专题05 锐角三角函数（期末复习讲义）九年级数学上学期苏科版

该初中数学锐角三角函数期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标及考情规律，以“知识点+题型”结构呈现知识脉络，每个知识点包含定义、示例及易错点分析，清晰展现概念、特殊角、解三角形、实际应用四大模块的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，题型部分针对网格求三角函数值、实际应用（仰角俯角、方位角）等设置典例与变式，结合解题技巧与易错点拨，培养几何直观与模型意识。基础通关、重难突破、综合拓展三层练习满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升学生运算能力与问题解决能力。

专题05 锐角三角函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 正弦、余弦、正切的概念 掌握锐角三角函数（sinA，cosA,tanA)的概念，并会计算一个锐角的正弦、余弦、正切； 必考考点，常出现在期末考试的选择题或填空题； 30°，45°,60°的三角函数值 知道30°，45°,60°角的三角函数值；并且会根据30°，45°,60°的三角函数值得到角的度数； 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。 必考考点，一般位于解答题的计算题部分，通常与实数的混合运算综合在一起考查，属于基础题； 解直角三角形 能用锐角三角函数解直角三角形；能通过作辅助线将非直角三角形转化为直角三角形，然后利用三角函数解决问题； 必考考点，选择题和填空题、解答题都会出现，综合性较强，难度较大； 锐角三角函数的实际应用 能用锐角三角函数相关知识解决一些简单的实际问题。 必考题，选择题和填空题中的相关问题比较简单，解答题中的相关问题，难度较大。 知识点01 锐角三角函数的概念 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA=； 余弦：cosA=； 正切：tanA=． ·示例：计算一个锐角的三角函数值时，首先要找到该角所在的直角三角形，根据要求三角函数的定义，看看需要知道那两条边长，然后再根据该三角函数的定义去计算三角函数值，详见下面的例子： （2024·广东东莞·一模）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D．2 如图，连接格点、， 在中，． ·易错点：根据三角函数的概念计算三角函数值有两个关键，一是找包含该角的直角三角形，二是计算需要的边长。 知识点02 特殊角的三角函数 特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° ·示例：（24-25九年级上·江苏无锡·期末）计算： (1)； (2)． 解： ． （2） ． ·易错点：特殊角的三角函数，最难的，最易出错的就是好多同学记不住这些数和它们对应的角，容易记混淆，尤其是30度角和60度角的六个三角函数值，大家可以借助数形结合的方式记忆，不容易错。参考下面的图形记忆： 知识点03 解直角三角形 考点3：解直角三角形 1. 解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2.解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则： (1)三边关系：a2+b2=c2； (2)两锐角关系：∠A+∠B=90°； (3)边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； (4)sin2A+cos2A=1．tan A= ·示例：如图，在中，，，解这个直角三角形． 解：在中，， ∵， ∴ ∴， ∴. ·易错点： 解直角三角形的概念是求出该直角三角形除了题目所给的边角条件之外所有的边和角，务必不要求少了，所以上题要求三个问题。 知识点04 锐角三角函数的实际应用 1.仰角和俯角问题： 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2.坡度和坡角问题： 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 3.方向角问题： 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角． 特别的， 北偏东45度也叫东北方向；北偏西45度也叫西北方向； 南偏东45度也叫东南方向；南偏西45度也叫西南方向。 4.解直角三角形实际应用的一般步骤 （1）审题，根据题意画出相应图形，建立数学模型； （2）转化：将实际条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； （3）解决：选择合适的边角关系式，解决问题； （4）检验：检验答案是否符合实际生活． ·示例：如图，平地上一幢建筑物与铁塔相距，在建筑物的顶部分别观测铁塔底部的俯角为、铁塔顶部的仰角，求铁塔的高度（精确到）（参考数据） 解：如图所示，过点A作于E， 由题意可知：，， 在中，， 在中，， ∴， 答：铁塔的高度为． ·易错点：这种问题的问题类型比较稳定，解答难度不大，错误主要集中在计算上，计算能力不好的学生，计算量稍大一些就会出错，另外解答后不要忘记检验是否符合题意。 题型一 利用锐角三角函数的概念求正切、正弦、余弦值 解｜题｜技｜巧 利用锐角三角函数的概念求正切、正弦、余弦值基本步骤： 1.明确所求的角在哪里，找到这个角所在的直角三角形；（如果找不到需要的直角三角形，就作辅助线构造直角三角形，必须包含所求的角） 2.根据三角函数的定义看看需要知道哪两条边的长度；没有就先求该边的长度； 3.根据定义，计算该三角函数值。 易｜错｜点｜拨 计算一个角的三角函数值问题，比较易错或者说有难度的就是与网格中的角有关的三角函数计算问题，因为这种题目条件较少，甚至没有条件，题目比较灵活，关键就是找到包含所求角的直角三角形。 【典例1】（24-25九年级上·江苏常州·期末）在中，，如果，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，中，，，，则的值为 ． 【变式2】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25九年级上·江苏苏州·月考）如图，点A、B、C为正方形网格纸中的3个格点，则的值是 ． 【变式1】（2025·江苏无锡·二模）如图，在的网格图中，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上，、相交于点E，则的值是 ． 【变式2】（2025·江苏宿迁·一模）如图，已知菱形的对角线，，则 ． 【典例3】（2025·江苏无锡·三模）在中，，，，则的值是（  ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·江苏南通·一模）在中，，为斜边上的中线，若，则的值为 ． 【变式2】（2025·江苏无锡·二模）如图，在矩形中，已知为边上的中点，若将沿着直线翻折，使点A落在点处，连接，则 ． 【典例4】（2025·江苏南通·二模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点均在格点上，连接，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·江苏扬州·二模）如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值等于 ． 【变式2】（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在正方形网格中，的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则 【典例5】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，于，若，，则的值为(　　) A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）在中，，，若将的三边都扩大3倍，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，=，是重心，连接，则的正切值为 ． 【典例6】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中．点A，B，C，D都在这些小正方形的格点上，相交于点E，则的正切值为 ． 【变式1】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在正方形网格中，如图放置，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【变式2】（2025·江苏常州·二模）如图，在正方形网格中，线段、的端点都在边长为1的小正方形的顶点上，则 ． 题型二 特殊角的三角函数 解｜题｜技｜巧 特殊角的三角函数重点是牢记上边表格中的30度，45度，60度的正弦值，余弦值，正切值，并能与实数的混合运算，一般除了出现在其他几何图形问题中，还会出现在混合运算中，大概位置在解答题前两题中。可以借助图形去记忆这九个三角函数值。 易｜错｜点｜拨 牢记特殊角的三角函数值，如果实在记不住，可以借助三角函数的概念进行简单的推导！ 这里最容易记混淆的就是30度角与60度角的六个值与角。 【典例1】（24-25九年级上·江苏徐州·期末）计算； 【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）计算： (1) (2) 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）计算： (1) (2) 【典例2】根据特殊角的三角函数值求对应的角的度数 （24-25九年级上·江苏无锡·期末）求锐角：． 【变式1】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）已知是锐角，且，求． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）求锐角的度数：． 题型三 利用三角函数求线段长或角度（解三角形） 解｜题｜技｜巧 可以说，解三角形或直角三角形是三角函数最核心的应用，两种类型问题：一种是解直角三角形；另一种是非直角三角形，对于第一种，基本上直接利用三角函数的概念解就可以，基本步骤：一找直接三角形；二根据所求问题找所需要的边长；三根据三角函数的概念解决问题；另一种是找不到需要的直角三角形，那就作辅助线，先构造需要的直角三角形，然后再利用三角函数概念求解； 易｜错｜点｜拨 这里需要注意的是如果题目要求就是解直角三角形，要特别注意，解直角三角形的概念是求出除了已知之外的这个三角形的所有的边和角！这一点要特别小心！ 【典例1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知中，． (1)如图1，若，则______； (2)如图2，若，求的长． 【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知在中，，、、分别为、、所对的边，根据下列条件解直角三角形． (1)已知，，求； (2)已知，，求和． 【变式2】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，中，，为边上的中线，，，． (1)求的长； (2)求的值． 题型四 锐角三角函数的应用 解｜题｜技｜巧 利用锐角三角函数解决的实际问题，核心是将现实场景转化为直角三角形模型，常见类型和通用解题步骤如下： 一、 常见的实际问题类型 1. 测量物体高度（仰角、俯角问题） · 仰角：从观测点看目标物体顶部，视线与水平视线的夹角（向上的角）。 · 俯角：从观测点看目标物体底部，视线与水平视线的夹角（向下的角）。 · 解题关键：过观测点作水平线，构造直角三角形，已知水平距离或观测角，求物体高度。 2. 测量两点间的距离 · 解题关键：通过作垂线构造直角三角形，利用已知的角度和可测量的边长，计算目标距离。 3. 航海、航空中的方位角问题 · 解题关键：根据方位角画出几何图形，确定直角三角形的内角和边长关系，计算航行的距离、位置等。 4. 坡度、坡角问题 · 解题关键：利用坡度和坡角的关系，结合直角三角形的边角关系计算坡面长度、高度或宽度。 二、 通用解题步骤 1. 审题建模：转化为几何问题 通读题目，明确实际场景中的已知量（长度、角度）和未知量，画出几何示意图。若不是直角三角形，需通过作高（垂线）构造一个或多个直角三角形。 2. 标注条件：明确边角关系 在示意图上标注已知的角度、边长，以及需要求解的边或角，确定直角三角形的直角顶点、锐角（仰角、俯角、方位角、坡角等）。 3. 选函数：确定合适的三角函数，根据直角三角形中已知边和未知边的位置关系，选择对应的锐角三角函数： 4. 列式计算：代入数据 根据所选的三角函数列出等式，代入已知数据进行计算。注意单位统一（如角度用度，长度用米、厘米等），计算结果若有近似要求，按题目保留小数位数。 5. 检验作答：验证合理性并总结 易｜错｜点｜拨 这种题型通常有几个易错的地方： 易错1：选用三角函数错误； 易错2：等量关系出现问题导致列式出现错误； 易错3：由于三角函数实际应用题提供的数据大多为无理数或者式小数，导致计算错误； 易错4：忘记检验结果的合理性，导致错误。 【典例1】仰角俯角问题 （24-25九年级上·江苏泰州·期末）泰州文峰塔，又名南山寺塔，是“海陵八景”之一、为测量文峰塔（即图中）的高度，数学社团同学采用如下方法：在点处测得塔顶点的仰角为，然后沿着正对塔身方向前进了米至点，此时测得点的仰角为，点在同一平面内，点在上，且，请根据测量数据，求文峰塔的高度（结果保留整数，参考数据：）． 【变式1】（2025·江苏泰州·三模）如图1，某校的一棵银杏，树龄已逾千年，为了映衬这棵古银杏，园林部门以树干根部为中心，在其四周的地面铺设了圆形的景观草坪．小强所在综合学习小组，为了测量这棵银杏树的高度，采取如下测量方案：将测角仪支架放在圆形草坪的圆周上，使得测角仪与树干的距离等于圆形草坪的半径，当测角仪距离地面1米时，在A处测得树顶D的仰角为，再将测角仪的支架下降20厘米，在C处测得树顶的仰角为，如图2，请求出这棵银杏树的高度．（可选用数据：，，，，，） 【变式2】（2025·江苏南京·三模）如图，为了测量风力发电机风叶的长度，当其中一片风叶与塔杆叠合时，小青在离塔底水平距离为的处，测得塔顶部的仰角，测得叶片处的仰角．已知三片风叶两两所成的角为，点，在同一平面内，求风叶的长度．（结果精确到．参考数据：） 【典例2】方位角问题 （24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点在点的正东方向，，点在点的正北方向，点，在点的正北方向．．点在点的北偏东，点在点的北偏东．求步道的长．（精确到，参考数据：） 【变式1】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，港口位于岛的北偏西方向，灯塔在岛的正东方向，，一艘海轮在岛的正北方向，且、、三点在一条直线上，． (1)求岛与港口之间的距离； (2)求． （参考数据：，，） 【变式2】（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东方向；从凉亭A处沿湖岸向东方走了120米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东方向（点A、B、C在同一平面上）；求湖心岛上的迎宾槐处与湖岸上的凉亭处之间的距离．（结果精确到1米）（参考数据：，，，，，） 【典例3】坡度问题 （24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，小明从点出发，沿着坡度（即）为的坡道向上走了到达点，再沿着水平平台向前走了到达点，最后沿着坡角为的坡道向上走了到达点．（参考数据：，，） (1)当小明到达点时，求他沿垂直方向上升的高度； (2)求点间的水平距离长． 【变式1】（2025·江苏南京·二模）如图，某栋大楼一侧临近山坡，点、、在同一直线上．山坡的坡度为，坡脚与坡顶之间的距离．在坡脚处测得楼顶的仰角为，在坡顶处测得楼顶的仰角为，求大楼的高度．（参考数据：，） 【变式2】（2025·江苏盐城·三模）如图，一架无人机静止悬浮在空中处，小明在山坡A处测得无人机的仰角为，小亮在水平地面处测得无人机的仰角为，已知山坡的坡度，处到地面的距离为10米，水平地面长为30米． (1)求山坡的长； (2)求此时无人机离地面的高度的长（精确到0.1米）．（参考数据：，，） 期末基础通关练（测试时间：20分钟） 1．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，则的值是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏常州·期末）在中，，如果，那么的值是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·安徽芜湖·月考）如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏常州·期末）若锐角，则的值是（    ） A． B． C． D．1 5．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知在中，，，若点为的内心，则等于（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）在中，，的对边分别为、、，若已知和求，你认为最直接的求解应选择三角函数是（   ） A． B． C． D．无法比较 7．（24-25九年级上·江苏南通·期末）下列条件中，不能解直角三角形的是（   ） A．已知两条直角边 B．已知斜边和一条直角边 C．已知两锐角 D．已知一边与一锐角 8．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若，则的值为 ． 9．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，等腰中，，过点B作于点D，，． (1)求的长； (2)求的值． 10．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，） 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，正方形的边长为2，E是边的中点，把△ADE沿折叠得到（点D的对应点为点F），则的值为 ． 2．（2025·江苏常州·一模）如图，矩形的长和宽分别是15和9，在其内部放置5个大小相同的正方形，且、、、四个点分别在矩形的四条边上，则 ． 3．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，已知平行四边形，，，，M、N分别是边、上动点．将平行四边形沿直线折叠，点B的对应点恰好落在边上，A的对应点为，连结、，若． (1)求的长； (2)求的值． 4．（2025·北京西城·二模）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作，交于点E，点F是上一点，且，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 5．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，一架云梯斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于处时，它的底端位于处，此时云梯与地面之间形成的为．当这架云梯的顶端从处下滑到达处时，它的底端从处滑动到处，此时，为．求云梯底端在水平方向滑动的距离．（参考数据：，，，，，） 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 1．（2025·江苏南京·二模）根据图中三角形区域顶点的位置及边长，计算的长．（精确到） （参考数据：，，，，） 2．（2025·江苏连云港·二模）在新书发布现场，常会将一些新书按一定造型摆放，如图1某数学书籍发行现场，将四本新书按着如图2方式摆放在书架的一个格挡中（图中4个完全相同的矩形是书的侧面），最左侧的书贴边垂直摆放，其他三本书倾斜摆放，且，最右侧书的一角S恰好落在格挡边沿．若已知书的高度，宽，解决下列问题： (1)图中的度数为______°； (2)求的长（精确到）； (3)请直接写出格挡的宽度的大小（精确到）（参考数据：，，，，） 3．（2025·江苏南京·一模）【实践课题】如图①，测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点B．测量A、B两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到米，，．画出示意图（如图②）． (1)【问题解决】计算、两点之间的距离（参考数据：，，，，）． (2)【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：如图③，选择合适的点、、，使得、、三点在同一条直线上，且，，当、、三点在同一条直线上时，只需测量即可． 乙小组的方案用到了__________（填“解直角三角形”或“三角形全等”）． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 锐角三角函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 正弦、余弦、正切的概念 掌握锐角三角函数（sinA，cosA,tanA)的概念，并会计算一个锐角的正弦、余弦、正切； 必考考点，常出现在期末考试的选择题或填空题； 30°，45°,60°的三角函数值 知道30°，45°,60°角的三角函数值；并且会根据30°，45°,60°的三角函数值得到角的度数； 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。 必考考点，一般位于解答题的计算题部分，通常与实数的混合运算综合在一起考查，属于基础题； 解直角三角形 能用锐角三角函数解直角三角形；能通过作辅助线将非直角三角形转化为直角三角形，然后利用三角函数解决问题； 必考考点，选择题和填空题、解答题都会出现，综合性较强，难度较大； 锐角三角函数的实际应用 能用锐角三角函数相关知识解决一些简单的实际问题。 必考题，选择题和填空题中的相关问题比较简单，解答题中的相关问题，难度较大。 知识点01 锐角三角函数的概念 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA=； 余弦：cosA=； 正切：tanA=． ·示例：计算一个锐角的三角函数值时，首先要找到该角所在的直角三角形，根据要求三角函数的定义，看看需要知道那两条边长，然后再根据该三角函数的定义去计算三角函数值，详见下面的例子： （2024·广东东莞·一模）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D．2 如图，连接格点、， 在中，． ·易错点：根据三角函数的概念计算三角函数值有两个关键，一是找包含该角的直角三角形，二是计算需要的边长。 知识点02 特殊角的三角函数 特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° ·示例：（24-25九年级上·江苏无锡·期末）计算： (1)； (2)． 解： ． （2） ． ·易错点：特殊角的三角函数，最难的，最易出错的就是好多同学记不住这些数和它们对应的角，容易记混淆，尤其是30度角和60度角的六个三角函数值，大家可以借助数形结合的方式记忆，不容易错。参考下面的图形记忆： 知识点03 解直角三角形 考点3：解直角三角形 1. 解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2.解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则： (1)三边关系：a2+b2=c2； (2)两锐角关系：∠A+∠B=90°； (3)边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； (4)sin2A+cos2A=1．tan A= ·示例：如图，在中，，，解这个直角三角形． 解：在中，， ∵， ∴ ∴， ∴. ·易错点： 解直角三角形的概念是求出该直角三角形除了题目所给的边角条件之外所有的边和角，务必不要求少了，所以上题要求三个问题。 知识点04 锐角三角函数的实际应用 1.仰角和俯角问题： 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2.坡度和坡角问题： 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 3.方向角问题： 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角． 特别的， 北偏东45度也叫东北方向；北偏西45度也叫西北方向； 南偏东45度也叫东南方向；南偏西45度也叫西南方向。 4.解直角三角形实际应用的一般步骤 （1）审题，根据题意画出相应图形，建立数学模型； （2）转化：将实际条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； （3）解决：选择合适的边角关系式，解决问题； （4）检验：检验答案是否符合实际生活． ·示例：如图，平地上一幢建筑物与铁塔相距，在建筑物的顶部分别观测铁塔底部的俯角为、铁塔顶部的仰角，求铁塔的高度（精确到）（参考数据） 解：如图所示，过点A作于E， 由题意可知：，， 在中，， 在中，， ∴， 答：铁塔的高度为． ·易错点：这种问题的问题类型比较稳定，解答难度不大，错误主要集中在计算上，计算能力不好的学生，计算量稍大一些就会出错，另外解答后不要忘记检验是否符合题意。 题型一 利用锐角三角函数的概念求正切、正弦、余弦值 解｜题｜技｜巧 利用锐角三角函数的概念求正切、正弦、余弦值基本步骤： 1.明确所求的角在哪里，找到这个角所在的直角三角形；（如果找不到需要的直角三角形，就作辅助线构造直角三角形，必须包含所求的角） 2.根据三角函数的定义看看需要知道哪两条边的长度；没有就先求该边的长度； 3.根据定义，计算该三角函数值。 易｜错｜点｜拨 计算一个角的三角函数值问题，比较易错或者说有难度的就是与网格中的角有关的三角函数计算问题，因为这种题目条件较少，甚至没有条件，题目比较灵活，关键就是找到包含所求角的直角三角形。 【典例1】（24-25九年级上·江苏常州·期末）在中，，如果，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求角的正弦值 【分析】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，利用勾股定理得到与之间的关系，然后根据正弦的定义即可求得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 则， 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，中，，，，则的值为 ． 【答案】/0.6 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值 【分析】本题主要考查了求一个角的正弦值，勾股定理，先由勾股定理求出的长，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求角的正弦值 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，掌握正弦值等于对边比斜边成为解题的关键． 根据正弦的定义即可解答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 故选：C． 【典例2】（24-25九年级上·江苏苏州·月考）如图，点A、B、C为正方形网格纸中的3个格点，则的值是 ． 【答案】/ 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、求角的正弦值 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、勾股定理的逆定理、正弦等知识，熟练掌握正弦的定义是解题关键．结合网格，取的中点为格点，先利用勾股定理分别求出的长，再利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，且，然后根据正弦的定义求解即可得． 【详解】解：如图，结合网格，取的中点为格点， 设网格纸中的每个小正方形的边长为1， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 故答案为：． 【变式1】（2025·江苏无锡·二模）如图，在的网格图中，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上，、相交于点E，则的值是 ． 【答案】 【知识点】求角的正弦值、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，，过点作，垂足为，先利用勾股定理求出和的长，再利用面积法求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，最后根据题意可得：，从而可得，即可解答． 【详解】解：如图：连接，，过点作，垂足为， 由题意得：，， 的面积 ， ， ∴， ∴， 在中，， 由题意得：， ， ， 故答案为：． 【变式2】（2025·江苏宿迁·一模）如图，已知菱形的对角线，，则 ． 【答案】 【知识点】求角的正弦值、利用菱形的性质求面积、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题菱形的性质，正弦的定义，过D作于E，根据菱形的性质和勾股定理可求出，根据等面积法可求出，最后根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：如图，过D作于E， ∵菱形的对角线，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【典例3】（2025·江苏无锡·三模）在中，，，，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的余弦值 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理．利用勾股定理列式求出，再根据锐角的余弦等于邻边比斜边列式即可． 【详解】解：∵，，， ， ． 故选：D． 【变式1】（2025·江苏南通·一模）在中，，为斜边上的中线，若，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】求角的余弦值、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查直线三角形斜边上中线等于斜边的一半以及余弦的定义．根据斜边上的中线等于斜边的一半以及余弦的定义：邻边比斜边，进行计算即可． 【详解】解：∵，是斜边上的中线， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式2】（2025·江苏无锡·二模）如图，在矩形中，已知为边上的中点，若将沿着直线翻折，使点A落在点处，连接，则 ． 【答案】 【知识点】求角的余弦值、矩形与折叠问题 【分析】求出，由勾股定理求出，由翻折变换的性质得出，因此，由等腰三角形的性质得出，由三角形的外角性质得出，即可得出． 【详解】∵四边形是矩形， ∴， ∵，E是的中点， ∴， ∵， ∴， 由翻折知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【典例4】（2025·江苏南通·二模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点均在格点上，连接，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求角的余弦值、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了网格与勾股定理，锐角三角函数的计算，合理构造直角三角形是关键． 如图所示，在线段上取格点，得到是正方形方格的对角线，，由勾股定理得到，根据余弦值的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，在线段上取格点， 根据网格格点得到，是正方形方格的对角线， ∴， 根据网格得到，， ∴， 故选：D ． 【变式1】（2024·江苏扬州·二模）如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值等于 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题、求角的余弦值 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，过点C作于D，先求出，再利用等面积法求出，利用勾股定理求出，最后根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，过点C作于D， 由网格的特点和勾股定理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在正方形网格中，的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则 【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题、求角的余弦值 【分析】本题主要考查了求角的余弦值，勾股定理，取格点E、F，由网格的特点可知经过点E，且，利用勾股定理求出，则． 【详解】解：如图所示，取格点E、F， 由网格的特点可知经过点E，且， ∴， ∴， 故答案为：． 【典例5】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，于，若，，则的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求角的正切值 【分析】本题考查了正切的定义，掌握正切的定义是解题的关键． 先证明，根据正切的定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）在中，，，若将的三边都扩大3倍，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求角的正切值 【分析】本题考查了锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题关键．设，，，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：设，，， 在中，，， 扩大3倍后的三边为、、， 扩大3倍后的， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，=，是重心，连接，则的正切值为 ． 【答案】 【知识点】求角的正切值、重心的有关性质 【分析】本题考查了重心以及正切的求法，熟练掌握基本概念是解题关键； 连接并延长与交于点，先利用重心的性质可得，，再通过直角等腰三角形性质可知，进而再通过正切的定义即可求解． 【详解】解：连接并延长与交于点，如图， ∵为重心， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴在中，， 故答案为： ． 【典例6】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中．点A，B，C，D都在这些小正方形的格点上，相交于点E，则的正切值为 ． 【答案】 【知识点】求角的正切值、相似三角形的判定与性质综合、在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质，求一个角的正切值，正确添加辅助线是解题的关键． 取格点H，连接，可根据勾股定理逆定理证明，由勾股定理得，显然，那么，由勾股定理得，再由正切定义即可求解． 【详解】解：取格点H，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在正方形网格中，如图放置，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【知识点】求角的正切值 【分析】本题考查勾股定理与格点问题，正切的定义等，解题的关键是利用格点构造直角三角形．取格点，连接，利用正切的定义即可求出的值． 【详解】解：如图所示，取格点，连接 ∵， ∴ 故选：A． 【变式2】（2025·江苏常州·二模）如图，在正方形网格中，线段、的端点都在边长为1的小正方形的顶点上，则 ． 【答案】/0.5 【知识点】求角的正切值、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查三角函数及勾股定理逆定理，熟练掌握三角函数及勾股定理逆定理是解题的关键；连接，根据网格可得，则有，然后根据正切的定义可进行求解． 【详解】解：连接， 由网格可知：，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 题型二 特殊角的三角函数 解｜题｜技｜巧 特殊角的三角函数重点是牢记上边表格中的30度，45度，60度的正弦值，余弦值，正切值，并能与实数的混合运算，一般除了出现在其他几何图形问题中，还会出现在混合运算中，大概位置在解答题前两题中。可以借助图形去记忆这九个三角函数值。 易｜错｜点｜拨 牢记特殊角的三角函数值，如果实在记不住，可以借助三角函数的概念进行简单的推导！ 这里最容易记混淆的就是30度角与60度角的六个值与角。 【典例1】（24-25九年级上·江苏徐州·期末）计算； 【答案】4； 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、实数的混合运算 【分析】此题考查实数的混合运算，三角函数值，先分别计算零次幂，负整数指数幂，化简二次根式，代入特殊的三角函数值，再计算加减法； 【详解】解：原式 ； 【变式1】【答案】(1) (2) 【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂、二次根式的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入进行计算即可解答； （2）先计算负整数指数次幂、绝对值、零次幂和二次根式的化简，代入特殊角的三角函数值，然后合并同类二次根式即可解答． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、负整数指数幂、零指数幂 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握实数的运算法则以及熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）先根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算，再合并即可； （2）先代入特殊角的三角函数值，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【典例2】根据特殊角的三角函数值求对应的角的度数 （24-25九年级上·江苏无锡·期末）求锐角：． 【答案】 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数、特殊三角形的三角函数、 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数． 先求出，再根据特殊角三角函数值即可求出答案． 【详解】解： 【变式1】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）已知是锐角，且，求． 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，已知三角函数值求解锐角的大小，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键．利用锐角的正弦求解即可． 【详解】解：∵是锐角，且，， ∴， ∴． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）求锐角的度数：． 【答案】 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数：先求出，再根据特殊角三角函数值即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵为锐角， ∴． 题型三 利用三角函数求线段长或角度（解三角形） 解｜题｜技｜巧 可以说，解三角形或直角三角形是三角函数最核心的应用，两种类型问题：一种是解直角三角形；另一种是非直角三角形，对于第一种，基本上直接利用三角函数的概念解就可以，基本步骤：一找直接三角形；二根据所求问题找所需要的边长；三根据三角函数的概念解决问题；另一种是找不到需要的直角三角形，那就作辅助线，先构造需要的直角三角形，然后再利用三角函数概念求解； 易｜错｜点｜拨 这里需要注意的是如果题目要求就是解直角三角形，要特别注意，解直角三角形的概念是求出除了已知之外的这个三角形的所有的边和角！这一点要特别小心！ 【典例1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知中，． (1)如图1，若，则______； (2)如图2，若，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了解直角三角形，掌握直角三形中的边角关系是解题的关键． （1）解，即可求解； （2）过点作于点，解，即可求解． 【详解】（1）解：∵，． ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：如图所示，过点作于点， ∵中，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知在中，，、、分别为、、所对的边，根据下列条件解直角三角形． (1)已知，，求； (2)已知，，求和． 【答案】(1) (2)， 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了解直角三角形及勾股定理，熟知正弦、正切的定义及勾股定理是解题的关键． （1）借助于的正弦即可解决问题； （2）先利用勾股定理求出，再结合的正切即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解： ∵， ∴． 【变式2】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，中，，为边上的中线，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、解直角三角形的相关计算 【分析】此题考查了解直角三角形、勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质等知识． （1）根据勾股定理求出，由得到，即可得到的长； （2）由是边上的中线得到，则，根据勾股定理得到，即可得到． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）∵是边上的中线， ∴， ∴，   ∵， ∴， ∴ 题型四 锐角三角函数的应用 解｜题｜技｜巧 利用锐角三角函数解决的实际问题，核心是将现实场景转化为直角三角形模型，常见类型和通用解题步骤如下： 一、 常见的实际问题类型 1. 测量物体高度（仰角、俯角问题） · 仰角：从观测点看目标物体顶部，视线与水平视线的夹角（向上的角）。 · 俯角：从观测点看目标物体底部，视线与水平视线的夹角（向下的角）。 · 解题关键：过观测点作水平线，构造直角三角形，已知水平距离或观测角，求物体高度。 2. 测量两点间的距离 · 解题关键：通过作垂线构造直角三角形，利用已知的角度和可测量的边长，计算目标距离。 3. 航海、航空中的方位角问题 · 解题关键：根据方位角画出几何图形，确定直角三角形的内角和边长关系，计算航行的距离、位置等。 4. 坡度、坡角问题 · 解题关键：利用坡度和坡角的关系，结合直角三角形的边角关系计算坡面长度、高度或宽度。 二、 通用解题步骤 1. 审题建模：转化为几何问题 通读题目，明确实际场景中的已知量（长度、角度）和未知量，画出几何示意图。若不是直角三角形，需通过作高（垂线）构造一个或多个直角三角形。 2. 标注条件：明确边角关系 在示意图上标注已知的角度、边长，以及需要求解的边或角，确定直角三角形的直角顶点、锐角（仰角、俯角、方位角、坡角等）。 3. 选函数：确定合适的三角函数，根据直角三角形中已知边和未知边的位置关系，选择对应的锐角三角函数： 4. 列式计算：代入数据 根据所选的三角函数列出等式，代入已知数据进行计算。注意单位统一（如角度用度，长度用米、厘米等），计算结果若有近似要求，按题目保留小数位数。 5. 检验作答：验证合理性并总结 易｜错｜点｜拨 这种题型通常有几个易错的地方： 易错1：选用三角函数错误； 易错2：等量关系出现问题导致列式出现错误； 易错3：由于三角函数实际应用题提供的数据大多为无理数或者式小数，导致计算错误； 易错4：忘记检验结果的合理性，导致错误。 【典例1】仰角俯角问题 （24-25九年级上·江苏泰州·期末）泰州文峰塔，又名南山寺塔，是“海陵八景”之一、为测量文峰塔（即图中）的高度，数学社团同学采用如下方法：在点处测得塔顶点的仰角为，然后沿着正对塔身方向前进了米至点，此时测得点的仰角为，点在同一平面内，点在上，且，请根据测量数据，求文峰塔的高度（结果保留整数，参考数据：）． 【答案】文峰塔高 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的判定，熟练掌握锐角三角函数的知识是解题的关键．根据等腰三角形的判定可得，设，则，根据列方程求解即可． 【详解】解：由题意知：，，， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 答：文峰塔高． 【变式1】（2025·江苏泰州·三模）如图1，某校的一棵银杏，树龄已逾千年，为了映衬这棵古银杏，园林部门以树干根部为中心，在其四周的地面铺设了圆形的景观草坪．小强所在综合学习小组，为了测量这棵银杏树的高度，采取如下测量方案：将测角仪支架放在圆形草坪的圆周上，使得测角仪与树干的距离等于圆形草坪的半径，当测角仪距离地面1米时，在A处测得树顶D的仰角为，再将测角仪的支架下降20厘米，在C处测得树顶的仰角为，如图2，请求出这棵银杏树的高度．（可选用数据：，，，，，） 【答案】23米 【知识点】解直角三角形的相关计算、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形应用中的仰角问题，是利用锐角三角函数求解树高的实际问题．关键在于通过设未知数，利用锐角三角函数建立方程来求解．已知在圆形草坪圆周上不同高度的两点测量树顶的仰角，以及两点的高度差，同时给出了一些锐角三角函数值，可设树高为，利用和的值可表示出草坪圆周的半径，利用半径相等即可建立方程求解． 【详解】解：如图2所示，作，，由题意得，，，，则，设树高， 在中，，则， 同理在中，，则， ∵，，， ∴， 解得． 故树高为23米． 【变式2】（2025·江苏南京·三模）如图，为了测量风力发电机风叶的长度，当其中一片风叶与塔杆叠合时，小青在离塔底水平距离为的处，测得塔顶部的仰角，测得叶片处的仰角．已知三片风叶两两所成的角为，点，在同一平面内，求风叶的长度．（结果精确到．参考数据：） 【答案】米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，如图，过作于，作于，而，则四边形为矩形，求解，设，则，可得，可得，利用，再建立方程求解即可． 【详解】解：如图，过作于，作于，而，则四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：，经检验符合题意； ∴（米）． 【典例2】方位角问题 （24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点在点的正东方向，，点在点的正北方向，点，在点的正北方向．．点在点的北偏东，点在点的北偏东．求步道的长．（精确到，参考数据：） 【答案】步道的长度为 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，作，垂足为，结合题意可得：，，求解，，再进一步解答即可. 【详解】解：作，垂足为，结合题意可得： ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：步道的长度为. 【变式1】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，港口位于岛的北偏西方向，灯塔在岛的正东方向，，一艘海轮在岛的正北方向，且、、三点在一条直线上，． (1)求岛与港口之间的距离； (2)求． （参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)、解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，比例的性质，能根据作辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，证明，得出，结合，，求出，再在中利用三角函数即可求解； （2）在中，利用三角函数求出，利用，得出，则可求出，再在中利用三角函数即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 得：， 在中，由， 得． 答：岛与港口之间的距离为； （2）解：在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，． 【变式2】（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东方向；从凉亭A处沿湖岸向东方走了120米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东方向（点A、B、C在同一平面上）；求湖心岛上的迎宾槐处与湖岸上的凉亭处之间的距离．（结果精确到1米）（参考数据：，，，，，） 【答案】湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离为253米 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】根据题意，结合图形，在中表示出，在中表示出，结合的长度，得到结果． 本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：过C点作，交的延长线于点D， 设米， 依题意，，， ∵在中，，， ∴， ∵在中，， ∴， ， ∵米， ∴， 即， 解得（米）， ∴（米）， 答：湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离为253米． 【典例3】坡度问题 （24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，小明从点出发，沿着坡度（即）为的坡道向上走了到达点，再沿着水平平台向前走了到达点，最后沿着坡角为的坡道向上走了到达点．（参考数据：，，） (1)当小明到达点时，求他沿垂直方向上升的高度； (2)求点间的水平距离长． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，勾股定理，矩形的判定与性质，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． （1）过点B作于F，过点C作于G，延长交于H，，设，根据坡度的概念用x表示出，根据勾股定理求出； （2）根据余弦的定义求出，进而求出． 【详解】（1）解：过点B作于F，过点C作于G，延长交于H， 设， ∵坡道的坡度为， ∴， 在中，，即， 解得：， 所以他沿垂直方向上升的高度为； （2）解：由（1）可知：，四边形为矩形， ∴， 在中，， 则， 则， 所以点A，D间的水平距离长约为． 【变式1】（2025·江苏南京·二模）如图，某栋大楼一侧临近山坡，点、、在同一直线上．山坡的坡度为，坡脚与坡顶之间的距离．在坡脚处测得楼顶的仰角为，在坡顶处测得楼顶的仰角为，求大楼的高度．（参考数据：，） 【答案】 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，勾股定理，过点作于，作于．则四边形是矩形，由矩形的性质可得，．设，，由勾股定理计算可得，，设，则，，．结合，求出的值，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：过点作于，作于．则． 四边形是矩形． ，． 在中，， ， 在中，， ， 在中，，坡度为， ． 设，， ，， ， 解得， ，， 设，则，， ． ， ， 解得， 则． 答：大楼的高度为． 【变式2】（2025·江苏盐城·三模）如图，一架无人机静止悬浮在空中处，小明在山坡A处测得无人机的仰角为，小亮在水平地面处测得无人机的仰角为，已知山坡的坡度，处到地面的距离为10米，水平地面长为30米． (1)求山坡的长； (2)求此时无人机离地面的高度的长（精确到0.1米）．（参考数据：，，） 【答案】(1)山坡的长为米 (2)此时无人机离地面的高度的长米 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作交的延长线于，由题意可得米，由山坡的坡比，求出米，再由勾股定理计算即可得解； （2）延长交于点，则，易得四边形为矩形，由矩形的性质可得米，，证明为等腰直角三角形，得出，设米，则米，米，解直角三角形，即可得解． 【详解】（1）解：如图，作交的延长线于， 由题意可得：米， ∵山坡的坡比， ∴， ∴米， ∴米， ∴山坡的长为米； （2）解：如图：延长交于点，则， 则：， ∴四边形为矩形， ∴米，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设米，则米，米， ∵， ∴， ∴米，即此时无人机离地面的高度的长米． 期末基础通关练（测试时间：20分钟） 1．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求角的正切值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，先利用勾股定理求出，然后利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏常州·期末）在中，，如果，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求角的正弦值 【分析】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，利用勾股定理得到与之间的关系，然后根据正弦的定义即可求得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 则， 故选：C． 3．（22-23九年级上·安徽芜湖·月考）如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求角的余弦值 【分析】作于点D，作于点E，把、表示出来，根据三角函数求值即可． 【详解】 解：如图，作于点D，作于点E， 由已知可得，， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 方法2：由已知可得， ， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查三角函数及勾股定理，熟练掌握求一个角的三角函数值是解题的关键． 4．（24-25九年级上·江苏常州·期末）若锐角，则的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【知识点】特殊三角形的三角函数 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，根据即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B 5．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知在中，，，若点为的内心，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内心有关应用、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、求角的正切值 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心、角平分线的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接并且延长交于点，作于点，∵点为的内心，∴平分，得到，设，根据推出，进而求解． 【详解】解：如图：连接并且延长交于点，作于点，则， ∵点为的内心， ∴平分， ∵，， ∴， 设, ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 即， ∴， ∴． 故选：B ． 6．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）在中，，的对边分别为、、，若已知和求，你认为最直接的求解应选择三角函数是（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查解三角形，解题的关键是熟练运用三角函数的定义求解．由在中，，的对边分别是、、则，由此即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，的对边分别是、、 ∴ 故选：B． 7．（24-25九年级上·江苏南通·期末）下列条件中，不能解直角三角形的是（   ） A．已知两条直角边 B．已知斜边和一条直角边 C．已知两锐角 D．已知一边与一锐角 【答案】C 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知解直角三角形所需的条件是解题的关键．根据四个选项中所给条件，结合解直角三角形的步骤依次进行判断即可． 【详解】解：当已知两条直角边时， 可利用勾股定理求出斜边长，再分别求出两个锐角的正弦值，进而得出两个锐角度数， 所以这个直角三角形可解． 故A选项不符合题意． 当已知斜边和一条直角边时， 可利用勾股定理求出斜边长，再分别求出两个锐角的正弦值， 可利用勾股定理求出另一条直角边长，再分别求出两个锐角的正弦值，进而得出两个锐角度数， 所以这个直角三角形可解． 故B选项不符合题意． 当已知两锐角时， 此直角三角形的大小无法确定， 所以这个直角三角形不可解． 故C选项符合题意． 当已知一边与一锐角时， 可先求出另一个锐角，再借助正弦或余弦求出剩余的边即可， 所以这个直角三角形可解． 故D选项不符合题意． 故选：C． 8．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题关键．先由正弦得到，从而设，，利用勾股定理求得，再利用正切求解即可． 【详解】解：， ， 设，， ， ， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，等腰中，，过点B作于点D，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1)10 (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，勾股定理， 对于（1），根据，求出，再根据勾股定理求出答案； 对于（2），先根据求出，再根据勾股定理求出，然后根据得出结果． 【详解】（1）解：在中，，， ∴． 根据勾股定理，得； （2）解：∵， ∴， ∴． 根据勾股定理，得． 在中，． 10．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，） 【答案】 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，可得是矩形，即得，，得到，，，再分别解、，求出即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，则， ∵， ∴， ∴是矩形， ，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ∵， ， 在中，， ， ， 答：台灯的旋钮到桌面的距离约为． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，正方形的边长为2，E是边的中点，把△ADE沿折叠得到（点D的对应点为点F），则的值为 ． 【答案】 【知识点】折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质求线段长、求角的正切值 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定，勾股定理，求正切值等，熟练掌握知识点是解题的关键．过点F作，分别交于点N，M，证明四边形是矩形和，设，利用相似三角形的性质得出，再利用勾股定理求出x的值，进而求解即可． 【详解】解：过点F作，分别交于点N，M， ∵四边形为正方形， ∴， ∵E是边的中点，把沿折叠得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2025·江苏常州·一模）如图，矩形的长和宽分别是15和9，在其内部放置5个大小相同的正方形，且、、、四个点分别在矩形的四条边上，则 ． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】本题主要考查了解直角三角形，矩形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质，过点F作于T，由矩形的性质可得，再证明四边形是矩形，得到，，根据正方形的性质可得，则可导角证明，设小正方形的边长为x，则，解直角三角形可求出，据此可求出的长，进而可求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点F作于T， ∵四边形是矩形，且长和宽分别是15和9， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 由正方形的性质可得， ∴； ∵， ∴， 设小正方形的边长为x，则， 在中，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，已知平行四边形，，，，M、N分别是边、上动点．将平行四边形沿直线折叠，点B的对应点恰好落在边上，A的对应点为，连结、，若． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】折叠问题、解直角三角形的相关计算、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）先根据折叠的性质得出MN垂直平分，，从而可得，再根据等边对等角可求得，然后根据三角形内角的定理求得，再利用平角的意义得到，接着证明是等边三角形，根据等边三角形的性质求得，从而可证明，再分别求得，，再得到关于的方程求解； （2）先求得，再利用含有30度角的直角三角形的性质求得与，然后设，用表示出，再利用勾股定理得到关于的方程求解，接着求出，最后利用正弦定义式求解． 【详解】（1）解：连接，在上截取，连接， ∵折叠平行四边形，点B的对应点落在边上， ∴垂直平分，， ， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ，是等边三角形，， ，，， ，， ， ∴， ， ， ， ； （2）作，交的延长线于点F， 由（1）得， ， ，， 设，则， ∵， ， ， ． 4．（2025·北京西城·二模）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作，交于点E，点F是上一点，且，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】证明四边形是矩形、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）首先利用角平分线的性质得到，再结合推出，从而得出．已知，可得到，根据一组对边平行且相等判定四边形是平行四边形．最后由，根据矩形的判定定理（有一个角是直角的平行四边形是矩形）得出四边形是矩形． （2）利用矩形的性质得到，进而推出，．已知，则，在中，根据正弦值和求出和的长度，进而得到的长度．最后在中，根据勾股定理求出的长． 【详解】（1）证明：∵的平分线交于点， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴四边形为矩形． （2）解：如图所示， ∵在矩形中，， ∴，． ∵， ∴． ∵在中，， ∴，． ∴． ∵在矩形中，， ∴在中，． 5．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，一架云梯斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于处时，它的底端位于处，此时云梯与地面之间形成的为．当这架云梯的顶端从处下滑到达处时，它的底端从处滑动到处，此时，为．求云梯底端在水平方向滑动的距离．（参考数据：，，，，，） 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形；设，则，利用锐角三角函数表示出、，利用建立方程求出x，再利用锐角三角函数求出、，最后利用即可求出. 【详解】解：设，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 即云梯底端在水平方向滑动的距离为． 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 1．（2025·江苏南京·二模）根据图中三角形区域顶点的位置及边长，计算的长．（精确到） （参考数据：，，，，） 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，矩形的判定和性质，构造矩形，设，由等腰直角三角形的性质得出，解，求出，得出，，再由勾股定理，代入解出x，最后再根据求解即可． 【详解】解：构造如图所示矩形， 设， 在中， ∵， ∴； 在中， ∵， ∴，； ∴， ， 在中，， ∴， 解得，（舍）； ∴． 2．（2025·江苏连云港·二模）在新书发布现场，常会将一些新书按一定造型摆放，如图1某数学书籍发行现场，将四本新书按着如图2方式摆放在书架的一个格挡中（图中4个完全相同的矩形是书的侧面），最左侧的书贴边垂直摆放，其他三本书倾斜摆放，且，最右侧书的一角S恰好落在格挡边沿．若已知书的高度，宽，解决下列问题： (1)图中的度数为______°； (2)求的长（精确到）； (3)请直接写出格挡的宽度的大小（精确到）（参考数据：，，，，） 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、三角形的外角的定义及性质、根据矩形的性质与判定求线段长、特殊三角形的三角函数 【分析】（1）延长交于点，易得，则减去的度数即为的度数； （2）延长交于点，根据的余弦值可得的长度，根据的正切值可得的值，则，加上的长度即为的长度； （3）延长，交于点，作于点，分别求出，，，，的长度，再加上和的长度，即为的大小． 【详解】（1）解：延长交于点X， 由题意得：、， 、是的外角 故答案为：； （2）解：延长交于点Y， ， 、、 由（1）知， 的长约为； （3）解：延长，交于点Z，与于点， 由（1）知 、 作于点，则 根据题意可得 在中，由勾股定理得： 由题意得：， 的长约为． 3．（2025·江苏南京·一模）【实践课题】如图①，测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点B．测量A、B两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到米，，．画出示意图（如图②）． (1)【问题解决】计算、两点之间的距离（参考数据：，，，，）． (2)【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：如图③，选择合适的点、、，使得、、三点在同一条直线上，且，，当、、三点在同一条直线上时，只需测量即可． 乙小组的方案用到了__________（填“解直角三角形”或“三角形全等”）． 【答案】(1)米 (2)三角形全等 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质的应用，解直角三角形的应用，灵活应用知识点是解本题的关键； （1）如图，过作于，先求解，，再求解及即可； （2）由全等三角形的判定方法可得，可得，从而可得答案. 【详解】（1）解：如图，过作于， ∵米，，，， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（米）； 即，两点间的距离为米； （2）∵，，当，，在同一条直线上时， ∴， ∴， ∴， ∴只需测量即可得到长度； ∴乙小组的方案用到了三角形全等. 故答案为：三角形全等. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $