专题28.2 特殊角的锐角三角函数值（高效培优讲义）数学人教版九年级下册

专题28.2 特殊角的锐角三角函数值 教学目标 1. 掌握特殊角的锐角三角函数值，能够自行推导并记住特殊角的锐角三角函数值，并在解决问题时灵活运用。 教学重难点 1. 重点 （1）特殊角的锐角三角函数值。 2. 难点 （1）特殊角的锐角三角函数值的运算及运用其判断三角形的形状。 知识点01 特殊角的锐角三角函数值 1. 特殊角的锐角三角函数： 锐角三角函数 锐角α 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 由表可知，若∠A与∠B互余，则sin A＝cos B，sin B＝cos A。 【即学即练1】 1．2cos60°+3tan30°＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：2cos60°+3tan30° ＝ ． 故答案为：． 【即学即练2】 2．计算：2cos245°+tan60°﹣2sin30°． 【答案】． 【解答】解：原式， ， ， ． 【即学即练3】 3．若∠A是锐角，cosA，则∠A＝　45°　 ． 【答案】45° 【解答】解：∵∠A是锐角，cosA， ∴∠A＝45°． 故答案为：45°． 【即学即练4】 4．已知α为锐角，且sinα，则α＝　30　 度． 【答案】30 【解答】解：∵sin30°，∴α＝30°． 【即学即练5】 5．若，则△ABC是　直角　 三角形． 【答案】直角． 【解答】解：由题意得，，， ∴，， ∴∠A＝30°，∠B＝60°， ∴∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 故答案为：直角． 题型01 特殊角的锐角三角函数值及运算 【典例1】3tan30°的值为（　　） A．3 B．3 C． D． 【答案】D 【解答】解：3tan30°＝3． 故选：D． 【变式1】化简（﹣2）2+tan45°﹣2cos60°的结果为（　　） A．2 B．4 C．3 D．5 【答案】B 【解答】解：（﹣2）2+tan45°﹣2cos60° ＝4+1﹣2 ＝4． 故选：B． 【变式2】已知公式sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，则sin75°的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ ∴sin75°＝sin（30°+45°） ＝sin30°cos45°+cos30°sin45° ， 故选：A． 【变式3】（1）2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°； （2）（﹣1）2025+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 题型02 根据三角函数值求角度 【典例1】在锐角△ABC中，若tanα，则∠α的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】A 【解答】解：在锐角△ABC中，若tanα，则∠α的度数为30°， 故选：A． 【变式1】在△ABC中，∠C＝90°，sinA，则∠B的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】A 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴∠A为锐角． ∵sin60°， ∴∠A＝60°， ∴∠B＝90°﹣60°＝30°， 故选：A． 【变式2】若2sin（α+10°）＝1，则锐角α的度数是（　　） A．20° B．35° C．50° D．80° 【答案】A 【解答】解：由条件可知， ∵，且α为锐角， ∴α+10°＝30°， ∴α＝20°， 故选：A． 【变式3】在△ABC中，若∠A，∠B满足，且∠A，∠B均为锐角，则∠C的度数为（　　） A．45° B．60° C．75° D．105° 【答案】D 【解答】解：由题意得：cosA0，1﹣tanB＝0， ∴cosA，tanB＝1， ∴∠A＝30°，∠B＝45°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣30°﹣45°＝105°， 故选：D． 题型03 判断三角形的形状 【典例1】在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且，，则△ABC的形状是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 【答案】C 【解答】解：∵，， ∴∠A＝60°，∠B＝45°， ∴∠C＝75°， ∴△ABC的形状是锐角三角形． 故选：C． 【变式1】在△ABC中，若cosA，tanB，这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【解答】解：在△ABC中， ∵cosA，tanB， ∴∠A＝30°，∠B＝60°， ∴∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°， 故△ABC为直角三角形． 故选：B． 【变式2】△ABC中，若，∠A，∠B是锐角，则△ABC的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】C 【解答】解：∵， ∴，， ∴∠A＝30°，∠B＝30°， ∴∠C＝120°， 故△ABC为等腰三角形． 故选：C． 【变式3】△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tan2B﹣3|+（2sinA）2＝0，则△ABC是（　　） A．直角（不等腰）三角形 B．等边三角形 C．等腰（不等边）三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解答】解：由|tan2B﹣3|+（2sinA）2＝0，得 tan2B﹣3＝0，2sinA0， 由∠A，∠B均为锐角，得 tanB，sinA， A＝60°，B＝60°， ∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°， ∴∠C＝∠A＝∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， 故选：B． 1．计算2cos45°的结果是（　　） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【解答】解：∵， ∴． 故选：A． 2．在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝70°，那么sinC的值是（　　） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解答】解：∵∠A＝80°，∠B＝70°， ∴∠C＝180°﹣80°﹣70°＝30°， ∴sinC＝sin30°． 故选：A． 3．已知0°＜∠α＜90°，sinα＝cos30°，那么∠α为（　　） A．30° B．45° C．60° D．以上答案都不对 【答案】C 【解答】解：∵0°＜∠α＜90°，sinα＝cos30°， ∴sinα， ∴∠α＝60°， 故选：C． 4．3tan30°﹣sin60°的值等于（　　） A． B． C．1 D．0 【答案】B 【解答】解：3tan30°﹣sin60° ＝3 ， 故选：B． 5．在△ABC中，若，则∠C的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】D 【解答】解：由题意得，sinA，cosB． ∴∠A＝30°，∠B＝60°， ∴∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°． 故选：D． 6．已知α为锐角，且sin（α﹣10°），则α等于（　　） A．70° B．60° C．50° D．30° 【答案】A 【解答】解：∵sin（α﹣10°）， ∴α﹣10°＝60°， ∴α＝70°． 故选：A． 7．在△ABC中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（　　） A．∠A＝30° B．∠B＝30° C．△ABC是等边三角形 D．△ABC是直角三角形 【答案】C 【解答】解：∵sinA， ∴∠A＝60°； 又∵tanB， ∴∠B＝60°． ∴∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°． 故选：C． 8．已知△ABC中，sinA，tanB＝1，则△ABC的形状（　　） A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【解答】解：由sinA，得∠A＝30°， tanB＝1，得∠B＝45°， ∠C＝180°﹣45°﹣30°＝105°， 故是钝角三角形， 故选：C． 9．已知△ABC的三个内角分别为∠A，∠B，∠C，在下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③，；④；⑤中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【解答】解：根据三角形内角和是180°逐项分析判断如下： 条件①：∠A+∠B＝∠C，代入得∠C+∠C＝180°，则∠C＝90°，能确定直角三角形； 条件②：设∠A＝k、∠B＝2k、∠C＝3k，则k+2k+3k＝180°，则k＝30°，∠C＝90°，能确定直角三角形，符合题意； 条件③：，则∠A＝45°，，则∠B＝30°，则∠C＝180°﹣45°﹣30°＝105°≠90°，不能确定直角三角形，不符合题意； 条件④：设∠A＝k、∠B＝2k、∠C＝3k，则k+2k+3k＝180°，则k＝30°，∠C＝90°，能确定直角三角形，符合题意； 条件⑤：设∠A＝∠B＝k，则∠C＝2k，则k+k+2k＝180°，则k＝45°，∠C＝90°，能确定直角三角形，符合题意； 故选：B． 10．按如图所示的运算程序，能使输出y值为的是（　　） A．α＝60°，β＝45° B．α＝30°，β＝45° C．α＝30°，β＝30° D．α＝45°，β＝30° 【答案】C 【解答】解：A、α＝60°，β＝45°， α＞β，则y＝sinα； B、α＝30°，β＝45°， α＜β，则y＝cosβ； C、α＝30°，β＝30°， α＝β，则y＝sinα； D、α＝45°，β＝30°， α＞β，则y＝sinα； 故选：C． 11．计算：|1﹣tan60°|＝　1　 ． 【答案】1 【解答】解：|1﹣tan60°|＝|1|1． 故答案为：1． 12．在锐角三角形ABC中，若∠A，∠B满足，则∠C＝　75°　 ． 【答案】75°． 【解答】解：由条件可知，， 即，， ∴∠A＝60°，∠B＝45°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°． 故答案为：75°． 13．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若满足|2sinA|+（tanB﹣1）2＝0，则△ABC是　等腰直角　 三角形． 【答案】等腰直角． 【解答】解：∵|2sinA|+（tanB﹣1）2＝0， ∴2sinA0，tanB﹣1＝0， ∴sinA，tanB＝1， ∵∠A、∠B都是锐角， ∴∠A＝45°，∠B＝45°， ∴∠C＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 14．已知：△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，边，且满足，则边c的长为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：由条件可知，1﹣2cosB＝0， ∴，， ∴∠A＝30°，∠B＝60°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°， 在Rt△ABC中，， ∴． 故答案为：． 15．定义一种运算：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．例如：当α＝60°，β＝45°时，，则sin15°的值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：sin15°＝sin（60°﹣45°） ＝sin60°•cos45°﹣cos60°•sin45° ， 故答案为：． 16．计算： （1）4cos30°+20220； （2）已知α为锐角，sin（α+15°），计算4cosα+tanα+（）﹣1的值． 【答案】（1）； （2）4． 【解答】解：（1）原式＝|1|﹣41 1﹣21 ； （2）∵sin60°，sin（α+15°）， ∴α+15°＝60°， ∴α＝45°， ∴4cosα+tanα+（）﹣1 ＝241+3 ＝4． 17．计算： （1）； （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AC＝24，求BC的长． 【答案】（1）；（2）10． 【解答】解：（1）原式 ； （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，， ∴， 设BC＝5x，AB＝13x， 由勾股定理得AC＝12x， ∵AC＝24． ∴12x＝24， 解得：x＝2， ∴BC＝5x＝10． 18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）若a：c＝2：3，求sinA和sinB的值． （2）若，BC＝6，求△ABC的周长． 【答案】（1）sinA，sinB． （2）18． 【解答】解：（1）∵a：c＝2：3， ∴设a＝2k，c＝3k， ∵∠C＝90°， ∴bk， ∴sinA，sinB． （2）∵∠C＝90°， ∴sinA， ∴AB＝7.5， ∴AC4.5， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝7.5+6+4.5＝18． 19． 在如图的直角三角形中，我们知道sinα，cosα，tanα， ∴sin2α+cos2α1．即一个角的正弦和余弦的平方和为1． （1）请你根据上面的探索过程，探究sinα，cosα与tanα之间的关系； （2）请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知α为锐角，且tanα，求的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵sinα，cosα，tanα， ∴，则tanα； （2）∵tanα， ∴， ∴2sinα＝cosα， ∴． 20．若α为锐角． （1）求证： ①sinα＝cos（90°﹣α）； ②sin2α+cos2α＝1． （2）试求：sin21°+sin22°+…+sin245°+…+sin288°+sin289°的值． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）． 【解答】（1）证明：若α为锐角， 建立如上图所示的直角△ABC，∠C＝90°，∠A＝α， ①，， ∴sinα＝cos（90°﹣α）； ②∴BC2+AC2＝AB2，而，， ∴； （2）解：sin89°＝cos1°，sin88°＝cos2°，sin46°＝cos44°， ∴原式＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+⋯⋯+（sin244°+cos244°）+sin245° ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题28.2 特殊角的锐角三角函数值 教学目标 1. 掌握特殊角的锐角三角函数值，能够自行推导并记住特殊角的锐角三角函数值，并在解决问题时灵活运用。 教学重难点 1. 重点 （1）特殊角的锐角三角函数值。 2. 难点 （1）特殊角的锐角三角函数值的运算及运用其判断三角形的形状。 1. 特殊角的锐角三角函数： 锐角三角函数 锐角α 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 由表可知，若∠A与∠B互余，则sin A＝cos B，sin B＝cos A。 【即学即练1】 1．2cos60°+3tan30°＝　　 ． 【即学即练2】 2．计算：2cos245°+tan60°﹣2sin30°． 【即学即练3】 3．若∠A是锐角，cosA，则∠A＝　45°　 ． 【即学即练4】 4．已知α为锐角，且sinα，则α＝　30　 度． 【即学即练5】 5．若，则△ABC是　直角　 三角形． 题型01 特殊角的锐角三角函数值及运算 【典例1】3tan30°的值为（　　） A．3 B．3 C． D． 【变式1】化简（﹣2）2+tan45°﹣2cos60°的结果为（　　） A．2 B．4 C．3 D．5 【变式2】已知公式sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，则sin75°的值为（　　） A． B． C． D． 【变式3】（1）2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°； （2）（﹣1）2025+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°． 题型02 根据三角函数值求角度 【典例1】在锐角△ABC中，若tanα，则∠α的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【变式1】在△ABC中，∠C＝90°，sinA，则∠B的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【变式2】若2sin（α+10°）＝1，则锐角α的度数是（　　） A．20° B．35° C．50° D．80° 【变式3】在△ABC中，若∠A，∠B满足，且∠A，∠B均为锐角，则∠C的度数为（　　） A．45° B．60° C．75° D．105° 题型03 判断三角形的形状 【典例1】在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且，，则△ABC的形状是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 【变式1】在△ABC中，若cosA，tanB，这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式2】△ABC中，若，∠A，∠B是锐角，则△ABC的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【变式3】△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tan2B﹣3|+（2sinA）2＝0，则△ABC是（　　） A．直角（不等腰）三角形 B．等边三角形 C．等腰（不等边）三角形 D．等腰直角三角形 1．计算2cos45°的结果是（　　） A． B．2 C．4 D． 2．在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝70°，那么sinC的值是（　　） A． B．1 C． D． 3．已知0°＜∠α＜90°，sinα＝cos30°，那么∠α为（　　） A．30° B．45° C．60° D．以上答案都不对 4．3tan30°﹣sin60°的值等于（　　） A． B． C．1 D．0 5．在△ABC中，若，则∠C的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 6．已知α为锐角，且sin（α﹣10°），则α等于（　　） A．70° B．60° C．50° D．30° 7．在△ABC中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（　　） A．∠A＝30° B．∠B＝30° C．△ABC是等边三角形 D．△ABC是直角三角形 8．已知△ABC中，sinA，tanB＝1，则△ABC的形状（　　） A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．无法确定 9．已知△ABC的三个内角分别为∠A，∠B，∠C，在下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③，；④；⑤中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 10．按如图所示的运算程序，能使输出y值为的是（　　） A．α＝60°，β＝45° B．α＝30°，β＝45° C．α＝30°，β＝30° D．α＝45°，β＝30° 11．计算：|1﹣tan60°|＝　1　 ． 12．在锐角三角形ABC中，若∠A，∠B满足，则∠C＝　75°　 ． 13．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若满足|2sinA|+（tanB﹣1）2＝0，则△ABC是　等腰直角　 三角形． 14．已知：△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，边，且满足，则边c的长为 　　 ． 15．定义一种运算：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．例如：当α＝60°，β＝45°时，，则sin15°的值为　　 ． 16．计算： （1）4cos30°+20220； （2）已知α为锐角，sin（α+15°），计算4cosα+tanα+（）﹣1的值． 17．计算： （1）； （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AC＝24，求BC的长． 18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）若a：c＝2：3，求sinA和sinB的值． （2）若，BC＝6，求△ABC的周长． 19． 在如图的直角三角形中，我们知道sinα，cosα，tanα， ∴sin2α+cos2α1．即一个角的正弦和余弦的平方和为1． （1）请你根据上面的探索过程，探究sinα，cosα与tanα之间的关系； （2）请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知α为锐角，且tanα，求的值． 20．若α为锐角． （1）求证： ①sinα＝cos（90°﹣α）； ②sin2α+cos2α＝1． （2）试求：sin21°+sin22°+…+sin245°+…+sin288°+sin289°的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $