专题03一元一次不等式（期末复习知识清单）八年级数学上学期新教材浙教版

该初中数学一元一次不等式专题知识清单系统梳理了不等式的核心内容，涵盖定义、性质、解集数轴表示、解法及应用五大知识范畴，搭建了从概念理解到技能运用再到实际问题解决的递进式学习支架。 清单通过“知识清单+题型分类+易错警示+方法总结”四维架构呈现知识体系，如将不等式性质3（乘除负数变号）标注为易错点，配套11类题型变式训练，培养学生的推理意识和模型意识。特别设计“参数问题解法指引”和“解集验证技巧”，不同层次学生可高效突破难点，教师可直接用于分层教学，提升课堂效率。

专题03 一元一次不等式（5知识&11题型&2易错2方法清单） 【清单01】 不等式的定义 （1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． （2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 【清单02】不等式的性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 【规律方法】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 【清单03】在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【规律方法】不等式解集的验证方法 某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 【清单04】解一元一次不等式（组） 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【清单05】一元一次不等式（组）的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 【题型一】不等式的定义 【例1】（24-25七年级下·重庆开州·期末）下列各式中，是不等式的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023七年级下·全国·专题练习）下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-2】（25-26八年级上·浙江金华·期中）“大于的倍”用不等式表示为： ． 【变式1-3】（24-25八年级上·浙江杭州·月考）x减去y不大于，用不等式表示为 ． 【题型二】不等式的解 【例2】（18-19八年级上·浙江杭州·期末）下列说法正确的是（　　） A．x＝﹣3是不等式x＞﹣2的一个解 B．x＝﹣1是不等式x＞﹣2的一个解 C．不等式x＞﹣2的解是x＝﹣3 D．不等式x＞﹣2的解是x＝﹣1 【变式2-1】（24-25七年级下·上海松江·月考）某不等式的解集是，下列表述不正确的是（   ） A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解． C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解． 【变式2-2】（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【变式2-3】（22-23七年级下·河南周口·期末）请写出适合不等式的一组整数解 ． 【题型三】不等式的性质 【例3】（22-23八年级上·浙江宁波·期末）已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）下列四个选项中，经过变形，一定能得到的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25八年级上·浙江湖州·期末）已知，则 ．（填“”、“”或“”号） 【题型四】一元一次不等式的定义 【例4】（22-23八年级上·浙江湖州·期末）下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）下列各式是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【变式4-3】（24-25七年级下·甘肃武威·期末）若关于x的不等式是一元一次不等式，则 ． 【题型五】不等式的整数解 【例5】（24-25八年级上·浙江温州·期末）不等式的非负整数解有（ ）个 A．3 B．4 C．2 D．5 【变式5-1】（22-23七年级下·湖北·期末）不等式组的所有整数解的和为（    ） A．3 B．2 C．0 D． 【变式5-2】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）满足不等式的最小整数解为 ． 【变式5-3】（21-22八年级上·浙江杭州·期末）不等式的最小负整数解 ． 【变式5-4】（19-20七年级下·安徽亳州·期末）解不等式组写出所有符合条件的整数解． 【题型六】解一元一次不等式 【例6】（23-24八年级下·甘肃酒泉·期末）解下列不等式： (1)． (2)． 【变式6-1】（24-25八年级上·浙江湖州·期末）解不等式： (1)； (2)． 【变式6-2】（24-25八年级上·浙江金华·期末）小明同学解不等式的过程如下．请指出首次出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母，得．① 去括号，得．② 移项，得．③ 合并同类项，得．④ 两边都除以，得．⑤ 【变式6-3】（24-25八年级上·浙江·月考）小马虎解不等式的过程如图．请指出他解答过程中错误步骤（相对于前一步）的序号，并写出正确的解答过程．错误步骤：_________． 解：去分母： 去括号： 移项： 合并同类项： 两边都除以得 【变式6-4】（23-24八年级上·浙江杭州·期末）解不等式： (1)． (2)． 【题型七】解不等式组 【例7】（24-25八年级上·浙江丽水·期末）解不等式（组）： (1)； (2) 【变式7-1】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）解一元一次不等式组：． 【变式7-2】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）解下列不等式组： (1)； (2)． 【题型八】用数轴表示不等式的解集 【例8】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）不等式的解集表示在数轴上正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25八年级上·浙江·期中）不等式的解集在数轴上表示为（  ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25八年级上·浙江衢州·期末）解一元一次不等式组，并把解在数轴上表示出来． 【变式8-3】（24-25八年级上·浙江·期末）解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上． 【题型九】根据不等式的解集求参数 【例9】（23-24八年级上·重庆江北·阶段练习）若正整数a既使得关于x一元一次方程有正整数解，又使得关于x的不等式组的解集为，那么所有满足条件的正整数a的值之和为（    ） A．4 B．3 C．0 D．8 【变式9-1】（22-23八年级上·浙江宁波·期末）对于任意实数p、q，定义一种运算：，如：，请根据以上定义解决问题：若关于x的不等式组 有2个整数解，则m的取值范围为是（ ） A． B． C． D． 【变式9-2】（22-23八年级上·浙江宁波·期末）关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是 ． 【变式9-4】（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）若关于的不等式组只有一个整数解，则实数a的取值范围是 ． 【题型十】一元一次不等式的应用 【例10】（23-24八年级上·浙江湖州·期末）【问题情境】 小明所在的班级准备开展知识竞赛，需要购买A，B两种款式的运动盲盒作为奖品． 素材1：已知甲、乙两个商店均有价格、款式相同的两种运动盲盒出售，在无促销活动时，若买15个A款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元；若买25个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元． 素材2：现甲、乙两商店开展不同的促销活动： 甲商店：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）； 乙商店：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售． 【解决问题】 (1)在无促销活动时，求A款运动盲盒和B款运动盲盒的销售单价各是多少元？ (2)小明计划在促销期间购买A，B两款运动盲盒共40个，其中A款运动盲盒m个，若小明在甲商店成为会员购买，共需要_______元；若在乙商店购买，共需要______元；（均用含m的代数式表示） (3)请你帮小明算一算，在（2）的条件下，购买A款运动盲盒的数量m在什么范围内时，去甲商店更合算？ 【变式10-1】（24-25八年级上·浙江舟山·期末）舟山市某校第届科技体育人文艺术节，吉祥物“菱菱”脱颖而出，学校将它定制成钥匙扣和立牌．若定制钥匙扣件，立牌2件共需要8元；若定制钥匙扣件，立牌5件共需要元． (1)钥匙扣和立牌单价分别是多少？ (2)学校计划购买钥匙扣和立牌共件，总费用不超过元，那么最多能购买立牌多少件？ 【变式10-2】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）根据以下素材，探索完成任务 如何设计采购方案？ 素材1 王阳明故居纪念馆为了能更好地宣传阳明文化以及王阳明的书法，文创商店近期推出了许多新的文创产品，有阳明书法手袋、阳明书签、阳明书法冰箱贴等．已知1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高18元． 素材2 小明在本店购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元． 素材3 临近期末考试，某数学老师打算提前给学生准备奖品，他准备用1000元在本店同时购买书签和冰箱贴两种商品若干件． 问题解决 任务1 求1套书签和1个冰箱贴的售价分别是多少元． 任务2 该老师打算购买书签和冰箱贴共25件，最多能买几套书签？ 任务3 【拟定购买方案】 在任务2的条件下，该老师要求购买的书签比冰箱贴多．则分别购买多少书签和冰箱贴时，所需费用最省？并求出最省费用． 【变式10-3】（24-25八年级上·浙江金华·期末）某学校为庆祝办学周年校庆活动，特订购校庆纪念册和校庆纪念品．经了解，以纪念册和纪念品的平均单价计算，订购本纪念册和件纪念品共需元；订购本纪念册比件纪念品多花元． (1)求平均每本校庆纪念册和每个校庆纪念品各是多少元． (2)计划订购校庆纪念册和校庆纪念品总费用不超过元，其中订购校庆纪念册大于本，校庆纪念册的数量比校庆纪念品的数量多，请求出所有符合条件的订购方案． 【题型十一】不等式组的应用 【例11】（24-25八年级上·浙江温州·期末）深圳文博会期间，某展商展出了A、两种商品，已知用120元可购得的A种商品比种商品多2件，种商品的单价是A种商品的1.5倍． (1)求A、两种商品的单价各是多少元？ (2)小亮用不超过330元购买A、两种商品共13件，并且A种商品的数量不超过种商品数量的2倍，那么他有哪几种购买方案？要使购买这两种商品所需费用尽可能少，应选用哪种方案？ 【变式11-1】（24-25八年级上·浙江金华·期末）某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． (1)求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ (2)考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ 【变式11-2】（24-25八年级上·重庆江北·期末）为了提高学生的体育活动参与度，增强学生的身体素质，某学校决定购买A型和B型两种运动器材来布置体育活动室．学校预算资金为1900元，且B型运动器材每件的价格是A型运动器材每件价格的倍．若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件． (1)分别求出A型和B型运动器材每件的价格； (2)购买当日恰逢促销，A型运动器材按原价的八折销售．已知该学校实际需要购买A型和B型两种运动器材共80件，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，那么该学校共有哪些不同的购买方案？ 【变式11-3】（24-25七年级下·云南丽江·期末）“云南鲜花饼”是云南的著名特产．某商店销售A，B两种品牌的鲜花饼，若购买3箱A种鲜花饼和2箱B种鲜花饼共需120元；若购买2箱A种鲜花饼和3箱B种鲜花饼共需105元． (1)求A种鲜花饼和B种鲜花饼每箱的价格分别是多少元？ (2)若某旅行团计划购买A，B两种鲜花饼共15箱，且A种鲜花饼的数量多于B种鲜花饼的数量，但又不超过B种鲜花饼的数量的2倍，请问有哪几种购买方案？并求出最省钱的购买方案的费用． 【变式11-4】（24-25七年级下·重庆·期末）据《2024中国新能源汽车产业白皮书》显示，激光雷达是整车智能模块的重要组成部分，供应链稳定性直接影响企业产能．某企业旗下智能汽车搭载级自动驾驶系统，核心部件依赖国产激光雷达．为应对产能现状，企业准备优化以下两款旗舰车型的生产结构： 星曜：专注高速领航功能，每辆需配备4枚激光雷达；单台车净利润为万元； 雷霆：主打城市智能驾驶，每辆需配备6枚激光雷达；单台车净利润为万元； (1)根据生产日志，6月份两条产线共交付车辆150台，激光雷达使用总量为840枚．求出星曜与雷霆的具体产量； (2)受产能波动影响，7月份激光雷达到货量不超过6月份．管理层决议：在确保月度利润不低于6月份的情况下，为履行采购合同，星曜产量必须比6月份增长．求该企业7月份雷霆汽车的生产数量． 【题型一】情况考虑不全导致绝对值型不等式出错 【例1】（23-24七年级下·江西赣州·期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有大于且小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． (1)的解集为______； (2)解不等式； (3)解不等式． 【变式1-1】（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）解不等式： 【变式1-2】（23-24七年级下·江苏盐城·期末）观察下列不等式及其解集： ①的解集为：或； ②的解集为：或； ③的解集为：或．回答下列问题： (1)的解集是___________． (2)归纳：当时，不等式的解集是___________． (3)运用（2）中的结论解不等式． 【变式1-3】（22-23七年级下·福建厦门·期中）阅读理解： 例1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________ (2)解不等式：． (3)解不等式：． 【题型二】对概念理解不全导致特殊的不等式组出错 【例2】（24-25七年级下·河南新乡·期末）【阅读思考】阅读下列材料： “已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：， 又 ∴ 又 ① 同理② 由①+②得 的取值范围是 【启发应用】请按照上述方法，完成下列问题： （1）已知，且，，则的取值范围是___________； （2）已知，且，，试确定的取值范围（用含有的式子表示）． 【拓展推广】请按照上述方法，完成下列问题： （3）已知，且，，试确定的取值范围． 【变式2-1】（22-23七年级下·辽宁葫芦岛·期末）阅读材料： 李老师给数学兴趣小组布置了这样一个关于不等式的问题：求不等式的解集. 小组成员百思不得其解，这时，李老师提示说：“我们可以利用有理数的运算法则解决这一问题”，话音刚落，聪明的小明就说：“我明白了”！你们想到解决问题的方法了吗？小明是这样做的：根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”. 可得①；或②， 解不等式组①得：，解不等式组②得：， ∴原不等式的解集为：或. 你明白了吗？请结合以上材料解答问题：解不等式. 【变式2-2】（21-22七年级下·江苏连云港·期末）先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式， 解：因为，所以原不等式可化为 由有理数乘法法则“两数相乘，异号得负”，得：①，或②，解不等式组①得，解不等式组②无解，所以原不等式的解集为． (1)用例题的方法解不等式的解集为 　　； (2)解不等式． 【变式2-3】（20-21七年级下·湖南·期末）若三个代数式满足：只要其中有两个代数式之和大于另外一个代数式的解集为大于1的实数，则称这三个代数式构成“雅礼不等式”．例如：三个代数式有：当时的解集为，则称构成“雅礼不等式”． (1)可以构成“雅礼不等式”吗？请说明理由； (2)若构成“雅礼不等式”，求a的值或取值范围； (3)若构成“雅礼不等式”，求关于x的不等式组的解集． 【变式2-4】（19-20八年级下·四川达州·期末）阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则 即可以写成： 解不等式组得： ②当若，则 即可以写成： 解不等式组得： 综合以上两种情况：不等式解集：或． （以上解法依据：若，则a，b同号）请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 【题型一】不等式与方程的综合 【例1】（19-20八年级上·浙江杭州·期末）已知二元一次方程组的解满足． （1）求字母的取值范围； （2）解关于的不等式． 【变式1-1】（22-23七年级下·陕西汉中·期末）已知关于x，y的方程组的解满足不等式，求m的取值范围． 【变式1-2】（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知关于x，y的方程组． (1)若该方程组的解满足，求m的值； (2)若不等式组的解集满足，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求m的整数值． 【变式1-3】（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）已知关于x，y的方程组（是常数） (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，当为何整数时，不等式解集为． 【变式1-4】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知关于的二元一次方程组 (1)若方程组的解满足，求的取值范围； (2)若为正数，为负数，求的取值范围． 【题型二】利用不等式求和差的最值 【例2】（2024八年级上·全国·竞赛）是自然数，且，若，那么，的最大值是（　　） A．2225 B．2226 C．2227 D．2228 【变式2-1】（24-25八年级下·江西景德镇·期末）设为自然数，且，又，则的最大值为 ．     【变式2-2】（2023七年级下·全国·专题练习）已知非负实数x，y，z满足， 设，则的最大值与最小值的和为 【变式2-3】（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）已知，，是三个非负数，且满足，，设，则的最大值与最小值的和为 ． 【变式2-4】（24-25七年级上·四川眉山·期中）已知x，y，z为非负实数，且满足，．代数式的最大值是 ． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元一次不等式（5知识&11题型&2易错2方法清单） 【清单01】 不等式的定义 （1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． （2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 【清单02】不等式的性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 【规律方法】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 【清单03】在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【规律方法】不等式解集的验证方法 某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 【清单04】解一元一次不等式（组） 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【清单05】一元一次不等式（组）的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 【题型一】不等式的定义 【例1】（24-25七年级下·重庆开州·期末）下列各式中，是不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题主要考查不等式的定义，根据不等式的定义“用不等号连接的式子”进行判断即可． 【分析】解：不等式是用不等号（如“”、“”、“”、“”、“”等）连接的式子， 选项A： 是代数式，不含等号或不等号，不是不等式； 选项B： 用“”连接，符合不等式的定义； 选项C： 是等式，用“”连接； 选项D： 是等式，同样用“”连接； 故选：B． 【变式1-1】（2023七年级下·全国·专题练习）下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，能熟记不等式的定义是解此题的关键，注意：用不等号，，，，表示不等关系的式子，叫不等式． 根据不等式的定义逐个判断即可． 【详解】解：依题意，不等式有：①，②，⑤，⑥，共4个， 故选：C． 【变式1-2】（25-26八年级上·浙江金华·期中）“大于的倍”用不等式表示为： ． 【答案】 【分析】此题考查了列不等式．根据“a大于b的2倍”进行列出不等式，即可作答． 【详解】解：依题意，“大于的倍”用不等式表示为：， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25八年级上·浙江杭州·月考）x减去y不大于，用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，关键是要抓住题目中的关键词，首先表示x减去y为，再表示“不大于”即为． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【题型二】不等式的解 【例2】（18-19八年级上·浙江杭州·期末）下列说法正确的是（　　） A．x＝﹣3是不等式x＞﹣2的一个解 B．x＝﹣1是不等式x＞﹣2的一个解 C．不等式x＞﹣2的解是x＝﹣3 D．不等式x＞﹣2的解是x＝﹣1 【答案】B 【分析】根据不等式解集和解的概念求解可得 【详解】解：A．x＝﹣3不是不等式x＞﹣2的一个解，此选项错误； B．x＝﹣1是不等式x＞﹣2的一个解，此选项正确； C．不等式x＞﹣2的解有无数个，此选项错误； D．不等式x＞﹣2的解有无数个，此选项错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查不等式的解集，不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示，不等式的每一个解都在它的解集的范围内. 【变式2-1】（24-25七年级下·上海松江·月考）某不等式的解集是，下列表述不正确的是（   ） A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解． C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的解的定义，不等式的解集是满足不等式的所有解的集合，使原不等式成立的数就是不等式的一个解，据此逐项分析求解即可． 【详解】解：A、∵某不等式的解集是， ∴0是这个不等式的解，故A不符合题意； B、∵某不等式的解集是， ∴不是这个不等式的解，故B不符合题意； C、∵某不等式的解集是， ∴大于的数都是这个不等式的解，大于且小于等于的数不是这个不等式的解，故C符合题意； D、∵某不等式的解集是， ∴小于的数都不是这个不等式的解，故D不符合题意． 故选：C 【变式2-2】（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，(是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案． 【详解】解：解不等式， 可得． A.由于，故不是不等式的解，故选项错误； B.由于，故是不等式的一个解，但不是唯一解，故选项错误； C.由于，故不是不等式的一个解，但不是解集，故选项错误； D.由于，故不是不等式的一个解，故选项正确； 故选D． 【变式2-3】（22-23七年级下·河南周口·期末）请写出适合不等式的一组整数解 ． 【答案】（不唯一） 【分析】本题考查的是不等式的整数解，根据不等式的整数解的含义可得其中的一组整数解为． 【详解】解：不等式的一组整数解为， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型三】不等式的性质 【例3】（22-23八年级上·浙江宁波·期末）已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是不等式的性质，解题关键是熟练掌握不等式的性质． 根据不等式的性质对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：、，，则不成立，不符合题意，选项错误； 、∵，∴，符合题意，选项正确； 、，若，则；若，则，即不一定成立，选项错误； 、，，，则不成立，不符合题意，选项错误． 故选：． 【变式3-1】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）下列四个选项中，经过变形，一定能得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质逐一分析即可解答． 【详解】解：∵，当， ∴，故A选项不符合题意； B、∵， ∴，故B选项符合题意； C、∵， ∴，故C选项不符合题意； D、∵， ∴，故D选项不符合题意； 故选：B． 【变式3-2】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质， 根据不等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：因为，根据不等式的基本性质3，得，再根据不等式的基本性质1，得，所以A符合题意； 因为，根据不等式的基本性质1，得，所以B不符合题意； 因为，当时，得不成立，所以C不符合题意； 因为，根据不等式的基本性质3，得，所以D不符合题意． 故选：A． 【变式3-3】（24-25八年级上·浙江湖州·期末）已知，则 ．（填“”、“”或“”号） 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．结合不等式的性质进行作答即可． 【详解】解：∵，且， ∴， 故答案为：． 【题型四】一元一次不等式的定义 【例4】（22-23八年级上·浙江湖州·期末）下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，进而判断得出即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； B、是一元一次不等式，符合题意； C、不含未知数，是不等关系，不是一元一次不等式，不符合题意； D、未知数的最高次数为2，不是一元一次不等式，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查一元一次不等式的定义，正确把握一元一次不等式的要素是解决问题的关键．． 【变式4-1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）下列各式是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．根据一元一次不等式的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：A．不是一元一次不等式，该选项不符合题意； B．不是一元一次不等式，该选项不符合题意； C．不是一元一次不等式，该选项不符合题意；     D．是一元一次不等式，该选项符合题意； 故选：D． 【变式4-2】（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，根据次数等于1且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， 解得． 故答案为：1． 【变式4-3】（24-25七年级下·甘肃武威·期末）若关于x的不等式是一元一次不等式，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1且系数不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的不等式是一元一次不等式， ∴且， 解得：， 故答案为：1． 【题型五】不等式的整数解 【例5】（24-25八年级上·浙江温州·期末）不等式的非负整数解有（ ）个 A．3 B．4 C．2 D．5 【答案】B 【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可． 本题主要考查了一元一次不等式的整数解，掌握非负整数包括0和正整数是解题的关键． 【详解】解：不等式的解集为， 它的非负整数解为0，1，2，3，共有4个． 故选：B 【变式5-1】（22-23七年级下·湖北·期末）不等式组的所有整数解的和为（    ） A．3 B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而确定不等式组的整数解，再把整数解相加，即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为， ∴原不等式组的所有整数解的和为， 故选：A． 【变式5-2】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）满足不等式的最小整数解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，求出不等式的解集后，然后在解集范围内找出最小整数解即可． 【详解】解：， ∴， 解得：， 所以最小整数解是， 故答案为：． 【变式5-3】（21-22八年级上·浙江杭州·期末）不等式的最小负整数解 ． 【答案】-3 【分析】移项，合并同类项，系数化成1，再求出不等式的最小负整数解即可． 【详解】解：， 移项，得， 合并同类项，得3x＞-11， 系数化成1，得x＞， 所以不等式的最小负整数解是-3， 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和不等式的整数解，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键． 【变式5-4】（19-20七年级下·安徽亳州·期末）解不等式组写出所有符合条件的整数解． 【答案】 【分析】考查了一元一次不等式组的解法，分别解不等式，找出解集的公共部分即可.先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，进而写出不等式组的所有整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解是． 【题型六】解一元一次不等式 【例6】（23-24八年级下·甘肃酒泉·期末）解下列不等式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的性质：不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变． （1）按照移项，合并同类项，化系数为1的步骤进行求解即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）解：， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 【变式6-1】（24-25八年级上·浙江湖州·期末）解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的基本性质是解答此题的关键． （1）根据移项，合并同类项，系数化为1，即可求解； （2）根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式6-2】（24-25八年级上·浙江金华·期末）小明同学解不等式的过程如下．请指出首次出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母，得．① 去括号，得．② 移项，得．③ 合并同类项，得．④ 两边都除以，得．⑤ 【答案】①，过程见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，根据去分母，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可． 【详解】解：去分母时，常数项2没有乘以最小公倍数出现错误；故首次出现错误的是步骤①；正确的解答过程如下： 解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 两边都除以，得． 【变式6-3】（24-25八年级上·浙江·月考）小马虎解不等式的过程如图．请指出他解答过程中错误步骤（相对于前一步）的序号，并写出正确的解答过程．错误步骤：_________． 解：去分母： 去括号： 移项： 合并同类项： 两边都除以得 【答案】①，②，⑤；解答见解析 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，先根据解法确定错误的步骤，再根据去分母，去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可． 【详解】解：第①步错误，出现漏乘； 第②步错误，出现去括号没变号； 第⑤步错误，不等号没有改变方向； ， 去分母： 去括号： 移项： 合并同类项： 两边都除以得； 【变式6-4】（23-24八年级上·浙江杭州·期末）解不等式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次不等式．掌握解不等式的基本步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得． （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】（1）解：； 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 【题型七】解不等式组 【例7】（24-25八年级上·浙江丽水·期末）解不等式（组）： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：． 【变式7-1】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）解一元一次不等式组：． 【答案】； 【分析】本题考查解不等式组，分别解不等式①②，再根据同大取大，同小取小，相交取中间，相背无解求解即可得到答案． 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为． 【变式7-2】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）解下列不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大 ；同小取小；大小小大中间找；大大小小 找不到”的原则是解答此题的关键． （1）先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 故不等式组的解集为． （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， 故不等式组的解集为． 【题型八】用数轴表示不等式的解集 【例8】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）不等式的解集表示在数轴上正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考示不等式的解集在数轴上的表示，注意数轴上空心和实心表示． 求出不等式的解集进行表示即可． 【详解】解：不等式的解集为． 解集在数轴上表示如图所示， 故选：A． 【变式8-1】（24-25八年级上·浙江·期中）不等式的解集在数轴上表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的步骤及数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 先求出不等式的解集，再对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：， ， ， 显然只有B选项符合题意． 故选：B． 【变式8-2】（24-25八年级上·浙江衢州·期末）解一元一次不等式组，并把解在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 首先分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解为． ． 【变式8-3】（24-25八年级上·浙江·期末）解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查不等式组的解法和在数轴上的表示法，如果是表示大于或小于号的点要用空心，如果是表示大于等于或小于等于号的点用实心． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可． 【详解】解：由不等式①得，， 由不等式②得，， 在数轴上表示为： ． 【题型九】根据不等式的解集求参数 【例9】（23-24八年级上·重庆江北·阶段练习）若正整数a既使得关于x一元一次方程有正整数解，又使得关于x的不等式组的解集为，那么所有满足条件的正整数a的值之和为（    ） A．4 B．3 C．0 D．8 【答案】A 【分析】根据题意，求出方程和不等式组的解集，然后求出a的取值范围，即可求出答案． 【详解】解：∵， 解得：， ∵关于x一元一次方程有正整数解， ∴， 解得：，且是2的倍数； 又∵是正整数， ∴，且是2的倍数； ∵， 解得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴； ∴满足题意的a的值有：、 所有满足条件的正整数a的值之和为： 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集和一元一次方程组的整数解，正确掌握解方程的方法和解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 【变式9-1】（22-23八年级上·浙江宁波·期末）对于任意实数p、q，定义一种运算：，如：，请根据以上定义解决问题：若关于x的不等式组 有2个整数解，则m的取值范围为是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知新运算变形，再求出不等式组的解，根据已知得出关于m的不等式组，求出m的范围即可． 【详解】解：∵    ， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组有2个整数解， ∴， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于m的不等式组是解此题的关键． 【变式9-2】（22-23八年级上·浙江宁波·期末）关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先求出不等式组的解集为，再根据恰好有3个整数解可得，由此即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵这个不等式组有解， ∴， 又∵关于的不等式组恰好有3个整数解， ∴这个不等式组的3个整数解为， ∴， 解得， 故选：B． 【变式9-3】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式组求参数问题，解题的关键是掌握解不等式组的方法． 先解出不等式组，根据它有个整数解求出的取值范围． 【详解】解：解不等式组得：， 该不等式组有个整数解， 整数解为，，， ； 故答案为： 【变式9-4】（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）若关于的不等式组只有一个整数解，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 先解出不等式组中每个不等式的解集，再根据关于的不等式组只有一个整数解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得， 关于的不等式组只有一个整数解， ， 故答案为：． 【题型十】一元一次不等式的应用 【例10】（23-24八年级上·浙江湖州·期末）【问题情境】 小明所在的班级准备开展知识竞赛，需要购买A，B两种款式的运动盲盒作为奖品． 素材1：已知甲、乙两个商店均有价格、款式相同的两种运动盲盒出售，在无促销活动时，若买15个A款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元；若买25个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元． 素材2：现甲、乙两商店开展不同的促销活动： 甲商店：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）； 乙商店：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售． 【解决问题】 (1)在无促销活动时，求A款运动盲盒和B款运动盲盒的销售单价各是多少元？ (2)小明计划在促销期间购买A，B两款运动盲盒共40个，其中A款运动盲盒m个，若小明在甲商店成为会员购买，共需要_______元；若在乙商店购买，共需要______元；（均用含m的代数式表示） (3)请你帮小明算一算，在（2）的条件下，购买A款运动盲盒的数量m在什么范围内时，去甲商店更合算？ 【答案】(1)A款盲盒销售单价为10元，B款单价销售单价为8元 (2)， (3)购买A款运动盲盒的数量在范围内时，去甲商店更合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，列代数式，一元一次不等式的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）设在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，根据买15个A款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元；若买25个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元，列出二元一次方程组，即可解答； （2）根据题意，列出代数式并化简，即可解答； （3）购买A款运动盲盒去甲商店更合算，即甲店的费用比乙店少，列出一元一次不等式，即可解答． 【详解】（1）解：设在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元， 由题意得，， 解得， 答：在无促销活动时，A款盲盒销售单价为10元，B款单价销售单价为8元． （2）解：小明在甲商店成为会员购买，所需费用为 （元）； 若在乙商店购买，所需费用为（元）； 故答案为：；． （3）解：当， 解得， ， ∴； 答：购买A款运动盲盒的数量m在范围内时，去甲商店更合算． 【变式10-1】（24-25八年级上·浙江舟山·期末）舟山市某校第届科技体育人文艺术节，吉祥物“菱菱”脱颖而出，学校将它定制成钥匙扣和立牌．若定制钥匙扣件，立牌2件共需要8元；若定制钥匙扣件，立牌5件共需要元． (1)钥匙扣和立牌单价分别是多少？ (2)学校计划购买钥匙扣和立牌共件，总费用不超过元，那么最多能购买立牌多少件？ 【答案】(1)钥匙扣单价为元/件，立牌单价为1元/件 (2)件 【分析】本题考查二元一次方程组与一元一次不等式的实际应用，熟练掌握二元一次方程组的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键， （1）设钥匙扣单价为x元/件，立牌单价为y元/件，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）设立牌买m件，钥匙扣买件，利用总价等于单价乘以数量，结合总价不超过元，列出一元一次不等式，解之取最大值即可． 【详解】（1）解：设钥匙扣单价为x元/件，立牌单价为y元/件，依题意可得：          解得， 答：钥匙扣单价为元/件，立牌单价为1元/件． （2）解：设立牌买m件，钥匙扣买件，依题意可得： ， 解得， 答：最多购买立牌件． 【变式10-2】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）根据以下素材，探索完成任务 如何设计采购方案？ 素材1 王阳明故居纪念馆为了能更好地宣传阳明文化以及王阳明的书法，文创商店近期推出了许多新的文创产品，有阳明书法手袋、阳明书签、阳明书法冰箱贴等．已知1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高18元． 素材2 小明在本店购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元． 素材3 临近期末考试，某数学老师打算提前给学生准备奖品，他准备用1000元在本店同时购买书签和冰箱贴两种商品若干件． 问题解决 任务1 求1套书签和1个冰箱贴的售价分别是多少元． 任务2 该老师打算购买书签和冰箱贴共25件，最多能买几套书签？ 任务3 【拟定购买方案】 在任务2的条件下，该老师要求购买的书签比冰箱贴多．则分别购买多少书签和冰箱贴时，所需费用最省？并求出最省费用． 【答案】任务1：1套书签的售价为46元，1个冰箱贴的售价为28元；任务2：最多能买16套书签；任务3：要使所需费用最省，则购买13套书签，12个冰箱贴，所需费用为934元 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，解题关键是读懂题意，列出方程和不等式； （1）设1套书签的售价为元，则1个冰箱贴的售价为元，根据等量关系列出方程组，求出解即可； （2）设该老师购买套书签，则购买个冰箱贴，，再根据总费用列出不等式，求出解集，可得答案； （3）先购买的书签比冰箱贴多，得，解不等式，得出购买13套书签，12个冰箱贴．在计算费用即可． 【详解】解：任务1：设1套书签的售价为元，则1个冰箱贴的售价为元， 小明在本店购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元， ， 解得， ， 套书签的售价为46元，1个冰箱贴的售价为28元； 任务2：设该老师购买套书签，则购买个冰箱贴， 根据题意得， 解得， 为整数， 最大值为16， 最多能买16套书签； 任务要求购买的书签比冰箱贴多， ， 解得， 为整数， 最小值为13， （元）， 要使所需费用最省，则购买13套书签，12个冰箱贴，所需费用为934元． 【变式10-3】（24-25八年级上·浙江金华·期末）某学校为庆祝办学周年校庆活动，特订购校庆纪念册和校庆纪念品．经了解，以纪念册和纪念品的平均单价计算，订购本纪念册和件纪念品共需元；订购本纪念册比件纪念品多花元． (1)求平均每本校庆纪念册和每个校庆纪念品各是多少元． (2)计划订购校庆纪念册和校庆纪念品总费用不超过元，其中订购校庆纪念册大于本，校庆纪念册的数量比校庆纪念品的数量多，请求出所有符合条件的订购方案． 【答案】(1)平均每本校庆纪念册元，平均每个校庆纪念品元． (2)购买校庆纪念册本，校庆纪念品个； 购买校庆纪念册本，校庆纪念品个； 购买校庆纪念册本，校庆纪念品个． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用．解决本题的关键是根据题意列出方程组和不等式组． 设每本纪念册元，每件纪念品元，根据订购本纪念册和件纪念品共需元；订购本纪念册比件纪念品多花元，列方程组求解即可； 设订购了本纪念册，份校庆纪念品，根据订购校庆纪念册和校庆纪念品总费用不超过元，其中订购校庆纪念册大于本，列出关于的不等式组，解不等式组求出的取值范围，再根据为整数求解即可． 【详解】（1）解：设每本纪念册元，每件纪念品元， 根据题意可得：。 整理得：， 得：， 得：， 解得：， 把代入方程得：， 解得：， 方程组的解为， 答：平均每本校庆纪念册元，平均每个校庆纪念品元； （2）解：设订购了本纪念册，份校庆纪念品， 根据题意可得：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为， 又为整数， 或或， 当时，， 当时，， 当时，， 订购方案有： 购买校庆纪念册本，校庆纪念品个； 购买校庆纪念册本，校庆纪念品个； 购买校庆纪念册本，校庆纪念品个． 【题型十一】不等式组的应用 【例11】（24-25八年级上·浙江温州·期末）深圳文博会期间，某展商展出了A、两种商品，已知用120元可购得的A种商品比种商品多2件，种商品的单价是A种商品的1.5倍． (1)求A、两种商品的单价各是多少元？ (2)小亮用不超过330元购买A、两种商品共13件，并且A种商品的数量不超过种商品数量的2倍，那么他有哪几种购买方案？要使购买这两种商品所需费用尽可能少，应选用哪种方案？ 【答案】(1)A种商品的单价为20元，B种商品的单价为30元 (2)方案一：购买A种商品6件，B种商品7件；方案二：购买A种商品7件，B种商品6件；方案三：购买A种商品8件，B种商品5件；应选用方案三 【分析】（1）设种商品的单价为元，则种商品的单价为元，由题意：用120元购买种商品的数量比购买种商品的数量多2件，列出方程，解方程即可； （2）设购买商品的件数为件，则购买商品的件数为件，根据不等关系：①购买种商品的数量不超过种商品数量的2倍，②购买的、两种商品的总费用不超过330元可分别列出不等式，联立求解可得出的取值范围，进而讨论各方案即可． 【详解】（1）解：设种商品的单价为元，则种商品的单价为元，由题意得：． 解得． 经检验是原方程的解． ∴． 答：A种商品的单价为20元，B种商品的单价为30元． （2）解：设购买商品的件数为件，则购买商品的件数为件，由题意得：． 解得． ∴整数，7，8． ∴共有三种方案． 方案一：购买A种商品6件，B种商品7件，所需费用为元； 方案二：购买A种商品7件，B种商品6件，所需费用为元； 方案三：购买A种商品8件，B种商品5件，所需费用为元； 答：共有三种购买方案．其中方案三所需费用最少，所以应选用方案三． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用等知识；解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程或不等式． 【变式11-1】（24-25八年级上·浙江金华·期末）某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． (1)求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ (2)考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ 【答案】(1)A型50元，B型100元； (2)A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件 【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系． （1）设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元，根据若采购A型10件，B型5件，需要1000元；若采购A型5件，B型3件，需要550元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件，根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，根据两种纪念品一共花费4000元，列出二元一次方程，整理得，再根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，且不超过B型纪念品数量的8倍，得出，解得，然后求出正整数解，即可得出答案． 【详解】（1）解：设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元， 依题意得： ， 解得：， 答：采购A型纪念品每件需50元，采购B型纪念品每件需100元； （2）解：设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件， 由题意得：， 整理得：， 由题意可知，， ∴， 解得：， ∵n为正整数 ∴n为8或9或10， 当时，； 当时，； 当时，； ∴A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件． 【变式11-2】（24-25八年级上·重庆江北·期末）为了提高学生的体育活动参与度，增强学生的身体素质，某学校决定购买A型和B型两种运动器材来布置体育活动室．学校预算资金为1900元，且B型运动器材每件的价格是A型运动器材每件价格的倍．若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件． (1)分别求出A型和B型运动器材每件的价格； (2)购买当日恰逢促销，A型运动器材按原价的八折销售．已知该学校实际需要购买A型和B型两种运动器材共80件，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，那么该学校共有哪些不同的购买方案？ 【答案】(1)A型运动器材每件的价格为25元，B型运动器材每件的价格为30元 (2)该学校共有3种不同的购买方案：①购买A型运动器材50件，购买B型运动器材30件；②购买A型运动器材51件，购买B型运动器材29件；③购买A型运动器材52件，购买B型运动器材28件 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设A型运动器材每件的价格为x元，则B型运动器材每件的价格元，根据学校预算资金为1900元，若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设购买A型运动器材y件，则购买B型运动器材件，根据A型运动器材按原价的八折销售，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，结合（1）的结果，列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设A型运动器材每件的价格为x元，则B型运动器材每件的价格元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：A型运动器材每件的价格为25元，B型运动器材每件的价格为30元； （2）设购买A型运动器材y件，则购买B型运动器材件， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 该学校共有3种不同的购买方案：①购买A型运动器材50件，购买B型运动器材30件；②购买A型运动器材51件，购买B型运动器材29件；③购买A型运动器材52件，购买B型运动器材28件． 【变式11-3】（24-25七年级下·云南丽江·期末）“云南鲜花饼”是云南的著名特产．某商店销售A，B两种品牌的鲜花饼，若购买3箱A种鲜花饼和2箱B种鲜花饼共需120元；若购买2箱A种鲜花饼和3箱B种鲜花饼共需105元． (1)求A种鲜花饼和B种鲜花饼每箱的价格分别是多少元？ (2)若某旅行团计划购买A，B两种鲜花饼共15箱，且A种鲜花饼的数量多于B种鲜花饼的数量，但又不超过B种鲜花饼的数量的2倍，请问有哪几种购买方案？并求出最省钱的购买方案的费用． 【答案】(1)A种鲜花饼和B种鲜花饼每箱的价格分别是元和元； (2)有三种购买方案：购买种鲜花饼箱，购买种鲜花饼箱； 购买种鲜花饼箱，购买种鲜花饼箱； 购买种鲜花饼箱，购买种鲜花饼箱； 当购买种鲜花饼箱，购买种鲜花饼箱最省钱，费用为元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等组的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设A种鲜花饼和B种鲜花饼每箱的价格分别是元和元，依题意列出方程组求解即可； （2）设购买种鲜花饼箱，则购买种鲜花饼箱，依题意列了不等式组，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设A种鲜花饼和B种鲜花饼每箱的价格分别是元和元，依题意得： ， 解得：， 答：A种鲜花饼和B种鲜花饼每箱的价格分别是元和元； （2）解：设购买种鲜花饼箱，则购买种鲜花饼箱，依题意得： ， 解得：， ∵为整数， ∴， 当购买种鲜花饼箱，则种鲜花饼箱，费用为：元， 当购买种鲜花饼箱，则种鲜花饼箱，费用为：元， 当购买种鲜花饼箱，则种鲜花饼箱，费用为：元， ∴最省钱的方案为：当购买种鲜花饼箱，则种鲜花饼箱，费用为元． 【变式11-4】（24-25七年级下·重庆·期末）据《2024中国新能源汽车产业白皮书》显示，激光雷达是整车智能模块的重要组成部分，供应链稳定性直接影响企业产能．某企业旗下智能汽车搭载级自动驾驶系统，核心部件依赖国产激光雷达．为应对产能现状，企业准备优化以下两款旗舰车型的生产结构： 星曜：专注高速领航功能，每辆需配备4枚激光雷达；单台车净利润为万元； 雷霆：主打城市智能驾驶，每辆需配备6枚激光雷达；单台车净利润为万元； (1)根据生产日志，6月份两条产线共交付车辆150台，激光雷达使用总量为840枚．求出星曜与雷霆的具体产量； (2)受产能波动影响，7月份激光雷达到货量不超过6月份．管理层决议：在确保月度利润不低于6月份的情况下，为履行采购合同，星曜产量必须比6月份增长．求该企业7月份雷霆汽车的生产数量． 【答案】(1)星曜生产台，则雷霆生产台． (2)该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用； （1）设星曜生产台，则雷霆生产台，根据激光雷达使用总量为840枚，可得，再解方程即可； （2）先求解6月份的利润为：（万元），该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台，可得，再进一步解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设星曜生产台，则雷霆生产台，则 ， 解得：， ∴， 答：星曜生产台，则雷霆生产台． （2）解：由题意可得：6月份的利润为：（万元）， 该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台，则 ， 由①得：， 由②得：， ∴， ∵为整数， ∴， 答：该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台． 【题型一】情况考虑不全导致绝对值型不等式出错 【例1】（23-24七年级下·江西赣州·期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有大于且小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． (1)的解集为______； (2)解不等式； (3)解不等式． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了绝对值的意义，不等式组的解集，加减消元法解二元一次方程组等知识．理解题意是解题的关键． （1）根据题意求解集即可； （2）根据题意解不等式即可； （3）根据题意解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意知，的解集为， 故答案为：； （2）解：由题意得不等式可化为， 解得； （3）解：不等式可化为或， 解得或． 【变式1-1】（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）解不等式： 【答案】或 【分析】本题主要考查了解带绝对值的不等式，分，和三种情况，分别去绝对值，再解一元一次不等式即可得到答案． 【详解】解：当时， ∵， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴，即，故此种情况不成立； 当时， ∵， ∴， 解得； 综上所述，或． 【变式1-2】（23-24七年级下·江苏盐城·期末）观察下列不等式及其解集： ①的解集为：或； ②的解集为：或； ③的解集为：或．回答下列问题： (1)的解集是___________． (2)归纳：当时，不等式的解集是___________． (3)运用（2）中的结论解不等式． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题考查求不等式的解集，熟练掌握题干中的求解方法，是解题的关键： （1）仿照题干，作答即可； （2）仿照题干，作答即可； （3）利用（2）中结论，得到①或②，进行求解即可． 【详解】（1）解：的解集是或； （2）当时，不等式的解集是或； （3）由（2）可知，不等式， 可化为①或②， 解①得，，解②得，． 故不等式的解集为：或． 【变式1-3】（22-23七年级下·福建厦门·期中）阅读理解： 例1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________ (2)解不等式：． (3)解不等式：． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）利用在数轴上到对应的点的距离等于5的点对应的数为5或，求解即可； （2）先求出的解，再求的解集即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数为或5， ∴方程的解为：或， 故答案为：或． （2）解：在数轴上找出的解，如图：    ∵在数轴上到2对应的点的距离等于1的点对应的数为1或3， ∴方程的解为或， ∴不等式的解集为． （3）解：在数轴上找出的解， 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到4和对应的点的距离之和等于8的点对应的的值， ∵在数轴上4和对应的点的距离为6， ∴满足方程的x对应的点在4的右边或的左边， 若x对应的点在4的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为或． 【点睛】本题主要考查了绝对值，不等式，数轴上两点间的距离公式，解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 【题型二】对概念理解不全导致特殊的不等式组出错 【例2】（24-25七年级下·河南新乡·期末）【阅读思考】阅读下列材料： “已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：， 又 ∴ 又 ① 同理② 由①+②得 的取值范围是 【启发应用】请按照上述方法，完成下列问题： （1）已知，且，，则的取值范围是___________； （2）已知，且，，试确定的取值范围（用含有的式子表示）． 【拓展推广】请按照上述方法，完成下列问题： （3）已知，且，，试确定的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了不等式的性质，求一元一次不等式，解特殊不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干过程，先得出，再整理得，故由得，即可作答． （2）模仿题干过程，先得出，再整理得，故由得，即可作答． （3）模仿题干过程，先得出，再整理得，故由得，即可作答． 【详解】解：（1）∵， ， 又， ∴， ， 又∵， ， ∵， 同理， 由得， 的取值范围是； （2）∵， ， 又∵， ∴， ， 又∵， ， ∵， 同理， 由得， 的取值范围是； （3）∵， ， 又∵， ∴， ， 又∵， ∴， ， ∵， 同理， 由得， ∴， 即取值范围是． 【变式2-1】（22-23七年级下·辽宁葫芦岛·期末）阅读材料： 李老师给数学兴趣小组布置了这样一个关于不等式的问题：求不等式的解集. 小组成员百思不得其解，这时，李老师提示说：“我们可以利用有理数的运算法则解决这一问题”，话音刚落，聪明的小明就说：“我明白了”！你们想到解决问题的方法了吗？小明是这样做的：根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”. 可得①；或②， 解不等式组①得：，解不等式组②得：， ∴原不等式的解集为：或. 你明白了吗？请结合以上材料解答问题：解不等式. 【答案】 【分析】根据有理数相除异号得负，故可得①；②，解不等式组即可． 【详解】解：根据题意可得： ①；② 解不等式组①，得无解 解不等式组②，得 原不等式的解集为 【点睛】本题主要考查了分式不等式，根据有理数除法同号得正，异号得负的法则，判断出分式不等式分子，分母的正负，组成不等式组是解题的关键． 【变式2-2】（21-22七年级下·江苏连云港·期末）先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式， 解：因为，所以原不等式可化为 由有理数乘法法则“两数相乘，异号得负”，得：①，或②，解不等式组①得，解不等式组②无解，所以原不等式的解集为． (1)用例题的方法解不等式的解集为 　　； (2)解不等式． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）仿照例题的思路，即可解答； （2）由有理数除法法则“两数相除，异号得负”，得：①或②，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）因为， 所以原不等式可化为， 由有理数乘法法则“两数相乘，同号得正”，得： ①或， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 所以原不等式的解集为或， 故答案为：或； （2）由有理数除法法则“两数相除，异号得负”，得： ①或②， 解不等式组①得无解， 解不等式组②得， 所以原不等式的解集为 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，理解例题的思路是解题的关键． 【变式2-3】（20-21七年级下·湖南·期末）若三个代数式满足：只要其中有两个代数式之和大于另外一个代数式的解集为大于1的实数，则称这三个代数式构成“雅礼不等式”．例如：三个代数式有：当时的解集为，则称构成“雅礼不等式”． (1)可以构成“雅礼不等式”吗？请说明理由； (2)若构成“雅礼不等式”，求a的值或取值范围； (3)若构成“雅礼不等式”，求关于x的不等式组的解集． 【答案】(1)可以，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）由x-2+x+1＞1，即2x-1＞1的解集为x＞1即可得出答案； （2）分ax+a+1＞x、ax+x＞a+1、a+1+x＞ax三种情况分别求解即可； （3）分-2nx+x＞mx+m、mx+m+n＞-2nx、mx+n-2nx＞n三种情况，依据新定义得出m、n之间的数量关系及m、n的正负情况，再代入方程组消掉m或n，进一步求解即可． 【详解】（1）x-2，1，x+1可以构成“雅礼不等式”， ∵x-2+x+1＞1，即2x-1＞1的解集为x＞1， ∴x-2，1，x+1可以构成“雅礼不等式”． （2）①当时 此时要求且 无解 ②当时 此时要求 则 ③当时 此时要求且 无解 综上所述： （3）①当时 则 因为构成“雅礼不等式” ∴ 解得 代入求得 ②当时 则 因为构成“雅礼不等式” ∴ 解得 代入求得 ③当时 则 因为构成“雅礼不等式” ∴ 解得 代入求得 综上所述：或 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是根据“雅礼不等式”的定义列出对应的不等式，从中得出m、n之间的数量关系及其符号． 【变式2-4】（19-20八年级下·四川达州·期末）阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则 即可以写成： 解不等式组得： ②当若，则 即可以写成： 解不等式组得： 综合以上两种情况：不等式解集：或． （以上解法依据：若，则a，b同号）请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据例题可得：此题分两个不等式组和，分别解出两个不等式组即可； （2）根据两数相乘，异号得负可得此题也分两种情况）①，②，解出不等式组即可． 【详解】（1）当时，， 可以写成, 解得：； 当时，， 可以写成, 解得：， 综上：不等式解集：或； （2）当时，， 可以写成， 解得； 当时，， 可以写成， 解得：无解， 综上：不等式解集：． 【点睛】此题主要考查了不等式的解法，关键是正确理解例题的解题根据，然后再进行计算． 【题型一】不等式与方程的综合 【例1】（19-20八年级上·浙江杭州·期末）已知二元一次方程组的解满足． （1）求字母的取值范围； （2）解关于的不等式． 【答案】（1）a＜-3；（2）m＞1． 【分析】（1）利用加减消元法解方程组可得x=2a+1，y=a-2，根据可得2a+1＜a-2＜0，解关于a的不等式组即可得a的取值范围； （2）把不等式变形为(a-2)m＜(a-2)，利用a的取值范围确定a-2＜0，根据不等式先性质即可得答案． 【详解】（1） ①+②得：3x=6a+3， 解得：x=2a+1， 把x=2a+1代入①得：y=2a+1-a-3=a-2， ∵， ∴2a+1＜a-2＜0， 解得：a＜-3． （2） 移项得：am-2m＜a-2， 合并得：(a-2)m＜a-2， ∵a＜-3， ∴a-2＜0， ∴m＞1． 【点睛】本题考查解二元一次方程组及解一元一次不等式，熟练掌握二元一次方程组的加减消元法和代入消元法及一元一次不等式组的解法是解题关键． 【变式1-1】（22-23七年级下·陕西汉中·期末）已知关于x，y的方程组的解满足不等式，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式． 得到，求出，进而代入①求出，将，代入求解即可． 【详解】解：得：， 解得：， 将代入①得：， 根据题意得：， 解得：． 【变式1-2】（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知关于x，y的方程组． (1)若该方程组的解满足，求m的值； (2)若不等式组的解集满足，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求m的整数值． 【答案】(1) (2) (3)5、6、7 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组，熟练掌握计算方法是解此题的关键． （1）由加减消元法解二元一次方程组得出，结合题意得出，计算即可得解； （2）利用加减消元法得出，根据，得出，解不等式组即可得出答案； （3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解． 【详解】（1）解：， 由得：， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）解：， 由得：， ∵方程组的解集满足， ∴， 解得：； （3）解：∵ ∴， ∵不等式的解为， ∴， 解得：， 由（2）可得， ∴， ∴的整数值为5或6或7． 【变式1-3】（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）已知关于x，y的方程组（是常数） (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，当为何整数时，不等式解集为． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将得，求出，结合题意计算即可得解； （2）将得，结合题意可得，计算即可得解； （3）由不等式的性质可得，从而结合题意求出，即可得解． 【详解】（1）解：将得：， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：将得：， ∵， ∴， 解得； （3）额：由不等式解集为可知：， 解得：， 综合可得：， 符合条件的整数为：或或． 【变式1-4】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知关于的二元一次方程组 (1)若方程组的解满足，求的取值范围； (2)若为正数，为负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，解一元一次不等式组，解题的关键在于熟知解二元一次方程组的方法和解一元一次不等式的方法． （1）先把看做常数利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解满足，得到关于的不等式，求出的取值范围即可； （2）根据（1）所求结合为正数，为负数建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入得，解得， ∴方程组的解为， ∵方程组的解满足， ∴， 解得； （2）解：由（1）得方程组的解为， ∵为正数，为负数， ∴， ∴． 【题型二】利用不等式求和差的最值 【例2】（2024八年级上·全国·竞赛）是自然数，且，若，那么，的最大值是（　　） A．2225 B．2226 C．2227 D．2228 【答案】B 【分析】本题考查了自然数的性质，不等式的性质，解题关键是找出连续的100个自然数，使其和最接近7001．根据题意得出，求出，进而得出，当时，100个自然数的和等于6950最接近7001，此时，为了使前50个数和最大，应将个1分配给后51个数，此时有最大值，即可求解． 【详解】解：是自然数，且， 若， 则， 整理得， 解得， 当时，， 当时，， 所以，当，，……，，，，……，时， 有最大值，最大值为， 故选：B 【变式2-1】（24-25八年级下·江西景德镇·期末）设为自然数，且，又，则的最大值为 ．     【答案】61 【分析】根据自然数的性质，得 ，确定的最大值，依次，确定的最大值，解答即可． 本题考查了自然数的性质，不等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据自然数的性质，得 ， 故， 故的最大值为19， 故， 故， 故， 故的最大值为20， 故， 故， 故， 故的最大值为22， 故的最大值为， 故答案为：61． 【变式2-2】（2023七年级下·全国·专题练习）已知非负实数x，y，z满足， 设，则的最大值与最小值的和为 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式组．解此题的关键是设比例式：，根据已知求得的取值范围． 首先设，求得，，，又由，，均为非负实数，即可求得的取值范围，则可求得的取值范围． 【详解】解：设， 则，，， ，，均为非负实数， ， 解得， 于是， ， 即． 的最大值是，最小值是， 的最大值与最小值的和为， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）已知，，是三个非负数，且满足，，设，则的最大值与最小值的和为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了非负数的性质，求不等式组的解集．由非负数的性质，求得，，，由不等式组的解集求得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，是三个非负数， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 当时，有最大值； 当时，有最小值； ∴最大值与最小值的和为， 故答案为：． 【变式2-4】（24-25七年级上·四川眉山·期中）已知x，y，z为非负实数，且满足，．代数式的最大值是 ． 【答案】130 【分析】此题考查了代数式的最值．将y、z的转化为关于x的表达式，求出u关于x的表达式是解题的关键． 将，联立，得到y和z的关于x的表达式，再根据y，z为非负实数，列出关于x的不等式组，求出x的取值范围，再将u转化为关于x的表达式，将x的最小值代入解析式即可得到u的最大值． 【详解】将已知的两个等式联立成方程组， ∴①+②得，． ． 将代入①， 可解得． ∵y，z均为非负实数， ∴． 解得． 设． 当x值增大时，u的值减小；当x值减小时，u的值增大． 故当时，u有最大值130． 故答案为：130． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $