福建省福建省南平第一中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

南平一中2025~2026学年九年级第一学期 数学阶段训练（二）参考答案及解析 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 答案：B 解析：中心对称图形是绕原点旋转180°后与原图重合的图形，逐一判断选项，只有B满足该特征。 2. 答案：C 解析：A是随机事件，B是必然事件，C中实数的平方恒非负，x²<0不可能发生，是不可能事件，D是随机事件。 3. 答案：B 解析：反比例函数图象在第二、四象限（B正确）；代入（1,-2）不满足解析式（A错）；在每个象限内y随x增大而增大，并非全体实数范围（C错）；图象既是中心对称图形也是轴对称图形（D错）。 4. 答案：A 解析：点P在⊙O内，故OP<r，OP=5，则r>5，只有A选项6符合。 5. 答案：C 解析：正六边形内接于圆，OA=OC=AB=BC，∠AOC=120°，△AOC为等腰三角形，∠OAC=（180°-120°）/2=30°。 6. 答案：B 解析：第一次降价后价格为300（1-x），第二次在第一次基础上降价，价格为300（1-x）（1-x）=300（1-x）²。 7. 答案：D 解析：设球心为O，连接OA、OC，OA=5cm，OC=5-2=3cm，由勾股定理得AB=8cm。 8. 答案：C 解析：刻度尺上两条线段的差值为5 - 3 = 2个单位长度13。数轴上点B与点8之间的距离对应这个差值。根据平行线段的比例关系，可以推导出AB的长度为4 9. 答案：A 解析：计算每个圆弧的弧长：每个圆弧的弧长为。确定点P在一个完整周期内运动的时间：点P走完一个圆弧所需时间为2秒。点P在第2025秒时位于第1013个圆弧的中点，即第338个完整波形周期后的第2个圆弧的中点。计算点P的坐标：点P的横坐标为4050，纵坐标为-2。 因此，第2025秒时点P的坐标为（4050，-2）。 10. 答案：C 解析：将抛物线y=−x²+4x沿x轴翻折后，方程变为y=x²−4x（ 0≤x≤4 ）。直线y=m与两抛物线交于四点，横坐标分别为 ，，，（按从小到大排列）。由对称性，+=4 ，+=4 ，且=m（由二次方程根与系数关系）。则t=+-=4−m。由于m的范围为 −4<m<0 （确保四点存在且满足条件），得t的范围为 （4,8） 。 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 答案：-1 解析：关于原点对称的点横纵坐标互为相反数，m=-1，n=2，m+n=-1+2=-1。 12. 答案：=-1，=3 解析：抛物线对称轴为x=1，与x轴交点关于对称轴对称，另一个交点为（3,0），故方程解为x=-1和x=3。 13. 答案：14 解析：切线长定理，PA=PB=7，MA=MC，NB=NC， △PMN周长=PM+PN+MN=PM+PN+MC+NC =PM+MA+PN+NB=PA+PB=14。 14. 答案：2 解析：扇形弧长l=72°/360°×2π×10=4π，圆锥底面周长=2πr=4π，r=2。 15. 答案：4 解析：矩形面积=OB对应的反比例函数面积=6，△OAM和△OCN面积各为1，四边形OMBN面积=6-1-1=4。 16.答案：2-2 解析：构造对称点，将△DCM绕C旋转90°，AQ+QM=AQ+QN（N为对称点），最小值为AN的长度，计算得2-2。 三、简答题（共86分） 17.（8分） （1）解：x（x-4）=0，=0，=4 （2）解：（2x-1）（x-1）=0，=，=1 18.（8分） （1）解：Δ=9+4（m-1）>0且m-1≠0，解得m>且m≠1. （2）解：m为负整数，m=-1，方程为-2x²-3x-1=0，+=，=，²+²=（+）²-2==. 19.（8分） （1）如图△ （2）如图△ （3）答案：5π。 20.（8分） （1）答案：50，7 解析：抽样人数=16÷32%=50，m=50-12-16-15=7 （2）解：600×15/50=180（人） （3）解：树状图或列表得总情况6种，符合条件1种，概率。 21.（8分） （1）证明：旋转得AQ=AF，∠QAF=90°，正方形中AB=AD，∠BAD=90°，∠QAB=∠FAD，△AQB≌△AFD（SAS） （2）解：由全等得BQ=DF=3，∠ABQ=∠ADF=45°， ∠QBE=90°，QE===。 22.（10分） （1）解：反比例函数过A（6,1），k_2=6，B（-2,-3），一次函数过A、B，解得=，b=-2，解析式=，= 。 （2）答案：x>6或-2<x<0 （3）解：直线与y轴交点（0,-2），面积=×2×6+×2×2=8。 23.（10分） （1）证明：连接OC，OA=OC，∠OAC=∠OCA，AC平分∠DAB，∠OAC=∠DAC，OC∥AD，AD⊥CD，OC⊥CD，故DC是切线。 （2）解：连接OE、CE，E是弧AC中点， ∠AOE=∠COE，△AOE为等边三角形，OA=2， 阴影面积=S△OCE=。 24.（12分） （1）答案：x=-3或x=4 解析：x²-12=x，x²-x-12=0，解得x=-3或4。 （2）解：2x²+3x+1=x，2x²+2x+1=0，△=4-8=-4<0，无正值。 （3） ① 求a 的值（正域值为 0） 正域值为 0，说明 “正值” 只有 1 个（最大、最小正值相等）。 令=x，整理得=0，方程有两个相等的实数根，故判别式Δ=0： （a+1）²-4×1×（）=0 化简得a²+2a+1-6a-2=0 a²-4a-1=0 a=2± ② 求整数b 的值（正域值为正整数） 解：令 整理方程，解得 -=|1+| ∵正域值为正整数，b为整数 ∴b=±1或b=2 25.（1）已知抛物线顶点为（1,4）， 设顶点式：y=a（x−1） ²+4 将B（3，0）代入得：a=−1 因此抛物线解析式：y=−（x−1） ²+4=−x² +2x+3 （2）求直线 BC 的解析式 由抛物线解析式，得 C（0，3）， B（3，0）。 设直线 BC ： y=kx+3 ，代入 B（3，0）得 k=−1 ， 故 y=−x+3 。 设 P（t,−t²+2t+3）（0<t<3，因 P 在 BC 上方）。 PE∥y 轴，E 横坐标为 t，代入 BC 得 E（t,−t+3）， 故 PE=（−t²+2t+3）−（−t+3）=−t2+3t。 PF∥x 轴，F 纵坐标为 −t²+2t+3，代入 BC  得 F（t²−2t,−t²+2t+3），故 PF=t−（t²−2t）=−t²+3t。 因 PE⊥PF，△PEF 是等腰直角三角形， S△PEF=×PE×PF=(−t²+3t)² 令u=−t²+3t=−（t−）²+， 当t=时，u最大值为。此时S△PEF的最大 最大值为×()²=，此时点P的坐标为（,）。 （3）（2，3） 学科网（北京）股份有限公司 $南平一中20252026学年九年级第一学期数学阶段训练（二) 考试时间：120分钟满分：150分 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确答案） 1.下面是数学中4个完美的曲线，其中是中心对称图形的是( D 2.下列事件中，为不可能事件的是( A.守株待兔 B.旭月东升 C.当x为某一实数时可使x’<0 D.明天要下雨 3.已知收比例函数！，下列结论中确的是( A.图象过点(1,2) B.图象在第二、四象限 C,随着x的大而增大 D.函数图象是中心村称图形，们不是轴对称图形 4.普))内有一点P,点P到圆心0的离为5，侧⊙O的半径r可以是( A.6 B.3 C.4 D.5 5.如图.正：六边形ABCDEF内接于OO,连接OA,AC,则∠OAC的度数为() A.209 B.25° C.30e D.40° 1 第5题 第7题 第8题 第9题 6.某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进 入国家医保用药目录.如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格y(元)与每次 降价的百分率x之间的函数关系式是( A.'=300(1-x) B.y=300(1-x)2 C.y=300(1+x)2 D.y=3001-x2) 7.如图，-个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm,瓶内液体的深度CD=2cm, 则截面圆中 弦AB的长为() A.4cm B.4v2cm C.6cm D.8cm 8.如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中过点B和8的两条线段（两条线段的另一 端在刻度尺上分别对应3和5)相互平行，若点A在数轴上表示的数是-2且点4与刻度尺 上的0刻度重合，则AB的长度是( A.6 B.5 C.4 D.3 9.如图，点A在x轴正半轴上，曲线C是由半径为4个单位长度，圆心角为120°的Oa经足够 多次复制并依次连接而成的.现有一动点P从原点O出发，以每秒π个单位长度的速度沿 曲线C向右运动，则第2025秒时点P的坐标为( A.4050V5,-2 B.40503,0)C.40485,-2 D.(4048V3,0 10.将抛物线y=-x2+4x位于x轴上方的图象沿着x轴翻折，翻折后的图象与y=m相交于A, B,C,D四点，其横坐标分别为，，5，（其中书<x<为<x),若t=+4一2 则t的取值范围为() A.2<t<4 B.-2<t<8 C.4<1<8 D.-4<t<2 二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分) 11.若点P(m,-2)与点Q(1.n)关于原点对称，那么m+n= 12.已知抛物线=ax2+br+c(a￥0)的对称轴是直线x=1,与x轴的一个交点的坐标是(1,0)， 则方程am2+br+c-0(a≠0)的解是 13.如图，PAPB,MN分别与⊙0相切于点AB,C三点，若AP=7,则△PMW的周长为 14.小明在手工制作课上，用圆心角为72°，半径为10cm的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面， 则这个圆锥的底面半径长为_一一cm. 15.如图，矩无形C与反比例函数y=2(x>0)图象交于M,N,与反比例函数，=(x>0) 的图象交于点B,连接OM,ON,则四边形OMBN的面积为 I6.如图.已知正方形ABCD的四个顶点在⊙O上，点Q为线段BC上的动点，过点C作CM⊥D 于点M、若正方形的边长为4，则AQ+QM的最小值为 0 B 第13题图 第15题图 第16题图 三、简答题（本大题9小题，共86分） 17.(8分)解方程：(1)x2-4x=0 (2)2x2-3x+1=0. 18.(8分)关于x的一元二次方程(m-1)x2-3x-1=0有两个不相等的实数根 (1)求m的取值范围； (2)当m为负整数时，求x+x的值。 19.(8分)如图，正方形网格中，每个小正方形的边 长都是一个单位长度，在平而直角坐标系中，△ABC的 97654 个顶点A(55),B(6,3),C(2.1)均在格点上 3 (1)面出△ABC关于O点成中对称的A4B,C: (2)画出△1C绕点O顺时|放转90后得到的AM,B,C, 19 4 (3)第()问中线段（所1过的面积为 20.‘8分)为提高学生的安全激识，桌学校组织学生参加了“安金知识答题”活动.该校随机 抽取部分学生答题成绩进统计，将成绒分为四个等级：A(优秀)，B(良好)，C(一般)， D(不合格)，并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图 根据图中所给信息解答下列问题： (1这次抽样调查共抽取 人，m的值为，将条形统计图补充完整： (2)该校有600名学生，估计该校学生答题成绩为C等有多少人： (3)学校要从答题成绩为A等且表这能力强的甲、乙、丙、丁四名学生中随机抽出两名学生当 “安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丙的概率。 学生答腮成缴绿形统计图 学生答毯成绩扇形统计图 人数， 20 A 6 16 15 24% 4% 12 B 32% B C D 等级 21.(8分)如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，连接AE,AF,将线段 AF绕点A顺时针旋转90°得到线段A2,连接BQ,E2. (I)求证：AAQB兰△AFD: 2若BE=2,DF=3,求OE的长 B 22.(10分)如图，…次函数1=太+b的图象与反化例函数-的图象相交146,1).-2.) 两点。 (1)分别求出次函数和反比例函数的解析式： (2)根据图象，自接写出满足x+b>的r的取倩范刷： (3)求△1()B的i积 23.(10分)如图，AB是⊙0的直径，C是半圆O上的-一点，AC平分∠DAB,AD⊥CD,垂 足为D,AD交⊙O于E,连接CE. (1)求证：DC是⊙0的切线： (2)若点E是孤AC的中点.且AE=2,求图中阴影部分的面积. 24.(12分)对于关于x的代数式r2+r+c,若存在实数m,使得当x=m时，代数式的值 等于m,则称m为这个代数式的“正值”.把该代数式的最大正值与最小正值的差称为“正 域值”.例如：对于关于x的代数式x2,当x=0时，代数式的值等于0：当x=1时，代数式的 值等于1、我们就称0和1都是这个代数式的正值，正域值为1一0=1。 (1)代数式x2-12的正值是 (2)判断代数式2：2+3x+1是否存在正俏、若有，请求出代数式的正值；若没有，则说明理 由 (3)@若关于的代数式r-+a+号的正嫩值为0，求a的值： ②若关于x的代数式bx2-(3b2-8b1)x+2b2-13b+15的正域值为正整数，求整数b的值， 25.(14分)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为(1,4)，与x轴交于4，B两 点，与'轴交于点C,其中点B(3,0) (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线PE交直线BC于点 E,过点P作x轴的平行线PF交直线B(于点F,求△EF面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，连接AC,BC,抛物线上是否存在点2，使∠CBQ+∠ACO=45°？若存在，请直接 写出点Q的坐标：若不存在，请说明理由， 图1 图2 南平一中2025~2026学年九年级第一学期数学阶段训练（二） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确答案） 1.下面是数学中4个完美的曲线，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2.下列事件中，为不可能事件的是（ ） A.守株待兔 B.旭日东升 C.当x为某一实数时可使x²<0 D.明天要下雨 3.已知反比例函数，下列结论中正确的是（ ） A.图象过点（1，-2） B.图象在第二、四象限 C.y随着x的憎大而增大 D.函数图象是中心对称图形，但不是轴对称图形 4.若⊙O内有一点P，点P到圆心O的距离为5，则⊙O的半径r可以是（ ） A.6 B.3 C.4 D.5 5.如图.正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OA，AC，则∠OAC的度数为（ ） A.20° B.25° C.30° D.40° 第5题 第7题 第8题 第9题 6.某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录。如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（ ） A.y=300（1-x） B.y=300（1-x）² C.y=300（1+x）² D.y=300（1-x²） 7.如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的深度CD=2cm，则截面圆中弦AB的长为（ ） A.4cm B.4cm C.6cm D.8cm 8.如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中过点B和8的两条线段（两条线段的另一端在刻度尺上分别对应3和5）相互平行，若点A在数轴上表示的数是-2且点A与刻度尺上的0刻度重合，则AB的长度是（ ） A.6 B.5 C.4 D.3 9.如图，点A在x轴正半轴上，曲线C是由半径为4个单位长度，圆心角为120°的经足够多次复制并依次连接而成的.现有一动点P从原点0出发，以每秒个单位长度的速度沿曲线C向右运动，则第2025秒时点P的坐标为（ ） A.（4050，-2） B.（4050，0） C.（4048，-2） D.（4048，0） 10.将抛物线y=-x²+4x位于x轴上方的图象沿着x轴翻折，翻折后的图象与y=m相交于A，B，C，D四点，其横坐标分别为，，，（其中<<<），若t=+-，则t的取值范围为（ ） A.2< t <4 B.-2< t <8 C.4< t <8 D.-4< t <2 二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分） 11.若点P（m，-2）与点Q（1，n）关于原点对称，那么m+n= . 12.已知抛物线y=a²+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点的坐标是（-1.0），则方程ax²+bx+c=0（a≠0）的解是 . 13.如图，PA，PB，MN分别与⊙O相切于点A，B，C三点，若AP=7，则△PMN的周长为 . 14.小明在手工制作课上，用圆心角为72°，半径为10cm的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径长为 cm. 15.如图，矩形OABC与反比例函数（x＞0）图象交于M，N，与反比例函（x＞0）的图象交于点B，连接OM，ON，则四边形OMBN的面积为 . 16.如图.已知正方形ABCD的四个顶点在⊙O上，点Q为线段BC上的动点，过点C作CM⊥DQ于点M、若正方形的边长为4，则AQ+QM的最小值为 . 第13题图 第15题图 第16题图 三、简答题（本大题9小题，共86分） 17.（8分）解方程： （1）x²-4x=0 （2）2x²-3x+1=0. 18.（8分）关于x的一元二次方程（m-1）x²-3x-1=0有两个不相等的实数根. （1）求m的取值范围； （2）当m为负整数时，求²+²的值. 19.（8分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（5，5），B（6，3），C（2，1）均在格点上. （1）画出△ABC关于O点成中心对称的△A₁B₁C₁； （2）画出△ABC绕点O顺时钊旋转90°后得到的△A₂B₂C₂； （3）第（2）问中线段AC所扫过的面积为 . 20.（8分）为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动。该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图. 根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取 人，m的值为 ，将条形统计图补充完整； （2）该校有600名学生，估计该校学生答题成绩为C等有多少人； （3）学校要从答题成绩为A等且表达能力强的甲、乙、丙、丁四名学生中随机抽出两名学生当“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丙的概率. 21.（8分）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，连接AE，AF，将线段AF绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BQ，EQ. （1）求证：△AQB≌△AFD; （2）若BE=2，DF=3，求QE的长. 22.（10分）如图，一次函数y₁=k₁x+b的图象与反比例函数的图象相交于A（6，1），B（-2，n）两点. （1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足的x的取值范围； （3）求△AOB的面积. 23.（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE. （1）求证：DC是⊙O的切线： （2）若点E是弧AC的中点.且AE=2，求图中阴影部分的面积. 24.（12分）对于关于x的代数式ax²+bx+c，若存在实数m，使得当x=m时，代数式的值等于m，则称m为这个代数式的“正值”.把该代数式的最大正值与最小正值的差称为“正域值”.例如：对于关于x的代数式x²，当x=0时，代数式的值等于0;当x=1时，代数式的值等于1.我们就称0和1都是这个代数式的正值，正域值为1-0=1. （1）代数式x²-12的正值是 . （2）判断代数式2x²+3x+1是否存在正值，若有，请求出代数式的正值；若没有，则说明理由. （3）①若关于x的代数式的正域值为0，求a的值； ②若关于x的代数式b²x²-（3b²-8b-1）x+2b²-13b+15的正域值为正整数，求整数b的值. 25.（14分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为（1，4），与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点B（3，0）. （1）求抛物线的解析式; （2）如图1，点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线PE交直线BC于点E，过点P作x轴的平行线PF交直线BC于点F，求△PEF面积的最大值及此时点P的坐标; （3）如图2、连接AC，BC，抛物线上是否有在点Q，使∠CBQ+∠ACO=45°?若存在，请直接写出点Q的坐标:若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $