专题03 整式及其加减（期末复习讲义，11知识点+26题型）六年级数学上学期新教材鲁教版五四制

该初中数学期末复习讲义通过表格系统梳理整式及其加减的9个核心考点，明确复习目标与考情规律，按“代数式概念-整式运算-规律探索”递进模块呈现知识点，构建清晰知识脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于26个分层题型设计，如“整式加减解决实际问题”培养应用意识，“图形变化规律”发展创新意识，配套解题技巧指导运算能力。分层练习助不同学生提升，教师可据此实施精准教学。

专题03 整式及其加减（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1. 用字母表示数及代数式的概念 能列代数式表示简单数量关系，掌握代数式书写规范 选择题、填空题高频考点，难度低 2. 单项式的定义、系数与次数 能判断单项式，正确指出其系数（含符号）和次数 选择题、填空题常考，易混淆系数和次数，难度低 3. 多项式的定义、项、常数项与次数 能识别多项式的项和常数项，确定多项式的次数 选择题、填空题基础题，难度低 4. 整式的定义（单项式和多项式的统称） 能区分整式与非整式 选择题基础题，难度低 5. 同类项的定义（所含字母相同，相同字母指数也相同） 能准确识别同类项，不受系数影响 选择题、填空题常考，是合并同类项的基础，难度低 6. 合并同类项法则（系数相加，字母及指数不变） 熟练合并同类项，化简多项式 解答题基础题型，难度中等 7. 去括号法则（括号前是“+”不变号，是“-”全变号） 能准确去括号，避免符号错误 解答题核心考点，符号失误是常见失分点，难度中等 8. 整式的加减运算（去括号+合并同类项） 掌握整式加减步骤，能熟练化简并代入求值 解答题必考题型，分值占比高，难度中等 9. 探索与表达规律 能根据已知条件发现数量或图形的规律，用代数式表示 选择题、填空题压轴题，难度中等偏上 知识点01 代数式 1.代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫作代数式. 2.单独的一个数或字母也是代数式，例如，2，t都是代数式. 3.代数式的书写要求： 类型 书写规定 示例 数与字母相乘或字母与字母相乘. 通常将乘号写作“·”或省略不写.相同字母写成幂的形式. （1）如2×m写成2·m或2m. （2）如m×n写成m·n或m n. m·m写成m2. 数字因数是1或-1. “1”常省略不写. 如1×a写成a，﹣1×a写成﹣a. 带分数与字母相乘. 将带分数化成假分数. 如 t 应写成 t. 除法运算. 用分数线. 如2÷x（x≠0）应写成. 代数式是和或差的形式且后面有单位. 把式子用括号括起来. 如（a﹣b）千克. 知识点02 列代数式 1、列代数式：在解决一些数学问题与实际问题时，需要先把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是列代数式. 2、列代数式的步骤： (1)分析条件，找出数量关系. (2)用含有数、字母和运算符号的式子表示出来. 知识点03 代数式的值 1、代数式的值：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值.当字母取不同的数值时，代数式的值一般也不同. 2、求代数式的值：（1）直接求代数式的值；（2）利用公式求代数式的值. 3、常用的几何图形公式： 4、求代数式的值的步骤： ①代入 . ②计算. ③验证. 知识点04 单项式相关概念 1、单项式：由数或字母的积组成的代数式叫作单项式. 单独的一个数或一个字母也是单项式. ◆2、单项式的系数：单项式中的数字因数. ◆3、单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和. 知识点05 多项式相关概念 ◆1、多项式：几个单项式的和叫作多项式. ◆2、多项式的项：每个单项式叫作多项式的项. ◆3、多项式的次数：次数最高项的次数. ◆4、常数项：不含字母的项. 知识点06 同类项 ◆1、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项. ◆2、合并同类项法则： 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变. ◆3、合并同类项的一般步骤： (1)找：找出同类项，当项数较多时，通常在同类项的下面做相同的标记. (2)换：运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项结合. (3)合：利用分配律，合并同类项. (4)写：写出合并后的结果并按某一个字母的降幂(或升幂)排列. 知识点07去括号 去括号法则： 1.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 2.如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 知识点08 整式的加减 ◆1、整式加减计算的一般步骤：如果有括号的先去括号，再合并同类项. ◆2、求整式的值的一般步骤：先将式子化简，再代入数值进行计算. 知识点09 数与式的变化规律 ◆1、 数与式的规律问题: 从给定的几个数与式入手，观察数与数之间的规律及式子本身存在的规律，分别进行横向、纵向的比较，找出其中的不变部分与变化部分，确定数和式子与序号之间的关系，找出变化规律. ●若是一列整数，则可考虑相邻两数的和、差、积、商等方面的规律，也可以是奇、偶、平方等方面的规律； ●若是等式，则可将每个等式对应写好，然后比较每一行、每一列数字之间的关系，从而找出规律； ●若是分数，则可分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系． 知识点10 图形的变化规律 ◆图形的变化规律问题: 观察、分析图形特点，挖掘相邻两个图形间的增减变化关系，有时也可将图形进行分割，从不同角度分析图形的变化特点，从中找出规律，大胆猜想，用恰当的代数式表示规律并加以验证． 知识点11 日历中的规律 ◆1、在日历中，方框中的9个数之和是最中间数的9倍．如果用a表示正中间的数，这9个数的和等于9a． ◆2、任意一行或列的相邻三个数的和等于最中间数的3倍．设最中间的数为a，则任意一行或列的相邻三个数的和为3a． 题型一 代数式及其意义 解｜题｜技｜巧 1、用运算符号把数与字母连接而成的，叫做代数式．单独的一个数或者一个字母也是代数式． 2、代数式的实际意义就是将代数式中的数字、字母及运算符号赋予具体的含义． 【典例1】（24-25七年级上·河南南阳·期末）在式子、a、1、、中，代数式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查代数式的识别，用运算符号将数字和字母进行连接的式子叫做代数式，据此进行判断即可． 【详解】解：在式子、a、1、、中，、a、1、是代数式，共4个；是等式，不是代数式， 故选C． 【变式1】（23-24六年级上·山东烟台·期末）下列各式：①；②；③；④；其中，不符合代数式书写要求的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据代数式书写规范要求逐项分析判断即可求解． 【详解】解：根据代数式书写规范要求可知：①中代数式应写为；②数与数相乘不能用“”连接；符合书写规范要求的有：③20%x；④ ；共计2个. 故选：B． 【点睛】本题考查了代数式书写规范：①数和字母相乘，可省略乘号，并把数字写在字母的前面；②字母和字母相乘，乘号可以省略不写或用 示． 一般情况下，按个字母的顺序从左到右来写；③后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来；④除法运算写成分数形式，即除号改为分数线；⑤带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式；⑥当与任何字母相乘时，省略不写；当乘以字母时，只要在那个字母前加上号． 【变式2】下列说法中，正确的是（   ） A．，，，的积用代数式表示为 B．是代数式，1不是代数式 C．的意义是的2倍与的差的 D．与两数的平方和用代数式表示为 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的定义，列代数式，代数式的书写，根据代数式的定义，以及代数式的书写，以及根据题意列出对应的代数式，然后进行判断即可．熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：A、，，，的积用代数式表示为，故选项错误，不符合题意； B、是代数式，1是代数式，故选项错误，不符合题意； C、的意义是的2倍与的的差，故选项错误，不符合题意； D、与两数的平方和用代数式表示为，故选项正确，符合题意； 故选D． 题型二 列代数式 解｜题｜技｜巧 把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． 【典例1】万山悬崖泳池是网红打卡点．若泳池原有水20立方米，现打开进水管匀速进水，每小时进水立方米，小时后泳池中有水（　　）立方米． A． B．at C． D． 【答案】A 【分析】本题考查匀速进水问题．熟练掌握：总水量 = 原有水量 + 进水总量，进水总量 = 进水速度 × 时间，是解题的关键． 泳池总水量由原有水量和进水量组成，进水量为进水速率乘以时间． 【详解】∵原有水量为20立方米，进水速率为a立方米/小时，时间为t小时， ∴进水量为立方米， ∴总水量为立方米． 故选：A． 【变式1】如图，下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查列代数式，解题的关键是理解题意；因此此题可根据图形及代数式的意义进行求解即可． 【详解】解：由图可知：阴影部分的面积为或或， 所以不能表示阴影部分面积的只有C选项； 故选C． 【变式2】一件运动衣的成本价为元，先按成本提高后标价，再按标价的折出售，这件运动衣的售价是 元． 【答案】 【分析】​此题考查了字母表示数的方法，弄清百分数乘法的意义是解本题的关键． 首先根据百分数乘法的意义，求出这件运动衣先按成本提高后的标价是多少；然后用标价乘以，求出这件运动衣的售价是多少，化简即可． 【详解】解：由题意可得：运动衣先按成本提高后的标价为：， 再按标价的折出售的售价是：， ∵， 答：这件运动衣的售价是元． 故答案为：． 题型三 求代数式的值 解｜题｜技｜巧 求代数式的值就是将具体的数值代入到代数式中，并按照一定的运算规则进行计算即可解答. 【典例1】 当时，代数式的值为（  ） A． B．8 C． D．32 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式求值，把代入代数式求值即可． 【详解】解：把代入得： 原式 ． 故选：A． 【变式1】（24-25六年级上·山东淄博·期末）当时，多项式的值为8；则当时，该多项式的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式求值，熟练掌握多项式恒等变形，整体代入求值是解决此题的关键．变形整理后代入求值即可． 【详解】解：时，， ， ， 当时， ， 故选：A． 【变式2】已知互为相反数，互为倒数，x的绝对值是2，求的值（   ） A． B．7 C．3或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值，相反数，倒数和绝对值．根据相反数，倒数和绝对值的定义得到，再分和两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2， ∴， 当时， ； 当时， ； 综上所述，的值为或． 故选：D． 题型四 根据程序图求代数式的值 解｜题｜技｜巧 在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号． 【典例1】（24-25六年级上·山东东营·期末）按照如图所示的运算程序，下列输入的数据中，能使输出的结果为的是（   ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的求值．把每个选项的的值代入符合条件的代数式，进行计算，即可作答． 【详解】解：当，时，则，不符合题意； 当，时，则有，不符合题意； 当，时，则有，不符合题意； 当，时，则有，符合题意． 故选：D． 【变式1】（24-25六年级下·山东烟台·期末）按如图所示的程序进行计算，若输出y的值为4，则输入x的值为（   ） A．3 B．2 C． D．或2 【答案】A 【分析】此题考查了根据程序框图由函数值确定自变量的知识，读懂题意，准确计算是解题关键． 本题序框图由函数值确定自变量的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：∵输出y的值为4， ∴分两种情况：①，②， ①，求得：， ∵， ∴不符合题意， ②，求得：， 符合题意，不符合题意； 故选：A； 【变式2】根据如图的计算程序，若输入x的值为﹣5，则输出的值为 　 　． 【答案】22． 【分析】把x的值代入数值运算程序中计算，即可得到输出的结果． 【详解】解：把x＝﹣5代入数值运算程序得： （﹣5）2﹣3＝22， 故答案为：22． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算和代数式求值，根据流程图正确计算是解题的关键． 题型五 单项式的相关概念 解｜题｜技｜巧 在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式． 【典例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）在式子，，，a，0，，0.95，中，单项式的个数有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】本题主要考查单项式的识别，熟练掌握单项式的定义是解题的关键． 利用单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，进而判断得出答案． 【详解】解：由题意得：式子，，，a，0，0.95是单项式，共6个， 故选：B． 【变式1】已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查单项式问题，解答此题需灵活掌握单项式的系数和次数的定义． 根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：此题规定了单项式的系数和次数，但未规定单项式中含几个字母． A、系数是，次数是，故符合题意； B、系数是，次数是，故不符合题意； C、系数是，次数是，故不符合题意； D、系数是，次数是，故不符合题意． 故选：A． 【变式2】下列说法正确的是（    ） A．是二次单项式 B．的次数是4，系数是2 C．的系数是 D．数字0是单项式 【答案】D 【分析】此题考查了单项式和多项式的概念，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式的概念．单项式：由数和字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．多项式：由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式．多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数．其中多项式中不含字母的项叫做常数项．根据单项式和多项式的概念求解即可． 【详解】解：A、是二次多项式，选项错误； B、的次数是2，系数是4，选项错误； C、的系数是，选项错误； D、数字0也是单项式，选项正确． 故选：D． 题型六 利用单项式的相关概念求值 解｜题｜技｜巧 根据单项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方 程，求出方程的解即可. 【典例1】若单项式的系数是m，次数是n，则m+n＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【分析】根据单项式的次数与系数的定义解决此题． 【详解】解：由题意得：m，n＝4． ∴m+n4． 故选：C． 【点睛】本题主要考查单项式，熟练掌握单项式的系数与次数的定义是解决本题的关键． 【变式1】已知（a+3）x2y|a|+1是关于x，y的六次单项式，则a的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．以上都不对 【答案】A． 【分析】直接利用一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，进而得出a的值，注意系数不能为零． 【详解】解：∵（a+3）x2y|a|+1是关于x，y的六次单项式， ∴2+|a|+1＝6，且a+3≠0， 解得：a＝3． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了单项式以及绝对值，正确掌握单项式的次数确定方法是解题关键． 【变式2】（24-25六年级上·山东济宁·期末）若是关于x、y的10次单项式，且系数是8，则 ． 【答案】1或/或1 【分析】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数与系数的定义是解题关键．利用单项式的定义得出m的值，进而利用单项式次数的定义得出n的值，进而得出答案． 【详解】∵是关于x、y的10次单项式，且系数是8， ∴， ∴， ∴或， 当时，； 当时，； 综上，的值为1或， 故答案为：1或． 题型七 多项式及整式的有关概念 解｜题｜技｜巧 1、几个单项式的和叫做多项式. 2、多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数. 3、单项式和多项式统称为整式.所有的单项式和多项式整式，既不是单项式也不是多项式的式子一定不是整式. 【典例1】多项式是几次几项式_____，其常数项是（   ） A．六次三项式， B．四次三项式，3 C．四次三项式， D．六次三项式，3 【答案】C 【分析】本题主要考查多项式的定义，熟练掌握多项式的意义是解题的关键；因此此题可根据多项式的次数和项数进行求解． 【详解】解：是四次三项式，其常数项是； 故选C． 【变式1】（24-25七年级上·山东聊城·期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．其中整式的个数有（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的识别，表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，几个单项式的和的形式叫做多项式，而整式是单项式和多项式的统称，据此可得答案． 【详解】解：根据整式的定义可知，整式有①②③⑤，共4个， 故选：C． 【变式2】（23-24七年级上·山东滨州·期末）下列结论中正确的是（   ） A．单项式的系数是，次数是 B．单项式的次数是，没有系数 C．多项式是三次多项式 D．在，，，，中，整式有个 【答案】C 【分析】本题考查了单项式、多项式、整式的概念，掌握单项式、多项式、整式的概念是解题的关键． 根据单项式、多项式、整式的概念逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A. 单项式的系数是，次数是，故该选项不符合题意； B. 单项式的次数是，系数是，故该选项不符合题意； C. 多项式是三次多项式，故该选项符合题意； D. 在，，，，中，整式有个，故该选项不符合题意； 故选：C ． 题型八 利用多项式的相关概念求值 解｜题｜技｜巧 根据多项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方程，求出方程的解即可. 【典例1】已知是关于的二次多项式，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的相关概念，由是关于的二次多项式，得且，然后求出的值即可，熟练掌握多项式的相关概念是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的二次多项式， ∴且， ∴， 故选：． 【变式1】如果多项式是关于的三次三项式，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式的项数，次数的求解，代数式求值，根据多项式的性质进行解答．多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数． 【详解】解：多项式是关于的三次三项式， ，， ，， ． 故选：B． 【变式2已知关于x，y的多项式与多项式的次数相同，那么n的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的次数，正确理解多项式的次数的概念是解题的关键．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．根据多项式次数的概念，列方程求解即可． 【详解】解：关于x，y的多项式与多项式的次数相同， ， 解得． 故选：C． 题型九 综合利用单项式、多项式的相关概念求值 解｜题｜技｜巧 主要考查多项式与单项式，解题的关键是熟练运用多项式与单项式的相关概念解题即可． 【典例1】已知是关于a，b的六次单项式，是关于a，b的四次五项式，求n﹣m的值． 【分析】先根据单项式和多项式的定义求出m，n的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：∵知是关于a，b的六次单项式， ∴2+2﹣m＝6， ∴m＝﹣2， ∵是关于a，b的四次五项式， ∴2+n+1＝4， ∴n＝1， ∴n﹣m＝1﹣（﹣2）＝3． 【点睛】此题考查了多项式和单项式，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式的相关定义． 【变式1】﹣5x2ym+1+xy2﹣3x3﹣6是六次四项式，且3x2ny5﹣m的次数跟它相同． （1）求m，n的值； （2）求多项式的常数项以及各项的系数和． 【分析】根据多项式的概念即可求出n与m的值，然后根据多项式即可判断常数项与各项系数． 【详解】解：（1）由题意可知：该多项式是六次多项式， ∴2+m+1＝6， ∴m＝3， ∵3x2ny5﹣m的次数也是六次， ∴2n+5﹣m＝6， ∴n＝2 ∴m＝3，n＝2 （2）该多项式为：﹣5x2y4+xy2﹣3x3﹣6 常数项﹣6，各项系数为：﹣5，1，﹣3，﹣6， 故系数和为：﹣5+1﹣3﹣6＝﹣13 【点睛】本题考查多项式与单项式的概念，属于基础题型． 【变式2】已知多项式xa+1y2﹣x3+x2y﹣1是关于x、y的五次四项式，单项式﹣8x2y3z的次数为b，c是最小的正整数，求（a﹣b）c+1的值． 【分析】根据多项式xa+1y2﹣x3+x2y﹣1是五次四项式，可得a+1＝3，a＝2，由单项式﹣8x2y3z的次数为b，c是最小的正整数，得出b＝6，c＝1，代入即可得出答案． 【详解】解：∵多项式xa+1y2﹣x3+x2y﹣1是五次四项式， ∴a+1＝3，a＝2， ∵单项式﹣8x2y3z的次数为b，c是最小的正整数， ∴b＝6，c＝1， ∴（a﹣b）c+1＝（2﹣6）1+1＝（﹣4）2＝16． ∴（a﹣b）c+1的值为16． 【点睛】本题考查了多项式、单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式、多项式的定义． 题型十 判断两单项式是否同类项 解｜题｜技｜巧 ①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可； ②同类项与系数的大小无关； ③同类项与它们所含的字母顺序无关； ④所有常数项都是同类项． 【典例1】下列各组中不是同类项的是 （    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了同类项，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，据此判断即可求解，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：、所含字母相同且相同字母的指数也相同，是同类项，该选项不合题意； 、所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，该选项符合题意； 、所含字母相同且相同字母的指数也相同，是同类项，该选项不合题意； 、所含字母相同且相同字母的指数也相同，是同类项，该选项不合题意； 故选：． 【变式1】（24-25七年级上·山东临沂·期末）下列各式中，与是同类项的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的概念，掌握同类项的概念是解题的关键．含有相同字母，并且相同字母的指数相同的单项式为同类项，据此分析即可解． 【详解】与是同类项的特点为含有字母a，b，且对应a的指数为2，b的指数为1，只有A选项符合； 故选：A 【变式2】（24-25六年级上·山东泰安·期末）下列各组单项式中，不是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查同类项的定义，根据同类项的定义逐项判断即可．解答的关键是熟知同类项的定义：字母相同，并且相同字母的指数也相同的两个单项式叫同类项． 【详解】解：A、与是同类项，不符合题意； B、与是同类项，不符合题意； C、与是同类项，不符合题意； D、与不是同类项，符合题意， 故选：D． 题型十一 由同类项的定义求值 解｜题｜技｜巧 主要利用的是同类项的概念，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，根据题意得到关于某个字母的方程求解即可． 【典例1】若与是同类项，那么（    ） A．0 B．1 C．－1 D．－2 【答案】C 【分析】本题考查了同类项的定义，解题的关键是根据同类项定义求出、的值． 根据同类项的定义，可得，，求出、后计算． 【详解】解：与是同类项， ∴的指数相等：， 解得； 的指数相等：， 解得； ∴． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·山东聊城·期末）若与的和是单项式，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类项，代数式求值，掌握同类项的定义是解题关键．根据题意可知，与是同类项，进而得到，，再代入计算求值即可． 【详解】解：与的和是单项式， 与是同类项， ，， ， ， 故选：A． 【变式1】如果单项式与是同类项，那么（   ） A．1 B． C．0 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴ 解得，， ∴． 故选：A． 题型十二 由合并同类项的法则求值 解｜题｜技｜巧 根据合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.利用合并的系数特点来解决问题. 【典例1】若﹣2amb2m﹣n与5an+2b2m﹣n可以合并成一项，则m﹣n的值 是（　　） A．2 B．0 C．﹣1 D．1 【答案6】 【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同即可求解． 【详解】解：∵﹣2amb2m﹣n与5an+2b2m﹣n可以合并成一项， ∴﹣2amb2m﹣n与5an+2b2m﹣n是同类项， ∴m＝n+2， ∴m﹣n＝2， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了同类项的概念和合并同类项法则，熟练掌握同类项的概念和合并同类项法则是解题的关键． 【变式1】若7x2y2和﹣11x3my2的和是单项式，则式子12m﹣16的值是（　　） A．﹣13 B．﹣9 C．﹣8 D．﹣5 【答案】C． 【分析】根据同类项的定义求出m的值，再代入进行计算即可． 【详解】解：∵7x2y2和﹣11x3my2的和是单项式， ∴7x2y2和﹣11x3my2是单项式， 即3m＝2， 解得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项，代数式求值，熟练掌握同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同是解题的关键． 【变式2】若﹣2amb4与5ab2m+n可以合并成一项，则mn的值是 ． 【答案】1． 【分析】首先可判断两单项式是同类项，再由同类项所含相同字母的指数相同，可得m、n的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：因为﹣2amb4与5ab2m+n可以合并成一项， 所以﹣2amb4与5ab2m+n是同类项， 所以m＝1，2m+n＝4， 解得m＝1，n＝2， 所以mn＝12＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了合并同类项的法则，解答本题的关键是掌握同类项中的两个相同． 题型十三 合并同类项的计算 解｜题｜技｜巧 “合并同类项”的步骤： 一找，找出多项式中的同类项，不同类的同类项用不同的标记标出； 二移，利用加法的交换律，将不同类的同类项集中到不同的括号内； 三合，将同一括号内的同类项相加即可. 【典例1】合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查合并同类项，准确的计算是解决本题的关键． （1）根据合并同类项法则可求解； （2）根据合并同类项法则可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】合并同类项： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则，是解题的关键． （1）先找出同类项，再根据合并同类项法则，进行计算即可； （2）先找出同类项，再根据合并同类项法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减计算，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先找出同类项，再合并同类项； （2）先找出同类项，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十四 去括号 解｜题｜技｜巧 按照去括号法则即可解答. 括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项的符号都不改变； 括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项的符号都要改变. 【典例1】下列各式中去括号正确的是（　　） A．﹣（a﹣b）＝a﹣b B．﹣（﹣a﹣b）＝a﹣b C．a2+2（a﹣2b）＝a2+2a﹣2b D．a﹣2（a﹣2b）＝a2﹣2a+4b 【答案】D． 【分析】根据去括号法则解答即可． 【详解】解：A、﹣（a﹣b）＝a+b，原计算错误，故此选项不符合题意； B、﹣（﹣a﹣b）＝a+b，原计算错误，故此选项不符合题意； C、a2+2（a﹣2b）＝a2+2a﹣4b，原计算错误，故此选项不符合题意； D、a﹣2（a﹣2b）＝a2﹣2a+4b，原计算正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了去括号，解题的关键是掌握去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号． 【变式1】下列各式，去括号添括号正确的是（　　） A．﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b B．2a+3b＝﹣（2a﹣3b） C．2（x﹣4）＝2x﹣4 D．（am﹣bn）﹣（an﹣bm）＝（am﹣an）+（bm﹣bn） 【答案】D． 【分析】原式利用去括号与添括号法则计算即可． 【详解】解：A、原式＝﹣a+b，不符合题意； B、原式＝﹣（﹣2a﹣3b），不符合题意； C、原式＝2x﹣8，不符合题意； D、原式＝am﹣bn﹣an+bm＝（am﹣an）+（bm﹣bn），符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了去括号与添括号，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式2】下列各式中，去括号结果正确的个数是（　　） ①2x2﹣（﹣2x+y）＝2x2+2x+y； ②7a2﹣[3b﹣（a﹣2c）﹣d]＝7a2﹣3b+a﹣2c+d； ③2xy2﹣3（﹣x+y）＝2xy2+3x﹣y； ④﹣（m﹣2n）﹣（﹣2m2+3n2）＝﹣m+2n+2m2﹣3n2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B． 【分析】括号前为正号，去掉括号后，各项不变，括号前为符号，去掉括号后，各项变号；接下来将去括号后的结果与各个选项逐一进行比较，即可得到答案． 【详解】解：2x2﹣（﹣2x+y）＝2x2+2x﹣y，故①错，不符合题意； 7a2﹣[3b﹣（a﹣2c）﹣d]＝7a2﹣3b+a﹣2c+d，故②对，符合题意； 2xy2﹣3（﹣x+y）＝2xy2+3x﹣3y，故③错，不符合题意； ﹣（m﹣2n）﹣（﹣2m2+3n2）＝﹣m+2n+2m2﹣3n2.故④对，不符合题意． 共有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查的是去括号的知识，熟记去括号法则是解题的关键． 题型十五 利用去括号化简 解｜题｜技｜巧 先对式子进行去括号，再合并同类项，有时还要用到添括号.在计算时要注意： 1、当括号前有数字因数时，应运用乘法分配律运算，切勿漏乘． 2、出现多重括号时，一般是先去小括号，再去中括号，最后去大括号，每去掉一层括号，如果有同类项也可随时合并，为下一步运算简便化，较少差错． 【典例1】先去括号，再合并同类项 （1）2（2b﹣3a）+3（2a﹣3b） （2）4a2+2（3ab﹣2a2）﹣（7ab﹣1） 【分析】（1）根据括号前是正号去括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号，可去掉括号，根据合并同类项，可得答案； （2）根据括号前是正号去括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号，可去掉括号，根据合并同类项，可得答案； 【详解】解：（1）2（2b﹣3a）+3（2a﹣3b）＝4b﹣6a+6a﹣9b＝﹣5b； （2）4a2+2（3ab﹣2a2）﹣（7ab﹣1）＝4a2+6ab﹣4a2﹣7ab+1＝﹣ab+1． 【点睛】本题考查了去括号与添括号，合并同类项，括号前是正号去掉括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号． 【变式1】去括号，合并同类项： （1）（x﹣2y）﹣（y﹣3x）； （2）． 【分析】去括号时注意去括号后符号的变化，然后找出同类项，根据合并同类项得法则，即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变． 【详解】解：（1）（x﹣2y）﹣（y﹣3x）＝x﹣2y﹣y+3x＝4x﹣3y； （2）原式＝a2a+1． 【点睛】解决本题是要注意去括号时符号的变化，并且不要漏乘．有多个括号时要注意去各个括号时的顺序． 【变式2】去括号： （1）3x+2（x﹣）﹣（x+1） （2）5（2a2b﹣ab2）﹣（6a2b﹣3ab2） 【答案】（1）4x﹣2（2）6a2b 【分析】（1）直接去括号，进而合并同类项得出答案； （2）直接去括号，进而合并同类项得出答案． 【详解】解：（1）3x+2（x﹣）﹣（x+1） ＝3x+2x﹣1﹣x﹣1 ＝4x﹣2； （2）5（2a2b﹣ab2）﹣（6a2b﹣3ab2） ＝10a2b﹣2ab2﹣4a2b+2ab2 ＝6a2b． 【点睛】此题主要考查了整式的加减运算，正确合并同类项是解题关键． 题型十六 利用整式的加减计算 解｜题｜技｜巧 用A、B表示的多项式分别是一个整体，先化简再代入求值时要把A、B加上括号后，然后去括号再进行化简. 【典例1】老师在黑板写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，形式如图：﹣3x﹣1＝x2﹣5x，则所捂的二次三项式为（　　） A．x2﹣2x+1 B．x2﹣8x﹣1 C．x2+2x﹣1 D．x2+8x+1 【分析】由题意可知：所的二次三项式是x2﹣5x﹣（﹣3x﹣1），然后去括号，再合并同类项即可． 【解答】解：由题意得： 所捂的二次三项式为x2﹣5x﹣（﹣3x﹣1） ＝x2﹣5x+3x+1 ＝x2﹣2x+1， 故选：A． 【点评】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式． 【变式1】已知多项式 ，，求： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了整式的加减，去括号，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）把代入，然后通过合并同类项法则即可求解； （）把代入，然后通过去括号，合并同类项法则即可求解． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ． 【变式2】已知：，， (1)求 的值． (2)无论 取何值， 都是一个定值，求 的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）代入式子、计算即可； （2）根据题意可知式子的结果与无关，据此进行解题即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∵无论 取何值， 都是一个定值， ∴， 即． 题型十七 整式的化简求值 解｜题｜技｜巧 进行整式的加减时先去括号然后合并同类项进行化简后，直接(或整体)代入字母的值进行计算即可. 【典例1】（25-26七年级上·全国·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，化简求值，先去括号，再合并同类项，得然后把，代入计算，即可作答． 【详解】 ； 当，时， 原式． 【变式1】已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练计算是解题的关键 先化简原式，再将所给式子整体代入即可． 【详解】解： ， ， ， 将，代入得， 原式． 【变式2】先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为：，计算结果为：7 【分析】本题考查了整式的加减－化简求值，以及平方与绝对值非负数的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先去括号合并得到最简结果，再利用非负数的性质求出x与y的值，最后代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ，， ， ， 当时， 原式． 题型十八 整式加减中与某个字母无关问题 解｜题｜技｜巧 整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法：在整式的加减运算的过程中，若涉及“不含某项”或“与某项无关”，其实质是指合并同类项后“不含项”或“无关项”的系数为0. 【典例1】（23-24六年级上·山东泰安·期末）若关于的多项式不含二次项，则等于（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查整式加减中的无关项问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先合并同类项，根据多项式中不含二次项，令二次项系数为零，求解． 【详解】解：原多项式为， 合并同类项得， ∵多项式不含二次项， ∴， 解得：． 【变式1】已知：， (1)若时，求． (2)若的值与x的值无关，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）把代入后去括号合并同类项即可； （2）先去括号合并同类项，再令求解即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解： ， ∵的值与x的值无关， ∴，解得． 【变式2】若代数式的值与字母的取值无关， (1)求的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了整式的加减： （1）利用代数式的值与的取值无关，求得的值； （2）将的值代入即可． 【详解】（1）解： ＝ ＝， ∵原代数式的值与的取值无关， ∴，， ∴，； （2）解： ， ． 题型十九 整式加减中的错看问题 解｜题｜技｜巧 看错符号问题，先根据错误的运算方法求出原来的某个多项式，然后再按照正确的运算方法计算结果即可. 【典例1】黑板上有一道题，是一个多项式减去3x2﹣5x+1，某同学由于大意，将减号抄成加号，得出结果是5x2+3x﹣7，这道题的正确结果是（　　） A．8x2﹣2x﹣6 B．14x2﹣12x﹣5 C．2x2+8x﹣8 D．﹣x2+13x﹣9 【答案】D． 【分析】根据整式的加减运算先求出这个多项式，然后再根据题意列出算式即可求出答案． 【详解】解：该多项式为：（5x2+3x﹣7）﹣（3x2﹣5x+1） ＝5x2+3x﹣7﹣3x2+5x﹣1 ＝2x2+8x﹣8， ∴正确结果为：（2x2+8x﹣8）﹣（3x2﹣5x+1） ＝2x2+8x﹣8﹣3x2+5x﹣1 ＝﹣x2+13x﹣9， 故选：D． 【点睛】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型． 【变式1】有一道题目是一个多项式A减去多项式2x2+5x﹣3，小胡同学将2x2+5x﹣3抄成了2x2+5x+3，计算结果是﹣x2+3x﹣7，这道题目的正确结果是（　　） A．x2+8x﹣4 B．﹣x2+3x﹣1 C．﹣3x2﹣x﹣7 D．x2+3x﹣7 【答案】B． 【分析】直接利用整式的加减运算法则得出A，进而利用整式的加减运算法则得出这道题目的正确结果． 【详解】解：由题意可得：A﹣（2x2+5x+3）＝﹣x2+3x﹣7， 则A＝﹣x2+3x﹣7+2x2+5x+3 ＝x2+8x﹣4， 故这道题目的正确结果是：x2+8x﹣4﹣（2x2+5x﹣3） ＝x2+8x﹣4﹣2x2﹣5x+3 ＝﹣x2+3x﹣1． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键． 【变式2】．马小虎做一道题：“已知两个多项式A、B，计算2A+B”．他误将“2A+B”看成“A+2B，求得的结果为9x2+x﹣7．如果知道B＝x2﹣2x+6． （1）请根据现有条件求多项式A； （2）计算2A+B的正确答案． 【分析】（1）根据题意，可知A＝（9x2+x﹣7）﹣2B，从而可以计算出多项式A； （2）根据（1）中求得的A和题目中的B，可以计算出2A+B的正确答案． 【点睛】解：（1）由题意可得， A＝（9x2+x﹣7）﹣2（x2﹣2x+6） ＝9x2+x﹣7﹣2x2+4x﹣12 ＝7x2+5x﹣19， 即多项式A为7x2+5x﹣19； （2）由（1）知A＝7x2+5x﹣19， ∵B＝x2﹣2x+6， ∴2A+B ＝2（7x2+5x﹣19）+（x2﹣2x+6） ＝14x2+10x﹣38+x2﹣2x+6 ＝15x2+8x﹣32， 即2A+B的正确答案是15x2+8x﹣32． 【点睛】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确整式加减的计算方法． 题型二十 整式加减与数轴、绝对值的结合 解｜题｜技｜巧 先由数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，原式利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【典例1】有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣b|+|c﹣a|﹣|b﹣c|的结果是（　　） A．﹣2a B．﹣2b C．﹣2a﹣2b D．2a﹣2b 【答案】D． 【分析】根据数轴比较a﹣b、c﹣a、b﹣c与0的大小关系，然后根据绝对值的性质化简． 【详解】解：由数轴可知：c＜b＜0＜a， ∴a﹣b＞0，c﹣a＜0，b﹣c＞0， ∴原式＝（a﹣b）﹣（c﹣a）﹣（b﹣c） ＝a﹣b﹣c+a﹣b+c ＝2a﹣2b 故选：D． 【点睛】本题考查整式的加减运算，涉及数轴比较数的大小，绝对值的性质． 【变式1】有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，b______0，______0，______0，； (2)化简：． 【答案】(1)<，<，<，> (2) 【分析】本题考查了数轴上数的大小关系，绝对值的性质及化简计算． （1）当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，据此逐项判断即可； （2）根据绝对值的含义和求法，化简即可． 【详解】（1）解：根据有理数a，b，c在数轴上的位置，可得： ，，，． 故答案为：<，<，<，>． （2）解：∵从数轴可知：，，，， ∴原式 ． 【变式2】有理数 a、b、c 的位置如图所示， (1)比较大小：b____0，____0，_____0，____0； (2)化简式子：． 【答案】(1)；；；． (2)化简结果为 【分析】本题考查了数轴上有理数的大小比较、绝对值的性质，解题的关键是根据数轴确定、、的符号及大小关系，进而判断式子的符号，再利用绝对值的性质化简式子． （1）根据数轴上的位置关系，逐一分析、、、的符号； （2）根据绝对值的性质，对每个绝对值进行化简，再合并同类项得到结果． 【详解】（1）解：由数轴可知， ∵在原点右侧， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴； ∵，， ∴ 故答案为：；；；． （2）解：由（1）知，，，， ∴ ． 答：化简结果为． 题型二十一 利用整式加减解决数字问题 解｜题｜技｜巧 根据方框在日历中的不同位置寻找规律，并利用规律求值；解决本题的难点是发现日历中左右相邻的数相隔1，上下相邻的数相隔7． 【典例1】一个三位数M，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c． （1）用含a、b、c的式子表示这个数M为 　 　． （2）现在交换百位数字和个位数字，得到一个新的三位数N，请用含a、b、c的式子表示这个数N为 　 　． （3）请用含a、b、c的式子表示N﹣M，并回答N﹣M能被11整除吗？ 【分析】（1）根据百位数字为a，十位数字为b，个位数字是c表示出M即可； （2）同（1）可表示出N； （3）列出整式相加减的式子，再合并同类项即可． 【详解】解：（1）M为：100a+10b+c； 故答案为：100a+10b+c； （2）N为：100c+10b+a； 故答案为：100c+10b+a； （3）∵N﹣M＝（100c+10b+a）﹣（100a+10b+c） ＝99c﹣99a ＝99（c﹣a）． ∴N﹣M能被11整除． 【点睛】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键． 【变式1】一个三位数，若它的十位数字等于个位数字与百位数字的和，那么称这个三位数为“和谐数”． （1）最小的三位“和谐数”是 　 　，最大的三位“和谐数”是 　 　； （2）若一个“和谐数”的个位数字为a（a≥0），十位数字为b（b≥1，b＞a且a、b都是自然数），请用含a，b的代数式表示该“和谐数”； （3）判断任意一个三位“和谐数”能否被11整除，若能，请说明理由，若不能，请举出反例． 【分析】（1）设个位数字为x（x≥0），百位数字为y（y＞0），则十位数字为x+y，则“和谐数”为：100y+10（x+y）+x＝110y+11x，由此可得结论； （2）按题意列代数式即可； （3）由110y+11x＝11（10y+x）可得结论． 【详解】解：（1）设个位数字为x（x≥0），百位数字为y（y＞0），则十位数字为x+y， ∴“和谐数”为：100y+10（x+y）+x＝110y+11x， 当x＝0，y＝1时，有最小的三位“和谐数”是110， 当x＝0，y＝9时，有最大的三位“和谐数”是990， 故答案为：110，990； （2）100（b﹣a）+10b+a＝100b﹣100a+10b+a＝110b﹣99a， ∴该“和谐数”为：110b﹣99a； （3）能，理由： 由（1）得“和谐数”为：100y+10（x+y）+x＝110y+11x， ∵110y+11x＝11（10y+x）， ∴任意一个三位“和谐数”能被11整除． 【点睛】本题属于新定义问题，涉及到列代数式、整式加减等问题，正确理解新定义是解决本题的关键． 【变式2】如图1，图2是某月的日历． （1）如图1，小明用带阴影的长方形围住9个数字． ①若设长方形围住的左上角的第一个数为x，则长方形围住的右下角的第9个数为 　 　（用含x的式子表示）；此时这9个数的和为 　 　（用含x的式子表示）； ②若设长方形围住的正中间的数为a，请你试猜想围住的9个数之和与其正中间的数有什么关系，并说明理由； （2）若围住的数字由长方形中9个数字变成如图2所示的带阴影的数字，试判断是否还满足②中的结论，并说明理由． 【分析】（1）①根据右边的数字总比左边的数字大1，下面的数字比上面的数字大7进行表示即可，将9个数字相加合并同类项即可解答；②根据正中间的数为a，分别表示出其余8个数，再求和，即可求解； （2）设中间一行的中间数为m，分别表示出其余数字，进行求和即可解答． 【详解】解：（1）①设长方形围住的左上角的第一个数为x， 则第一行的三个数字分别表示为：x，x+1，x+2，第二行的三个数字分别表示为：x+7，x+8，x+9，第三行的三个数字分别表示为：x+14，x+15，x+16， 九个数的和为：x+x+1+x+2+x+7+x+8+x+9+x+14+x+15+x+16＝9x+72， 故答案为：x+16；9x+72； ②围住的9个数之和是其正中间的数的9倍； 理由：因为长方形围住的正中间的数为a，则上面一行数为a﹣8，a﹣7，a﹣6，中间一行数为a﹣1，a，a+1，下面一行数为a+6，a+7，a+8，围住的9个数之和为（a﹣8）+（a﹣7）+（a﹣6）+（a﹣1）+a+（a+1）+（a+6）+（a+7）+（a+8）＝9a，所以围住的9个数之和是其正中间的数的9倍； （2）满足； 理由：设中间一行的中间数为m，则上面一行数为m﹣7，m﹣6，m﹣5，中间一行数为m﹣1m，m+1，下面一行数为m+5，m+6，m+7，则阴影的9个数之和是（m﹣7）+（m﹣6）+（m﹣5）+（m﹣1）+m+（m+1）+（m+5）+（m+6）+（m+7）＝9m． 【点睛】本题主要考查了列代数式，难度不大，弄清日历横行相邻数相差1，竖列相邻两数相差7，发现这个规律是解题的关键． 题型二十二 利用整式加减进行新定义运算 解｜题｜技｜巧 将多项式作为整体代入新定义的运算中，切记将多项式要用括号括起来，再去括号． 【典例1】（2024春•天元区校级期末）若“ω”是新规定的某种运算符号，设aωb＝3a﹣2b，则（x+y）ω（x﹣y）的值为（　　） A．x+y B．x+2y C．2x+2y D．x+5y 【分析】根据新规定的运算法则列出算式，再去括号、合并同类项即可． 【解答】解：（x+y）ω（x﹣y） ＝3（x+y）﹣2（x﹣y） ＝3x+3y﹣2x+2y ＝x+5y， 故选：D． 【点评】本题主要考查整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． 【变式1】给出如下定义：我们把有序实数对（a，b，c）叫做关于x的二次多项式ax2+bx+c的特征系数对，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对（a，b，c）的特征多项式．回答下列问题： （1）关于x的二次多项式3x2+2x﹣1的特征系数对为 　 　； （2）求有序实数对（1，4，4）的特征多项式与有序实数对（﹣3，﹣4，2）的特征多项式的和． 【分析】（1）根据特征系数对的定义，直接写出答案即可； （2）根据特征多项式的定义，写出两个多项式，再进行相加计算出结果． 【解答】解：（1）多项式3x2+2x﹣1的特征系数对为（3，2，﹣1）， 故答案为：（3，2，﹣1）； （2）有序实数对（1，4，4）的特征多项式：x2+4x+4； 有序实数对（﹣3，﹣4，2）的特征多项式：﹣3x2﹣4x+2． ∴（x2+4x+4）+（﹣3x2﹣4x+2） ＝x2+4x+4﹣3x2﹣4x+2 ＝﹣2x2+6． 【点评】本题考查了整式的加减，解题的关键是根据题意写出特征系数对和特征多项式． 【变式2】阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义是ad﹣bc． 例如：1×4﹣2×3＝﹣2． （1）按照这个规定，请你计算的值； （2）按照这个规定，请你化简． 【分析】（1）根据定义即可求出答案． （2）根据定义以及整式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：（1）1×（﹣1）﹣3×（﹣2） ＝﹣1+6＝5． （2）． ＝2（﹣3x2+y）﹣3（x2+y） ＝﹣6x2+2y﹣3x2﹣3y ＝﹣9x2﹣y． 【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 题型二十三 运用整式的加减解决实际问题 解｜题｜技｜巧 有关整式加减的实际问题，应先根据题目中的数量关系，正确列出关系式，再按照整式加减的运算法 则计算出最后的结果. 【典例1】我校七年级有象棋、足球、演讲、美术四个社团，参加象棋社团的有x人，参加足球社团的人数比象棋社团的人数的两倍少y人，参加演讲社团的人数比足球社团的人数的一半多1人，每个学生都限报一项，参加社团的学生共有人． (1)足球社团的学生比演讲社团多多少人（用含x，y的式子表示）？ (2)若，求美术社团的人数． 【答案】(1)人 (2)67 【分析】本题考查了整式的加减与实际问题，正确合并同类项是解题的关键． （1）利用整式的加减运算法则计算得出答案； （2）利用整式的加减运算法则化简整式，再代入数值计算得出答案． 【详解】（1）解：由题意，得参加足球社团的有人，参加演讲社团的有人． 故足球社团的学生比演讲社团多 人． （2）由题意，得参加社团的学生共有人， 所以参加美术社团的有人． 因为，所以． 故美术社团的人数为67． 【变式1】某文具店销售笔记本和中性笔，两种文具的销售单价和成本如下表所示，且每月固定成本（如房租、水电费）为300元． 文具类型 销售单价（元/件） 单件变动成本（元/件） 笔记本 15 8 中性笔 5 2 已知该店每月卖出的中性笔数量是笔记本数量的2倍，设每月卖出笔记本x本（x为正整数）． (1)用含x的代数式表示该店每月的总利润（利润总销售额总变动成本固定成本）； (2)若该店制定了“笔记本销量超20本时，超出部分的笔记本按原价的8折销售，中性笔单价不变”的促销方案，分别计算当和时，该店每月的总利润． 【答案】(1)用含x的代数式表示该店每月的总利润为元 (2)当时，该店每月的总利润为元，当时，该店每月的总利润为元 【分析】本题考查了整式的加减，有理数的混合运算的应用． （1）分别求出总销售额、总变动成本，再根据“利润总销售额总变动成本固定成本”计算即可； （2）当时，直接代入（1）中代数式计算即可，当时，分别求出总销售额、总变动成本，再根据“利润总销售额总变动成本固定成本”计算即可． 【详解】（1）解：总利润的代数式： 总销售额：笔记本销售额中性笔销售额（元）； 总变动成本：笔记本变动成本中性笔变动成本（元）； 固定成本：300元； 利润总销售额总变动成本固定成本，即元； （2）解：当时（未超20本，无促销）， 利润（元）； 当时（超20本，由促销）， 笔记本销售额：20本原价5本8折（元）， 中性笔销售额：（元）， 总销售额：（元）， 总变动成本：（元）， 利润：（元）． 【变式2】火车站、机场等场所都有为旅客提供打包服务的项目．现有一个长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米的箱子（其中）），准备采用如图①、②的两种打包方式，所用打包带的总长（不计接头处的长）分别记为． (1)图①中打包带的总长___________厘米（用含的代数式表示，并化简），图②中打包带的总长___________厘米（用含的代数式表示，并化简）； (2)试判断哪一种打包方式更节省材料，并说明理由； (3)若，包装费用每厘米元，两种包装费用相差元，求的值． 【答案】(1) (2)第2种打包方式更节省材料，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了列代数式，整式的运算，解方程，解决问题的关键是读懂题意解答问题． 根据图形，图①中打包带的长有长方体的四个长、2个宽、六个高，图②中打包带的长有长方体的2个长、4个宽、6个高，列代数式即可； （2）要想判断哪一种打包方式更节省材料，求与的差，即可得到结论； （3）根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：图①中打包带的长有长方体的4个长、2个宽、6个高， 厘米； 图②中打包带的长有长方体的2个长、4个宽、6个高， 厘米； 故答案为：，； （2）解：第2种打包方式更节省材料， 理由：， ， ， ， 第2种打包方式更节省材料； （3）解：由（2）知两种打包方式相差厘米， 依题意得 解得 答：的值为． 题型二十四 数与式的变化规律 解｜题｜技｜巧 掌握“观察—分析—归纳—验证”四步法是解决数与式变化规律问题的关键，重点在于找出“变”与“不变”的部分，并建立与序号n的代数关系 【典例1】已知整数，满足下列条件：，依此类推，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数列的变化规律问题． 先分别求出，根据数字变化特点得出规律解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 可知当时，若为奇数，则；若为偶数，则， ， 故选：D． 【变式1】定义：a是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：2的差倒数是的差倒数是．已知是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则的值是（    ） A．2 B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了用代数式表示的规律型问题，理解差倒数的定义，并正确归纳出一般规律是解题关键．先根据差倒数的定义分别求出的值，再归纳类推出一般规律即可得． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， 由此可知，的值是按进行循环的， 因为， 所以． 故选：C． 【变式2】把有理数a代入得到，称为第一次操作；再将作为a的值代入得到，称为第二次操作；……．若，则经过第2025次操作后得到的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．先根据题干中的式子得到规律，再代入求解． 【详解】解：若， 则， ， ， ， ， ， ， ， 从第1次操作开始，以这两个数不断循环出现， ， ∴， 故选：B． 题型二十五 图形的变化规律 解｜题｜技｜巧 掌握常见的图形变化规律是解决此类题目的关键，通常可通过观察元素的数量、位置、形状、叠加方式等特征来归纳出模式。 【典例1】如图是由一些火柴搭建的图案，图①共需6根火柴棒，图②共需11根火柴棒，图③共需16根火柴棒，…，依此类推，则图⑧共需火柴棒（    ） A．31根 B．36根 C．41根 D．45根 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律，熟练找准数字规律是解题的关键． 根据题意可得，后一个图案比前一个图案多用5根火柴棒，据此进行求解即可． 【详解】解：根据题意可得， 图①共需6根火柴棒， 图②共需根火柴棒， 图③共需根火柴棒， 则图⑧共需火柴棒为：根， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·山东济宁·期末）将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形，…，如此下去，则第2025个图中共有正方形的个数为（   ） A．2024 B．2025 C．6070 D．6073 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的规律，根据题意发现正方形的个数变换规律是解题的关键． 根据题目中的图形，归纳正方形个数的变化规律，然后根据规律解答即可． 【详解】解：由图可得， 第①个图中有1个正方形， 第②个图中有个正方形， 第③个图中有个正方形， 第④个图中有个正方形， …… 则第2025个图中有个正方形． 故选D． 【变式2】用黑白两种颜色的六边形砖按如下规律拼成若干个图案，第个图案中有白色砖 块． 【答案】 【分析】此题主要考查图形的变化规律，通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．第一个图案有白色砖6块，第二个有10块，第三个有14块……即第n个图案中白色砖数有块． 【详解】解：第一个图案有白色砖块， 第二个有块， 第三个有块， 据此总结出规律，第n个图案中白色砖数有块． 故答案为：． 题型二十六 日历中的规律 解｜题｜技｜巧 日历中的日期排列遵循固定的数学规律，利用这些规律可以快速解决“圈数求和”“反推日期”等问题。关键是将中间数设为字母（如x），用整式表示相邻数字，并通过加减运算验证规律。 【典例1】如图是某月的日历，现用一方框在日历中任意框出九个数，请观察图形解答下列问题： （1）日历图中方框框住的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？ （2）这个关系对其他这样的方框成立吗？请用代数式表示这个关系． （3）这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？ （4）你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗？请写出一种． 【分析】（1）根据题意列代数式求解； （2）设正中间是数是a，列代数式表示； （3）设正中间是数是a，列代数式表示； （4）观察表格，找规律． 【详解】解：（1）日历图中框出的9个数之和为：2+3+4+9+10+11+16+17+18＝90， 该方框正中间的数是10，90＝9×10， 所以这9个数的和是该方框正中间的数的9倍； （2）成立； 如果用a表示正中间的数，这9个数的和等于9a； （3）成立； 因为这9个数可以表示为： 所以这9个数之和等于9a； （4）能． 如每一横行的数相差1或每一竖列的数相差7等等． 【点睛】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键． 【变式1】日历是生活的好助手，仔细观察我们可以发现其中某些数满足一定的规律．如图所示的是某月的日历，若用一个水平放置的方框任意平移框住其中4个日期数． （1）若设方框内左上角的数为a，则其他三个数分别用a表示为 　 　，　 　，　 　． （2）若将方框中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：＝xy﹣mz．结果会随方框位置移动而变化吗？若会，请说明理由；若不会，请求出运算结果． 【分析】（1）根据日历表的排列规律即可得出答案； （2）设方框内左上角的数为a，则其他三个数分别用a表示为：a+1，a+7，a+8，由题意得出算式：a（a+8）﹣（a+1）（a+7）计算后即可得出答案． 【详解】解：（1）根据日历表的排列规律左右相邻两数相差1，上下两数相差7，若设方框内左上角的数为a，则其他三个数分别用a表示为：a+1，a+7，a+8， 故答案为：a+1，a+7，a+8； （2）不会，设方框内左上角的数为a，则其他三个数分别用a表示为：a+1，a+7，a+8， 由题意得：a（a+8）﹣（a+1）（a+7） ＝a2+8a﹣（a2+7a+a+7） ＝a2+8a﹣a2﹣7a﹣a﹣7 ＝﹣7， ∴结果不会随方框位置移动而变化，运算的结果都是﹣7． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，根据日历表的排列规律正确列出算式是解决问题的关键． 【变式2】在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2022年1月份的日历，我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，结果都是7，例如：4×10﹣3×11＝7，14×20﹣13×21＝7． （1）如图，设日历中所示的方框左上角数字为x，则上面发现的规律用含x的式子可表示为 　 　； （2）利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． 【分析】（1）根据题意用含x的式子表示其余三个数，表达规律即可； （2）根据整式乘法公式，把（x+1）（x+7）﹣x（x+8）化简，即可证明． 【解答】（1）解：设日历中所示的方框左上角数字为x，则其余三个数从小到大依次是：x+1，x+7，x+8， ∴规律用含x的式子可表示为（x+1）（x+7）﹣x（x+8）＝7； 故答案为：（x+1）（x+7）﹣x（x+8）＝7； （2）证明：（x+1）（x+7）﹣x（x+8） ＝（x2+7x+x+7）﹣（x2+8x） ＝x2+7x+x+7﹣x2﹣8x ＝7． 【点评】本题考查整式的混合运算和列代数式，解题的关键是掌握整式相关运算的法则． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25六年级上·山东淄博·期末）下列单项式中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类项的定义，正确理解同类项的定义是解答本题的关键，“所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项”．根据同类项的定义，即可得到答案． 【详解】解：由题意得：与 是同类项的是， 故选：B． 2．（24-25七年级上·山东济宁·期末）下列说法中正确的是（   ） A．的系数是，次数是2 B．多项式是三次三项式 C．表示a，b，的积的代数式为 D．是多项式 【答案】D 【分析】本题考查单项式和多项式，根据单项式和多项式的相关概念，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、的系数是，次数是2；原说法错误，不符合题意； B、多项式是二次三项式；原说法错误，不符合题意； C、表示a，b，的积的代数式为；原说法错误，不符合题意； D、是多项式；原说法正确，符合题意； 故选D． 3．（25-26七年级上·陕西西安·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项，熟练掌握同类项的定义及合并同类项法则（系数相加减，字母部分不变）是解题的关键．依据合并同类项法则，判断各项是否为同类项，再对同类项按系数相加减、字母部分不变的规则计算． 【详解】与不是同类项，不能合并，A项错误； ，B项错误； ，C项错误； ，D项正确； 故选：． 4．（24-25六年级上·山东东营·期末）若单项式与是同类项，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2025 【答案】A 【分析】本题主要考查了同类项的定义，解题的关键在于能够熟练掌握同类项的定义． 根据同类项的定义：如果两个单项式所含的字母相同，相同字母的指数也相同，那么这两个单项式就叫做同类项，据此列出方程，求解即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：A． 5．（24-25七年级上·山东青岛·期末）单项式的系数为 ，次数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式的次数、系数的定义，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数，据此求解即可． 【详解】解：单项式的系数为，次数为， 故答案为：，． 6．（24-25七年级上·甘肃·期末）代数式的值是7，则代数式的值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了整式的运算，准确的计算是解决本题的关键． 由已知条件得到的值后，再进行代入到代数式中进行求值即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：5． 7．（2024秋•旌阳区期末）若关于a，b的多项式（a2﹣4ab﹣b2）﹣（a2﹣mab+2b2）化简后不含ab项，则m＝　 　． 【答案】4． 【分析】先去括号，再合并同类项后，根据不含ab项，则该项的系数为0，即可求得m的值． 【详解】解：（a2﹣4ab﹣b2）﹣（a2﹣mab+2b2） ＝a2﹣4ab﹣b2﹣a2+mab﹣2b2 ＝（m﹣4）ab﹣3b2， 由题意知，m﹣4＝0， 即m＝4； 故答案为：4． 【点睛】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握整式是加减法则． 8．观察下列代数式：，，，，…按照此规律排列下去，则第个单项式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式规律探究；通过观察代数式的系数和指数的变化规律，发现系数是的幂次且符号交替，指数与序号相同，从而得出第个单项式的表达式． 【详解】解：观察给定的代数式：第项为，第项为，第项为，第项为， 系数依次为，可表示为； 的指数依次为 ，可表示为． 因此，第个单项式为． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·江苏·期末）某校举行用火柴棒摆“金鱼”比赛，如图所示：按照上面的规律，摆n个“金鱼”需用火柴棒的根数为 【答案】 【分析】本题主要考查图形的规律探索，掌握从前几个图形出发，仔细观察，由此得出图形的规律，然后推广到一般情况，从而求得结论，是解题的关键．观察不难发现，后一个图形比前一个图形多6根火柴棒，然后根据此规律写出第n个图形的火柴棒的根数即可． 【详解】解：第1个图形有8根火柴棒，即根； 第2个图形有14根火柴棒，即根；， 第3个图形有20根火柴棒，即根 第n个图形有根火柴棒． 故答案为：． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 10．化简： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查整式的加减，熟练掌握合并同类项法则是解答本题的关键． （1）原式直接合并同类项即可得到结果； （2）原式去括号后再合并同类项即可； （3）原式去括号后再合并同类项即可； （4）原式去括号后再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 11．  已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求的值． 【答案】10 【分析】此题主要考查了相反数，倒数，多项式的项数与次数，单项式的系数与次数，以及有理数的混合运算，解题的关键是正确确定m和n的值． 利用单项式的次数、多项式次数和项数的确定方法可得m和n的值，然后再结合相反数和互为倒数的定义进行计算即可． 【详解】解：因为多项式是六次四项式， 所以， 所以． 因为单项式的次数与这个多项式的次数 相同，所以， 所以， 所以． 因为a，b互为相反数，c，d互为倒数， 所以， 所以． 12．已知，，求，并求当，时，的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，熟知整式的加减计算法则是解题的关键．根据整式的加减计算法则进行化简；再把，代入所求结果中进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ； 当，时， ∴ ． 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握先去括号，再合并同类项化简整式，然后代入字母的值进行计算是解题的关键． （1）先对去括号，再合并同类项化简，之后代入求值； （2）先对去括号，再合并同类项化简，之后代入求值． 【详解】（1）解：原式 代入求值：当时： （2）解：原式 代入求值：当时： 14．用6个如图①所示的长为a，宽为b的长方形，拼成一个如图②所示的图案，得到两个大小不同的长方形． (1)请用含a，b的代数式，分别表示大长方形和小长方形的周长． (2)若，，求两个长方形的周长差． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据图形，用含a，b的代数式分别表示出两个长方形的长和宽，再根据长方形的周长公式计算即可； （2）根据“大长方形的周长小长方形的周长”列式并化简，然后将a和b的值分别代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知： 大长方形的周长为：， 小长方形的周长为：， 大长方形的周长为，小长方形的周长为； （2）解：两个长方形的周长差 ， 当，时， 原式， 两个长方形的周长差为． 【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，合并同类项，去括号，列代数式，整式的加减中的化简求值，代数式求值等知识点，弄清题意，找出题中的等量关系并正确列式是解题的关键． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 15．已知多项式是关于x、y的四次三项式． (1)求m的值，并写出这个多项式； (2)将多项式按字母y的升幂排列； (3)当，时，求此多项式的值． 【答案】(1)；这个多项式为 (2) (3) 【分析】本题主要考查了多项式以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）直接利用多项式的次数的确定方法得出m的值； （2）将多项式按字母y的升幂排列即可； （3）将x，y的值代入求出答案． 【详解】（1）解：∵多项式是关于的四次三项式， ∴，， 解得：， 多项式， （2）解：多项式按字母y的升幂排列为：； （3）解：当，时，此多项式的值为： ． 16．小马虎做一道数学题“两个多项式A，B，已知，试求的值”．小马虎将看成，结果答案（计算正确）为． (1)求多项式A； (2)若多项式，且满足的结果不含项和x项，求m，n的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查整式的加减，整式加减无关型，掌握整式加减运算的法则是解题的关键． （1）利用减去，求解即可； （2）先化简，根据无关型列出方程，求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴ （2）∵，， ∴ ∵的结果不含项和x项， ∴，， 解得：，． 17．阅读材料： 我们知道，2x+3x﹣x＝（2+3﹣1）x＝4x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则2（a+b）+3（a+b）﹣（a+b）＝（2+3﹣1）（a+b）＝4（a+b）．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把（x﹣y）2看成一个整体，求将2（x﹣y）2﹣5（x﹣y）2+（x﹣y）2合并的结果； （2）已知2m﹣3n＝4，求代数式4m﹣6n+5的值； 拓广探索 （3）已知a﹣2b＝5，b﹣c＝﹣3，3c+d＝9，求（a+3c）﹣（2b+c）+（b+d）的值． 【答案】（1）﹣2（x﹣y）2；（2）13；（3）11 【分析】（1）利用整体思想，把（x﹣y）2看成一个整体，合并2（x﹣y）2﹣5（x﹣y）2+（x﹣y）2即可得到结果； （2）原式可化为2（2m﹣3n）﹣+5，将2m﹣3n＝4整体代入即可； （3）由（a+3c）﹣（2b+c）+（b+d）得到（a﹣2b）+（b﹣c）+（3c+d），依据a﹣2b＝5，b﹣c＝﹣3，3c+d＝9，整体代入进行计算即可． 【详解】解：（1）2（x﹣y）2﹣5（x﹣y）2+（x﹣y）2＝（2﹣5+1）（x﹣y）2＝﹣2（x﹣y）2； （2）4m﹣6n+5＝2（2m﹣3n）+5＝2×4+5＝8+5＝13； （3）（a+3c）﹣（2b+c）+（b+d）＝a+3c﹣2b﹣c+b+d＝（a﹣2b）+（b﹣c）+（3c+d）， ∵a﹣2b＝5，b﹣c＝﹣3，3c+d＝9， ∴原式＝5﹣3+9＝11． 【点睛】本题考查整式的化简求值，解题的关键是是学会用整体的思想思考问题． 18．体育成绩在中考中的比重越来越大，某校为适应新的中考要求，决定为体育组添置一批体育器材，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价120元，跳绳每条定价20元．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案： A方案：买一个篮球送一条跳绳； B方案：篮球和跳绳都按定价的付款． 已知要购买篮球50个，跳绳条． (1)若按A方案购买，一共需付款 元；（用含的代数式表示并化简）若按B方案购买，一共需付款 元．（用含的代数式表示并化简） (2)当时，请通过计算说明此时用哪种方案购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？ 【答案】(1)（元）；（元） (2)应选择A方案购买合算；理由见解析 (3)能，省钱的购买方案是：按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B方案购买，付款6900元 【分析】本题主要考查了列代数式及求代数式的值，读懂题意，理清数量关系是解题的关键． （）根据各种优惠方案列出代数式即可得解； （）把代入两种优惠所得的代数式，分别求出、方案的付款，比较即可得解； （）设计按方案购买个篮球配送个跳绳，按方案购买个跳绳合计需付款求出付款费用后与、方案的付款比较即可得解． 【详解】（1）解：A方案购买可列式：（元）； 按B方案购买可列式：（元）； （2）当时， A方案购买需付款：（元）； 按B方案购买需付款：（元）； ∵， ∴当时，应选择A方案购买合算； （3）由（2）可知，当时，A方案付款7000元，B方案付款7200元， 按A方案购买50个篮球配送50个跳绳，按B方案购买50个跳绳合计需付款： ， ∵， ∴省钱的购买方案是：按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B方案购买，付款6900元． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式及其加减（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1. 用字母表示数及代数式的概念 能列代数式表示简单数量关系，掌握代数式书写规范 选择题、填空题高频考点，难度低 2. 单项式的定义、系数与次数 能判断单项式，正确指出其系数（含符号）和次数 选择题、填空题常考，易混淆系数和次数，难度低 3. 多项式的定义、项、常数项与次数 能识别多项式的项和常数项，确定多项式的次数 选择题、填空题基础题，难度低 4. 整式的定义（单项式和多项式的统称） 能区分整式与非整式 选择题基础题，难度低 5. 同类项的定义（所含字母相同，相同字母指数也相同） 能准确识别同类项，不受系数影响 选择题、填空题常考，是合并同类项的基础，难度低 6. 合并同类项法则（系数相加，字母及指数不变） 熟练合并同类项，化简多项式 解答题基础题型，难度中等 7. 去括号法则（括号前是“+”不变号，是“-”全变号） 能准确去括号，避免符号错误 解答题核心考点，符号失误是常见失分点，难度中等 8. 整式的加减运算（去括号+合并同类项） 掌握整式加减步骤，能熟练化简并代入求值 解答题必考题型，分值占比高，难度中等 9. 探索与表达规律 能根据已知条件发现数量或图形的规律，用代数式表示 选择题、填空题压轴题，难度中等偏上 知识点01 代数式 1.代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫作代数式. 2.单独的一个数或字母也是代数式，例如，2，t都是代数式. 3.代数式的书写要求： 类型 书写规定 示例 数与字母相乘或字母与字母相乘. 通常将乘号写作“·”或省略不写.相同字母写成幂的形式. （1）如2×m写成2·m或2m. （2）如m×n写成m·n或m n. m·m写成m2. 数字因数是1或-1. “1”常省略不写. 如1×a写成a，﹣1×a写成﹣a. 带分数与字母相乘. 将带分数化成假分数. 如 t 应写成 t. 除法运算. 用分数线. 如2÷x（x≠0）应写成. 代数式是和或差的形式且后面有单位. 把式子用括号括起来. 如（a﹣b）千克. 知识点02 列代数式 1、列代数式：在解决一些数学问题与实际问题时，需要先把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是列代数式. 2、列代数式的步骤： (1)分析条件，找出数量关系. (2)用含有数、字母和运算符号的式子表示出来. 知识点03 代数式的值 1、代数式的值：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值.当字母取不同的数值时，代数式的值一般也不同. 2、求代数式的值：（1）直接求代数式的值；（2）利用公式求代数式的值. 3、常用的几何图形公式： 4、求代数式的值的步骤： ①代入 . ②计算. ③验证. 知识点04 单项式相关概念 1、单项式：由数或字母的积组成的代数式叫作单项式. 单独的一个数或一个字母也是单项式. ◆2、单项式的系数：单项式中的数字因数. ◆3、单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和. 知识点05 多项式相关概念 ◆1、多项式：几个单项式的和叫作多项式. ◆2、多项式的项：每个单项式叫作多项式的项. ◆3、多项式的次数：次数最高项的次数. ◆4、常数项：不含字母的项. 知识点06 同类项 ◆1、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项. ◆2、合并同类项法则： 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变. ◆3、合并同类项的一般步骤： (1)找：找出同类项，当项数较多时，通常在同类项的下面做相同的标记. (2)换：运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项结合. (3)合：利用分配律，合并同类项. (4)写：写出合并后的结果并按某一个字母的降幂(或升幂)排列. 知识点07去括号 去括号法则： 1.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 2.如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 知识点08 整式的加减 ◆1、整式加减计算的一般步骤：如果有括号的先去括号，再合并同类项. ◆2、求整式的值的一般步骤：先将式子化简，再代入数值进行计算. 知识点09 数与式的变化规律 ◆1、 数与式的规律问题: 从给定的几个数与式入手，观察数与数之间的规律及式子本身存在的规律，分别进行横向、纵向的比较，找出其中的不变部分与变化部分，确定数和式子与序号之间的关系，找出变化规律. ●若是一列整数，则可考虑相邻两数的和、差、积、商等方面的规律，也可以是奇、偶、平方等方面的规律； ●若是等式，则可将每个等式对应写好，然后比较每一行、每一列数字之间的关系，从而找出规律； ●若是分数，则可分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系． 知识点10 图形的变化规律 ◆图形的变化规律问题: 观察、分析图形特点，挖掘相邻两个图形间的增减变化关系，有时也可将图形进行分割，从不同角度分析图形的变化特点，从中找出规律，大胆猜想，用恰当的代数式表示规律并加以验证． 知识点11 日历中的规律 ◆1、在日历中，方框中的9个数之和是最中间数的9倍．如果用a表示正中间的数，这9个数的和等于9a． ◆2、任意一行或列的相邻三个数的和等于最中间数的3倍．设最中间的数为a，则任意一行或列的相邻三个数的和为3a． 题型一 代数式及其意义 解｜题｜技｜巧 1、用运算符号把数与字母连接而成的，叫做代数式．单独的一个数或者一个字母也是代数式． 2、代数式的实际意义就是将代数式中的数字、字母及运算符号赋予具体的含义． 【典例1】（24-25七年级上·河南南阳·期末）在式子、a、1、、中，代数式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】（23-24六年级上·山东烟台·期末）下列各式：①；②；③；④；其中，不符合代数式书写要求的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】下列说法中，正确的是（   ） A．，，，的积用代数式表示为 B．是代数式，1不是代数式 C．的意义是的2倍与的差的 D．与两数的平方和用代数式表示为 题型二 列代数式 解｜题｜技｜巧 把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． 【典例1】万山悬崖泳池是网红打卡点．若泳池原有水20立方米，现打开进水管匀速进水，每小时进水立方米，小时后泳池中有水（　　）立方米． A． B．at C． D． 【变式1】如图，下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】一件运动衣的成本价为元，先按成本提高后标价，再按标价的折出售，这件运动衣的售价是 元． 题型三 求代数式的值 解｜题｜技｜巧 求代数式的值就是将具体的数值代入到代数式中，并按照一定的运算规则进行计算即可解答. 【典例1】 当时，代数式的值为（  ） A． B．8 C． D．32 【变式1】（24-25六年级上·山东淄博·期末）当时，多项式的值为8；则当时，该多项式的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式2】已知互为相反数，互为倒数，x的绝对值是2，求的值（   ） A． B．7 C．3或 D．或 题型四 根据程序图求代数式的值 解｜题｜技｜巧 在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号． 【典例1】（24-25六年级上·山东东营·期末）按照如图所示的运算程序，下列输入的数据中，能使输出的结果为的是（   ）    A．， B．， C．， D．， 【变式1】（24-25六年级下·山东烟台·期末）按如图所示的程序进行计算，若输出y的值为4，则输入x的值为（   ） A．3 B．2 C． D．或2 【变式2】根据如图的计算程序，若输入x的值为﹣5，则输出的值为 　 　． 题型五 单项式的相关概念 解｜题｜技｜巧 在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式． 【典例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）在式子，，，a，0，，0.95，中，单项式的个数有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【变式1】已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列说法正确的是（    ） A．是二次单项式 B．的次数是4，系数是2 C．的系数是 D．数字0是单项式 题型六 利用单项式的相关概念求值 解｜题｜技｜巧 根据单项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方 程，求出方程的解即可. 【典例1】若单项式的系数是m，次数是n，则m+n＝（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知（a+3）x2y|a|+1是关于x，y的六次单项式，则a的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．以上都不对 【变式2】（24-25六年级上·山东济宁·期末）若是关于x、y的10次单项式，且系数是8，则 ． 题型七 多项式及整式的有关概念 解｜题｜技｜巧 1、几个单项式的和叫做多项式. 2、多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数. 3、单项式和多项式统称为整式.所有的单项式和多项式整式，既不是单项式也不是多项式的式子一定不是整式. 【典例1】多项式是几次几项式_____，其常数项是（   ） A．六次三项式， B．四次三项式，3 C．四次三项式， D．六次三项式，3 【变式1】（24-25七年级上·山东聊城·期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．其中整式的个数有（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（23-24七年级上·山东滨州·期末）下列结论中正确的是（   ） A．单项式的系数是，次数是 B．单项式的次数是，没有系数 C．多项式是三次多项式 D．在，，，，中，整式有个 题型八 利用多项式的相关概念求值 解｜题｜技｜巧 根据多项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方程，求出方程的解即可. 【典例1】已知是关于的二次多项式，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】如果多项式是关于的三次三项式，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2已知关于x，y的多项式与多项式的次数相同，那么n的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型九 综合利用单项式、多项式的相关概念求值 解｜题｜技｜巧 主要考查多项式与单项式，解题的关键是熟练运用多项式与单项式的相关概念解题即可． 【典例1】已知是关于a，b的六次单项式，是关于a，b的四次五项式，求n﹣m的值． 【变式1】﹣5x2ym+1+xy2﹣3x3﹣6是六次四项式，且3x2ny5﹣m的次数跟它相同． （1）求m，n的值； （2）求多项式的常数项以及各项的系数和． 【变式2】已知多项式xa+1y2﹣x3+x2y﹣1是关于x、y的五次四项式，单项式﹣8x2y3z的次数为b，c是最小的正整数，求（a﹣b）c+1的值． 题型十 判断两单项式是否同类项 解｜题｜技｜巧 ①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可； ②同类项与系数的大小无关； ③同类项与它们所含的字母顺序无关； ④所有常数项都是同类项． 【典例1】下列各组中不是同类项的是 （    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1】（24-25七年级上·山东临沂·期末）下列各式中，与是同类项的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25六年级上·山东泰安·期末）下列各组单项式中，不是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型十一 由同类项的定义求值 解｜题｜技｜巧 主要利用的是同类项的概念，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，根据题意得到关于某个字母的方程求解即可． 【典例1】若与是同类项，那么（    ） A．0 B．1 C．－1 D．－2 【变式1】（24-25七年级上·山东聊城·期末）若与的和是单项式，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【变式1】如果单项式与是同类项，那么（   ） A．1 B． C．0 D．无法确定 题型十二 由合并同类项的法则求值 解｜题｜技｜巧 根据合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.利用合并的系数特点来解决问题. 【典例1】若﹣2amb2m﹣n与5an+2b2m﹣n可以合并成一项，则m﹣n的值 是（　　） A．2 B．0 C．﹣1 D．1 【变式1】若7x2y2和﹣11x3my2的和是单项式，则式子12m﹣16的值是（　　） A．﹣13 B．﹣9 C．﹣8 D．﹣5 【变式2】若﹣2amb4与5ab2m+n可以合并成一项，则mn的值是 ． 题型十三 合并同类项的计算 解｜题｜技｜巧 “合并同类项”的步骤： 一找，找出多项式中的同类项，不同类的同类项用不同的标记标出； 二移，利用加法的交换律，将不同类的同类项集中到不同的括号内； 三合，将同一括号内的同类项相加即可. 【典例1】合并同类项： (1)； (2)． 【变式1】合并同类项： (1) (2) 【变式1】合并同类项： (1)； (2)． 题型十四 去括号 解｜题｜技｜巧 按照去括号法则即可解答. 括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项的符号都不改变； 括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项的符号都要改变. 【典例1】下列各式中去括号正确的是（　　） A．﹣（a﹣b）＝a﹣b B．﹣（﹣a﹣b）＝a﹣b C．a2+2（a﹣2b）＝a2+2a﹣2b D．a﹣2（a﹣2b）＝a2﹣2a+4b 【变式1】下列各式，去括号添括号正确的是（　　） A．﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b B．2a+3b＝﹣（2a﹣3b） C．2（x﹣4）＝2x﹣4 D．（am﹣bn）﹣（an﹣bm）＝（am﹣an）+（bm﹣bn） 【变式2】下列各式中，去括号结果正确的个数是（　　） ①2x2﹣（﹣2x+y）＝2x2+2x+y； ②7a2﹣[3b﹣（a﹣2c）﹣d]＝7a2﹣3b+a﹣2c+d； ③2xy2﹣3（﹣x+y）＝2xy2+3x﹣y； ④﹣（m﹣2n）﹣（﹣2m2+3n2）＝﹣m+2n+2m2﹣3n2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十五 利用去括号化简 解｜题｜技｜巧 先对式子进行去括号，再合并同类项，有时还要用到添括号.在计算时要注意： 1、当括号前有数字因数时，应运用乘法分配律运算，切勿漏乘． 2、出现多重括号时，一般是先去小括号，再去中括号，最后去大括号，每去掉一层括号，如果有同类项也可随时合并，为下一步运算简便化，较少差错． 【典例1】先去括号，再合并同类项 （1）2（2b﹣3a）+3（2a﹣3b） （2）4a2+2（3ab﹣2a2）﹣（7ab﹣1） 【变式1】去括号，合并同类项： （1）（x﹣2y）﹣（y﹣3x）； （2）． 【变式2】去括号： （1）3x+2（x﹣）﹣（x+1） （2）5（2a2b﹣ab2）﹣（6a2b﹣3ab2） 题型十六 利用整式的加减计算 解｜题｜技｜巧 用A、B表示的多项式分别是一个整体，先化简再代入求值时要把A、B加上括号后，然后去括号再进行化简. 【典例1】老师在黑板写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，形式如图：﹣3x﹣1＝x2﹣5x，则所捂的二次三项式为（　　） A．x2﹣2x+1 B．x2﹣8x﹣1 C．x2+2x﹣1 D．x2+8x+1 【变式1】已知多项式 ，，求： (1)； (2)． 【变式2】已知：，， (1)求 的值． (2)无论 取何值， 都是一个定值，求 的值． 题型十七 整式的化简求值 解｜题｜技｜巧 进行整式的加减时先去括号然后合并同类项进行化简后，直接(或整体)代入字母的值进行计算即可. 【典例1】（25-26七年级上·全国·期末）先化简，再求值：，其中，． 【变式1】已知，，求的值． 【变式2】先化简，再求值：，其中． 题型十八 整式加减中与某个字母无关问题 解｜题｜技｜巧 整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法：在整式的加减运算的过程中，若涉及“不含某项”或“与某项无关”，其实质是指合并同类项后“不含项”或“无关项”的系数为0. 【典例1】（23-24六年级上·山东泰安·期末）若关于的多项式不含二次项，则等于（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式1】已知：， (1)若时，求． (2)若的值与x的值无关，求m的值． 【变式2】若代数式的值与字母的取值无关， (1)求的值； (2)求代数式的值． 题型十九 整式加减中的错看问题 解｜题｜技｜巧 看错符号问题，先根据错误的运算方法求出原来的某个多项式，然后再按照正确的运算方法计算结果即可. 【典例1】黑板上有一道题，是一个多项式减去3x2﹣5x+1，某同学由于大意，将减号抄成加号，得出结果是5x2+3x﹣7，这道题的正确结果是（　　） A．8x2﹣2x﹣6 B．14x2﹣12x﹣5 C．2x2+8x﹣8 D．﹣x2+13x﹣9 【变式1】有一道题目是一个多项式A减去多项式2x2+5x﹣3，小胡同学将2x2+5x﹣3抄成了2x2+5x+3，计算结果是﹣x2+3x﹣7，这道题目的正确结果是（　　） A．x2+8x﹣4 B．﹣x2+3x﹣1 C．﹣3x2﹣x﹣7 D．x2+3x﹣7 【变式2】．马小虎做一道题：“已知两个多项式A、B，计算2A+B”．他误将“2A+B”看成“A+2B，求得的结果为9x2+x﹣7．如果知道B＝x2﹣2x+6． （1）请根据现有条件求多项式A； （2）计算2A+B的正确答案． 题型二十 整式加减与数轴、绝对值的结合 解｜题｜技｜巧 先由数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，原式利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【典例1】有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣b|+|c﹣a|﹣|b﹣c|的结果是（　　） A．﹣2a B．﹣2b C．﹣2a﹣2b D．2a﹣2b 【变式1】有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，b______0，______0，______0，； (2) 化简：． 【变式2】有理数 a、b、c 的位置如图所示， (1)比较大小：b____0，____0，_____0，____0； (2)化简式子：． 题型二十一 利用整式加减解决数字问题 解｜题｜技｜巧 根据方框在日历中的不同位置寻找规律，并利用规律求值；解决本题的难点是发现日历中左右相邻的数相隔1，上下相邻的数相隔7． 【典例1】一个三位数M，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c． （1）用含a、b、c的式子表示这个数M为 　 　． （2）现在交换百位数字和个位数字，得到一个新的三位数N，请用含a、b、c的式子表示这个数N为 　 　． （3）请用含a、b、c的式子表示N﹣M，并回答N﹣M能被11整除吗？ 【变式1】一个三位数，若它的十位数字等于个位数字与百位数字的和，那么称这个三位数为“和谐数”． （1）最小的三位“和谐数”是 　 　，最大的三位“和谐数”是 　 　； （2）若一个“和谐数”的个位数字为a（a≥0），十位数字为b（b≥1，b＞a且a、b都是自然数），请用含a，b的代数式表示该“和谐数”； （3）判断任意一个三位“和谐数”能否被11整除，若能，请说明理由，若不能，请举出反例． 【变式2】如图1，图2是某月的日历． （1）如图1，小明用带阴影的长方形围住9个数字． ①若设长方形围住的左上角的第一个数为x，则长方形围住的右下角的第9个数为 　 　（用含x的式子表示）；此时这9个数的和为 　 　（用含x的式子表示）； ②若设长方形围住的正中间的数为a，请你试猜想围住的9个数之和与其正中间的数有什么关系，并说明理由； （2）若围住的数字由长方形中9个数字变成如图2所示的带阴影的数字，试判断是否还满足②中的结论，并说明理由． 题型二十二 利用整式加减进行新定义运算 解｜题｜技｜巧 将多项式作为整体代入新定义的运算中，切记将多项式要用括号括起来，再去括号． 【典例1】（2024春•天元区校级期末）若“ω”是新规定的某种运算符号，设aωb＝3a﹣2b，则（x+y）ω（x﹣y）的值为（　　） A．x+y B．x+2y C．2x+2y D．x+5y 【变式1】给出如下定义：我们把有序实数对（a，b，c）叫做关于x的二次多项式ax2+bx+c的特征系数对，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对（a，b，c）的特征多项式．回答下列问题： （1）关于x的二次多项式3x2+2x﹣1的特征系数对为 　 　； （2）求有序实数对（1，4，4）的特征多项式与有序实数对（﹣3，﹣4，2）的特征多项式的和． 【变式2】阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义是ad﹣bc． 例如：1×4﹣2×3＝﹣2． （1）按照这个规定，请你计算的值； （2）按照这个规定，请你化简． 题型二十三 运用整式的加减解决实际问题 解｜题｜技｜巧 有关整式加减的实际问题，应先根据题目中的数量关系，正确列出关系式，再按照整式加减的运算法 则计算出最后的结果. 【典例1】我校七年级有象棋、足球、演讲、美术四个社团，参加象棋社团的有x人，参加足球社团的人数比象棋社团的人数的两倍少y人，参加演讲社团的人数比足球社团的人数的一半多1人，每个学生都限报一项，参加社团的学生共有人． (1)足球社团的学生比演讲社团多多少人（用含x，y的式子表示）？ (2)若，求美术社团的人数． 【变式1】某文具店销售笔记本和中性笔，两种文具的销售单价和成本如下表所示，且每月固定成本（如房租、水电费）为300元． 文具类型 销售单价（元/件） 单件变动成本（元/件） 笔记本 15 8 中性笔 5 2 已知该店每月卖出的中性笔数量是笔记本数量的2倍，设每月卖出笔记本x本（x为正整数）． (1)用含x的代数式表示该店每月的总利润（利润总销售额总变动成本固定成本）； (2)若该店制定了“笔记本销量超20本时，超出部分的笔记本按原价的8折销售，中性笔单价不变”的促销方案，分别计算当和时，该店每月的总利润． 【变式2】火车站、机场等场所都有为旅客提供打包服务的项目．现有一个长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米的箱子（其中）），准备采用如图①、②的两种打包方式，所用打包带的总长（不计接头处的长）分别记为． (1)图①中打包带的总长___________厘米（用含的代数式表示，并化简），图②中打包带的总长___________厘米（用含的代数式表示，并化简）； (2)试判断哪一种打包方式更节省材料，并说明理由； (3)若，包装费用每厘米元，两种包装费用相差元，求的值． 题型二十四 数与式的变化规律 解｜题｜技｜巧 掌握“观察—分析—归纳—验证”四步法是解决数与式变化规律问题的关键，重点在于找出“变”与“不变”的部分，并建立与序号n的代数关系 【典例1】已知整数，满足下列条件：，依此类推，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】定义：a是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：2的差倒数是的差倒数是．已知是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则的值是（    ） A．2 B． C． D．不能确定 【变式2】把有理数a代入得到，称为第一次操作；再将作为a的值代入得到，称为第二次操作；……．若，则经过第2025次操作后得到的结果是（   ） A． B． C． D． 题型二十五 图形的变化规律 解｜题｜技｜巧 掌握常见的图形变化规律是解决此类题目的关键，通常可通过观察元素的数量、位置、形状、叠加方式等特征来归纳出模式。 【典例1】如图是由一些火柴搭建的图案，图①共需6根火柴棒，图②共需11根火柴棒，图③共需16根火柴棒，…，依此类推，则图⑧共需火柴棒（    ） A．31根 B．36根 C．41根 D．45根 【变式1】（24-25七年级上·山东济宁·期末）将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形，…，如此下去，则第2025个图中共有正方形的个数为（   ） A．2024 B．2025 C．6070 D．6073 【变式2】用黑白两种颜色的六边形砖按如下规律拼成若干个图案，第个图案中有白色砖 块． 题型二十六 日历中的规律 解｜题｜技｜巧 日历中的日期排列遵循固定的数学规律，利用这些规律可以快速解决“圈数求和”“反推日期”等问题。关键是将中间数设为字母（如x），用整式表示相邻数字，并通过加减运算验证规律。 【典例1】如图是某月的日历，现用一方框在日历中任意框出九个数，请观察图形解答下列问题： （1）日历图中方框框住的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？ （2）这个关系对其他这样的方框成立吗？请用代数式表示这个关系． （3）这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？ （4）你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗？请写出一种． 【变式1】日历是生活的好助手，仔细观察我们可以发现其中某些数满足一定的规律．如图所示的是某月的日历，若用一个水平放置的方框任意平移框住其中4个日期数． （1）若设方框内左上角的数为a，则其他三个数分别用a表示为 　 　，　 　，　 　． （2）若将方框中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：＝xy﹣mz．结果会随方框位置移动而变化吗？若会，请说明理由；若不会，请求出运算结果． 【变式2】在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2022年1月份的日历，我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，结果都是7，例如：4×10﹣3×11＝7，14×20﹣13×21＝7． （1）如图，设日历中所示的方框左上角数字为x，则上面发现的规律用含x的式子可表示为 　 　； （2）利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25六年级上·山东淄博·期末）下列单项式中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东济宁·期末）下列说法中正确的是（   ） A．的系数是，次数是2 B．多项式是三次三项式 C．表示a，b，的积的代数式为 D．是多项式 3．（25-26七年级上·陕西西安·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25六年级上·山东东营·期末）若单项式与是同类项，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2025 5．（24-25七年级上·山东青岛·期末）单项式的系数为 ，次数为 ． 6．（24-25七年级上·甘肃·期末）代数式的值是7，则代数式的值是 ． 7．（2024秋•旌阳区期末）若关于a，b的多项式（a2﹣4ab﹣b2）﹣（a2﹣mab+2b2）化简后不含ab项，则m＝　 　． 8．观察下列代数式：，，，，…按照此规律排列下去，则第个单项式表示为 ． 9．（24-25七年级上·江苏·期末）某校举行用火柴棒摆“金鱼”比赛，如图所示：按照上面的规律，摆n个“金鱼”需用火柴棒的根数为 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 10．化简： (1)； (2)； (3)； (4)； 11．  已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求的值． 12．已知，，求，并求当，时，的值． 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 14．用6个如图①所示的长为a，宽为b的长方形，拼成一个如图②所示的图案，得到两个大小不同的长方形． (1)请用含a，b的代数式，分别表示大长方形和小长方形的周长． (2)若，，求两个长方形的周长差． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 15．已知多项式是关于x、y的四次三项式． (1)求m的值，并写出这个多项式； (2)将多项式按字母y的升幂排列； (3)当，时，求此多项式的值． 16．小马虎做一道数学题“两个多项式A，B，已知，试求的值”．小马虎将看成，结果答案（计算正确）为． (1)求多项式A； (2)若多项式，且满足的结果不含项和x项，求m，n的值． 17．阅读材料： 我们知道，2x+3x﹣x＝（2+3﹣1）x＝4x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则2（a+b）+3（a+b）﹣（a+b）＝（2+3﹣1）（a+b）＝4（a+b）．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把（x﹣y）2看成一个整体，求将2（x﹣y）2﹣5（x﹣y）2+（x﹣y）2合并的结果； （2）已知2m﹣3n＝4，求代数式4m﹣6n+5的值； 拓广探索 （3）已知a﹣2b＝5，b﹣c＝﹣3，3c+d＝9，求（a+3c）﹣（2b+c）+（b+d）的值． 18．体育成绩在中考中的比重越来越大，某校为适应新的中考要求，决定为体育组添置一批体育器材，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价120元，跳绳每条定价20元．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案： A方案：买一个篮球送一条跳绳； B方案：篮球和跳绳都按定价的付款． 已知要购买篮球50个，跳绳条． (1)若按A方案购买，一共需付款 元；（用含的代数式表示并化简）若按B方案购买，一共需付款 元．（用含的代数式表示并化简） (2)当时，请通过计算说明此时用哪种方案购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $