专题21 积化和差、和差化积、半角、万能公式（压轴题6大类型专项训练）高一数学人教A版2019必修第一册

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题21配凑角、半角和万能公式、和差化积、积 化和差公式、三倍角 目录(Ctrl并单击鼠标可跟踪链接) 典例详解…。 类型一、配凑角 类型二、半角公式 2 类型三、万能公式 …,3 类型四、和差化积公式 3 类型五、积化和差公式 4 类型六、三倍角公式…。 5 压轴专练 典例详解 类型一、配凑角 拆分角的变形：①a=2号：a=a+f)B,②a=B-(B-a): ③a-a+B+a-1:④B-2a+)-a-B1:⑤年+a-号--a). 其他：a--a) L.(2425商-下湖北黄冈期末)已知aB为锐角，cosa=}sina+)-子，则cB=(） A.28-12V2 B.28+12V2 C.21-16V2 D.21+162 45 45 45 45 1/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 245腐-下不尚大超月已知u为t角，且a+引西，圆m口+周-() A.25 B. c.5 D.25 5 5 A.② 2 B. 2-3 C.56 65 4.(23-24高-下-辽宁辽阳期中)已知a,Be0,x,且cosa=5 3，sim@+B)=2，则a-B=() 10 A子 B D. 4 或 4 5245商-下湖胸长沙期末已阳u司经没pe经 ,且sina+cosa=sinβ-cosβ，则() A.a-B=I 2 B.B-u-号 Ca+B=号 D.a+B=-π 2 62425商-下云南期)已0<a至子B<0,任小o时任)-9则a月的 2’-21 值为() A B. D 么类型二、半角公式 sin a 1-cosa 1+cosa 2 cos- 2 2 2 sina 1-c0s0 tan 21+c0S sin a 1.已知c0s0,且270°<0<360，则sinS =() 2 B.3 3 3 C.-6 D.6 2.若a是第一象限角，且cosa-号则cos号的值是（) A. √ 3 B. 3 C, 3 D.6 2/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4 3.已知a为第一象限角，sina=5,则am2 2 4.(24-25高一下江苏南通月考)若sina=a,cosa=b,则ang的值为() 2 A.1+b B.1-b 1-b C 1-b 0 a V1+b 1+b 类型三、万能公式 2tan 1-tan2 2 2tan sinx=- COSx=- 2 tanx=- 1+tan 2 1+tan2 1-tan2x 1.设tamg=t,求证：sina=,24 2 1+cosa=1-1 1+tana= 2t -t2· )=2 2.已知sin(2a2=3，则ana+ana+ sinx 3.若xe[-π，π]，则函数f(x)= 的值域为 4cosx+5 4.已知B∈0， 且3sina=sin(2B-a),则tana的最大值为() ”2 A.② B. 2 D.3 4 4 4 4 类型四、和差化积公式 和差化积公式： sina sinsic sna-5mB=2c0生jsn2) 2 cosa+cosB=2cos(B)cos(B) 2 2 csu-owsf=-2sm色生jsn2) 2 口诀： 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 正弦十正弦，正弦在前； 正弦一正弦，正弦在后； 余弦十余弦，余弦并肩； 余弦一余弦，余弦靠边。 证明：由cos(a+B)=cosa cos B-sina sin B,cos(a-B)=cosa cos B+sina sinB,得 cosa cos B=二[cos(a+B)+cos(a-B)】.其他同理可证 1.cos72°-cos36的值为() A.3-25 B. D.3+2V5 、1 2.若+sin xin y=2sin2r+sin2y=与 E亏，则sinx+y=() A.- 5 D.3 4 B. 4 3.在48c中，若班4+sn8-ca4eoB-子则nC=() 12 B. 13 D 4已知(0引， cos()sin2x-sin 2v=-6 13,则an2x=（) 63 B. 33 1 C,33 56 D._3 6 类型五、积化和差公式 积化和差公式： cosa cos-cos(+B)+cos(-B)1. sina sinB=cos(+B)-cos(B)]: sin cos-sin(B)+sin()] cosa sin B=sin(B)-sin(B)]. 口诀： 积化和差得和差，余弦在后要相加； 4/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 异名函数取正弦，正弦相乘取负号。 证明：由两角和与差的正弦公式得 sin(a+B)=sina cos B +cosa sin B, sin(a-β)=sina cosβ-cosa sin B, 两式相加可得sin c=,sina+B)+sin(a-B], 2 两式相减可得cosa sin B= [sin(+B)-sin(a-B). 同理，由两角和与差的余弦公式可得其他公式 1.计算：sin20sin40°sin80°= 1 2.若cosa-cosB=3,则sin(a-B)sin(a+B)F 3.(24-25高一下·全国·课堂例题)把下列各式化成和或差的形式： (1)sin64°cos134°； (2)c0s2c0sl.2. 4.(24-25高一上全国课后作业)求sin270°+cos240°-sin70cos40°的值. 类型六、三倍角公式 1、 正弦三倍角公式：sin30=3sin0-4sin30 =4sin0-sing-0j-5如5+0) 3 2、余弦三倍角公式：c0s30=4cos30-3cos0 =4eos0-acosr号-0j-conrf+0) 3、正切三倍角公式：tan30=3tan0-tan'0 1-3tan20 -tan0-tan(0)tan) 3 推导过程： 1.sin 30 sin(20+0)=sin 20.cos0 cos 20.sin0 3 5/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =2sin0.cos20+(1-2sin20).sin0 =2sin0(1-sin20)+(1-2sin20).sin0 =3sin0-4sin30 4sinin)insincsi 1 -cos0+-sin0) 3 2 =4sin02cos0-↓sin20) 3 4 4 =4sin0[(1-sin20)-sin20] 4 =3sin0-4sin30 =sin30 2.同理：cos30=cos(20+0)=cos20·cos0-sin20·sin0 =(2cos20-1).cos0-2sin0.cos0.sin0 =(2cos20-1).cos0-2(1-cos20).cos0 =4c0s30-3c0s0 4o9corf-0jcar号+0)=4cos5os0+9sng 1 sin0)Gcos6-)sina】 =4cos0(cos20-3si sin20) 4 4 =4e0s82c0s20-30-c0s01 4 =4c0s30-3c0s0 =c0s30 2tan0 +tan0 3.tan30=tan(20+0)= tan 20+tan0 1-tan20 1-tan 20.tan0 1- 2tan0 .tan0 1-tan20 3tan0-tan30 1-3tan20 6/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 tan30=sin30 4sin0.sin( cos30 2 4cos0·cos π -0)cos(2+0) 1.设1=年则nt加5-（) cost A.1 B.月 C.5 D.3 2 2.函数f(x=cos3x-c0s2x在区间[-π，2π的零点个数为() A.6 B.7 C.8 D.9 3.己知f(θ)=c0s49+c0s30,且0,02,0是f(0)在(0，π)内的三个不同零点，下列结论不正确的是() A.7e0,00则 B.01+02+03=π C.cos0,cos0.cos0,-1 8 D.cos0 +cos0,+cos0= 4.(1)证明三倍角的余弦公式：cos30=4cos30-3cos0; (2)利用等式sin36°=cos54°，求sin18°的值 压轴专练 1.(245商一下江苏镇江期末)己知a,B均为锐角，若口+叭=音o月-号则na的值为() B.63 5 C.16 65 D.56 65 2.(24-25高一下.甘肃兰州期中)已知cosa- i6,其中aex）】 π）12 (36 求sina的值() A.5+12V3 B.12+5V5 C.5-12V5 D. 12-5V3 26 26 26 26 1 3.23-24高一下内蒙古鄂尔多斯开学考试)已知角a,B0,,ana+B)c0sB三7y2 ,则 10 2a+B=() A B.π C.4n D.9 3 4 4.(24-25高一下·上海·月考)若a∈[0,2π]且 1+cosa 1-cosa 1 2 c0s号，则a的取值范围是() sin a 7/10 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.[0, C.[π，2π] D. 5.已知锐角o,B满足a+2B= m受明=2-5，则mB-a:《) 2π A B. c.6-v2 D. V6+√2 2 4 4 6.(24-25高一上·全国·课后作业) sin40°-sin20° =() c0s40°-c0s20° A.-V5 B.-3 C.3 D.5 2 2 7.(24-25高一下·河南南阳期末)已知锐角x满足sin3x-sinx>0,则x的取值范围为() A B0到 c(副 D到 8.(24-25高一下辽宁鞍山期末)己知函数fx)=cos2x+cos3x,xe(0,π)，若f(x有两个零点x, x2x<x2),则() A.七=2n B.2x1=2 C.coscos 1 D.cos+cosx2 9.已知a、B终边不重合，sina-3cosβ=sinB-3cosa,则tana+B=() A月 B. c.4 3 D.3 4 2v5 l0.(多选题)已知a,B满足0<a<<B<π，且sina= 25o=则） A.a+B<π B,月-a号 C.B-2a=0 D.tan2a+tan28>0 11.(23-24高一下·辽宁.期中)（多选题）下列等式成立的有() A.sin 27 4 sin -sin- 二1 7 B.sin6°sin42°sin66°sin78°=J 16 D.cos cos 5元7π。oe1lπ_1 cos- cos- 7 7 2424 02402416 12.(多选题)己知函数f(x=sin4x+sin3x在(0，π内的三个零点分别为x,x2,x,x,<x2<x;),则() A.e B.2x1+x2+x3=2π C.cos:+Cosx:+CoSX3=- 7 D.sinxsinx,sinx,=8 8/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 13.(24-25高一上·上海·课后作业)已知sina= 12 c02 _,tan= 2 14.己知sina+β)sina-β)=2m(m≠0)，则cos2a-cos2B= 15.（24-25高一上·上海·随堂练习)化简求值：c0s10°c0s30°.c0s50°.c0s70°= 16.(24-25高一下河南·月考)已知ABC不是直角三角形，且cos2A+cos2B+2cos2C+2=0,则siC的 最小值是」 23-24高一下全困课后作业)(D已知cosa-cosB=)sina-sinp=-3求sina+BI (2)已知c0sa-cosB= 2,snC-snB三-，，式求cosa+B)的值 18.求函数f=sinx,0≤x≤的最大值. cosx+2 19.高中数学中“万能公式”因其用半角的正切表示正弦、余弦、正切，而被我们称之为“万能”，例如： 2tan当 sina=Sina 2sin-cos 2 °2= 1 sin2 a +cos2a 2(α≠元+2kπ(k≠0)，根据以上数学变形转换方法，运用类比的方 1+tan 2 法解答下题， 1-tan2a 2tan (1)试推导cosa= tana=- 2(a≠元+2km(k≠0)； 1+tan 2 1-tan2 2 文的取值范围， 2x (2)试求函数f(x)= (3)试求函数gx)= 6cosx+sinx-5 的取值范围 2cosx-3sinx-5 20.16世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积 恒等式.积化和差： simasinp-coooo)+co sinccosB-[sin(@+B)+sin(@-B)].cosasinB-[sin(@+B)-sin(@-B)] 9/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 和差化积： sina+sinB=2sin ,sina-sinB =2cos-2sin a-B 2 2 cosa +cosB=2cos 2cosa-cosB=-2sins a B sin a-B 2 2 运用上面的公式解决下列问题： (1)证明：cos2a-sin2B=cosa+B)cosa-B); (2)若a+B+y+o=π，证明：sin(a+B)sin(a+y)=sina sin@+sinβsiny； 10/10品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题21配凑角、半角和万能公式、和差化积、积 化和差公式、三倍角 目录(Ctrl并单击鼠标可跟踪链接) 典例详解…。 类型一、配凑角 类型二、半角公式 5 类型三、万能公式 7 类型四、和差化积公式 9 类型五、积化和差公式 3 类型六、三倍角公式… 14 压轴专练 19 典例详解 类型一、配凑角 拆分角的变形：①a=2号：a=a+f)B,②a=B-(B-a): ③a-a+B+a-1:④B-2a+)-a-B1:⑤年+a-号--a). 其他：a--a) L.(2425商-下湖北黄冈期末)已知aB为锐角，cosa=}sina+)-子，则cB=(） A.28-12V2 B.28+12V2 C.21-16V2 D.21+162 45 45 45 45 1/33 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】A 【分析】利用同角的正余弦的平方关系求得sina,cosa+B),利用cosB=cos(a+B)-a可求值 【详解】因为osa子，0<a号，所以na=一osa-手 3 又因为0<B号：所以a<a+B<,又ma+阴-弓专血a 所以号<a+B<x,所以cosa+B)=-√-$ina+A=4y5 9 cos B=cos[(a+B)-a]=cos(a+B)cosa+sin(a+B)sina -42x3+2x428-12N5 959545 故选：A 2245声下云商大理月考)已如a为批角且m口+写引}-则如a+引}-《) A.-25 B._5 c.5 D. 2W5 5 5 5 【答案】D 【分所】表据同角三角函数平方关系限得c口+引-0。 再利用两角差正弦求解 10 【详解】国为a为桃角，所以经ca<,所以<a+号行测eoa+引0， 6 因为引所以ea引酒， 中3 10 45 故选：D 3.若0<a<0<sa+-m-}则era+引() 2 A.② B. 2 C. 56 D. 65 7 【答案】C 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式和两角差的余弦公式，准确运算，即可求解 【详解】由0<a<受0<B<受，可得0<a+B<x,则sna+)=cosa+j=手 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以eosa+}-cosa+B1-(B-】 =osa+pema-引ma+se-引-号9 故选：C 4.(23-24高-下辽宁辽阳期中)已知a,Be0,),且co5a-5 sina+E)=2 则a-B=() 10 A. B. 3π 4 C.或 4 D. 44 或 4 【答案】A 【分析】利用余弦函数与正弦函数的性质缩小与：+B的取值范围，结合三角函数的基本关系式与倍角公 式求得2a,α+B的正余弦值，从而利用正弦函数的和差公式即可得解 【详解】因为cosa= √5√2 52 所以ae经孕则a25 5 所以sin2a=2 sim=2x25x5-4 555' c0os2a=1-2sin2a=1-2× ww-(a). 因为Be0,),所以a+B∈不，3T (4’2 又0<sin(a+B)= 25,则a+B∈4 3π 102 所以cosa+B)=--sma+A)=72 10 sin(a -B)=sin(2a-(a +B))=sin 2a cos(a B)-cos 2a sin(a+B) 因为a∈得BeQ,所以a-B(平引 4’2 则a-B=牙 故选：A 5.(24-25高一下·湖南长沙期末)己知a∈ 且sina+cosa=sinβ-cosB,则() Aa-B号 B月-a=号 ca+B-号 D.a+B--3 【答案】B 3/33 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】先利用辅助角公式转化为同一形式的正弦函数，再利用正弦函数相等的条件，结合两个角的取值 范围即可求得结果 【详解】因为sina+cosu=5sna+}sns-cosB=5snB-晋} 所以原式灰为：万sm如+引-5m(B-到户sma+引n〔B-到引 根据正弦函数性质可得：a+骨=B-子+2a(keZ3a-B=受+2keZ0 或a+年=x-(B-}2 a(kcZ-d+B=+2keZ列@， 对于@，当k=0时，a-月=子年B-a受此时a(5引8（员到能使上式成立， 对于@，因为a(引p(受引 故a+Be(-π，π)， 而a+B=π+2kπ(k∈Z),不存在整数k使得a+B∈(-元，π)，故舍去； 故选：B 62425前-下云商期中)已加0ca经子B<0,o任0小片个任}5则a-月的 值为() A. 4 B. 之 2 C.3x 4 D.或3n 4 4 【答案】A 【分析】由同角的三角函数的关系及两角差的正弦、余弦公式、二倍角公式计算求解即可 1 ma-we+-2 3 π 22212_4-2 3 2326 1x2+2W2x2_4+2, 32 3 26 又-受0.m任}- 4/33 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则cosB=-in'B-22 3 ma川-aa0naa0.g32g5,g(号 又0<a<号且-受<B<0,则0<a-B<,a-B=号 故选：A 类型二、半角公式 1-cosa 1+cosa s1n-=士 :cOS =士 2 2 1 2 sina 1-c0s0 tan-= 2 1+cosa sina 1 1.已知c0s0= 且270<0<360°，则sin2 =() A.- 6 B.3 3 C.-6 D. 【答案】B 【分析】根据半角公式结合角的范围即可求解 【详解】因为270°<9<360°，则135°<9<180°，sin9>0, 由半角公式可得 0 1-cos0 sin- 2 3 故选：B 2.若“是第一象限角，且osa行则c0s号的值是（） A.3 B.6 3 3 C.t 3 D.6 【答案】D 【分析】根据题意确定&的范围，再利用半角公式即可得到结果 5/33 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】因为a是第一象限角，所以2：<a<2红+号keZ, 号<红+平k∈Z,所以？是第一象限角或第三象限角 则m<a于 4 2 又知cosa= 3 cos2cosa+1 2 2 所以cos& 1+cosa 6 3 故选：D 4 3.己知a为第一象限角，sino= '则tan 2 【答案】05 【分析】利用同角三角函数的平方关系求出cosα，再利用半角公式即可求解 【详解】 α为第一象限角，÷ .&是第一象限角或第三象限角，tang>0,cosa>0, 4 163 .sina=- ∴.cosa=V1-sin2a= 255 :根据半角公式可得tan a 1-cosa 2 1+cosa 故答案为：号 4.(24-25高一下江苏南通·月考)若sina=a,cosa=b， 则tang的值为( A.1+6 B. 1-b C 1-b D 1-b a a V1+6 1+b 【答案】B 【分析】利用倍角公式化简得出ang-二cosa即可求解 2 sina 【详解】因为sina=a,cosa=b, Sin a 2sin2a 所以tan 2 2 1-cosa1-b 2 a 2sin a cos sina cos 2 2 故选：B 6/33 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在类型三、万能公式 2tan 1-tan2x 2tan sinx=- COSX=- tanx=- 1+tan2x 1+tan2x 1-tan2 2 1. 设tang=t,求证：sina= 2 1-t2 1+/2,tana= 21 2 +2， cosa= 1-t2 【答案】证明见解析 【分析】万能公式得证明，先用三倍角公式，再添加分辱c0:号+sm号，分于分母同除以m号，弦化切 2 即可证明 【详解】由二倍角公式，得 sina =2sin cos 2sin 2 cos2 2tan。 2 2t 2 2 +sin2a 2 1+tan2a 1+ 2 2 tan 2 2t tana 1-tan2 a1-. 2 再由同角三角函数间的关系，得 2t sina cosa =1+21-t2 tan a 211+F: 1-2 2. 已知sin(2a- )=2 则tan(a+)tan(a+ 123 3 12 【答案】5 【分析】由条件等式右边含有反，可联想到24-音中分离出等米处理，设x=2血一子，待求表达式中用表 示，结合万能公式进行求解 【详解】设x=2a骨，于是sn2a骨=9-SmK+孕=snos子ssn月 123 2 2 tan 2 、2 1-tan2 整理可得sinx+cosx= ,根据万能公式，sinx+cosx= 3 1+tan2x 1+tan2 7/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 整理可得an2x=1+6a 由x=2a-亚可得，a+=+刀，a πx,元 3 +32+2a+122+4 x,π sin x,π 根据诱导公式，tan + 22 cos 2 1 2 2/ x cos xπ 2+2 sin 2 tan二+l 根据两角和的正切公式， xπ tan 2 2+4)1-t n' 2 1 tan+1 tan+1 tan+1 故amla+骨ana 2 2 =- -tan+6 tan -=5 121 tan 1-tan tan2 +-tan 2 2 2 255 2 255 2 故答案为：5 sinx 3.若x∈[-π，π]， 则函数f（x)= 的值域为 V4cosx+5 11 【答案】 22 【分析】当幸士：时，令1=am宁，80 2t 然后利用函数的奇偶性与基本不等式即可求解 V0+10t2+9 【详解】当x=±π时，∫(x)=0, 当x≠士元时，令t=tan, 2, 2t 则8()=f(x)= sinx 1+2 2 V4cosx+5 41-t2） V4+10t2+9 +5 1+12 因为re-x小，所以（号引 所以t∈R 所以g()= 2t V+10r2+9 在R是奇函数 2t 2 2 ≤ =21 当t>0时， 8()= V4+10t2+9 9 2+10+ ,9 42, P+10 其中t=√5时，取得等号 8/33 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以0<gs 当t<0,才 奇函数性质g间[片 当t=0时，g(t)=0 所以g()的值域为 11 综上，∫八x)的值域为 -22 故答案为： 4.已知B∈ 2/ 且3sina=sin(2B-oa),则tana的最大值为() A.② B. 2 D.3 4 4 4 4 【答案】B 2tan B sin 2B 1+tan2β 【分析】由条件可得tana= 3+cos2B ,然后化为tana 3+1-an2 ， 利用均值不等式可得出答案 1+tan2β 【详解】3sina=sin2 B cosa-cos2 B sina,即(3+cos2β)sina=sin2 B cosa; 2sinβcosβ 2tan B 即sina sin2β 3 cos26:tana sin 2B-2sin p cosp 、 cos2β+sin2β =1+tan2B cosa 3+cos2B 3+cos'B-sinB 3+cosB-sinB 3+1-tan2B cos2β+sin2B 1+tan2B 2t 令，anB.则ana三+4+2722N54（当且仪当t=V2时等号成立) 3+12 t+ 1+t2 t 故选：B 类型四、和差化积公式 和差化积公式 sina imp =2sincos 2 9/33 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 sina sin pci cosa+cosB=2cosB)cos(B) 2 2 cosa-cosB=-2sin(B)sin(B) 2 2 口诀： 正弦十正弦，正弦在前； 正弦一正弦，正弦在后； 余弦十余弦，余弦并肩； 余弦一余弦，余弦靠边。 证明：由cos(a+B)=cosa cos B-sina sin B,cos(a-B)=cosa cos B+sina sin B,得 cosa cos B=。[cos(a+B)+cos(a-B)】.其他同理可证 2 1. cos72°-cos36的值为() A.3-25 B. c D.3+25 【答案】C 【分析】根据和差化积公式可得cos72°-cos36°=-2sin54°sin18°，利用诱导公式及二倍角的正弦公式即可求 解 【详解】原式-2sin72+36sin72,36 2 =-2sin54°×sinl8°=-2cos36cos72 2 =-2×sin36cos36cos72° sin72°cos72° sin144 sin361 sin36 sin36 2sin36 2sin36=-2 故选：C 2.cosxcosy+sinxsiny= 2'sin2x+sin2y 2 则sinx+y)=() A.-3 B. 5 C. 2 13 3 D.3 【答案】C 【分析】由题及两角差的余弦公式可得cosx-y)的值，再由和差化积公式可得sinx+y)cosx-y)的值， 即可求解 【详解】由题知cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny= 10/33