专题28.1 锐角三角函数（高效培优讲义）数学人教版九年级下册

本讲义聚焦锐角三角函数核心知识点，系统梳理正弦、余弦、正切函数的概念（对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比），通过“即学即练”即时巩固概念，再以“求锐角三角函数值、根据函数值求边长、利用已知函数求其他函数”三类题型构建“概念-练习-应用”的完整学习支架。 资料亮点在于题型设计层层递进，典例结合变式题引导学生从具体到抽象，培养推理能力与运算能力（数学思维）。练习题覆盖不同难度，课中助力教师分层教学，课后学生可通过针对性练习查漏补缺，提升应用意识（数学语言）。

专题28.1 锐角三角函数 教学目标 1. 掌握正弦函数、余弦函数以及正切函数的概念以及求法，并能够熟练的求出已知锐角的三角函数值； 2. 根据锐角三角函数值求相应的边长以及求其他三角函数。 教学重难点 1. 重点 （1）正弦函数； （2）余弦函数； （3）正切函数。 2. 难点 （1）求锐角三角函数值； （2）根据锐角三角函数求三角形的边； （3）根据已知三角函数求其他三角函数。 知识点01 正弦函数 1. 正弦函数的概念： 如图，在中，∠C＝90°，当锐角A的大小确定时，∠A的对边与斜边的比，∠A的邻边与斜边的比以及∠A的对边与∠A的邻边的比都是确定的。 我们把∠A的对边与斜边的比叫做∠A的 正弦 ，记作sin A。 sin A＝ = 。 【即学即练1】 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝7，AC＝3，则sinB＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵∠C＝90°， ∴sinB． 故选：B． 【即学即练2】 2．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝6，，则BC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．9 【答案】B 【解答】解：∵ ∴． ∴． 故选：B． 知识点02 余弦函数 1．余弦函数的概念： ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的 余弦 ，记作cos A。Cos A＝ = 。 【即学即练1】 3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝5，AC＝13，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意得 ． 故选：B． 【即学即练2】 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝3，cosA，那么AB的长为（　　） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA， 则，即， 解得，AB＝4， 故选：B． 知识点03 正切函数 1．正切函数的概念： ∠A的对边与∠A的邻边的比叫做∠A的 正切 ，记作tan A。Tan A＝ = 。 【即学即练1】 5．在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则tanA＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， tanA， 故选：C． 【即学即练2】 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，，则AC的值为（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【解答】解：如图， ∵BC＝4，， ∴． 故选：C． 题型01 求锐角三角函数 【典例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，那么sinB的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1， ∴sinB， 故选：A． 【变式1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cosB的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8， ∴BC6， ∴cosB． 故选：A． 【变式2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝10，BC＝6，则tanB等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由题意可得：， ∴． 故选：D． 【变式3】已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3AC，则tanA的值为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解答】解：设AC＝x，则AB＝3x， 由勾股定理得：BC2x， 则tanA2， 故选：B． 题型02 根据锐角三角函数值求边 【典例1】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　） A．a＝b•sinA B．b＝c•cosB C．a＝b•tanA D．a＝b•tanB 【答案】C 【解答】解：A．，则a＝c•sinA，本选项说法错误，不符合题意； B．，则a＝c•cosB，本选项说法错误，不符合题意； C．tanA，则a＝b•tanA，本选项说法正确，符合题意； D．，则b＝atanB，本选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，BC＝2，则AB长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，BC＝2， 所以sinA， 所以AB＝6， 故选：C． 【变式2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，cosB，则AC等于（　　） A． B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：如图所示： ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴cosB， ∵AB＝5， ∴BC＝4， ∴AC3． 故选：B． 【变式3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，，则AB的值为（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【解答】解：∵∠C＝90°，， ∴， ∵BC＝4， ∴， ∴AB＝6， 故选：C． 【变式4】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD＝BD，AE是BC边上的高．若AC＝5，AE＝4，则AB的长为（　　） A． B． C．6 D． 【答案】D 【解答】解：∵AD是BC边上的中线，且AD＝BD， ∴AD＝BD＝CD， ∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠DAC， ∵∠B+∠DAB+∠C+∠DAC＝180°， ∴∠DAB+∠DAC＝90°， ∴∠BAC＝90°， ∵AE是BC边上的高， ∴∠AEC＝90°， ∵AC＝5，AE＝4， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 题型03 利用已知函数求其他函数 【典例1】在△ABC中，∠C＝90°，cosA，那么tanA等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵cosA知，设b＝3x，则c＝5x， 根据a2+b2＝c2得a＝4x． ∴tanA． 故选：D． 【变式1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA，则tanB的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA， ∴设AC为12k，AB为13k， ∴BC5k， ∴tanB， 故选：C． 【变式2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝3，则sinB的值为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由条件可知， 设BC＝3x，则AC＝x， ∴， ∴． 故选：D． 【变式3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，，那么cosA＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：如图，由条件可设BC＝2x，AB＝3x， ∴ACx， ∴． 故选：D． 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝4，则sinA的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝4， ∴sinA， 故选：C． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的三边都放大2倍，则sinA的值（　　） A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【解答】解：∵把△ABC的三边都放大2倍后，所得的三角形与△ABC是相似三角形， ∴∠A的大小不变， ∴sinA的值不变， 故选：C． 3．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：如图所示： ∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴， ，故A正确，符合题意； ，故B错误，不符合题意； ；故C错误，不符合题意； ，故D错误，不符合题意；ρ 故选：A． 4．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，那么∠A的正切值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据题意，画出图形如下： 由勾股定理可得， ∴． 故选：A． 5．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，，AB＝2，则cosA的值估计在（　　） A．0到之间 B．到之间 C．到1之间 D．0到之间 【答案】C 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AB＝2， ∴cosA0.866， ∴cosA的值估计在和1之间， 故选：C． 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由条件可知， 设BC＝4x，AB＝5x， ， ∴， 故选：B． 7．在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，sinA，求tanB为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，sinA， ∴AB＝5， ∴AC4， ∴tanB， 故选：D． 8．若∠A+∠B＝90°，，则cosB的值为（　　） A． B． C． D．1 【答案】B 【解答】解：如图， 由条件可知∠C＝90°， ∵， ∴， 故选：B． 9．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，sinA，BC＝10，则AB长为（　　） A．12 B．26 C．24 D．13 【答案】B 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，BC＝10， ∴AB1026， 故选：B． 10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA，AC＝6，则BC的长为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【解答】解：根据题意，作出图形，如图所示： 由提交可知， 解得BC＝3， 故选：A． 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°．如果tanB＝2，AB＝5，那么AC＝　　 ． 【答案】2． 【解答】解：如图， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，， 设BC＝x，则AC＝2x（x＞0） 由勾股定理，得（2x）2+x2＝52， 即（2BC）2+BC2＝52， ∴4x2+x2＝25， ∴x2＝5， ∵x＞0，x， ∴， ∴． 故答案为：． 12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，BC＝3，则sinB的值是　　 ． 【答案】． 【解答】解：在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝3， ∴AC， ∴sinB， 故答案为：． 13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝1，现给出下列结论：①sinA；②cosB；③tanA＝2；④sinB，其中正确的是　②③　 ． 【答案】②③ 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝1， ∴AB， ∴①sinA，故此选项错误； ②cosB，故此选项正确； ③tanA2，故此选项正确； ④sinB，故此选项错误． 故答案为：②③． 14．5个全等的方块如图放置在Rt△ABC中，则tanC的值是 　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：如图： 由图可知△DEF是等腰直角三角形，∠DFE＝45°， ∵EF∥BC， ∴∠C＝∠DFE＝45°， ∴tanC＝tan45°＝1． 故答案为：1． 15．定义：在直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比叫做该锐角的正割（sec），锐角A的正割记作secA．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，点E在边CA上，∠ADE＝90°，DE＝CE，那么secA的值是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图所示： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点， ∴CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴CD＝AD＝BD＝1/2AB， ∴△DAC是等腰三角形， ∴∠A＝∠DCA， ∵DE＝CE， ∴∠EDC＝∠DCA， ∴∠EDC＝∠DCA＝∠A， ∵∠AED是△EDC的外角， ∴∠AED＝∠EDC+∠DCA＝2∠A， ∵∠ADE＝90°， ∴△ADE是直角三角形， ∴∠A+∠AED＝90°， ∴∠A+2∠A＝90°， ∴∠A＝30°， 设DE＝a，则AE＝2a， 由勾股定理得：AD， ∴secA． 16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，c＝6，求sinA、cosA和tanA的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：b4， 所以sinA， cosA， tanA． 17．如图，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC． （1）求sin∠BAC的值． （2）求点B到直线MC的距离． 【答案】（1）sin∠BAC； （2）BE． 【解答】解：（1）如图： 在Rt△ABC中， BC5． sin∠BAC； （2）作BE⊥MC，垂足是E， BE＝BC•sin∠BCE， ∴BE＝5． 18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）若a：c＝2：3，求sinA和sinB的值． （2）若，BC＝6，求△ABC的周长． 【答案】（1）sinA，sinB． （2）18． 【解答】解：（1）∵a：c＝2：3， ∴设a＝2k，c＝3k， ∵∠C＝90°， ∴bk， ∴sinA，sinB． （2）∵∠C＝90°， ∴sinA， ∴AB＝7.5， ∴AC4.5， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝7.5+6+4.5＝18． 19．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，OD⊥AB交AC于点E，DE＝DC． （1）求证：DC是⊙O的切线； （2）若OA＝4，OE＝2，求cosD． 【答案】（1）证明见解答． （2）． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵DE＝DC， ∴∠DEC＝∠DCE， ∵∠DEC＝∠AEO， ∴∠DCE＝∠AEO， ∵DO⊥AB， ∴∠AOD＝90°， ∴∠EAO+∠AEO＝∠EAO+∠DCE＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠EAO＝∠OCA， ∴∠OCA+∠DCE＝∠DCO＝90°， ∴DC是⊙O的切线． （2）解：设CD＝x， 则DE＝x，DO＝DE+OE＝x+2， 在Rt△OCD中，OD2＝OC2+CD2， 即（x+2）2＝42+x2， 解得x＝3， ∴CD＝3，OD＝5， ∴cosD． 20．综合与实践：在学习《解直角三角形》一章时，小题同学对一个角的倍角的三角函数值与这个角的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣，并进行研究． （1）填空：【初步尝试】我们知道：，，发现tanA　≠　 （填“＝”或“≠”）． （2）【实践探究】在解决“如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，求的值”这一问题时，小邕想构造包含的直角三角形，延长CA到点D，使DA＝AB，连接BD，所以可得，问题即转化为求∠D的正切值，请按小邕的思路求的值． （3）【拓展延伸】如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，，请模仿小邕的思路或者用你的新思路，试着求一求tan2A的值． 【答案】（1）≠； （2）； （3）． 【解答】解：（1），， ∴， 故答案为：≠； （2）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴． ∴AD＝AB＝5， ∴∠D＝∠ABD， ∴∠BAC＝2∠D，CD＝AD+AC＝9， ∴． （3）如图2，作AB的垂直平分线交AC于点E，连接BE． 则∠BEC＝2∠A，AE＝BE，∠A＝∠ABE． ∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，． ∴BC＝1，． 设AE＝x，则EC＝3﹣x， 在Rt△EBC中，x2＝（3﹣x）2+1， 解得，即，． ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题28.1 锐角三角函数 教学目标 1. 掌握正弦函数、余弦函数以及正切函数的概念以及求法，并能够熟练的求出已知锐角的三角函数值； 2. 根据锐角三角函数值求相应的边长以及求其他三角函数。 教学重难点 1. 重点 （1）正弦函数； （2）余弦函数； （3）正切函数。 2. 难点 （1）求锐角三角函数值； （2）根据锐角三角函数求三角形的边； （3）根据已知三角函数求其他三角函数。 知识点01 正弦函数 1. 正弦函数的概念： 如图，在中，∠C＝90°，当锐角A的大小确定时，∠A的对边与斜边的比，∠A的邻边与斜边的比以及∠A的对边与∠A的邻边的比都是确定的。 我们把∠A的对边与斜边的比叫做∠A的 ，记作sin A。 sin A＝ = 。 【即学即练1】 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝7，AC＝3，则sinB＝（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝6，，则BC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．9 知识点02 余弦函数 1．余弦函数的概念： ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的 ，记作cos A。Cos A＝ = 。 【即学即练1】 3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝5，AC＝13，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝3，cosA，那么AB的长为（　　） A． B．4 C．5 D． 知识点03 正切函数 1．正切函数的概念： ∠A的对边与∠A的邻边的比叫做∠A的 正切 ，记作tan A。Tan A＝ = 。 【即学即练1】 5．在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则tanA＝（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，，则AC的值为（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 题型01 求锐角三角函数 【典例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，那么sinB的值是（　　） A． B． C． D． 【变式1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cosB的值等于（　　） A． B． C． D． 【变式2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝10，BC＝6，则tanB等于（　　） A． B． C． D． 【变式3】已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3AC，则tanA的值为（　　） A．3 B． C． D． 题型02 根据锐角三角函数值求边 【典例1】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　） A．a＝b•sinA B．b＝c•cosB C．a＝b•tanA D．a＝b•tanB 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，BC＝2，则AB长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，cosB，则AC等于（　　） A． B．3 C．4 D．5 【变式3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，，则AB的值为（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【变式4】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD＝BD，AE是BC边上的高．若AC＝5，AE＝4，则AB的长为（　　） A． B． C．6 D． 题型03 利用已知函数求其他函数 【典例1】在△ABC中，∠C＝90°，cosA，那么tanA等于（　　） A． B． C． D． 【变式1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA，则tanB的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝3，则sinB的值为（　　） A．3 B． C． D． 【变式3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，，那么cosA＝（　　） A． B． C． D． 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝4，则sinA的值是（　　） A． B． C． D． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的三边都放大2倍，则sinA的值（　　） A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定 3．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 4．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，那么∠A的正切值是（　　） A． B． C． D． 5．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，，AB＝2，则cosA的值估计在（　　） A．0到之间 B．到之间 C．到1之间 D．0到之间 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 7．在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，sinA，求tanB为（　　） A． B． C． D． 8．若∠A+∠B＝90°，，则cosB的值为（　　） A． B． C． D．1 9．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，sinA，BC＝10，则AB长为（　　） A．12 B．26 C．24 D．13 10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA，AC＝6，则BC的长为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°．如果tanB＝2，AB＝5，那么AC＝ 　 ． 12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，BC＝3，则sinB的值是 　 ． 13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝1，现给出下列结论：①sinA；②cosB；③tanA＝2；④sinB，其中正确的是　 　 ． 14．5个全等的方块如图放置在Rt△ABC中，则tanC的值是 　 　 ． 15．定义：在直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比叫做该锐角的正割（sec），锐角A的正割记作secA．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，点E在边CA上，∠ADE＝90°，DE＝CE，那么secA的值是 　 ． 16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，c＝6，求sinA、cosA和tanA的值． 17．如图，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC． （1）求sin∠BAC的值． （2）求点B到直线MC的距离． 18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）若a：c＝2：3，求sinA和sinB的值． （2）若，BC＝6，求△ABC的周长． 19．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，OD⊥AB交AC于点E，DE＝DC． （1）求证：DC是⊙O的切线； （2）若OA＝4，OE＝2，求cosD． 20．综合与实践：在学习《解直角三角形》一章时，小题同学对一个角的倍角的三角函数值与这个角的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣，并进行研究． （1）填空：【初步尝试】我们知道：，，发现tanA　 　 （填“＝”或“≠”）． （2）【实践探究】在解决“如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，求的值”这一问题时，小邕想构造包含的直角三角形，延长CA到点D，使DA＝AB，连接BD，所以可得，问题即转化为求∠D的正切值，请按小邕的思路求的值． （3）【拓展延伸】如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，，请模仿小邕的思路或者用你的新思路，试着求一求tan2A的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $