1.2 整式的乘法（第2课时）多项式的乘法 课件 --2025--2026学年北师大版七年级数学下册

该初中数学课件聚焦整式的乘除中的多项式乘法，通过操场面积计算问题导入，从整体与局部面积表示引出乘法分配律，搭建单项式乘多项式到多项式乘多项式的学习支架，帮助学生理解法则推导脉络。 其亮点是以操场、风景画等现实情境为载体，发展几何直观和抽象能力，通过不同拆分方式验证面积相等培养推理意识。采用问题探究与分层例题教学，小结明确法则及依据。学生能在情境中理解算理提升运算能力，教师可借助丰富实例和中考考法高效教学。

新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】 1.2.2多项式的乘法 第一章 整式的乘除 授课教师： . 班 级： . 时 间： . a i T u j m i a N g 1 新课探究 A B C D 如图，在计算操场面积的问题中，如何计算A和B组成的长方形区域的面积?你是怎么计算的? 从整体看，A、B的面积为__________; a·(2b+3a) 从局部看， A、B的面积为__________。 2ab+3a2 a·(2b+3a)=2ab+3a2 你可以用运算律解释吗? 你发现了什么? 1.2.2 多项式的乘法 教学过程幻灯片内容 幻灯片1：情境导入（复习铺垫） 1. 复习旧知：提问“单项式乘单项式、单项式乘多项式的法则是什么？”，请学生口头回答，师生共同回顾关键要点（如单项式乘多项式需用分配律，将单项式与多项式每一项相乘再相加）。2. 情境设问：校园要扩建长方形草坪，原长(a+b)米，原宽(m+n)米，扩建后面积如何表示？引导学生发现需计算(a+b)(m+n)，引出多项式乘多项式的课题。 幻灯片2：探究新知（推导法则） 1. 转化思想：将(a+b)(m+n)看作(a+b)与(m+n)的乘积，把其中一个多项式当作整体，借助单项式乘多项式法则推导。2. 分步推导：第一步，(a+b)(m+n) = a(m+n) + b(m+n)（把(a+b)看作单项式，乘多项式(m+n)）；第二步，展开得am + an + bm + bn（分别应用单项式乘多项式法则）。3. 总结法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 幻灯片3：例题讲解（规范步骤） 例题1：计算(3x + 1)(x - 2) 解：第一步，用3x乘(x - 2)的每一项：3x·x - 3x·2 = 3x² - 6x；第二步，用1乘(x - 2)的每一项：1·x - 1·2 = x - 2；第三步，相加合并同类项：3x² - 6x + x - 2 = 3x² - 5x - 2。 强调：每一项相乘时符号要准确，结果需合并同类项。 幻灯片4：巩固练习（即时反馈） 1. 基础练习：计算(2a - 3)(a + 4)，请2名学生板演，其余学生独立完成，师生共同订正。2. 易错辨析：判断(2x + y)(x - y) = 2x² - 2xy + xy - y² = 2x² - xy - y²是否正确，重点分析符号易错点。3. 思路梳理：提问“计算多项式乘法的关键步骤有哪些？”，引导学生总结核心要点。 幻灯片5：课堂小结（梳理脉络） 1. 法则回顾：多项式乘多项式 → 转化为单项式乘多项式 → 转化为单项式乘单项式 → 合并同类项。2. 核心思想：转化思想（将未知问题转化为已知问题）。3. 注意事项：符号准确、不漏乘、最终合并同类项。 (2) a (2b+3a)=2ab+3a2，你能用运算律解释吗? a (2b+3a)=2ab + 3a2 乘法的分配律 p(a+b+c)=pa+pb+pc 当p、a、b、c为单项式时，乘法分配律也成立。 你能计算ab·(abc+2x) ， c2·(m+n–p)，(x2y+xy2)·(–xy) 吗? ab·(abc + 2x) = ab·abc+ab·2x = a2b2c+2abx c2·(m + n – p) = c2m+c2n – c2p 操作·交流 (x2y+xy2)·(– xy) = –x3y2–x2y3 一般地，如何进行单项式乘多项式的运算?与同伴进行交流。 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 单项式除以多项式的法则: a (2b+3a)=2ab + 3a2 注意: ①依据是乘法分配律； ②积的项数与多项式的项数相同。 例 2 计算 （1） 2ab ( 5ab2 + 3a2b )； （2） ( ab2 – 2ab )· ab ； （3） 5m2n ( 2n + 3m – n2 )； （4） 2 ( x + y2z + xy2z3 )·xyz。 2ab ( 5ab2 + 3a2b ) = 2ab · 5ab2 + 2ab · 3a2b = 10a2b3 + 6a3b2； 解：（1） ( ab2 – 2ab ) · ab = ab2· ab + ( – 2ab )· ab = a2b3 – a2b2； （2） 5m2n ( 2n + 3m – n2 ) = 5m2n·2n + 5m2n·3m + 5m2n·( – n2 ) = 10m2n2 + 15m3n – 5m2n3； （3） （4） 2 ( x + y2z + xy2z3 )·xyz = ( 2x + 2y2z + 2xy2z3 )·xyz = 2x·xyz + 2y2z·xyz + 2xy2z3·xyz = 2x2yz + 2xy3z2 + 2x2y3z4。 观察·思考 (1)如图，一幅边长为am的正方形风景画，左右各留有宽为 x m的长方形空白区域作装饰，中间画面的面积是多少平方米? a a x x 解：a(a- x) = a2- ax（m2） 答：中间画面的面积是a2- ax平方米。 A B C D 如图，如何计算整个操场的面积? 方法1：将ABCD看成一个整体，可得 (a+3b)·(2b+3a) 方法2：将AB，CD分别看成一个整体，可得 a·(2b+3a)+3b·(2b+3a) 方法3：将AC，BD分别看成一个整体，可得 2b·(a+3b)+3a·(a+3b) 方法4:分别求出ABCD的面积并求和，可得 2ab+3a2+6b2+9ab 你发现了什么? A B C D (a+3b)·(2b+3a) a·(2b+3a)+3b·(2b+3a) 2b·(a+3b)+3a·(a+3b) 2ab+3a2+6b2+9ab 相等，都表示操场的面积。 你可以用运算律解释吗? (a+3b)·(2b+3a) =a·(2b+3a)+3b·(2b+3a) =2ab+3a2+6b2+9ab (a+3b)·(2b+3a) =2b·(a+3b)+3a·(a+3b) =2ab+3a2+6b2+9ab 看作整体 看作整体 运用分配律 运用分配律 再次运用分配律 再次运用分配律 思考·交流 一般地，如何进行多项式乘多项式的运算?与同伴进行交流。 你能计算(2a+b)·(a+2b) ，(x–y)·(x–1) ，(a2–b2)·(a–b) 吗? (2a+b)·(a+2b) (x–y)·(x–1) =2a(a+2b) +b(a+2b) =2a2+4ab+ab+2b2 =2a2+5ab+2b2 。 (a2–b2)·(a–b) =x(x–1)–y(x–1) =x2–x–xy+y 。 =a(a2–b2)–b(a2–b2) =a3–ab2–ba2b+b3。 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 多项式与多项式相乘的运算法则: 多项式×多项式 单项式×多项式 单项式×单项式 例 3 计算 （1） ( 1 – x ) ( 0.6 – x )； （2） ( 2x + y ) ( x – y )。 解：（1）( 1 – x ) ( 0.6 – x ) = 1 × 0.6 – 1 · x – x · 0.6 + x · x = 0.6 –x –0.6 x + x2 = 0.6 –1.6 x + x2； 例 3 计算 （1） ( 1 – x ) ( 0.6 – x )； （2） ( 2x + y ) ( x – y )。 （2）( 2x + y ) ( x – y ) = 2x·x – 2x·y + y·x – y·y = 2x2 – 2xy + xy – y2 = 2x2 – xy – y2。 1.计算： （1）4xy·(-2xy3)； （3）2x2y·(-xy)2 ； （5）-xy2z3·(-x2y)3； （2）a3b·ab5c； （4） x2y3· xyz ； （6）-ab3·2abc2·(a2c)3。 解:（1）原式=-8x2y4； （2）原式= a4b6c ； （3）原式= 2x4y3 ； （4）原式= x3y4z ； （5）原式= x7y5z3 ； （6）原式= -2a8b4c5。 随堂练习 2.计算： （1）5x(2x2-3x+4)； （3）-2a2(ab+b2) ； （5）(-2m-1)·(3m-2) ； （2）-6x(x-3y) ； （4）( x2y-6xy)·xy2； （6）(x-y)2。 解:（1）5x(2x2-3x+4) = 5x·2x2+5x ·(-3x)+5x ·4 =10x3-15x2+20x； （2）-6x(x-3y) = -6x·x -6x ·(-3y) = -6x2+18xy ； 随堂练习 （3）-2a2(ab+b2) = -2a2· ab+(-2a2)·b2 = -a3b-2a2b2； （4） ( x2y-6xy)·xy2 =x2y ·xy2+(-6xy)·xy2 =x3y3-3x2y3 ； 2.计算： （1）5x(2x2-3x+4)； （3）-2a2(ab+b2) ； （5）(-2m-1)·(3m-2) ； （2）-6x(x-3y) ； （4）( x2y-6xy)·xy2； （6）(x-y)2。 随堂练习 （5） (-2m-1)·(3m-2) = -2m·3m-2m·(-2) -1·3m-1· (-2) = -6m2+m+2； （6）(x-y)2=(x-y)(x-y) =x2-xy-xy+y2 =x2-2xy+y2。 2.计算： （1）5x(2x2-3x+4)； （3）-2a2(ab+b2) ； （5）(-2m-1)·(3m-2) ； （2）-6x(x-3y) ； （4）( x2y-6xy)·xy2； （6）(x-y)2。 随堂练习 3.分别计算下面图中阴影部分的面积。 解:（1）S阴影=S大半圆-S小半圆 = π·(a)2- π·(a) 2 = πa2- πa 2 = πa 2； 随堂练习 3.分别计算下面图中阴影部分的面积。 （2）S阴影=at+(b-t)t=at+bt-t2 。 随堂练习 4.请你用图形直观解释 a(b-c)=ab-ac。 解:如图，阴影部分的面积可以利用长方形的面积公式直接计算，即a(b-c)， 也可以用大长方形的面积减空白长方形的面积，即ab-ac，因此a(b-c)=ab-ac。 随堂练习 5.(1) 一套住房的部分结构如图所示(单位:m)，这套房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖?如果某种地砖的价格是a元/m2，那么购买所需地砖至少多少元? x 2x 4y 4x y 2y 卧室 客厅 厨房 卫生间 解:（1）xy+x·2y+2x·4y=xy+2xy+8xy=11xy，所以至少需要 11xy m2 的地砖。11xy·a=11xya， 所以购买所需地砖至少需要 11xya 元。 随堂练习 5.(2)已知(1)中房屋的高度为hm，现需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要多少平方米的壁纸?如果某种壁纸的价格是b元/m2，那么购买所需壁纸至少需要多少元(计算时不扣除门、窗所占的面积)? （2）4yh+2xh+4yh+4xh+2yh+2xh+2yh=12yh+8xh， 所以至少需要(12yh+8xh) m2 的壁纸。(12yh+8xh)·b=12yhb+8xhb， 所以购买所需壁纸至少需要(12yhb+8xhb)元。 随堂练习 6.下图是用棋子摆成的，按照这种摆法，第n个图形中共有多少枚棋子? ① ② ③ ④ 解:第n个图形中有(n2+n)枚棋子。 随堂练习 7. (1) 观察：4×6=24，14×16=224，24×26=624， 34×36=1224，······你发现其中的规律了吗? 如何用代数式表示这一规律? (2) 利用(1)中的规律计算 124×126。 (3)你还能找到哪些类似的规律?试举两例。 解:（1）(10a+4)(10a+6)=100a(a+1)+24(a为自然数)。 （2） 124×126=100×12×13+24=15624。 （3） 略。 随堂练习 ※8.计算： (a+b+c) (c+d+e)。 解:原式= ac+ad+ae+bc+bd+be+c2+cd+ce。 随堂练习 知识点1 单项式与多项式相乘 1.填空： _____ ____ ______ _ ______________。 中考考法 29 2.计算 的结果是( ) C A. B. C. D. 中考考法 30 3.计算 的结果是( ) D A. B. C. D. 中考考法 31 4.（12分）计算： （1） ； 解：原式 。 （2） ； 解：原式 。 （3） 。 解：原式 。 中考考法 32 知识点2 多项式与多项式相乘 5.填空： ___ ___ _____________。 1 1 中考考法 33 6.[成都月考] 计算 的结果是( ) C A. B. C. D. 中考考法 34 7.下列各式的结果为 的是( ) B A. B. C. D. 中考考法 35 8.若，则 的值为( ) C A. B. C.7 D.5 中考考法 36 9.（12分）计算： （1） ； 解：原式 。 （2） ； 解：原式 。 （3） 。 解：原式 。 中考考法 37 10.先化简，再求值：，其中 。 解：原式 。 因为，所以原式 。 中考考法 38 知识点3 多项式乘法的应用 11.若一个长方形的长为,宽为 ,则这个长方形的面积为 ( ) B A. B. C. D. 中考考法 39 12.［教材习题 变式］如图，根据图形的面积可得到一个整式乘法 的等式为______________________。 中考考法 40 13.与 的关系是( ) A A.相等 B.前式是后式的 倍 C.互为相反数 D.前式是后式的 倍 中考考法 41 14.若与的乘积中不含的一次项，则 的值为( ) A A. B.3 C.0 D.1 中考考法 42 15.设有边长分别为和的A类和B类正方形纸片，长为 、宽为 的C类长方形纸片若干张。如图，拼一个边长为 的正方形，需要 1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片。若要拼一个长为 、宽 为 的长方形，则需要C类纸片的张数为( ) C A.6 B.7 C.8 D.9 中考考法 43 课堂小结 多项式的乘法 单项式 乘多项式 多项式 乘多项式 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 m(a+b+c)=ma+mb+mc (m+a) (n+b) =mn+mb+an+ab 依据:乘法分配律 $