别交抛物线的对称轴于点，．点在运动过程中，的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)已知坐标系中有一直线，点为抛物线上任意一点，点为直线上任意一点，如果，两点间的距离的最小值大于2，求的取值范围． 【变式2】（2025·江苏宿迁·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴于、两点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，连接，点在直线上方的抛物线上，过点作的垂线交于点，作轴的平行线交于点．若，求点的坐标； (3)直线与抛物线交于、两点（点在点左侧），直线与直线的交点为，的面积是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． 期末基础通关练（测试时间：30分钟） 1．（24-25九年级上·江苏南京·期末）下列函数中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数的图象经过点，则代数式有（ ） A．最小值 B．最小值2 C．最大值 D．最大值2 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）将二次函数的图象向下平移3个单位长度所得图象的解析式为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．有最小值 D．顶点坐标是 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）请用一般式写出一个二次函数的表达式 ，使它满足以下两个条件：①图象经过原点，②函数的最小值为． 7．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知点，在抛物线上．若， 则 0．（用“”或“”连接） 8．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数，，，为抛物线上的点，若，则m的取值范围是 ． 9．（24-25九年级上·江苏南京·期末）二次函数 是常数，且的图象如图所示，则关于的不等式的解集是 ． 10．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）已知抛物线 (为常数，且)上两点，，当时，恒成立，则t的取值范围是 ． 11．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）对于二次函数的图像，下列说法正确的是（   ） A．开口向下 B．顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．与x轴有两个交点 12．（24-25九年级上·江苏南通·期中）将抛物线向下平移()个单位长度，关于平移前后的抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口大小改变 B．开口方向改变 C．顶点位置不变 D．对称轴不变 期末重难突破练（测试时间：30分钟） 1．（24-25九年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，连接，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知平面直角坐标系中，点为抛物线上一点．当时，点关于轴的对称点始终在直线的上方，则的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·江苏常州·期末）已知二次函数的图像如图所示，交轴于点、两点，若该函数在的范围内有最小值为，最大值为12，则的取值范围是 ． 4．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）某汽车出租公司每辆汽车月租费为3000元时，100辆汽车可以全部租出，若每辆汽车的月租费每增加50元，则将少租出1辆汽车，已知每辆租出的汽车支付月维护费200元． (1)每辆汽车月租费为3500元时，则该出租公司可以租出______辆汽车； (2)每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 5．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知二次函数（其中为常数）． (1)若该函数图像经过点和，求的值； (2)若，判断二次函数的图像与轴公共点的个数，并说明理由； (3)若点都在二次函数的图像上，试比较的大小． 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 1．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，已知抛物线，顶点为点P，与轴交于点B、A，与y轴交于点． (1)则点A坐标为 ；B坐标为 ； (2)求的面积； (3)点是直线上方抛物线上的点（不与P重合），是否存在点D，使得和面积相等？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由？ 2．（2025·江苏常州·三模）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C． (1)填空： ___________， ___________； (2)当时，函数的最大值是5，直接写出t的值是___________； (3)点C关于抛物线对称轴对称的点为E，过E作轴于F，点P为抛物线上一点，且点P在抛物线对称轴左侧，过P作轴于M，交直线于点N．若，求点P的坐标． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次函数的概念与识别 理解二次函数的概念，能根据概念正确识别二次函数的表达式。 基础常考点，常出现在期末考试的选择题中； 图象和性质 会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为的形式，能由此得出二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，得出二次函数的最大值或最小值. 必考点，一般位于选择题前两三题 图象和性质 会根据函数解析式求出图象的顶点坐标，判断出图象的开口方向，知道出图象的对称轴，求出二次函数的最大值或最小值. 必考点，各种题型均会涉及到；选择题和填空题的难度较容易，但解答题的难度通常综合性较强，难度较大。 二次函数图象的平移 理解二次函数图象平移的规律，能写出平移后的函数解析式，顶点坐标，对称轴，最值等。 常考，一般为选择、填空题 二次函数与一元二次方程 知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 常考考点，一般为选择或填空题，难度一般。 用二次函数解决实际问题 会通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式，利用二次函数的性质解决简单的实际问题。 必考考点，多为解答题，难度中等，类型主要是销售问题，图形面积问题，拱桥问题等 二次函数与几何图形的综合 能解决二次函数与三角形、特殊四边形、圆等综合的相关问题。 必考题型，基本上都是综合解答题，难度较大，通常为压轴题。 知识点01 二次函数的概念和三种形式 1、二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数． 2、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：（为常数，）． （2）顶点式：（为常数，），顶点坐标是（）． （3）两根式：，其中是二次函数与x轴的交点的横坐标，． 知识点02 二次函数的图象及性质 解析式 二次函数 对称轴 顶点 （，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小 当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大当x>–时，y随x的增大而减小 知识点03 二次函数图象（抛物线）的平移 平移方法：上加下减，左加右减。 知识点04 二次函数与一元二次方程的关系 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y＝0时，就变成了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）． 2．ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3．（1）b2–4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac＜0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 总之，抛物线与横轴交点的个数与对应一元二次方程解的个数是相同的。 知识点05 二次函数的应用题常见类型 1. 常见类型：（1）销售问题；（2）拱桥问题；（3）图形面积问题；（4）喷泉问题等。 2. 解题步骤： （1）审题； （2）设变量和解析式； （3）待定系数法求解析式； （4）利用二次函数性质解决问题； （5）写答案。 3．二次函数与几何图形综合问题类型：面积最值问题； 2．角度问题；3．特殊三角形存在性问题；4．特殊四边形存在性问题等等。 题型一 二次函数的识别 解｜题｜技｜巧 二次函数的识别就是对二次函数概念及其三种形式的考查，理解清楚二次函数的概念是解题的关键。 重点关注二次项系数及分母中是否含有变量，如果表达式中含有分母，而且分母中有自变量，那么该函数就不是二次函数，还有一个容易被同学忽略的就是二次项系数不能为0，如果二次项系数含有字母，使得它为0，那么该函数就变成了一次函数。 易｜错｜点｜拨 识别二次函数主要关注二次项系数是否有可能等于0，另外就是分母中是否变量，这是最易被忽视的。 【典例1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）下列函数属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正比例函数的定义、识别一次函数、二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义．一般地，形如（a，b，c为常数）的函数叫做二次函数． 根据定义逐一判定．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a，b，c为常数）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是． 【详解】解：A．是一次函数，故不符合题意； B．是二次函数，故符合题意； C．是正比例函数，故不符合题意； D．，当时是一次函数，故不符合题意． 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握二次函数都是整式成为解题的关键． 直接根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不是二次函数，不合题意； B、是二次函数，符合题意； C、，当时，是二次函数，不合题意； D、是一次函数，符合题意． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：不符合二次函数的定义，它们不是二次函数； 符合二次函数的定义，它是二次函数； 故选：B． 题型二 二次函数的图象与性质综合判断 解｜题｜技｜巧 期末考试或者中考数学试题中，常常会有这样一类题型，就是给一个二次函数的表达式或者图象或者表格，让我们判断所给说法是否正确，这种问题通常会涉及到二次函数的图象和性质的四个方面：一是顶点坐标，二是增减性；三是最值情况；四是与一元二次方程的关系或平移等其他性质，所以熟练掌握二次函数的各种性质是至关重要的。 易｜错｜点｜拨 关于二次函数图象与性质的判断，根据条件所给形式，通常有三种情况，一种形式是给出二次函数解析式；二是给出二次函数的图象，三是以表格形式给出，后两种是最能考查能力的，此处学生最易犯的错误是根据表格所给数据判断抛物线的开口方向错误，实际上只要看函数 的取值变化情况就可以轻松判断，当的值先变大再变小，那就是开口向下；当的值先变小再变大，那就是开口向上； 【典例1】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知二次函数的与的部分对应值如下表，那么下列判断中错误的是（    ） ．．． 1 2 3 4 ．．． ．．． ．．． A．该函数图像的顶点坐标是 B．当时，随着的增大而增大 C．当时， D．该函数图像与轴交于正半轴 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，根据表格数据可得出二次函数的对称轴直线为，进而可得出顶点坐标是，时y随x增大而增大，由二次函数的对称性可得出当时，，进而可得出该函数图象与轴交于负半轴． 【详解】解：当和3，时， ∴二次函数的对称轴直线为， ∴该函数图象的顶点坐标是，故选项A不符合题意； 由表可得时y随x增大而增大，故选项B不符合题意； ∵当时，， ∵ ∴当时，，故选项C不符合题意 ∴该函数图象与y轴的交点坐标为， 则该函数图象与轴交于负半轴，故选项D符合题意， 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④若，则，其中正确结论为（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了利用二次函数的性质判断符合特征等，①由图象得，由对称轴可判断的符号，即可判断；②由对称轴得图象与x轴交于另一点，，可得，将化为，即可判断；③由二次函数的最值得，可得，即可判断；④由②可求，，代入，即可判断．能熟练利用二次函数的性质进行运算判断是解题的关键． 【详解】解：①由图象得：， ∴， ∴，故①正确； ②∵对称轴为直线， 图象与轴交于点， ∴图象与轴交于另一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； ③∵，对称轴为直线， ∴当时，， ∴，即（为任意实数）， ∴，故③正确； ④由②得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有：①③④， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数，在取不同值的情况下，部分函数值与的对应关系如下表：则下列结论： b … 0 2 4 … x … * 4 0 … y … * 0 0 8 … ①当时，有最小值；②无论取何值，二次函数的图像始终经过一个定点；③所有的最大值中，有最小值；④当时，的值始终为负数．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】题目主要考查二次函数的性质及最值，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． ①根据二次函数的性质可直接判断；②将二次函数变形整理即可；③将二次函数化为顶点式，然后结合二次函数的最值判断即可；④根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：①， ∵， ∴当时，有最大值，故①错误； ②， 当时，， ∴无论取何值，二次函数的图像始终经过一个定点，故②正确； ③由①得， y的最大值为， ∴当时，最大值最小为， 当时，的最大值中，有最小值，故③正确； ④当时，的最值为，有可能为正数，故④错误； 综上可得：②③正确， 故选：B． 题型三 图象和性质 解｜题｜技｜巧 二次函数这种形式是最方便的，可以很容易看出二次函数的所有性质，及图象的位置，但很多同学容易搞错，就是当形式变成的时候，容易把顶点坐标和对称轴搞错符号，这一点要注意。 易｜错｜点｜拨 注意二次函数与的顶点坐标和对称轴是不同的。 【典例1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）关于二次函数的图像与性质，下列说法正确的是（   ） A．抛物线开口向下 B．抛物线的顶点坐标是 C．该函数有最大值，最大值是3 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象的性质进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线：，顶点坐标为， ∴二次函数的最小值为3，当时，y随x的增大而减小， ∴四个选项中只有选项D符合题意， 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数有最大值是 D．函数有最小值是 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 根据二次函数的图象及性质进行判断即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为，顶点坐标为 ∵ ∴二次函数图象开口向上，函数有最小值，为 ∴A、B、C选项错误，D选项正确 故选：D 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A．图象经过原点 B．图象的顶点坐标为 C．图象与x轴无公共点 D．图象与y轴的交点坐标为 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的解析式，可以分别判断各个选项中的说法是否正确，然后即可判断哪个选项符合题意． 解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答 【详解】解：二次函数， 该函数图象过，故选项A错误，不符合题意； 该函数图象的顶点坐标为，故选项B错误，不符合题意； 当时，，该方程无解，即该函数图象与x轴无公共点，故选项C正确，符合题意； 当时，，即该函数图象与y轴的交点坐标为，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 题型四 图象和性质 解｜题｜技｜巧 的图象和性质的研究必须转化成形式才可以，转化方法有两种： 方法一：配方法，配方的过程类似与一元二次方程的配方法； 方法二：直接求出顶点坐标公式求出和,这样就可以写出形式了。 易｜错｜点｜拨 利用配方法将 转换成时，配方是计算量比较大的，尤其是含有分数或无理数时，计算时要细心，或者直接利用方法二计算也可以。 【典例1】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且经过，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③点在抛物线上，则；④点在抛物线上且，则，正确结论的序号是 ． 【答案】①③/③① 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】根据抛物线的图象的开口方向，对称轴，与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标，逐一判断各结论，即可得到结果． 本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的图象开口向上， ， 故结论①正确； 抛物线的对称轴为直线， ∴， 则， ∴， 故结论②错误； 抛物线经过，对称轴为直线， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 抛物线的图象开口向上，点在抛物线上， ， 故结论③正确； 抛物线的图象与y轴交点坐标为，点在抛物线上且， 或， 故结论④错误， 故正确结论的序号为①③． 故答案为：①③． 【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知，，是抛物线上的点，则(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知二次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先判断出抛物线开口向下，再求出对称轴方程，根据离坐标轴越远的函数值越小即可得出结论． 【详解】解：抛物线图象开口向下，对称轴是直线， ，，距离对称轴直线分别为4，1，3个单位长度， 根据开口向下，距离对称轴越远，函数值越小可知：． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知函数是常数，且图象经过，三点．下列结论：①；②如果，那么；③如果，那么．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，把，代入整理后即可判断①；利用二次函数的性质，根据二次函数的最值即可判断②；把代入解析式即可判断③．正确理解二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：函数，，是常数，且图象经过，， ， 解得，故①正确； 如果为顶点时，抛物线开口向下， 那么时，，故②不正确； ， ， ， ， ， ，故③正确； 故选：B． 【典例2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知二次函数，的解集为，且当时，函数最大值与最小值的差为2，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查二次函数的性质、二次函数的最值等知识点，灵活利用二次函数的性质是解答本题的关键． 根据题意可以根据a的正负得到关于a的方程，从而可以求得a的值即可． 【详解】 解：∵，的解集为， ∴，方程的解集为，， ∴该函数的对称轴是直线，即， ∵， ∴当时，有最大值， ∵， ∴当时，有最小值， ∵函数最大值与最小值的差为2， ∴，解得：． 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·江苏南京·期末）若点，在二次函数为常数，且的图象上，则a ．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】＞ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴，然后比较两个点离对称轴的远近得到a、b的大小关系． 【详解】解：为常数，且 开口向上，对称轴为直线， 点，在二次函数为常数，且的图象上，且， ， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数（为常数，且）． (1)该函数的图象必经过两个定点______， _____； (2)若该函数图象与轴只有一个交点，求函数图象的顶点坐标； (3)若点都在该函数图象上，且，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）求得对称轴和与轴的交点，然后利用抛物线的对称性可知点也在抛物线上； （2）利用对称轴直接写出顶点坐标； （3）分两种情况讨论，得出关于的不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：二次函数（为常数，且）， 抛物线的对称轴为直线，与轴的交点为， 关于直线的对称点也在抛物线上， 该函数的图象必经过两个定点，． 故答案为：，； （2）解：该函数图象与轴只有一个交点，对称轴为直线， 函数图象的顶点坐标为； （3）解：点，，都在该函数图象上，且， ①当时，抛物线开口向下，点，在对称轴直线的左侧，在对称轴的右侧符合题意， ， 解得， ②当，抛物线开口向上，，都在对称轴的右侧，，不合题意； 点，，都在该函数图象上，且， 的取值范围是． 题型五 二次函数图象的平移 解｜题｜技｜巧 抛物线的平移规律：上加下减，左加右减，利用抛物线的平移规律可以很好的理解二次函数各种形式之间的关系，如下图所示： 易｜错｜点｜拨 抛物线的平移问题通常都是小题，难度一般，但是要注意细心审题，注意看清“由谁得到谁”，弄清楚平移的方向，这一点是比较容易搞错的。 【典例1】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了抛物线的平移规律．根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位， 所得新抛物线的解析式为，即：， 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·江苏连云港·期末）将二次函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数的图象的平移，利用二次函数平移规律 “上加下减，左加右减”的原则进行解答即可，熟知函数图象平移的法则是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， ∴平移后的函数关系式是， 故选：． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数的图象经过点，则函数的图象经过的定点坐标为 ． 【答案】， 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，由函数解析式得二次函数的图象经过点，进而根据将二次函数先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到二次函数，可得平移后点，的坐标分别为，，据此即可求解，掌握二次函数的平移规律是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴二次函数的图象经过点， 将二次函数先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到二次函数， ∵二次函数的图象经过点，， ∴平移后点，的坐标分别为，， 即函数的图象经过的定点坐标为，， 故答案为：，． 题型六 二次函数与一元二次方程 解｜题｜技｜巧 首先要理解清楚二次函数与一元二次方程的关系，如下图所示： ax2＋bx＋c＝0 一元二次方程 y＝ax2＋bx＋c 二次函数 令y＝0 其次，要明白ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解与二次函数图象之间的关系： ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 第三，在以上两点基础上，就可以明白下面为什么可以利用一元二次方程根的判别式来判断抛物线与横轴交点的个数了，反之，也可以利用抛物线与横轴交点的个数来判断对应方程根的个数，这两者是相同的。 【典例1】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴为，则下列结论：①，②，③，④，⑤（其中n为任意实数）．中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系．根据抛物线开口方向，对称轴以及与y轴的交点即可判断①；根据时，即可判断②；根据函数对称，与时，的值相等，即，即可判断③；由，即可判断④；根据时，函数的值最大，即可判断⑤． 【详解】解：∵开口向下， ， ∵抛物线和y轴的正半轴相交， ， ∵对称轴为， ， ，故①正确； 当时，，则， ，故②正确； 函数的对称轴为， 所以与时，的值相等，即， ，故③正确； ∵，，则， ∴， ∴，故④错误； ∵当时，二次函数有最大值， 当m为任意实数时，有， ，故⑤错误； 综上，正确的是①②③， 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）二次函数（，，是常数，且）的图象的顶点坐标为，且与轴的两个交点位于原点两侧，则，，中为正数的（   ） A．只有 B．只有 C．只有 D．均为正数 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点问题，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等知识点，熟练掌握其性质并能把求二次函数与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程是解决此题的关键．先利用顶点式写出抛物线解析式得即，根据根的判别式的意义得到，解得，所以，再利用根与系数的关系得，所以，即． 【详解】解：图象的顶点坐标为， 可设抛物线解析式为，即， ，， 抛物线与轴的两个交点， ，解得， ， 抛物线与轴的两个交点位于原点两侧， ， ， ， 故选：． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南通·期末）下表给出了二次函数中的部分对应值，可以估计方程的一个解的取值范围是（   ） … … … … A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题考查了利用二次函数求一元二次方程的解，根据表中的数据可知当时，，当时，，可知当时，对应的值的取值范围是． 【详解】解：从表中可以看出： 当时，， 当时，， 当时，对应的值的取值范围是． 故选：C ． 题型七 用二次函数解决实际问题 解｜题｜技｜巧 二次函数的实际应用种类较多，但期末考试常考的有：销售问题，图形面积问题，拱桥问题，喷泉问题等，其中考的频率最高的还是销售问题，求最大利润问题等。 利用二次函数解决此类问题的一般步骤如下： 1. 建立函数关系：明确利润、单价和销售量之间的关系，通常可以用“总利润 = 总售价总成本”或“总利润 = 单件利润 × 销售量”来建立二次函数的解析式。  2. 确定自变量范围：结合实际情况，确定自变量（如价格或销售量）的取值范围，以确保计算的结果在合理范围内。  3. 求解最大利润：在自变量的取值范围内，利用二次函数的性质（如顶点式）来求出最大值或最小值。  4. 检查结果：确保求得的最大值或最小值对应的自变量值在自变量的取值范围内，以确保结果的实际意义。  易｜错｜点｜拨 利用二次函数解决销售问题中的最大利润问题，最易出错的地方是第2步，忘了确定自变量的取值范围，导致计算最大值或最小值出现错误，切记，只要利用函数解决现实生活中的问题，必须求出自变量的取值范围，确保自变量的取值符合实际生活和题目意义。 【典例1】（24-25九年级下·江苏徐州·期末）一名批发商经销某产品，该产品的成本为20元/千克，物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元．销售过程中发现该产品的销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如表： 售价x（元/千克） … 50 60 70 80 … 销售量y（千克） … 100 90 80 70 … (1)求y与x的函数表达式； (2)该批发商若要获得4000元的利润，应将售价定为多少？ (3)该产品每千克售价为多少元时，该批发商获得的利润w（元）最大？求最大利润． 【答案】(1) (2)应将售价定为元 (3)该产品每千克售价为元时，批发商获得的利润最大，此时的最大利润为元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，解答本题的关键是根据题意列出方程，另外要注意掌握二次函数的最值的求法． （1）根据图表中的各数可得出与成一次函数关系，从而结合图表的数可得出与的关系式． （2）根据想获得4000元的利润，列出方程求解即可； （3）根据批发商获得的总利润（元售量每千克利润可表示出与之间的函数表达式，再利用二次函数的最值可得出利润最大值． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为，把、代入得， ，    解得， ∴与的函数关系式为； （2）解：根据题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该批发商若想获得元的利润，应将售价定为元； （3）解：由题意得， ， ， 当时，值最大，最大值是 答：该产品每千克售价为元时，批发商获得的利润最大，此时的最大利润为元． 【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）农户销售某农产品，经市场调查发现：若售价为元/千克，日销售量为千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设日销售量为千克，售价为元/千克（且为正整数）， (1)求与之间的函数关系式； (2)若政府将销售价格定为不超过元/千克．设每日销售额元，求关于的函数表达式，并求的最大值和最小值； (3)市政府每日给农户补贴元后（为正整数），发现最大日收入（日收入=销售额+政府补贴）还是不超过元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于元，请直接写出所有符合题意的值： ． 【答案】(1)； (2)，最大338元，最小240元 (3)a的值为或或． 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的应用．得到每天可售出的千克数是解决本题的突破点；本题需注意x的取值应为整数．解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、根据销售额的相等关系列出函数解析式及二次函数的性质． （1）售价为x元/千克（且为正整数），则提价元，根据题意，即可得到结论； （2）根据日销售额=日售价×日销售量，计算即可； （3）由题意得：，由二次函数的对称性可知x的取值为11，12，13，14，15，从而计算可得a值． 【详解】（1）解：设产品售价为元/千克（且为正整数），则提价元， 根据题意得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：设售价为元/千克（且为正整数），销售额为元，则提价元， 故销售量为千克， ∴， ∴， ∵，且对称轴右侧，w随x的增大而减小，到对称轴距离越大，函数值越小，且，， ∴时，w取得最大值，且最大值为338元， ∴时，w取得最小值，且最小值为240元， 故，w的最大338元，w的最小240元； （3）解：由题意得：，由二次函数的对称性可知x的取值为11，12，13，14，15， ∴时，元 ∴时，元， ∴时，元， 且，， ∴， ∵a是正整数， ∴a的值为或或． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）某种纪念品的成本价为每件10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为20元时，每天可售出600件，销售单价每上涨1元，每天销售量就减少20件．设每天的销售量为y（件），销售单价为x（元件）． (1)直接写出y关于x之间的函数关系式； (2)若销售该纪念品每天的利润为6720元，求该纪念品的销售单价； (3)若商家决定，每销售一件纪念品就捐赠a元（）给慈善机构，当每天销售最大利润为6400元时，求a的值． 【答案】(1)y关于x之间的函数关系式为 (2)该纪念品的销售单价为22 (3)a的值为4 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、其他问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查的是一次函数，二次函数的应用，一元二次方程的应用； （1）由600减去减小的数量，再列函数关系式即可； （2）由单件利润乘以销售数量可得总利润，再建立方程求解即可； （3）由单件利润乘以销售数量可得总利润，再建立二次函数解决问题即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 整理得：． ∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍， ∴． （2）解：由题意，得：， 解之得：， ， ∵， ∴． 答：该商品的销售单价为22元． （3）解：由题意可得：， 整理得：， 对称轴为直线：， ∵， ∴当，函数取得最大值， 最大值为：， 解得：； 【典例2】（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，利用的墙角修建一个梯形的储料场，已知新建墙的总长为，．设的长为，储料场的面积为． (1)求关于的函数表达式． (2)当取何值时，储料场的面积为？ (3)该储料场的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当取时，储料场的面积为 (3)存在，储料场面积的最大值为 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用、等腰三角形的判定，正确求得函数关系式是解答的关键． （1）过点作的垂线，垂足为．先根据等腰三角形的判定得到，进而，，然后利用梯形面积公式求解即可； （2）解一元二次方程即可求解； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作的垂线，垂足为． 四边形是梯形， ． ，， ，， ， ． ∴，， ，即． （2）解：令，得， 解得（舍去）． 答：当取时，储料场的面积为． （3）解：， ∵， 当时，取最大值54． 答：储料场面积的最大值为． 【变式1】（24-25九年级下·江苏南京·期末）如图，在一块空地上有一段长为米的旧墙，现在利用旧墙一部分（不超过）和100米长的木栏围成一个矩形菜园． (1)若，求矩形菜园面积的最大值； (2)若木栏增加米，矩形菜园面积的最大值为2800米，则的值为_____． 【答案】(1)矩形菜园面积的最大值为1050平方米 (2) 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质求最值是解题的关键． （1）设米，根据矩形的面积公式建立二次函数，利用二次函数的性质求最大值； （2）设米，根据矩形的面积公式建立二次函数，利用二次函数的最大值求解即可． 【详解】（1）解：设米，，根据题意，得： 矩形菜园面积， ，图像开口向下， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为1050平方米． 答：矩形菜园面积的最大值为1050平方米； （2）解：当木栏增加米时，木栏总长为米， 设米，，根据题意，得： 矩形菜园面积， ，图像开口向下， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为， ∵矩形菜园面积的最大值为2800米， ∴， 解得：（负值已舍去）， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的二边靠墙，另三边一共用了米木栏． (1)为尽可能利用旧墙使所围成的矩形菜园的面积为平方米，求所利用旧墙的长； (2)怎样围可使围出的矩形菜园面积最大？请予以解答说明． 【答案】(1)所利用旧墙的长为米； (2)当米，米时，可使围出的矩形菜园面积最大． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）设米，则米，根据题意可得：，然后进行计算即可解答； （2）设矩形菜园面积为平方米，根据题意可得：，然后进行即可解答． 【详解】（1）解：设米，则米， 由题意得：， 解得：，， 当时，米， 当时，米，（尽可能利用旧墙，舍去） 所利用旧墙的长为米； （2）解：设矩形菜园面积为平方米， 由题意得： ， ， 当时，最大，此时米， 当米，米时，可使围出的矩形菜园面积最大． 【典例3】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，河上有一座抛物线形的拱桥，水面宽时，水面离桥拱顶部，因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少米？（结果保留根号） 【答案】此时水面宽为． 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用能力．先设解析式，然后构建函数图像，求出解析式，再代入数值进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系． 设抛物线的解析式为：， ∵水面宽时，拱顶离水面， ∴点在此抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 当水位上升时，即时，， ∴， ∴此时水面的宽度为：， 即此时水面宽为． 【变式1】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，南京长江四桥是中国首座三跨吊悬索桥，该索桥的主体部分由两座高度相同的索塔，三条缆索，，，以及连接缆索与桥面的吊杆组成．缆索，，的形状均近似是抛物线，索塔、吊杆均与桥面垂直．以O为原点，桥面所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．测得索塔，桥面，锚碇D到索塔的距离，缆索的最低点P到桥面的距离为． (1)求缆索所在抛物线的表达式； (2)同一直角坐标系中，缆索所在抛物线的表达式为． ①求b，c的值； ②为了加固桥梁，计划在索塔左、右两侧各安装一根吊杆，且两根吊杆之间的距离为要使两根吊杆的长度之和最小，如何确定两根吊杆的安装位置？请直接写出在索塔左侧需安装的吊杆与之间的距离． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用．用待定系数法求得相应的函数解析式是解决本题的关键；难点是得到用n表示的两根吊杆的长度之和的函数解析式． （1）易得缆索所在抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把点A的坐标代入可得a的值，即可求得抛物线的解析式； （2）①把点A、D的坐标代入所给的抛物线解析式即可求得b和c的值； ②两根吊杆的长度之和为w，在索塔左侧需安装的吊杆与之间的距离为，用n表示出w，进而根据二次函数的性质可得n为何值时w最小． 【详解】（1）解：根据题意可知，缆索所在抛物线的顶点坐标为， 设缆索所在抛物线的解析式为， 把代入解析式得：， 解得：， 缆索所在抛物线的表达式为； （2）解：①缆索所在抛物线经过点和， ∴， 解得：； ②设两根吊杆的长度之和为w，在索塔左侧需安装的吊杆与之间的距离为，则在索塔右侧需安装的吊杆与之间的距离为， ， 抛物线的开口向上，对称轴为直线，当时，w最小． 答：索塔左侧需安装的吊杆与之间的距离为． 【变式2】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，当水面宽时，水面距桥孔顶部．因降暴雨水位上升了到达位置．建立平面直角坐标系，如图1所示． (1)求此时水面的宽度（结果保留根号）； (2)一艘装满物资的小船，露出水面的高为，宽为（横断面如图2所示）．暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗？请说明理由． 【答案】(1)此时水面宽度为米 (2)暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过，理由见解析 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】该题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意． （1）由题意设抛物线型拱桥的解析式为：，由题意可知此抛物线过点，，由此即可求出抛物线的解析式，把代入所得解析式，解此对应的x的值，即可求得此时水面的宽； （2）由题意在（1）中所得的解析式中，求出当时对应的y的值，即可求解． 【详解】（1）解：设函数解析式为，，， 把点B坐标代入得：， 解得：，即； 当时，，解得：， 故此时水面宽度为米． （2）解：当时，． ， 暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过． 题型八 二次函数与几何图形的综合 解｜题｜技｜巧 二次函数与几何图形的综合问题种类较多，大致可以分为以下几类： 类型一：二次函数与面积、长度最值相关问题； 类型二：二次函数与角度的存在性问题； 类型三： 方法点拨： 在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解． 【典例1】二次函数与图形面积问题 （24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，直线上方抛物线上是否存在点M，使得的面积等于3，若存在，写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． (3)P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），如图2，若点P在直线上方，连接交于点D，记，的面积分别为，，求的最大值． 【答案】(1) (2)存在，， (3) 【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）由直线与两坐标的交点可得，，然后利用待定系数法求解即可； （2）在图1中，过点M作交直线于点N，设，则，，利用坐标与图形可得，由求得t值，进而可求解； （3）过点P作交直线于点E，则，所以，设点 ，利用坐标与图形可得，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解： 直线与坐标轴交于A、B两点， 当时，，当时，， ，， 将A、B代入抛物线，得 ，解得 ， 抛物线的解析式为：． （2）解：存在． 在图1中，过点M作交直线于点N， 依题意，设，则，， ， ∴， 由得， 解得，， 当时，，则； 当时，，则， 综上，存在点M，使得的面积等于3，此时，； （3）解：在图2中，过点P作交直线于点E，则， ，则， 设点 ， ， ， ， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为． 【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）抛物线与 x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点， 点 P 是第四象限内抛物线上的一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，连接，设的面积为S，求S 的最大值，并求出此时点P 的坐标； (3)如图2，当的面积最大时，过P 作轴于点D， 交直线于 点E． 点， 连接 并延长交直线于点M， 点 N 是x轴上方抛物线上的一点，x 轴上是否存在一点Q，使得以F，M，N，Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在， 请说明理由． 【答案】(1) (2)4， (3)存在，点Q的坐标为或或或． 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、利用平行四边形的性质求解、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与几何的综合、平行四边形的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式为，如图：过P作轴交于点G， 设，则，可得，进而得到，最后根据二次函数的性质即可解答； （3）先求出直线的解析式为，进而求得；设， 然后分为平行四边形的边和对角线两种情况，分别根据平行四边形的性质列方程组求解即可． 【详解】（1）解：将、代入可得： ，解得：， 所以抛物线解析式为． （2）解：∵， ∴ 设直线的解析式为，则： ，解得：， ∴直线的解析式为， 如图：过P作轴交于点G， 设，则， ∴， ∴的面积为， ∴当时，的面积最大为4，此时点P的坐标为． （3）解：∵，， ∴设直线的解析式为，则： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵当的面积最大时，过P 作轴于点D，连接 并延长交直线于点M， ∴M的横坐标为，则纵坐标为，即， 设， 如图：当为平行四边形的边时，由平行四边形的性质可得： ，解得：或， ∴或； 如图：当为平行四边形的对角线时，由平行四边形的性质可得： ，解得：或， ∴或； 综上，点Q的坐标为或或或． 【变式2】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）综合与探究：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，动点P 在直线上方的抛物线上，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，过原点0作直线I交抛物线于E、F两点，点E的横坐标为e，点F的横坐标为f，求证：是一个定值． 【答案】(1)； (2)面积的最大值是，点的坐标为； (3)见解析 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法把点和点的坐标代入，得到，解方程组求出、的值，可得抛物线的解析式； （2）过点作轴，交于点，把分成和，可得的面积为，配方可得，从而可知当时，的面积有最大值，此时的坐标为； （3）设直线的解析式为，联立可得方程，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系可证是一个定值． 【详解】（1）解：把点和点的坐标代入， 得到：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：如下图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 整理得：， 可知当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，， 此时点的坐标为； （3）证明：设直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 整理得：， 一元二次方程中， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 这两个不相等的实数根分别为、， 则有， 是一个定值． 【典例2】二次函数与角度相关问题 （24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，过作轴，交直线于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标； (3)抛物线上是否存在点，使．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1或3或或 (3)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、待定系数法求二次函数解析式、一次函数、二次函数图象综合判断、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据待定系数法，将点、点代入抛物线解析式，解关于、的一元一次方程，即可求得抛物线的解析式； （2）通过点、求出直线的解析式，设点、的坐标，结合轴，以、、、为顶点的四边形是平行四边形得，解一元二次方程即可． （3）过点作于点，过点作轴，过点作于点，过点作于点．设点，当在右侧时，证明，得、，故可推出，解二元一次方程组可得，即，结合点推出直线的解析式为，联立解一元二次方程即可得；当在左侧时，同理可得． 【详解】（1）解：将点、代入，得：， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：设点， 抛物线与轴交于点， ． 设直线的解析式为， 将点、代入，得：， 解得：，， 直线的解析式为． 设， ， 轴， ， 当时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ， 解得或或或． （3）解：抛物线上存在点，使，理由如下： 过点作于点，过点作轴，过点作于点，过点作于点． 设点． ①当在右侧时，如图： ，，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， 在和中， ， ， ，， ，， ， 解得：， ， 由，可得直线的解析式为， 联立， 解得：（此时点，点重合，舍去）或， ． ②当在左侧时，如图： 同理可得：， 解得：， ，直线的解析式为， 联立，解得：（此时点，点重合，舍去）或， ． 综上所述，点坐标为或． 【变式1】（2025·江苏常州·三模）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． (1)求抛物线与直线l的函数表达式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接、，求当面积最大值时点P的坐标及该面积的最大值； (3)若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为；直线l的函数表达式为 (2)的面积最大值为， (3)或 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线和直线的解析式即可； （2），过点作轴交于，设，则，表示出，从而可得，再由二次函数的性质即可得解； （3），将线段绕点逆时针旋转得到，连接交轴于，作轴于，轴于，则为等腰直角三角形，证明，得出，，求得，待定系数法求出直线的解析式为，当时，，即；作点关于直线的对称点，连接交轴于，由轴对称的性质可得，，证明出点为的中点，即可得出，同理可得，直线的解析式为，当时，，即，由此即可得解． 【详解】（1）解：将、、代入二次函数的解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 设直线l的函数表达式为， 将、代入解析式可得， 解得：， ∴直线l的函数表达式为； （2）解：如图，过点作轴交于， ∵点P是抛物线上的点且在直线l上方， ∴设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，为，此时； （3）解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交轴于，作轴于，轴于， 则为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∵轴于，轴于，、， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即； 作点关于直线的对称点，连接交轴于， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵，即， ∴，即点为的中点， ∴， 同理可得，直线的解析式为， 当时，，即， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【变式2】（2025·江苏徐州·模拟预测）在平面直角坐标系中中，二次函数的图象与轴交于点、（在的左侧），与轴交于点，其顶点的横坐标是． (1) ________， ________； (2)已知一次函数（k为常数）的图象为直线，直线与x轴交于点． ①连接，若，求的取值范围； ②当直线与该抛物线有且只有一个公共点时，在该抛物线上是否存在点，使得直线与所夹的锐角是的2倍？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2； (2)①或且；②或 【知识点】一次函数与几何综合、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据顶点横坐标可得对称轴为直线，再由对称轴计算公式可得b的值，把点C坐标代入解析式即可求出c的值； （2）①先求出，再求出，根据，可得；则可求出且，求出直线恰好经过点，点，点时，k的值即可得到答案； ②联立得，根据直线与该抛物线有且只有一个公共点，可得关于x的方程有两个相等的实数根，则可求出，据此可得到，取，作直线，可证明，得到，则，即可得到直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置；求出直线解析式为，联立，解得或，则此时点P的坐标为；过点D作，过点D作交直线于I，则，，可推出直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置；求出直线解析式为，得到设，由，得到，则，同理可得此时点P的坐标为；综上所述，点P的坐标为或． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点的横坐标是， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于点， ∴； （2）解：①∵， ∴， 由（1）可得抛物线解析式为， 在中，当时，解得或， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴且， 当直线恰好经过点时，则，解得， 当直线恰好经过点时，则，解得， 当直线恰好经过点时，则，解得， ∴当时，或且； ②联立得， ∵直线与该抛物线有且只有一个公共点， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴直线l解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴； 如图所示，取，作直线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴直线与直线所夹的锐角是的2倍， ∴直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 如图所示，过点D作，过点D作交直线于I， ∴， ∴， ∵ ∴直线与直线所夹的锐角是的2倍， ∴直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置； ∵， ∴可设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 同理可得直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【典例3】二次函数与特殊三角形相关问题 （2025·江苏徐州·模拟预测）如图（1），抛物线与轴交于，两点，与轴交于，顶点． (1)写出抛物线的解析式，点，点的坐标； (2)连接，在上方的抛物线上是否存在点使面积最大，若存在，求面积的最大值，若不存在请说明理由； (3)直线交抛物线于点，（点在点的右边），交直线于点，若，求的值； (4)如图（2），点是抛物线对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是直角三角形时，的值为______． 【答案】(1)，点，点 (2)存在，最大值为 (3)的值为或 (4)或或 【知识点】其他问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数、一次函数与几何综合，熟练掌握待定系数法求解析式，二次函数的对称性，直角三角形的性质，勾股定理，二次函数与线段（转化），分类讨论是解题的关键 （1）由顶点可知对称轴为直线，根据对称性知，设抛物线为交点式，即，再代入，可得，故抛物线的解析式为，点，点； （2）先求直线的表达式为，作轴交于点，设，，故，，即当时，最大为 1 ，此时； （3）设对称轴直线交于点，如图 1 所示，先求出直线的解析式为，则，分时和时分别表示出点的坐标，代入二次函数解析式后，从而实现求解； （4）设，则，，再根据每个顶点处都可能出现直角分 3 种讨论，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由顶点可知对称轴为直线， 又由抛物线与轴交于， 故根据对称性知，设抛物线为交点式，即，再代入， 可得4＝－4a，解得a＝－1， 故抛物线的解析式为，点，点； （2）解：存在点满足条件，理由如下： ， ∴由待定系数法可知直线的表达式为， 作轴交于点， 设， 故， ， 当时，最大为 1 ，此时； （3）解：设对称轴直线交于点，如图所示， 由待定系数法可知直线的解析式为，则， 当时，由，可知， ∴，则， 故，再将点坐标代入中，得，解得或（舍去）； 当时，如图 所示， ， ， ，， ，把点坐标代入中， 得，解得或（舍去） 综上，的值为或； （4）解：设，，， 则，，， 当时，， 即，解得； 当时，， 即，解得； 当时，， 即，解得， 综上，的值为或或． 故答案为：或或． 【变式1】（2025·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整数点”．抛物线（a为常数且）与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点P． (1)若，则抛物线的顶点坐标为_______，抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”共有_______个； (2)如图①，连接、、，若是直角三角形，求a的值； (3)若抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”恰好有8个，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)，15 (2)或 (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）当时，，可得抛物线的顶点的坐标为，再求得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，当时，，结合图形即可求得“整数点”的个数； （2）先求得抛物线的顶点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则，，，再分三种情况，当时，当时，当时，分别根据勾股定理列出方程即可求解； （3）由（2）可知顶点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则轴上有5个“整数点”，可知在轴上方只有3个“整数点”，找到在轴上方只有3个“整数点”的临界情况，结合图形即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴抛物线的顶点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， 当时，，解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 当时，， 结合图形可知，抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”共有个， 故答案为：，15； （2）， ∴抛物线的顶点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， 当时，，解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 则，，， 当时，，即， 解得：（正值舍去）； 当时，，即， 解得：（正值舍去）； 当时，，即， 此时方程无解； 综上，当或时，是直角三角形； （3）由（2）可知顶点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则轴上有5个“整数点”， ∴在轴上方只有3个“整数点”， 当与轴得交点为“整数点”时，，即，此时顶点的坐标为，并非“整数点”， 可知此时，抛物线与轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”恰好有8个，符合题意； 当，即时，显然在轴上方没有3个“整数点”，不符合题意； 当顶点的坐标为“整数点”，且在上方时，，即，此时点的坐标为，并非“整数点”， 可知此时，在轴上方有4个“整数点”，不符合题意； 当时，即时，显然在轴上方不止3个“整数点”，不符合题意； 综上，当时，抛物线与轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”恰好有8个． 【变式2】（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）的对称轴为直线，且经过点，该抛物线与x轴的负半轴交于点B． (1)此抛物线对应的函数表达式； (2)点P是抛物线上的一点，当的面积为某一值时，符合该值的点P恰好有三个，求对应点P的横坐标； (3)点M为抛物线对称轴上一点，点N为抛物线上一点，若是以为斜边的等腰直角三角形，直接写出点N的坐标． 【答案】(1) (2)点P的横坐标为1或 (3)若是以为斜边的等腰直角三角形，则点N的坐标或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据待定系数法可进行求解； （2）由题意可知要使当的面积为某一值时，符合该值的点P恰好有三个，则当点P在直线上方时，只有一个点P满足，那么我们只需求此时的面积即可，即求的面积最大值，过点P作y轴的平行线，交直线于点H，进而根据铅垂法可求解； （3）设点，由题意可分：当点N在对称轴的右侧时，满足是以为斜边的等腰直角三角形，当点N在对称轴的左侧时，满足是以为斜边的等腰直角三角形，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， ∴； （2）解：连接，如图所示：    要使当的面积为某一值时，符合该值的点P恰好有三个，则当点P在直线上方时，只有一个点P满足，那么我们只需求此时的面积即可，即求的面积最大值， 过点P作y轴的平行线，交直线于点H，如图所示， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则有， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积取最大值，最大值为，此时点P的横坐标为1； 当点P在直线的下方时，即点，如图， ∵， ∴同理可得：， 解得：； 综上所述：点P的横坐标为1或； （3）解：设点，由题意可分：当点N在对称轴的右侧时，满足是以为斜边的等腰直角三角形，如图所示，过点N作一直线，分别过点A、M作，垂足分别为E、F，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 当点N在对称轴的左侧时，满足是以为斜边的等腰直角三角形，如图所示，    同理可得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 综上所述：若是以为斜边的等腰直角三角形，则点N的坐标或． 【典例4】二次函数与特殊四边形相关问题 （24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线=1上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)点坐标为或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）利用二次函数的顶点式运算求解即可； （2）求出直线的解析式，过点作轴交对称轴于点，过点作轴交直线于点，分别表达出，，的坐标，再利用三角形面积公式列式运算即可； （3）设点关于直线的对称点为，利用折叠和等腰三角形的性质求得．设，求得，，，从而得出，求得n的值，进一步得出结果． 【详解】（1）解：∵拋物线的顶点的坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在，理由如下： 由（1）知抛物线的解析式为， 令，则， ∴， 设直线的解析式为，代入和可得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴与交于点， ∴把代入可得：， ∴， ∴， 过点作轴交对称轴于点，过点作轴交直线于点，如图所示： 设点G的坐标为，则，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴； （3）解：由（2）知，，又， ∴， 设点关于直线的对称点为，如图所示， 则，， ∵， ∴， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴， 由抛物线的对称性可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵是以B、E、M、N为顶点的矩形的对角线， ∴， 设， ∵，，， ∴， ∴或， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述：点坐标为或． 【变式1】（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知二次函数（m为常数，且）． (1)当时，求该二次函数的图象的顶点坐标； (2)直线与该二次函数的图象交于两点，若当时，有，求b的取值范围； (3)顺次连接， ，，，得到矩形，若该二次函数的图象与矩形有三个公共点，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或或 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质、特殊四边形(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）把代入，然后化为顶点式求解即可； （2）联立方程组并化简可得，根据根与系数的关系得，，由，可得，化简得，代入化简得出，最后利用不等式的性质求解即可； （3）先求得抛物线顶点坐标为，当时，，则抛物线过定点，然后根据不同情况画出图象，即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，， ∴顶点坐标为； （2）解：联立方程组， 整理，得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解： ， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，， ∴抛物线过定点， 当时，， ∴， ∴， 当，即时，， 此时抛物线的顶点在x轴上， 如图1， 该抛物线与矩形有2个公共点， 当时，如图2， 该抛物线与矩形有2个公共点， 当时，如图3， 该抛物线与矩形恰好有3个公共点， 当时，当顶点在时，，解得，如图4， 该抛物线与矩形恰好有3个公共点， 抛物线经过时， 解得，如图5， 该抛物线与矩形恰好有3个公共点， 综上，该抛物线与矩形恰好有3个公共点时，m的取值范围或或． 【变式2】（2025·江苏苏州·二模）如图，二次函数的图象与轴交于点，点在轴的正半轴上，以为边在第一象限作矩形． (1)点的坐标为___________； (2)若点在该函数的图象上，且矩形的长宽之比为，求点的坐标； (3)若矩形的面积为10，则的最大值是___________． 【答案】(1) (2)点 的坐标为（1，0）或（4，0） (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、特殊四边形(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的三边关系求最值，直角三角形的性质，熟练掌握以上内容并正确作出辅助线是解题关键． （1）令，则，即； （2）设，，作轴于点，如图1所示，根据“一线三垂直”模型证明，从而可得比例式，再根据矩形的长宽之比为，可得到当和两种情况，再根据每种情况分别列比例式得到点坐标，把点坐标代入解析式中求解方程即可； （3）如图2所示，作垂直于轴交直线于点，先证明，从而，即，可得，取中点，连接，，，则由斜边中线定理可得，由勾股定理可得，故，当且仅当、、三点共线时取等号，所以最大值为． 【详解】（1）解：令，则，即， 故答案为：． （2）解：设，，作轴于点，如图所示， 由， 可得， ， ， ， ， ， ，， 当时，则，， 即点， 把代入中可得， 整理得，解得或（负值舍去）； 当时，则，， 即点， 把代入中可得， 整理得，解得或（负值舍去）， 综上，点坐标为或． （3）解：如图所示，作垂直于轴交直线于点， ，， ， ， ， ，即， ，即， 取中点，连接，，，如图， 则，， 故，当且仅当、、三点共线时取等号， 所以最大值为， 故答案为：． 【典例5】二次函数与定值相关问题 （24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，直线，且与抛物线交于，两点． (1)求抛物线和直线的函数表达式； (2)设点，的横坐标分别为，，试判断的值是否会改变？若不变，求出该值；若改变，请说明理由； (3)若直线在直线上方运动，交点在点的左侧．作直线与交于点，如图2所示．在直线运动的过程中，试说明：点的横坐标是一个定值． 【答案】(1)， (2)不变，3 (3)见解析 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、求一次函数解析式、抛物线与x轴的交点问题、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）两点式求出二次函数的解析式，进而求出点坐标，待定系数法求出直线的解析式； （2）根据两直线平行值相等，设出的解析式，联立直线和抛物线的解析式，得到一元二次方程，根据根与系数的关系即可得出结果； （3）设出的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点的横坐标，进而得到两条直线的值的数量关系，联立两条直线的解析式求出点的横坐标，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，点， ∴； 当时，则：， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴； （2）不会改变： ∵直线， ∴设直线的解析式为：， ∵直线与抛物线交于，两点， ∴令，整理，得：， 则：是方程的两个实数根， ∴，为定值； （3）设直线的解析式为：， 联立，则：， 解得：， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴， 联立，则：， 解得：， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， 联立，则：， 解得：， ∴，即：点的横坐标是一个定值． 【变式1】（2025·江苏连云港·一模）已知抛物线（为常数，）经过点，函数图像与轴交于点，（在的左边），其对称轴与轴相交于点． (1)求的值； (2)为轴上方抛物线上的动点，过点作直线，，分别交抛物线的对称轴于点，．点在运动过程中，的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)已知坐标系中有一直线，点为抛物线上任意一点，点为直线上任意一点，如果，两点间的距离的最小值大于2，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）由题可知，，，得对称轴为直线则．设，其中．求出直线的解析式为，直线的解析式为，得出，，从而，可求出的值为定值． （3）当直线与抛物线只有一个交点时，记为直线，则方程只有一个实数根，可求出，将直线沿垂直于直线的方向平移2个单位，即可得满足条件的直线，记为直线，此时，，过点H作轴，可得，证明四边形为平行四边形得，得出点的坐标为即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：将点代入， 解得． （2）解：由题可知，，，得对称轴为直线． ． 设，其中． 设直线的解析式为， 则 解得 直线的解析式为． 当时，． 点． 同理可得直线的解析式为． 当时，． 点． ，． ． 的值为定值． （3）∵，两点间的距离的最小值大于2， 直线与抛物线没有交点，且最近的距离为2， 如图2，当直线与抛物线只有一个交点时，记为直线， 则方程只有一个实数根， ， ， 记直线与抛物线的交点为H，与轴的交点为点，则， 将直线沿垂直于直线的方向平移2个单位，即可得满足条件的直线，记为直线， 此时，． 过点H作轴，交直线于点F，则， ， 是等腰直角三角形， ， 直线与轴的交点为，则四边形为平行四边形， ， 点的坐标为， 的取值范围为． 【变式2】（2025·江苏宿迁·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴于、两点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，连接，点在直线上方的抛物线上，过点作的垂线交于点，作轴的平行线交于点．若，求点的坐标； (3)直线与抛物线交于、两点（点在点左侧），直线与直线的交点为，的面积是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】面积问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】根据抛物线的对称性质可知点的坐标为，把点和点的坐标代入抛物线，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； 利用待定系数法求出直线的解析式，设点的坐标是，则点的坐标是，根据等腰直角三角形的性质可知，根据，可知，从而可得：，根据点的横坐标是，可得：，从而可得方程，解方程求出点的横坐标，把横坐标代入解析式求出纵坐标即可； 设点的坐标是，点的坐标为，利用待定系数法求出直线和直线的解析式，解方程组求出交点的横坐标，把的底边看作，则点的横坐标即为的高，根据三角形的面积公式计算出的面积即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴于、两点，对称轴为直线， 点的横坐标为， 点的坐标为， 把点和点的坐标代入抛物线， 可得：， 解得：， 抛物线的函数表达式是； （2）解：当时， 可得：， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 设点的坐标是，则点的坐标是， ， 轴， ， ， ， 又， ， ， 点的坐标是，点的坐标是， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 整理得：， 解得：，(舍去)， 当时，， 点的坐标是； （3）解：的面积是定值， 理由如下， 如下图所示， 设点的坐标是，点的坐标为， 当时，， 当时，， 直线与坐标轴交点的坐标是，， 直线与轴负半轴的夹角是， 点的坐标是，点的坐标为， ， 整理可得：， 或(舍去)， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 点的坐标为，点的坐标是， 则有， 解得：， 直线的解析式为， 解方程组， 解得：， ， ， ， 点的横坐标是， ， 的面积是， 的面积是定值． 期末基础通关练（测试时间：30分钟） 1．（24-25九年级上·江苏南京·期末）下列函数中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义：形如（a、b、c是常数，）的函数叫二次函数，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、是一次函数，故本选项不符合题意； B、是二次函数，故本选项符合题意； C、不是二次函数，故本选项不符合题意； D、是一次函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数的图象经过点，则代数式有（ ） A．最小值 B．最小值2 C．最大值 D．最大值2 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质是解题关键．将点代入二次函数解析式，得出，再代入代数式得到关于的二次函数，再求最值即可． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， ， ， ， 代数式有最大值2， 故选：D． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握的顶点坐标是是解题的关键．根据抛物线的顶点坐标是，即可求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线的顶点坐标为， 故选：B． 4．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）将二次函数的图象向下平移3个单位长度所得图象的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握图象的平移规律“上加下减”是解题的关键． 根据函数图象平移规律，可得答案． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移3个单位长度所得图象的解析式为， 故选：C． 5．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．有最小值 D．顶点坐标是 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，把题目中的函数解析式化为顶点式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、最值和顶点坐标，即可作出判断．解题的关键是明确题意，熟练掌握二次函数的性质． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴二次项系数，则图象开口向下，故选项A不符合题意； 对称轴是直线，故选项B不符合题意； 当时取得最大值，故选项C不符合题意； 顶点坐标是，故选项D符合题意． 故选：D． 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）请用一般式写出一个二次函数的表达式 ，使它满足以下两个条件：①图象经过原点，②函数的最小值为． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，设函数为由图象过原点，从而，再由函数的最小值为，可知，进而可以得解． 【详解】解：由题意，设函数为 ∵图象过原点， ∴． 又∵函数的最小值为 ∴ ∴若取，则b可取． 综上，函数的表达式可以是 故答案为：（答案不唯一）． 7．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知点，在抛物线上．若，则 0．（用“”或“”连接） 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图形和性质，求出抛物线的对称轴，根据函数值的大小关系确定开口方向，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点，在抛物线上，且， ∴在对称轴的左侧随着的增大而减小， ∴抛物线的开口向上， ∴； 故答案为：． 8．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数，，，为抛物线上的点，若，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得二次函数的对称轴为直线，根据可知，然后根据“开口向上，离对称轴越近，其函数值越小”可建立不等式进行求解． 【详解】解：由二次函数可得：对称轴为直线， ∵，，为抛物线上的点，且， ∴， ∴， 即， 解得：或（不符合题意，舍去）； 故答案为． 9．（24-25九年级上·江苏南京·期末）二次函数 是常数，且的图象如图所示，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组，先利用对称性得到二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为，则设此二次函数解析式为，即，所以二次函数可表示为，接着解方程得到二次函数与轴的交点坐标为，，然后写出抛物线在轴下方所对应的自变量的范围即可．从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集 【详解】解：二次函数的图象的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， 二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为， 设此二次函数解析式为， 即， 二次函数可表示为， 当时，， 解得，， 二次函数与轴的交点坐标为，， ， 抛物线开口向上， 当时，， 关于的不等式的解集为． 故答案为． 10．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）已知抛物线 (为常数，且)上两点，，当时，恒成立，则t的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图像和性质，二次函数的对称性，应用数形结合思想是解题的关键；根据对称性求出关于对称轴的对称点为，再根据恒成立，可得，即可得解． 【详解】解：抛物线， 对称轴为直线， 关于对称轴的对称点为， ， ， ， 均在对称轴的右侧， 恒成立， ， ， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）对于二次函数的图像，下列说法正确的是（   ） A．开口向下 B．顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．与x轴有两个交点 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数解析式的性质是解题的关键． 直接利用二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．二次函数的图像，开口向上，故此选项错误，不符合题意； B． 顶点坐标是，故此选项正确，符合题意； C． 对称轴是直线，故此选项错误，不符合题意； D． 二次函数的图象与x轴没有交点，故此选项错误，不符合题意． 故选：B． 12．（24-25九年级上·江苏南通·期中）将抛物线向下平移()个单位长度，关于平移前后的抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口大小改变 B．开口方向改变 C．顶点位置不变 D．对称轴不变 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象的平移 【分析】本题考查看二次函数平移，二次函数图象和性质，由平移可得平移后的抛物线的解析式为，据此即可判断求解，掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向下平移()个单位长度，得到的抛物线的解析式为， ∴平移前后的抛物线开口大小和方向没有改变，对称轴不变，顶点位置变化了， ∴选项错误，选项正确， 故选：． 期末重难突破练（测试时间：30分钟） 1．（24-25九年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，连接，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，找到两个临界位置是解题关键．先将点，代入求出的值，再结合函数图象求解即可得． 【详解】解：将点代入抛物线得：，解得， 将点代入抛物线得：， 如图，若抛物线与线段恰有一个公共点， 则的取值范围是， 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知平面直角坐标系中，点为抛物线上一点．当时，点关于轴的对称点始终在直线的上方，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到关于的不等式是解题的关键． 求得直线，当时的函数值为，根据题意当时，抛物线的函数值小于1，得到关于的不等式，解不等式即可求得的取值范围． 【详解】解∶直线中，当时，， 关于轴的对称点始终在直线的上方， 当时，， ， 解得， 的取值范围是， 故答案为∶ ． 3．（24-25九年级上·江苏常州·期末）已知二次函数的图像如图所示，交轴于点、两点，若该函数在的范围内有最小值为，最大值为12，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，先利用交点式写出抛物线解析式为，再利用配方法得到，则当时，y有最小值为，再解方程得，，即自变量为或7时，函数值为12，然后利用该函数在的范围内有最小值为，最大值为12，从而确定的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴抛物线解析式为， 即， ∵， ∴当时，y有最小值为， 当时，， 解得，， ∵该函数在的范围内有最小值为，最大值为12， ∴． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）某汽车出租公司每辆汽车月租费为3000元时，100辆汽车可以全部租出，若每辆汽车的月租费每增加50元，则将少租出1辆汽车，已知每辆租出的汽车支付月维护费200元． (1)每辆汽车月租费为3500元时，则该出租公司可以租出______辆汽车； (2)每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 【答案】(1)90 (2)每月租出78辆汽车时，出租公司的月收益最大，最大月收益是304200元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值问题，正确的列出函数解析式是解题的关键． （1）根据每辆汽车的月租费每增加50元，将少租出1辆汽车，列式计算即可； （2）设每月租出x辆汽车时，该出租公司的月收益最大，月收益是y元，根据题意列出二次函数解析式，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意：（辆） 则每辆汽车月租费为3500元时，该出租公司可以租出辆汽车； （2）解：设每月租出x辆汽车时，该出租公司的月收益最大，月收益是y元， 根据题意：：， 即：． 配方得：， ， ∴当时，， 故每月租出78辆汽车时，该出租公司的月收益最大，最大月收益是304200元． 5．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知二次函数（其中为常数）． (1)若该函数图像经过点和，求的值； (2)若，判断二次函数的图像与轴公共点的个数，并说明理由； (3)若点都在二次函数的图像上，试比较的大小． 【答案】(1) (2)只有一个公共点，理由见解析 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x轴的交点问题以及二次函数的图像和性质等知识． （1）利用待定系数法求解即可． （2）根据根的判别式判断即可． （3）法一：把两点分别代入二次函数得出和，然后做差即可比较． 法二：利用二次函数的图像和性质比较即可． 【详解】（1）解：将和代入， 得， 解得． （2）解：， ， 图像与轴只有一个公共点． （3）解：法一： 由题意知 法二：对称轴为， 与关于对称轴对称， ∴当时，随着的增大而增大， ． ∴． 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 1．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，已知抛物线，顶点为点P，与轴交于点B、A，与y轴交于点． (1)则点A坐标为 ；B坐标为 ； (2)求的面积； (3)点是直线上方抛物线上的点（不与P重合），是否存在点D，使得和面积相等？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由？ 【答案】(1)； (2)3 (3)存在点，使得和面积相等，坐标为 【知识点】面积问题(二次函数综合)、求抛物线与y轴的交点坐标、求抛物线与x轴的交点坐标、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，二次函数与几何图形面积的计算方法，掌握二次函数顶点式的计算，二次函数与几何图形面积的计算方法阿是解题的关键． （1）把代入求解即可； （2）根据二次函数与坐标轴的交点的计算方法可得，运用待定系数法求出直线的解析式，如图所示，过点作轴于点，交于点，可得，根据，即可求解； （3）根据题意，点是直线上方抛物线上的点且不同于顶点，过点作轴于点，交于点，设，计算方法如（2），由此即可求解． 【详解】（1）解∶ 把代入，得， 解得，， ∴；， 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， 令，则， ∴， 设直线的解析式为，把代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 如图所示，过点作轴于点，交于点， ∴点的横坐标为， 把代入直线得，， ∴， ∴，， ∴， ∴的面积为3； （3）解：如图所示， ∵点是直线上方抛物线上的点且不同于顶点，过点作轴于点，交于点， ∴设， ∴点的横坐标为， ∴，即 ∴， 根据（2）的计算方法得，， ∴， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， 当时，， ∴， ∴存在点，使得和面积相等，坐标为． 2．（2025·江苏常州·三模）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C． (1)填空： ___________， ___________； (2)当时，函数的最大值是5，直接写出t的值是___________； (3)点C关于抛物线对称轴对称的点为E，过E作轴于F，点P为抛物线上一点，且点P在抛物线对称轴左侧，过P作轴于M，交直线于点N．若，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【知识点】角度问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案； （2）求出时的自变量的值，根据二次函数的对称轴分两种情况进行解答即可； （3）分两种情况画出图形，进行解答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴相交于点、点， ∴， 解得 故答案为：，； （2）由（1）可知，二次函数解析式为， 把代入得到，， 解得， ∵ ∴抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小， ∵当时，函数的最大值是5， ∴当时，时取得最大值，即，解得， 当时，时取得最大值，即， ∴或， 故答案为：或； （3）当时，， 即点C的坐标为， ∵点C关于抛物线对称轴对称的点为E，对称轴为直线， ∴点E的坐标为， 如图，设交轴于点，交于点， ∵轴， ∴， 根据轴对称性可得，， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则 解得 ∴直线的解析式为， ∵点E的坐标为，， ∴设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 由， 解得，或 ∴， 设直线交轴于点，点关于直线对称的点为，连接交于点，连接交抛物线于点，此时也满足条件， ∵直线的解析式为， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为，则 解得 ∴直线的解析式为， 设，则，把代入得到① 由轴对称可得，，则， 即② 由①②得到，或（不合题意，舍去） ∴ 设直线的解析式为，则 解得 ∴直线的解析式为， 由由， 解得，或 ∴ 综上可知，点P的坐标为或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $