精品解析：湖南省长沙市第六中学2025届高三二模数学试卷

长沙市第六中学2025届高三第二次模拟考试 高三年级 数学试卷 命题人：周秩仁 审题人：唐枫 尹怡 总分：150分 时量：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次不等式和绝对值不等式解出两集合，再求交集即可. 【详解】， ， 所以. 故选：B 2. 已知，则（    ） A. B. C. D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算法则先求出，再求出，所以. 【详解】，则， 所以； 所以， 故选：B 3. 设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（    ） A. B. C. D. = −+. 【答案】D 【解析】 【分析】以为基底，根据平面向量的线性运算可得答案. 【详解】如图 则. 故选：D 4. 曲线在点处的切线方程为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求导函数，得到斜率为 ，再利用点斜式写出切线方程化简即可. 【详解】求导函数得到，则切线斜率为 ， 所以曲线在点处的切线方程为，即； 故选：D 5. 已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式和性质化简得到，则. 【详解】因为，所以，即， 所以公差 ，所以 故选：C 6. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点到点的距离与到直线的距离相等，则（   ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题目条件求出，，再根据点到点的距离与到直线的距离相等，得到，化简得到，解得. 【详解】因为点在抛物线上，所以，即，所以， 抛物线的焦点为 ， 由点到点的距离与到直线的距离相等，得到 即，化简得，即， 因为，所以，解得 故选：A 7. 设是锐角，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角恒等变换化简得到，两边同除得到，因为是锐角，所以，所以. 【详解】由题可得， 即 即， 两边同除得到，所以 因为是锐角，所以，所以； 故选B 8. 已知函数，且，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先构造函数，将不等式可以转化为，利用奇偶性定义得到函数为奇函数，利用导数证明函数在上单调递增，再利用奇偶性和单调性结合解不等式,即可得到实数的取值范围. 【详解】设，则， 所以可以转化为，即， 因为 所以函数为奇函数， ，所以函数在上单调递增， ，即， 因为为奇函数，所以， 所以，所以 即或者，所以实数的取值范围是 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的是（   ） A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则 B. 已知随机变量服从正态分布，若，则 C. 已知，为随机事件，，，若，相互独立，则 D. 样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由二项分布的期望和方差公式可得A；利用正态分布的对称性可判断B；由独立事件的乘法公式可得C；利用残差的计算可得D. 【详解】对于A，已知随机变量服从二项分布，若，， 则，解得，故A正确； 对于B，随机变量服从正态分布，所以对称轴为，则， 因为，所以， 所以，故B错误； 对于C，若，相互独立，则， 所以，故C正确； 对于D，由题意可得样本点与的残差分别为和， 所以，则，故D正确. 故选：ACD. 10. 以下四个命题表述正确的是（   ） A. 若直线与互相垂直，则 B. 已知抛物线的焦点为，点在上，若，则 C. 已知双曲线，则双曲线的焦点到渐近线的距离为 D. 已知椭圆和圆分别为椭圆和圆上的动点，若为椭圆的左焦点，则的最小值为6 【答案】BD 【解析】 【分析】利用两直线垂直系数关系列方程可得A；由抛物线的定义可得B；由双曲线的渐近线方程，焦点坐标，点到直线的距离公式可得C，利用椭圆的定义结合题意可得D. 【详解】对于A，若直线与互相垂直， 则，解得或，故A错误； 对于B，抛物线的焦点为，其准线方程为， 因为点在上，，即，故B正确； 对于C，由题意可得双曲线的渐近线方程为，焦点为， 由对称性不妨求右焦点到的距离， 由点到直线的距离公式可得，故C错误； 对于D，椭圆的左焦点，设右焦点为， 圆的圆心，半径为1， ，当且仅当点在左顶点，点在原点时取等号，故D正确. 故选：BD. 11. 在棱长为2正方体中，为的中点，是侧面内的一点（包含边界），则以下结论正确的是（） A. 若，则的轨迹长度为 B. 与所成角的最大值为 C. 若三棱锥的体积为定值，则 D. 若在线段上，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由题意可知其轨迹为圆弧；对于B，当点为的中点时，易证与所成角的为；对于C，因为三棱锥的体积为定值，找出轨迹，但此时可证与不垂直；对于D，关键在于求出的外接圆直径的范围，进而可求外接球半径的范围，进而可求外接球表面积的范围. 【详解】对于A，取的中点，此时满足， 因为点在侧面内，所以以为球心，为半径的球面与侧面的交线为四分之一圆弧， 该圆弧是以B为圆心1为半径的圆的，故其轨迹长度为，故A正确； 对于B，如图所示，连接，在中，，同理可求得， 所以为等腰三角形，当点为的中点时，连接，此时有， 在正方体中易知，故，此时与所成角的为，故B错误； 对于C，当F在上运动时，由于,所以平面, 此时为定值， 但与不垂直，故C错误； 对于D，设，当点为的中点时，最， 取中点，则， 所以； 当点与点或点重合时，最小，此时，所以 在球面上，的外接圆直径 三棱锥的外接球的直径为 三棱锥的外接球的半径为 三棱锥的外接球的表面积为，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为_______. 【答案】240 【解析】 【分析】根据二项式系数和求出，再利用赋值法求出，根据二项式通项公式的展开式求出常数项，即可； 【详解】由于的展开式的二项式系数和为64， 即， 解得． 又由于的展开式系数和为729，令得，即， 解得或（舍去）， 的展开式的通项为， 令，解得， 所以展开式的常数项为， 又，， 故答案为：240 13. 已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的，且，，，则球的表面积是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据球的半径、球心到截面的距离及截面圆半径之间的关系求解即可. 【详解】因为， 所以是直角三角形，且直角顶点为，斜边为， 所以外接圆的半径为. 又球心到截面的距离， 根据球的截面性质得，，整理得. 所以球的表面积为. 故答案为：. 14. 满足，且关于的方程有实数解的有序数对的个数为________ 【答案】 【解析】 【分析】由于关于的方程有实数根，分两种情况：当时，方程为，此时一定有解；当时，方程为一元二次方程，那么它的判别式大于或等于0，由此即可求出，从而得到有序数对的个数． 【详解】解：当时，方程为，此时一定有解； 此时，0，1，2；即，，，四种； 当时，方程为一元二次方程， △，则． 当，1，2时，此时，的对数为，，， ，，，，，，共9种， 关于的方程有实数解的有序数对的个数为13种， 故答案为13． 【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，在解题时要注意分类讨论思想运用，是中档题． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，分别为三个内角，，的对边，. （1）求； （2）若，求 的最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再结合三角形内角的取值范围，即可求得答案； （2）利用正弦定理得出，代入得，再利用余弦定理和基本不等式，即可求得答案； 【小问1详解】 因为，所以不为； 所以， 所以， 又因为，所以，故， 所以； 【小问2详解】 由（1）得：，所以， 所以，所以； 由余弦定理：； 根据基本不等式得：，代入得：，仅当时，等号成立， 解得：，所以的最大值为. 16. 为了解某市高中学生喜爱打篮球是否与性别有关，从该市若干所学校的全部高中学生中随机抽取100名学生进行调查.得到了如下的列联表： 性别 打篮球 合计 不喜爱 喜爱 男生 25 女生 10 30 合计 100 （1）请完成上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为学生喜爱打篮球与性别有关.（单位：人） （2）现按是否喜爱打篮球比例分配从样本女生30人中按分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取人进行进一步调查，记抽到的人中不喜爱打篮球的人数为，求的分布列和均值； （3）若将频率视作概率，从全市所有高中学生中随机抽取40人进行调查，记人中喜爱打篮球的人数为，求的均值和方差. 附：，. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，学生喜爱打篮球与性别有关. （2）分布列见解析，2 （3）， 【解析】 【分析】（1）完成列联表，根据列联表中的数据，结合公式求出，然后根据临界值分析判断即可 （2）根据题目求出抽取 6人时，不喜爱的有4人，喜爱的有2人，得到服从超几何分布，利用超几何分布求解即可； （3）喜欢打篮球的频率为 ，分析得到服从二项分布 ,利用二项分布的均值和方差公式直接求解即可. 【小问1详解】 列联表如下： 性别 打篮球 合计 不喜爱 喜爱 男生 25 45 70 女生 20 10 30 合计 45 55 100 零假设:学生喜爱打篮球与性别无关. 根据列联表数据，计算得到 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即学生喜爱打篮球与性别有关. 【小问2详解】 女生中不喜爱、喜爱打篮球的比例为，抽取 6 人时，不喜爱的有4人，喜爱的有2人，再从这6人中随机抽取人进行进一步调查，记抽到的人中不喜爱打篮球的人数为，服从超几何分布且的可能取值为1，2，3，对应的概率为 , , 的分布列为 1 2 3 的均值为 【小问3详解】 喜欢打篮球的频率为 ，从全市所有高中学生中随机抽取40人进行调查，记人中喜爱打篮球的人数为，则 , 则的均值: ， 的方差: . 17. 如图，四棱锥的底面是梯形，平面. （1）求证：平面平面； （2）在棱上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）只需结合已知证明平面，由面面垂直的判定定理即可进一步得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，引入参数，进一步表示两个平面的法向量，由向量夹角公式建立方程即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，，所以平面， 又因为平面，所以，又， 所以两两互相垂直， 所以以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 如图，， 设， 则， ，设平面的法向量为， 则，即，取，满足条件， 所以可取， ，，设平面的法向量为， 则，即，取，解得， 所以， 由题意， 化简并整理得，解得或（舍去）， 所以， 综上所述，棱上是否存在一点E，且，使得二面角的余弦值为. 18. 古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.在平面直角坐标系中，已知椭圆：，点为其右焦点，椭圆的焦距为4. 若有光束自点射出，经椭圆二次反射后回到点，设两次反射点分别为，其光程为16. （1）求椭圆的标准方程. （2）点P是椭圆C上的任意一点，椭圆在点P处的切线为，过点作的垂线，垂足为H，试求点H的轨迹方程． （3）若直线OA，OB分别与直线交于M、N两点，试问，直线BM与直线AN能否交于一定点？若能，求出此定点；若不能，请说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3）能，定点为. 【解析】 【分析】（1）根据题意和椭圆的定义，通过光程求出，再结合，求椭圆方程； （2）设椭圆的左焦点为，延长，交于点，易得在中，点在以为圆心，半径为4的圆上，即可求得轨迹方程； （3）假设，得出，的直线方程，进而求出M、N两点坐标，再得出直线与直线的方程，联立求解判断是否过定点. 【小问1详解】 由题意知，椭圆焦距，则，因为方程为， 根据椭圆的定义， 所以，解得，即知， 故椭圆方程为：. 【小问2详解】 如图所示： 设椭圆的左焦点为，延长和交于点， 在中，，则，且为中点， 在中， 所以点在以为圆心，半径为4的圆上，所以点的轨迹方程为． 【小问3详解】 由椭圆的光学性质可知直线过左焦点,设直线AB方程为,， 联立，得， 由韦达定理得 两式相比可得，所以 由对称性知，若定点存在，则为直线与直线交于轴上的定点， 由，解得，则直线方程为， 令， 则 所以，直线过定点，同理直线也过定点. 则点即为所求点. 19. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若与恰有两个交点，求的取值范围. （3）当时，，求a的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导后构造函数再次求导后可得； （2）变形不等式后令，问题转化为有两个零点，求导分和两种情况结合零点存在定理分析可得； （3）当时显然成立；当时，分离参数可得，构造函数求导结合隐零点分析最值即可. 【小问1详解】 当时，，， 令，则恒成立， 所以在单调递增， 又， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 【小问2详解】 ， 令，问题转化为有两个零点， 求导， 若，则，单调递增，在上至多有一个零点，不符合题意； 若，令， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 由零点存在定理可得要使有两个零点，则， 当时，，，则； 当，由指数爆炸模型可知， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 当时，，即，整理可得， 当时显然成立； 当时，分离参数可得， 令，求的最大值即可， 求导， 令分子为， 则， 再令， 则， 所以当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， 又， 故存在，使得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 又， 所以时，，即，单调递增； 时，，即，单调递增， 所以. 所以a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市第六中学2025届高三第二次模拟考试 高三年级 数学试卷 命题人：周秩仁 审题人：唐枫 尹怡 总分：150分 时量：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（    ） A. B. C. D. 2. 已知，则（    ） A. B. C. D. 40 3. 设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（    ） A. B. C. D. = −+. 4. 曲线在点处的切线方程为（   ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 6. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点到点的距离与到直线的距离相等，则（   ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 设是锐角，，则（   ） A. B. C. D. 8. 已知函数，且，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的是（   ） A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则 B. 已知随机变量服从正态分布，若，则 C. 已知，为随机事件，，，若，相互独立，则 D. 样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 10. 以下四个命题表述正确的是（   ） A. 若直线与互相垂直，则 B. 已知抛物线的焦点为，点在上，若，则 C. 已知双曲线，则双曲线的焦点到渐近线的距离为 D. 已知椭圆和圆分别为椭圆和圆上的动点，若为椭圆的左焦点，则的最小值为6 11. 在棱长为2正方体中，为的中点，是侧面内的一点（包含边界），则以下结论正确的是（） A. 若，则的轨迹长度为 B. 与所成角的最大值为 C. 若三棱锥的体积为定值，则 D. 若在线段上，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为_______. 13. 已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的，且，，，则球的表面积是_______. 14. 满足，且关于的方程有实数解的有序数对的个数为________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，分别为三个内角，，的对边，. （1）求； （2）若，求 的最大值. 16. 为了解某市高中学生喜爱打篮球是否与性别有关，从该市若干所学校的全部高中学生中随机抽取100名学生进行调查.得到了如下的列联表： 性别 打篮球 合计 不喜爱 喜爱 男生 25 女生 10 30 合计 100 （1）请完成上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为学生喜爱打篮球与性别有关.（单位：人） （2）现按是否喜爱打篮球比例分配从样本女生30人中按分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取人进行进一步调查，记抽到的人中不喜爱打篮球的人数为，求的分布列和均值； （3）若将频率视作概率，从全市所有高中学生中随机抽取40人进行调查，记人中喜爱打篮球的人数为，求的均值和方差. 附：，. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 如图，四棱锥的底面是梯形，平面. （1）求证：平面平面； （2）在棱上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.在平面直角坐标系中，已知椭圆：，点为其右焦点，椭圆的焦距为4. 若有光束自点射出，经椭圆二次反射后回到点，设两次反射点分别为，其光程为16. （1）求椭圆的标准方程. （2）点P是椭圆C上的任意一点，椭圆在点P处的切线为，过点作的垂线，垂足为H，试求点H的轨迹方程． （3）若直线OA，OB分别与直线交于M、N两点，试问，直线BM与直线AN能否交于一定点？若能，求出此定点；若不能，请说明理由. 19. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若与恰有两个交点，求的取值范围. （3）当时，，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $