2.1两条直线的位置关系(第2课时）垂线课件--2025-2026学年北师大版 数学七年级下册

该初中数学课件聚焦“垂线”核心知识点，涵盖概念、判定、性质及画法。通过转动木条观察夹角变化，结合互补角知识提出问题，引导学生从已有认知过渡到垂直概念，搭建清晰的学习支架。 其亮点在于融入生活实例（窗户、黑板等垂线现象）和动手操作（折叠、三角尺画垂线），培养学生用数学眼光观察现实世界。通过逻辑推理（如由角关系推导垂直判定）发展数学思维，练习结合台球桌、跳远等情境及中考题，帮助学生用数学语言表达和解决问题。学生能提升应用能力，教师可高效开展教学。

新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】 2.1两条直线的位置关系(第2课时） 垂线 第二章 相交线与平行线 授课教师： . 班 级： . 时 间： . a i T u j m i a N g 1 问题引入，自主探究 探究点1：垂直、垂线、垂足的概念 取两根木条 a、b，将它们钉在一起，固定木条 a ，转动木条 b，a、b 所成的夹角 α 。 a b α 转动木条的同时观察其夹角的变化。 α α α α b b b b 垂线教学课件幻灯片（教学过程部分） 幻灯片1：复习导入（核心：唤醒旧知，激发探究） 1. 回顾概念：提问“什么样的两条直线互相垂直？”引导学生回答“相交成直角的两条直线互相垂直”，出示水平、斜向两组垂直图示，强调“直角”是核心，打破“竖直才垂直”的误区。 2. 情境设问：在黑板直线上标一点A、直线外标一点B，提问“如何从A或B出发画一条直线与已知直线垂直？”引出课题——画垂线。 幻灯片2：探究新知一（核心：过直线上一点画垂线） 1. 尝试操作：学生用三角尺、直尺自主尝试，教师巡视观察学情。 2. 示范讲解：分步演示“放（三角尺一条直角边与直线重合）→移（直角顶点与点A重合）→画（沿另一条直角边画直线）→标（标注垂直符号⊥）”，板书关键步骤。 3. 模仿练习：学生同步操作，教师针对性指导。 幻灯片3：探究新知二（核心：过直线外一点画垂线） 1. 迁移类推：提问“与过直线上一点画图有何异同？”引导学生自主尝试。 2. 重点突破：演示“移”的关键——使三角尺另一条直角边经过点B，强调与上一方法的差异。 3. 规律总结：引导学生发现“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，齐读强化记忆。 幻灯片4：巩固深化（核心：强化应用） 1. 基础练习：给出两组图形，分别过直线上、外一点画垂线。 2. 拓展判断：展示若干相交直线，判断是否垂直并说明理由。 3. 生活联结：找一找教室中的垂线，感受数学与生活的联系。 幻灯片5：课堂小结（核心：梳理回顾） 1. 回顾重点：画垂线的规范步骤、关键要领。 2. 总结收获：强调“重合”的重要性及垂线的性质，梳理知识脉络。 a 与 b 垂直 (1)当 ∠α 分别为 35°、90° 时，其余的角分别是多少？ a b α (2)当 ∠α 为 90° 的位置关系有几个？ 此时，木条 a 和木条 b 所在的直线有什么样的位置关系？ a α b 唯一一个 35° 145° 145° 35° 90° 90° 90° 90° 表示方法： 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线。 概念引入 它们的交点叫作垂足(如图O点) C D A B O ① 如图① 记作：AB⊥CD 如图② 记作：l ⊥ m O ② l m 4 生活中我们还在哪些地方见过这样的垂线呢？ 窗户 黑板 墙角 栏杆 探究点2：垂直的判定与性质 如图，O为直线AB上一点。 (1)如果∠AOC=∠BOC，那么OC与AB垂直吗？为什么？ A B C O 由∠AOC=∠ BOC，且∠AOC+∠ BOC=180°， 可得∠AOC =∠ BOC = 90°，所以 OC⊥AB。 (2)以下是小颖的思考过程，她的想法正确吗？你知道她每一步的依据吗？与同伴进行交流。 (3)如果OC⊥AB，那么∠AOC=∠BOC吗？为什么？与同伴进行交流。 所以 OC⊥ AB 可得∠AOC =∠BOC=90° 且∠AOC+∠BOC=180° 由∠AOC =∠BOC， (已知条件) (补角的性质) (角的数量关系) (垂直的定义) (3)因为 OC⊥AB (已知) 所以 ∠AOC=∠BOC=90° 垂直的性质： 因为 AB⊥OC(已知) ， 所以∠AOC = 90°(垂直的定义) 垂直的判定： 因为∠AOC ＝ 90°(已知)， 所以 AB⊥OC (垂直的定义) A B C O 7 问题1：你能用折叠的方法折出互相垂直的直线吗？试试看！ 探究点3：垂线的画法及性质 问题2：如果只用直尺，你能画出方格纸上已知直线的垂线吗？你还能再画出两条互相垂直的直线吗？ 问题3：根据下图要求你能用量角器作已知直线的垂线吗？ 点 A 在直线 l 上 A 点 A 在直线 l 外 A l l 问题4：根据题中要求作直线的垂线。 (1)如图，你能用三角尺画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条? (2)如图，点A在直线l上，你能用三角尺过点A画直线l的垂线吗？你能画出多少条？ (3)如图，如果点B在直线 l 外呢？你是怎样做的？与同伴进行交流 A B m O 无数条 l 问题4：根据题中要求作直线的垂线。 (1)如图，你能用三角尺画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条? (2)如图，点A在直线l上，你能用三角尺过点A画直线l的垂线吗？你能画出多少条？ A B m O 无数条 l1 一条 l (3)如图，如果点B在直线 l 外呢？你是怎样做的？与同伴进行交流 问题4：根据题中要求作直线的垂线。 (1)如图，你能用三角尺画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条? (2)如图，点A在直线l上，你能用三角尺过点A画直线l的垂线吗？你能画出多少条？ A B m O 无数条 l1 一条 一条 l (3)如图，如果点B在直线 l 外呢？你是怎样做的？与同伴进行交流 (4)如图，点P是直线l外一点，PO⊥l，点O是垂足。点A，B，C在直线l上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了什么？ P A B C O l 线段PO 的长度最短 14 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 P A B O l C 线段 PO 的长度叫作点P到直线l的距离。 垂线、垂线段和点到直线的距离这三个概念的区别与联系 垂线 垂线段 点到直线的距离 图示 区别 联系 垂线是一条直线 垂线段是一条线段 垂线段的长度，是一个数量 它们都与垂直有关 l P O l P O l P O 知识技能 1.如图，直线a，b相交，∠1=38°，求∠2，∠3，∠4的度数。 a b 1 2 4 3 解： 因为 ∠1=38°， 所以 ∠3=∠1=38°， 所以 ∠2=180°-∠1=142°， 所以 ∠4= ∠2 =142°。 随堂练习 2.请举出一些日常生活中线段互相垂直的实例。 随堂练习 3.如图，如果把街道近似地看成直线，那么哪些街道互相平行？哪些街道互相垂直？ 工人体育场北路 朝阳北路 建国路 东二环 东三环北路 东四环中路 解： 互相平行的街道 工人体育场北路，朝阳北路与建国路； 东二环，东三环北路与东四环中路； 互相垂直的街道 东二环与工人体育场北路、朝阳北路、建国路分别垂直； 东三环北路与工人体育场北路、朝阳北路、建国路分别垂直； 东四环中路与工人体育场北路、朝阳北路、建国路分别垂直。 随堂练习 数学理解 4.互为补角的两个角可以都是锐角吗？为什么？可以都是直角吗？可以都是钝角吗？ 根据补角的定义知，互补的两个角度数和为180°，所以互为补角的两个角不可以都是锐角；可以都是直角；不可以都是钝角。 随堂练习 问题解决 5.如图，在长方形的台球桌面上，∠1+∠3=90°，∠2=∠3。 (1)如果∠2=58°，那么∠1等于多少度？ (2)请你以台球桌面为背景，自编一道题并解答。 2 3 1 随堂练习 5.如图，在长方形的台球桌面上，∠1+∠3=90°，∠2=∠3。 (1)如果∠2=58°，那么∠1等于多少度？ 2 3 1 解： 因为 ∠1+∠3=90°，∠2=∠3， 所以 ∠1+∠2=90°。 又因为 ∠2=58°， 所以 ∠1=90°- 58°=32°。 随堂练习 5.如图，在长方形的台球桌面上，∠1+∠3=90°，∠2=∠3。 (2) 请你以台球桌面为背景，自编一道题并解答。 2 3 1 4 解：如图，构建∠4，如果∠4=40°那么∠1等于多少度？ 因为 ∠2+∠4=90°，∠4=40°， 所以 ∠2=90°- 40°=50°。 又因为 ∠2=∠3，∠1+∠3=90°， 所以 ∠1=90°- 50°=40°。 随堂练习 6.如图，一棵树生长在30°的山坡上，树干与山坡所成的锐角是多少度？ 30° 1 解：设树干与山坡所成角为∠1。 因为 ∠1+30°=90°， 所以 ∠1=90°- 30°=60°。 答：树干与山坡所成的锐角为60°。 随堂练习 7.如图，要把水渠中的水引到 C 点，在渠岸 AB 的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由。 A B C D 解：如图，过点 C 作 CD ⊥ AB ，垂足为 D，沿线段 CD 开渠最短，依据是“垂线段最短”。 随堂练习 8.请举出一些日常生活中应用“垂线段最短”的实例。 线路铺设 道路及桥梁的建造 随堂练习 9.如图所示，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象。图中∠1和∠2是对顶角吗？ 1 2 解：入射光线和折射光线并不在同一条直线上，不满足对顶角的定义所以∠1和∠2不是对顶角。 联系拓广 随堂练习 知识点1 垂直的定义 1.如图，于点，则的度数为_____；若 ， 则 的度数为_____。 （第1题） 中考考法 28 2. 如图，这是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时， 光能利用率最高。春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角 为 。 若光能利用率最高，则集热板与水平面的夹角 的度数是( ) C （第2题） A. B. C. D. 中考考法 29 3.如图，直线，相交于点 ，下列条件： ； ； 。其中能说明 的有( ) B A.②③ B.①② C.①③ D.①②③ 中考考法 30 4.（4分）如图，直线和相交于点， ， 是射线，且， ，若 ，求 的度数。 解：因为， ， 所以 。 因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 。 中考考法 31 知识点2 垂线的画法 5.[韶关期末] 利用三角尺，过直线外的点作直线 的垂线，下列各图 中，三角尺操作正确的是( ) C A. B. C. D. 中考考法 32 6.（12分）如图所示。 中考考法 33 （1）在图①中过点画 的垂线； 解：如图①所示。 中考考法 34 （2）在图②中过点画 的垂线； 解：如图②所示。 中考考法 35 （3）在图③中过点画 的垂线。 解：如图③所示。 中考考法 36 知识点3 垂线的性质和点到直线的距离 （第7题） 7.如图，是直线外一点，点，，在直线 上，连接 ，，。若，则点到直线 的距离是( ) B A.线段的长 B.线段 的长 C.线段的长 D.线段 的长 中考考法 37 8.[广西中考改编] 在跳远比赛中，某同学从点 处起跳后，在沙池留下 的脚印如图所示，测量线段 的长度作为他此次跳远成绩（最近着地 点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是____________。 垂线段最短 （第8题） 中考考法 38 9.如图，已知，，所以与 重合，其理由是 __________________________________________________。 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 （第9题） 中考考法 39 （第10题） 10.如图，直线，，交于点， 平分 ，且， ，则 的度 数是( ) A A. B. C. D. 中考考法 40 线 平 行 线 相 交 线 两条 直线 相交 一般情况 补角 对顶角 相交成直角 垂直 位置 关系 余角 点到直线的距离 两条直线被第三条所截 同位角、内错角、同旁内角 概念 两直线平行的条件 两直线平行的性质 概念 性质 概念 性质 概念 性质 两个角有公共点，它们的两边互为反向延长线。 对顶角相等 两个角的和为180°，称两个角互补。 同角(或等角)的补角相等 两个角的和为90°，称两个角互余。 同角(或等角)的余角相等 课堂小结 概念 性质 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直。 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离 $