数学一模提分卷04（全国二卷通用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟,分值：150分） 注意事项： 1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合,,则（   ） A． B． C． D． 1.【答案】C 【解析】依题意,集合,而,所以.故选C. 2．已知角的终边经过点,则（    ） A． B． C． D． 2.【答案】D 【解析】因为角的终边经过点,则.故选D. 3．已知复数z满足,则（    ） A． B． C． D． 3.【答案】C 【解析】依题意得,故.故选C. 4．已知向量,若,则（   ） A．1 B．5 C． D． 4.【答案】A 【解析】因为,所以, 由,故选A. 5．双曲线的离心率为3,则（   ） A． B． C． D． 5.【答案】B 【解析】由题意得,解得.故选B. 6．在中,的角平分线交于,则（    ） A． B． C． D． 6.【答案】B 【解析】由题意可作图如下：因为的角平分线为,则, 由,则,代入数据可得,化简可得,解得.故选B. 7．在直四棱柱中,底面为菱形,为等边三角形,,若该直四棱柱的体积为,则以为球心,表面积为的球面与侧面的交线长度为（    ） A． B． C． D． 7.【答案】D 【解析】依题意,设,,解得,如图,取的中点,连接,因为是边长为的正三角形,所以, 且,以为球心的球的半径为,则该球的表面积为,解得,因为平面,平面,故,又因为,,、平面,故平面,在侧面中,以为圆心的圆弧与棱、的交点分别为、,则其半径,则即为所求的交线,因为,,故,则,同理可得,故,又因为,所以的长度为,故选D. 8．已知函数若存在,使得,则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8.【答案】D 【解析】当时,,所以,即,所以, 则,因为在上递增,所以；当,,所以,所以,不存在,使得；当时,,因为,所以, 所以,则,令,则, 因为,所以,,所以,所以,即, 所以在上单调递增,所以,即,综上所述, 的取值范围是,故选D. 二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分． 9．已知抛物线的焦点为F,点在C上,则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．F的坐标为 C．若,则 D． 9.【答案】BC 【解析】对于A,B,由抛物线方程为,则焦点,准线方程为,故A错误,B正确； 对于C,将代入,得,则,故C正确；对于D,由抛物线定义得,当时,取等号,故D错误.故选BC. 10．已知函数,下列说法正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的值域为 C．在上单调递增 D．将函数的图象向右平移个单位长度后可以得到函数的图象 10.【答案】ABD 【解析】由,其最小正周期为,A对, 由,则的值域为,B对,由,则,显然不单调,C错,函数的图象向右平移个单位长度,则,D对. 故选ABD. 11．已知正数满足,则（   ） A． B． C． D． 11.【答案】ACD 【解析】因为正数,满足,所以, 构造函数,,令,恒成立,所以在 上单调递增,所以对任意恒成立,由复合函数的单调性可知在上单调递增,所以在上单调递增,由,可得,对于A,由,可得,所以,故A正确；对于B,由,可得,则,故B错误；对于C,,当且仅当时等号成立,但不等于,故等号无法取到,则,所以,故C正确； 对于D,令,,再令, ,令,,易得：在上单调递增且, 故在上小于0,在上大于0；即在上单调递减,在上单调递增,又,所以对任意恒成立, 所以在上单调递增,所以对任意恒成立 所以对任意恒成立,所以在上单调递增,又由 ,得： ,即,即,故D正确.故选ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．已知,,则 ． 12.【答案】3 【解析】因为,所以. 13．某城市交通系统采用数智技术记录城市道路口的信号灯状态,每个时段的信号灯状态对应一个数字（见下表）. 信号灯状态 正常绿波协调 非正常绿波协调 道路施工临时黄灯 突发事故临时红灯 对应数字 0 1 现需要按顺序记录某个道路口5个时段的信号灯状态,例如,记号表示5个时段中有3个时段是“非正常绿波协调”状态,分别发生在第1、3、5时段.问：该路口5个时段所有可能的记录中,“非正常绿波协调”的时段数不少于1个且不多于3个的记录共有 种. 13.【答案】130 【解析】按照“非正常绿波协调”的时段个数进行分类,每类情况均先从个时段中选取“非正常绿波协调”的时段个数,且因 “非正常绿波协调”有两种情况,则“非正常绿波协调”的时段数1个的记录有种； “非正常绿波协调”的时段数2个的记录有种；“非正常绿波协调”的时段数3个的记录有 种；故 “非正常绿波协调”的时段数不少于1个且不多于3个的记录共有：种. 14．已知对任意,均有不等式成立,其中.若存在使得 成立,则的最小值为 . 14.【答案】 【解析】由题设,有,又,则,又,则,故存在使成立,则,所以,令,故,所以,且, 而,仅当,即等号成立, 四、解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 某景区为了更好的开发旅游资源,试产了一系列的文创产品进行销售,对今年前几月的销售额统计如下： 月份 销售额万元 (1)根据表中数据建立月份与销售额的经验回归方程； (2)为了更好的规划文创产品,从这个月中随机抽取个月对销售情况进行分析,求抽到的月份数据含有残差（观测值减去预测值称为残差）为负的概率． 参考公式：．参考数据：,． 15．（13分） 【解析】（1）由已知,,（2分） 又,, 则,,（5分） 所以回归方程为；（6分） （2）当时,,残差； 当时,,残差； 当时,,残差； 当时,,残差； 当时,,残差； 当时,,残差； 当时,,残差； 当时,,残差； 则这个月中残差为负的月份有个,残差为非负的月份有个,（11分） 则这个月中随机抽取个月,抽到的月份数据含有残差为负的概率.（13分） 16．（15分） 在数列中,令为其前项和,若,. (1)证明：数列为等差数列,并求其通项公式； (2)求数列的前项和. 16．（15分） 【解析】（1）由, 两边同时除以得,,, 因为,所以数列是以1为首项,为公差的等差数列,（3分） 则,即,（5分） 当时,, 显然满足上式,则,（7分） 而, 所以数列是以1为首项,3为公差的等差数列. （9分） （2）由,（11分） 则数列的前项和为 .（15分） 17．（15分） 四棱锥,面,,,,,,M是PD中点. (1)求证：平面； (2)若, ①求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值； ②在线段BD上是否存在点Q,使得点D到平面PAQ的距离为？若存在,求出的值；若不存在,请说明理由. 17．（15分） 【解析】（1）取中点,为中点, ,且, 又,, ,且, 四边形为平行四边形,即,（3分） 平面,平面, 平面；（5分） （2）①平面,且, 则以点为坐标原点,,,方向为轴,轴,轴建立空间直角坐标系, 得,,,,,（6分） ,,,,（7分） 易知平面的一个法向量为,（8分） 设平面的法向量为, 则,令,则, ,（10分） 平面与平面所成角的正弦值为；（11分） ②存在点满足题意, 易知,, 假设存在点满足题意,设,, ,,（12分） 设平面的法向量为, 则,令,则,（13分） 所以点到平面的距离, 化简可得,解得或（舍去）,即.（15分） 18．（17分） 已知函数有两个极值点,记,． (1)若,求的值； (2)设,求曲线的对称中心； (3)设,若函数的图象上存在点,使得,求的取值范围． 18．（17分） 【解析】（1）由题设,由, 即在处取得极值,（1分） 则,且,解得或,（2分） 当时,,有恒成立, 则在上单调递增,无极值点,舍去；（3分） 当时,,有, 所以或时,时, 则是一个极值点,符合；（4分） 综上所述,．（5分） （2）当时,,（6分） 即为奇函数, 又的图象可由的图象向左平移1单位,向下平移单位, 故的对称中心为；（9分） （3）当时,,则, ∵函数有两个极值点,故方程有两个不等的实根,则, 令,即,不妨设． 则,, 所以,,（12分） 设,因为, 则, 化简得：,（14分） 问题转化为：当时,有实数解,求的范围． 令,,令, 所以,其中, 当时,,单调递增, 当时,,单调递减, 因此,当时,有极大值,也是最大值, 且, 当时,,,,, 当时,,,,, 要使有实数解,则, 因为,所以,解得． 因此,的取值范围是．（17分） 19．（17分） 已知曲线,两曲线的离心率均为,其中分别是的左、右顶点． (1)分别求的方程． (2)已知Q是上一点,分别交直线和于两点,以为直径的圆记为圆D． （i）判断圆D是否过定点．若过定点,求出定点的坐标；若不过,请说明理由． （ii）P是上一点,当圆D的面积最小时,过点P作圆D的两条切线,切点为,求面积的取值范围． 19．（17分） 【解析】（1）因为,则,可知曲线的焦点在轴上,曲线的焦点在轴上；（1分） 对于曲线,,解得：； 对于曲线,,解得：； 即,所以曲线,曲线.（5分） （2）（i）由题意可知：,, 设,因为在上,则,可得,（6分） 直线的方程为,令得：,即；（7分） 直线的方程为,令得：,即；（8分） 则, 且, 可知圆的圆心为,半径, 则圆的方程为：,整理可得, 令得,所以圆过定点；（10分） （ii）因为,则,当且仅当时,等号成立, 所以当圆D的面积最小时,圆心为,半径,方程为, 设,,则,即； 则,（12分） 因为,是圆D的两条切线,则,, 可知,, 设,则,, 因为,（14分） 令,则,可得, 因为在内单调递减,且,, 可得,所以面积的取值范围为.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合,,则（   ） A． B． C． D． 2．已知角的终边经过点,则（    ） A． B． C． D． 3．已知复数z满足,则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量,若,则（   ） A．1 B．5 C． D． 5．双曲线的离心率为3,则（   ） A． B． C． D． 6．在中,的角平分线交于,则（    ） A． B． C． D． 7．在直四棱柱中,底面为菱形,为等边三角形,,若该直四棱柱的体积为,则以为球心,表面积为的球面与侧面的交线长度为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数若存在,使得,则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知抛物线的焦点为F,点在C上,则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．F的坐标为 C．若,则 D． 10．已知函数,下列说法正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的值域为 C．在上单调递增 D．将函数的图象向右平移个单位长度后可以得到函数的图象 11．已知正数满足,则（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知,,则 ． 13．某城市交通系统采用数智技术记录城市道路口的信号灯状态,每个时段的信号灯状态对应一个数字（见下表）. 信号灯状态 正常绿波协调 非正常绿波协调 道路施工临时黄灯 突发事故临时红灯 对应数字 0 1 现需要按顺序记录某个道路口5个时段的信号灯状态,例如,记号表示5个时段中有3个时段是“非正常绿波协调”状态,分别发生在第1、3、5时段.问：该路口5个时段所有可能的记录中,“非正常绿波 协调”的时段数不少于1个且不多于3个的记录共有 种. 14．已知对任意,均有不等式成立,其中.若存在使得 成立,则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 某景区为了更好的开发旅游资源,试产了一系列的文创产品进行销售,对今年前几月的销售额统计如下： 月份 销售额万元 (1)根据表中数据建立月份与销售额的经验回归方程； (2)为了更好的规划文创产品,从这个月中随机抽取个月对销售情况进行分析,求抽到的月份数据含有残差（观测值减去预测值称为残差）为负的概率． 参考公式：．参考数据：,． 16．（15分） 在数列中,令为其前项和,若,. (1)证明：数列为等差数列,并求其通项公式； (2)求数列的前项和. 17．（15分） 四棱锥,面,,,,,,M是PD中点. (1)求证：平面； (2)若, ①求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值； ②在线段BD上是否存在点Q,使得点D到平面PAQ的距离为？若存在,求出的值；若不存在,请说明理由. 18．（17分） 已知函数有两个极值点,记,． (1)若,求的值； (2)设,求曲线的对称中心； (3)设,若函数的图象上存在点,使得,求的取值范围． 19．（17分） 已知曲线,两曲线的离心率均为,其中分别是的左、右顶点． (1)分别求的方程． (2)已知Q是上一点,分别交直线和于两点,以为直径的圆记为圆D． （i）判断圆D是否过定点．若过定点,求出定点的坐标；若不过,请说明理由． （ii）P是上一点,当圆D的面积最小时,过点P作圆D的两条切线,切点为,求面积的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C D C A B B D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ABD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．3 13．130 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）由已知,,（2分） 又,, 则,,（5分） 所以回归方程为；（6分） （2）当时,,残差； 当时,,残差； 当时,,残差； 当时,,残差； 当时,,残差； 当时,,残差； 当时,,残差； 当时,,残差； 则这个月中残差为负的月份有个,残差为非负的月份有个,（11分） 则这个月中随机抽取个月,抽到的月份数据含有残差为负的概率.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）由, 两边同时除以得,,, 因为,所以数列是以1为首项,为公差的等差数列,（3分） 则,即,（5分） 当时,, 显然满足上式,则,（7分） 而, 所以数列是以1为首项,3为公差的等差数列. （9分） （2）由,（11分） 则数列的前项和为 .（15分） 17．（15分） 【解析】（1）取中点,为中点, ,且, 又,, ,且, 四边形为平行四边形,即,（3分） 平面,平面, 平面；（5分） （2）①平面,且, 则以点为坐标原点,,,方向为轴,轴,轴建立空间直角坐标系, 得,,,,,（6分） ,,,,（7分） 易知平面的一个法向量为,（8分） 设平面的法向量为, 则,令,则, ,（10分） 平面与平面所成角的正弦值为；（11分） ②存在点满足题意, 易知,, 假设存在点满足题意,设,, ,,（12分） 设平面的法向量为, 则,令,则,（13分） 所以点到平面的距离, 化简可得,解得或（舍去）,即.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由题设,由, 即在处取得极值,（1分） 则,且,解得或,（2分） 当时,,有恒成立, 则在上单调递增,无极值点,舍去；（3分） 当时,,有, 所以或时,时, 则是一个极值点,符合；（4分） 综上所述,．（5分） （2）当时,,（6分） 即为奇函数, 又的图象可由的图象向左平移1单位,向下平移单位, 故的对称中心为；（9分） （3）当时,,则, ∵函数有两个极值点,故方程有两个不等的实根,则, 令,即,不妨设． 则,, 所以,,（12分） 设,因为, 则, 化简得：,（14分） 问题转化为：当时,有实数解,求的范围． 令,,令, 所以,其中, 当时,,单调递增, 当时,,单调递减, 因此,当时,有极大值,也是最大值, 且, 当时,,,,, 当时,,,,, 要使有实数解,则, 因为,所以,解得． 因此,的取值范围是．（17分） 19．（17分） 【解析】（1）因为,则,可知曲线的焦点在轴上,曲线的焦点在轴上；（1分） 对于曲线,,解得：； 对于曲线,,解得：； 即,所以曲线,曲线.（5分） （2）（i）由题意可知：,, 设,因为在上,则,可得,（6分） 直线的方程为,令得：,即；（7分） 直线的方程为,令得：,即；（8分） 则, 且, 可知圆的圆心为,半径, 则圆的方程为：,整理可得, 令得,所以圆过定点；（10分） （ii）因为,则,当且仅当时,等号成立, 所以当圆D的面积最小时,圆心为,半径,方程为, 设,,则,即； 则,（12分） 因为,是圆D的两条切线,则,, 可知,, 设,则,, 因为,（14分） 令,则,可得, 因为在内单调递减,且,, 可得,所以面积的取值范围为.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 翼 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分) 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][CD] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C[D] 7[A[B][C][D] 說 4[A][B][CD] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C[D] 10[AJ[B][C[D] 11 [A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 氧 12 日 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合,,则（   ） A． B． C． D． 2．已知角的终边经过点,则（    ） A． B． C． D． 3．已知复数z满足,则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量,若,则（   ） A．1 B．5 C． D． 5．双曲线的离心率为3,则（   ） A． B． C． D． 6．在中,的角平分线交于,则（    ） A． B． C． D． 7．在直四棱柱中,底面为菱形,为等边三角形,,若该直四棱柱的体积为,则以为球心,表面积为的球面与侧面的交线长度为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数若存在,使得,则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知抛物线的焦点为F,点在C上,则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．F的坐标为 C．若,则 D． 10．已知函数,下列说法正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的值域为 C．在上单调递增 D．将函数的图象向右平移个单位长度后可以得到函数的图象 11．已知正数满足,则（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知,,则 ． 13．某城市交通系统采用数智技术记录城市道路口的信号灯状态,每个时段的信号灯状态对应一个数字（见下表）. 信号灯状态 正常绿波协调 非正常绿波协调 道路施工临时黄灯 突发事故临时红灯 对应数字 0 1 现需要按顺序记录某个道路口5个时段的信号灯状态,例如,记号表示5个时段中有3个时段是“非正常绿波协调”状态,分别发生在第1、3、5时段.问：该路口5个时段所有可能的记录中,“非正常绿波 协调”的时段数不少于1个且不多于3个的记录共有 种. 14．已知对任意,均有不等式成立,其中.若存在使得 成立,则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 某景区为了更好的开发旅游资源,试产了一系列的文创产品进行销售,对今年前几月的销售额统计如下： 月份 销售额万元 (1)根据表中数据建立月份与销售额的经验回归方程； (2)为了更好的规划文创产品,从这个月中随机抽取个月对销售情况进行分析,求抽到的月份数据含有残差（观测值减去预测值称为残差）为负的概率． 参考公式：．参考数据：,． 16．（15分） 在数列中,令为其前项和,若,. (1)证明：数列为等差数列,并求其通项公式； (2)求数列的前项和. 17．（15分） 四棱锥,面,,,,,,M是PD中点. (1)求证：平面； (2)若, ①求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值； ②在线段BD上是否存在点Q,使得点D到平面PAQ的距离为？若存在,求出的值；若不存在,请说明理由. 18．（17分） 已知函数有两个极值点,记,． (1)若,求的值； (2)设,求曲线的对称中心； (3)设,若函数的图象上存在点,使得,求的取值范围． 19．（17分） 已知曲线,两曲线的离心率均为,其中分别是的左、右顶点． (1)分别求的方程． (2)已知Q是上一点,分别交直线和于两点,以为直径的圆记为圆D． （i）判断圆D是否过定点．若过定点,求出定点的坐标；若不过,请说明理由． （ii）P是上一点,当圆D的面积最小时,过点P作圆D的两条切线,切点为,求面积的取值范 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $