学易金卷：八年级数学上学期期末模拟卷（新教材湘教版，测试范围：上册全部内容）

2025-2026学年八年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材湘教版 八上全部内容。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如果有意义，那么的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据被开方数是非负数，即可求解． 【详解】解：有意义， ， ． 因此，的取值范围是， 故选：B． 2．下列四组数中，能组成三角形的是（   ） A．2，2，4 B．1，1，3 C．1，2，3 D．3，4，5 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系．利用三边关系判断时，常用两个较小边的和与较大的边比较大小，即两个较小边的和较大的边，则能组成三角形，否则，不可以．利用三角形三边关系判断即可． 【详解】解：A、，不能够组成三角形，故此选项不符合题意； B、，不能够组成三角形，故此选项不符合题意； C、，不能够组成三角形，故此选项不符合题意； D、，能够组成三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 3．下列二次根式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，包括加法、减法、除法和二次根式的性质． 根据二次根式的加法、减法、除法运算法则以及利用二次根式的性质一一判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 4．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的定义． 因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式．选项A是整式乘法，选项B右边不是积的形式，选项C等式不成立，选项D符合定义． 【详解】解：∵ 因式分解要求左边是多项式，右边是整式的积， 选项A: 是从积到多项式，是乘法运算，不是因式分解； 选项B: 右边不是积的形式； 选项C: 但左边 ，右边 ，两者不相等，故错误； 选项D: 右边是积的形式，且等式成立； 故选：D． 5．世界上最小的开花结果的植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有．将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法， “对于一个绝对值小于1的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为负整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键，由题意可知本题中，，即可得到答案． 【详解】解：． 故选：B． 6．定理“直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方”的逆定理是（   ） A．如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 B．直角三角形的边长满足勾股关系 C．不满足勾股关系的三角形不是直角三角形 D．勾股定理的逆定理 【答案】A 【分析】本题考查了逆定理．勾股定理的逆定理是判断三角形是否为直角三角形的定理，即如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形． 【详解】解： 勾股定理的逆定理是：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 选项A正确描述了该逆定理． 选项B描述的是勾股定理本身，不是逆定理． 选项C是原定理的逆否命题，与原定理等价，不是逆定理． 选项D没有具体描述内容． 故选：A． 7．下列说法正确的是（    ） A．代数式是分式 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则x的值为 D．分式是最简分式 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义、分式的基本性质、分式值为0的条件和最简分式的概念．根据分式的定义判断A；根据分式的基本性质判断B；根据分式值为0的条件判断C；根据最简分式的定义判断D． 【详解】解：A． ∵ 分母π是常数，不是字母， ∴ 是整式，不是分式，故A错误． B． ∵ x，y都扩大3倍后，分式变为，值扩大3倍，故B错误． C． ∵ 分式值为0， ∴ 分子且分母． 由得，由得， ∴ ，故C正确． D． ∵ （），可约分， ∴ 不是最简分式，故D错误． 因此，正确的是C． 故选：C． 8．在中，，，的对边分别记为，，，下列结论中不正确的是（　　） A．如果，那么是直角三角形且 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，那么是直角三角形 D．如果，那么是直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查的是直角三角形的判定和勾股定理的逆定理，直角三角形的判定方法是解题的关键． 根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】解：A、，． 是直角三角形且． 与选项A中是直角三角形且矛盾， 故此选项说法错误，符合题意． B、设，，， 则，解得， ． 是直角三角形． 故此选项说法正确，不符合题意． C、设，，， 则， 是直角三角形． 故此选项说法正确，不符合题意． D、，， ，即， ． 是直角三角形． 故此选项说法正确，不符合题意． 故选：A． 9．已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解及解的取值范围，解题的关键是先将分式方程化为整式方程求解，再结合分式有意义的条件（分母不为0）和解的正负性确定参数范围． 先将分式方程化为同分母形式，转化为整式方程求解关于的表达式，再根据＂解为正数＂和＂分母不为0＂列不等式，最终确定的取值范围． 【详解】解：∵方程， 又∵， ∴， ∴原方程化为． 左边合并：， 两边同时乘以得：， 解得． 由，得，即． 又∵解为正数，∴，即，． 综上，且． 故选：D． 10．如图，在等边中，，为上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处，连接．下列结论：①；②；③；④，其中，正确的结论个数是（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由折叠的性质可得，易得是线段的垂直平分线，即可判断①； 由等边三角形的性质可得，由折叠的性质可得，，进而，即可判断②；先说明，再运用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据角的和差可判断③；先证明可得，再说明，即边上的高为，如图：过F作，则四边形是矩形，即，易得边上的高为，无法得到，据此可判断④． 【详解】解：∵将沿折叠，使点落在点处，连接． ∴， ∴是线段的垂直平分线，即，故①正确； ∵在等边中，， ∴是线段的垂直平分线，，， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴，， 在和中， ， ∴，即②正确； ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，即③正确； ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，即， ∴边上的高为， 如图：过F作，则四边形是矩形，即， ∴边上的高为， ∵无法得到， ∴无法得到，即无法得到，故④错误． 综上，正确的有3个. 故选B． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11．如果，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的求值，掌握代入消元的方法是解题的关键． 由已知条件 可得 ，代入所求表达式 中，通过代数运算即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ， ∴ ． 故答案为：． 12．已知最简二次根式与可以合并，则x的值是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． 由最简二次根式与可以合并可知二次根式与是同类二次根式，然后根据被开方数相同列式求解即可． 【详解】∵最简二次根式与可以合并， ∴二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得． 故答案为：4． 13．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组，平方差公式因式分解；通过观察代数式的结构，发现其符合平方差公式，可转化为，再利用方程组中的条件直接求解． 【详解】由方程组 由②得 ∴． 故答案为：． 14．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到1200里远的城市，所需时间比规定时间多2天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的3倍，求规定时间．设规定时间为y天，则可列出正确的分式方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列分式方程，设规定时间为天，则快马所需时间为天，慢马所需时间为天，再根据快马的速度是慢马的3倍列出方程，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：由题意得，快马速度为里/天，慢马速度为里/天， 由于快马速度是慢马速度的3倍，故有方程：． 故答案为：． 15．如图，在△中，平分，．若，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，根据角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 平分，，， ， ， ． 故答案为：12． 16．如图，射线外有一点，且到射线的距离为6，若点是射线上的一个动点，则当线段与射线所夹锐角是的两倍时，的长为 ．（温馨提示：在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用，解题的关键是通过作高构造直角三角形，结合角的倍数关系转化为边的关系． 先过作，利用勾股定理求出的长度，分点在点右侧、左侧两种情况，结合“等角对等边”构造等腰三角形，再用勾股定理列方程求解的长度． 【详解】解：如图，过作，则， 在中，， 当点在点右侧时，即， 如图，在上截取， 此时， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 当点在点左侧，即， 此时点与上述情况的点重合， ； 综上，的长为或． 故答案为：或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算 (1)． (2)解方程 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，含乘方的有理数混合计算，解分式方程，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可得到答案； （2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 18．（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可； （2）先通分，进行分式的减法，然后把除法转化为乘法进行化简，化简后代入求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 将代入，得原式． 19．如图，是的角平分线，，垂足分别是，，连接，与相交于点． (1)求证：垂直平分； (2)若的面积为，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，角平分线的性质等知识． （1）证明，得到，即可得到点、点都在的垂直平分线上，从而得到垂直平分； （2）先求出，根据三角形面积公式得到，即可求出． 【详解】（1）证明∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点、点都在的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）解：∵， ∴， ∵的面积为，， ∴， 即， ∴． 20．一天周末，小启和爸爸妈妈在小区公园的秋千上玩耍，如图，秋千的顶端为O处，秋千静止时的起始位置为A处，所在直线与地面垂直于M点，当小启两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和．且，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)小启爸爸是在距离地面多高的地方接住小启的？ (3)秋千静止时点离地面的高度是多少？ 【答案】(1)与全等，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再求出，然后根据定理即可得； （2）先根据全等三角形的性质可得，，再根据求解即可得； （3）先利用勾股定理可得，则，再根据求解即可得． 【详解】（1）解：与全等，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：由题意得：，，， 由（1）已证：， ∴，， ∴， 答：小启爸爸是在距离地面的地方接住小启的． （3）解：∵，，， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 答：秋千静止时点离地面的高度是． 21．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 按照以上规律，解决下列问题： (1)第7个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式，并证明其正确性（用含n的式子表示）； (3)计算：； 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性． （1）结合题目所给等式即可求得答案； （2）结合所给等式猜想第n个等式，然后进行证明即可； （3）根据（2）总结得规律将化简为，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题干中所给等式可得第7个等式为：； 故答案为：； （2）解：第n个等式为：，证明如下： ； （3）解： ． 22．在小学，我们已经初步了解到，长方形的对边平行且相等，每个角都是．如图，长方形中，，，为边上一动点，从点出发，以向终点运动，同时动点从点出发，以向终点运动，运动的时间为． (1)当时， 求线段的长； 当平分时，求的值； (2)若，且是以为腰的等腰三角形，求的值． 【答案】(1)线段的长为；的值为； (2)的值为或． 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）当时，则，由题意得，，然后通过勾股定理即可求解； 当时，由题意得，，，，所以，，又平分时，所以，则，得，则，然后求出的值即可； （）当时，由题意可得，，，在中，分为当时，当时，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：当时，则， 由题意得，，， ∴， ∴线段的长为； 如图， 当时，由题意得，，，， ∴，， ∵平分时， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； （2）解：当时，由题意可得，，， 在中，， 如图，当时，即， ∴， 解得：； 如图，当时， ∴， ∴， 解得：； 综上可得：是以为腰的等腰三角形，的值为或． 23．定义：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整数值”． 例如，，，，则与互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，判断与是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求所代表的代数式； ②若分式的值为正整数，求正整数的值． (3)记（2）中分式的值为正整数，已知分式，，且．若关于的方程无解，直接写出的值． 【答案】(1)是互为“和整分式”， (2)①；② (3)或 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键． （1）先计算，再根据结果可得结果； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式的值为正整数．为正整数，可得或，从而可得答案； （3）由题意可得：，可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：， ， 与B是互为“和整分式”，“和整数值”； （2）解：①∵， ∴ ， ∵与互为“和整分式”，且“和整数值”， ∴， ∴； ②∵，且分式的值为正整数为正整数， ∴或， ∴（舍去）； （3）解：由题意可得：， ， ， ， 整理得：， ∵方程无解， ∴或方程有增根， 当时， 解得：， 当，方程有增根， ， 解得：， 综上：的值为：1或． 24．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，其中，，，，显然．请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题： ①如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为 ． ②如图4，在中，，，，求边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，全等三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）先证明，再根据梯形的面积，，四边形的面积，四边形的面积梯形的面积的面积，即可推出结论； （2）设边上的高为，根据割补法求出的面积，再利用的面积可求出结果； （3）由勾股定理得，，再结合列方程求解即可． 【详解】（1）证明：把两个全等的直角和如图2放置， ， 又， ， ， 即， 梯形的面积，， 四边形的面积 ， ∵四边形的面积梯形的面积的面积， ∴ ∴． （2）解：①：设边上的高为， 由勾股定理得，， 的面积， 的面积， ， 即边上的高为， 故答案为：； ②如图， 在中，，，，， 由勾股定理得，， ， 又∵， ∴， ， ． 答：边上的高为． 25．【发现问题】 （1）如图1，和均为等边三角形，当旋转至点，，在同一条直线上时，连接． 填空： ①的度数为______； ②线段，之间的数量关系为__________________； 【拓展研究】 （2）如图2，和均为等腰三角形，，点，，在同一条直线上，为边上的高，连接．请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【探究发现】 （3）如图3，点，分别在边，上，和均为等边三角形，绕点顺时针旋转（），当点，，不在同一条直线上时，设直线与相交于点，探索的度数，请直接写出结果，不必说明理由． 【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3）或． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟知这些性质定理是解题的关键． （1）根据和均为等边三角形，得，，，进而证得即可得结果； （2）根据（1）的做题思想同理证得，再根据等腰三角形三线合一的性质证得，最后可证得； （3）根据点E在的内部和外部，分类讨论求得的度数． 【详解】解： （1）①∵与均为等边三角形， ∴，，． ∴，即， 在与中， ∵，，， ∴， ∴，． 如图1，设与交于点O， ∴． ∴． ②∵， ∴． 故答案为：①；②． （2），理由如下， ∵与均为等腰三角形，， ∴，， ∴，即， 在与中， ∵，，， ∴， ∴， ∵与均为等腰直角三角形，， ∴，，， ∴，且， ∴． 即． （3）如图2，点E在的内部，由（1）知，同理可得． 如图3，点E在的外部， ∵与均为等边三角形， ∴，，． ∴，即， 在与中， ∵，，， ∴， ∴， ∵． ∴． ∴． 故答案为：的度数为或． 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材湘教版 八上全部内容。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如果有意义，那么的取值范围是(    ) A． B． C． D． 2．下列四组数中，能组成三角形的是（   ） A．2，2，4 B．1，1，3 C．1，2，3 D．3，4，5 3．下列二次根式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 5．世界上最小的开花结果的植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有．将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 6．定理“直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方”的逆定理是（   ） A．如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 B．直角三角形的边长满足勾股关系 C．不满足勾股关系的三角形不是直角三角形 D．勾股定理的逆定理 7．下列说法正确的是（    ） A．代数式是分式 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则x的值为 D．分式是最简分式 8．在中，，，的对边分别记为，，，下列结论中不正确的是（　　） A．如果，那么是直角三角形且 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，那么是直角三角形 D．如果，那么是直角三角形 9．已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 10．如图，在等边中，，为上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处，连接．下列结论：①；②；③；④，其中，正确的结论个数是（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11．如果，则 ． 12．已知最简二次根式与可以合并，则x的值是 ． 13．若，则的值是 ． 14．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到1200里远的城市，所需时间比规定时间多2天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的3倍，求规定时间．设规定时间为y天，则可列出正确的分式方程为 ． 15．如图，在△中，平分，．若，则 ． 16．如图，射线外有一点，且到射线的距离为6，若点是射线上的一个动点，则当线段与射线所夹锐角是的两倍时，的长为 ．（温馨提示：在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算 (1)． (2)解方程 18．（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 19．如图，是的角平分线，，垂足分别是，，连接，与相交于点． (1)求证：垂直平分； (2)若的面积为，，求的长． 20．一天周末，小启和爸爸妈妈在小区公园的秋千上玩耍，如图，秋千的顶端为O处，秋千静止时的起始位置为A处，所在直线与地面垂直于M点，当小启两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和．且，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)小启爸爸是在距离地面多高的地方接住小启的？ (3)秋千静止时点离地面的高度是多少？ 21．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 按照以上规律，解决下列问题： (1)第7个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式，并证明其正确性（用含n的式子表示）； (3)计算：； 22．在小学，我们已经初步了解到，长方形的对边平行且相等，每个角都是．如图，长方形中，，，为边上一动点，从点出发，以向终点运动，同时动点从点出发，以向终点运动，运动的时间为． (1)当时， 求线段的长； 当平分时，求的值； (2)若，且是以为腰的等腰三角形，求的值． 23．定义：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整数值”． 例如，，，，则与互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，判断与是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求所代表的代数式； ②若分式的值为正整数，求正整数的值． (3)记（2）中分式的值为正整数，已知分式，，且．若关于的方程无解，直接写出的值． 24．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，其中，，，，显然．请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题： ①如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为 ． ②如图4，在中，，，，求边上的高． 25．【发现问题】 （1）如图1，和均为等边三角形，当旋转至点，，在同一条直线上时，连接． 填空： ①的度数为______； ②线段，之间的数量关系为__________________； 【拓展研究】 （2）如图2，和均为等腰三角形，，点，，在同一条直线上，为边上的高，连接．请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【探究发现】 （3）如图3，点，分别在边，上，和均为等边三角形，绕点顺时针旋转（），当点，，不在同一条直线上时，设直线与相交于点，探索的度数，请直接写出结果，不必说明理由． 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年八年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 2、 填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.） 11.___________________ 12．________________ 13．_________________ 14．_________________ 15．________________ 16．__________________ 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（6分） 19．（6分） 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8分） 22．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年八年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、选择题：（本大题共10题， 每题3分，共30分.) 1[A]B][C][D] 5[A]B][C]D] 9[A[B][CD] 2 [A][B][C][D] 6[A][B][C]D] 10A]B][C]D] 3 [A][B][C][D] 7[A]B][C]D] 双阙 4[A]B][C][D] 8[A]B][C]D] 二、填空题： (本大题共6题，每题3分，共18分.) 12 13. 14. 15. 16. 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22， 23题，每题8分；第24,25题，每题12分；共9小题，共72 分) 17.(6分) 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) 19.(6分) 20.(6分) 0 C D eE-- 777777777777777777777777 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) 22.(8分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) 图 图2 图3 图4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材湘教版 八上全部内容。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如果有意义，那么的取值范围是(    ) A． B． C． D． 2．下列四组数中，能组成三角形的是（   ） A．2，2，4 B．1，1，3 C．1，2，3 D．3，4，5 3．下列二次根式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 5．世界上最小的开花结果的植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有．将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 6．定理“直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方”的逆定理是（   ） A．如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 B．直角三角形的边长满足勾股关系 C．不满足勾股关系的三角形不是直角三角形 D．勾股定理的逆定理 7．下列说法正确的是（    ） A．代数式是分式 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则x的值为 D．分式是最简分式 8．在中，，，的对边分别记为，，，下列结论中不正确的是（　　） A．如果，那么是直角三角形且 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，那么是直角三角形 D．如果，那么是直角三角形 9．已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 10．如图，在等边中，，为上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处，连接．下列结论：①；②；③；④，其中，正确的结论个数是（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11．如果，则 ． 12．已知最简二次根式与可以合并，则x的值是 ． 13．若，则的值是 ． 14．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到1200里远的城市，所需时间比规定时间多2天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的3倍，求规定时间．设规定时间为y天，则可列出正确的分式方程为 ． 15．如图，在△中，平分，．若，则 ． 16．如图，射线外有一点，且到射线的距离为6，若点是射线上的一个动点，则当线段与射线所夹锐角是的两倍时，的长为 ．（温馨提示：在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算 (1)． (2)解方程 18．（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 19．如图，是的角平分线，，垂足分别是，，连接，与相交于点． (1)求证：垂直平分； (2)若的面积为，，求的长． 20．一天周末，小启和爸爸妈妈在小区公园的秋千上玩耍，如图，秋千的顶端为O处，秋千静止时的起始位置为A处，所在直线与地面垂直于M点，当小启两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和．且，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)小启爸爸是在距离地面多高的地方接住小启的？ (3)秋千静止时点离地面的高度是多少？ 21．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 按照以上规律，解决下列问题： (1)第7个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式，并证明其正确性（用含n的式子表示）； (3)计算：； 22．在小学，我们已经初步了解到，长方形的对边平行且相等，每个角都是．如图，长方形中，，，为边上一动点，从点出发，以向终点运动，同时动点从点出发，以向终点运动，运动的时间为． (1)当时， 求线段的长； 当平分时，求的值； (2)若，且是以为腰的等腰三角形，求的值． 23．定义：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整数值”． 例如，，，，则与互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，判断与是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求所代表的代数式； ②若分式的值为正整数，求正整数的值． (3)记（2）中分式的值为正整数，已知分式，，且．若关于的方程无解，直接写出的值． 24．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，其中，，，，显然．请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题： ①如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为 ． ②如图4，在中，，，，求边上的高． 25．【发现问题】 （1）如图1，和均为等边三角形，当旋转至点，，在同一条直线上时，连接． 填空： ①的度数为______； ②线段，之间的数量关系为__________________； 【拓展研究】 （2）如图2，和均为等腰三角形，，点，，在同一条直线上，为边上的高，连接．请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【探究发现】 （3）如图3，点，分别在边，上，和均为等边三角形，绕点顺时针旋转（），当点，，不在同一条直线上时，设直线与相交于点，探索的度数，请直接写出结果，不必说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年八年级数学上学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题共30分） 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B 0 C 0 B A C A 0 8 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 3 11.-2 12.4 13.-2 14.3x12001200 y+2y-2 15.12 39.25 16.4或4 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题， 每题12分；共9小题，共72分) 17. 【详解】1)解：22-(3-m°x-1)2+1-2 =1x-+-8 1-8 1/12 函学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 、27 4;3分 1,2 4 (2)解：x+1x-1x-1 x-1+2(x+1=4 去分母得： 去括号得：x-1+2x+2=4, 移项得：x+2x=4-2+1, 合并同类项得：3x=3, 系数化为1得：x=1, 检验，当x=1时，x-1=0, .x=1是原方程的增根， .原方程无解。6分 18. 【详解】解：) 压5--6唱 -g56 =2√6-√6+2v6 =3w6 3分 2x1）.x-1 (2)（x2-4x+2x-2 2x-(x-2.x-1 （x-2)(x+2x-2 x+2x-2 (x-2(x+2)x-1 、1 X-1,5分 11-3 将x=√5+1代入，得原式√5+1-1√53.6分 2/12 函学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 19. 【详解】(1)证明：MD是△1BC DE⊥AB,DF⊥AC 角平分线， ∴.∠EAD=∠FAD,∠AED=∠AFD=90°， 在△AED和△AFD中， 「∠EAD=∠FAD ∠AED=∠AFD AD=AD :aMED2△AFD(AAS) AE=AF,DE=DF .点A、点D都在EF的垂直平分线上， .AD垂直平分EF;3分 (2)解：，DF=4, .DE DF=4, .AABC 24DE⊥AB,DF⊥AC 的面积为 即时x7x4+54B4=24。 .AB=5.6分 20. 【详解】(I)解：△OBD与△COE全等，理由如下： BD⊥OM,CE⊥OM ∴.LBD0=∠OEC=90°， ∴.∠BOD+∠OBD=90°， .∠BOC=90°， ∴.∠BOD+∠COE=90°， ∴.∠OBD=∠COE. 3/12 函学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 在△OBD和△COE中， 「∠BDO=∠OEC=90° ∠OBD=∠COE OB=CO △OBD≌COE(AAS) ，2分 (2)解：由题意得：DM=0.9m,BD=1.2m,CE=1.6m, 由(1)已证：aOBD≌aCOE, .OE BD=1.2m,OD=CE=1.6m, :.EBM=OM-0E=0D+DM-0E=1.6+0,9-1.2=1.3m 答：小启爸爸是在距离地面1.3m的地方接住小启的.…4分 (3)解：.BD⊥OM,BD=1.2m,OD=1.6m, ∴在Rt△BOD中，OB=VBD+OD=2m .OA=OB, ∴.0A=2m, .DM=0.9m, 4M=0M-0A=0D+DM-0A=1.6+0,9-2=0.5m) 答：秋千静止时A点离地面的高度AM是0.5m.6分 21. 49 7 【详解】(1)解：由题干中所给等式可得第7个等式为： 49-8=7 49、49 7 =7 故答案为： 8 8;2分 n (2)解：第n个等式为： 1h2、2 n+="√n+1,证明如下： n2 n+1 4/12 函学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 =x/H- V n+ =n Vn+1;5分 (3)解：√ ×√26 骆6 =12√24 =246 8分 22. 【详解】(1D解，0当=3时，则DE=6cm 由题意得，AB=CD=8cm,DD=90°， :.CE=VCD'+DE2=V8+6=10(cm, .线段CE的长为10cm;2分 ②如图， D 当t=3时，由题意得，BC∥AD,BC=AD=18cm,BP=3a, .∠AEP=∠CPE.CP=(18-3acm 5/12 函学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :EP平分∠AEC时， ∴.∠AEP=∠CEP, .∠CPE=∠CEP, ..CE=CP, .18-3a=10, 解得：a a的值为3；5分 (2)解：当a=2时，由题意可得，DE=BP=2cm,CP=18-2刘cm, 在Ri△CDE中，CE=CD2+DE2=82+22=64+4 ①如图，当CE=CP时，即CE2=CP2, P E :(18-212=64+4 解得：16的 18； ②如图，当CE=PE时， B CP-DE 8-2刘=-2. 解得：t=3; 6/12 函学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 65 综上可得：△cEn是以CE为腰的等腰三角形，的值为18或3·…8分 23. A=7 【详解】(1)解： 4-2B+6r+9 (x+3)(x-2), ∴A+B=X-7+x2+6x+9 x-2'(x+3)(x-2) =x-7+x+3)}2 x-2(x+3)(x-2) =-7,x+3 x-2x-2 =2x-2) x-2 =2, A与B是互为“和整分式”，“和整数值”k=2;2分 (2)解：①C=3r-4 x-2 D=-E x2-4, C+D=3x-4+E=3x-4x+2) E x-2x2-4(x-2)(x+2)(x-2)(x+2) =3r2+2x-8+E (x-2)(x+2), ,C与D互为“和整分式”，且“和整数值”k=3, 3+2x-8+E=30x-20+2)=32-12 .E=3x2-12-3x2-2x+8=-2x-4 ②D=E，=2x+2)-2 -4(+2x-2)x-2,且分式D的值为正整数1，x为正整数， .x-2=-1或x-2=-2, X=1(X=0舍去)；5分 )解：烟点可得：=0=名2， 7/12 函学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 P+Q=3x-5+m-3=2, x-33-x 3x-5-m+3-2, x-3 .(3-m)x-2=2x-6 (1-1m)x=-4 整理得： 方程无解， ∴.1-m=0或方程有增根x=3, 当1-m=0时， 解得：m=1, 当1-m≠0，方程有增根x=3, 4 :.1-m =3 7 解得：m= 3, 7 综上：m的值为：1或3·8分 24. 【详解】(I)证明：，把两个全等的直角△ABC和△DEA如图2放置， ,∠ABC=∠ADE,ED=AB=a,AD=BC=C,AE=AC=b 又∠DEA=90°， .∠ADE+∠BAF=∠ABC+∠BAF=90°， .∠BFA=90°， 即BC⊥AD, 1 梯形AEDC的面积a+bb,S,m=2a-a-), 四边形1CDB的面积 S。ACD+S&ABD 1DCF+行DBr 1 40+网 8/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D. ,四边形ACDB的面积=梯形AEDC的面积+△BDE的面积， a+a创b+aa-j=c (a+bb+a(a-b)=c2 ab+b2+a2-ab=c2 :g+6=c2 4分 (2)解：①：设AB边上的高为h, 由勾股定理得，4B=V32+4?=5 △ABC的面积=4×4-x1x3-)1×4-×3x4-3 2 2 2 2 △ABC的面积)ABh- 2, h= 5, 13 即4B边上的高为5， 13 故答案为：5；8分 ②如图， 9/12 函学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 AD 在△ABC中，AB=17,AC=25,BC=28,BD⊥AD, 由勾股定理得，AB2-AD=BD2=BC2-CD2, 172-AD2=282-CD2, 又AD+CD=AC=25, .AD=25-CD, 172-(25-CD2=282-CD2 .CD=22.4, .BD=V282-22.42=16.8 答：AC边上的高为16.8.12分 25. 【详解】解：(1)①：△ABC与△ADE均为等边三角形， .∠BAC=∠DAE=6O°，AB=AC,AD=AE」 ∴.∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE,即∠BAD=∠CAE, 在△ABD与△ACE中， :AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE, :.△MBD≌CE(SAS) ∴，∠ABD=∠ACE,BD=CE, 如图1，设AB与DC交于点O, D E 图1 ∴.∠DOB=∠AOC 10/12