1.3乘法公式（第1课时）平方差公式课件--2025-2026学年北师大版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦平方差公式，通过“老王换房”生活情境导入，引导学生从多项式乘法实例中发现规律，经验证推导公式，搭建“具体问题—抽象规律—符号表达”的学习支架。 其特色在于以问题链驱动探究，结合运算能力与推理意识，通过基础例题、变形应用（如含负号、分数系数的式子）及中考题型（如(a - b + c)(a + b - c)）培养模型意识。小结明确公式结构，助力学生系统掌握，教师可借实例提升教学效率，激发学生数学思维。

新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】 1.3.1平方差公式 第一章 整式的乘除 授课教师： . 班 级： . 时 间： . a i T u j m i a N g 1 问题导入 老王在某开发商处预定了一套边长为x米的正方形户型，到了交房的日子，开发商对老王说:“你定的那套房子结构不好，我给你换一个长方形的户型，比原来的一边增加5米，另一边减少5米，这样好看多了，房子总价还一样，你也没有吃亏，你看如何? ”老王一听觉得没有吃亏就答应了。 你觉得老王吃亏了吗? 1.3.1 平方差公式 教学课件幻灯片 第1页：情境导入 1. 问题情境：地主将边长为a的正方形土地，一边减5米、邻边加5米续租，张老汉吃亏了吗？ 2. 旧知回顾：多项式乘法法则，计算：(x+1)(x-1)、(m+2)(m-2) 3. 引出问题：这类特殊多项式相乘是否有简便规律？ 第2页：探究新知——公式推导 1. 自主计算：完成两组算式，观察结果特征 ① (x+1)(x-1)=x²-1；② (m+2)(m-2)=m²-4；③ (2x+1)(2x-1)=4x²-1 2. 代数推导：用多项式乘法法则推导(a+b)(a-b)，分步展开得a²-ab+ab-b²，合并同类项后得a²-b² 3. 归纳公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即(a+b)(a-b)=a²-b² 第3页：探究新知——几何验证与结构辨析 1. 几何验证：展示长(a+b)、宽(a-b)的长方形，通过“大正方形面积-小正方形面积”直观验证公式 2. 结构辨析：强调“一同一反”特征——两个因式中，一项完全相同（a），另一项互为相反数（b与-b），结果为相同项平方减相反项平方 第4页：典例分析与巩固 1. 例题讲解：用平方差公式计算 ① (5+6x)(5-6x)（确定a=5，b=6x）；② (-m+n)(-m-n)（确定a=-m，b=n） 2. 即时练习：口答填空，巩固a、b的确定方法 (1+x)(1-x)中a=___，b=___，结果=___；(0.3x-1)(1+0.3x)中a=___，b=___，结果=___ 第5页：拓展延伸与课堂小结 1. 拓展思考：(a-b)(-a-b)如何用公式计算？（提示：调整为(-b+a)(-b-a)） 2. 课堂小结： ① 平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b² ② 核心特征：一同一反，结果为相同项平方减相反项平方 ③ 应用关键：准确识别公式中的a和b 新课探究 （1）(x+2) (x–2) （2）(1+3a)(1–3a) （3）(x+5y)(1–5y) （4）(2y+z)(2y–z) = x2 – 2x + 2x – 4 = x2 – 4 = 1 – 3a + 3a – 9a2 = 1 – 9a2 = x2 – 5xy + 5xy – 25y2 = x2 – 25y2 = 4y2 – 2yz + 2yz – z2 = 4y2 – z2 用多项式与多项式相乘的运算法则计算下列多项式的积： 两数的___ 两数的___ 中间项抵消了 两数_____的___ 和 差 差 平方 你发现了什么? 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差。 3 你能再举一些类似的例子验证一下你的发现吗? (a + b)(a - b) = a2 - b2 （1）(3m + 1)(3m - 1); （2）(x2 + y)(x2 - y). = 9m2 - 3m + 3m - 1=9m2 – 1。 = x4 - x2y + yx2 - y2= x4 - y2。 （1）(3m + 1)(3m - 1) （2）(x2 + y)(x2 - y) 你能用字母表示你发现的规律吗? 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 平方差公式： 平方差公式是多项式乘方(a+b)(p+q)中p=a，q=－b的特殊情形。 相反项 相同项 注意用谁减谁 相同项2-相反项2 例 1 利用平方差公式计算： （1）( 5 + 6x ) ( 5 – 6x ) ； （2） ( x – 2y ) ( x + 2y ) ； （3） (– m + n ) (– m – n) 。 解：（1）( 5 + 6x ) ( 5 – 6x ) = 52–(6x)2 = 25 – 36x2 ； （2） ( x – 2y ) ( x + 2y ) = x2– (2y)2 =x2– 4y2； （3） (– m + n ) (– m – n) = (– m)2 – n2 =m2– n2 。 a b 总结:关键是先确定相同项“a”和相反项“b”。 （1）( a + 2)( a – 2) ； （2）(3a + 2b)(3a – 2b)。 解:（1） ( a + 2)( a – 2) （2） (3a + 2b)(3a – 2b) = a2 – 22 = (3a)2 – (2b)2 = a2 – 4 = 9a2 – 4b2 计算： 随堂练习 例 2 利用平方差公式计算 （1）(– x – y)(– x + y)； （2）(ab + 8)(ab – 8) 。 解：（1）(– x – y)(– x + y)= (– x)2 – y2= x2 – y2； （2）(ab + 8)(ab – 8) = (ab)2 – 82 =a2b2 – 64 。 如何计算(a – b)(– a – b) ?你是怎样做的? (a – b)(– a – b) = – (a – b) (a + b ) = – (a2 – b2) = b2 – a2 尝试·思考 注意:对于不能直接应用公式的， 可能要经过变形才可以应用。 知识点 认识平方差公式 1.根据平方差公式填空： （1）（___）（___） _______； （2）（_____）（____） __________； （3）（____）（__） __________. 3 中考考法 10 2.下列式子能用平方差公式计算的是( ) C A. B. C. D. 中考考法 11 3.下列利用平方差公式计算正确的是( ) D A. B. C. D. 中考考法 12 4.（12分）计算： （1） ; 解：原式 。 （2） ； 解：原式 。 （3） 。 解：原式 。 中考考法 13 5.计算： 等于( ) B A. B. C. D. 中考考法 14 6.若，则 ____。 中考考法 15 7.计算： （1） ________________； （2） ________； （3） ___________。 中考考法 16 8.（8分）[郑州月考] 小明计算 时是这样分析的：这个算式 里面每个括号内都是两数和的形式，跟学的平方差公式很类似，但是需 要添加两数的差，于是添加了 ，并做了如下的计算： 中考考法 17 。 请按照小明的方法计算： 。#2.2.1 中考考法 解：原式 。 中考考法 19 课堂小结 (a + b)(a – b)= a2 – b2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 平方差公式 $