专题05 平行四边形（期末复习讲义，10知识点+24题型）八年级数学上学期鲁教版五四制

该初中数学平行四边形专题复习讲义通过表格系统梳理7个核心考点，明确复习目标与考情规律，再分知识点细化定义、性质、判定等内容，用对比表格呈现三种距离等概念联系，构建清晰知识脉络，突出重难点分布。 讲义亮点在于24个题型分类设计，涵盖从基础计算到综合应用，每个题型附解题技巧与变式，如动点问题结合平行四边形判定培养推理能力，折叠问题强化几何直观，助力分层提升，支持学生自主复习与教师精准教学。

专题05 平行四边形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1. 平行四边形的定义 理解平行四边形的定义，能根据定义判断一个四边形是否为平行四边形 选择题基础题，难度低 2. 平行四边形的性质（边、角、对角线） 熟练掌握平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，能灵活运用 解答题核心考点，常结合三角形全等考查，难度中等 3. 平行四边形的判定定理（边、角、对角线） 掌握平行四边形的多种判定方法，能根据不同条件选择合适的判定定理 解答题证明题型，综合性强，分值占比高，难度中等偏上 4. 三角形中位线定理及应用 掌握三角形中位线定理的内容，能运用定理解决线段平行和长度计算问题 选择题、填空题、解答题均有考查，是几何计算的常用工具，难度中等 5. 多边形内角和公式 掌握多边形内角和公式 ，能准确计算任意多边形的内角和 选择题、填空题高频考查，难度低 6. 多边形外角和定理 理解多边形外角和为 的定理，能运用定理解决相关计算问题 选择题、填空题基础题，难度低 7. 平行四边形与图形变换（平移、旋转）的综合应用 能结合平移、旋转的性质，解决平行四边形的证明与计算问题 解答题难点题型，综合性强，区分度高，难度偏上 知识点01 平行四边形的定义 ◆1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． ◆2、表示方法：平行四边形用符号“□”表示，平行四边形ABCD记作：“□ABCD”， 读作:“平行四边形ABCD”. 【注意】表示平行四边形时，要按照顺时针或者逆时针方向依次书写各顶点字母，不能打乱顺序． ◆3、几何语言：(双重含义) ∵ AB∥CD，AD∥BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形（判定） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC（性质） 知识点02平行四边形的性质 ●●平行四边形的性质： ◆1、边：①平行四边形的对边平行；②平行四边形的对边相等． 几何语言： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， AB = CD，AD = BC， ◆2、角：①平行四边形的对角相等．②平行四边形的对角互补. 几何语言：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠A =∠C，∠B = ∠D ◆3、对角线：平行四边形的对角线互相平分． 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=OC，BO=OD ◆4、对称性 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心． 知识点03 两条平行线间的距离 ◆1、定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离. ◆2、两条平行线之间的任何两条平行线段都相等. ◆3、如果有两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等. 如图（1），a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点.由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形，即AB=CD；如图（2）线段AB（或CD）的长即为两条平行线之间的距离. ◆4、三种距离之间的区别与联系 距离 两点之间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离 区别 连接两点的线段的长度. 点到直线的垂线段的长度. 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平 行线之间的距离. 联系 都是指线段的长度. ◆5、“两条平行线间的距离处处相等”，在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置.(常常用来解决三角形同底等高问题.) 知识点06 平行四边形的判定 ★1、平行四边形的判定方法 类别 判定方法 图形 几何语言 边 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. ∴AB∥CD，AD∥BC， ∵四边形 ABCD 是平行四边形. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ∵AB = CD，AD = CB， ∴四边形ABCD 是平行四边形. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ∵ AB∥CD，AB = CD， ∴四边形ABCD 是平行四边形. 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ∵∠A =∠C，∠B =∠D， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形. ∵AO = CO，DO = BO， ∴四边形ABCD 是平行四边形. ★2、平行四边形有5种判定方法，在判定一个四边形是平行四边形时，应选择哪一种方法需要根据具体情况而定，当几种方法都能判定时，应选择较简单的方法. ★3、平行四边形的联系与区别 区别 ：由平行四边形这一条件得到边、角、对角线的关系是性质.由边、角、对角线的关系得到平行四边形是判定. 联系：平行四边形的性质题设和结论正好与判定的题设和结论相反，它们构成互逆的关系. 知识点07 三角形的中位线 ◆1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 几何语言：在 △ABC中，∵D、E 分别是边 AB、AC 的中点， ∴DE是△ABC的中位线. ◆2、性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半. 几何语言：∵ D、E 分别是边 AB、AC 的中点， ∴ DE∥BC，且DE =BC． ◆3、一个三角形有三条中位线，如图DE,DF,EF都是△ABC的中位线，中位线是一条线段. ◆4、三角形的三条中位线把原三角形分成四个全等的小三角形，三个面积相等的平行四边形；四个全等小三角形的周长都是原三角形周长的一半. ◆5、三角形的中线与中位线 相同点：都是与中点有关的线段. 不同点：中位线是连接三角形两边中点的线段.中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段. 知识点08 多边形的内角和 ◆1、多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数） ◆2、多边形内角和公式的常见应用 (1)已知多边形的边数，求内角和； (2)已知多边形的内角和，求边数； (3)求正n 边形每个内角的度数， 其公式为； (4)已知n 边形每个内角的度数，且度数都相等，求边数． ◆3、多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加1，内角和就增加180° . 知识点09 多边形的外角和 ◆1、多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°． 【注意】 （1）多边形的外角和是指每个顶点处取一个外角的和. （2）多边形的外角和恒等于360°，与边数无关. （3）借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． ◆2、常见应用 （1）已知外角度数求正多边形的边数； （2）已知正多边形的边数求外角度数，所用公式为 . 知识点10 平面图形的镶嵌 ◆1、镶嵌的基本概念 （1）定义：用形状、大小相同的平面图形进行拼接，要求不留空隙、不重叠地覆盖平面 （2）关键要素：拼接点、拼接规律、覆盖效果 （3）常见镶嵌图形：正多边形（三角形/四边形/六边形）、组合多边形 ◆2、单一正多边形的镶嵌条件 （1）正三角形：每个顶点周围拼6个（60°×6=360°） （2）正方形：每个顶点周围拼4个（90°×4=360°） （3）正六边形：每个顶点周围拼3个（120°×3=360°） （4）正五边形无法单独镶嵌（108°不能整除360°） ◆3、组合镶嵌的规律 （1）两种以上图形组合的条件： ①各图形在拼接点角度之和为360° ②例如：正三角形+正方形（60°×2+90°×2=360°） （2）常见组合方式： ①正八边形与正方形组合 ②正十二边形与正三角形组合 题型一 利用平行四边形的性质求角度 解｜题｜技｜巧 平行四边形中求有关角度的方法是利用平行四边形对角相等，邻角互补的性质，并且已知一个角或已知两邻角的关系可求出其它三个角的度数. 【典例1】（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，在平行四边形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，直线，四边形为平行四边形，顶点B恰好落 在直线n上，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，，点在边上，以，为边作，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型二 利用平行四边形的性质求线段长 解｜题｜技｜巧 平行四边形中求有关线段的方法是利用平行四边形对边分别相等，对角线互相平分的性质来求解决的. 【典例1】（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，和的角平分线分别交于点E和点F，则的值为（    ） A．3 B．2 C．2.5 D．1 【变式1】（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，在中，以点B为圆心，以适当的长度为半径作弧，分别交边，于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线，交于点G，交的延长线于点H．若，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，平行四边形中，对角线、相交于，过点作交于点，若，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 题型三 利用平行四边形的性质求周长 解｜题｜技｜巧 1.平行四边形的周长=2(a+b) （其中a、b分别为两相邻边的边长） 2. 在平行四边形中，两邻边长之和等于周长的一半. 3.在求平行四边形各边长时，可设一元一次方程或二元一次方程组求解. 【典例1】如图，在中，平分，，，则的周长是（   ） A．16 B．14 C．20 D．24 【变式1】（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD相交于点 O，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，的周长为，且，、相交于点，交于，则的周长为（　　） A． B． C． D． 题型四 利用平行四边形的性质求面积 解｜题｜技｜巧 平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 【典例1】6．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接．已知是的平分线，是的平分线，若，，则平行四边形的面积为（     ） A．6 B．8 C．12 D．24 【变式1】如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．48 【变式2】（2024秋•章丘区期末）如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD，BC上的点，AF与BE 相交于点P，DF与CE相交于点Q，若，则阴影部分四边形EPFQ的面积 为 　 　cm2． 题型五 利用平行四边形的性质证明 解｜题｜技｜巧 平行四边形的定义、平行线的性质、全等三角形的判定和性质在有关平行四边形的证明中，常常结合在一起综合应用，而利用平行四边形的定义、平行线的性质获得三角形全等的条件是解题的关键. 【典例1】（2024秋•鲤城区校级期末）如图，在▱ABCD中，E、F分别是BC、AD边上的一点（不与端点重合），AE∥CF．求证：△ABE≌△CDF． 【变式1】（2024秋•莱芜区期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD、CB的延长线于点E，F．求证：OE＝OF． 【变式2】如图，▱ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是OB、OD上的中点．连接AE、CF．求证：∠DAE＝∠BCF． 题型六 两条平行线间的距离及其应用 解｜题｜技｜巧 两条平行线间的距离指的是：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，平行线间的处处都相等，在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置. 【典例1】如图，四边形ABCD是平行四边形，点M在边AB上，AE⊥BC，MN⊥CD，垂足分别为E、N，则平行线AB与CD之间的距离是（　　） A．AE的长 B．MN的长 C．AB的长 D．AC的长 【变式1】如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F．直线MN交AB于点M，CD于点N，EF于点O．若直线AB和CD之间的距离可以是图中一条线段的长，则这条线段是（　　） A．MN B．OE C．EF D．OF 【变式1】在同一平面内，已知a∥b，b∥c，若直线a、b之间的距离为7cm， 直线b、c之间的距离为3cm，则直线a、c间的距离为（　　） A．4cm或10cm B．4cm C．10cm D．不确定 题型七 数图形中平行四边形的个数 解｜题｜技｜巧 主要是利用平行四边形的判定定理即可解答，不重复不遗漏. 【典例1】如图，在平行四边形中，相交于点，图中共有（　　）个平 行四边形． A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1】如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图 中平行四边形有（    ）个 A．4 B．5 C．3 D．6 题型八 添加一个条件成为平行四边形 解｜题｜技｜巧 添加一个条件使四边形成为平行四边形，关键是根据已知条件“对症下药”，优先选用最直接的判定方法：若已有一组对边平行，可补另一组对边平行或该组对边相等；若涉及对角线，优先考虑“对角线互相平分”. 【典例1】如图在四边形中，若已知，再添加下列条件之一，能使四边形成为平行四边形的条件是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的 是 （填序号）． ①，；②，；③，；④，． 【变式2】已知：如图，，，为上任意一点，过的直线分别交、的延长线于、． (1)请问：吗？说明你的理由； (2)要得出结论，还需增加一个什么条件，说明你的理由． 题型九 平行四边形判定的证明 解｜题｜技｜巧 掌握五种标准判定方法并灵活运用全等三角形与辅助线是解决平行四边形证明题的关键技巧. 【典例1】（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【变式1】（2024春•南召县期末）如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上 的一动点，连接EF，过点C作CD∥AB，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD． 求证：四边形DBEC是平行四边形． 【变式2】（2024春•柳南区校级期末）已知：如图，在四边形ABCD中，E是边BC的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，且AB＝BF，∠F＝∠CDE．求证：四边形ABCD是平行四边形． 题型十 利用三角形的中位线求线段长度 解｜题｜技｜巧 在涉及线段长度计算的问题中，若出现两个中点或可构造中点，优先考虑使用三角形中位线定理：中位线平行且等于第三边的一半. 【典例1】（2024秋•温江区期末）如图，在Rt△ABC中，点D、E分别为BC、AC中点，若AE＝4，BD＝5，则AB的长为（　　） A．9 B．7 C．6 D．8 【变式1】如图，在四边形中，点，分别是边，的中点，连接，若，，且，则的长为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，平分，是的中点，，，，则（　　） A．1 B． C．2 D． 题型十一 利用三角形的中位线求角度 解｜题｜技｜巧 角形的中位线求角度的核心是“平行”带来的角关系转化——通过中位线与第三边平行，将未知角转化为已知角（如同位角、内错角），再结合等腰三角形、折叠对称或四边形内角和等知识求解。 【典例1】如图，BD是等腰△ABC底边AC边上的中线，ED∥AB，∠C＝65°，则∠BDE度数是（　　） A．24° B．25° C．30° D．35° 【变式1】（204秋•任城区校级期末）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC＝10，CD＝6，EF＝4，∠AFE＝52°，则∠ADC的度数为（　　） A．140° B．142° C．150° D．152° 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝58°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E、F分别是AD、AC的中点，则∠BEF的度数为 　 　． 题型十二 利用三角形的中位线求周长 解｜题｜技｜巧 利用三角形中位线求周长的关键是：原三角形的中点连线构成的新三角形（即“中点三角形”）的周长等于原三角形周长的一半. 【典例1】（25-26八年级上·湖南张家界·期末）如图，点D，E，F分别为三边的中点，若的周长为5，则的周长为（    ） A．12 B．10 C．5 D．2．5 【变式1】（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在中，是的中线，与相交于点O，点F、G分别是的中点，连接．若，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024秋•汉寿县期末）如图，在△ABC中，D是AC边的中点，且BD⊥AC，ED∥BC，ED交AB于点E，若AC＝4，BC＝6，则△ADE的周长为　 　． 题型十三 利用三角形的中位线求面积 解｜题｜技｜巧 三角形中位线连接两边中点，若再连接另一组中点，可将原三角形分成4个全等的小三角形，全等三角形的面积相等，因此每个小三角形的面积是原三角形面积的. 【典例1】（2024秋•潜山市期末）如图，在△ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，若△ABC的面积是40，则四边形BDEF的面积是（　　） A．10 B．12.5 C．15 D．20 【变式1】如图，AM垂直∠ABC的平分线BM于点M，D为BC中点，连接MD，若△ABC的面积为4，则△BMD的面积为（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．3 【变式2】如图，在△ABC中，D为边AB的中点，过点D作DE∥BC交边AC于点E，P为边BC上一点，连结DP，DP，EP．若△ADE的面积为3，则图中阴影部分的面积为　 　． 题型十四 与三角形的中位线有关的证明 解｜题｜技｜巧 要解决与三角形中位线相关的证明问题，关键在于灵活运用“平行且等于第三边一半”的性质，并通过构造辅助线揭示隐藏关系. 【典例1】在中，点M是边的中点，平分，的延长线交于点E， ． (1)求证：； (2)求的长． 【变式1】（24-25八年级下·贵州六盘水·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，延长至点，使，连接，． (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求四边形的面积． 【变式2】（24-25八年级下·北京西城·期末）如图，在中，点D，E分别是，的中点，连接并延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，，若，求线段的长． 题型十五 平行四边形的性质与判定的综合 解｜题｜技｜巧 利用平行四边形的性质对应边相等，可以求线段的长，图形的周长和面积，利用平行四边形的对应角相等可求角的度数，先通过证明四边形是平行四边形，然后直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题． 【典例1】如图所示，在梯形中， ，，，延长到点，使，连接． (1)证明是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积 【变式1】如图，在▱ABCD中，∠C＝60°，M、N分别是AD、BC的中点． （1）求证：四边形MNCD是平行四边形； （2）若BC＝2CD，MN＝1，求BD的长． 【变式2】问题背景：如图，分别以的直角边及斜边向外作等边、等边．已知，垂足为，连接交于点． 探索求证： （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形； 深入探究： （3）当时，求的面积． 题型十六 多边形的内角和 解｜题｜技｜巧 多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数），多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加1，内角和就增加180° . 【典例1】已知一个多边形的内角和为，则这个多边形为  （    ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【变式1】如图，点A、B、C、D、E、F在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，若∠BCD＝110°，则∠A+∠B+∠D+∠E+∠F等于（　　） A．470° B．450° C．430° D．410° 【变式2】一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A． B． C．或 D．或或 题型十七 多边形内角和与外角和的实际应用问题 解｜题｜技｜巧 主要是利用多边形的内角和定理与外角和定理来解决实际应用问题. 【典例1】（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，小明从点出发沿直线前进12米到达点，向左转后又沿直线前进12米到达点，再向左转后沿直线前进12米到达点，．．．，照这样走下去，小明第一次回到出发点时所走的路程为（    ） A．120米 B．96米 C．72米 D．48米 【变式1】一个机器人在平地上按如下要求行走，则该机器人从开始到停 止所行走的路程为多少米？（    ） A．9 B．12 C．24 D．45 【变式2】图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是 从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型十八 多边形内角和与外角和的综合应用 解｜题｜技｜巧 综合运用多边形的内角和与外角和性质，常常是四边形的内角和以及三角形的内角和的综合运用，并且熟练运用平行线性质和角平分线的定义． 【典例1】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知直线与正五边形的边，分别相交于点，，形成夹角和，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后深入思考，继续探究多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有的数量关系．    (1)如图1，与，之间的数量关系为______．若，，则______． (2)如图2，是四边形ABCD的外角，求证：． (3)若n边形的一个外角为，与其不相邻的内角之和为，则x，y与n的数量关系是______． 【变式2】如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，BE、CD交于G点． （1）如图1，若∠A＝90°， ①求证：∠EDG＝∠ABC； ②作DF平分∠ADC，如图2，求证：DF∥BG． （2）如图3，作DF平分∠ADC，在锐角∠BAD内部作射线AN，交DF于N，若∠AND﹣∠GBC的大小为45°，试说明：AN平分∠BAD． 题型十九 平面图形的镶嵌 解｜题｜技｜巧 解决平面图形的镶嵌问题，关键是判断在同一个拼接点处，多个图形的内角之和是否等于 360°，并且图形之间不留空隙、不重叠。对于正多边形，只需看其内角度数能否整除 360°. 【典例1】（24-25八年级下·山东青岛·期末）数学探究课上，某小组在用边长相同的正多边形纸板铺平面图形时，将两块正方形纸板和一块正三角形纸板绕点如图放置．若将一块正多边形纸板恰好无空隙、不重叠的拼在处，则这块正多边形纸板是（    ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【变式1】小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼 接处无空隙，不重叠．如图所示，是所拼的这个平面图形的一部分，则的值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式2】（24-25八年级上·山东威海·期末）璐璐家准备用地砖铺地，已经购买了正八边形地砖，现打算购 买另一种不同形状的正多边形地砖，与正八边形地砖在同一顶点处做平面镶嵌．则可以购买的地砖形状是（　　） A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形 题型二十 平行四边形的折叠问题 解｜题｜技｜巧 折叠型问题就是把一个图形一部分沿某条直线折叠后，所形成的图形胃疼，这类问题既是对称问题的应用又可考查空间想象能力，平行四边形中的折叠问题是利用平行四边形的性质，以及三角形的全等、平行等知识在解决问题. 【典例1】如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于（　　） A．70° B．40° C．30° D．20° 【变式1】如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1＝∠2＝36°，∠B 为（　　） A．36° B．144° C．108° D．126° 【变式2】如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上的一个点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′＝（　　）度． A．40 B．35 C．30 D．50 题型二十一 平行四边形与平面直角坐标系的综合 解｜题｜技｜巧 在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点的坐标，求第四个顶点的坐标时，主要考查平行四边形的性质，坐标与图形性质，解题时，利用了平行四边形的对边相等且平行的性质，对角线互相平分，有时需要分情况讨论． 【典例1】在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，B，D的坐标分别是，，则顶点C的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，已知点A，C．若四边形是平行四边形，则点B的 坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形三个顶点坐标 分别为，，，则顶点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型二十二 平行四边形的判定与动点运动问题 解｜题｜技｜巧 运用数形结合的思想，化动为静，根据题意结合平行四边形的性质、判定列出方程，进行相关的计算或证明，解决有关平行四边形中的动点问题. 【典例1】（2024春•莲池区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝18 cm，BC＝15 cm，点P在AD边上以每秒2 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒1 cm的速度从点C向点B运动，当一点到达终点停止运动时，另一点也停止运动，则运动时间为 　 秒时，直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形． 【变式1】（2024春•梁平区期末）如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝　 s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 【变式1】（2024秋•任城区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒2.5cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为t s，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（　　） A． B． C．或 D．或 B． 题型二十三 平行四边形的最值问题 解｜题｜技｜巧 平行四边形中最值问题的核心解题技巧是“化动为静”，常用方法包括轴对称转化（将军饮马）、垂线段最短、三点共线取最小值以及利用几何变换构造辅助图形. 【典例1】如图，在▱ABCD中，AB＝2，AB⊥AC，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为（　　） A．4 B．3 C．4 D．2 2．（2024•瑶海区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，ABAD，E是AB的中点，P是边AD上的一动点，若AD＝2，则PE+PB的最小值为（　　） A．2 B．2 C． D．2 【变式1】如图，∠AOB＝30°，OB＝4，点P为射线OA上任意一点，连接PB．以PO、PB为邻边作平行四边形POQB，连接PQ，则线段PQ的最小值为 　 　． 题型二十四 平行四边形的综合问题 解｜题｜技｜巧 运用数形结合的思想，化动为静，根据题意结合平行四边形的性质、判定列出方程，进行相关的计算或证明，解决有关平行四边形中的动点问题. 【典例1】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）【问题呈现】 如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，点落在边上的点处，连接．（点的对应点分别是点） 【初步发现】 （1）如图1，五边形的内角和的度数为__________°，外角和的度数为__________°； 【求知探究】 （2）求证：平分； 【拓展延伸】 （3）如图2，，，当三点在同一条直线上时，求的面积． 【变式1】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点在线段上，且为的中点，连接． (1)求证：； (2)若分别是的中点，连接，，交于点，． ①求证：是等腰三角形； ②若，求的长． 【变式2】已知，在中，点是边的中点． (1)【问题解决】 如图1，将沿折叠得到，请直接写出与的数量关系___________； (2)【问题探究】 如图2，在（1）的条件下，连接，请判断与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图3，点是边上一点，将沿折叠得到，点落在边下方，连接，当时，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·河北承德·期末）根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024秋•周村区期末）如图，在平行四边形ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若∠C＝70°，则∠BAE＝（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 3．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，在四边形中，，则添加下列条件，可使四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，将绕顶点A按顺时针方向旋转得到，当首次经过点D时，旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）若一个正多边形的每个外角是，则它共有几条对角线（    ） A．9 B．6 C．18 D．12 6．如图，在▱ABCD中，∠B＝40°，AB＝AC，将△ADC沿对角线AC翻折，AF交BC于点E，点D的对应点为点F，则∠AEC的度数是（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 7．如图，在△ABC中，AB＝BC＝14，BD是AC边上的高，垂足为D，点F在边BC上，连接AF，E为AF的中点，连接DE，若DE＝5，则BF的长为（　　） A．3 B．6 C．5 D．4 8．（2024春•尉氏县月考）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，BC＝BD，E是CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，则下列结论：①BC∥AF； ②四边形BDFC是平行四边形；③BD＝DF；④BE＝BD．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 9．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为：A（﹣2，1），B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1）．若以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，那么点D的坐标是 ． 10．如图，将平行四边形ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．若平行四边形ABCD周长为20，则△ABE周长为（　　） A．1 B．5 C．10 D．20 11．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在中，，，是边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．（2024春•五华县期末）如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③EG＝EF；④BF平分∠GFE．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 13．如图，四边形ABCD中，点E和点F和分别为边CD和BC上的点，并且∠ABC＝∠1，∠A+∠2＝180°． （1）请判断直线AD和直线BE的位置关系，并证明你的结论； （2）若BE是∠ABC的角平分线，AD⊥CD，∠FEC＝55°，求∠EBF的度数． 14．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在四边形中，E是的中点，交于点F，，连接 (1)求证：； (2)若，，，求的长． 15．如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA＝OB，E、F分别是OC，OD中点． （1）求证：OD＝OC． （2）求证：四边形AFBE平行四边形． 16．（2024春•市北区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，，其中BD是AC边上的高．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），解答下列问题： （1）线段BP＝　 　cm，AM＝　 　cm（用含t的代数式表示）； （2）求AD的长； （3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 平行四边形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1. 平行四边形的定义 理解平行四边形的定义，能根据定义判断一个四边形是否为平行四边形 选择题基础题，难度低 2. 平行四边形的性质（边、角、对角线） 熟练掌握平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，能灵活运用 解答题核心考点，常结合三角形全等考查，难度中等 3. 平行四边形的判定定理（边、角、对角线） 掌握平行四边形的多种判定方法，能根据不同条件选择合适的判定定理 解答题证明题型，综合性强，分值占比高，难度中等偏上 4. 三角形中位线定理及应用 掌握三角形中位线定理的内容，能运用定理解决线段平行和长度计算问题 选择题、填空题、解答题均有考查，是几何计算的常用工具，难度中等 5. 多边形内角和公式 掌握多边形内角和公式 ，能准确计算任意多边形的内角和 选择题、填空题高频考查，难度低 6. 多边形外角和定理 理解多边形外角和为 的定理，能运用定理解决相关计算问题 选择题、填空题基础题，难度低 7. 平行四边形与图形变换（平移、旋转）的综合应用 能结合平移、旋转的性质，解决平行四边形的证明与计算问题 解答题难点题型，综合性强，区分度高，难度偏上 知识点01 平行四边形的定义 ◆1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． ◆2、表示方法：平行四边形用符号“□”表示，平行四边形ABCD记作：“□ABCD”， 读作:“平行四边形ABCD”. 【注意】表示平行四边形时，要按照顺时针或者逆时针方向依次书写各顶点字母，不能打乱顺序． ◆3、几何语言：(双重含义) ∵ AB∥CD，AD∥BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形（判定） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC（性质） 知识点02平行四边形的性质 ●●平行四边形的性质： ◆1、边：①平行四边形的对边平行；②平行四边形的对边相等． 几何语言： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， AB = CD，AD = BC， ◆2、角：①平行四边形的对角相等．②平行四边形的对角互补. 几何语言：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠A =∠C，∠B = ∠D ◆3、对角线：平行四边形的对角线互相平分． 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=OC，BO=OD ◆4、对称性 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心． 知识点03 两条平行线间的距离 ◆1、定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离. ◆2、两条平行线之间的任何两条平行线段都相等. ◆3、如果有两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等. 如图（1），a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点.由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形，即AB=CD；如图（2）线段AB（或CD）的长即为两条平行线之间的距离. ◆4、三种距离之间的区别与联系 距离 两点之间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离 区别 连接两点的线段的长度. 点到直线的垂线段的长度. 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平 行线之间的距离. 联系 都是指线段的长度. ◆5、“两条平行线间的距离处处相等”，在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置.(常常用来解决三角形同底等高问题.) 知识点06 平行四边形的判定 ★1、平行四边形的判定方法 类别 判定方法 图形 几何语言 边 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. ∴AB∥CD，AD∥BC， ∵四边形 ABCD 是平行四边形. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ∵AB = CD，AD = CB， ∴四边形ABCD 是平行四边形. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ∵ AB∥CD，AB = CD， ∴四边形ABCD 是平行四边形. 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ∵∠A =∠C，∠B =∠D， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形. ∵AO = CO，DO = BO， ∴四边形ABCD 是平行四边形. ★2、平行四边形有5种判定方法，在判定一个四边形是平行四边形时，应选择哪一种方法需要根据具体情况而定，当几种方法都能判定时，应选择较简单的方法. ★3、平行四边形的联系与区别 区别 ：由平行四边形这一条件得到边、角、对角线的关系是性质.由边、角、对角线的关系得到平行四边形是判定. 联系：平行四边形的性质题设和结论正好与判定的题设和结论相反，它们构成互逆的关系. 知识点07 三角形的中位线 ◆1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 几何语言：在 △ABC中，∵D、E 分别是边 AB、AC 的中点， ∴DE是△ABC的中位线. ◆2、性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半. 几何语言：∵ D、E 分别是边 AB、AC 的中点， ∴ DE∥BC，且DE =BC． ◆3、一个三角形有三条中位线，如图DE,DF,EF都是△ABC的中位线，中位线是一条线段. ◆4、三角形的三条中位线把原三角形分成四个全等的小三角形，三个面积相等的平行四边形；四个全等小三角形的周长都是原三角形周长的一半. ◆5、三角形的中线与中位线 相同点：都是与中点有关的线段. 不同点：中位线是连接三角形两边中点的线段.中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段. 知识点08 多边形的内角和 ◆1、多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数） ◆2、多边形内角和公式的常见应用 (1)已知多边形的边数，求内角和； (2)已知多边形的内角和，求边数； (3)求正n 边形每个内角的度数， 其公式为； (4)已知n 边形每个内角的度数，且度数都相等，求边数． ◆3、多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加1，内角和就增加180° . 知识点09 多边形的外角和 ◆1、多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°． 【注意】 （1）多边形的外角和是指每个顶点处取一个外角的和. （2）多边形的外角和恒等于360°，与边数无关. （3）借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． ◆2、常见应用 （1）已知外角度数求正多边形的边数； （2）已知正多边形的边数求外角度数，所用公式为 . 知识点10 平面图形的镶嵌 ◆1、镶嵌的基本概念 （1）定义：用形状、大小相同的平面图形进行拼接，要求不留空隙、不重叠地覆盖平面 （2）关键要素：拼接点、拼接规律、覆盖效果 （3）常见镶嵌图形：正多边形（三角形/四边形/六边形）、组合多边形 ◆2、单一正多边形的镶嵌条件 （1）正三角形：每个顶点周围拼6个（60°×6=360°） （2）正方形：每个顶点周围拼4个（90°×4=360°） （3）正六边形：每个顶点周围拼3个（120°×3=360°） （4）正五边形无法单独镶嵌（108°不能整除360°） ◆3、组合镶嵌的规律 （1）两种以上图形组合的条件： ①各图形在拼接点角度之和为360° ②例如：正三角形+正方形（60°×2+90°×2=360°） （2）常见组合方式： ①正八边形与正方形组合 ②正十二边形与正三角形组合 题型一 利用平行四边形的性质求角度 解｜题｜技｜巧 平行四边形中求有关角度的方法是利用平行四边形对角相等，邻角互补的性质，并且已知一个角或已知两邻角的关系可求出其它三个角的度数. 【典例1】（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，在平行四边形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等是解题的关键． 根据平行四边形对角相等，可得，再结合，即可求出度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，直线，四边形为平行四边形，顶点B恰好落 在直线n上，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．过点作，得出，，进而得到，再根据平行四边形对边平行求解即可． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ， 四边形为平行四边形， ， ， 故选：C． 【变式2】如图，在中，，，点在边上，以，为边作，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、平行四边形的性质和三角形的内角和定理等知识，属于基础题型，熟练掌握等腰三角形和平行四边形的性质是解题关键． 根据平行四边形的性质可求，根据等腰三角形的性质可求，再根据三角形内角和求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， 在中，， ， ， 故选：B． 题型二 利用平行四边形的性质求线段长 解｜题｜技｜巧 平行四边形中求有关线段的方法是利用平行四边形对边分别相等，对角线互相平分的性质来求解决的. 【典例1】（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，和的角平分线分别交于点E和点F，则的值为（    ） A．3 B．2 C．2.5 D．1 【答案】D 【分析】此题主要考查了角平分线的定义、平行四边形的性质、等角对等边等知识．由平行四边形的两组对边互相平行，又平分，由此可以推出，则；同理可得，，而，由此可以求出长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， 故选：D． 【变式1】（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，在中，以点B为圆心，以适当的长度为半径作弧，分别交边，于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线，交于点G，交的延长线于点H．若，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了作图﹣基本作图、平行四边形的性质，掌握角平分线基本作图是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，求得，得到，于是得到结论． 【详解】解：由作图过程可知平分， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，平行四边形中，对角线、相交于，过点作交于点，若，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，证明是直角三角形是解题的关键．连接，根据已知条件证明是直角三角形，进而可得是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，   平行四边形中，， 垂直平分， ，，， ，， ，， ， 是直角三角形，是等腰直角三角形， ． 故选B． 题型三 利用平行四边形的性质求周长 解｜题｜技｜巧 1.平行四边形的周长=2(a+b) （其中a、b分别为两相邻边的边长） 2. 在平行四边形中，两邻边长之和等于周长的一半. 3.在求平行四边形各边长时，可设一元一次方程或二元一次方程组求解. 【典例1】如图，在中，平分，，，则的周长是（   ） A．16 B．14 C．20 D．24 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的等角对等边是解答的关键．根据平行四边形的性质和角平分线的定义证得，等腰三角形的判定求得即可． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD相交于点 O，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求解． 【详解】解：∵的对角线相交于点O，， ∴，， ∴的周长为 故选：B． 【变式2】如图，的周长为，且，、相交于点，交于，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，属于常考题型，熟练掌握平行四边形和线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质和已知条件可得垂直平分，然后根据线段垂直平分线的性质可知，再结合平行四边形的性质即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴． ∴的周长． 故选：C． 题型四 利用平行四边形的性质求面积 解｜题｜技｜巧 平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 【典例1】6．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接．已知是的平分线，是的平分线，若，，则平行四边形的面积为（     ） A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质．利用角平分线的定义结合平行四边形的性质得出，进而利用直角三角形的性质求出答案． 【详解】解：平行四边形中，， ， 是的平分线，是的平分线， ，， ， 是直角三角形， ，， ， 平行四边形的面积， 故选：C． 【变式1】如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．48 【答案】D． 【分析】设BC＝x，由平行四边形的周长表示出CD，再根据平行四边形的面积列式求出x，然后根据平行四边形的面积公式列式进而求出x＝12，即可得出结论． 【详解】解：设BC＝x， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵▱ABCD的周长为40， ∴BC+CD＝20， ∴CD＝20﹣x， ∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∵▱ABCD的面积＝BC•AE＝CD•AF， ∴4x＝6（20﹣x）， 解得：x＝12， ∴▱ABCD的面积＝BC•AE＝12×4＝48． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形面积公式，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【变式2】（2024秋•章丘区期末）如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD，BC上的点，AF与BE 相交于点P，DF与CE相交于点Q，若，则阴影部分四边形EPFQ的面积 为 　 　cm2． 【答案】27． 【分析】连接EF，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC＝S△DCF，S△BFE＝S△BFA所以S△EFQ＝S△DCQ，S△EFP＝S△ABP，因此可以推出阴影部分的面积就是S四边形EPFQ＝S△ABP+S△DCQ，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形． 【详解】解：如图，连接EF， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△EFC的FC边上的高与△DCF的FC边上的高相等， ∴S△EFC＝S△DCF， ∴S△EFQ＝S△DCQ， 同理S△BFE＝S△BFA， ∴S△EFP＝S△ABP， ∵，， ∴， 故答案为：27． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 题型五 利用平行四边形的性质证明 解｜题｜技｜巧 平行四边形的定义、平行线的性质、全等三角形的判定和性质在有关平行四边形的证明中，常常结合在一起综合应用，而利用平行四边形的定义、平行线的性质获得三角形全等的条件是解题的关键. 【典例1】（2024秋•鲤城区校级期末）如图，在▱ABCD中，E、F分别是BC、AD边上的一点（不与端点重合），AE∥CF．求证：△ABE≌△CDF． 【分析】由AE∥CF，得∠AEB＝∠FCB，由平行四边形的性质得AB＝CD，∠B＝∠D，BC∥AD，则∠FCB＝∠CFD，所以∠AEB＝∠CFD，即可根据“AAS“证明△ABE≌△CDF． 【解答】证明：∵AE∥CF， ∴∠AEB＝∠FCB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D，BC∥AD， ∴∠FCB＝∠CFD， ∴∠AEB＝∠CFD， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，推导出∠AEB＝∠CFD，进而证明△ABE≌△CDF是解题的关键． 【变式1】（2024秋•莱芜区期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD、CB的延长线于点E，F．求证：OE＝OF． 【分析】根据平行四边形的性质可得AO＝CO，AD∥BC，进而可得∠EAO＝∠FCO，再根据对顶角相等可得∠AOE＝∠COF从而证明△AOE≌△COF，证得结论． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴得AO＝CO，AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质． 【变式2】如图，▱ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是OB、OD上的中点．连接AE、CF．求证：∠DAE＝∠BCF． 【分析】证△ADE≌△CBF（SAS），即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC，OD＝OB， ∴∠ADE＝∠CBF， ∵点E、F分别是OB、OD上的中点， ∵BEOB，DFOD， ∴BE＝DF， ∴DE＝BF， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）， ∴∠DAE＝∠BCF． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 题型六 两条平行线间的距离及其应用 解｜题｜技｜巧 两条平行线间的距离指的是：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，平行线间的处处都相等，在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置. 【典例1】如图，四边形ABCD是平行四边形，点M在边AB上，AE⊥BC，MN⊥CD，垂足分别为E、N，则平行线AB与CD之间的距离是（　　） A．AE的长 B．MN的长 C．AB的长 D．AC的长 【答案】B． 【分析】由平行四边形的性质和平行线之间的距离可直接求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵MN⊥CD， ∴平行线AB与CD之间的距离是MN的长， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线之间的距离，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【变式1】如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F．直线MN交AB于点M，CD于点N，EF于点O．若直线AB和CD之间的距离可以是图中一条线段的长，则这条线段是（　　） A．MN B．OE C．EF D．OF 【答案】C． 【分析】夹在两条平行线间的垂线段的长度即为两平行线的距离． 【详解】解：因为直线AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F，所以直线EF也垂直于直线CD，则直线AB和CD之间的距离是线段EF的长． 故选：C． 【点睛】本题主要考查垂直于同一条直线的两条直线平行，也就是说，垂直于一条直线，必定也垂直于平行于这条直线的直线． 【变式1】在同一平面内，已知a∥b，b∥c，若直线a、b之间的距离为7cm， 直线b、c之间的距离为3cm，则直线a、c间的距离为（　　） A．4cm或10cm B．4cm C．10cm D．不确定 【答案】A． 【分析】分两种情况，当直线c在直线a、b之间时，当直线c在直线a、b外部时，即可解决问题． 【详解】解：当直线c在直线a、b之间时，如图（1）， 直线a、c间的距离为7﹣3＝4（cm）； 当直线c在直线a、b外部时，如图（2）， 直线a、c间的距离为7+3＝10（cm）， ∴直线a、c间的距离是4或10cm． 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的距离，解题时注意分类讨论． 题型七 数图形中平行四边形的个数 解｜题｜技｜巧 主要是利用平行四边形的判定定理即可解答，不重复不遗漏. 【典例1】如图，在平行四边形中，相交于点，图中共有（　　）个平 行四边形． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定； 首先根据已知条件找出图中的平行线段，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴ ∴平行四边形有：、、、、、、、；；共个． 故选：C． 【变式1】如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的判定，以及平行四边形的判定，由是由六个全等的正三角形拼成的，可得出是正六边形，进而可得出，则四边形是平行四边形，同理可得出四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形． 【详解】解：∵是由六个全等的正三角形拼成的， ∴是正六边形， ∴，，是正六边形的对角线， 可得， ∴四边形是平行四边形， 同理：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，共6个， 故选C． 【变式2】如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图 中平行四边形有（    ）个 A．4 B．5 C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据平行四边形两组对边分别平行的判定求解可得． 【详解】解：如图， 图中的平行四边形有：▱ABED，▱ABGF，▱BCFE，▱ACFD，▱PBQF， 故选B． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 题型八 添加一个条件成为平行四边形 解｜题｜技｜巧 添加一个条件使四边形成为平行四边形，关键是根据已知条件“对症下药”，优先选用最直接的判定方法：若已有一组对边平行，可补另一组对边平行或该组对边相等；若涉及对角线，优先考虑“对角线互相平分”. 【典例1】如图在四边形中，若已知，再添加下列条件之一，能使四边形成为平行四边形的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定进行逐项判断即可． 【详解】解：A、由，，不能判定四边形成为平行四边形，故选项A不符合题意； B、由，，不能判定四边形成为平行四边形，故选项B不符合题意； C、∵， ∴，不能判定四边形成为平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 【变式1】（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的 是 （填序号）． ①，；②，；③，；④，． 【答案】③ 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出答案． 【详解】解：①∵，，∴四边形是平行四边形，不符合题意； ②∵，，∴四边形是平行四边形，不符合题意； ③，不能判定四边形是平行四边形，符合题意； ④∵，，∴四边形是平行四边形，不符合题意； 故答案为：③． 【变式2】已知：如图，，，为上任意一点，过的直线分别交、的延长线于、． (1)请问：吗？说明你的理由； (2)要得出结论，还需增加一个什么条件，说明你的理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2)点是的中点，理由见解析． 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质． 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可证； 由可知，如果点是的中点，可得：，利用可证，根据全等三角形的性质可证． 【详解】（1）解：， 理由如下： ，， 四边形是平行四边形， ， ； （2）解：还需要增加点是的中点， 理由如下： 由可知， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ． 题型九 平行四边形判定的证明 解｜题｜技｜巧 掌握五种标准判定方法并灵活运用全等三角形与辅助线是解决平行四边形证明题的关键技巧. 【典例1】（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，证明是解题的关键． 由，得，而，，即可根据“”证明，得，则四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【变式1】（2024春•南召县期末）如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上 的一动点，连接EF，过点C作CD∥AB，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD． 求证：四边形DBEC是平行四边形． 【分析】先证明△EBF≌△DCF，可得DC＝BE，可证四边形BECD是平行四边形 【详解】证明：∵AB∥CD， ∴∠CDF＝∠FEB，∠DCF＝∠EBF， ∵点F是BC的中点， ∴BF＝CF， 在△DCF和△EBF中， ， ∴△EBF≌△DCF（AAS）， ∴DC＝BE， ∴四边形BECD是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质. 【变式2】（2024春•柳南区校级期末）已知：如图，在四边形ABCD中，E是边BC的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，且AB＝BF，∠F＝∠CDE．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【分析】利用边角边定理证得△DEC≌△FEB，从而得到DC＝BF，∠C＝∠EBF，进一步得到AB∥DC，然后得到DC＝AB，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD为平行四边形即可． 【详解】证明：在△DEC与△FEB中， ， ∴△DEC≌△FEB（AAS）， ∴DC＝BF，∠C＝∠EBF， ∴AB∥DC， ∵AB＝BF， ∴DC＝AB， ∴四边形ABCD为平行四边形． 【点睛】考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 题型十 利用三角形的中位线求线段长度 解｜题｜技｜巧 在涉及线段长度计算的问题中，若出现两个中点或可构造中点，优先考虑使用三角形中位线定理：中位线平行且等于第三边的一半. 【典例1】（2024秋•温江区期末）如图，在Rt△ABC中，点D、E分别为BC、AC中点，若AE＝4，BD＝5，则AB的长为（　　） A．9 B．7 C．6 D．8 【答案】C． 【分析】根据直角三角形的性质得到AD＝BD＝5，根据三角形中位线定理得到DE∥AB，DE，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵点D是BC的中点，∠BAC＝90°， ∴AD＝BD＝5， ∵点D、E分别为BC、AC中点， ∴DE∥AB，DE， ∴DE⊥AC， ∴∠AED＝90°， ∴DE3， ∴AB＝2DE＝6， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【变式1】如图，在四边形中，点，分别是边，的中点，连接，若，，且，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理和勾股定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．连接，根据三角形中位线定理求出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接，如图： ∵点，分别是边，的中点， ∴，， ∵，， ∴， 即， 在中，． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，平分，是的中点，，，，则（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质定理，关键是作辅助线得到等腰三角形． 延长交的延长线于点，证明，则，即可求得的长，点E是的中点，求得的长，从而得到是中位线，即可求得的长． 【详解】解：延长交的延长线于点，如图， ， ， 平分， ， ∵， ∴ ， ∵是的中点， ∴是的中位线， ． 故选：A． 题型十一 利用三角形的中位线求角度 解｜题｜技｜巧 角形的中位线求角度的核心是“平行”带来的角关系转化——通过中位线与第三边平行，将未知角转化为已知角（如同位角、内错角），再结合等腰三角形、折叠对称或四边形内角和等知识求解。 【典例1】如图，BD是等腰△ABC底边AC边上的中线，ED∥AB，∠C＝65°，则∠BDE度数是（　　） A．24° B．25° C．30° D．35° 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠C＝65°，BD⊥AC，根据直角三角形的性质求出∠ABD，再根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：∵BA＝BC，BD是△ABC底边AC边上的中线， ∴∠A＝∠C＝65°，BD⊥AC， ∴∠ABD＝90°﹣65°＝25°， ∵ED∥AB， ∴∠BDE＝∠ABD＝25°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、直角三角形的性质、平行线的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键． 【变式1】（204秋•任城区校级期末）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC＝10，CD＝6，EF＝4，∠AFE＝52°，则∠ADC的度数为（　　） A．140° B．142° C．150° D．152° 【答案】B 【分析】连接BD，根据三角形中位线定理得到BD＝8，EF∥BD，根据平行线的性质求出∠ADB，根据勾股定理的逆定理求出∠BDC＝90°，计算即可． 【详解】解：如图，连接BD， ∵点E、F分别是边AB、AD的中点， ∴EF是△ABD的中位线， ∴BD＝2EF＝2×4＝8，EF∥BD， ∴∠ADB＝∠AFE， ∵∠AFE＝52°， ∴∠ADB＝52°， 在△BDC中，BD2+CD2＝82+62＝100，BC2＝102＝100， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝52°+90°＝142°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝58°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E、F分别是AD、AC的中点，则∠BEF的度数为 　 　． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质得到AE＝BE，根据点E、F分别是AD、AC的中点得到EF是△ADC的中位线，可得EF∥BC，分别求出∠BED和∠DEF的度数即可． 【解答】解：∵∠BAC＝58°，AD平分∠BAC， ∴∠BAD∠BAC＝29°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ADB＝90°﹣29°＝61°， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝BE， ∴∠BAD＝∠ABE＝29°， ∴∠BED＝∠BAD+∠ABE＝58°， ∵点E、F分别是AD、AC的中点， ∴EF∥BC， ∴∠ADB＝∠DEF＝61°， ∴∠BEF＝∠DEF+∠BED＝58°+61°＝119°， 故答案为：119°． 【点评】本题考查中位线的性质及直角三角形斜边上的中线性质，解题的关键是正确的处理已知条件中的两个中点． 题型十二 利用三角形的中位线求周长 解｜题｜技｜巧 利用三角形中位线求周长的关键是：原三角形的中点连线构成的新三角形（即“中点三角形”）的周长等于原三角形周长的一半. 【典例1】（25-26八年级上·湖南张家界·期末）如图，点D，E，F分别为三边的中点，若的周长为5，则的周长为（    ） A．12 B．10 C．5 D．2．5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质的应用，能根据三角形的中位线性质得出、、是解此题的关键．根据三角形的中位线性质得出，，，即可求出答案． 【详解】解：点、、分别为三边、、的中点， ，，， 的周长为5， ， ， 即的周长为. 故选：B． 【变式1】（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在中，是的中线，与相交于点O，点F、G分别是的中点，连接．若，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用，掌握定理是解题的关键；是的中线，得，由点F、G分别是的中点，得，从而有；同理得，即可求得四边形的周长． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵F是的中点，G是的中点， ∴， ∴， 同理， ∴四边形的周长． 故选：A． 【变式2】（2024秋•汉寿县期末）如图，在△ABC中，D是AC边的中点，且BD⊥AC，ED∥BC，ED交AB于点E，若AC＝4，BC＝6，则△ADE的周长为　 　． 【答案】8． 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AB＝BC＝6，根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出AE，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵D是AC边的中点，BD⊥AC， ∴BD是线段AC的垂直平分线，ADAC＝2， ∴AB＝BC＝6， ∵D是AC边的中点，ED∥BC， ∴点E是AB的中点，DEBC＝3， 在Rt△ADB中，点E是AB的中点， ∴DEAB＝3， ∴△ADE的周长＝AE+DE+AD＝8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 题型十三 利用三角形的中位线求面积 解｜题｜技｜巧 三角形中位线连接两边中点，若再连接另一组中点，可将原三角形分成4个全等的小三角形，全等三角形的面积相等，因此每个小三角形的面积是原三角形面积的. 【典例1】（2024秋•潜山市期末）如图，在△ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，若△ABC的面积是40，则四边形BDEF的面积是（　　） A．10 B．12.5 C．15 D．20 【答案】C． 【分析】根据三角形的中点的性质和三角形面积解答即可． 【详解】解：∵D、E、F分别是BC、AC、AD的中点， ∴S△ADES△ADC，S△ADCS△ABC，S△DEFS△ADE， ∴S△DEFS△ABC40＝5， ∵D、E、F分别是BC、AC、AD的中点， ∴S△ABDS△ABC40＝20， ∴S△BDFS△ADB20＝10， ∴四边形BDEF的面积＝S△BDF+S△DEF＝15， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，三角形面积问题，关键是根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分解答． 【变式1】如图，AM垂直∠ABC的平分线BM于点M，D为BC中点，连接MD，若△ABC的面积为4，则△BMD的面积为（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．3 【答案】A． 【分析】延长AM交BC于N，证明△AMB≌△NMB，根据全等三角形的性质得到AM＝NM，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：延长AM交BC于N， 在△AMB和△NMB中， ， ∴△AMB≌△NMB（ASA）， ∴AM＝NM， ∴S△AMB＝S△NMB，S△AMC＝S△NMC， ∴S△BMCS△ABC＝2， ∵D为BC中点， ∴S△BMDS△BMC＝1， 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质、三角形的中线的性质、三角形的面积公式，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． 【变式2】如图，在△ABC中，D为边AB的中点，过点D作DE∥BC交边AC于点E，P为边BC上一点，连结DP，DP，EP．若△ADE的面积为3，则图中阴影部分的面积为　 　． 【答案】6． 【分析】根据三角形中位线定理推出三角形DEP的面积以及四边形DECB的面积即可推出结果． 【详解】解：∵D为边AB的中点，过点D作DE∥BC交边AC于点E， ∴DE是ABC的中位线， ∴， ∴， ∴S△ABC＝4S△ADE＝12， ∴四边形DECB的面积＝12﹣3＝9， ∵DE是ABC的中位线， ∴△ADE与DEP同底等高， ∴S△DEP＝S△ADE＝3， ∴图中阴影部分的面积为9﹣3＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积，熟记三角形中位线定理是解题的关键． 题型十四 与三角形的中位线有关的证明 解｜题｜技｜巧 要解决与三角形中位线相关的证明问题，关键在于灵活运用“平行且等于第三边一半”的性质，并通过构造辅助线揭示隐藏关系. 【典例1】在中，点M是边的中点，平分，的延长线交于点E， ． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握相关性质是解题关键． （1）证明，即可求证； （2）根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点M是边的中点，， ∴是的中位线， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·贵州六盘水·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，延长至点，使，连接，． (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2) 【分析】（）由三角形中位线的性质可得，进而根据平行四边形的判定定理即可求证； （）根据中点定义可得，再根据平行四边形的性质解答即可求解； 本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵点是的中点，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴． 故答案为：且． 【变式2】（24-25八年级下·北京西城·期末）如图，在中，点D，E分别是，的中点，连接并延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，，若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明是△的中位线，得，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，进而证明，再证明四边形是平行四边形，然后由平行四边形的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：点，分别是，的中点， 是△的中位线， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ， 点是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 即线段的长为6． 题型十五 平行四边形的性质与判定的综合 解｜题｜技｜巧 利用平行四边形的性质对应边相等，可以求线段的长，图形的周长和面积，利用平行四边形的对应角相等可求角的度数，先通过证明四边形是平行四边形，然后直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题． 【典例1】如图所示，在梯形中， ，，，延长到点，使，连接． (1)证明是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定和性质，三角形内角和定理，等边对等角，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． （1）根据平行线的性质得出，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，根据平行线的判定定理得出，根据平行四边形的判定定理即可证明； （2）根据平行四边形的性质得出，求得，进而可求四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形． （2）解：由（1）知，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即四边形的面积是． 【变式1】如图，在▱ABCD中，∠C＝60°，M、N分别是AD、BC的中点． （1）求证：四边形MNCD是平行四边形； （2）若BC＝2CD，MN＝1，求BD的长． 【分析】（1）由平行四边形的在得AD＝BC，AD∥BC，再证MD＝NC，即可得出结论； （2）连接ND，由平行四边形的性质得DC＝MN＝1，再证△NCD是等边三角形，得ND＝NC＝DC＝1，∠CDN＝∠DNC＝60°，然后证∠BDC＝90°，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC． ∵M、N分别是AD、BC的中点， ∴MD＝NC． ∵MD∥NC， ∴四边形MNCD是平行四边形； （2）解：如图，连接ND， ∵四边形MNCD是平行四边形， ∴DC＝MN＝1． ∵N是BC的中点， ∴BN＝CNBC． ∵BC＝2CD， ∴CD＝CN． ∵∠C＝60°， ∴△NCD是等边三角形， ∴ND＝NC＝DC＝1，∠CDN＝∠DNC＝60°． ∵∠DNC是△BND的外角， ∴∠NBD+∠NDB＝∠DNC， ∵DN＝CN＝BN， ∴∠DBN＝∠BDN∠DNC＝30°， ∴∠BDC＝∠CDN+∠BDN＝90°， ∴BC＝2DC＝2， ∴BD． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【变式2】问题背景：如图，分别以的直角边及斜边向外作等边、等边．已知，垂足为，连接交于点． 探索求证： （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形； 深入探究： （3）当时，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）利用含30度角的直角三角形的性质，得到，利用等边三角形的性质，得到根据得到，即可得证； （2）根据等边三角形的性质，得到，进而得到，推出，等量代换得到，即可得证； （3）含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，证明，勾股定理求出的长，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）证明： 中，， ， 又是等边三角形，， ， ， ， ， ． （2）证明：是等边三角形， ， ， ∴， ， ， ， 四边形ADFE是平行四边形． （3）解：， 四边形是平行四边形， ， ， ． ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 题型十六 多边形的内角和 解｜题｜技｜巧 多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数），多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加1，内角和就增加180° . 【典例1】已知一个多边形的内角和为，则这个多边形为  （    ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【答案】B 【分析】本题考查多边形的内角和，设这个多边形为边形，根据多边形的内角和为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设这个多边形为边形，由题意，得： ， 解得：； ∴这个多边形为八边形； 故选B． 【变式1】如图，点A、B、C、D、E、F在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，若∠BCD＝110°，则∠A+∠B+∠D+∠E+∠F等于（　　） A．470° B．450° C．430° D．410° 【答案】A． 【分析】根据∠BCD＝110°得出∠BCF+∠DCF＝360°﹣110°＝250°，根据四边形内角和即可得出答案． 【解答】解：连接FC，如图所示： ∵∠BCD＝110°， ∴∠BCF+∠DCF＝360°﹣110°＝250°， ∵∠A+∠B+∠BCF+∠AFC＝360°，∠DCF+∠D+∠E+∠CFE＝360°， ∴∠A+∠B+∠D+∠E+∠AFE＝360°+360°﹣（∠BCF+∠DCF）＝720°﹣250°＝470°． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角以及四边形内角和，解题的关键是熟练掌握四边形内角和为360°． 【变式2】一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】首先求出截角后的多边形边数，然后再求原来的多边形边数．　 【详解】解：设截角后的多边形边数为n，则有：（n-2）×180°=1620°，解得：n=11， ∴由下面的图可得原来的边数为10或11或12： 故选D． 【点睛】本题考查多边形的综合运用，熟练掌握多边形的内角和定理及多边形的剪拼是解题关键． 题型十七 多边形内角和与外角和的实际应用问题 解｜题｜技｜巧 主要是利用多边形的内角和定理与外角和定理来解决实际应用问题. 【典例1】（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，小明从点出发沿直线前进12米到达点，向左转后又沿直线前进12米到达点，再向左转后沿直线前进12米到达点，．．．，照这样走下去，小明第一次回到出发点时所走的路程为（    ） A．120米 B．96米 C．72米 D．48米 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的边数的求法，多边形的外角和为；根据题意判断出小明走过的图形是正多边形是解题的关键． 根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用除以求出边数，然后再乘以12米即可． 【详解】解：∵小明每次都是沿直线前进12米后向左转45度， ∴他走过的图形是正多边形， ∴边数， ∴他第一次回到出发点A时，一共走了米． 故选B． 【变式1】一个机器人在平地上按如下要求行走，则该机器人从开始到停 止所行走的路程为多少米？（    ） A．9 B．12 C．24 D．45 【答案】C 【分析】本题考查了多边形内角与外角，熟练掌握多边形外角和是是解题的关键．根据多边形外角和是即可求出多边形的边数，再乘3即可得出答案． 【详解】解：， 即机器人从开始到停止围成的多边形为八边形， （米， 即该机器人从开始到停止所行走的路程为24米， 故选：C． 【变式2】图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是 从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于是解题的关键．根据多边形的外角和等于解答即可． 【详解】解：由多边形的外角和等于可知， ， 故选：C． 题型十八 多边形内角和与外角和的综合应用 解｜题｜技｜巧 综合运用多边形的内角和与外角和性质，常常是四边形的内角和以及三角形的内角和的综合运用，并且熟练运用平行线性质和角平分线的定义． 【典例1】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知直线与正五边形的边，分别相交于点，，形成夹角和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角和定理、正多边形的外角和定理，多边形的外角和均为，所以正五边形的每个外角的度数均为，所以正五边形的每个内角的度数为，根据四边形的内角和为，可得：，从而可得：． 【详解】解：五边形是正五边形， ， 在四边形中，， ，， ， 解得：． 故选：D． 【变式1】某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后深入思考，继续探究多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有的数量关系．    (1)如图1，与，之间的数量关系为______．若，，则______． (2)如图2，是四边形ABCD的外角，求证：． (3)若n边形的一个外角为，与其不相邻的内角之和为，则x，y与n的数量关系是______． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是掌握n边形的内角和公式：（且n为整数）． （1）根据三角形的内角和和邻补角的性质即可得出答案； （2）根据四边形的内角和和邻补角的性质即可得出结论； （3）根据n边形的内角和和邻补角的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵，， ∴ 故答案为：，； （2）证明：∵，， ∴， ∴． （3）解：∵n边形的某一个外角的度数是， ∴与这个外角相邻的内角是， ∵与这个外角不相邻的所有内角的和是， ∴， 整理得：， 故答案为：． 【变式2】如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，BE、CD交于G点． （1）如图1，若∠A＝90°， ①求证：∠EDG＝∠ABC； ②作DF平分∠ADC，如图2，求证：DF∥BG． （2）如图3，作DF平分∠ADC，在锐角∠BAD内部作射线AN，交DF于N，若∠AND﹣∠GBC的大小为45°，试说明：AN平分∠BAD． 【分析】（1）①根据四边形内角和得出∠ABC+∠ADC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，根据邻补角得出∠EDG+∠ADC＝180°，根据补角的性质即可得出结论； ②根据角平分线的定义结合∠ABC+∠ADC＝180°，得出，根据∠DFC+∠4＝90°，得出∠2＝∠DFC，根据平行线的判定得出DF∥BG； （2）延长AB、DF交于点M，求出∠DAN＝135°﹣∠2﹣∠3，∠BAN＝135°﹣∠2﹣∠3，证明∠DAN＝∠BAN，即可证明AN平分∠BAD． 【详解】证明：（1）①∵∠C＝90°，∠A＝90°， ∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∵∠EDG+∠ADC＝180°， ∴∠EDG＝∠ABC； ②∵BE平分∠ABC， ∴， ∵DF平分∠ADC， ∴， ∴， ∵∠C＝90°， ∴∠DFC+∠4＝90°， ∴∠2＝∠DFC， ∴DF∥BG； （2）延长AB、DF交于点M，如图所示： ∵∠AND﹣∠GBC＝45°， ∴∠AND＝∠2+45°， ∴∠DAN＝180°﹣∠AND﹣∠3 ＝180°﹣∠2﹣45°﹣∠3 ＝135°﹣∠2﹣∠3， ∵BE平分∠ABC， ∴， ∵DF平分∠ADC， ∴， ∵∠BFM＝∠CFD＝90°﹣∠4＝90°﹣∠3， ∴∠AMN＝∠ABC﹣∠BFM＝2∠2﹣90°+∠3， ∴∠BAN＝∠AND﹣∠AMN ＝45°+∠2﹣2∠2+90°﹣∠3 ＝135°﹣∠2﹣∠3， ∴∠DAN＝∠BAN， ∴AN平分∠BAD． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定，补角和余角的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是作出辅助线，数形结合． 题型十九 平面图形的镶嵌 解｜题｜技｜巧 解决平面图形的镶嵌问题，关键是判断在同一个拼接点处，多个图形的内角之和是否等于 360°，并且图形之间不留空隙、不重叠。对于正多边形，只需看其内角度数能否整除 360°. 【典例1】（24-25八年级下·山东青岛·期末）数学探究课上，某小组在用边长相同的正多边形纸板铺平面图形时，将两块正方形纸板和一块正三角形纸板绕点如图放置．若将一块正多边形纸板恰好无空隙、不重叠的拼在处，则这块正多边形纸板是（    ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【答案】B 【分析】本题考查了平面密铺的知识，正多边形的组合进行平面镶嵌，关键是位于同一顶点处的几个角之和为．从而可得，计算正多边形的外角，由此可得边数． 【详解】解：∵正三角形、正方边的内角分别为、， ∴， ∴这块正多边形纸板的边数是：． 故选：B． 【变式1】小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼 接处无空隙，不重叠．如图所示，是所拼的这个平面图形的一部分，则的值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】主要考查了平面镶嵌，掌握平面镶嵌的定义和正多边形的内角和公式是解题的关键．根据平面镶嵌的定义，求出正边形的一个内角的度数，再根据多边形的内角和公式即可求解出答案． 【详解】解：∵正五边形一个内角的度数为， ∴正m边形的一个内角的度数为， ∴， 解得． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·山东威海·期末）璐璐家准备用地砖铺地，已经购买了正八边形地砖，现打算购 买另一种不同形状的正多边形地砖，与正八边形地砖在同一顶点处做平面镶嵌．则可以购买的地砖形状是（　　） A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】B 【分析】本题考查平面镶嵌（密铺），正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为．正八边形的一个内角为，从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为，并以此为依据进行求解． 【详解】解：A、正八边形、正三角形内角分别为、，显然不能构成的周角，故不能铺满，选项不符合题意； B、正四边形、正八边形内角分别为、，由于，故能铺满，选项符合题意； C、正八边形的内角为，正五边形的内角为，显然不能构成的周角，故不能铺满，选项不符合题意； D、正六边形和正八边形内角分别为、，显然不能构成的周角，故不能铺满，选项不符合题意． 故选：B． 题型二十 平行四边形的折叠问题 解｜题｜技｜巧 折叠型问题就是把一个图形一部分沿某条直线折叠后，所形成的图形胃疼，这类问题既是对称问题的应用又可考查空间想象能力，平行四边形中的折叠问题是利用平行四边形的性质，以及三角形的全等、平行等知识在解决问题. 【典例1】如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于（　　） A．70° B．40° C．30° D．20° 【答案】B 【分析】由平行四边形与折叠的性质，易得CD∥MN∥AB，然后根据平行线的性质，即可求得∠DMN＝∠FMN＝∠A＝70°，又由平角的定义，即可求得∠AMF的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， 根据折叠的性质可得：MN∥AE，∠FMN＝∠DMN， ∴AB∥CD∥MN， ∵∠A＝70°， ∴∠FMN＝∠DMN＝∠A＝70°， ∴∠AMF＝180°﹣∠DMN﹣∠FMN＝180°﹣70°﹣70°＝40°． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、平行线的性质与折叠的性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系． 【变式1】如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1＝∠2＝36°，∠B 为（　　） A．36° B．144° C．108° D．126° 【答案】B 【分析】根据翻折可得∠B′AC＝∠BAC，根据平行四边形可得DC∥AB，所以∠BAC＝∠DCA，从而可得∠1＝2∠BAC，进而求解． 【详解】解：根据翻折可知：∠B′AC＝∠BAC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB， ∴∠BAC＝∠DCA， ∴∠BAC＝∠DCA＝∠B′AC， ∵∠1＝∠B′AC+∠DCA， ∴∠1＝2∠BAC＝36°， ∴∠BAC＝18°， ∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠2＝180°﹣18°﹣36°＝126°， 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换、平行四边形的性质，解决本题的关键是利用翻折的性质． 【变式2】如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上的一个点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′＝（　　）度． A．40 B．35 C．30 D．50 【答案】A． 【分析】由平行四边形的性质得∠B＝∠D＝50°，再由三角形的外角性质得∠AEC＝∠D+∠DAE＝70°，则∠AED＝110°，然后由折叠的性质得∠AED＝∠AED′＝110°，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D＝50°， ∵∠DAE＝20°， ∴∠AEC＝∠D+∠DAE＝50°+20°＝70°， ∴∠AED＝180°﹣70°＝110°， ∵将△ADE沿AE折叠至△AD′E处， ∴∠AED＝∠AED′＝110°， ∴∠FED′＝∠AED′﹣∠AEC＝110°﹣70°＝40°， 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换得性质和平行四边形的性质，求出∠AEC的度数是解题的关键． 题型二十一 平行四边形与平面直角坐标系的综合 解｜题｜技｜巧 在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点的坐标，求第四个顶点的坐标时，主要考查平行四边形的性质，坐标与图形性质，解题时，利用了平行四边形的对边相等且平行的性质，对角线互相平分，有时需要分情况讨论． 【典例1】在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，B，D的坐标分别是，，则顶点C的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行四边形性质及坐标与图形，根据平行四边形的性质得出，，再根据点的坐标求出点C的坐标即可． 【详解】解：∵平行四边形的顶点A、B、D的坐标分别是，， ∴， ∴点C的横坐标，纵坐标点D的纵坐标， 即点C的坐标是， 故选：C． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，已知点A，C．若四边形是平行四边形，则点B的 坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形，熟知平行四边形的性质是解题的关键； 根据四边形是平行四边形可得，再由A、C的坐标即可得解. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵A，C，， ∴点B的坐标为； 故选：C. 【变式2】（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形三个顶点坐标 分别为，，，则顶点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，设点，由平行四边形的性质可得，，即可求解，掌握平行四边形的性质是本题的关键． 【详解】解：设点， ∵四边形是平行四边形，点，点，点， ∴，， ∴，， ∴点， 故选：A． 题型二十二 平行四边形的判定与动点运动问题 解｜题｜技｜巧 运用数形结合的思想，化动为静，根据题意结合平行四边形的性质、判定列出方程，进行相关的计算或证明，解决有关平行四边形中的动点问题. 【典例1】（2024春•莲池区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝18 cm，BC＝15 cm，点P在AD边上以每秒2 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒1 cm的速度从点C向点B运动，当一点到达终点停止运动时，另一点也停止运动，则运动时间为 　 秒时，直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形． 【答案】5或6． 【分析】由题意可得AD∥BC，分BQ＝AP或CQ＝PD两种情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：设点P运动了t秒， ∴CQ＝tcm，AP＝2tcm，BQ＝（15﹣t）cm，PD＝（18﹣2t）cm， ①当BQ＝AP时，且AD∥BC，则四边形APQB是平行四边形， 即15﹣t＝2t， ∴t＝5； ②当CQ＝PD时，且AD∥BC，则四边形CQPD是平行四边形， 即t＝18﹣2t， ∴t＝6， 综上所述：当直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形时，点P运动了5秒或6秒， 故答案为：5或6． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用． 【变式1】（2024春•梁平区期末）如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝　 s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 【答案】2或6． 【分析】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE＝CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm， 则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm）， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形， 即t＝6﹣2t， 解得：t＝2； ②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm， 则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm）， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形， 即t＝2t﹣6， 解得：t＝6； 综上可得：当t＝2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 故答案为：2或6． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用． 【变式1】（2024秋•任城区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒2.5cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为t s，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】B． 【分析】由四边形ABCD为平行四边形可得出PD∥BQ，结合平行四边形的判定定理可得出当PD＝BQ时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，分三种情况考虑，在每种情况中由PD＝BQ即可列出关于/的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴PD∥BQ． 若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ． 设运动时间为t． 当0＜t≤4时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝2.5t，BQ＝10﹣2.5t， ∴10﹣t＝10﹣2.5t， 1.5t＝0， ∴t＝0（舍去）； 当4＜t≤8时，AP＝t，PD＝10﹣t，BQ＝2.5t﹣10， ∴10﹣t＝2.5t﹣10， 解得：t； 当8＜t≤10时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝2.5t﹣20，BQ＝30﹣2.5t， ∴10﹣t＝30﹣2.5t， 解得：t（舍去）； 综上所述，t的值为时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用，分三种情况列出关于t的一元一次方程是解题的关键． 题型二十三 平行四边形的最值问题 解｜题｜技｜巧 平行四边形中最值问题的核心解题技巧是“化动为静”，常用方法包括轴对称转化（将军饮马）、垂线段最短、三点共线取最小值以及利用几何变换构造辅助图形. 【典例1】如图，在▱ABCD中，AB＝2，AB⊥AC，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为（　　） A．4 B．3 C．4 D．2 【答案】B． 【分析】取BC的中点G，连接AG．首先证明∠BAC＝90°，作点B关于AC的对称点F，连接CF，作FE⊥BC于E，则FE的长即为PB+PQ的最小值， 【详解】解：取BC的中点G，连接AG． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠D＝60°， ∵AB⊥AC，AB＝2， ∴∠ACB＝30°， ∴BC＝2AB＝4， ∵AB＝BG＝2，∠ABG＝∠D＝60°， ∴△ABG是等边三角形， ∴AG＝GC＝2，∠AGB＝∠BAG＝60°， ∴∠GAC＝∠GCA＝30°， ∴∠BAC＝90°，作点B关于AC的对称点F，连接CF，作FE⊥BC于E， ∵CF＝CB，∠CBF＝60°， ∴△BCF是等边三角形， ∵PB＝PF， ∴PB+PQ＝FP+PQ≤FE， 则EF的长即为PB+PQ的最小值（垂线段最短）， ∵EF4＝2， ∴BP+PQ的最小值为2． 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题、等边三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称，根据垂线段最短解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 2．（2024•瑶海区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，ABAD，E是AB的中点，P是边AD上的一动点，若AD＝2，则PE+PB的最小值为（　　） A．2 B．2 C． D．2 【答案】C． 【分析】如图，作点E关于AD的对称点E′，连接AE′，BE′，BE′交AD于点P，连接PE，此时PE+PB的值最小．利用勾股定理求出BE′，可得结论． 【详解】解：如图，作点E关于AD的对称点E′，连接AE′，BE′，BE′交AD于点P，连接PE，此时PE+PB的值最小． ∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝90°， ∵ABAD， ∴∠DAB＝45°， ∴AD＝BD＝2，AB＝2， ∵AE＝EB，E，E′关于AD对称， ∴∠PAE′＝∠PAE＝45°，AE′＝AE， ∴BE′， ∴PE+PB的最小值＝PB+PE′＝BE′， 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 【变式1】如图，∠AOB＝30°，OB＝4，点P为射线OA上任意一点，连接PB．以PO、PB为邻边作平行四边形POQB，连接PQ，则线段PQ的最小值为 　 　． 【答案】2． 【分析】当PQ⊥OA时，PQ最短，利用平行四边形的性质和菱形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵四边形PBQO是平行四边形， ∴PH＝HQ，OH＝HB， 当PQ⊥OA时，PQ最短， ∵∠AOB＝30°，OB＝4， ∴OH＝2， ∴PQ＝2PH＝2， 故答案为：2． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是利用平行四边形的性质和菱形的判定和性质解答． 题型二十四 平行四边形的综合问题 解｜题｜技｜巧 运用数形结合的思想，化动为静，根据题意结合平行四边形的性质、判定列出方程，进行相关的计算或证明，解决有关平行四边形中的动点问题. 【典例1】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）【问题呈现】 如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，点落在边上的点处，连接．（点的对应点分别是点） 【初步发现】 （1）如图1，五边形的内角和的度数为__________°，外角和的度数为__________°； 【求知探究】 （2）求证：平分； 【拓展延伸】 （3）如图2，，，当三点在同一条直线上时，求的面积． 【答案】（1）540，360；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由多边形内角和定理即可得出答案；由多边形的外角和定理即可得出五边形的外角和的度数； （2）根据平行四边形性质得，则，由旋转的性质得，进而得，由此得，据此即可得出结论； （3）过点C作于点H，由旋转性质得，，进而得，由B，E，F三点在同一条直线上得，进而得，由（2）可知，则，由此得，再根据等腰三角形性质得，继而由勾股定理得，然后由三角形面积公式即可求出的面积， 【详解】解：（1）由多边形内角和定理得：五边形的内角和的度数， ∵多边形的外角和等于， ∴五边形的外角和的度数为 故答案为：540，360； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴平分， （3）过点C作于点H，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴ ∵将绕点按顺时针方向旋转得到，，， ∴ ∴ ∵当三点在同一条直线上 ∴ ∴ 由（2）可知，， ∴， ∴， 则， 在中，，， ∴，， 在中，，， 则， ∴，， ∴的面积． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，多边形内角与外角，图形的旋转变换及其性质，理解平行四边形的性质，熟练掌握多边形内角和定理与外角和的性质，图形的旋转变换及其性质，等腰三角形，平行线的性质是解决问题的关键． 【变式1】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点在线段上，且为的中点，连接． (1)求证：； (2)若分别是的中点，连接，，交于点，． ①求证：是等腰三角形； ②若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定、三角形中位线定理、等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定以及三角形中位线定理是解题的关键． （1）利用平行四边形对角线互相平分及已知条件得出等腰三角形，再结合等腰三角形性质和角度关系证明； （2）①利用三角形中位线定理及平行四边形性质即可证明；②利用平行四边形的判定证明四边形是平行四边形求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴．，， ∵，， ∴， ∴． ∵为中点， ∴． 又∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）①证明：∵是中点，是中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴是等腰三角形． ②解：∵四边形是平行四边形， ∴．， ∵是的中位线， ∴，， 又∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【变式2】已知，在中，点是边的中点． (1)【问题解决】 如图1，将沿折叠得到，请直接写出与的数量关系___________； (2)【问题探究】 如图2，在（1）的条件下，连接，请判断与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图3，点是边上一点，将沿折叠得到，点落在边下方，连接，当时，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）由折叠的性质和中点直接可得出； （2）观察和，发现它们是一组内错角，所以证出即可，折叠会出现边相等、角相等，特别是有平角的关系需要利用，由折叠得到，由平角得，再利用关系推导即可得证； （3）由折叠可知，所以过C作构造平行四边形，从而再证即可得证. 【详解】（1）解：由折叠的性质得， ∵点是边的中点， ∴， ∴. （2）解：，理由如下： 设，则， 由折叠的性质得：， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴， ∴. （3）解：，理由如下： 过C作，交于点G， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（2）知， ∴， ∴，， ∵折叠性质， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·河北承德·期末）根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐一判断选项即可． 本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、 根据题意，得， 故，不平行，不是平行四边形，不符合题意；     B、根据题意，只有一组平行的对边，故不是平行四边形，不符合题意；     C、根据题意，得一组对边平行且相等，故一定是平行四边形，符合题意；     D、 根据题意，只有一组对边相等，无法判定是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 2．（2024秋•周村区期末）如图，在平行四边形ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若∠C＝70°，则∠BAE＝（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【分析】由等腰三角形的性质得∠DBC＝∠C＝70°，则∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝40°，再由平行四边形的性质得AB∥CD，则∠ABE＝∠BDC＝40°，然后由直角三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：∵BD＝CD，∠C＝70°， ∴∠DBC＝∠C＝70°， ∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABE＝∠BDC＝40°， ∵AE⊥BD， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝90°﹣∠ABE＝90°﹣40°＝50°， 故选：A． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 3．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，在四边形中，，则添加下列条件，可使四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质．由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、由，，不能判定四边形为平行四边形，还有可能是等腰梯形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴， 不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； C、由，，不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； D、∵ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，将绕顶点A按顺时针方向旋转得到，当首次经过点D时，旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，等边对等角． 根据平行四边形的性质得到，由旋转的性质得到，，根据等边对等角得到，即可求出旋转角的度数． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵绕顶点A按顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 故选：C 5．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）若一个正多边形的每个外角是，则它共有几条对角线（    ） A．9 B．6 C．18 D．12 【答案】A 【分析】本题考查正多边形的性质，多边形的外角和定理和对角线的数量，掌握多边形的外角和定理和对角线数量的公式是解题的关键． 先根据正多边形外角和为360°，求出边数n，再利用对角线公式计算． 【详解】正多边形每个外角为60°，外角和为360°，故边数 ． 正n边形的对角线总数为 ．代入 ，得： 因此，该正六边形共有9条对角线， 故选：A． 6．如图，在▱ABCD中，∠B＝40°，AB＝AC，将△ADC沿对角线AC翻折，AF交BC于点E，点D的对应点为点F，则∠AEC的度数是（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 【答案】C． 【分析】易知AD∥BC，∠B＝∠ACB＝40°，由平行线的性质得∠DAC＝∠ACB＝40°，由折叠的性质得∠DAC＝∠FAC＝40°，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∵∠B＝40°，AB＝AC，且AD∥BC， ∴∠B＝∠ACB＝40°，∠BAD＝140°， ∴∠DAC＝∠ACB＝40°， 由折叠的性质可知，∠DAC＝∠FAC＝40°， ∴∠AEC＝180°﹣（∠ACB+∠FAC）＝180°﹣（40°+40°）＝100°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、折叠的性质，灵活运用所学知识解决问题是解题关键． 7．如图，在△ABC中，AB＝BC＝14，BD是AC边上的高，垂足为D，点F在边BC上，连接AF，E为AF的中点，连接DE，若DE＝5，则BF的长为（　　） A．3 B．6 C．5 D．4 【答案】D． 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”得到AD＝DC，根据三角形中位线定理计算得到答案． 【详解】解：∵BC＝14， ∴FC＝BC﹣BF＝14﹣BF． ∵AB＝BC，BD⊥AC， ∴AD＝DC， ∵AE＝EF， ∴DE是△AFC的中位线， ∴DEFC＝5． ∴FC＝10． ∴14﹣BF＝10． ∴BF＝4． 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 8．（2024春•尉氏县月考）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，BC＝BD，E是CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，则下列结论：①BC∥AF； ②四边形BDFC是平行四边形；③BD＝DF；④BE＝BD．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据∠A＝∠ABC＝90°，可得BC∥AF，得出内错角相等，证明△BCE≌△FDE，可判断BC∥DF且BC＝DF，从而得出四边形BDFC为平行四边形；进而证得四边形BDFC是菱形，得到BD＝DF，BF⊥CD，根据直角三角形的斜边大于直角边得到BD＞BE． 【解答】解：∵∠A＝∠ABC＝90°， ∴∠A+∠ABC＝180°， ∴BC∥AF，故①正确； ∵AF∥BC， ∴∠DCB＝∠CDF，∠FBC＝∠BFD， 又DE＝EC， ∴△BCE≌△FDE（AAS）， ∴DF＝BC， 又∵DF∥BC， ∴四边形BDFC为平行四边形，故②正确； ∵四边形BDFC为平行四边形，BC＝BD， ∴四边形BDFC是菱形， ∴BD＝DF，故③正确； ∵四边形BDFC是菱形， ∴BF⊥CD， ∴∠BED＝90°， ∴BD＞BE，故④错误． ∴正确的结论为①②③， 故选：C． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 9．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为：A（﹣2，1），B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1）．若以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，那么点D的坐标是 ． 【答案】（﹣6，1）或（2，1）或（0，﹣3） 【分析】如图，首先易得点D纵坐标为1，然后根据平行四边形性质和全等三角形的性质易得点D横坐标为2；同理易得另外两种情况下的点D的坐标． 【详解】解：如图，过点A、D作AE⊥BC、DF⊥BC，垂足分别为E、F， ∵以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形， ∴AD∥BC， ∵B（﹣3，﹣1）、C（1，﹣1）； ∴BC∥x轴∥AD， ∵A（﹣2，1）， ∴点D纵坐标为1， ∵▱ABCD中，AE⊥BC，DF⊥BC，易得△ABE≌△DCF， ∴CF＝BE＝1， ∴点D横坐标为1+1＝2， ∴点D（2，1）， 同理可得，当D点在A点左侧时，D点坐标为（﹣6，1）；当D点在C点下方时，D点坐标为（0，﹣3）； 综上所述，点D坐标为（﹣6，1）或（2，1）或（0，﹣3）， 故答案为：（﹣6，1）或（2，1）或（0，﹣3）. 【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质和平行四边形的性质，注意要分情况求解． 10．如图，将平行四边形ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．若平行四边形ABCD周长为20，则△ABE周长为（　　） A．1 B．5 C．10 D．20 【答案】C． 【分析】由平行四边形ABCD是周长为20，推出AB+AD＝10，利用翻折变换的性质，推出△ABE的周长等于AB+AD，即可解决问题． 【详解】解：∵平行四边形ABCD是周长为20， ∴AB+AD＝10， 由翻折可知：EB＝DE， ∴△ABE的周长＝AB+AE+EB＝AB+AE+ED＝AB+AD＝10， 故选：C． 【点睛】本题考查翻折变换，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握翻折的性质，得出△ABE的周长等于AB+AD，属于中考常考题型． 11．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在中，，，是边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，交于点，过点作于点，连接，勾股定理求得，等面积法求得，根据垂线段最短，当点与点，重合时，最小，进而求得的最小值，即可求解． 【详解】解：设，交于点，过点作于点，连接，如图所示， 在平行四边形中，，， ， 是等腰三角形， ， ， ， 在中，， ， ， 当点与点重合时，最小， 的最小值为． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三线合一、勾股定理解直角三角形、垂线段最短，解题关键是利用等面积法求解． 12．（2024春•五华县期末）如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③EG＝EF；④BF平分∠GFE．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【分析】①根据平行四边形性质及BD＝2AD得OB＝BC，再根据点E为OC的中点得BE⊥AC，由此可对结论①进行判断； ②证明EF为△OCD的中位线得EF∥CD∥AB，EF＝1/2CD，再根据点G为AB的中点得BGAB，由此得EF＝BG，由此可对结论②进行判断； ③根据BE⊥AC，点G为AB的中点得EGAB，再根据EF＝BGAB可对结论③进行判断； ④假设BF平分∠GFE，则平行四边形BEFG为菱形，进而得△BEG为等边三角形，则∠GBF＝∠EBF＝30°，再根据OB＝BC，点E为OC的中点得∠CBE＝∠EBF＝30°，由此得∠ABC＝90°，此时四边形ABCD为矩形，与四边形ABCD是平行四边形相矛盾，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD交于点O， ∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，OA＝OC，OB＝ODAD， ∵BD＝2AD， ∴ADBD， ∴OB＝BC， ∵点E为OC的中点， ∴BE⊥AC， 故结论①正确； ②∵点E为OC的中点，点F为OD的中点， ∴EF为△OCD的中位线， ∴EF∥CD，EFCD， ∵AB∥CD，AB＝CD， ∴EF∥AB，EFAB， ∵点G为AB的中点 ∴BGAB， ∴EF＝BG， ∴四边形BEFG为平行四边形， 故结论②正确； ③∵BE⊥AC，点G为AB的中点， ∴EG为Rt△ABE的斜边AB上的中线， ∴EGAB， ∵EF＝BGAB， ∴EG＝EF， 故结论③正确； ④假设BF平分∠GFE， ∵四边形BEFG为平行四边形， ∴平行四边形BEFG为菱形， ∴BG＝BE＝EF， ∵EG＝EF， ∴BG＝BE＝GE， ∴△BEG为等边三角形， ∴∠GBE＝60°，即∠GBF＝∠EBF＝30°， ∵OB＝BC，点E为OC的中点， ∴∠CBE＝∠EBF＝30°， ∴∠ABC＝∠GBE+∠CBE＝90°， 则四边形ABCD为矩形，这与四边形ABCD是平行四边形相矛盾， ∴假设是错误的， 故结论④不正确， 综上所述：正确的结论是①②③． 故选：A． 【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，准确识图，熟练掌握平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理是解决问题的关键． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 13．如图，四边形ABCD中，点E和点F和分别为边CD和BC上的点，并且∠ABC＝∠1，∠A+∠2＝180°． （1）请判断直线AD和直线BE的位置关系，并证明你的结论； （2）若BE是∠ABC的角平分线，AD⊥CD，∠FEC＝55°，求∠EBF的度数． ​ 【分析】（1）根据三角形的外角性质得出∠1＝∠2+∠EBF，结合题意得到∠ABE＝∠2，进而得到∠ABE+∠A＝180°，即可判定AD∥BE； （2）根据“两直线平行，同位角相等”得到∠BEC＝90°，继而得出∠2＝35°，由（1）知∠ABE＝∠2，根据角平分线的定义得出∠EBF＝35°． 【详解】解：（1）AD∥BE，理由如下： ∵∠1＝∠2+∠EBF，∠ABC＝∠EBF+∠ABE，∠ABC＝∠1， ∴∠ABE＝∠2， ∵∠2+∠A＝180°， ∴∠ABE+∠A＝180°， ∴AD∥BE； （2）∵AD⊥CD， ∴∠D＝90°， ∵AD∥BE， ∵∠BEC＝∠D＝90°， ∵∠FEC＝55°， ∴∠2＝∠BEC﹣∠FEC＝35°， 由（1）知，∠ABE＝∠2， ∴∠ABE＝35°， ∵BE是∠ABC的角平分线， ∴∠EBF＝∠ABE＝35°． 【点睛】此题考查了多边形的内角与外角、平行线的判定，熟记三角形的外角性质是解题的关键． 14．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在四边形中，E是的中点，交于点F，，连接 (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 对于，根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，进而得证； 对于，首先推导出，在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ， 是的中位线， ， ， ， 四边形为平行四边形， ； （2）解：由知，是的中位线，四边形为平行四边形， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得： 15．如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA＝OB，E、F分别是OC，OD中点． （1）求证：OD＝OC． （2）求证：四边形AFBE平行四边形． 【分析】（1）利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质即可得解． （2）此题已知OA＝OB，要证四边形AFBE是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE＝OF就可以了． 【详解】证明：（1）∵AC∥BD， ∴∠C＝∠D， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（AAS）， ∴OD＝OC； （2）∵OD＝OC， ∵E、F分别是OC、OD的中点， ∴OFOD，OEOC， ∴EO＝FO， 又∵OA＝OB， ∴四边形AFBE是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． 16．（2024春•市北区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，，其中BD是AC边上的高．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），解答下列问题： （1）线段BP＝　 　cm，AM＝　 　cm（用含t的代数式表示）； （2）求AD的长； （3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？ 【分析】（1）根据题意，列出代数式即可； （2）设AD＝x，由勾股定理求出AD即可； （3）分两种情况：①当点M在点D的上方时，PQ＝BP＝t cm，AM＝4t cm，AD＝6cm，得出MD＝AD﹣AM＝（6﹣4t）cm，由PQ∥MD，当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可； ②当点M在点D的下方时，PQ＝BP＝t cm，AM＝4t cm，AD＝6cm，得出MD＝AM﹣AD＝（4t﹣6）cm，由PQ∥MD，当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）由题意，得：BP＝t cm，AM＝4t cm； 故答案为：t，4t； （2）设AD＝x cm，则：CD＝（10﹣x）cm， ∵BD是AC边上的高， ∴∠ADB＝∠CDB＝90°， ∴BD2＝AB2﹣AD2＝BC2﹣CD2， ∴， 解得：x＝6； ∴AD＝6cm； （3）分两种情况：①当点M在点D的上方时， 由题意得：PQ＝BP＝t cm，AD＝6cm， ∴MD＝AD﹣AM＝（6﹣4t）cm． ∵PQ∥AC， ∴PQ∥MD， ∴当PQ＝MD，即当t＝6﹣4t时，四边形PQDM是平行四边形， 解得t＝1.2； ②当点M在点D的下方时， 根据题意得：PQ＝BP＝t cm，AM＝4t cm，AD＝6cm， ∴MD＝AM﹣AD＝（4t﹣6）cm． ∵PQ∥AC， ∴PQ∥MD， ∴当PQ＝MD时，即当t＝4t﹣6时，四边形PQMD是平行四边形， 解得t＝2． 综上所述，当t＝1.2或t＝2时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，列代数式以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定和等腰三角形的判定是解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $