28.1锐角三角函数 同步自主达标测试题 2025-2026学年人教版九年级数学下册

2025-2026学年人教版九年级数学下册《28.1锐角三角函数》同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1.Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△ABC的边长都扩大为原来的2倍，则tanA的值() A.不变 B.变大 C.变小 D.无法判断 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，设∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则() A.c=bsinB B.b=csinB C.a=btanB D.b=ccosB 3.若∠A是锐角，且sinA=音，则() A.0°<∠A<30o B.30°<∠A<45o C.45°<∠A<60 D.60°<∠A<900 4.下列式子错误的是() A.cos40°=sin50o B.tan30.tan60=1 C.sin230°+cos230°=1 D.sin60°=2sin30° 5.请用我们课本上采用的科学计算器按键 12-2(sin 6 0 显示的结果最接近的 整数是() A.0 B.1 C.2 D.3 6.如图，AD是△ABC的中线，AD=5,tan∠BAD=,S△4Dc=15,则BC的长为 () A.3V5 B.65 c.2W10 D.410 7.如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则 tan∠BAC的值为() A.贵 ®.9 C.1 D.反 8.如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠ACB,以点B为圆心，BC长为半径画孤弧，交AC 于点D,再分别以点C,D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧相交于点E,作射线BE交 AC于点H,若cosA=号，AH=8,则CH的长为() A.3 B.4 c.号 D.2 二、填空题（满分24分） 9.比较大小：sin47o c0s43。(填“>”或"="或“<”). 10.在△ABC中，tanA=1,cosB=,则∠C的度数是 11.在Rt△ABC中，∠C=90°.若AC=5,tanA=1,则BC的长是 12.在矩形ABCD中，AD=5,AB=3,点E在矩形的边上，且DE=1,连接BE,CE, 则tan∠BEC的值为. 13.点P(1,m)在反比例函数y=(x>0)的图象上，OP与x轴的正半轴所夹的角为@ ,则sina的值为 14.如图，在正方形纸片ABCD中，E是边AB的中点，将正方形纸片沿EC折叠，点B落在 点P处，延长CP交AD于点Q,则tan∠DCQ的值为 15.如图，己知△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D,AC的垂直平分线交BC于点E, M,N为垂足，若BD=6,DE=8,EC=10,则tanB+tanC的值是 16.如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，⊙0的半径为1，圆心0在格点上，则 tan∠EDB等于 三、解答题（满分72分） 17.计算： Sin45+te145c0s30° (1）2co45+tam60° 2)tan45°-(sin60)2-V(1-tan60o)2+2cos30。 18.在Rt△ABC中，∠C=90·,根据下列条件求出∠A和∠B的正弦、余弦的值： 1a=1,b=5; 2b=V7,c=42 19.如图，已知在△ABC中，AD是边BC上的高，E是边AC的中点，BC=AD=20, cosB=.求： B D (1)线段BD的长； (2)∠EDC的正切值. 20.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E,F是AD上一点，且DF=BE,点 O为对角线AC中点，连接OF、CF. (1)求证：四边形AECF是矩形； (2)若∠CAF=30°，tanD=2,AE=6V3,求△ACD的面积. 21.如图，线段AB的中点是点C,以点A为圆心，V2AC为半径作⊙A,点D是⊙A上一 点（不在直线AB上），连接AD、CD、BD. (1)求证：△ACD△ADB. (2)若∠A=135°，求tan∠BDC的值 22.阅读下列材料：如图1，在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.求证： 品=品 证明：过点C作CD⊥AB于点D. :sinA=g,sinB=号， :CD bsinA,CD=asinB, bsinA=asinB,·sm=s: D 67 C B B53° 图1 图2 图3 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,C.求证：品=品c (2)为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境.如图3，规划中的一片三角形区域需 美化，已知∠A=67·,∠B=53°，AC=160米，求这片区域的面积.（结果保留根号.参 考数据：sin53o0.8,sin67o≈0.9) (3)你能直接写出图2中△ABC的面积吗？（用a,b,c及角的锐角三角比表示） 23.如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线y=-(x-2)(x-m)与 x轴相交于点A和点B,与y轴相交于点C,连接AC,且tan2OCA=号. (1)求抛物线的解析式： (2)点P为第四象限抛物线上一点，点D在x轴的负半轴上，连接PD,∠PDB=45·, 设点P的横坐标为t(t>7),PD的长为d,求d与t的函数解析式； 3)在(2)的条件下，点E为PD上一点，过点E作EF⊥x轴，垂足为F(点F在点B右 侧).EF交抛物线于点Q,M为DE中点，连接MQ,过点E作EG⊥MQ,交MQ于点R, 交AB于点G,若AD=2AG,tan∠DEG=号，求点P的坐标. 参考答案 1.解：Rt△ABC中，∠C=90°，则tanA=, ·Rt△ABC的边长都扩大为原来的2倍， :.扩大后的三边长分别为2AB,2BC,2AC, :扩大后的tanA=器=形。 ∴tanA的值不变，故选：A. 2.解：：Rt△ABC中，∠C=90o,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c, ∴sinB=名，即b=csinB,则A选项不成立，B选项成立 tanB=号，即b=atanB,则C、D选项均不成立故选：B. 3.解：：sinA=,sin30。=克，且号=是<品=， 0°<∠A<300; 故选A. 4.解：A、c0s40°=c0s(90°-50°)=sin50°，原式正确，故该选项不符合题意； ®、tan30°，tan60。=号×5=1，原式正确，故该选项不符合题意， 。5i如30°+co0s30·=(佳)2+（停）2=支十星=1，原式正雅，放该造项不特合题 意； D、sin60°=号，2sin30°=2×专=1，则sin60°≠2sin30,原式不正确，故该选 项符合题意；故选：D. 5.解：根据题意，运用科学计算器录入后显示的数据为1.7320…， 最接近的整数是2， 故选：C 6.解：过B作BH⊥AD交AD延长线于H,则∠H=90°， D H :AD是△ABC的中线，S△4Dc=15, :BD=CD=BC,S△4DB=S△4DC=15, :AD=5, :S△4DB=支AD·BH=克×5BH=15, BH=6, :tan∠BAD=是=器， AH=号BH=8, DH=AH-AD=8-5=3, :在Rt△BHD中，BD=NBH2+DH=62+32=3V5, :BC=2BD=65. 故选：B. 7.解：由图可知AC=V22+2=22,BC=V2+12=-V2,AB=V2+32=V10, AC2+BC2=10=AB2, AC⊥CB, a2BaC=器=品=. 故选：A. 8.解：由作图知，BH⊥AC, ∠BHA=90°， :∠ABC=ACB, AB=AC, c0sA=器=， :AH=8, :AB=AC=10, :CH=AC-AH=2. 故选：D. 9.解：：47。+43°=90°， .sin47o=cos43°. 故答案为：= 10.解：：在△ABC中，tanA=1=tan45°，cosB=克=cos60°， .∠A=45°，∠B=60°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=75°. 故答案为：75°. 11.解：在Rt△ABC中，∠C=90°， tanA==1,AC=5, BC=5, 故答案为：5. 12.解：第一种情况，当点E在矩形的边CD上，如图所示， 5 D E C:四边形ABCD是矩形， ·AB=CD,AD=BC, :DE=1,AD=5,AB=3, ·CE=CD-DE=3-1=2,BC=5, 在Rt△BCE中，tan∠BEC=器=， 第二种情况，当点E在矩形的边AD上，如图所示，过点C作CH⊥BE于点H, A 3 :四边形ABCD是矩形， ·AB=CD,AD=BC :DE=1,AD=5,AB=3, ·BC=5,CD=3,AE=AD-DE=5-1=4, :CE=VDE2+CD2=V+32=V10,BE=VAE2+AB2=V42+32=5, :S△BEc=BC·AB=支×5X3,SABEC=BECH=克×5×CH, :CH=3, 在Rt△CHE中，EH=VCB2-CH=√(N0)2-32=1, 在Rt△HCE中，tan∠BEC=器==3， 故答案为：马或3。 13.解：如图所示，过点P作PQ⊥x轴于Q,连接0P, 在y=景(x>0)中，当x=1时，y=2, .P(12), PQ⊥x轴， .0Q=1,PQ=2,∠0QP=90°， 0P=V0Q2+PQ2=5, 8aa=m4PoQ=器=看=5 故答案为：25 5 14解：如图，连接EQ, B :在正方形纸片ABCD中，E是AB边的中点， :AE=BE,∠B=∠A=∠D=90°， 由折叠性质可得BE=PE,∠EPC=∠B=90°， :AE=PE,∠EPQ=∠EAQ=90°， .Rt△AEQ≌Rt△PEQ(HL). AQ=PQ, 设AQ=PQ=x,正方形的边长设为2a, QD=2a-x,CQ=2a+x,CD=2a, :在Rt△QDC中，由勾股定理可得：(2a-x)2+(2a)2=(2a+x)2, 解得：x=a, .tanQCD=器=法=星， 故答案为：寻 15.解：如图，连接AD,AE, M DE=8,EC=10, :DC=DE+EC=18. :AB的垂直平分线交BC于点D,AC的垂直平分线交BC于点E, ..AD=BD=6,AE=EC=10. :DE=8, AD2+DE2=100=AE2. ∴.△ADE是直角三角形. ∠ADE=90°. ∴.∠ADB=∠ADE=90°. tanB+tanC=器+器=号+品-号. 故答案为：号 16.解：由图可知，0E=0A=1,∠A0E=90°， :∠EA0=∠AE0=45°，则∠EAB=45°， :∠EAB=∠EDB, .tan∠EDB=tan∠EAB=tan45o=1, 故答案为：1 i45+tm45c0s309 17.(1)解： V2c045+tam60°