专题04图形与坐标（期末复习知识清单）八年级数学上学期新教材浙教版

该初中数学“图形与坐标”专题知识清单，系统梳理平面直角坐标系、点的坐标特征、对称与平移等9大核心知识范畴，搭建从基础概念（如象限划分、坐标轴点特征）到综合应用（如对称作图、平移坐标计算）的递进式学习支架。 清单以“知识清单+13类题型+方法清单”三维架构呈现，题型涵盖有序数对表示位置、象限判断等，每类配例题与变式训练，突出几何直观与空间观念培养。如“点的平移”结合坐标变化规律，帮助学生用数学眼光分析位置关系，教师可依此设计分层教学，学生自主复习时能精准突破重难点，提升应用意识与推理能力。

专题04 图形与坐标（9知识&13题型&4方法清单） 【清单01】平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。 【清单02】点的坐标的概念 点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。 【清单03】各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限 点P(x,y)在第二象限 点P(x,y)在第三象限 点P(x,y)在第四象限 【清单04】坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x轴上，x为任意实数 点P(x,y)在y轴上，y为任意实数 点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0） 【清单05】两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数 【清单06】和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。 【清单07】关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征 点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数 点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数 点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数 【清单08】点到坐标轴及原点的距离 （1）点P(x,y)到x轴的距离等于 （2）点P(x,y)到y轴的距离等于 （3）点P(x,y)到原点的距离等于 【清单09】点的平移 点P(x,y)沿x轴向右（或向左）平移m个单位后对应点的坐标是（x±m,y）；点P(x,y)沿y轴向上（或向下）平移n个单位后对应点的坐标是（x,y±n）. 【题型一】用有序数对表示位置 【例1】（25-26八年级上·广东河源·期中）王伟坐在教室的第5列、第6排，他的位置用数对表示，李林坐在教室的第7列、第2排，他的位置用数对表示．张乐与李林在同一列，在王伟的前一排，张乐的位置用数对表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用数对表示位置，读懂题意，掌握数对表示位置的规则是解决问题的关键．先理解题中数对表示位置的规则，再由张乐与李林在同一列，在王伟的前一排，确定张乐位置为第列、第排，即可确定答案． 【详解】解：李林坐在教室的第列，张乐与李林在同一列，则张乐在教室的第列； 王伟坐在教室的第排，张乐在王伟的前一排，则张乐在教室的第排； 张乐的位置用数对表示是第列、第排， 即张乐的位置用数对表示是， 故选：B． 【变式1-1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）下列描述能确定具体位置的是（    ） A．某教室第二排 B．合肥市长江中路 C．某电影院第排号座 D．北偏东 【答案】C 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据坐标的定义，确定位置需要两个数据，据此对各选项分析判断利用排除法求解，理解确定坐标的两个数是解题的关键． 【详解】解：、某教室第二排，不能确定具体位置，原选项不符合题意； 、合肥市长江中路，不能确定具体位置，原选项不符合题意； 、某电影院第排号座，能确定具体位置，原选项符合题意； 、北偏东，不能确定具体位置，原选项不符合题意； 故选：． 【变式1-2】（25-26八年级上·广东深圳·期中）台风“桦加沙”破坏性极大，气象台为了预报台风，首先要确定台风中心位置．下列表述能确定台风“桦加沙”的中心位置的是（    ） A．距深圳市 B．北纬，东经 C．离学府中学比较近 D．深圳市东偏南方向 【答案】B 【分析】本题考查了坐标确定位置，平面坐标系中的点与有序实数对一一对应，解题的关键是掌握确定一个点的位置需要两个条件，如经纬度坐标，而选项B提供了具体的纬度和经度，可以唯一确定位置；其他选项仅提供距离、模糊描述或方向，无法唯一确定点． 【详解】解：A、只给出距离，没有方向，所有以深圳市为圆心、为半径的圆上的点都满足，位置不唯一，故此选项错误，不符合题意； B、给出具体的纬度和经度，这是一个坐标点，能唯一确定位置，故此选项正确，符合题意； C、“比较近”是模糊描述，无法确定具体位置，故此选项错误，不符合题意； D、只给出方向，没有距离，所有东偏南方向的点都满足，位置不唯一，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1-3】（25-26八年级上·广东梅州·期中）下列情形不能确定物体位置的是（　　） A．802班5排5列 B．华一中路5号 C．北偏东 D．东经，北纬 【答案】C 【分析】本题考查了确定一个物体的位置，要用一个有序数对，即用两个数据； 选项A、B、D均能唯一确定一个点，而选项C只提供方向，缺少距离，无法确定具体位置． 【详解】解：∵ A、802班5排5列表示教室内的具体座位，能确定位置，故此选项不符合题意； ∵ B、华一中路5号表示具体地址，能确定位置，故此选项不符合题意； ∵ C、北偏东仅表示方向，无距离参考，不能确定位置，故此选项符合题意； ∵ D、东经，北纬表示地理坐标，能唯一确定位置，故此选项不符合题意； 故选：C． 【题型二】判断点所在的象限 【例2】（24-25八年级上·浙江·期末）下列各点中，位于第二象限的点是（      ） A． B．) C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，根据点所在象限的坐标特点解答即可． 【详解】解：A、在第一象限，故本选项错误； B、)在第四象限，故本选项错误； C、在第二象限，故本选项正确. D、在第三象限，故本选项错误； 故选：C． 【变式2-1】（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）下列各点中，在第二象限的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标，掌握各象限点的坐标特征是解题的关键．点在第二象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是正数，以此进行判断即可． 【详解】解：因为第二象限的点的坐标是，符合此条件的只有． 故选：D． 【变式2-2】（22-23七年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标特征，根据第二象限点的坐标特征：横坐标为负，纵坐标为正，进行判断． 【详解】解：第二象限的点横坐标小于，纵坐标大于， 点)的横坐标，纵坐标，满足条件， 故选：C． 【变式2-3】（24-25七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题重点考查了各象限坐标符号特征，解题的关键是牢记各象限内点的坐标的符号，四个象限的符号特点分别是：第一象限、第二象限、第三象限、第四象限． 此题中，横坐标为负，纵坐标为正，可判断点在第二象限，即可求解． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点， 横坐标为为负，纵坐标为为正， 故点在第二象限， 故选：B． 【题型三】已知点所在象限求参数 【例3】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查象限内点的坐标符号特征，由点A在第二象限，得，，进而得，，故点B在第一象限． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∴，， ∴点在第一象限， 故选：A． 【变式3-1】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）点在第四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了已知点所在象限求参数，根据点P在第四象限，则其横坐标为正，纵坐标为负，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴横坐标，纵坐标, 解得：, 解得：，即, ∴a的取值范围是, 故选B． 【变式3-2】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则整数的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标及解一元一次不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键． 根据第四象限的点的横坐标大于0，纵坐标小于0，列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， 解得 ， ∴整数的值为2． 故选D． 【变式3-3】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)若点在第二象限内且为正整数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是平面直角坐标系内x轴上的点以及象限内的点的坐标特点，解不等式组，求不等式组的整数解，熟练掌握其特点并代入计算是解题的关键． （1）根据轴上纵坐标为0求解； （2）根据第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正得到不等式组，求解并取正整数解，即可求解坐标． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴， ∴， ∴． 【题型四】构建平面直角坐标系 【例4】（25-26八年级上·山西运城·月考）借助如图所示的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重、舒展美观．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，已知点的坐标为，则“善”字的笔画“”下端所在的位置点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，掌握根据点的位置得到点的坐标是解题的关键． 根据点Q的坐标找到坐标原点，再根据点C的位置得到点的坐标． 【详解】解：根据题意，可知点N为坐标轴原点 点C的坐标为． 故答案为：． 【变式4-1】（25-26八年级上·四川成都·期中）嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用表示，右下角的圆形棋子用表示，淇淇将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形，则淇淇放的方形棋子的位置是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的性质，轴对称图形的定义，坐标位置的确定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 首先确定平面直角坐标系，再根据轴对称图形的定义，画出淇淇放的方形棋子的位置，即可解决问题． 【详解】解：平面直角坐标系如图所示： 则淇淇放的方形棋子的位置如图，坐标为， 故答案为：． 【变式4-2】（25-26八年级上·辽宁铁岭·月考）对于边长为的等边三角形，以为坐标原点，所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，过点作于，由等边三角形的性质和勾股定理可得，，进而即可求解，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵是等边三角形，边长为，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【题型五】写出点的坐标 【例5】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）点A的坐标为，直线轴，且，则点B的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查平行于y轴的直线的点的坐标特征，掌握“平行于y轴的直线上点的横坐标相同”． 由直线平行于y轴，可知点A与点B的横坐标相同，再根据，可求出点B的纵坐标． 【详解】解：∵直线轴， ∴点B的横坐标为， 又∵， ∴点A与点B的纵坐标距离为4， ∵点A的纵坐标为2， ∴点B的纵坐标为或， 故点B的坐标为或． 故选：B． 【变式5-1】（25-26八年级上·河南驻马店·期中）若点 ， 轴， 且， 则点 H的坐标为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查平行于坐标轴的线段上点的坐标特征，点的位置不确定时，分类讨论不同情况是正确解题的关键． 由于平行于x轴，故点H与点P的纵坐标相同；再根据，分点P在点H的左侧和右侧两种情况分别计算横坐标即可． 【详解】解：∵ 轴， ∴ 点H的纵坐标与点P的纵坐标相同，为， 又∵ ， ∴， ∴ 或， ∴ 点H的坐标为或， 故选：D． 【变式5-2】（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，在长方形中，，，，则D的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了“长方形的性质”“平行于坐标轴的点坐标特征”，通过图形特征，找到点之间的坐标关系是解题关键． 由长方形的条件可知，，，再根据A，B，C三点的坐标特征，找到点D的坐标即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵，，， ∴轴，轴， ∴轴，轴， ∴点D的横坐标等于点A的横坐标，点D的纵坐标等于点C的纵坐标， ∴． 故选： B． 【题型六】点的规律探究 【例6】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，以为斜边在y轴右侧作等腰直角，过点作x轴的垂线，垂足为，以为斜边在右侧以作等腰直角，再过点作x轴的垂线，垂足为，以为斜边在右侧作等腰直角……按此规律继续作下去，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的规律，等腰直角三角形的性质，，找出点坐标的规律变化是解题的关键． 根据点的纵坐标，等腰直角三角形的性质，得到点的纵坐标为，点的纵坐标为，由此得到点的纵坐标的变化规律，由此即可求解． 【详解】解：已知点的坐标是， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴点的纵坐标为， 则， 同理，， ∴点的纵坐标为， 根据此规律即可得到点的纵坐标为． 故选：A． 【变式6-1】（20-21八年级上·浙江金华·月考）如图，在平面直角坐标系中，从点，，，，，，…依次扩展下去，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了规律型：点的坐标．解答此题的关键是首先要确定点所在的象限，和该象限内点的规律，然后进一步推理得出点的坐标． 根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，可得点在第三象限，再根据第三象限点的规律即可得出结论． 【详解】解：分析各点坐标可发现，下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限， ， ∴点在第一象限， 又∵第一象限的点，点，点， ∴点． 故选：D． 【变式6-2】（24-25八年级下·江西南昌·期末）如图，小球起始时位于处，沿图中所示方向击球，小球在球桌上的运动轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来的方向击球，小球第1次碰到球桌边时，小球的位置是 ，那么小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标位置，解答本题的关键是明确题意，发现点的坐标位置的变化特点，利用数形结合的思想解答． 根据题意，可以画出相应的图形，然后即可发现点所在的位置变化特点，即可得到小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置． 【详解】解：根据题意，可以画出相应的图形，罗列前几次小球的位置如下： 小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第二次碰到球桌边时，位置是， 小球第三次碰到球桌边时，位置是， 小球第四次碰到球桌边时，位置是， 小球第五次碰到球桌边时，位置是， 小球第六次碰到球桌边时，位置是， ……， ∵， ∴小球第2025次碰到球桌边时，位置是． 故选：B． 【变式6-3】（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）如图，将点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；将点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；将点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点……按这个规律平移得到点，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移、规律型问题等知识，解题关键是学会套就规律的方法．先求出点，，，的横坐标，再从特殊到一般就出规律，然后利用规律即可解决问题． 【详解】解：点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， …， 按这个规律平移得到点点的横坐标为， 点的横坐标为， 故答案为：． 【题型七】坐标系上的对称 【例7】（25-26八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点，则点A关于y轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变换--轴对称，熟练掌握轴对称性质是解题的关键，根据平面直角坐标系中，关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可得到答案. 【详解】解：∵点坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标为. 故选：B. 【变式7-1】（24-25八年级上·浙江台州·期末）点与点关于（   ）对称 A．x轴 B．y轴 C．原点 D．直线x=5 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化－轴对称，根据两点纵坐标相等，横坐标相等，即可得出两点关于y轴对称． 【详解】解：点与点关于y轴对称， 故选B 【变式7-2】（22-23八年级上·浙江·期末）已知点P的坐标为，若点Q与点P关于y轴对称，则点Q的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的坐标性质，正确记忆相关性质是解题关键． 根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点关于y轴的对称点的坐标是，进而得出答案． 【详解】解：∵点P的坐标是，点Q与点P关于y轴对称， ∴点Q的坐标是． 故答案为：． 【变式7-3】（25-26八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特点，熟练掌握关于x轴对称点的坐标特点是解题的关键． 根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可求出，，进而求得的值． 【详解】解：∵点关于x轴对称的点的坐标为， ∴，， ∴． 故答案为：7． 【题型八】平面直角坐标系上轴对称的作图 【例8】（25-26八年级上·青海西宁·期中）如图，已知的三个顶点坐标分别为，，，请画出关于轴对称的，并写出，，的坐标． 【答案】图见解析，、、 【分析】本题考查利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 先找出点A、B、C关于y轴的对称点、、的位置，然后顺次连接即可；根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可． 【详解】解：如图所示，即为所求， 由图知、、． 【变式8-1】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于轴对称的； (2)点的坐标为________，点的坐标为_________； (3)点与点关于直线对称，则点的坐标是_________． 【答案】(1)图见解析 (2)， (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于x轴对称，关于y轴对称的点的坐标特征是解题的关键． （1）首先确定，，三点关于轴对称点的位置，然后依次连接即可； （2）根据（1）所画图形写出对应点坐标即可； （3）根据点与点关于直线对称即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由图可知，，， 故答案为：，； （3）解：∵点与点关于直线对称，， ∴点的坐标为， 故答案为： 【变式8-2】（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)请画出与关于y轴对称的并写出点的坐标__________； (2)在（1）的条件下，画出与关于直线：对称的并写出点的坐标__________． 【答案】(1)作图见解析，点的坐标为 (2)作图见解析，点的坐标为 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于直线：对称的点横坐标相同，纵坐标的和为1的2倍是解题的关键． （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接，再写出点的坐标即可； （2）根据关于直线：对称的点横坐标相同，纵坐标的和为1的2倍找到对应点的位置，然后顺次连接点即可． 【详解】（1）解：如图所示即为所求， ∴点的坐标为； （2）解：如图所示，即为所求； ∴点的坐标为． 故答案为： 【题型九】坐标系上的平移后的坐标 【例9】（25-26八年级上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，将点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，得到的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标平移的规则：横坐标左减右加，纵坐标上加下减． 【详解】∵点向左平移个单位， ∴横坐标变为； ∵再向上平移个单位， ∴纵坐标变为； ∴平移后的点的坐标为． 故选：D． 【变式9-1】（25-26八年级上·重庆·期中）在平面直角坐标系中，将点向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查坐标与图形变化—平移，根据点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减求解即可． 【详解】解：将点向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的点的坐标是，即． 故选：B． 【变式9-2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）若点向右平移2个单位长度后得到点，则a，b的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查点的平移规律，根据点的平移规律，向右平移时横坐标增加，纵坐标不变，由此列出方程求解即可． 【详解】解：∵ 点向右平移2个单位长度后，新点为，即， 又∵ 平移后得到点， ∴ ，且 ， 解得：， 故选：B． 【变式9-3】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若点向上平移 3 个单位后得到的点在 x 轴上，则 m 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的平移及坐标轴上点的运算，熟练掌握坐标平移的特征是解题的关键． 点向上平移后纵坐标增加3，平移后的点在x轴上，纵坐标为0，据此列方程求解． 【详解】解：已知点向上平移3个单位后，． 点在x轴上， 纵坐标， 解得． 故答案为：． 【题型十】判断平移方式 【例10】（2025八年级上·全国·专题练习）若使四边形各顶点在直角坐标系中的横坐标保持不变，纵坐标比原来都减少，则此四边形（ ） A．向上平移个单位长度 B．向下平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，纵坐标减小表示点向下移动，横坐标不变说明没有水平移动，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵每个点的纵坐标都减小2，横坐标不变， ∴四边形向下平移2个单位长度， 故选：B 【变式10-1】（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，位置如图所示． (1)分别写出点A，的坐标：A ， ． (2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的． (3)若点是三角形内部一点，则平移后对应点的坐标为，求m和n的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，三角形面积公式，得出对应点位置是解题关键． （1）根据已知图形可得答案； （2）由的对应点得平移规律，即可得到答案； （3）由（2）平移规律得出m、n的方程． 【详解】（1）解：由图知，， 故答案为：，； （2）解：的对应点得A向左平移5个单位，向上平移4个单位得到， 三角形是由三角形向左平移5个单位，向上平移4个单位得到． （3）解：内平移后对应点的坐标为， ∵的坐标为， ∴， ∴． 【变式10-2】（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，经过平移得到，与的位置如图所示． (1)分别写出点A，的坐标． (2)请结合平移的相关知识说明可由经过怎样的平移得到． 【答案】(1)，； (2)将向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到． 【分析】此题主要考查了图形的平移． （1）观察图形中点A，的位置即可得出其坐标； （2）观察图形中和位置的变换可得出答案． 【详解】（1）解：由图可知，； （2）解：观察图形中和的位置，可知将向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到． 【题型十一】平面直角坐标系上平移的作图 【例11】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是，现将平移，使点A与点重合，点B、C的对应点分别是点、． (1)请画出平移后的，并写出点的坐标________； (2)点P是内的一点，当平移到后，若点P的坐标为，则点P的对应点的坐标为________． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题主要考查了作图——平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）先根据题意得出先向左平移5个单位，再向下平移2个单位得到，从而求出点、的位置，画出图形即可； （2）根据（1）中的平移规律，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：先向左平移5个单位，再向下平移2个单位得到， 平移后的，如图所示： 点的坐标是； （2）解：由题意得：先向左平移5个单位，再向下平移2个单位得到， ∴点的对应点的坐标为，即． 【变式11-1】（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若直角梯形，顶点坐标分别为：，，，，将该四边形平移后，得到四边形，此时，点的对应点的坐标为． (1)请在图中画出平移后的四边形． (2)平移后的坐标为___________． (3)求出四边形与直角梯形重叠部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)3 【分析】本题考查的是平面直角坐标系，作图—平移变换，平移的性质，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键． （1）先作出平面直角坐标系，再根据平移的性质求解即可； （2）根据所作图形求解即可； （3）根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）如图所示， （2）由（1）得，平移后的坐标为； （3）由（1）得，重叠的部分为 的面积． 【变式11-2】（24-25七年级下·河南安阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)画出三角形，并求它的面积； (2)将这个三角形平移到三角形，其中点，，的对应点分别是，，，已知点的坐标是． ①的坐标是 ，的坐标是 ； ②写出一种将三角形平移到三角形的方法 ． 【答案】(1)作图见解析， (2)①，；②将三角形先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到三角形（答案不唯一） 【分析】本题考查坐标与图形，坐标与平移．解题的关键是熟练掌握平移规律． （1）根据点A、B、C的坐标进行描点，然后连线即可得出三角形，利用割补法求出三角形的面积即可； （2）①根据点A的坐标和平移后点的坐标是得出平移方式，然后求出点和点的坐标即可； ②根据点A平移得出点，得出将三角形平移到三角形的方法即可． 【详解】（1）解：如图，为所求作的三角形； ； （2）解：①∵点平移后点的坐标是， ∴点A向右平移5个单位，向上平移3个单位到， ∴点B、C分别向右平移5个单位，向上平移3个单位到，， ∴点的坐标是，点的坐标是； ②∵点A向右平移5个单位，向上平移3个单位到， ∴将三角形先向右平移5个单位，再向上平移3个单位到三角形． 【变式11-3】（25-26八年级上·安徽宣城·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，点是的边上任意一点，经过平移后得到，点的对应点为． (1)在图中画出平移后的； (2)求的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2)7 【分析】本题考查坐标系中图形的平移，作差法求坐标系中图形的面积，根据点P的对应点坐标，找到平移方式是解题关键． （1）根据点的坐标，找到平移方式，再根据平移方式画出图形即可； （2）通过作差法，用大长方形面积减去三个小三角形的面积即可． 【详解】（1）  由于在平移后的对应点为，故平移方式为向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度， 作图如下： （2）由图可知，， 故的面积为7． 【题型十二】平面直角坐标系上中点的坐标 【例12】（25-26八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点和点的中点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中点坐标公式． 根据中点坐标公式，直接计算两点横纵坐标的平均值． 【详解】解：点和点的中点坐标公式为，即． 故答案为：． 【变式12-1】（25-26八年级上·福建漳州·期中）阅读下列一段文字，回答问题． 在平面直角坐标系内有两点，连接M，N，则线段的中点坐标为．例如，点，则线段的中点坐标为，即． (1)已知点，则线段的中点坐标为___________； (2)如图，坐标为坐标为，点坐标为，连接，．线段是的中线，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，中点坐标公式，正确的理解题意是解题的关键． （1）根据中点坐标公式即可得到结论； （2）过点作轴于，根据的坐标，根据勾股定理得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴线段的中点坐标为，即， 故答案为：； （2）解：过点作轴于， ∵， ∴中点的坐标为，即， ∴， ∵点的坐标为， ∴， 在 中，， 由勾股定理得，． 【变式12-2】（25-26八年级上·陕西西安·月考）【阅读理解】在平面直角坐标系中，已知点，点，若点是线段的中点，则点的坐标为．如：，则的中点的坐标为，即点的坐标为． 根据以上信息，解答下列问题： (1)已知，则线段的中点的坐标是______； (2)若点，线段的中点的坐标为，求点的坐标（用含的式子表示）； (3)已知点，若线段的中点与线段的中点重合，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为； (3)点的坐标为． 【分析】本题考查了坐标中点公式，二元一次方程组的应用，掌握坐标中点公式是解题关键． （1）根据坐标中点公式求解即可； （2）设点的坐标为，根据坐标中点公式列方程组求解即可； （3）先根据中点坐标公式得出线段和的中点坐标，再根据中点中和列方程组求解即可． 【详解】（1）解：， 线段的中点的坐标是，即, 故答案为：； （2）解：设点的坐标为， 点，线段的中点的坐标为， ，解得：， 即点的坐标为； （3）解：点， 线段的中点坐标为，线段的中点坐标为， 线段的中点与线段的中点重合， ，解得： 点的坐标为． 【题型十三】坐标系上点的特点 【例13】（25-26八年级上·安徽·期中）如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（   ） A．1 B．2 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握以上知识点是关键．根据角平分线的性质定理可得关于的方程，解方程即可求得点的坐标，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，证明即可． 【详解】解：过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，如图所示： ∵点在第一象限角平分线上，， ∴， ∴， 解得：， 则点的坐标为， ∵， ， ∵， ， 由点的坐标知，， ∴， ， ． 故选：C． 【变式13-1】（25-26八年级上·甘肃兰州·月考）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点”． (1)点的“长距”为______： (2)若点是“角平分线点”，求的值； (3)若点的长距为，且点在第二象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)点是“角平分线点”，理由见解析． 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，理解新定义“长距”和“角平分线点”的含义，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）直接计算点到坐标轴距离的较大值； （2）根据“角平分线点”定义列方程求解； （3）先由点的长距和所在象限求出的值，再判断点的坐标是否满足“角平分线点”条件即可． 【详解】（1）解：∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴较大值为， ∴点的“长距”为， 故答案为：； （2）解：∵点是“角平分线点”， ∴， 即， ∴或 ， 解得或； （3）解：点是“角平分线点”，理由如下， ∵点的长距为，且点在第二象限内， ∴点的横坐标，纵坐标， 到轴的距离为，到轴的距离为， ∵点的长距为， ∴， 解得， ∴点的坐标为， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， 即点到轴和轴的距离相等， ∴点是“角平分线点”． 【变式13-2】（24-25七年级下·天津·期中）已知点． (1)若点M在x轴上，求点M的坐标； (2)已知点，且直线轴，求点M的坐标； (3)若点M到y轴的距离为4，求点M的坐标； (4)若点M在二，四象限角平分线上，求点M坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查了平面直角坐标系，以及坐标平面内点的坐标特征，解题的关键是熟知在坐标轴上的点的坐标特征，以及平行于坐标轴的点的坐标特征，以及点到坐标轴的距离等知识点． （1）根据在x轴上的点，纵坐标为0，可以求出a的值，进而求出点M的坐标； （2）根据直线 轴，得到纵坐标相等，可以求出a的值，进而求出点M的坐标； （3）根据点到轴的距离为横坐标的绝对值建立方程求解； （4）根据二，四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数建立方程求解． 【详解】（1）解：∵点M在x轴上， ∴， ∴， ∴点M的坐标是； （2）解：∵直线轴， ∴， 解得， 所以，点M的坐标为； （3）解：由题意得，， 解得：或， ∴当时，； 当时，； （4）解：∵点M在二，四象限角平分线上， ∴， 解得：， ∴． 【变式13-3】（24-25七年级下·广东汕头·期中）已知点，解答下列各题： (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了在x轴上点的坐标特点，点到坐标轴的距离，第二象限内点的坐标特点： （1）根据在x轴上的点纵坐标为0得到，据此可求出，则，由此即可得到答案； （2）根据第二象限内的点横坐标为正，纵坐标为负得到，再由点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵在第二象限， ∴， ∵到x轴、y轴的距离相等， ∴， ∴， 解得， ∴． 【变式13-4】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）已知点是平面直角坐标系中的点． (1)若点A在x轴上，求a的值； (2)若点A在第三象限，且到两坐标轴的距离和为9，请确定点A的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系点的坐标特点等知识． （1）根据点在x轴上得到，即可求出； （2）根据点在第三象限，即可求出点到x轴距离为，到y轴距离为，根据点到两坐标轴的距离和为9得到，求出，即可得到点A的坐标为． 【详解】（1）解：∵点在x轴上， ∴， 解得； （2）∵点在第三象限， ∴点到x轴距离为，点到y轴距离为， ∵点到两坐标轴的距离和为9， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标为． 【题型一】坐标系上动点问题 【例1】（25-26八年级上·四川成都·期中）已知．且满足，平面内有一点（其中m是常数），请回答下列问题： (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若点D在第二象限，连接，请用含m的代数式表示四边形的面积四边形，并求出当四边形时，m的值； (3)若点D是由点C沿x轴正方向平移距离得到的，连接，请问在四边形边上是否存在点P，使得为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)或或或 【分析】（1）利用非负数的性质求出、、的值可得结论； （2）证明 ，利用梯形面积公式求解，再根据题意，构建方程求解； （3）分四种情形：当点在上，时，当点在上时，，，时，分别求解即可． 【详解】（1）解： ， 解得：，，， ，，； （2），，， ，， ， ， ， ； （3），，， ， 点D是由点C沿x轴正方向平移距离得到的， ， 当点在上，时， ； 当点在上时，，可得 ； 当时，设， 则在中，有， 解得：， ； 当时，可得 ． 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，算术平方根的非负性，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识及分类讨论是解题的关键． 【变式1-1】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为，，点C在y轴上，且轴，a、b满足，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动(回到O为止)． (1)直接写出点A、B、C的坐标； (2)当点P运动3秒时，点P的坐标为_______； (3)在移动过程中，当点P到x轴距离为3个单位长度时，求出点P的移动时间？ 【答案】(1)，， (2) (3)点的移动时间为3秒或秒 【分析】本题考查了平面直角坐标系的坐标确定、点的运动路径与距离计算，解题的关键是利用非负数的性质求出、的值，结合点的运动路径分析各阶段位置． （1）由非负数的性质得、，再据轴确定的坐标； （2）计算3秒运动的距离，结合各段路径长度确定点的位置； （3）分段和段两种情况，据到轴距离求出路径长，进而算时间． 【详解】（1）解：∵， ∴，，得，， ∴，， ∵轴，在轴上， ∴ （2）解：点3秒运动的距离：，，，， ∴在段，从出发走了， 故答案为： （3）解：①当在段时，到轴距离为3， 路径长：，时间：（秒）； ②当在段时，到轴距离为3， 路径长：，时间：（秒）； 答：点的移动时间为3秒或秒． 【变式1-2】（17-18七年级下·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、分别在轴、轴上，点在第一象限，点的坐标是，． (1)直接写出点、点的坐标． (2)点从原点出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向点运动，同时点从点出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为秒，探究下列问题： ①当为多少时，直线轴？ ②在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形的面积的？若能，请直接写出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由 【答案】(1)， (2)①；②， 【分析】此题主要考查了长方形的性质，长方形的面积公式，梯形的面积公式，利用方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）先求出点C的坐标，再利用矩形的性质求出点B的坐标； （2）①利用轴得出建立方程求解即可；②先求出长方形的面积，再表示出梯形的面积，进而建立方程求出时间t即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 四边形是长方形，点的坐标是， ， （2）解：①由题意得，， ， ，， 轴， ， 四边形是长方形， ， ， 当值为秒时，直线轴； ②，， ， 由运动知，，， ， ∴梯形的面积 ， 四边形的面积是长方形的面积的， ， ， ， ，． 【变式1-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知点满足．将线段先向上平移个单位，再向右平移个单位后得到线段，并连接． (1)请求出点和点的坐标； (2)点从点出发，以每秒个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由； (3)在（）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在这样的，使得四边形的面积等于，理由见解析 (3)为定值，故其值不会变化，理由见解析 【分析】（）利用绝对值与平方的非负性求出的值，即可求解； （）由平移的性质可得点，点，，由面积关系可求解； （）分点在线段上，点在的延长线上两种情况讨论，由面积和差关系可求解． 【详解】（1）解：∵，， ，解得， ∴点和点的坐标分别为和； （2）存在． 理由：过作的延长线，垂足为，如图所示： 由题意得点和点的坐标分别为和， ∴ ， 设点坐标为，连接， ∴， ∵， ∴，即，解得， 存在这样的，使得四边形的面积等于； （3）不变．理由如下： 当点在线段上时，如图所示，设运动时间为秒，， 过作的延长线，垂足为 ，连接， ∵，， ∴ ， 当点运动到线段的延长线上时，如图所示，设运动时间为秒，，连接， ∴为定值，故其值不会变化． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平移的性质，非负式性质求解，三角形的面积公式等知识，利用分类讨论思想解决是本题的关键． 【题型二】坐标系上的将军饮马最短路径问题 【例2】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）如图，是平面直角坐标系中的网格线，每一小格的边长都是1，的顶点都是格点． (1)在网格图中作出关于轴的对称图形； (2)________； (3)在轴上有一点，使得最短，求出此时的最短距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，三角形面积和勾股定理，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可在网格图中作出关于轴的对称图形； （2）运用网格的性质求三角形的面积即可求解； （3）先找到点关于轴的对称点，连接与轴交于点，再根据对称性和勾股定理求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ． （2） ． （3）如图所示，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点， 此时最短， 根据对称性，有， ， 根据勾股定理，， 故此时的最短距离为． 【变式2-1】（25-26八年级上·甘肃庆阳·期中）在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，点的坐标为．请按要求分别完成下列各小题： (1)画出关于轴对称的，则点的坐标是___________； (2)在轴上找到一点，使得最短，画出图形并写出点坐标． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析，P点坐标为 【分析】本题主要考查了作轴对称图形，点的坐标，最短路径． （1）根据对称的性质作出图象，再写出的坐标即可； （2）过点作轴的对称点,连接，交轴于点，根据图形写出出点坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作，； ； （2）解：如图所示即为所求． P点坐标为． 【变式2-2】（25-26八年级上·云南红河·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画，使与关于轴对称； (2)在轴上作一点，使得最短 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了根据轴对称变换作图、轴对称的性质等知识点，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据网格结构找出点A、B、C关于轴的对称点的位置，然后顺次连接即可． （2）如图：作C关于y轴的对称点，连接交y轴于P，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：如图：点P即为所求． 【题型三】坐标系上面积问题 【例3】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点A作直线l，过点C作于点D，过点B作于点E，研究图形，不难发现：．如图2、3，在平面直角坐标系中，点为x轴正半轴上一点，点B为y轴上一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图2，若点B在y轴正半轴上且B点坐标为，则点C的坐标为 ． (2)如图3，若点B在y轴负半轴上且B点坐标为，则点C的坐标为 ． (3)点B在y轴上运动过程中（点B不与点O重合），的面积是否发生变化？若不变，请说明理由并求出的面积；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的面积不变，的面积为2 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形； （1）过点C作轴于点D，证明，根据全等三角形的性质以及坐标系，即可得出点C的坐标； （2）过点A作轴，过点C、B分别作的垂线，交于点，同（1）得出，即可得出点C的坐标； （3）根据（1）（2）得方法，得出C的纵坐标为2，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点C作轴于点D， 点坐标为， ， ∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，过点A作轴，过点C、B分别作的垂线，交于点， 点坐标为， ， 同（1）理可得：， ， 则点C纵坐标为2，横坐标为， ， 故答案为：； （3）解：∵，则， 设点B坐标为，当时， 如图，过点A作轴，过点C、B分别作的垂线，交于点E、F， ， 同理可得：， ， 则点C纵坐标为2， ； 当时，如图，过点C作轴于点D， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 则点C纵坐标为2， ； 综上所述，点B在y轴运动过程中（点B不与点O重合），的面积不变，面积为2． 【变式3-1】（25-26八年级上·广东梅州·期中）如图，已知． (1)求四边形的面积； (2)在y轴上存在一点P，使三角形的面积等于四边形面积的2倍，求点P 的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）过点C和点D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，点F，根据结合各点的坐标求解即可； （2）求出线段的长和的面积，再根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点C和点D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，点F， ∵， ∴， ∴，， ∴ ； （2）解：∵， ∴； ∵三角形的面积等于四边形面积的2倍， ∴， ∵点P在y轴上， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或； 【变式3-2】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点，且． (1)求的值； (2)在轴上是否存在一点，使得的面积等于面积的一半？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点坐标为或 【分析】本题考查的是绝对值的非负性及坐标与图形， （1）根据绝对值及平方的非负性求出的值即可； （2）先求出，设，作轴于点D，分三种情况：当点M在y轴负半轴上时或当点M在y轴正半轴且在直线上方时或当点M在y轴正半轴且在直线下方时，分别列方程解决即可． 【详解】（1）解：∵，， ， 所以可得， 解得． （2）解：存在，点坐标为或，理由如下： ∵， 则， ∴的长度为，点到轴的距离就是点的纵坐标的绝对值为， ∴． 设，作轴于点D， ∵，则， 则， 当点M在y轴负半轴上时，如下图， ， ， ， 解得： ； 当点M在y轴正半轴上且在直线上方时，如下图， ， ， ， 解得： ； 当点M在y轴正半轴且在直线下方时，此时点M在点O处时面积最大， 故此种情况不存在，舍去； 综上所述，点坐标为或． 【题型四】坐标系与全等三角形综合 【例4】（25-26八年级上·广东湛江·月考）如图，在三角形中，，，点，分别在坐标轴上． (1)如图1，若点C的横坐标为，点B的坐标为 ； (2)如图2，交x轴于点M，过点C作垂直x轴于D点，连接，求的度数； (3)如图3，交x轴于点M，点C的纵坐标为，若x轴恰好平分，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点C作轴于点E，证明，根据全等三角形的性质可以得到，然后即可求解点B的坐标； （2）过点C作轴于点E，由（1）知．证明四边形是矩形，得，可得是等腰直角三角形，可知的度数； （3）过点C作垂直x轴于D点，交延长线于F，证明，得到，再证明，得到，然后即可求解． 【详解】（1）解：过点C作轴于点E， ． ． ， ． 在和中 ． ． 点B的坐标为． 故答案为：． （2）解：过点C作轴于点E， 由（1）知． 垂直x轴于D点，， ． 四边形是矩形． ． ． ， 是等腰直角三角形． ． （3）解：过点C作垂直x轴于D点，交延长线于F， ． 轴恰好平分， ． 在和中 ． ． 点C的纵坐标为， ． ． ， ． ， ． ， ． 在和中 ． ． ． 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质，直角三角两锐角互余，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【变式4-1】（24-25八年级上·福建莆田·月考）如图1，在平面直角坐标系中，的顶点、、，E是线段上一点，且． (1)求点E的坐标； (2)延长交于 D． ①如图2，判断和的位置关系并说明理由； ②连接，如图3 ， 求证：． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （）证明，得到，即可求解； （） ．由得到，又由，进而得到，即可求证； 过点分别作，的垂线，由得到，进而得到，又由，，根据角平分线的判定即可求证； 【详解】（1）解：∵、， ∴， ，， ， ， ； （2） ，理由如下： 由（）可知， ， ， ∴， ， ； 证明：如图，过点分别作，的垂线，垂足分别为，， ， ， 即， ， ， 又，， 点在的平分线上， 即平分， ∴． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 图形与坐标（9知识&13题型&4方法清单） 【清单01】平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。 【清单02】点的坐标的概念 点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。 【清单03】各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限 点P(x,y)在第二象限 点P(x,y)在第三象限 点P(x,y)在第四象限 【清单04】坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x轴上，x为任意实数 点P(x,y)在y轴上，y为任意实数 点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0） 【清单05】两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数 【清单06】和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。 【清单07】关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征 点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数 点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数 点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数 【清单08】点到坐标轴及原点的距离 （1）点P(x,y)到x轴的距离等于 （2）点P(x,y)到y轴的距离等于 （3）点P(x,y)到原点的距离等于 【清单09】点的平移 点P(x,y)沿x轴向右（或向左）平移m个单位后对应点的坐标是（x±m,y）；点P(x,y)沿y轴向上（或向下）平移n个单位后对应点的坐标是（x,y±n）. 【题型一】用有序数对表示位置 【例1】（25-26八年级上·广东河源·期中）王伟坐在教室的第5列、第6排，他的位置用数对表示，李林坐在教室的第7列、第2排，他的位置用数对表示．张乐与李林在同一列，在王伟的前一排，张乐的位置用数对表示是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）下列描述能确定具体位置的是（    ） A．某教室第二排 B．合肥市长江中路 C．某电影院第排号座 D．北偏东 【变式1-2】（25-26八年级上·广东深圳·期中）台风“桦加沙”破坏性极大，气象台为了预报台风，首先要确定台风中心位置．下列表述能确定台风“桦加沙”的中心位置的是（    ） A．距深圳市 B．北纬，东经 C．离学府中学比较近 D．深圳市东偏南方向 【变式1-3】（25-26八年级上·广东梅州·期中）下列情形不能确定物体位置的是（　　） A．802班5排5列 B．华一中路5号 C．北偏东 D．东经，北纬 【题型二】判断点所在的象限 【例2】（24-25八年级上·浙江·期末）下列各点中，位于第二象限的点是（      ） A． B．) C． D． 【变式2-1】（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）下列各点中，在第二象限的点是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（22-23七年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型三】已知点所在象限求参数 【例3】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-1】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）点在第四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则整数的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式3-3】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)若点在第二象限内且为正整数． 【题型四】构建平面直角坐标系 【例4】（25-26八年级上·山西运城·月考）借助如图所示的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重、舒展美观．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，已知点的坐标为，则“善”字的笔画“”下端所在的位置点的坐标为 ． 【变式4-1】（25-26八年级上·四川成都·期中）嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用表示，右下角的圆形棋子用表示，淇淇将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形，则淇淇放的方形棋子的位置是 ． 【变式4-2】（25-26八年级上·辽宁铁岭·月考）对于边长为的等边三角形，以为坐标原点，所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则点的坐标为 ． 【题型五】写出点的坐标 【例5】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）点A的坐标为，直线轴，且，则点B的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式5-1】（25-26八年级上·河南驻马店·期中）若点 ， 轴， 且， 则点 H的坐标为（   ） A． B．或 C． D．或 【变式5-2】（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，在长方形中，，，，则D的坐标为（　　） A． B． C． D． 【题型六】点的规律探究 【例6】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，以为斜边在y轴右侧作等腰直角，过点作x轴的垂线，垂足为，以为斜边在右侧以作等腰直角，再过点作x轴的垂线，垂足为，以为斜边在右侧作等腰直角……按此规律继续作下去，则点的纵坐标为（    ） 【变式6-1】（20-21八年级上·浙江金华·月考）如图，在平面直角坐标系中，从点，，，，，，…依次扩展下去，则的坐标为（　　） 【变式6-2】（24-25八年级下·江西南昌·期末）如图，小球起始时位于处，沿图中所示方向击球，小球在球桌上的运动轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来的方向击球，小球第1次碰到球桌边时，小球的位置是 ，那么小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是（　　） 【变式6-3】（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）如图，将点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；将点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；将点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点……按这个规律平移得到点，则点的横坐标为 ． 【题型七】坐标系上的对称 【例7】（25-26八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点，则点A关于y轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25八年级上·浙江台州·期末）点与点关于（   ）对称 A．x轴 B．y轴 C．原点 D．直线x=5 【变式7-2】（22-23八年级上·浙江·期末）已知点P的坐标为，若点Q与点P关于y轴对称，则点Q的坐标为 ． 【变式7-3】（25-26八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为，则的值为 ． 【题型八】平面直角坐标系上轴对称的作图 【例8】（25-26八年级上·青海西宁·期中）如图，已知的三个顶点坐标分别为，，，请画出关于轴对称的，并写出，，的坐标． 【变式8-1】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于轴对称的； (2)点的坐标为________，点的坐标为_________； (3)点与点关于直线对称，则点的坐标是_________． 【变式8-2】（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)请画出与关于y轴对称的并写出点的坐标__________； (2)在（1）的条件下，画出与关于直线：对称的并写出点的坐标__________． 【题型九】坐标系上的平移后的坐标 【例9】（25-26八年级上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，将点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，得到的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26八年级上·重庆·期中）在平面直角坐标系中，将点向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）若点向右平移2个单位长度后得到点，则a，b的值分别为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若点向上平移 3 个单位后得到的点在 x 轴上，则 m 的值为 ． 【题型十】判断平移方式 【例10】（2025八年级上·全国·专题练习）若使四边形各顶点在直角坐标系中的横坐标保持不变，纵坐标比原来都减少，则此四边形（ ） A．向上平移个单位长度 B．向下平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【变式10-1】（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，位置如图所示． (1)分别写出点A，的坐标：A ， ． (2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的． (3)若点是三角形内部一点，则平移后对应点的坐标为，求m和n的值． 【变式10-2】（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，经过平移得到，与的位置如图所示． (1)分别写出点A，的坐标． (2)请结合平移的相关知识说明可由经过怎样的平移得到． 【题型十一】平面直角坐标系上平移的作图 【例11】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是，现将平移，使点A与点重合，点B、C的对应点分别是点、． (1)请画出平移后的，并写出点的坐标________； (2)点P是内的一点，当平移到后，若点P的坐标为，则点P的对应点的坐标为________． 【变式11-1】（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若直角梯形，顶点坐标分别为：，，，，将该四边形平移后，得到四边形，此时，点的对应点的坐标为． (1)请在图中画出平移后的四边形． (2)平移后的坐标为___________． (3)求出四边形与直角梯形重叠部分的面积． 【变式11-2】（24-25七年级下·河南安阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)画出三角形，并求它的面积； (2)将这个三角形平移到三角形，其中点，，的对应点分别是，，，已知点的坐标是． ①的坐标是 ，的坐标是 ； ②写出一种将三角形平移到三角形的方法 ． 【变式11-3】（25-26八年级上·安徽宣城·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，点是的边上任意一点，经过平移后得到，点的对应点为． (1)在图中画出平移后的； (2)求的面积． 【题型十二】平面直角坐标系上中点的坐标 【例12】（25-26八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点和点的中点坐标为 ． 【变式12-1】（25-26八年级上·福建漳州·期中）阅读下列一段文字，回答问题． 在平面直角坐标系内有两点，连接M，N，则线段的中点坐标为．例如，点，则线段的中点坐标为，即． (1)已知点，则线段的中点坐标为___________； (2)如图，坐标为坐标为，点坐标为，连接，．线段是的中线，求的长． 【变式12-2】（25-26八年级上·陕西西安·月考）【阅读理解】在平面直角坐标系中，已知点，点，若点是线段的中点，则点的坐标为．如：，则的中点的坐标为，即点的坐标为． 根据以上信息，解答下列问题： (1)已知，则线段的中点的坐标是______； (2)若点，线段的中点的坐标为，求点的坐标（用含的式子表示）； (3)已知点，若线段的中点与线段的中点重合，求点的坐标． 【题型十三】坐标系上点的特点 【例13】（25-26八年级上·安徽·期中）如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（   ） A．1 B．2 C．6 D．3 【变式13-1】（25-26八年级上·甘肃兰州·月考）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点”． (1)点的“长距”为______： (2)若点是“角平分线点”，求的值； (3)若点的长距为，且点在第二象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 【变式13-2】（24-25七年级下·天津·期中）已知点． (1)若点M在x轴上，求点M的坐标； (2)已知点，且直线轴，求点M的坐标； (3)若点M到y轴的距离为4，求点M的坐标； (4)若点M在二，四象限角平分线上，求点M坐标． 【变式13-3】（24-25七年级下·广东汕头·期中）已知点，解答下列各题： (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值． 【变式13-4】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）已知点是平面直角坐标系中的点． (1)若点A在x轴上，求a的值； (2)若点A在第三象限，且到两坐标轴的距离和为9，请确定点A的坐标． 【题型一】坐标系上动点问题 【例1】（25-26八年级上·四川成都·期中）已知．且满足，平面内有一点（其中m是常数），请回答下列问题： (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若点D在第二象限，连接，请用含m的代数式表示四边形的面积四边形，并求出当四边形时，m的值； (3)若点D是由点C沿x轴正方向平移距离得到的，连接，请问在四边形边上是否存在点P，使得为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为，，点C在y轴上，且轴，a、b满足，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动(回到O为止)． (1)直接写出点A、B、C的坐标； (2)当点P运动3秒时，点P的坐标为_______； (3)在移动过程中，当点P到x轴距离为3个单位长度时，求出点P的移动时间？ 【变式1-2】（17-18七年级下·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、分别在轴、轴上，点在第一象限，点的坐标是，． (1)直接写出点、点的坐标． (2)点从原点出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向点运动，同时点从点出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为秒，探究下列问题： ①当为多少时，直线轴？ ②在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形的面积的？若能，请直接写出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由 【变式1-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知点满足．将线段先向上平移个单位，再向右平移个单位后得到线段，并连接． (1)请求出点和点的坐标； (2)点从点出发，以每秒个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由； (3)在（）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由． 【题型二】坐标系上的将军饮马最短路径问题 【例2】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）如图，是平面直角坐标系中的网格线，每一小格的边长都是1，的顶点都是格点． (1)在网格图中作出关于轴的对称图形； (2)________； (3)在轴上有一点，使得最短，求出此时的最短距离． 【变式2-1】（25-26八年级上·甘肃庆阳·期中）在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，点的坐标为．请按要求分别完成下列各小题： (1)画出关于轴对称的，则点的坐标是___________； (2)在轴上找到一点，使得最短，画出图形并写出点坐标． 【变式2-2】（25-26八年级上·云南红河·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画，使与关于轴对称； (2)在轴上作一点，使得最短 【题型三】坐标系上面积问题 【例3】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点A作直线l，过点C作于点D，过点B作于点E，研究图形，不难发现：．如图2、3，在平面直角坐标系中，点为x轴正半轴上一点，点B为y轴上一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图2，若点B在y轴正半轴上且B点坐标为，则点C的坐标为 ． (2)如图3，若点B在y轴负半轴上且B点坐标为，则点C的坐标为 ． (3)点B在y轴上运动过程中（点B不与点O重合），的面积是否发生变化？若不变，请说明理由并求出的面积；若变化，请说明理由． 【变式3-1】（25-26八年级上·广东梅州·期中）如图，已知． (1)求四边形的面积； (2)在y轴上存在一点P，使三角形的面积等于四边形面积的2倍，求点P 的坐标． 【变式3-2】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点，且． (1)求的值； (2)在轴上是否存在一点，使得的面积等于面积的一半？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型四】坐标系与全等三角形综合 【例4】（25-26八年级上·广东湛江·月考）如图，在三角形中，，，点，分别在坐标轴上． (1)如图1，若点C的横坐标为，点B的坐标为 ； (2)如图2，交x轴于点M，过点C作垂直x轴于D点，连接，求的度数； (3)如图3，交x轴于点M，点C的纵坐标为，若x轴恰好平分，求的面积． 【变式4-1】（24-25八年级上·福建莆田·月考）如图1，在平面直角坐标系中，的顶点、、，E是线段上一点，且． (1)求点E的坐标； (2)延长交于 D． ①如图2，判断和的位置关系并说明理由； ②连接，如图3 ， 求证：． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $