专题17 一元一次不等式章末易错压轴题型（13易错+6压轴）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（浙教版2024）

专题17 一元一次不等式章末易错压轴题型（13易错+6压轴） 易错题型一 不等式的定义与解集 1．如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过．用表示汽车的速度，v与30应满足的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的概念，用不等号将两个整式连结起来所成的式子，在一个式子中的数的关系，不全是等号，含不等符号的式子，那它就是一个不等式，即用“大于号”、“小于号”、“不等号”、“大于等于”或“小于等于”连接并具有大小关系的式子，叫做不等式，根据题意可知汽车的速度v不超过，即汽车的速度v小于等于，然后用符号表示即可． 【详解】解：根据题意v与30应满足的不等关系为， 故选：A． 2．下列各式：①，②，③，④，⑤，其中属于不等式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的定义，解题的关键是掌握用不等号连接的式子是不等式． 根据不等式的定义：用不等号连接的式子是不等式，逐个进行判断即可． 【详解】解：①，是不等式，符合题意； ②，是不等式，符合题意； ③，是等式，不符合题意； ④，是多项式，不符合题意； ⑤，是不等式，符合题意； 综上：是不等式的有①②⑤，共3个， 故选：C． 3．用不等式表示下列数量之间的不等关系： (1)去年某农场某种粮食亩产量是480 kg，今年该粮食作物亩产量为xkg，较去年有所增加； (2)如图，天平左盘放有三个乒乓球，右盘放有5 g砝码，天平倾斜，设每个乒乓球的质量为x(g)． 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【分析】（1）较去年有所增加，即比去年多的意思； （2）由图可以得到放球的一边向下沉说明球的总重量比5g要大，即可得到答案. 【详解】解：（1）根据题意可知，今年该粮食作物亩产量为xkg，较去年有所增加， 则x＞480 ； （2）观察图可知，三个乒乓球的质量大于5克的砝码， 则3x＞5. 【点睛】本题考查了不等式的定义，要抓住关键词语，弄清不等关系，把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 易错题型二 不等式的性质 4．若，根据不等式的性质，下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等一一判断即可． 【详解】解：．由无法判断出和的大小，故该选项不符合题意； ． ∵，∴，故该选项不符合题意； ．∵，∴，故该选项符合题意； ．当时，不成立，故该选项不符合题意； 故选：C． 5．要说明命题“若，则”是假命题，反例的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了不等式的性质，要说明命题是假命题，那么根据不等式的性质可得不等式两边同时乘以a后，不等号的方向发生改变，据此可得答案． 【详解】解：∵命题“若，则”是假命题， ∴， ∴反例的值可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 6．已知． (1)比较与的大小，并说明理由； (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了不等式的性质：①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，解题关键是掌握不等式的基本性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质判断即可； （2）根据不等式的性质判断即可． 【详解】（1）解：，理由： ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴ ∵， ∴． 易错题型三 一元一次不等式的定义 7．若是关于的一元一次不等式，则的值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义、绝对值等知识点，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 利用一元一次不等式和绝对值的定义列式求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， ∴． 故选D． 8．下列不等式中，一元一次不等式有①；②；③；④；⑤，其中一元一次不等式有 个． 【答案】2 【分析】根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是”，进行解答即可． 【详解】解：，未知数的最高次不是1，不是一元一次不等式，不符合题意； 没有未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； 有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； 是一元一次不等式． ∴一元一次不等式有共个． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次不等式的识别，注意理解一元一次不等式的三个特点：不等式的两边都是整式；只含个未知数；未知数的最高次数为次． 9．若关于的不等式与的解集完全相同，求的值． 【答案】 【分析】根据关于的不等式与的解集完全相同，可得的解集为，即有，进而可得，问题随之得解． 【详解】解，得：， ∵关于的不等式与的解集完全相同， ∴的解集为， ∴，且解得：， ∴根据解集完全相同，可得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了求解不等式的解的知识，理解关于的不等式与的解集完全相同，得到，进而可得，是解答本题的关键． 易错题型四 一元一次不等式的解集 10．以下是圆圆同学解不等式的解答过程： 解：去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 两边都除以－3，得． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 【答案】圆圆的解答过程有错误，过程见解析， 【分析】本题考查一元一次不等式的解法，根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为解不等式即可． 【详解】解：圆圆的解答过程有错误． 正确的解答过程如下： 去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 两边都除以－3，得． 11．下面是小亮解不等式的过程： 解：去分母，得① 移项，得② 合并同类项，得③ 系数化为1，得④ 小亮的解答过程从哪一步开始错误？请写出正确的解答过程． 【答案】小明的解答过程从第步开始出现错误，正确解答见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式的步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，系数化为需要注意不等号的方向是否需要改变． 【详解】解：从不等号的右边移到不等号的左边需要变号，小明没有变号， 小明的解答过程从第步开始出现错误， 正确解答过程如下： ， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 12．解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式的应用，掌握不等式的性质是解此题的关键． （1）去括号、移项合并同类项、系数化，注意不等式两边同乘以或除以负数时不等号方向要改变． （2）去分母、去括号、移项合并同类项、系数化，注意不等式两边同乘以或除以负数时不等号方向要改变． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：． （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：． 易错题型五 列一元一次不等式 13．在浙江金华地区，清明期间人们有做清明粿的习俗，青绿色的粿皮代表着自然的生机，暗含对生命轮回的敬畏．在糯米做成清明粿的过程中，由于水分增加等原因，会使得质量增加，现有糯米斤，若做成清明粿质量超过20斤，则可列出不等式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列一元一次不等式，根据做成清明粿质量超过20斤，列出不等式即可． 【详解】解：由题意，可列出不等式为：； 故选C． 14．某校组织开展了“诗词大会”的知识竞赛初赛，共有20道题，答对一题加10分，答错或不答每题倒扣5分，小辉在初赛得分超过170分顺利进入决赛，设他答对x道题，根据题意，可列出关于x的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式．利用小辉的得分答对题目数答错或不答题目数，结合小辉的得分超过170分，可列出关于x的一元一次不等式，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C． 15．春节民俗经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录，舟山春节有打年糕的习俗，以谐音取“年高”之意．糯米做成年糕的过程中，由于增加水分，会使得质量增加．现有糯米x斤，做成年糕后质量超过50斤，则可列出不等式 ． 【答案】 【分析】本题考查列不等式，根据糯米做成年糕的过程中，由于增加水分，会使得质量增加，得到x斤糯米做成年糕后的质量为，根据做成年糕后质量超过50斤，得到即可． 【详解】解：由题意，可列不等式为：； 故答案为：． 易错题型六 用一元一次不等式解决实际问题 16．某移动手环进价为200元/件，售价为280元/件．“双11”为了促销，商店准备将这批移动手环降价出售．若要保证单件利润不低于24元，则最低可打 折出售． 【答案】8/八 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，设打折出售，根据单件利润不低于24元，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：设打折出售，由题意，得：， 解得：， 答：最低可打8折出售． 故答案为：8． 17．某校组织开展了与神舟飞船有关的知识竞赛活动，竞赛试题共有30道，答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分．如果小明想参加本次竞赛且得分不低于80分，那么他至少需要答对 道题． 【答案】22 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用； 设小明答对了道题，根据得分不低于80分列不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：设小明答对了道题， 由题意得：， 解得：， 所以他至少需要答对22道题， 故答案为：22． 18．某中学决定增设乒乓球、羽毛球两门选修课程，需要购进一批乒乓球拍和羽毛球拍．已知购买2副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需要350元，购买6副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需要420元． (1)购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？ (2)已知该中学需要购买两种球拍共80副，所花费用不超过4340元，则可购买的羽毛球拍最多是几副？ 【答案】(1)购买一副乒乓球拍需要35元，一副羽毛球需要70元 (2)可购买的羽毛球拍最多是44副 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设购买一副乒乓球拍需要元，一副羽毛球需要元，根据“购买2副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需要350元，购买6副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需要420元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买副羽毛球拍，则购买副乒乓球拍，利用总价单价数量，结合总价不超过4340元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设购买一副乒乓球拍需要元，一副羽毛球需要元， 根据题意得：， 解得：． 答：购买一副乒乓球拍需要35元，一副羽毛球需要70元； （2）解：设购买副羽毛球拍，则购买副乒乓球拍， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为44． 答：可购买的羽毛球拍最多是44副． 易错题型七 用一元一次不等式解决几何问题 19．一根细铁丝长，小明想把它折成一个三角形，则他折成的三角形的最长的边有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系，设三角形三边长是、、，由三角形三边关系定理得到，则，得到，即可得到答案．解题的关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边．也考查了一元一次不等式的应用． 【详解】解：设三角形三边长是、、， ∴， ∵三角形周长是， ∴， ∴， ∴三角形的最长的边有可能是． 故选：A． 20．一个三角形的3条边长分别为，，，它的周长不超过39cm，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】将三条边长对应的代数式加在一起，和小于等于39，同时三角形两边之和应大于第三边，列出不等式组求解即可． 【详解】解：由题可得 分别解两个不等式得到x≤14，x＞3 ∴x的取值范围是 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的应用，解题关键在于利用好三角形三边关系这个隐含条件． 21．如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需___秒； (2)若的面积为时，求的值； (3)若的面积大于时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的值为或 (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式和一元一次方程的应用，动点问题，解题的关键是分类讨论． （1）先求出运动的路程，再根据时间路程速度，即可求解； （2）分两种情况：当在上运动时，当在上运动时，根据三角形的面积公式列方程即可求解； （3）根据当时，，当时，，即可求解． 【详解】（1）解：，， 点整个运动过程中，路程为， 点整个运动过程中，所需时间为秒， 故 答 案 为：； （2）当在上运动时，， 解 得：， 当在上运动时，， 解得：， 综上可得的值为或； （3）当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 综上可得：． 易错题型八 一元一次不等式组的定义 22．下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组定义，会根据定义识别一元一次不等式组是解题关键．利用一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不符合一元一次不等式组定义； B、符合一元一次不等式组的定义； C、含有等式，不符合一元一次不等式组定义； D、含有等式，且有两个未知数，不符合一元一次不等式组定义； 故选：B． 23．下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断． 根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 24．已知中的x、y满足0＜x﹣y＜1，求k的取值范围． 【答案】﹣1＜k＜﹣ 【分析】解方程组，令①+②得x﹣y=2k+2，再由题意得∴0＜2k+2＜1，再解出这个不等式组即可. 【详解】解方程组， ①+②，得：3x﹣3y=6k+6， 两边都除以3，得：x﹣y=2k+2， ∵0＜x﹣y＜1， ∴0＜2k+2＜1， 解得：﹣1＜k＜﹣． 【点睛】此题主要考查二元一次方程组的解法，根据题目发现其特点列出不等式是解题的关键. 易错题型九 求不等式组的解集 25．解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 分别求出两个不等式的解集，然后求出解集的公共部分即可． 【详解】解： 解①，得 ， 解②，得 ， ∴原不等式组的解集为． 26．解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】，见详解 【分析】本题考查解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集．解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到； 【详解】解： 解①式得：， 解②式得：， 表示在数轴上的解集如下： 故不等式组的解集为： 27．从下列三个不等式中，任选两个组成一元一次不等式组并求出解集． ①    ②；    ③． 【答案】答案不唯一 【分析】根据解不等式组的基本步骤解答即可． 本题考查了解不等式组，熟练掌握解不等式组的基本步骤是解题的关键．在解不等式时，去分母时切记每一项都要乘最小公分母；若分数前面是负号，要给分子带括号；系数化为1时，若系数为负数，不等号要改变方向． 【详解】解：选择①②， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为． 或选择①③ 解不等式①，得， 解不等式③，得， 不等式组的解集为． 或选择②③， 解不等式②，得， 解不等式③，得， 不等式组的解集为． （答案不唯一，任选一种即可） 易错题型十 求一元一次不等式组的整数解 28．解不等式组，并求出它的所有非正整数解的和． 【答案】， 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，熟练掌握该知识点是解题的关键．先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的非正整数，即可得到答案． 【详解】解： 解①得， 解②得， 原不等式组的解为： 非正整数解为、、、0 所有非正整数解的和为． 29．已知为整数，关于，的方程组的解满足不等式组． (1)解关于，的方程组，并用的代数式表示出来； (2)求整数的值． 【答案】(1)方程组的解为 (2)的整数值为 【分析】本题考查解一元一次不等式组，二元一次方程组等知识，解题的关键是理解题意，用转化的思想思考问题． （1）利用加减消元法解关于，的方程组即可； （2）将（1）中关于，的方程组的解代入不等式组，得到关于的不等式组，解得的取值范围，再求出的整数值即可． 【详解】（1）解：， ，得：， 解得：， 把代入①，得：， ∴方程组的解为； （2）解：将代入不等式组， 得：，即， 解不等式得：； 解不等式得：； 则不等式组的解集为：， ∴的整数值为． 30．若线段，，能构成三角形，且使关于的不等式组有解的所有整数和为 ． 【答案】3 【分析】此题考查三角形的三边关系和解一元一次不等式组，根据三角形三边关系得到，再解不等式组得到，进而求出所有整数的值，再相加求解． 【详解】解：线段，，能构成三角形， ． 在中 解不等式得， ， 解得， ， 所有整数有和， 所以所在整数的和为． 故答案为：3． 易错题型十一 由一元一次不等式组的解集求参数 31．若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组的整数解，列出关于的不等式组，再借助数轴做出正确的取舍．首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围． 【详解】解：由得，， ， 故原不等式组的解集为：， 不等式组的正整数解有4个， 其整数解应为：3、4、5、6， 的取值范围是． 故答案为：． 32．若关于的一元一次不等式组的解集为，则满足条件的的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的解集，求参数的取值范围，分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组的解集为得出，求解即可，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 关于的一元一次不等式组的解集为， ， 解得：， 故答案为：． 33．若关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组有解得出关于k的不等式，进而求解. 【详解】解：解不等式可得， 解不等式可得， 因为不等式组有解， ∴， 解得：； 故选：B. 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，正确理解题意、熟知不等式组的解法是关键. 易错题型十二 不等式组和方程组结合的问题 34．已知方程组中的x，y满足， 则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接用方程组中的减去得到，再结合，得到关于k的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 得， ∵方程组的中x，y满足， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了方程组和不等式结合的问题，正确利用方程组得到是解题的关键． 35．已知方程组的解x、y都是负数，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将不等式组中的x，y用含有a的式子表示出来，根据题意解得的x、y都是负数，可知，解出参数即可． 【详解】解：解方程组得； ∵方程组的解x、y都是负数， 即， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解法和求一元一次不等式组的解集，解题的关键是根据运算可将x、y化为关于a的式子，然后计算出a的取值． 36．若关于x，y的二元一次方程组． (1)若方程组的解x、y满足方程，求a的值； (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用加减消元法得出用含有的式子a表示，代入，求出的值即可， （2）用含有的式子表示， ，得到关于的一元一次不等式，解之即可． 【详解】（1）解：， 解得：， 代入得：， 解得：， 故的值为， （2）把，代入得：， 解得：， 故的取值范围为：． 【点睛】本题考查解二元一次方程组和解一元一次不等式，解题的关键：（1）正确找出等量关系列出关于的一元一次方程，（2）根据不等量关系列出关于的一元一次不等式． 易错题型十三 不等式组的实际应用 37．某汽车专卖店销售甲，乙两种型号的新能源汽车．第一周售出甲型汽车和乙型汽车各2辆，销售额为88万元：第二周售出3辆甲型汽车和1辆乙型汽车，销售额为96万元． (1)求每辆甲型汽车和乙型汽车的售价； (2)某公司向该店购买甲，乙两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元，则有哪几种购车方案？ 【答案】(1)每辆甲型汽车的售价为26元，每辆乙型汽车的售价为18元 (2)购买甲型汽车3辆，购买甲型汽车3辆；或购买甲型汽车4辆，购买甲型汽车2辆 【分析】（1）设每辆甲型汽车的售价为a元，每辆乙型汽车的售价为b元，根据“第一周售出甲型汽车和乙型汽车各2辆，销售额为88万元：第二周售出3辆甲型汽车和1辆乙型汽车，销售额为96万元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买甲型汽车x辆，则购买甲型汽车辆，根据总价等于单价乘数量结合购车费不少于130万元且不超过140万元，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出各购车方案． 【详解】（1）解：设每辆甲型汽车的售价为a元，每辆乙型汽车的售价为b元，根据题意得： ， 解得：， 答：每辆甲型汽车的售价为26元，每辆乙型汽车的售价为18元； （2）解：设购买甲型汽车x辆，则购买甲型汽车辆，根据题意得： ， 解得：， ∵x为正整数， ∴x取3，4， ∴购买甲型汽车3辆，购买乙型汽车3辆；或购买甲型汽车4辆，购买乙型汽车2辆． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 38．为加强校园阳光体育活动，某中学计划购进一批篮球和排球，经过调查得知每个篮球的价格比每个排球的价格贵40元，买5个篮球和10个排球共用1100元． (1)求每个篮球和排球的价格分别是多少元？ (2)某学校需购进篮球和排球共120个，总费用不超过9000元，但不低于8900元，问有那几种购买方案？ 【答案】(1)每个篮球的价格为100元，每个排球的价格为60元 (2)3种，详见解析 【分析】（1）设每个篮球的价格为元，每个排球的价格为元，根据“每个篮球的价格比每个排球的价格贵40元，买5个篮球和10个排球共用1100元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进个篮球，则购进个排球，根据总价单价数量结合总费用不超过9000元但不低于8900元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设每个篮球的价格为元，每个排球的价格为元， 依题意，得：， 解得：． 答：每个篮球的价格为100元，每个排球的价格为60元． （2）设购进个篮球，则购进个排球， 依题意，得：， 解得：． 为整数， ，44，45， 共有3种购买方案， 方案1：购进43个篮球，77个排球； 方案2：购进44个篮球，76个排球； 方案3：购进45个篮球，75个排球． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 39．某超市购进甲、乙两种型号的空气加湿器进行销售，其进价与售价如下表： 进价元台 售价元台 甲型 150 200 乙型 120 160 (1)某月该超市花费4200元购进这两种空气加湿器共30台，并且当月全部售完，问该超市当月销售这两种空气加湿器赚了多少钱？ (2)为满足市场需求，该超市决定用不超过6750元的资金采购甲、乙两种型号的空气加湿器共50台，且甲型空气加湿器的数量不少于23台，问超市有哪几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，请你通过计算判断，选择哪种进货方案该超市获得利润最多？ 【答案】(1)该超市当月销售这两种空气加湿器赚了1400元 (2)超市有3种进货方案：方案1：购进甲型空气加湿器23台，乙型空气加湿器27台；方案2：购进甲型空气加湿器24台，乙型空气加湿器26台；方案3：购进甲型空气加湿器25台，乙型空气加湿器25台； (3)选择方案3，即购进甲型空气加湿器25台，乙型空气加湿器25台时，该超市获得利润最多 【分析】（1）设超市购进甲型空气加湿器x台，乙型空气加湿器y台，利用总价=单价×数量，结合购进两种空气加湿器30台时共用去了4200元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出x，y的值，再利用总利润每台的利润销售数量购进数量，即可求出该超市在该买卖中赚的钱数； （2）设购进甲型空气加湿器a台，则购进乙型空气加湿器台，根据“购买50台空气加湿器的总花费不超过6750元，且购进甲型空气加湿器的数量不少于23个”，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，再结合a为整数，即可得出各进货方案； （3）利用总利润=每台的利润×销售数量，可分别求出选用各进货方案可获得的利润，比较后即可得出选择方案3超市赚钱最多． 【详解】（1）解：设超市购进甲型空气加湿器台，乙型空气加湿器台， 根据题意，得， 解得， 则(元)， 答：该超市当月销售这两种空气加湿器赚了1400元； （2）解：设购进甲型空气加湿器台，则购进乙型空气加湿器台， 根据题意，得， 解得：， 又因为为正整数，所以可以取23，24，25， 所以超市有3种进货方案： 方案1：购进甲型空气加湿器23台，乙型空气加湿器27台； 方案2：购进甲型空气加湿器24台，乙型空气加湿器26台； 方案3：购进甲型空气加湿器25台，乙型空气加湿器25台； （3）解：选择方案1时得销售总利润(元)； 选择方案2时得销售总利润(元)； 选择方案3时得销售总利润(元)． 因为， 所以选择方案3，即购进甲型空气加湿器25台，乙型空气加湿器25台时，该超市获得利润最多． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用总利润每台的利润销售数量，分别求出选用各进货方案可获得的利润． 压轴题型一 一元一次不等式的含参问题 40．若关于x的方程有三个整数解，则的值是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据绝对值的性质可得然后讨论及的情况下解的情况，再根据方程有三个整数解可得出的值． 【详解】解：①若 当时，解得：，； 当时，解得：；； ②若 当时，解得：，； 当时，解得：，； 又方程有三个整数解， 可得：或，根据绝对值的非负性可得：． 即只能取． 故选：B． 【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程，难度较大，掌握绝对值的性质及不等式的解集的求法是关键． 41．定义表示不大于x的最大整数，如：、，．则方程所有解的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，代入原方程可得，解方程并由题意可得，即可建立不等式并求解可知，结合题意n为整数，可推导n=1或2，当n=1或n=2时，分别计算x的值即可获得本题． 【详解】解：令，代入原方程可得， 解得， 由题意可得， ∴，解得， ∵n为整数， ∴n=1或2， 当n=1时，， 当n=2时，， 则方程所有解的和为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了对新定义的理解、解一元一次方程以及不等式的应用，正确根据新定义得出x的取值是解题关键． 42．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为< x >，即已知n为正整数，如果n－≤x＜n＋，那么< x >＝n．例如：< 0 >＝< 0.48 >＝0，< 0.64 >＝< 1.493 >＝1，< 2 >＝2，< 3.5 >＝< 4.12 >＝4，…则满足方程< x >＝的非负实数x的值为 . 【答案】2.8 【分析】设x+1.6=k，k为非负整数，则x=2k-3.2，根据定义得到共有k的不等式，即可求出k的取值范围，由k为非负整数确定k的值进而确定x的值即可. 【详解】设x+1.6=k，k为非负整数，则x=2k-3.2， 由< 2k-3.2 >=k可得：k-≤2k-3.2<k+(k≥0) 解得：2.7≤k<3.7， ∵k为非负整数， ∴k=3， ∴x=2×3-3.2=2.8. 故答案为2.8 【点睛】考查了一元一次不等式的应用，理解定义，列出不等式得出k的取值范围是解题关键. 压轴题型二 一元一次不等式的实际应用 43．某厂为了提高生产力，计划新购置、两种型号的生产设备共台．已知型每台万元，每月可以生产吨产品；型每台万元，每月可以生产吨产品．购买一台型设备比购买一台型设备多万元，则买台型设备比购买台型设备少万元．根据以上信息，解答下列问题： (1)求出、的值． (2)若计划购置总费用不超过万元，且两种型号设备都要购买，该厂有哪些购买方案？ (3)在（2）的条件下，若每月生产产品不得低于吨，为了节约资金，请你为该厂设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1) (2)型设备台，型设备台；型设备台，型设备台；型设备台，型设备台；型设备台，型设备台 (3)选购型设备台，型设备台 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可列二元一次方程组，求解即可得到结果． （2）设型设备台，型设备台，根据题意可列一元一次不等式，求解可得的值，对应四种采购方案． （3）根据题意可列一元一次不等式，求解可得的两个值，分别计算当，时，对应的总资金，即可得出最省钱的购买方案． 【详解】（1）解：根据题意可列， 解得， ∴，． （2）解：设型设备台，型设备台， 根据题意可列：， 解得：， 取正整数， ， 有四种方案： ①型设备台，型设备台； ②型设备台，型设备台； ③型设备台，型设备台； ④型设备台，型设备台； （3）解：由题意得：， 解得：， ， 取正整数， 或， 当时，型设备台， ∴需要资金：（万元）， 当时，型设备台， ∴需要资金：（万元）， 应选购型设备台，型设备台． 44．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计礼品盒制作方案 素材1 七年级数学兴趣小组计划制作底面为等边三角形的直三棱柱有盖礼品盒，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面（A型号）和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面（B型号）组成（如图1所示）．而A、B两种型号纸板可由一个大长方形硬纸板裁剪得到，具体裁剪方法见下面的裁法一、裁法二．    素材2 现有大长方形硬纸板n张．（说明：裁剪后的余料不可以再使用．） 问题解决 任务1 初探 方案 探究一：按素材1的裁剪方法，若x张大长方形硬纸板裁剪A型号纸板，y张大长方形硬纸板裁剪B型号纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完． 若， （1）完成右边填表； （2）最多能做多少个礼品盒？ 型号 裁法 （裁法一） （裁法二 ） 合计 大长方形硬纸板x（张） 大长方形硬纸板y（张） A型号(张数） 2x 0 2x B型号（张数） 0 任务2 反思 方案 探究二： 若，按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，请问最多能做多少个礼品盒？并说明理由． 任务3 优化 方案 探究三：为不浪费纸板，进行了裁剪再设计： 首先从n张大长方形硬纸板中选出1张大长方形纸板裁剪出一张A型和一张B型纸板（见裁法三），然后从剩余的纸板中按素材1的方法继续裁剪出A、B型纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完，若n在10张至30张之间（包括边界），则n的值为 ．（填空） 【答案】探究一：（1）见详解；（2）最多能做6个礼品盒；探究二：最多能做32个礼品盒；探究三：11或24 【分析】该题主要考查了一元一次方程，二元一次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出等量关系式和不等量关系式． 探究一：（1）根据一个大长方形硬纸板可裁剪得2个A种型号纸板、3个B种型号纸板，共有大长方形硬纸板13张即可解答；（2）根据一个礼品盒需要用到3个A种型号纸板和2个B种型号纸板，列方程即可解答； 探究二：若，设能做a个礼品盒，根据一个礼品盒需要用到3个A种型号纸板和2个B种型号纸板，列不等式即可解答； 探究三：设恰好用完能做b个礼品盒，则需要裁剪个A型纸板、个B 型纸板，根据一个礼品盒需要用到3个A种型号纸板和2个B种型号纸板，列方程即可解答； 【详解】探究一：根据题意可得，一个大长方形硬纸板可裁剪得2个A种型号纸板、3个B种型号纸板， 当时， （1）补全填表如图： 型号 裁法 （裁法一） （裁法二 ） 合计 大长方形硬纸板x（张） 大长方形硬纸板y（张） A型号(张数） 0 B型号（张数） 0 （2）根据题意可得， 即， 解得： ， ∴个， 故所裁剪的A、B型纸板恰好用完时，最多能做6个礼品盒． 探究二：若，按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，设能做a个礼品盒， 则， 解得：， ∵a为正整数， ∴a最大为32， 即最多能做32个礼品盒． 探究三：设恰好用完能做b个礼品盒，则需要裁剪个A型纸板、个B 型纸板， 则， 化简得：， ∵， ∴， 解得：， ∵n，b为正整数， ∴或符合要求， 故n的值为：11或24． 45．三垟瓯柑享誉世界．水果商贩李大姐从三垟柑农处批发进货，她获知Ⅰ级瓯柑每箱60元，Ⅱ级瓯柑每箱40元．李大姐本次购得的Ⅰ级瓯柑比Ⅱ级瓯柑多10箱，共花费了3100元． (1)求Ⅰ级瓯柑和Ⅱ级瓯柑各购买了多少箱？ (2)李大姐有甲、乙两家店铺，每售出一箱不同级别的瓯柑获利不同，具体见表． Ⅰ级瓯柑每箱获利（单位：元/箱） Ⅱ级瓯柑每箱获利（单位：元/箱） 甲店 15 20 乙店 12 16 设李大姐将购进的瓯柑分配给甲店Ⅰ级瓯柑a箱，Ⅱ级瓯柑b箱，其余都分配给乙店．因善于经营，两家店都很快卖完了这批瓯柑． ①李大姐在甲店获利660元，则她在乙店获利多少元？ ②若李大姐希望获得总利润为1000元，则分配给甲店共 　　箱水果．（直接写出答案） 【答案】(1)Ⅰ级瓯柑买了35箱，Ⅱ级瓯柑买了25箱； (2)①292；②53或52． 【分析】（1）设Ⅰ级瓯柑买了箱，Ⅱ级瓯柑买了箱，利用总价单价数量，结合“李大姐本次购得的Ⅰ级瓯柑比Ⅱ级瓯柑多10箱，且共花费了3100元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①利用总利润每箱的利润销售数量，即可得出关于，的二元一次方程，化简后可得出，再将其代入中即可求出结论； ②利用总利润每箱的利润销售数量，即可得出关于，的二元一次方程，化简后可得出，结合，，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合，均为整数，即可求出，的值，将其相加即可求出结论． 【详解】（1）解：设Ⅰ级瓯柑买了箱，Ⅱ级瓯柑买了箱， 依题意得：， 解得：． 答：Ⅰ级瓯柑买了35箱，Ⅱ级瓯柑买了25箱． （2）解：①依题意得：， ， ． 答：她在乙店获利292元． ②依题意得：， ． ，， 即， ． 又，均为整数， 或， 或， 分配给甲店共53或52箱水果． 故答案为：53或52． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 压轴题型三 一元一次不等式组的含参问题 46．已知关于的不等式组的解集中恰好有两个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先根据不等式的性质求出两个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后根据不等式组仅有2个整数解求出m的范围即可． 【详解】：解不等式，得， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组的解集中恰好有两个整数， ∴设相邻的两个整数分别为n和， ∴， 整理得， ∴当时，不等式组有解， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 47．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据题意得到必定有整数解0，再根据恰有3个整数解分类讨论，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围． 【详解】解： 解不等式①得，解不等式②得， 由于不等式组有解，则，必定有整数解0， ∵， ∴三个整数解不可能是﹣2，﹣1，0． 若三个整数解为﹣1，0，1，则不等式组无解； 若三个整数解为0，1，2，则； 解得． 故选：B 【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．难度较大，理解题意，根据已知条件得到必定有整数解0，再分类讨论是解题关键． 48．已知不等式组有解但没有整数解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先求得不等式组的解集，根据解集没有整数解，建立起新的不等式组，解之即可 【详解】∵， ∴解①得，x＜-a，解②得，x＞-1， ∴不等式组的解集为：-1＜x＜-a， ∵不等式组有解但没有整数解， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，能根据不等式组无整数解建立新不等式组并解之是解题的关键． 压轴题型四 不等式组和方程组的结合问题 49．对于任意实数，通常用表示不超过x的最大整数，如：，，，给出如下结论：①；②若，则x的取值范围是；③当时，的值为1或2；④若且，则x的取值范围为．其中正确的结论有(    )个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据所学知识逐项判断即可．①可举反例；②可根据题意中的规定判断；③当，，时，分类讨论得结论；④根据x的取值范围，求出方程的解后判断． 【详解】解：①、因为[x]表示不大于x的最大整数， ∴当时， ∴①不正确； ②、若，则x的取值范围是，故②是正确的； ③、当时，[， 当时，， 当时，，综上③是正确的； ④、∵， ∴， 解得：． ∵ ∴， 解得： ∴x的取值范围为 故④是错误的． 故正确的是：②③，共两个． 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式组．题目难度较大．理解题意和学会分类讨论是解决本题的关键． 50．已知关于的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组无解，那么所有符合条件的整数的个数为 ． 【答案】7 【分析】先分别求出方程组的解和不等式组的解集，再结合已知条件求出a的范围，最后得出答案即可． 【详解】解方程组得： ∵方程组的解满足 ∴，解得 解不等式组得： ∵关于的不等式组无解 ∴，解得 ∴ ∴所有符合条件的整数为-2，-1,0,1,2,3,4，共7个 故答案为7 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式等知识点，能求出a的取值范围是解此题的关键． 51．已知关于的二元一次方程组（为常数）． (1)若该方程组的解满足，求的取值范围； (2)若该方程组的解均为正整数，且，直接写出该方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程组的结构，利用得，代入不等式，解不等式即可求解； （2）根据加减法解二元一次方程组，根据方程组的解均为正整数，且，根据整除，求得的值，进而求得方程组的解． 【详解】（1）解：， 得， ∵该方程组的解满足， ∴， 解得； （2） 得： 解得 将代入①得： ∵方程组的解均为正整数，且， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式综合，正确的计算是解题的关键． 压轴题型五 一元一次不等式组的实际应用 52．某商店购进A，B两种商品共140件进行销售．已知采购A商品30件与B商品40件共390元，采购A商品20件与B商品30件共280元． (1)求A，B商品每件进价分别是多少元？ (2)若该商店出售A，B两种商品时，先都以标价10元出售，售出一部分后再降价促销，都以标价的7折售完所有剩余商品．其中以10元售出的商品件数比购进A种商品件数少20件，该商店此次降价前后销售A，B两种商品共获利不少于360元不多于480元，求有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，每卖出一件A商品给希望工程捐a元，每卖出一件B商品捐1元，140件商品全部售出，最大捐款为200元，请直接写出a的值． 【答案】(1)A，B商品每件进价分别是5元，6元 (2)有31种进货方案 (3) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）设A，B商品每件进价分别是x元，y元，根据采购A商品30件与B商品40件共390元，采购A商品20件与B商品30件共280元列出方程组求解即可； （2）设购进A商品m件，则购买B商品件，以10元售出的商品件数为件，用卖出的钱数减去购买的钱数得到利润，再由获利不少于360元不多于480元列出不等式组求解即可； （3）设购进A商品t件，则购进B商品件，捐款总额为W，则，当时，则，不符合题意，当，随着t的增大，的值也在增大，即W的值也在增大，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设A，B商品每件进价分别是x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：A，B商品每件进价分别是5元，6元； （2）解：设购进A商品m件，则购买B商品件，以10元售出的商品件数为件， 由题意得，， 整理得：， 解得， ∵m为正整数， ∴的值可以有种， ∴有31种进货方案； （3）解：设购进A商品t件，则购进B商品件，捐款总额为W， ∴， ∵最大捐款为200元， ∴当时，，则，不符合题意， ∴， ∵随着t的增大，的值也在增大，即W的值也在增大， ∴当t最大时，W最大， ∴， 解得． 53．根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素 材 一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为与． 素 材 二 某商店的店内广告牌如右所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：a元/根，长管子售价：元/根 2．6月1日起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得！ 素 材 三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任 务 一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任 务 二 确定采购费用 试求a的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材料采购费． 任 务 三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案，并指出哪种方案得到的雪花总数最多． 【答案】任务一：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子根；任务二：；制作一个甲款雪花模型需要13元；任务三：购买258根长管子，2130根短管子；购买261根长管子，2125根短管子；购买264根长管子，2120根短管子；购买267根长管子，2115根短管子；当购买267根长管子，2115根短管子时，制作的雪花模型最多 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、分式方程和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系列出方程或不等式． 任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子x根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子y根，则短管子根，根据用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，列出方程组，解方程组即可； 任务二：根据题意列出关于a的方程，解方程即可，根据6月份的优惠方案求出制作一个甲款雪花模型需要的费用即可； 任务三：设学校中采购了m根长管子，n根短管子，根据总费用1280元列出方程，得出，根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，列出不等式组，求出，根据m必须能被3整除，得出，，264，267，从而得出购买方案，根据制作一个甲款雪花模型和制作一个乙款雪花模型，都需要3根长管子，得出长管子数越多制作的雪花模型越多，当购买267根长管子，2115根短管子时，制作的雪花模型最多． 【详解】解：任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子x根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子y根，则短管子根，根据题意得： ， 解得：， ，， 答：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子根； 任务二：∵5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根， ∴， 解得：， 经检验是原方程的根； ∵制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，且6月1日起购买3根长管子赠送一根短管子， ∴制作一个甲款雪花模型需要的费用为： （元）； 任务三：设学校中采购了m根长管子，n根短管子，根据题意得： ， 解得：， ∵商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根， ∴， 解得：， ∵m必须能被3整除， ∴，，264，267， 当时，， ∵， ∴能制作甲、乙两款雪花模型共86个，需要的短管子最少为（根），最多为：（根）， ∵， ∴此时短管子可以用完， ∴可以购买258根长管子，2130根短管子； 当时，， ∵， ∴能制作甲、乙两款雪花模型共87个，需要的短管子最少为（根），最多为：（根）， ∵， ∴此时短管子可以用完， ∴可以购买261根长管子，2125根短管子； 当时，， ∵， ∴能制作甲、乙两款雪花模型共88个，需要的短管子最少为（根），最多为：（根）， ∵， ∴此时短管子可以用完， ∴购买264根长管子，2120根短管子； 当时，， ∵， ∴能制作甲、乙两款雪花模型共89个，需要的短管子最少为（根），最多为：（根）， ∵， ∴此时短管子可以用完， ∴可以购买267根长管子，2115根短管子； ∵制作一个甲款雪花模型和制作一个乙款雪花模型，都需要3根长管子， ∴长管子数越多制作的雪花模型越多， ∴当购买267根长管子，2115根短管子时，制作的雪花模型最多． 54．定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或． (1)方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 ； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）先根据定义写出方程的“交换系数方程”，联立组成方程组，解方程组即可； （2）先求出与它的“交换系数方程”组成的方程组的解，代入，得到p，m，n的关系，再代入即可求解； （3）先写出的“交换系数方程”，令的各未知数的系数与2个“交换系数方程”的对应系数相等，得到2个方程组，最后求出符合条件的m的值即可． 【详解】（1）解：由题意知，方程的“交换系数方程”为或， 方程与它的“交换系数方程”组成的方程组为： ①或②， 解方程组①，得， 解方程组②，得， 故答案为：或； （2）解：与它的“交换系数方程”组成的方程组为： ①或②， 解方程组①，得， 由，得， 因此方程组①的解为， 解方程组②，得， 由，得， 方程组②的解为， 与它的“交换系数方程”组成的方程组为， 将代入，得， ． （3）解：关于，的二元一次方程的“交换系数方程”为，或， 当与的各系数相等时， 可得方程组， 解方程组可得，与m为整数不符，不合题意； 当与的各系数相等时， 可得方程组， 解得， ∵， ∴，即 解得， ∵m为整数， ∴． 【点睛】本题考查新定义运算，二元一次方程组的解，解二元一次方程组等，计算量很大，有一定难度，正确理解“交换系数方程”的定义是解题的关键． 压轴题型六 一元一次不等式组的新定义问题 55．对于任意实数p、q，定义一种运算：，如：，请根据以上定义解决问题：若关于x的不等式组 有2个整数解，则m的取值范围为是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知新运算变形，再求出不等式组的解，根据已知得出关于m的不等式组，求出m的范围即可． 【详解】解：∵    ， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组有2个整数解， ∴， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于m的不等式组是解此题的关键． 56．定义：对于实数a，符号表示不大于a的最大整数．例如：，， （1）如果，那么a的取值范围是 ． （2）如果，满足条件的所有正整数x为 ． 【答案】 5，6 【分析】本题考查了新定义，求不等式组的解集，理解新定义的含义是解答本题的关键． （1）根据定义：对于实数a，符号表示不大于a的最大整数，即可解答； （2）根据定义：对于实数a，符号表示不大于a的最大整数，先求出x的取值范围，然后在其范围内找出满足条件的所有正整数即可． 【详解】解：（1）∵， ∴a的取值范围是：， 故答案为：； （2）由题意得： ， 解得：， ∴满足条件的所有正整数x为：5，6， 故答案为：5，6． 57．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解（两个不等式解集的公共部分），那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”． (1)在不等式①；②；③；④中，不等式的“云不等式”是____________．（填序号） (2)若，若关于的不等式与不等式互为“云不等式”，求的取值范围． 【答案】(1)① (2)a的取值范围为或． 【分析】（1）先求得各不等式的解集，根据云不等式的定义即可求解； （2）分两种情况讨论根据云不等式的定义得到含a的不等式，解得即可． 【详解】（1）解：①的解集为； ②； ③的解集为； ④的解集为， 不等式的解集为， ∴①与有公共解，故①是不等式的“云不等式”； ②与没有公共解，故②不是不等式的“云不等式”； ③与没有公共解，故③不是不等式的“云不等式”； ④与没有公共解，故④不是不等式的“云不等式”； 故答案为：①； （2）解：①当时，即时， 依题意有，即， 故； ②当时，即时，始终符合题意，故； 综上，a的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 一元一次不等式章末易错压轴题型（13易错+6压轴） 易错题型一 不等式的定义与解集 1．如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过．用表示汽车的速度，v与30应满足的关系为（   ） A． B． C． D． 2．下列各式：①，②，③，④，⑤，其中属于不等式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．用不等式表示下列数量之间的不等关系： (1)去年某农场某种粮食亩产量是480 kg，今年该粮食作物亩产量为xkg，较去年有所增加； (2)如图，天平左盘放有三个乒乓球，右盘放有5 g砝码，天平倾斜，设每个乒乓球的质量为x(g)． 易错题型二 不等式的性质 4．若，根据不等式的性质，下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 5．要说明命题“若，则”是假命题，反例的值可以是 （写出一个即可）． 6．已知． (1)比较与的大小，并说明理由； (2)若，求a的取值范围． 易错题型三 一元一次不等式的定义 7．若是关于的一元一次不等式，则的值为（    ） A．0 B． C． D．1 8．下列不等式中，一元一次不等式有①；②；③；④；⑤，其中一元一次不等式有 个． 9．若关于的不等式与的解集完全相同，求的值． 易错题型四 一元一次不等式的解集 10．以下是圆圆同学解不等式的解答过程： 解：去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 两边都除以－3，得． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 11．下面是小亮解不等式的过程： 解：去分母，得① 移项，得② 合并同类项，得③ 系数化为1，得④ 小亮的解答过程从哪一步开始错误？请写出正确的解答过程． 12．解不等式： (1)； (2)． 易错题型五 列一元一次不等式 13．在浙江金华地区，清明期间人们有做清明粿的习俗，青绿色的粿皮代表着自然的生机，暗含对生命轮回的敬畏．在糯米做成清明粿的过程中，由于水分增加等原因，会使得质量增加，现有糯米斤，若做成清明粿质量超过20斤，则可列出不等式（   ） A． B． C． D． 14．某校组织开展了“诗词大会”的知识竞赛初赛，共有20道题，答对一题加10分，答错或不答每题倒扣5分，小辉在初赛得分超过170分顺利进入决赛，设他答对x道题，根据题意，可列出关于x的不等式为（   ） A． B． C． D． 15．春节民俗经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录，舟山春节有打年糕的习俗，以谐音取“年高”之意．糯米做成年糕的过程中，由于增加水分，会使得质量增加．现有糯米x斤，做成年糕后质量超过50斤，则可列出不等式 ． 易错题型六 用一元一次不等式解决实际问题 16．某移动手环进价为200元/件，售价为280元/件．“双11”为了促销，商店准备将这批移动手环降价出售．若要保证单件利润不低于24元，则最低可打 折出售． 17．某校组织开展了与神舟飞船有关的知识竞赛活动，竞赛试题共有30道，答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分．如果小明想参加本次竞赛且得分不低于80分，那么他至少需要答对 道题． 18．某中学决定增设乒乓球、羽毛球两门选修课程，需要购进一批乒乓球拍和羽毛球拍．已知购买2副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需要350元，购买6副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需要420元． (1)购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？ (2)已知该中学需要购买两种球拍共80副，所花费用不超过4340元，则可购买的羽毛球拍最多是几副？ 易错题型七 用一元一次不等式解决几何问题 19．一根细铁丝长，小明想把它折成一个三角形，则他折成的三角形的最长的边有可能是（    ） A． B． C． D． 20．一个三角形的3条边长分别为，，，它的周长不超过39cm，则的取值范围 ． 21．如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需___秒； (2)若的面积为时，求的值； (3)若的面积大于时，求的取值范围． 易错题型八 一元一次不等式组的定义 22．下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 23．下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 24．已知中的x、y满足0＜x﹣y＜1，求k的取值范围． 易错题型九 求不等式组的解集 25．解不等式组： 26．解不等式组，并把解集表示在数轴上． 27．从下列三个不等式中，任选两个组成一元一次不等式组并求出解集． ①    ②；    ③． 易错题型十 求一元一次不等式组的整数解 28．解不等式组，并求出它的所有非正整数解的和． 29．已知为整数，关于，的方程组的解满足不等式组． (1)解关于，的方程组，并用的代数式表示出来； (2)求整数的值． 30．若线段，，能构成三角形，且使关于的不等式组有解的所有整数和为 ． 易错题型十一 由一元一次不等式组的解集求参数 31．若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是 ． 32．若关于的一元一次不等式组的解集为，则满足条件的的范围是 ． 33．若关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 易错题型十二 不等式组和方程组结合的问题 34．已知方程组中的x，y满足， 则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．已知方程组的解x、y都是负数，则a的取值范围是 ． 36．若关于x，y的二元一次方程组． (1)若方程组的解x、y满足方程，求a的值； (2)若，求a的取值范围． 易错题型十三 不等式组的实际应用 37．某汽车专卖店销售甲，乙两种型号的新能源汽车．第一周售出甲型汽车和乙型汽车各2辆，销售额为88万元：第二周售出3辆甲型汽车和1辆乙型汽车，销售额为96万元． (1)求每辆甲型汽车和乙型汽车的售价； (2)某公司向该店购买甲，乙两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元，则有哪几种购车方案？ 38．为加强校园阳光体育活动，某中学计划购进一批篮球和排球，经过调查得知每个篮球的价格比每个排球的价格贵40元，买5个篮球和10个排球共用1100元． (1)求每个篮球和排球的价格分别是多少元？ (2)某学校需购进篮球和排球共120个，总费用不超过9000元，但不低于8900元，问有那几种购买方案？ 39．某超市购进甲、乙两种型号的空气加湿器进行销售，其进价与售价如下表： 进价元台 售价元台 甲型 150 200 乙型 120 160 (1)某月该超市花费4200元购进这两种空气加湿器共30台，并且当月全部售完，问该超市当月销售这两种空气加湿器赚了多少钱？ (2)为满足市场需求，该超市决定用不超过6750元的资金采购甲、乙两种型号的空气加湿器共50台，且甲型空气加湿器的数量不少于23台，问超市有哪几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，请你通过计算判断，选择哪种进货方案该超市获得利润最多？ 压轴题型一 一元一次不等式的含参问题 40．若关于x的方程有三个整数解，则的值是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 41．定义表示不大于x的最大整数，如：、，．则方程所有解的和为（    ） A． B． C． D． 42．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为< x >，即已知n为正整数，如果n－≤x＜n＋，那么< x >＝n．例如：< 0 >＝< 0.48 >＝0，< 0.64 >＝< 1.493 >＝1，< 2 >＝2，< 3.5 >＝< 4.12 >＝4，…则满足方程< x >＝的非负实数x的值为 . 压轴题型二 一元一次不等式的实际应用 43．某厂为了提高生产力，计划新购置、两种型号的生产设备共台．已知型每台万元，每月可以生产吨产品；型每台万元，每月可以生产吨产品．购买一台型设备比购买一台型设备多万元，则买台型设备比购买台型设备少万元．根据以上信息，解答下列问题： (1)求出、的值． (2)若计划购置总费用不超过万元，且两种型号设备都要购买，该厂有哪些购买方案？ (3)在（2）的条件下，若每月生产产品不得低于吨，为了节约资金，请你为该厂设计一种最省钱的购买方案． 44．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计礼品盒制作方案 素材1 七年级数学兴趣小组计划制作底面为等边三角形的直三棱柱有盖礼品盒，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面（A型号）和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面（B型号）组成（如图1所示）．而A、B两种型号纸板可由一个大长方形硬纸板裁剪得到，具体裁剪方法见下面的裁法一、裁法二．    素材2 现有大长方形硬纸板n张．（说明：裁剪后的余料不可以再使用．） 问题解决 任务1 初探 方案 探究一：按素材1的裁剪方法，若x张大长方形硬纸板裁剪A型号纸板，y张大长方形硬纸板裁剪B型号纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完． 若， （1）完成右边填表； （2）最多能做多少个礼品盒？ 型号 裁法 （裁法一） （裁法二 ） 合计 大长方形硬纸板x（张） 大长方形硬纸板y（张） A型号(张数） 2x 0 2x B型号（张数） 0 任务2 反思 方案 探究二： 若，按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，请问最多能做多少个礼品盒？并说明理由． 任务3 优化 方案 探究三：为不浪费纸板，进行了裁剪再设计： 首先从n张大长方形硬纸板中选出1张大长方形纸板裁剪出一张A型和一张B型纸板（见裁法三），然后从剩余的纸板中按素材1的方法继续裁剪出A、B型纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完，若n在10张至30张之间（包括边界），则n的值为 ．（填空） 45．三垟瓯柑享誉世界．水果商贩李大姐从三垟柑农处批发进货，她获知Ⅰ级瓯柑每箱60元，Ⅱ级瓯柑每箱40元．李大姐本次购得的Ⅰ级瓯柑比Ⅱ级瓯柑多10箱，共花费了3100元． (1)求Ⅰ级瓯柑和Ⅱ级瓯柑各购买了多少箱？ (2)李大姐有甲、乙两家店铺，每售出一箱不同级别的瓯柑获利不同，具体见表． Ⅰ级瓯柑每箱获利（单位：元/箱） Ⅱ级瓯柑每箱获利（单位：元/箱） 甲店 15 20 乙店 12 16 设李大姐将购进的瓯柑分配给甲店Ⅰ级瓯柑a箱，Ⅱ级瓯柑b箱，其余都分配给乙店．因善于经营，两家店都很快卖完了这批瓯柑． ①李大姐在甲店获利660元，则她在乙店获利多少元？ ②若李大姐希望获得总利润为1000元，则分配给甲店共 　　箱水果．（直接写出答案） 压轴题型三 一元一次不等式组的含参问题 46．已知关于的不等式组的解集中恰好有两个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 48．已知不等式组有解但没有整数解，则的取值范围为 ． 压轴题型四 不等式组和方程组的结合问题 49．对于任意实数，通常用表示不超过x的最大整数，如：，，，给出如下结论：①；②若，则x的取值范围是；③当时，的值为1或2；④若且，则x的取值范围为．其中正确的结论有(    )个 A．1 B．2 C．3 D．4 50．已知关于的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组无解，那么所有符合条件的整数的个数为 ． 51．已知关于的二元一次方程组（为常数）． (1)若该方程组的解满足，求的取值范围； (2)若该方程组的解均为正整数，且，直接写出该方程组的解． 压轴题型五 一元一次不等式组的实际应用 52．某商店购进A，B两种商品共140件进行销售．已知采购A商品30件与B商品40件共390元，采购A商品20件与B商品30件共280元． (1)求A，B商品每件进价分别是多少元？ (2)若该商店出售A，B两种商品时，先都以标价10元出售，售出一部分后再降价促销，都以标价的7折售完所有剩余商品．其中以10元售出的商品件数比购进A种商品件数少20件，该商店此次降价前后销售A，B两种商品共获利不少于360元不多于480元，求有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，每卖出一件A商品给希望工程捐a元，每卖出一件B商品捐1元，140件商品全部售出，最大捐款为200元，请直接写出a的值． 53．根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素 材 一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为与． 素 材 二 某商店的店内广告牌如右所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：a元/根，长管子售价：元/根 2．6月1日起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得！ 素 材 三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任 务 一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任 务 二 确定采购费用 试求a的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材料采购费． 任 务 三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案，并指出哪种方案得到的雪花总数最多． 54．定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或． (1)方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 ； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”求的值． 压轴题型六 一元一次不等式组的新定义问题 55．对于任意实数p、q，定义一种运算：，如：，请根据以上定义解决问题：若关于x的不等式组 有2个整数解，则m的取值范围为是（ ） A． B． C． D． 56．定义：对于实数a，符号表示不大于a的最大整数．例如：，， （1）如果，那么a的取值范围是 ． （2）如果，满足条件的所有正整数x为 ． 57．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解（两个不等式解集的公共部分），那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”． (1)在不等式①；②；③；④中，不等式的“云不等式”是____________．（填序号） (2)若，若关于的不等式与不等式互为“云不等式”，求的取值范围． 11 / 11 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