精品解析：天津市汇文中学2025年-2026学年上学期九年级数学第三月考试卷

2025-2026学年第一学期数学学科第二次学科练习 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求. 1. 图中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 【详解】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； D．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 2. 不透明的袋子中装有1个红球和3个黄球，这两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是概率公式，熟知随机事件的概率事件可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键． 根据概率计算公式进行求解即可． 【详解】解：∵不透明的袋子里装有1个红球，3个黄球， ∴从袋子中随机摸出一个，摸到黄球的概率为； 故选：D． 3. 关于抛物线，下列说法不正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标为 C. 图象与y轴交点为 D. 当时，y的值随x值的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据抛物线的性质解答即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为，对称轴为， ∴当时y随x的增大而减小，当时y随x的增大而增大， 当时，，即图象与y轴交点为， 综上，选项A、B、C正确，不符合题意；选项D错误，符合题意． 故选D． 4. 下列方程中，有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将方程都转化为一般形式，再计算判别式，判断方程是否有实数根，若，则有实数根；若，则没有实数根． 本题考查了一元二次方程根的情况，判断是否大于等于是解题关键． 【详解】A、方程化为，，，，，则方程无实数根，故选项不符合题意； B、方程化为，，，，，则方程无实数根，故选项不符合题意； C、方程化为，，，，，则方程有实数根，故选项符合题意； D、方程化为，，，，，则方程无实数根，故选项不符合题意． 故选C． 5. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，两个正方形在原点同侧，点、、在轴上，其余顶点在第一象限，若正方形的边长为2，则点的坐标（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了图形的位似变换，直接利用位似图形的性质结合相似比得出的长，进而得出的长，即可得出答案． 【详解】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为， ， ， ， ∴， ∴， 解得：， ， 点坐标为：， 故选：A 6. 为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，列出方程即可． 【详解】解：第一轮传播人数为：，第二轮又增加，由题意，得：； 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 7. 如图，在中，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键，根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、根据阴影三角形有一个角为，与相等，结合是公共角，相等，可以得到阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； B、根据阴影三角形有一个角为，与相等，是公共角，相等，能得到阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； C、，，可以得到阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； D、只有，不能得到阴影三角形与原三角形相似，符合题意； 故选D． 8. 如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果． 【详解】解：正六边形的面积为：， 六个小半圆的面积为：，中间大圆的面积为：， 所以阴影部分的面积为：， 故选：A． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正六边形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键． 9. 在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用扇形的弧长等于圆锥的底圆周长求解即可． 【详解】解：由题意可知： 扇形的弧长 设底面圆半径为r, ∵扇形的弧长等于圆锥的底圆周长 ∴，解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是理解扇形的弧长等于圆锥的底圆周长． 10. 如图，点P是外一定点，连接线段，与交于点A.按照如下尺规作图的步骤进行操作： ①分别以P，O为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，交于点B； ②以点为圆心，以为半径作，与交于点Q，R两点； ③连接，，，，，线段与相交于点C. 则下列说法中不一定正确的是（ ） A. ，均为的切线 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题主要考查了尺规作图，圆周角定理，圆与圆位置关系，切线证明，圆内接四边形等知识点，解题的关键是理解题意； 根据作图得出为的直径，根据圆周角定理和切线证明可判断A，根据Q、O、R、P在上，运用圆内接四边形可判断B，根据圆与圆位置关系及三角形面积可判断D，根据圆周角定理可判断C； 【详解】解：根据作图可得：为的直径，Q、O、R、P在上， 是的半径， ，均为的切线，故A正确； Q、O、R、P在上， Q、O、R、P四点共圆，是的内接四边形， ，故B正确； 由作图可知，为与的圆心连线，为与的公共弦， ， ，故D正确； 所对圆心角为，所对圆周角为， 不一定等于， 不一定等于，故C不一定正确； 故选：C． 11. 如图所示，将绕点顺时针旋转，使点落在边上点处，此时，点的对应点正好落在边的延长线上，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质逐一分析可判断A，B，D，再设，可得到与题干矛盾的结论，从而可判断C，从而可得结论． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转，使点落在边上点处，此时，点的对应点正好落在边的延长线上， ∴，，，故A不符合题意； ∴， ∵， ∴，故B不符合题意； 由旋转可得：，而， ∴， ∴平分，故D不符合题意； 若设， 则， 而， ∴， ∴，与题干不符，故C符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，熟练的利用旋转的性质解题是关键． 12. 某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论： ①； ②池底所在抛物线的解析式为； ③池塘最深处到水面的距离为； ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的． 其中结论正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点距离公式可计算AB长度，由图像可知抛物线的对称轴和点坐标，设出抛物线解析式，利用待定系数法可得出抛物线解析式，进而逐项判断即可． 【详解】①由题可知，，则①错误； ②对称轴为y轴，交y轴于点，设函数解析式为，将点代入解析式得，解得， 池底所在抛物线解析式为，则②正确； ③将代入解析式得 ，解得，则池塘最深处到水面的距离为，则③错误； ④设原宽度为时最深处到水面的距离为，宽度减少为原来的一半时距离为，故④正确， 所以①、③错误，②、④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线的图像与性质的实际应用，关键是结合图像设出适当的解析式，利用待定系数法出解析式． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 从2名男生和2名女生中选取两人参加演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图得： 画树状图可得共有12种等可能的结果，其中一男一女的结果数为8种， 所以恰好选中一男一女的概率为， 故答案为：． 14. 抛物线有最_____点（填“高”或“低”），这个点的坐标是_____；把这个抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位得到的新抛物线是_____． 【答案】 ①. 高 ②. ③. ． 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象和平移规律即可求解，解题的关键是熟练掌握“上加下减，左加右减”的函数图象平移规律． 【详解】解：在中， ∵， ∴图象有最高点，这个点的坐标是， 则这个抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位得到的新抛物线是， 故答案为：高；；． 15. 将点绕原点顺时针旋转90度，点的对应点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转点的坐标变换规则． 点绕原点顺时针旋转，其坐标变换规则为：新点的横坐标为旋转前点的纵坐标，新点的纵坐标为旋转前点横坐标的相反数． 【详解】解：点绕原点顺时针旋转，根据旋转规则，对应点的横坐标为，纵坐标为，即对应点坐标为， 故答案为． 16. 如图，已知平行四边形，E是延长线上一点，交于点F，且，则的面积为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的对边平行且相等，可证，又因，可得相似三角形的相似比为，然后根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出的面积． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：8． 17. 已知正方形的边长为6，是边的中点． （Ⅰ）如图①，连接，则的长为______． （Ⅱ）如图②，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转90°得．则线段长的最小值为______． 【答案】 ①. ； ②. ； 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据勾股定理可求的长； （Ⅱ）连接DO，将△DOE绕点D逆时针旋转90°得△DGF，过点G作DC的垂线，垂足为M，过点O作BC的垂线，交直线GM于点N，连接OG，求出OG长，再根据三角形三边关系可求OF最小值． 【详解】（Ⅰ）∵正方形的边长为6，是边的中点， ∴OB=OC=3， AO=， 故答案为：； （Ⅱ）连接DO，将△DOE绕点D逆时针旋转90°得△DGF，过点G作DC的垂线，垂足为M，过点O作BC的垂线，交直线GM于点N，连接OG， 由旋转可知，GF=OE=2，DO=DG，∠OEG=90°， ∴∠GDM+∠ODC=90°， ∵∠DOC+∠ODC=90°， ∴∠DOC=∠GDM， ∵∠C=∠GMD， ∴△DOC≌△GDM， ∴DM=OC=3，GM=DC=6, 由辅助线作法可知，四边形CMNO是矩形， ∵CM=OC=3， ∴矩形CMNO是正方形， ON=MN=3， OG=， ∵OF≥OG-GF， ∴OF的最小值为OG-GF =； 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质和最小值问题，解题关键是构造手拉手全等模型，转化确定线段的取值范围． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，且顶点、均在格点上．点是圆与格线的交点，为边上的一个格点，过点作于点． （I）线段的长度为________； （II）请用无刻度直尺在网格中作出过点的圆的切线．并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）__________． 【答案】 ①. ②. 如图，取点，连接，交于点，则点即为所求； 取点，使，连接，交圆于点，连接，交网格于点，连接交网格于点，连接并延长交网格于点，则即为所求． 【解析】 【分析】（）利用格点图形的特点结合勾股定理即可求解； （2）由，，得，是圆的直径，故点即为所求； 取点，使，连接，交圆于点，连接，交网格于点，连接交网格于点，连接并延长交网格于点，则点即为所求，连接，由平行线分线段成比例定理可得，而，易证，则四边形是平行四边形，则，由是直径，知，那么，由网格特点可知：四边形是平行四边形，则，故，即是圆的切线，故即为所求． 【详解】解：（1）由格点可得：， 故答案为：； （2）略 【点睛】本题考查了使用无刻度直尺作图，涉及勾股定理，圆周角定理，圆的切线的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，难度大，解题的关键是正确找出格点，熟练掌握各知识点． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）当时，求该一元二次方程的解； （2）若方程有两个不等实数根且满足，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系等知识，解题的关键是∶ （1）把代入方程，如何根据因式分解法求解即可； （2）先根据根的判别式求出m的取值范围，再根据根与系数的关系得出，，再把变形为，整体代入得出关于m的方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：当时，原方程为， ， 或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵方程有两个不等实数根， ∴， ∴， 由根与系数的关系，得，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得，， 又， ∴． 20. 抛物线（，为常数）的图象过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）这个二次函数的图象开口向________，顶点坐标是________，当________时，随的增大而减小； （3）当时，的取值范围是________． 【答案】（1） （2）下，， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，最值的计算方法是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数解析式，结合二次函数图象的性质求解即可； （3）根据开口方向和顶点坐标求得最大值，进而根据离对称轴较远的点的函数值较小，从而求得最小值，即可求得的取值范围． 【小问1详解】 解：抛物线（b，c为常数）的图像过点， ∴， 解得，， ∴； 【小问2详解】 解：二次函数解析式为：， ∴顶点坐标为， ， ∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为，当时，随的增大而减小， 故答案为：下，，； 【小问3详解】 解：由（2）可知，二次函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，取得最大值， 又∵， ∴当时，取得最小值，最小值为， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 21. 已知，中，，是上的点，． （1）如图①，求证； （2）如图②，连接，，，，若，求，的大小． 【答案】（1） 证明：中，， ． ， ∴． （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理和圆的内接四边形的性质，以及圆周角和弧长的关系，属于简单题型． （1）利用垂径定理证明，再根据即可证明即可得出结论； （2）先利用圆的内接四边形的性质求出的大小，再根据垂径定理和同弧所对的圆周角相等即可求出和的大小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形是圆内接四边形， ． ． 中，， ． ． ， ． 22. 如图1，在中，，，以为直径的与相交于点．过点的切线与相交于点． （1）求和的度数； （2）如图2，过点作于点，过点作于点，交于点和．若，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角，得出，根据等腰三角形的性质得出，进而根据直角三角形的两个锐角互余得出，进而根据等边对等角得出，等量代换得出，证明，根据切线的性质得出，即可得出，从而求得； （2）连接，设与交于点，连接，得出是等腰直角三角形，根据垂径定理，，得出设，则，得出，勾股定理求得，得出，根据平行线分线段成比例得出，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，连接，设与交于点，连接， ∵是的直径， ∴， ∵，又， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴，， 设，则， ∴中，， 解得：， ∴，则， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，垂径定理，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，切线的性质，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23. 单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系． 某运动员进行了两次训练． （1）第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 5 8 11 14 竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； （2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）． 【答案】（1）23.20 m； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h、k的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值，得出函数解析式； （2）着陆点的纵坐标为，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出和，然后进行比较即可． 【小问1详解】 解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：， ∴，， 即该运动员竖直高度的最大值为23.20 m， 根据表格中的数据可知，当时，，代入得： ，解得：， ∴函数关系关系式为：． 【小问2详解】 设着陆点的纵坐标为，则第一次训练时，， 解得：或， ∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离， 第二次训练时，， 解得：或， ∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为，用t表示出和是解题的关键． 24. 将两个三角形，放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点，分别在边，上，且满足，． （1）如图①，求点的坐标． （2）以点为中心，顺时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，． （i）如图②，连接，则在旋转过程中，当时，求线段的长； （ii）如图③，连接，点为的中点，则在旋转过程中，当点到线段的距离取得最大值时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）点的坐标为； （2）①或；②点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，坐标与图形的性质、三角形中位线定理、勾股定理，点与圆上一点的距离等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． （1）利用含度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，，据此即可求解； （2）（i）分两种情况讨论，当点在上方时，求得点为的中点，利用勾股定理求得的长，根据即可求解；当点在下方时，同理可得； （ii）取中点，连接，求得，得到点在以点为圆心，为半径的圆上，过点作的垂线，垂足为，交圆于点，则此时点到的距离最大，证明、、、在同一直线上，进而求得的长，进而即可求得点的坐标． 【小问1详解】 解：如图，过点作于， ∵点，点 ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴，，， ∴， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：（i）由题意得，，， 当点E在上方时，如图，延长交于点， ∵，且， ∴点为的中点， 在中，，， ∴， ∴； 当点在下方时，同理可得； ； （ii）如图，取中点，连接， ∴是的中位线， ∴， ∵点是定点，是定长， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， 连接，过点N作的垂线，垂足为，交圆于点，则此时点到的距离最大， ∵，点是中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴点在线段上，即、、、在同一直线上， ∴，， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴点的坐标为． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）若，． ①求该抛物线的解析式； ②设D为线段上的点，且满足，求点D的坐标． （2）若，P是直线与抛物线的交点，若M、N（点M在点N的左侧）为线段上的两个动点，且，当的最小值为，求a的值． 【答案】（1）①；② （2）1 【解析】 【分析】（1）①将点，代入抛物线，利用待定系数法求解即可； ②先求出，从而得到，，再结合已知条件，得到，过点作轴，求出，，即可得到点D的坐标． （2）由题意可得对称轴为直线，，作点关于轴的对称点，过点作轴于点，在上取点，使得，连接，则，证明四边形是平行四边形，得到，即当点在上时，有最小值为，再利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：①抛物线与x轴交于点，， ，解得：， 该抛物线的解析式为； ②抛物线与y轴交于点C， 令，则， ， ， ，， ， ，， 如图，过点作轴，则， ， ， ， 点D的坐标为． 【小问2详解】 解：， 抛物线，对称轴为直线， 令，则， ， 如图，作点关于轴的对称点，过点作轴于点，在上取点，使得，连接，则， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 即当点在上时，有最小值为， 的最小值为， ， 在中，，， ， 整理得：， 解得：或（舍）， 即a的值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质求最短线段，平行四边形的判定和性质，一元二次方程的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期数学学科第二次学科练习 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求. 1. 图中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 不透明的袋子中装有1个红球和3个黄球，这两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 关于抛物线，下列说法不正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标为 C. 图象与y轴交点为 D. 当时，y的值随x值的增大而减小 4. 下列方程中，有实数根的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，两个正方形在原点同侧，点、、在轴上，其余顶点在第一象限，若正方形的边长为2，则点的坐标（ ） A. B. C. D. 6. 为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆半径是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点P是外一定点，连接线段，与交于点A.按照如下尺规作图的步骤进行操作： ①分别以P，O为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，交于点B； ②以点为圆心，以为半径作，与交于点Q，R两点； ③连接，，，，，线段与相交于点C. 则下列说法中不一定正确的是（ ） A. ，均为的切线 B. C. D. 11. 如图所示，将绕点顺时针旋转，使点落在边上点处，此时，点的对应点正好落在边的延长线上，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 平分 12. 某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论： ①； ②池底所在抛物线的解析式为； ③池塘最深处到水面的距离为； ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的． 其中结论正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 从2名男生和2名女生中选取两人参加演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是__________ 14. 抛物线有最_____点（填“高”或“低”），这个点的坐标是_____；把这个抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位得到的新抛物线是_____． 15. 将点绕原点顺时针旋转90度，点的对应点的坐标为________． 16. 如图，已知平行四边形，E是延长线上一点，交于点F，且，则的面积为_______． 17. 已知正方形的边长为6，是边的中点． （Ⅰ）如图①，连接，则的长为______． （Ⅱ）如图②，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转90°得．则线段长的最小值为______． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，且顶点、均在格点上．点是圆与格线的交点，为边上的一个格点，过点作于点． （I）线段的长度为________； （II）请用无刻度直尺在网格中作出过点的圆的切线．并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）__________． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）当时，求该一元二次方程的解； （2）若方程有两个不等实数根且满足，求的值． 20. 抛物线（，为常数）的图象过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）这个二次函数的图象开口向________，顶点坐标是________，当________时，随的增大而减小； （3）当时，的取值范围是________． 21. 已知，中，，是上的点，． （1）如图①，求证； （2）如图②，连接，，，，若，求，的大小． 22. 如图1，在中，，，以为直径的与相交于点．过点的切线与相交于点． （1）求和的度数； （2）如图2，过点作于点，过点作于点，交于点和．若，求的长． 23. 单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系． 某运动员进行了两次训练． （1）第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 5 8 11 14 竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； （2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）． 24. 将两个三角形，放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点，分别在边，上，且满足，． （1）如图①，求点的坐标． （2）以点为中心，顺时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，． （i）如图②，连接，则在旋转过程中，当时，求线段的长； （ii）如图③，连接，点为的中点，则在旋转过程中，当点到线段的距离取得最大值时，直接写出点的坐标． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）若，． ①求该抛物线的解析式； ②设D为线段上的点，且满足，求点D的坐标． （2）若，P是直线与抛物线的交点，若M、N（点M在点N的左侧）为线段上的两个动点，且，当的最小值为，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $