专题04 相交线和平行线（期末复习讲义，15知识点+12题型）七年级数学上学期新教材华东师大版

该初中数学相交线和平行线期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，分知识点细化定义、性质及易错点，用“F”“Z”“U”型类比等方式呈现同位角、内错角、同旁内角的位置特征，构建从相交线到平行线的逻辑递进知识脉络。 讲义亮点在于分层题型设计与方法指导，典例结合变式训练，如通过折射问题考查对顶角性质，用“垂线段最短”解决选址问题，培养几何直观与应用意识。分层练习覆盖基础到综合拓展，助力不同学生提升，教师可据此实施精准化复习教学。

专题04 相交线和平行线（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 对顶角的定义 理解对顶角的定义（两条直线相交，相对的两个角），并掌握“对顶角相等”的性质。 基础考点，常在选择题或填空题中直接考查，也作为几何推理的隐含条件。 邻补角的定义 理解邻补角的定义（有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角），掌握“邻补角互补”的性质。 常与对顶角结合考查，用于角度计算，是后续学习垂直、平行的重要基础。 垂线的定义 理解垂直是相交的特殊情况（夹角为90°），会识别和画出垂线，掌握垂足的表示。 基础概念题，常作为作图题或证明题的第一步出现。 垂线段最短 理解“直线外一点到这条直线的所有线段中，垂线段最短”，并会应用该性质解决最短路径问题。 重要性质，常在实际应用（如选址、测量）或几何最值问题中考查。 同位角、内错角、同旁内角 能准确识别两条直线被第三条直线所截形成的三类位置角，并能正确区分。 高频易错点，是学习平行线的基石，常以复杂图形识别题出现，要求细心观察。 平面内两直线的位置关系 掌握平面内两条直线的两种位置关系：相交（包括垂直）与平行。 基础考点，通常以概念判断或简单分类的形式出现在选择题中。 平行公理及推论的应用 理解平行公理（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）及其推论，并能用于几何推理。 常在平行线的证明中作为逻辑依据，考查对公理的理解和应用。 平行线的判定 熟练掌握同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，以及垂直于同一直线等判定两直线平行的方法。 核心高频考点，是几何证明的核心技能，广泛出现在各类证明题和计算题中。 平行线的性质 熟练掌握两直线平行，则同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，并能灵活运用这些性质进行角度计算和证明。 核心高频考点，常与判定结合，构成几何综合题的主体，是中考必考内容。 知识点一、对顶角 1.定义 两人角有相同的顶点，并且一人角的两边分别与另一个角的两边互为反向延长线，我们把这样的两个角叫做对顶角 ☆对顶角是成对出现的，指两个角之间的位置关系，一个角的对顶角只有一个 2.性质 对顶角相等 ☆(1)两个角互为对顶角，它们一定相等:(2)相等的两个角不一定是对顶角 易错点： 对顶角的位置关系和数量关系: 1.位置关系:有公共顶点，两边互为反向延长线。2.数量关系:对顶角相等 知识点二、邻补角 1.相交线 有一个公共点的两条直线是相交线，这个公共点叫交点 ☆(1)相交指的是同一平面内两条直线的一种位置关系;(2)两条直线相交有且只有一个交点. 易错点： 1.邻补角是成对出现的，单独一个角不能称为邻补角。 2.互为邻补角的“两要素” (1)有一条边是公共边; (2)另一边互为反向延长线 2.邻补角 如果两个角既相邻又互补，那么这两个角互为邻补角 3.邻补角与补角的关系 (1)互为邻补角是互为补角的特殊情况，互为邻补角的两个角除具备两角互补这一数量关系外，还要具备相邻的位置关系; (2)一个角的邻补角最多有两个，但一个角的补角可以有多个 知识点三、垂线 1.定义 当两条直线相交所构成的四个角中有一个角为直角时，其他三个角也都为直角，此时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 易错点： 垂直和垂线是两个不同的概念，垂直是两条直线的位置关系，是相交的一种特殊情况，特殊在夹角为直角，而垂线是一条直线 垂直的定义具有双重作用:已知直角得线垂直，已知线垂直得直角 2．表示符号 直线 A B、C D 互相垂直，记作＂＂，读作＂ 垂直于 ＂。 3．推理格式 如图 ，因为 （已知），所以 （垂直的定义）。 反过来：因为 （已知），所以 （垂直的定义）． 知识点四、 垂线段及点到直线的距离 1.垂直平分线 我们把垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线 2.垂线段 (1)定义:过直线外一点画已知直线的垂线，连结这点与垂足的线段，叫做这点到已知直线的垂线段 (2)性质:连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成:垂线段最短 3.点到直线的距离 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 (1)垂线段与点到直线的距离的区别:垂线段是一个几何图形,而点到直线的距离是一个数量，是垂线段的长度(2)点到直线的距离与两点间的距离的区别: 两点间的距离 点到直线的距离 定义 连结两点的线段的长度. 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度 性质 两点之间，线段最短 垂线段最短 易错点： 1.区别:垂线是一条与已知直线垂直的直线:垂直是两条直线之间的位置关系:垂线段是一条与已知直线垂直的线段。 2.联系:垂线段所在的直线是已知直线的垂线:垂线段所在的直线与己知直线互相垂直 知识点五、 垂线的画法 1.垂线的画法 经过一点(已知直线上或已知直线外)，已知直线的垂线，步骤如下: 步骤 内容 示图 一落 让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合 过点画直线的垂线 点在直线外 点在直线上 二移 沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点. 三画 沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线. 易错点： 画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线。垂足不一定在这条线段或射线上，可能在线段的延长线上或射线的反向延长线上。 2.垂线的基本事实 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 基本事实中的唯一性隐含着两个关键条件不能少:一是“同一平面”;二是过一点，这一点可以在已知直线上也可以在已知直线外 知识点六、 同位角 1.定义 两条直线被第三条直线所截，得到的八个角(简称“三线八角”)中，两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角. （1）同位角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系 （2）在“三线八角”中，有4对同位角 2.位置特征 角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征 同位角 在截线同侧，在两条被截直线同一方 形如字母“F”(或倒置、反置、旋转的字母“F”） 易错点： 同位角是成对出现的， 同位角的顶点不是公共的， “同”表示“相同”“位”表示“位置”，“同位角”可理解为“相同位置的两个角”，两个同位角的位置关系具有“同上、同左”或“同上、同右或“同下、同左”或“同下、同右”的特征 知识点七、 内错角 1.定义 两条直线被第三条直线所截，得到的八个角(简称“三线八角”)中，两个角都在两条直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种位置关系的一对角叫做内错角 2.位置特征 角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征 内错角 在截线两侧，在两条被截直线之间 形如字母“Z”(或倒置、反置、旋转的字母“Z”） (1)内错角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系:(2)在“三线八角”中，有2对内错角. 易错点： 内错角是成对出现的，并且是由三条直线组成的，即一对边共线，另一对边不共线。 内错角的顶点不是公共的。 “内”可理解为夹在两直线之间，“错”可理解为交错，即位于第三条直线的两侧.内错角的位置关系具有“同内、异侧”的特征。 知识点八、 同旁内角 1.定义 两条直线被第三条直线所截，得到的八个角(简称“三线八角”)中，两个角都在两条直线之间，且它们都在第三条直线的同一旁，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角 (1)同旁内角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系 (2)在“三线八角”中，有2对同旁内角 2.位置特征 角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征 同旁内角 在截线同旁，在两条被截直线之间 形如字母“U”(或倒置、反置、旋转） 易错点： 同旁内角是成对出现的. 同旁内角的顶点不是公共的。 同旁”即在第三条直线的同一旁，“内”表示夹在两直线之间。同旁内角的位置关系具有“同内、同侧”的特征。 知识点九、 平行线的定义及表示方法 1.定义在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线. ☆平行线定义的三要素: (1)在同一平面内;(2)不相交;(3)都是直线 易错点： 在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系:相交和平行。 重合的直线视为一条直线，不属于相交与平行中的任何一种位置关系 2.表示方法 用＂∥＂表示平行，如图所示，两条 直 线 、 互相平行记作＂ ＂或＂ ＂，读作＂ 平行于 ＂或＂ 平行于 ＂． 知识点十、 平行线的画法 1.过直线外一点画已知直线的平行线的步骤 一落:把三角尺的一边落在已知直线上; 二靠:紧靠三角尺的另一边放一直尺; 三移:把三角尺沿着直尺移动使原先落在已知直线上的边经过已知点; 四画:沿三角尺过已知点的边画直线。此直线即为已知直线的平行线 2.示图 易错点： 1.经过直线上一点不可以作已知直线的平行线, 2.画线段或射线的平行线是画它们所在直线的平行线。 3.借助三角尺画平行线时，必须要保持紧靠，否则画出的直线不平行。 知识点十一、 平行线的判定方法 1 1.判定方法 1两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简写成:同位角相等，两直线平行 “同位角相等，两直线平行”是通过两个同位角的大小关系(相等)推导出两直线的位置关系(平行).它构建起了角的大小关系与直线的位置关系的桥梁 易错点： 构成同位角的两条被截线不一定平行，只有形成的一对同位角相等，这两条被截线才平行。 知识点十二、 平行线的判定方法 2 1.判定方法 2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 简写成:内错角相等，两直线平行 利用“内错角相等”来确定“两直线平行”的关键是弄清这对内错角是哪两条直线被第三条直线所截得到的内错角再说明这两条被截直线平行 易错点： 1.构成内错角的两条被截线不一定平行，只有形成的一对内错角相等，这两条被截线才平行 2.“内错角相等，两直线平行”是利用“对顶角相等”和“同位角相等，两直线平行”推导得出的。 知识点十三、 平行线的判定方法 3 1.判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简写成:同旁内角互补，两直线平行 易错点： 用数量关系判定两直线平行的方法: 在“三线八角”中，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，只要其中一个结论成立就可得到两直线平行 知识点十四、 平行线判定方法的推论 1.推论 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，表达方式:如图，直线a、b、c在同一平面内 2.拓展 a、b、c为同一平面内的三条不重合的直线，有下列结论: 已知其中任意两个结论，总能推出第三个结论成立。 易错点： 三条直线在同一平面内是前提，丢掉这个前提，结论不一定成立。 知识点十五、 过直线外一点作已知直线的平行线 过直线 A B 外一点 作直线 A B 的平行线的作法（如图）： （1）在直线 A B上取一点 ，经过点 和点 ，作直线 M N ； （2）作 ，并使得 与 是一对同位角； （3）反向延长射线 P D ，得到直线CD，直线CD就是过点 所要求作的直线 A B的平行线 题型一 对顶角的定义 解｜题｜技｜巧 ☆两条直线相交形成的相对的两个角，对顶角相等 ◎识别图形中的两条相交直线，找到不相邻且相对的两个角 ◎直接应用“对顶角相等”的性质进行角度计算或证明 ◎在复杂图形中，先分离出基本相交线模型 【典例1】下列图形中，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的判断，根据对顶角的定义 “有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角”逐项进行判断即可． 【详解】解：A、两角的两条边其中一条不互为反向延长线，不符合题意； B、符合对顶角的定义，是对顶角，符合题意； C、两角的两条边其中一条不互为反向延长线，不符合题意； D、两角没有共同顶点，不是对顶角，不符合题意； 故选：B． 【典例2】光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点．测得，，若、、三点在同一条直线上，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查对顶角，根据“对顶角相等”得，代入数据求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵，， ∴， 故选：D． 【变式1】如图，直线，相交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴    ， 故选：B． 【变式2】如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是（   ） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．内错角相等 D．同旁内角互补 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等解答即可． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， ∴依据是对顶角相等． 故选：B． 【变式3】如图，直线相交于点，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的性质，角的和差倍运算，属于基础题；由对顶角相等得，进而求得，再由即可求解． 【详解】解： 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以． 题型二 邻补角的定义 解｜题｜技｜巧 ☆两条直线相交，有公共边且另一边互为反向延长线的两个角，邻补角互补（和为180°） ◎找到两个角是否共享一条边，并检查另一边是否在同一直线上 ◎利用“邻补角互补”建立方程，求未知角度 ◎常用于与对顶角、垂直角等综合计算 【典例1】如图，直线、、相交于点，则图中邻补角共有 对． 【答案】12 【分析】本题主要考查了邻补角的定义； 根据邻补角定义判断即可，注意：两直线相交，邻补角有四对． 【详解】解：∵直线、、相交于点， ∴与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角；与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角； ∴共12对邻补角， 故答案为：12． 【典例2】如图，已知直线与相交于点，平分，． (1)求和的度数； (2)求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查角平分线、邻补角，掌握角平分线的定义以及邻补角的定义是解题的关键． （1）根据对顶角的性质及邻补角的定义进行计算即可； （2）根据角平分线的定义及邻补角的定义进行计算即可． 【详解】（1）解： 与是对顶角， ， , 即：，； （2）解： 平分， ， ， 即：． 【变式1】如图，是直线上一点，为任一条射线，平分，平分． 若，求和的度数； 【答案】， 【分析】本题考查余角和补角的概念，角度的计算，以及角平分线的定义，根据角平分线的定义求出的度数即可；先求出的度数，再根据角平分线的定义解答． 【详解】解：平分，且， ，，三点共线， ， 平分， ， ，． 【变式2】如图，直线相交于点，平分． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，邻补角的定义，熟练掌握上述知识是解题关键． （1）根据角平分线的定义可求出，再结合对顶角相等求解即可； （2）根据邻补角互补，结合题意可求出，再由（1）同理即可求解． 【详解】（1）解：因为，平分， 所以； （2）解：因为， 所以． 因为平分， 所以． 【变式3】已知O是直线上的一点，，平分． (1)如图1，邻补角有______对，互补的角有______对． (2)如图1，设，求的度数（结果用含的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转到图2的位置． ①设，则______． ②在的内部有一条射线，满足：，试确定与的度数之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)3，4 (2) (3)①；②，理由见解析 【分析】本题考查几何图形中的角度计算，角平分线的定义，邻补角的定义等． （1）根据邻补角和互补的定义求解即可； （2）由互补可得，由角平分线的定义可得，再结合即可求解； （3）① 由，得，进而可得，最后根据互补的定义求解；②设，， 则，再用含m和n的式子表示出，即可求解． 【详解】（1）解：邻补角有：与，与，与，共3对； 互补的角有：与，与，与，与，共4对； 故答案为：3，4； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：①∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； ②， 理由：设，， 由①得， ， ∴， ∴， 即． 题型三 垂线的定义 解｜题｜技｜巧 ☆两条直线相交成90°角，则这两条直线互相垂直 ◎若已知垂直，则交角为90°；反之，若交角为90°，则垂直 ◎在证明中，常用“∵∠A=90°，∴AB⊥CD”的格式 ◎作垂线是解决距离、对称等问题的基础 【典例1】如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为 ． 【答案】/55度 【分析】本题主要考查垂线的定义及对顶角相等，熟练掌握垂线的定义及对顶角相等是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 【典例2】在下列各图中，分别过点P画的垂线． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查过一点画已知直线的垂线，熟练掌握作图方法是解题的关键．利用直角三角板即可完成作图． 【详解】解：如图所示： 【变式1】下列说法中，错误的是（   ） A．两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为邻补角 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【答案】C 【分析】本题主要考查垂线、邻补角等概念，熟练掌握相关概念是解题的关键；因此此题可根据垂线、邻补角等概念进行排除选项即可． 【详解】解：A、两条直线相交有一个角为直角时，其余角也为直角，则这两直线垂直，故原说法正确； B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这是垂线的基本性质，故原说法正确； C、两个角的和是180度时，它们互为补角，但邻补角必须相邻（即共享一条边），例如，两个不相邻的角和为180度是补角但不是邻补角，故原说法错误； D、垂线段最短是几何基本性质，故原说法正确； 故选：C． 【变式2】如图，已知直线，作，垂足为O，在内部，在内部，且，，则的度数为 ． 【答案】/151度 【分析】本题考查了角的计算，垂线的定义，得出是解题的关键． 由得出，即，，根据可以得出，结合即可求出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图所示，直线相交于点O，． (1)若，则的余角有 ． (2)若，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了垂直的定义、对顶角的性质、余角的定义、几何图形中的角度计算等知识点，掌握垂直的定义以及角的和差是解题的关键． （1）由垂线的性质求得，然后根据等量代换及余角的定义即可解答； （2）根据垂直的定义求得，再由求得，然后根据邻补角定义和对顶角的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ，即， ∵， ∴的余角有：，． 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴，解得：， ∴， ∴． 题型四 垂线段最短 解｜题｜技｜巧 ☆从直线外一点到该直线的所有线段中，垂线段最短 ◎识别问题中的“最短距离”或“最近路径” ◎确定哪一点到哪条直线，并作出该点到直线的垂线段 ◎该垂线段的长度即为所求最短距离 【典例1】下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间线段最短，解题的关键是掌握相关知识．根据线段的性质，直线的性质和垂线段最短分别判断即可． 【详解】解：A、跳远测量成绩用到的是“垂线段最短”； B、两钉子固定木条用到的是两点确定一条直线； C、木板上弹墨线用到的是两点确定一条直线； D、弯曲河道改直用到的是两点之间，线段最短； 故选：A． 【典例2】如图，，点C为垂足，，点D为垂足，，，，，那么点到的距离是 ，点到的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点到直线的距离、两点间的距离等知识点，掌握点到直线的距离的定义是解题的关键． 根据点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离以及两点间的距离求解即可． 【详解】解：点到的距离是；点到的距离是，A、C两点间的距离为． 故答案为：，，． 【变式1】如图，在河旁边有一个村庄，现要建一个码头，为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在 处，其中的道理是 ． 【答案】 C 点到直线，垂线段最短 【分析】本题主要考查垂线段最短，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；此题可根据垂线段最短进行求解即可． 【详解】解：为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在C处，其中的道理是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； 故答案为：垂线段最短． 【变式2】如图，在同一平面内，线段的长为6，点到直线的距离分别为2和3，则符合条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，即直线外一点到这条直线的垂线段的长度，注意距离都是非负数．根据点到直线的距离，即可求解． 【详解】解：如图： 符合条件的直线共有4条； 故选：D． 【变式3】如图，直线、相交于点，，则直线、的夹角是 ．若于点，于点，则线段 的长度表示点到直线的距离． 【答案】 /度 / 【分析】本题考查的是邻补角的含义，点到直线的距离，根据邻补角与点到直线的距离的含义可得答案． 【详解】解：直线、相交于点，，则直线、的夹角是： ， ∵于点， ∴线段的长度表示点到直线的距离． 故答案为：，． 题型五 同位角、内错角、同旁内角 解｜题｜技｜巧 ☆两条直线被第三条直线所截形成的8个角中，根据位置关系分为三类 ◎同位角：位置相同（如左上与左上），形如“F”型 ◎内错角：内部交错（如左上与右下），形如“Z”或“N”型 ◎同旁内角：内部同侧（如左上与左下），形如“U”型 ◎识别时先找截线，再判断被截线 【典例1】如图，和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角． 根据同位角的定义：在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角，解答即可． 【详解】解：由同位角的定义可知选项A符合题意， 故选：A． 【典例2】如图，则图中内错角共有 对． 【答案】4 【分析】本题主要考查了内错角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． 根据内错角的定义确定内错角的对数即可． 【详解】解：如图：和是一对内错角；和是一对内错角；和是一对内错角；和是一对内错角；即内错角共4对． 故答案为：4． 【变式1】如图，请分别指出各图中的同位角、内错角和同旁内角． 【答案】见解析 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角的识别，明确平行线与截线形成的角的位置关系是解题关键． “同位角：同位置；内错角：交错在截线两侧；同旁内角：在截线同侧”，根据角的位置特征进行识别． 【详解】（1）同位角：和，和，和，和， 内错角：和，和， 同旁内角：和，和． （2）同位角：和，和， 内错角：和，和， 同旁内角：和，和，和，和． 【变式2】如图，直线被直线所截，交点分别为，那么图中的同位角、内错角、同旁内角各有多少对？请分别写出两对，填入下表． 名称 对数 举例 同位角 内错角 同旁内角 【答案】同位角4对，内错角2对，同旁内角2对； 名称 对数 举例 同位角 4 与 与 与 与 （4对选2对即可） 内错角 2 与 与 同旁内角 2 与 与 【分析】本题主要考查根据同位角、内错角、同旁内角的定义，找出直线、被直线所截形成的相应角的对数并举例即可． 【详解】确定同位角的对数并举例：同位角位于截线同侧，被截直线同一侧的角，故为与、与、与、与共4对； 确定内错角的对数并举例：同位角位于截线两旁，被截两条直线之间的角，故为与、与共2对； 确定同旁内角的对数并举例：同旁内角位于截线同旁，被截两条直线之间的角，故为与、与共2对． 【变式3】如图，请分别写出各图中的一对同位角、内错角和同旁内角． 【答案】（1）同位角：；内错角：；同旁内角：；（2）同位角：；内错角：；同旁内角： 【分析】本题考查了同位角、内错角，同旁内角，根据两直线被第三条直线所截，两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角是同位角，可得同位角；两个角在截线的两侧，被截两直线的中间的角是内错角，可得内错角；两个角在截线的同侧，被截两直线的中间的角是同旁内角，可得同旁内角，据此得出结论即可． 【详解】解：（1）同位角：； 内错角：； 同旁内角：； （2）同位角：； 内错角：； 同旁内角：． 题型六 平面内两直线的位置关系 解｜题｜技｜巧 ☆平面内两条直线要么相交（包括垂直），要么平行 ◎判断有无公共点：有则相交，无则平行 ◎若题目中未明确，需考虑是否在同一平面内（初中阶段默认在同一平面） ◎分类讨论时注意垂直是相交的特殊情况 【典例1】将一张长方形纸片按如图所示方式对折两次，第二次对折产生的折痕与第一次对折产生的折痕之间的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面上直线的位置关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据两直线的位置关系解答即可． 【详解】解：观察图形可知，将一张长方形纸片对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是平行． 故选：A． 【典例2】如图，这是一个正方体． (1)写出三对互相平行的棱，用符号表示并指出它们之间的距离． (2)在正方形中可以找出几对互相垂直的边？ 【答案】(1)，它们之间的距离是；，它们之间的距离是；，它们之间的距离是（答案不唯一） (2)4对 【分析】本题考查了认识立体图形，平行线，掌握正方体的特征是解题的关键． （1）根据正方体的特征求解即可； （2）根据正方形的特征求解即可． 【详解】（1）解：，它们之间的距离是； ，它们之间的距离是； ，它们之间的距离是； （2）解：在正方形中，互相垂直的边有，，，，共4对． 【变式1】在同一平面内，没有公共点的两条直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交 C．平行 D．相交或垂直 【答案】C 【分析】本题考查了同一平面内直线的位置关系，解题的关键是明确“无公共点”对应的直线位置关系． 同一平面内直线的位置关系分为相交（有且只有一个公共点）和平行（无公共点）；垂直是相交的特殊情况，因此无公共点的两条直线的位置关系是平行． 【详解】解：同一平面内，直线的位置关系为相交（有公共点）和平行（无公共点）；垂直属于相交的特殊情况． 只有平行的直线无公共点； 故选：C． 【变式2】如图，过点P画直线平行于与相交于点E；画直线平行于与相交于点H． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画平行线，用直尺和三角板画平行线即可． 【详解】解：如图，、即为所求作的平行线． 【变式3】如图，在方格纸中，有两条线段，，利用方格纸完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)过点作的平行线，与（1）中的平行线交于点． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了网格作图，作已知直线的平行线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合网格的性质，过点作的平行线，即可作答． （2）结合网格的性质，过点作的平行线，与直线交于点，即可作答． 【详解】（1）解：过点作的平行线，如图所示： （2）解：如图所示． 题型七 平行公理及推论的应用 解｜题｜技｜巧 ☆过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；平行于同一直线的两直线平行 ◎在证明多条线平行时，可借助“平行于同一直线”进行传递 ◎作平行线时，依据公理确定唯一性 ◎常用于复杂图形中寻找或构造平行关系 【典例1】如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．无数条 【答案】B 【分析】本题考查垂线的性质，平行公理，根据垂线的性质，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴； 故选：B． 【典例2】如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时， （填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是 ． 【答案】 不能 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题主要考查了平行公理，关键是掌握并理解平行公理的内容．根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得答案． 【详解】解：不能， 与有夹角，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可得不能同时与地面平行， 故答案为：不能，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【变式1】下列说法中不正确的是（　　） A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．同一平面内两条不相交的直线是平行线 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的定义，掌握平行线的定义是解决本题的关键． 根据平行线的定义进行逐一判定即可． 【详解】解：A、若点在已知直线上，无法作出已知直线的平行线（因此过直线上一点的直线与已知直线重合，不满足“平行”的不重合条件），该说法不正确，符合题意； B、同一平面内，不相交的两条直线是平行线，这是平行线的定义，该说法正确，不符合题意； C、平行于同一条直线的两条直线互相平行，这是平行公理的推论，该说法正确，不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，该说法正确，不符合题意； 故选：A． 【变式2】下列说法中，正确的有（   ） ①相等的角是内错角； ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③平行于同一条直线的两条直线互相平行； ④同角或等角的余角相等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查垂直的性质，平行公理的推论，余角和内错角，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：内错角不一定相等，相等的角也不一定是内错角，故①错误； 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；故②错误； 平行于同一条直线的两条直线互相平行；故③正确； 同角或等角的余角相等；故④正确； 故选：C． 【变式3】如图所示的长方体，观察并回答下列问题． （1）用符号表示两条棱的位置关系：① ；② ；③ ；④ ． （2）与所在的直线不相交，它们 平行线（填“是”或“不是”），由此可知，在 内，不相交的两条直线才是平行线． 【答案】 不是 同一平面 【分析】本题考查直线的位置关系，长方体，解题的关键是熟练掌握长方体的性质． （1）根据长方形的性质，判断长方体两条棱之间的位置关系即可； （2）根据图形，写出答案即可． 【详解】（1）解：∵长方体的各个面均为长方形，长方形对边平行，邻边互相垂直， ∴，，，，， ∴，， 故答案为：①，②，③，④； （2）解：由图可知，与不是平行线， ∵与不在同一平面内，与所在的直线不相交，也不平行， ∴在同一平面内，不相交的两条直线才是平行线， 故答案为：⑤不是，⑥同一平面． 题型八 平行线的判定 解｜题｜技｜巧 ☆通过角的数量关系判定两直线平行 ◎同位角相等 → 平行 ◎内错角相等 → 平行 ◎同旁内角互补 → 平行 ◎先找截线，再比较被截线所形成的角是否满足上述条件 【典例1】已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质及垂直的性质，逐项进行分析，用排除法即可找到答案．熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． 【详解】解：A．若，，则，原说法错误，故此选项不符合题意； B．若，，则，原说法错误，故此选项不符合题意； C．若，，则，原说法错误，故此选项不符合题意； D．若，，则，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【典例2】已知：如图，直线，被直线所截，与互补．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】此题考查平行线的判定，关键是根据同位角相等，两直线平行解答． 根据邻补角互补和同位角相等，两直线平行解答即可． 【详解】证明：如图， 与互补， ． ， ． ． 【变式1】张老师在黑板上留了一道作业题：“如图，直线被直线所截，其中，请你再添加一个条件，使，并注明判定依据．”三人所做答案如下： 甲：添加，依据：同旁内角相等，两直线平行； 乙：添加，依据：同位角相等，两直线平行； 丙：添加，依据：内错角相等，两直线平行； 对三位同学的答案判断正确的是 ． 【答案】乙、丙 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 根据平行线的判定定理进行判断即可． 【详解】解：， 若添加，则，即同旁内角不互补，所以不能判断，则甲的答案错误； 若添加，则，根据同位角相等，两直线平行，可得，则乙的答案正确； 若添加，则，根据内错角相等，两直线平行，可得，则丙的答案正确． 故答案为：乙、丙． 【变式2】若，则A，B，C三点共线，理由是 ． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题考查了垂线的性质，根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直即可解答． 【详解】解：理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原因如下： ， 这是过同一个点作同一条直线的垂线． 、一定重合． 则、、三点共线． 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ． 【变式3】如图，填空： (1)（已知）， ________________（   ）． (2)（已知）， ________________（   ）． (3)（已知） （   ）． 【答案】(1)，，同位角相等，两直线平行 (2)，，内错角相等，两直线平行 (3)，同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是做题的关键． （1）根据平行线的判定方法即可得出答案； （2）根据平行线的判定方法即可得出答案； （3）根据平行线的判定方法即可得出答案． 【详解】（1）解：， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：，，同位角相等，两直线平行． （2）解：， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：，，内错角相等，两直线平行． （3）解：， （同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：，同旁内角互补，两直线平行． 题型九 平行线的性质 解｜题｜技｜巧 ☆已知两直线平行，可推出角的数量关系 ◎平行 → 同位角相等 ◎平行 → 内错角相等 ◎平行 → 同旁内角互补 ◎与判定互为逆命题，注意不要混淆使用条件 【典例1】如图，已知点C在上，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，得，同理求出的度数，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故选：C． 【典例2】如图，直线，被直线所截，，，是的平分线，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，角平分线的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 利用垂线的定义得，进而求得，利用平行线的性质求得，再利用角平分线的定义即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， 平分， ． 【变式1】如图，已知，于点A，，则下列结论：；；；；．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补，结合已知条件证明正确；内错角相等，两直线平行，证明正确；由两直线平行，同位角相等，证明正确；不能证明，可得答案． 【详解】解： ， ． ， ，故正确； ， ，故正确； ， ． ， ，故正确； 不能证明， 故答案为：B． 【变式2】如图，直线，直线，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，两直线平行同位角相等，垂直的性质，对顶角相等，解题的关键在于准确识别图中熟练掌握平行线的性质，准确识别同位角，利用平行线的性质算出，用补角、余角、对顶角推算出的度数． 【详解】如下图 ∵ ∴ ∴ ∵直线 ∴ ∴ 故选：B． 【变式3】如图，在光学实验室中，两束平行激光和分别沿水平方向发射．一束斜向光线照射到上，经过折射后与相交于点F，并继续折射至上的点D处，从点D引出一条新的折射光线，且． (1)求证：． (2)若命题“已知______，则”是真命题，请填空，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟记同位角相等，两直线平行、两直线平行；同位角相等；两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键． （1）由对顶角定义得到，结合题意，等量代换即可得到，最后由同位角相等两直线平行即可得证； （2）由，求得的度数，再由，即可求得的度数． 【详解】（1）证明：和是对顶角， ， ， ， ∴； （2）解：已知，则， 理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 题型十 根据平行线的性质探究角的关系 解｜题｜技｜巧 ☆在复杂图形中利用平行性质建立多个角之间的联系 ◎标记所有已知平行线和已知角 ◎利用平行性质将未知角转化为已知角 ◎常用方法：等量代换、三角形内角和、对顶角互补等综合运用 【典例1】如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（ ） A． B． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质得出，进而利用角的关系解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：B． 【典例2】已知直线，点M、N分别在直线、上． (1)如图1，点E在直线、之间，求证：； (2)如图2，若E在直线下方，与的角平分线交于点F，判断与的数量关系并证明； (3)如图3，若点E是直线上方一点，点G是直线、之间一点，连接、、、，的延长线将分为两部分，，，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键． （1）过E作，根据平行线的性质即可得证； （2）过E作，过F作，根据平行线的性质及角平分线的定义即可解答； （3）记交于点H，根据题意设，，则，，，根据平行线的性质表示出、，由列式求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，过E作，过F作， ∵， ∴， ∴，，，， ∴，， ∵与的角平分线交于点F， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图，记交于点H， ∵，， 设，， 则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】综合与实践 如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是______． (2)写出之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． （1）过点E作直线，进一步利用平行线的性质求解即可． （2）如图，过点作，进一步利用平行线的性质求解即可． （3）由（2）可知，进一步结合角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：过点E作直线，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：． 理由：如图，过点作， ， ， ， ， 即． （3）解：．理由如下： 由（2）可知， 平分，平分， ， ， ， ∴． 【变式2】如图，∥，平分，，下列结论：①∥；②；③；④若，则，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内错角相等．由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴，即，故②正确； ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故③错误； ∵∵平分， ∴ 又，， ∴ ， 故④正确． 综上所述，正确的选项①②④共3个， 故选：C． 【变式3】已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过F点作交延长线于点M，作、的角平分线交于点N，交于点P，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点Q，若，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题是平行线的综合题目，考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线定义等知识；综合性强，熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解题的关键． （1）由平行线的性质得，再由内错角相等得出； （2）过点N作，设角度，由平行线的性质和角平分线的性质即可得出结论； （3）由结合前面（2）的结论，求出角度可得． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ； （2）证明：如图2，过点N作， ∵， ， ，， ∵、分别平分，, ∴设，， ，， 又， ， 又， ∴， ， ， ； （3）解：，即， ∴， ∴ ，， ，， ， ， ， ， 的角平分线交于点Q， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 题型十一 根据平行线判定与性质求角度与证明 解｜题｜技｜巧 ☆交替使用判定（证平行）与性质（用平行）完成推理 ◎若要证平行，找角的关系用判定定理 ◎若已知平行，用性质定理推导角相等或互补 ◎在证明题中，书写格式要清晰，每一步注明依据 【典例1】光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．先根据题意得出，故可得出，再由得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：如图， ∵，， ， ∵，， ， ． 故选：A． 【典例2】如图，已知，，、分别是和的角平分线，试完成下列填空：说明． 解：因为（已知） 所以（____________） 因为（已知） 所以______（两直线平行，同旁内角互补） 所以（____________） 因为、分别是和的角平分线（已知） 所以，（____________） 所以______（等式性质） 因为（已知） 所以（____________） 所以（____________） 所以（____________） 【答案】两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；角平分线定义；；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴（同角的补角相等）， ∵、分别是和的角平分线（已知）， ∴，（角平分线定义）， ∴（等式性质）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；角平分线定义；；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行． 【变式1】如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题关键是找出角度之间的数量关系，熟练掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． （1）根据平行线的判定和性质求解，即可得到答案； （2）由角平分线的定义，得到，根据平行线的性质，得出，再利用角平分线的定义，即可求出的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ； （2）解：平分， ， ， ，， ， ， ， 平分， ． 【变式2】【问题提出】 （1）如图1，直线，被直线所截，平分交于点，，判断与是否平行，并说明理由． 【问题解决】 （2）如图2，，，是三条主路，，超市的入口在主路上，三角形区域是一个大型购物中心，且平分，小路，为一条特色小吃街，，已知，求特色小吃街与主路的夹角的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和平行线的判定定理即可得到结论； （2）由得，结合垂直的定义求出，由平分得出，然后根据求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： 平分， ， ， ， ． （2）， ， ， ， ，即， 平分，， ， ， ， ， ， 特色小吃街与主路的夹角的度数为． 【变式3】问题情境：如图，，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间，连接，．勤奋小组的同学们对该图形进行了研究． (1)观察猜想：小明猜想，他过点作，如图，请帮他完成证明过程． (2)深入探究：小华在帮助小明完善解题过程时，发现用同样的辅助线还可以得到，，之间的关系，请写出这三个角度间满足的关系并完成证明． (3)问题解决：图3是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为，并连接．绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线与天玑、天璇所在的直线几乎平行（如图）（因为距离地球很远，所以近似看作）．结合上面的探究过程，若，则． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质与判定即可完成论证； （2）过点作，利用平行线的性质与判定即可完成论证； （3）过点作，利用平行线的性质与判定即可完成求解； 【详解】（1）证明：如图：过点作， ∵， ∴， ∴ ∴． （2）证明：如图：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴     （3）解：如图：过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由（1）的结论可知， 故答案为：． 题型十二 利用平行线间距离解决问题 解｜题｜技｜巧 ☆两条平行线间的距离处处相等 ◎在平行线间作垂线段，该线段长度即为平行线间距离 ◎可用于求等积变换（如平行四边形、梯形面积） ◎在实际问题中（如道路宽度、带状区域），可抽象为平行线间距离求解 【典例1】如图，已知直线，直线与它们分别垂直且相交于，，三点．若，，则平行线，之间的距离是（    ） A．2 B．4 C．6 D．14 【答案】C 【分析】本题考查线段的和与差，平行线间的距离．利用数形结合的思想是解题关键． 根据题意可求出，再根据平行线间的距离的定义即可解答． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点， ∴平行线b，c之间的距离是6． 故选：C． 【典例2】如图，在中，点在直线上，点、在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．在点运动过程中，的面积随着的增大而 .（填“增大”、“保持不变”或“减小”） 【答案】保持不变 【分析】本题考查三角形的面积、平行线的性质，掌握三角形的面积公式及平行线之间的距离处处相等是解题的关键．根据三角形的面积公式及平行线之间的距离处处相等判断即可． 【详解】解：设平行线与之间的距离为，则， 而， ， 在点运动过程中，的面积随着的增大而保持不变． 故答案为：保持不变． 【变式1】如图，在长方形内画了一些直线，已知其中有块面积分别是，，的三角形、三角形、四边形，那么图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线间的距离的应用，组合图形的面积计算，解题关键在于根据与重叠部分的面积等于长方形未被这两个三角形盖住部分的面积和．因为长方形的面积等于与的面积和，所以与重叠部分的面积等于长方形未被这两个三角形盖住部分的面积和，即． 【详解】解：如图： 因为与的面积都等于长方形的面积， 所以长方形的面积等于与的面积和， 所以与重叠部分的面积等于长方形未被这两个三角形盖住部分的面积和， 即： 故答案为：． 【变式2】如图1，已知直线，点在直线n上，点在直线m上； (1)写出图1中面积相等的各对三角形： ； (2)如图1，为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有 与的面积相等； (3)如图2，一个五边形，你能否过点E作一条直线交（或延长线）于点M，使四边形的面积等于五边形的面积． 【答案】(1)和，和，和； (2) (3)见解析 【分析】本题考查了等底等高的三角形的面积相等． （1）（2）等底等高的三角形的面积相等． （3）连接，过点D做交的延长线于点M，连接．根据等底等高的三角形的面积相等，的面积=的面积，进而得出四边形的面积等于五边形的面积． 【详解】（1）解：根据等底等高的三角形的面积相等，可知：图1中面积相等的各对三角形：和，和，和； （2）如图1，A、B、C为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有与的面积相等； （3）如图所示：即为所求； 【变式3】如图①，已知，点A、B在上，点C、D在上，由“两条平行线的所有公垂线段都相等”可得到三角形与三角形的面积相等（即“同底等高的两个三角形的面积相等”）；反之，若三角形与三角形的面积相等，则“根据平行线的判定方法”也可得到． 利用以上知识解答以下问题： 如图②，已知，，P，Q分别是线段上的点，，，E，F分别是线段上的点，，，连接，若三角形的面积是4． (1)求证：三角形的面积为12； (2)求四边形的面积； (3)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确理解题意并作出辅助线是解题的关键． （1）连接交于O，连接，根据和等高（分别以为底），得到； （2）同理可得，再根据题意证明，得到，进而证明，则； （3）如图所示，连接，先求出，，即，则，同理可证，则可证明． 【详解】（1）证明：如图所示，连接交于O，连接， ∵，和等高（分别以为底）， ∴； （2）解：同理可得； ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴； （3）证明：如图所示，连接， 由（1）得，， ∴， ∴， 同理可证， ∴． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．如图，点在同一条直线上，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角的运算，掌握邻补角的定义和计算是解题的关键． 邻补角是指两个角共用一条边，且它们的另一条边互为反向延长线，这样的两个角之和为，则，计算即可． 【详解】解：点在同一条直线上， ，即， ． 故选：C． 2．下列图形中，与是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的定义，关键是运用知识准确识别； 如果两个角有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角，根据对顶角的定义进行判断即可． 【详解】解：选项A：有公共顶点，一边不互为反向延长线，此选项不符合题意； 选项B：无公共顶点，一边不互为反向延长线，此选项不符合题意； 选项C：有公共顶点，两边互为反向延长线，此选项符合题意； 选项D：有公共顶点，两边不互为反向延长线，此选项不符合题意； 故选：C． 3．如图，已知点C在上，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，得，同理求出的度数，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．如图，要在河岸l上建一个水泵房引水到A处．可过点A作于点B，则将水泵房建在B处最节省水管长度，其数学道理是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查了点到直线的距离． 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 【详解】解：要在河岸l上建一个水泵房引水到A处．可过点A作于点B，则将水泵房建在B处最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 5．如图，，，垂足分别是点、．点到直线的距离是线段 的长度． 【答案】 【分析】本题考查了点到直线的距离．由点到直线的距离定义，即可求解． 【详解】解：因为， 所以点C到直线的距离是线段的长度． 故答案为： 6．已知，直线分别交于点、，，将一个含有角的直角三角尺如图放置（角的顶点与重合），则等于 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．依据，可得，再根据，即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 7．如图，直线相交于点．平分，． (1)的度数为___________．； (2)若，则是否平分？并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见详解； 【分析】本题考查角平分线、对顶角，角的和差运算，掌握角平分线的定义，理解对顶角相等是正确解答的关键． （1）根据对顶角的性质求出，再根据角平分线的定义即可求出； （2）根据角的和差运算，和邻补角求得，即可解答． 【详解】（1）解：∵与互为对顶角, ∴ ∵平分 ∴， 故答案为：． （2）解：平分， 理由：由（1）得 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 则平分． 8．在下面解题过程的空白处填上适当的内容． 如图，已知，分别平分和求证： 证明：（已知）， __________ __________ （已知）， （角平分线的定义）， 同理，__________． （等量代换）， （ __________）． 【答案】；；两直线平行，内错角相等；平分；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的性质和判定．熟练掌握平行线的性质，以及判定方法是解题的关键． 根据平行线的性质，角平分线的定义，等量代换，平行线的判定进行作答即可． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）， 平分（已知）， （角平分线的定义）， 同理，． （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；两直线平行，内错角相等；平分；；内错角相等，两直线平行． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．如图，点O在直线上，射线平分．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查角平分线的定义及邻补角，熟练掌握角平分线的定义及邻补角是解题的关键；由题意易得，然后根据邻补角的定义可进行求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴； 故选：A． 2．如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为（    ） A．45° B．58° C．65° D．75° 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据平行线的性质和直角三角形的性质，可以得到的度数，本题得以解决． 【详解】解：过直角顶点作直线如图所示， ， ∴， 则，， ， ， ， ， ， 故选：B． 3．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质． 由平行线的性质求出的度数，由平角定义即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ，， ， 故选：C． 4．如图，木条与被木条所截若使木条与平行，木条过点逆时针旋转的度数是 ．（旋转度数在与之间） 【答案】/30度 【分析】本题考查了平行线的判定（同位角相等，两直线平行），解题的关键是明确平行线所需的角的关系． 先确定时应满足的度数，再计算当前与该度数的差值，得到木条逆时针旋转的度数． 【详解】解：要使木条与平行，需满足同位角（或内错角）相等． 已知，当时，对应的同位角应为． 当前，因此木条逆时针旋转的度数为． 故答案为：． 5．如图已知：，，平分，，有以下结论：①；②；③；④，其中，正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． 根据平行公理判断①；根据角平分线得到，根据平行线的性质和垂线的定义分别得到，，进一步推出，可判断②；结合，得到，根据两式相减可判断③；根据平行线的性质得到，得到，从而判断④． 【详解】解：，， ，故①正确； 平分， ， ， ， ， ， ， 得，，故②正确； ， ， 平分， ， ， ， ， 得，，故③正确； ， ， ， ，故④错误． 故正确的结论有：①②③． 故答案为：①②③． 6．如图，直线、相交于点 ，平分，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线、邻补角、对顶角，关键是找到角之间的关系； 设，利用列方程即可求得结果． 【详解】解：设，， ∵， 平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 7． 如图，为网格图中的三点，利用网格作图． (1)过点A画直线； (2)过点A画线段的垂线，垂足为H； (3)点A到直线的距离是线段 的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图应用与设计作图，平行线的判定和性质，垂线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据直线的定义画出图形即可； （2）根据垂线的定义，画出图形即可； （3）根据点到直线的距离的定义解决问题即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：点到直线的距离是线段的长； 故答案为：； 8．如图，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，点在点的右侧，，，平分，平分，直线、交于点E． (1)写出的度数______； (2)试求的度数（用含n的代数式表示）； (3)将线段向右平行移动，使点B在点A的右侧，其他条件不变，请直接写出的度数（用含n的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)的度数为或 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）根据角平分线的定义，即可得到； （2）过点E作，根据两直线平行，内错角相等可得，，根据角平分线的定义求出，，然后求解即可； （3）过点E作，点B在点A的右侧时，若点E在和之间时，根据角平分线的定义求出，，根据两直线平行，内错角相等可得，根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后求解即可；同理，再分别求解当点E在上方或下方时的值即可． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴ 故答案为：； （2）如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分，平分，，， ∴，， ∴； （3）过点E作，点B在点A的右侧时， 若点E在和之间，如图， ∵平分，平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴； 若点E在上方，如图， 同理，，， 则； 若点E在下方，如图， 同理，，， 则， 综上所述，度数为或． 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 1．如图，在中，过点作，点是内一点，连接，过点作，交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据内错角相等可得，同旁内角互补可得，再根据角的和差可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，点在的延长线上，，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故C选项正确； 而，，均不能判断， 故选：C． 3．如图，已知直线，直线分别交直线，于点E，F，平分交于点，是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点．设．下列四个式子：①；②；③；④．一定成立的是（   ） A．①② B．①④ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，画出图形分类讨论是解题的关键． 分点在点右侧，点在和之间，根据平行线的性质和角平分线的定义，分别求出结论即可． 【详解】解：当点在点右侧时，如图示： 平分，平分， ，， ， ． ， ， 当点在和之间时，如图： 平分，平分， ，， ， ． ， ，则； 综上：①④正确，②③错误； 故选：B． 4．如图，在四边形中，，D为线段上的一个动点，连接，并作，交于点M，，的平分线相交于点N，在点D的运动过程中，的大小不会发生变化，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，与角平分线有关的计算问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点作，过点作，运用平行线的性质得，即，又因为，的平分线相交于点N，得，同理得，所以，即可作答． 【详解】解：过点作，过点作，如图所示： 依题意，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，的平分线相交于点N， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将30°的三角尺固定不动，将45°的三角尺绕顶点B逆时针转动，点E始终在直线的上方，当两块三角尺至少有一组边互相平行时，如图2，当时，，则其它符合条件的度数为 ． 【答案】或或或 【详解】根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．本题考查的是平行线的性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角尺的性质求解是解题的关键． 【分析】解：①当时，如图，， ； ②当时，如图，，即， ； ③当时，如图，， ； ④当时，如图，延长交于点， ∴， 故答案为：或或或． 6．如图，在三角形中，分别是边上的点，连接．点在线段上，连接，已知，． (1)求证：； (2)若，平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质、邻补角的性质等知识点，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据同角的补角相等可得，再根据 “内错角相等，两直线平行”可得，然后根据平行线的性质即可证明结论； （2）由平行线的性质可得，进而得到，再结合可得；由角平分线的性质可得，再根据平行线的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 7．小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角度数为，顶部支架与灯杆所成锐角度数为，的度数为______．（用含，的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据得，继而得，结合，得即可证明． （2）根据平行线的性质，等式性质解答即可． （3）过E作，利用平行线的性质，等式的性质，平角的定义解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，等式的性质，平角的定义，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：，理由如下： ∵，， ∴，，， ∴，， ∴． （3）证明：如图，过E作， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．综合探究． 已知，李想同学将放置在这两条平行线上展开探究，其中的三边与两条平行线分别交于点D，E，F， (1)【特例探究】如图1， ①________； ②若与的平分线相交于点P，则； (2)【一般探索】 如图2，， ①若，，求与的关系； ②若，（且n为整数，则与的关系为 ________； (3)【拓展应用】 如图3，，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，…，以此类推，则的值是多少？直接写出结果 【答案】(1)①270；②135 (2)①；② (3) 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质、角平分线的定义，利用平行线的性质证明和是解决本题的关键． （1）①利用平行线的性质证明即可； ②证明即可； （2）①利用平行线的性质证明和即可； ②利用平行线的性质证明和即可； （3）利用（2）中的结论计算即可． 【详解】（1）解：①过点作平行于，过点作平行于    ∵， ∴，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ②∵与的角平分线相交于点， ∴，， ∴ 故答案为：①，②； （2）① 过点作平行于，过点作平行于    ∵， ∴，， ∴，，，， ∴，， 即，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即； ② 同①可得， ∵，， ∴， ∴，即； （3）∵与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点；……，以此类推， ∴， ∴由（2）得 ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 相交线和平行线（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 对顶角的定义 理解对顶角的定义（两条直线相交，相对的两个角），并掌握“对顶角相等”的性质。 基础考点，常在选择题或填空题中直接考查，也作为几何推理的隐含条件。 邻补角的定义 理解邻补角的定义（有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角），掌握“邻补角互补”的性质。 常与对顶角结合考查，用于角度计算，是后续学习垂直、平行的重要基础。 垂线的定义 理解垂直是相交的特殊情况（夹角为90°），会识别和画出垂线，掌握垂足的表示。 基础概念题，常作为作图题或证明题的第一步出现。 垂线段最短 理解“直线外一点到这条直线的所有线段中，垂线段最短”，并会应用该性质解决最短路径问题。 重要性质，常在实际应用（如选址、测量）或几何最值问题中考查。 同位角、内错角、同旁内角 能准确识别两条直线被第三条直线所截形成的三类位置角，并能正确区分。 高频易错点，是学习平行线的基石，常以复杂图形识别题出现，要求细心观察。 平面内两直线的位置关系 掌握平面内两条直线的两种位置关系：相交（包括垂直）与平行。 基础考点，通常以概念判断或简单分类的形式出现在选择题中。 平行公理及推论的应用 理解平行公理（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）及其推论，并能用于几何推理。 常在平行线的证明中作为逻辑依据，考查对公理的理解和应用。 平行线的判定 熟练掌握同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，以及垂直于同一直线等判定两直线平行的方法。 核心高频考点，是几何证明的核心技能，广泛出现在各类证明题和计算题中。 平行线的性质 熟练掌握两直线平行，则同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，并能灵活运用这些性质进行角度计算和证明。 核心高频考点，常与判定结合，构成几何综合题的主体，是中考必考内容。 知识点一、对顶角 1.定义 两人角有相同的顶点，并且一人角的两边分别与另一个角的两边互为反向延长线，我们把这样的两个角叫做对顶角 ☆对顶角是成对出现的，指两个角之间的位置关系，一个角的对顶角只有一个 2.性质 对顶角相等 ☆(1)两个角互为对顶角，它们一定相等:(2)相等的两个角不一定是对顶角 易错点： 对顶角的位置关系和数量关系: 1.位置关系:有公共顶点，两边互为反向延长线。2.数量关系:对顶角相等 知识点二、邻补角 1.相交线 有一个公共点的两条直线是相交线，这个公共点叫交点 ☆(1)相交指的是同一平面内两条直线的一种位置关系;(2)两条直线相交有且只有一个交点. 易错点： 1.邻补角是成对出现的，单独一个角不能称为邻补角。 2.互为邻补角的“两要素” (1)有一条边是公共边; (2)另一边互为反向延长线 2.邻补角 如果两个角既相邻又互补，那么这两个角互为邻补角 3.邻补角与补角的关系 (1)互为邻补角是互为补角的特殊情况，互为邻补角的两个角除具备两角互补这一数量关系外，还要具备相邻的位置关系; (2)一个角的邻补角最多有两个，但一个角的补角可以有多个 知识点三、垂线 1.定义 当两条直线相交所构成的四个角中有一个角为直角时，其他三个角也都为直角，此时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 易错点： 垂直和垂线是两个不同的概念，垂直是两条直线的位置关系，是相交的一种特殊情况，特殊在夹角为直角，而垂线是一条直线 垂直的定义具有双重作用:已知直角得线垂直，已知线垂直得直角 2．表示符号 直线 A B、C D 互相垂直，记作＂＂，读作＂ 垂直于 ＂。 3．推理格式 如图 ，因为 （已知），所以 （垂直的定义）。 反过来：因为 （已知），所以 （垂直的定义）． 知识点四、 垂线段及点到直线的距离 1.垂直平分线 我们把垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线 2.垂线段 (1)定义:过直线外一点画已知直线的垂线，连结这点与垂足的线段，叫做这点到已知直线的垂线段 (2)性质:连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成:垂线段最短 3.点到直线的距离 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 (1)垂线段与点到直线的距离的区别:垂线段是一个几何图形,而点到直线的距离是一个数量，是垂线段的长度(2)点到直线的距离与两点间的距离的区别: 两点间的距离 点到直线的距离 定义 连结两点的线段的长度. 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度 性质 两点之间，线段最短 垂线段最短 易错点： 1.区别:垂线是一条与已知直线垂直的直线:垂直是两条直线之间的位置关系:垂线段是一条与已知直线垂直的线段。 2.联系:垂线段所在的直线是已知直线的垂线:垂线段所在的直线与己知直线互相垂直 知识点五、 垂线的画法 1.垂线的画法 经过一点(已知直线上或已知直线外)，已知直线的垂线，步骤如下: 步骤 内容 示图 一落 让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合 过点画直线的垂线 点在直线外 点在直线上 二移 沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点. 三画 沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线. 易错点： 画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线。垂足不一定在这条线段或射线上，可能在线段的延长线上或射线的反向延长线上。 2.垂线的基本事实 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 基本事实中的唯一性隐含着两个关键条件不能少:一是“同一平面”;二是过一点，这一点可以在已知直线上也可以在已知直线外 知识点六、 同位角 1.定义 两条直线被第三条直线所截，得到的八个角(简称“三线八角”)中，两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角. （1）同位角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系 （2）在“三线八角”中，有4对同位角 2.位置特征 角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征 同位角 在截线同侧，在两条被截直线同一方 形如字母“F”(或倒置、反置、旋转的字母“F”） 易错点： 同位角是成对出现的， 同位角的顶点不是公共的， “同”表示“相同”“位”表示“位置”，“同位角”可理解为“相同位置的两个角”，两个同位角的位置关系具有“同上、同左”或“同上、同右或“同下、同左”或“同下、同右”的特征 知识点七、 内错角 1.定义 两条直线被第三条直线所截，得到的八个角(简称“三线八角”)中，两个角都在两条直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种位置关系的一对角叫做内错角 2.位置特征 角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征 内错角 在截线两侧，在两条被截直线之间 形如字母“Z”(或倒置、反置、旋转的字母“Z”） (1)内错角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系:(2)在“三线八角”中，有2对内错角. 易错点： 内错角是成对出现的，并且是由三条直线组成的，即一对边共线，另一对边不共线。 内错角的顶点不是公共的。 “内”可理解为夹在两直线之间，“错”可理解为交错，即位于第三条直线的两侧.内错角的位置关系具有“同内、异侧”的特征。 知识点八、 同旁内角 1.定义 两条直线被第三条直线所截，得到的八个角(简称“三线八角”)中，两个角都在两条直线之间，且它们都在第三条直线的同一旁，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角 (1)同旁内角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系 (2)在“三线八角”中，有2对同旁内角 2.位置特征 角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征 同旁内角 在截线同旁，在两条被截直线之间 形如字母“U”(或倒置、反置、旋转） 易错点： 同旁内角是成对出现的. 同旁内角的顶点不是公共的。 同旁”即在第三条直线的同一旁，“内”表示夹在两直线之间。同旁内角的位置关系具有“同内、同侧”的特征。 知识点九、 平行线的定义及表示方法 1.定义在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线. ☆平行线定义的三要素: (1)在同一平面内;(2)不相交;(3)都是直线 易错点： 在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系:相交和平行。 重合的直线视为一条直线，不属于相交与平行中的任何一种位置关系 2.表示方法 用＂∥＂表示平行，如图所示，两条 直 线 、 互相平行记作＂ ＂或＂ ＂，读作＂ 平行于 ＂或＂ 平行于 ＂． 知识点十、 平行线的画法 1.过直线外一点画已知直线的平行线的步骤 一落:把三角尺的一边落在已知直线上; 二靠:紧靠三角尺的另一边放一直尺; 三移:把三角尺沿着直尺移动使原先落在已知直线上的边经过已知点; 四画:沿三角尺过已知点的边画直线。此直线即为已知直线的平行线 2.示图 易错点： 1.经过直线上一点不可以作已知直线的平行线, 2.画线段或射线的平行线是画它们所在直线的平行线。 3.借助三角尺画平行线时，必须要保持紧靠，否则画出的直线不平行。 知识点十一、 平行线的判定方法 1 1.判定方法 1两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简写成:同位角相等，两直线平行 “同位角相等，两直线平行”是通过两个同位角的大小关系(相等)推导出两直线的位置关系(平行).它构建起了角的大小关系与直线的位置关系的桥梁 易错点： 构成同位角的两条被截线不一定平行，只有形成的一对同位角相等，这两条被截线才平行。 知识点十二、 平行线的判定方法 2 1.判定方法 2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 简写成:内错角相等，两直线平行 利用“内错角相等”来确定“两直线平行”的关键是弄清这对内错角是哪两条直线被第三条直线所截得到的内错角再说明这两条被截直线平行 易错点： 1.构成内错角的两条被截线不一定平行，只有形成的一对内错角相等，这两条被截线才平行 2.“内错角相等，两直线平行”是利用“对顶角相等”和“同位角相等，两直线平行”推导得出的。 知识点十三、 平行线的判定方法 3 1.判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简写成:同旁内角互补，两直线平行 易错点： 用数量关系判定两直线平行的方法: 在“三线八角”中，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，只要其中一个结论成立就可得到两直线平行 知识点十四、 平行线判定方法的推论 1.推论 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，表达方式:如图，直线a、b、c在同一平面内 2.拓展 a、b、c为同一平面内的三条不重合的直线，有下列结论: 已知其中任意两个结论，总能推出第三个结论成立。 易错点： 三条直线在同一平面内是前提，丢掉这个前提，结论不一定成立。 知识点十五、 过直线外一点作已知直线的平行线 过直线 A B 外一点 作直线 A B 的平行线的作法（如图）： （1）在直线 A B上取一点 ，经过点 和点 ，作直线 M N ； （2）作 ，并使得 与 是一对同位角； （3）反向延长射线 P D ，得到直线CD，直线CD就是过点 所要求作的直线 A B的平行线 题型一 对顶角的定义 解｜题｜技｜巧 ☆两条直线相交形成的相对的两个角，对顶角相等 ◎识别图形中的两条相交直线，找到不相邻且相对的两个角 ◎直接应用“对顶角相等”的性质进行角度计算或证明 ◎在复杂图形中，先分离出基本相交线模型 【典例1】下列图形中，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点．测得，，若、、三点在同一条直线上，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式1】如图，直线，相交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是（   ） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．内错角相等 D．同旁内角互补 【变式3】如图，直线相交于点，，若，求的度数． 题型二 邻补角的定义 解｜题｜技｜巧 ☆两条直线相交，有公共边且另一边互为反向延长线的两个角，邻补角互补（和为180°） ◎找到两个角是否共享一条边，并检查另一边是否在同一直线上 ◎利用“邻补角互补”建立方程，求未知角度 ◎常用于与对顶角、垂直角等综合计算 【典例1】如图，直线、、相交于点，则图中邻补角共有 对． 【典例2】如图，已知直线与相交于点，平分，． (1)求和的度数； (2)求的度数． 【变式1】如图，是直线上一点，为任一条射线，平分，平分． 若，求和的度数； 【变式2】如图，直线相交于点，平分． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【变式3】已知O是直线上的一点，，平分． (1)如图1，邻补角有______对，互补的角有______对． (2)如图1，设，求的度数（结果用含的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转到图2的位置． ①设，则______． ②在的内部有一条射线，满足：，试确定与的度数之间的关系，并说明理由． 题型三 垂线的定义 解｜题｜技｜巧 ☆两条直线相交成90°角，则这两条直线互相垂直 ◎若已知垂直，则交角为90°；反之，若交角为90°，则垂直 ◎在证明中，常用“∵∠A=90°，∴AB⊥CD”的格式 ◎作垂线是解决距离、对称等问题的基础 【典例1】如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为 ． 【典例2】在下列各图中，分别过点P画的垂线． 【变式1】下列说法中，错误的是（   ） A．两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为邻补角 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【变式2】如图，已知直线，作，垂足为O，在内部，在内部，且，，则的度数为 ． 【变式3】如图所示，直线相交于点O，． (1)若，则的余角有 ． (2)若，求的度数． 题型四 垂线段最短 解｜题｜技｜巧 ☆从直线外一点到该直线的所有线段中，垂线段最短 ◎识别问题中的“最短距离”或“最近路径” ◎确定哪一点到哪条直线，并作出该点到直线的垂线段 ◎该垂线段的长度即为所求最短距离 【典例1】下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（   ） A． B． C． D． 【典例2】如图，，点C为垂足，，点D为垂足，，，，，那么点到的距离是 ，点到的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． 【变式1】如图，在河旁边有一个村庄，现要建一个码头，为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在 处，其中的道理是 ． 【变式2】如图，在同一平面内，线段的长为6，点到直线的距离分别为2和3，则符合条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式3】如图，直线、相交于点，，则直线、的夹角是 ．若于点，于点，则线段 的长度表示点到直线的距离． 题型五 同位角、内错角、同旁内角 解｜题｜技｜巧 ☆两条直线被第三条直线所截形成的8个角中，根据位置关系分为三类 ◎同位角：位置相同（如左上与左上），形如“F”型 ◎内错角：内部交错（如左上与右下），形如“Z”或“N”型 ◎同旁内角：内部同侧（如左上与左下），形如“U”型 ◎识别时先找截线，再判断被截线 【典例1】如图，和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】如图，则图中内错角共有 对． 【变式1】如图，请分别指出各图中的同位角、内错角和同旁内角． 【变式2】如图，直线被直线所截，交点分别为，那么图中的同位角、内错角、同旁内角各有多少对？请分别写出两对，填入下表． 名称 对数 举例 同位角 内错角 同旁内角 【变式3】如图，请分别写出各图中的一对同位角、内错角和同旁内角． 题型六 平面内两直线的位置关系 解｜题｜技｜巧 ☆平面内两条直线要么相交（包括垂直），要么平行 ◎判断有无公共点：有则相交，无则平行 ◎若题目中未明确，需考虑是否在同一平面内（初中阶段默认在同一平面） ◎分类讨论时注意垂直是相交的特殊情况 【典例1】将一张长方形纸片按如图所示方式对折两次，第二次对折产生的折痕与第一次对折产生的折痕之间的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定 【典例2】如图，这是一个正方体． (1)写出三对互相平行的棱，用符号表示并指出它们之间的距离． (2)在正方形中可以找出几对互相垂直的边？ 【变式1】在同一平面内，没有公共点的两条直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交 C．平行 D．相交或垂直 【变式2】如图，过点P画直线平行于与相交于点E；画直线平行于与相交于点H． 【变式3】如图，在方格纸中，有两条线段，，利用方格纸完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)过点作的平行线，与（1）中的平行线交于点． 题型七 平行公理及推论的应用 解｜题｜技｜巧 ☆过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；平行于同一直线的两直线平行 ◎在证明多条线平行时，可借助“平行于同一直线”进行传递 ◎作平行线时，依据公理确定唯一性 ◎常用于复杂图形中寻找或构造平行关系 【典例1】如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．无数条 【典例2】如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时， （填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是 ． 【变式1】下列说法中不正确的是（　　） A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．同一平面内两条不相交的直线是平行线 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行 【变式2】下列说法中，正确的有（   ） ①相等的角是内错角； ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③平行于同一条直线的两条直线互相平行； ④同角或等角的余角相等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式3】如图所示的长方体，观察并回答下列问题． （1）用符号表示两条棱的位置关系：① ；② ；③ ；④ ． （2）与所在的直线不相交，它们 平行线（填“是”或“不是”），由此可知，在 内，不相交的两条直线才是平行线． 题型八 平行线的判定 解｜题｜技｜巧 ☆通过角的数量关系判定两直线平行 ◎同位角相等 → 平行 ◎内错角相等 → 平行 ◎同旁内角互补 → 平行 ◎先找截线，再比较被截线所形成的角是否满足上述条件 【典例1】已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【典例2】已知：如图，直线，被直线所截，与互补．求证：． 【变式1】张老师在黑板上留了一道作业题：“如图，直线被直线所截，其中，请你再添加一个条件，使，并注明判定依据．”三人所做答案如下： 甲：添加，依据：同旁内角相等，两直线平行； 乙：添加，依据：同位角相等，两直线平行； 丙：添加，依据：内错角相等，两直线平行； 对三位同学的答案判断正确的是 ． 【变式2】若，则A，B，C三点共线，理由是 ． 【变式3】如图，填空： (1)（已知）， ________________（   ）． (2)（已知）， ________________（   ）． (3)（已知） （   ）． 题型九 平行线的性质 解｜题｜技｜巧 ☆已知两直线平行，可推出角的数量关系 ◎平行 → 同位角相等 ◎平行 → 内错角相等 ◎平行 → 同旁内角互补 ◎与判定互为逆命题，注意不要混淆使用条件 【典例1】如图，已知点C在上，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【典例2】如图，直线，被直线所截，，，是的平分线，，求的度数． 【变式1】如图，已知，于点A，，则下列结论：；；；；．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，直线，直线，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在光学实验室中，两束平行激光和分别沿水平方向发射．一束斜向光线照射到上，经过折射后与相交于点F，并继续折射至上的点D处，从点D引出一条新的折射光线，且． (1)求证：． (2)若命题“已知______，则”是真命题，请填空，并说明理由． 题型十 根据平行线的性质探究角的关系 解｜题｜技｜巧 ☆在复杂图形中利用平行性质建立多个角之间的联系 ◎标记所有已知平行线和已知角 ◎利用平行性质将未知角转化为已知角 ◎常用方法：等量代换、三角形内角和、对顶角互补等综合运用 【典例1】如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（ ） A． B． B． C． D． 【典例2】已知直线，点M、N分别在直线、上． (1)如图1，点E在直线、之间，求证：； (2)如图2，若E在直线下方，与的角平分线交于点F，判断与的数量关系并证明； (3)如图3，若点E是直线上方一点，点G是直线、之间一点，连接、、、，的延长线将分为两部分，，，且，求的度数． 【变式1】综合与实践 如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是______． (2)写出之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数． 【变式2】如图，∥，平分，，下列结论：①∥；②；③；④若，则，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过F点作交延长线于点M，作、的角平分线交于点N，交于点P，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点Q，若，直接写出的值． 题型十一 根据平行线判定与性质求角度与证明 解｜题｜技｜巧 ☆交替使用判定（证平行）与性质（用平行）完成推理 ◎若要证平行，找角的关系用判定定理 ◎若已知平行，用性质定理推导角相等或互补 ◎在证明题中，书写格式要清晰，每一步注明依据 【典例1】光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【典例2】如图，已知，，、分别是和的角平分线，试完成下列填空：说明． 解：因为（已知） 所以（____________） 因为（已知） 所以______（两直线平行，同旁内角互补） 所以（____________） 因为、分别是和的角平分线（已知） 所以，（____________） 所以______（等式性质） 因为（已知） 所以（____________） 所以（____________） 所以（____________） 【变式1】如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，平分，且，求的度数． 【变式2】【问题提出】 （1）如图1，直线，被直线所截，平分交于点，，判断与是否平行，并说明理由． 【问题解决】 （2）如图2，，，是三条主路，，超市的入口在主路上，三角形区域是一个大型购物中心，且平分，小路，为一条特色小吃街，，已知，求特色小吃街与主路的夹角的度数． 【变式3】问题情境：如图，，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间，连接，．勤奋小组的同学们对该图形进行了研究． (1)观察猜想：小明猜想，他过点作，如图，请帮他完成证明过程． (2)深入探究：小华在帮助小明完善解题过程时，发现用同样的辅助线还可以得到，，之间的关系，请写出这三个角度间满足的关系并完成证明． (3)问题解决：图3是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为，并连接．绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线与天玑、天璇所在的直线几乎平行（如图）（因为距离地球很远，所以近似看作）．结合上面的探究过程，若，则． 题型十二 利用平行线间距离解决问题 解｜题｜技｜巧 ☆两条平行线间的距离处处相等 ◎在平行线间作垂线段，该线段长度即为平行线间距离 ◎可用于求等积变换（如平行四边形、梯形面积） ◎在实际问题中（如道路宽度、带状区域），可抽象为平行线间距离求解 【典例1】如图，已知直线，直线与它们分别垂直且相交于，，三点．若，，则平行线，之间的距离是（    ） A．2 B．4 C．6 D．14 【典例2】如图，在中，点在直线上，点、在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．在点运动过程中，的面积随着的增大而 .（填“增大”、“保持不变”或“减小”） 【变式1】如图，在长方形内画了一些直线，已知其中有块面积分别是，，的三角形、三角形、四边形，那么图中阴影部分的面积是 ． 【变式2】如图1，已知直线，点在直线n上，点在直线m上； (1)写出图1中面积相等的各对三角形： ； (2)如图1，为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有 与的面积相等； (3)如图2，一个五边形，你能否过点E作一条直线交（或延长线）于点M，使四边形的面积等于五边形的面积． 【变式3】如图①，已知，点A、B在上，点C、D在上，由“两条平行线的所有公垂线段都相等”可得到三角形与三角形的面积相等（即“同底等高的两个三角形的面积相等”）；反之，若三角形与三角形的面积相等，则“根据平行线的判定方法”也可得到． 利用以上知识解答以下问题： 如图②，已知，，P，Q分别是线段上的点，，，E，F分别是线段上的点，，，连接，若三角形的面积是4． (1)求证：三角形的面积为12； (2)求四边形的面积； (3)证明：． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．如图，点在同一条直线上，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．下列图形中，与是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，已知点C在上，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，要在河岸l上建一个水泵房引水到A处．可过点A作于点B，则将水泵房建在B处最节省水管长度，其数学道理是 ． 5．如图，，，垂足分别是点、．点到直线的距离是线段 的长度． 6．已知，直线分别交于点、，，将一个含有角的直角三角尺如图放置（角的顶点与重合），则等于 ． 7．如图，直线相交于点．平分，． (1)的度数为___________．； (2)若，则是否平分？并说明理由． 8．在下面解题过程的空白处填上适当的内容． 如图，已知，分别平分和求证： 证明：（已知）， __________ __________ （已知）， （角平分线的定义）， 同理，__________． （等量代换）， （ __________）． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．如图，点O在直线上，射线平分．若，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为（    ） A．45° B．58° C．65° D．75° 3．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则（   ） A． B． C． D． 4．如图，木条与被木条所截若使木条与平行，木条过点逆时针旋转的度数是 ．（旋转度数在与之间） 5．如图已知：，，平分，，有以下结论：①；②；③；④，其中，正确的结论有 ．（填序号） 6．如图，直线、相交于点 ，平分，若，求的度数． 7． 如图，为网格图中的三点，利用网格作图． (1)过点A画直线； (2)过点A画线段的垂线，垂足为H； (3)点A到直线的距离是线段 的长． 8．如图，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，点在点的右侧，，，平分，平分，直线、交于点E． (1)写出的度数______； (2)试求的度数（用含n的代数式表示）； (3)将线段向右平行移动，使点B在点A的右侧，其他条件不变，请直接写出的度数（用含n的代数式表示） 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 1．如图，在中，过点作，点是内一点，连接，过点作，交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，点在的延长线上，，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知直线，直线分别交直线，于点E，F，平分交于点，是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点．设．下列四个式子：①；②；③；④．一定成立的是（   ） A．①② B．①④ C．③④ D．②④ 4．如图，在四边形中，，D为线段上的一个动点，连接，并作，交于点M，，的平分线相交于点N，在点D的运动过程中，的大小不会发生变化，则 °． 5．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将30°的三角尺固定不动，将45°的三角尺绕顶点B逆时针转动，点E始终在直线的上方，当两块三角尺至少有一组边互相平行时，如图2，当时，，则其它符合条件的度数为 ． 6．如图，在三角形中，分别是边上的点，连接．点在线段上，连接，已知，． (1)求证：； (2)若，平分，，求的度数． 7．小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角度数为，顶部支架与灯杆所成锐角度数为，的度数为______．（用含，的式子表示） 8．综合探究． 已知，李想同学将放置在这两条平行线上展开探究，其中的三边与两条平行线分别交于点D，E，F， (1)【特例探究】如图1， ①________； ②若与的平分线相交于点P，则； (2)【一般探索】 如图2，， ①若，，求与的关系； ②若，（且n为整数，则与的关系为 ________； (3)【拓展应用】 如图3，，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，…，以此类推，则的值是多少？直接写出结果 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $