2.2 探索直线平行的条件(第2课时）利用内错角、同旁内角判定两直线平行 课件 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦“利用内错角、同旁内角判定两直线平行”，通过“画板边缘是否平行”的现实情境导入，先复习三线八角与同位角判定，再引导探究内错角、同旁内角的位置特征及判定方法，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实问题，通过三角尺拼图、弯形管道等实例抽象数学模型，用推理证明（如内错角通过对顶角转化为同位角）发展数学思维，以符号语言规范表达判定过程培养数学语言。采用情境探究与分层练习结合的教学方法，学生能提升抽象能力与推理意识，教师可借助系统知识梳理和中考题例优化教学。

新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】 2.2 探索直线平行的条件(第2课时） 利用内错角、同旁内角判定两直线平行 第二章 相交线与平行线 授课教师： . 班 级： . 时 间： . a i T u j m i a N g 1 创设情境，新课导入 李老师有一块小画板(如图①)， 他想知道它的上、 下边缘是否平行， 于是他在两个边缘之间画了一条线段 AB 。 李老师身边只有一个量角器， 他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上、 下边缘是否平行， 你知道他是怎样做的吗？ ① ② 利用内错角、同旁内角判定两直线平行 教学课件 第1页：复习旧知 导入新课 1. 回顾三线八角：展示标准三线八角图形，提问：图中∠1与∠2是何种角？（同位角） 2. 复习判定方法：同位角满足什么关系时两直线平行？（同位角相等，两直线平行） 3. 导入问题：除同位角外，内错角、同旁内角的关系能否判定两直线平行？引出课题。 第2页：探究一 内错角判定两直线平行 1. 观察图形：直线a、b被截线c所截，标注内错角∠2与∠3。 2. 提出猜想：若∠2=∠3，a与b是否平行？ 3. 推理证明：∵∠1=∠3（对顶角相等），∠2=∠3（已知），∴∠1=∠2（等量代换），∴a∥b（同位角相等，两直线平行）。 4. 归纳结论：内错角相等，两直线平行。符号语言：∵∠2=∠3，∴a∥b。 第3页：探究二 同旁内角判定两直线平行 1. 观察图形：延续上述图形，标注同旁内角∠2与∠4。 2. 提出猜想：若∠2+∠4=180°，a与b是否平行？ 3. 推理证明：∵∠4+∠1=180°（邻补角定义），∠2+∠4=180°（已知），∴∠1=∠2（同角的补角相等），∴a∥b。 4. 归纳结论：同旁内角互补，两直线平行。符号语言：∵∠2+∠4=180°，∴a∥b。 第4页：巩固应用 深化理解 1. 例题：弯形管道ABCD中，∠ABC=120°，∠BCD=60°，判断AB与CD是否平行？说明理由。 2. 分析：∠ABC与∠BCD是同旁内角，和为180°，故AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）。 3. 变式提问：找出图中一组内错角，若相等可判定哪两条直线平行？ 第5页：课堂小结 1. 两种新判定方法：内错角相等→两直线平行；同旁内角互补→两直线平行。 2. 核心思想：将内错角、同旁内角关系转化为同位角关系，体现转化思想。 3. 关键技巧：准确识别三线八角中的内错角、同旁内角。 探究点1：内错角和同旁内角的识别 问题引入，自主探究 C D A B l 1 3 2 问题1：观察右图中的∠1和∠2， ∠1和∠3，它们是同位角吗？ 问题2：观察右图中的∠1和∠2，你能发现它们有什么样的位置关系吗？ 1.都在被截直线AB，CD的_____________。 2.都在截线 l 的__________。 之间(之内) 两侧(交错) 不是 具有∠1与∠2这样位置关系的角称为内错角。 A B F 1 2 3 4 5 7 6 8 C D E 问题3：尝试找出下图中内错角，并观察内错角的图形有什么特征。 ∠4和∠6，∠3和∠5 α β α β 4 6 3 5 总结 图形特征：在形如字母“ Z ”的图形中有内错角。 C D A B l 1 3 2 问题4：观察右图中的∠1和∠3，你能发现它们有什么样的位置关系吗？ 1.都在被截直线AB，CD的___________。 2.都在截线 l 的______________。 之间(之内) 同一旁(同侧) 具有∠1与∠3这样位置关系的角称为同旁内角。 ∠4和∠5，∠3和∠6 A B F 1 2 3 4 5 7 6 8 C D E 问题5：尝试找出下图中同旁内角并观察同旁内角的图形有什么特征。 α β α β 4 5 3 6 总结 图形特征：在形如字母“ U ”的图形中有同旁内角。 回顾同位角﹑内错角和同旁内角的位置与结构特征，完成下列表格。 角的名称 位置特征 基本图形 形象记法 共同特征 同位角 截线：_________ 被截线：_______ “_________” 内错角 截线：_________ 被截线：_______ “_________” 同旁内角 截线：_________ 被截线：_______ “_________” 同侧 同侧 F Z U 两侧 之间 同侧 之间 ①必有三条直线 ②这三类角都没有公共顶点 ③都表示角之间的位置关系 问题1：内错角满足什么关系时，两直线平行？为什么？ 探究点2：平行线的判定 a b l 3 2 1 解：当内错角相等时，两直线平行， 即当∠1=∠2时，a∥b。 因为∠1=∠3（对顶角相等）， 当∠1=∠2时， ∠2 = ∠3 (等量代换)， 所以 a∥b（同位角相等，两直线平行）。 总结 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 简述为：内错角相等，两直线平行。 几何语言： 因为∠1=∠2 (已知)， 所以 a∥b (内错角相等，两直线平行)。 a b l 3 2 1 解：当同旁内角互补时，两直线平行， 即当∠1+∠2=180°时，a∥b。 因为∠1+∠2=180°(已知)， ∠1+∠3=180°(平角的定义)， 所以∠2 = ∠3 (同角的补角相等)， 所以 a∥b（同位角相等，两直线平行）。 问题2：同旁内角满足什么关系时，两直线平行？为什么？与同伴进行交流。 a b l 3 2 1 总结 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 简述为：同旁内角互补，两直线平行。 几何语言： 因为∠1＋∠2＝180°(已知)， 所以 a∥b (同旁内角互补，两直线平行)。 a b l 3 2 1 观察·交流 (1)如图，三个相同的三角尺拼成一个图形，请找出图中的一组平行线，并说明你的理由。 B C A E D B C A E D (2)以下是小颖的思考过程，你能明白她的意思吗？ BC与AE是平行的。因为∠BCA与∠EAC 是内错角，而且相等。 依据内错角相等，判断两直线平行。 B C A E D (3)在图中再找出一组平行线，说说你的理由，并与同伴进行交流 AB∥EC。 理由: 因为∠BAC=∠ECA=90°， 所以 AB∥EC。(内错角相等，两直线平行) 思考·交流 如图，在探究两条直线是否平行时，常用第三条直线截这两条直线，那么这条截线的作用是什么呢？与同伴进行交流。 b a 截线 利用截线与两条直线构造出同位角、内错角或同旁内角，再依据平行线的判定说明两条直线平行。 如图，某公园现有两条直道AB和CD交于点O，为方便游客观赏，公园管理部门决定过小路CD上的点P，再修建一条直道MN，并且MN与AB 平行。 问题1：过点P的直线有多少条？ A B C D O P 探究点3：用尺规过一点作已知直线的平行线 问题2：满足什么条件的直线才能与AB平行？ 无数条 E 需要满足∠DPE=∠POB，可根据同位角相等判断所画直线与AB平行。 1.在直线AB上任取一点O，过点O，P作直线CD。 2.以点 P 为顶点，以PD为一边，在直线CD的右侧作∠DPN=∠DOB。 PN边所在的直线MN就是要作的直线。 A B P O C D M N 因为∠DPN=∠DOB 且为同位角，利用同位角相等，得出两直线平行 问题3：你能在图中画出直道 MN 吗？ 问题4：你能说说这样作的道理吗？ 知识技能 1.找出下图中互相平行的直线。 m n a b 130° 50° 50° 解：m∥n， a∥b。 2.如果只有直尺，你能在图中的方格纸上画出平行线吗？你是怎么画的？ 3.如图，一条街道的两个拐角∠ABC与∠BCD均为150°，街道AB与CD平行吗？为什么？ A B C D 解：AB∥CD (内错角相等两直线平行)。 4.如图，∠DAB+∠CDA=180°， ∠ABC = ∠1，直线 AB 与 CD 平行吗？直线 AD 与 BC 呢？ 1 A B C D 解：因为 ∠DAB+∠CDA=180°， 所以 AB∥CD 。 (同旁内角互补，两直线平行) 又因为 ∠ABC= ∠1， 所以 AD∥BC 。 (同位角相等，两直线平行) 数学理解 5.你能用一张形状不规则的纸(比如，如图所示的四边形的纸)折出两条平行的直线吗？与同伴说说你的折法。 利用同位角相等两直线平行这一性质进行折叠。 A B C D 在其中一边AB上任取两点C、D，分别过点C、D折叠，使CA、CB在同一条直线上，使DA、DB在同一条直线上，此时得到的两条折痕互相平行。 6.图(1)是一种画平行线的工具。在画平行线之前，工人师傅往往要先调整一下工具[如图(2)]，然后再画平行线[如图(3)]。请说明这种工具的用法和其中的道理。 在画平行线之前，工人师傅往往要先调整一下工具，使两个角都是90°，然后画平行线，依据是 “在同一平面内，若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行”。 7.直线l的同侧有 A，B，C 三点，如果 A、B 两点确定的直线 l1与 B，C两点确定的直线 l2 都与 l 平行，那么 A，B，C 三点的位置关系如何? 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以A，B，C三点共线。 l A B C 8.观察下面每幅图中的直线 a，b，它们分别平行吗？如何验证它们是否平行呢？你有几种方法？ 平行。用三角尺的一边对准一条边，推动三角尺使它和另一条边重合，得出图中的a，b两条直线是平行的。 9.利用如图所示的方法，可以折出“过已知直线外一点和已知直线平行”的直线。请说明其中的道理。 （1） （2） （3） （4） 两次折出的都是垂线，利用两个交点处的角都是直角，通过内错角相等得到两直线平行。 知识点1 认识内错角、同旁内角 1.下列四个图形中，与 是内错角的是( ) D A. B. C. D. 中考考法 27 （第2题） 2.［教材随堂练习 变式］如图，下列两个角是同 旁内角的是( ) B A.与 B.与 C.与 D.与 中考考法 28 知识点2 内错角相等，两直线平行 3.［教材习题变式］如图，小明在地图上量得 ，由此判断 幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是____________________ _____。 内错角相等，两直线 平行 （第3题） 中考考法 29 4.如图，若，则________；若，则____ ____。 （第4题） 中考考法 30 （第5题） 5.完成下面的解题过程：如图，平分 ， 。试说明： 。 解：因为平分 ， 所以 （________________）。 因为 ， 所以 ___（__________）。 所以 （________________________）。 角平分线的定义 3 等量代换 内错角相等，两直线平行 中考考法 31 6.（4分）如图所示，，相交于点， ， ，与 平行吗？为什么？ 解： 。理由如下： 因为，， ， 所以，所以 。 中考考法 32 知识点3 同旁内角互补，两直线平行 7.如图，若______，则 。 （第7题） 中考考法 33 8.如图，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道 ，使其拐角 ， ，则( ) C （第8题） A. B. C. D.与 相交 中考考法 34 9.（4分）如图，，分别是，上的点， ， ，试说明： 。 解：因为，，所以 ，所 以 。 中考考法 35 知识点4 用尺规作平行线 10.如图所示，过点画直线的平行线 的作法依据是( ) D A.平行公理 B.同位角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.内错角相等，两直线平行 中考考法 36 11.（4分）如图，是学校花园内两条小路组成的角，点在 上， 点在上，现在过点，分别建一条平行于和 的小路，请用 尺规在图上画出小路。 解：如图所示，小路， 即为 所求。 中考考法 37 （第12题） 12. 如图，这是“自由式滑雪大跳 台”项目图标及示意图，则在下列判断中： 与是对顶角；与是同旁内角； 与是同旁内角；与 是内错角。其中正 确的有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 中考考法 38 （第13题） 13.如图，不能判定 的条件是( ) C A. B. C. D. 中考考法 39 14.下列图形由含 角或 角的直角三角尺组合而成，其中能确定 的是( ) B ① ② ③ ④ A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②④ 中考考法 40 线 平 行 线 相 交 线 两条 直线 相交 一般情况 补角 对顶角 相交成直角 垂直 位置 关系 余角 点到直线的距离 两条直线被第三条所截 概念 两直线平行的条件 两直线平行的性质 性质 概念 两个角有公共点，它们的两边互为反向延长线。 对顶角相等 两个角的和为180°，称两个角互补。 同角(或等角)的补角相等 两个角的和为90°，称两个角互余。 同角(或等角)的余角相等 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直。 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离 课堂小结 性质 概念 性质 性质 概念 同位角 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线 形如 ∠1与∠2 的位置关系 同位角相等，两直线平行。 概念 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 平行于同一条直线的两条直线平行。 内错角相等，两直线平行。 内错角 同旁内角 形如 ∠2与∠3 的位置关系 形如 ∠2与∠4 的位置关系 同旁内角互补，两直线平行。 $