1.3乘法公式（第2课时）平方差公式的应用课件--2025-2026学年北师大版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦平方差公式的应用，通过地主分地情境导入，结合多项式乘法旧知回顾，引导学生从具体问题出发推导公式，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接知识脉络。 其亮点在于用几何图形面积验证公式培养几何直观，分层设计基础与进阶应用提升运算能力，结合中考多样考法强化模型意识。小结系统梳理验证原理和应用场景，学生能深化理解，教师可高效开展分层教学。

新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】 1.3.2平方差公式的应用 第一章 整式的乘除 授课教师： . 班 级： . 时 间： . a i T u j m i a N g 1 复习回顾 你还记得平方差公式吗? 你能用文字表示这个公式吗? (a + b)(a - b) = a2 - b2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 1.3.1 平方差公式 教学课件幻灯片 第1页：情境导入 1. 问题情境：地主将边长为a的正方形土地，一边减5米、邻边加5米续租，张老汉吃亏了吗？ 2. 旧知回顾：多项式乘法法则，计算：(x+1)(x-1)、(m+2)(m-2) 3. 引出问题：这类特殊多项式相乘是否有简便规律？ 第2页：探究新知——公式推导 1. 自主计算：完成两组算式，观察结果特征 ① (x+1)(x-1)=x²-1；② (m+2)(m-2)=m²-4；③ (2x+1)(2x-1)=4x²-1 2. 代数推导：用多项式乘法法则推导(a+b)(a-b)，分步展开得a²-ab+ab-b²，合并同类项后得a²-b² 3. 归纳公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即(a+b)(a-b)=a²-b² 第3页：公式验证与应用前提辨析 1. 几何验证：展示长(a+b)、宽(a-b)的长方形，通过“大正方形面积-小正方形面积”直观验证公式，理解公式本质 2. 应用前提辨析：只有当两个因式满足“一同一反”（一项完全相同，另一项互为相反数）时，才能用平方差公式简化计算，否则需用多项式乘法法则计算（如(x+1)(x+2)不满足，不可用公式） 第4页：平方差公式的基础应用——典例分析与即时巩固 一、基础应用场景1：直接匹配公式特征（两项式×两项式，满足“一同一反”） 1. 例题讲解：用平方差公式计算 ① (5+6x)(5-6x)：明确a=5（相同项），b=6x（相反项），代入公式得5²-(6x)²=25-36x² ② (-m+n)(-m-n)：先整理因式，相同项为-m，相反项为n与-n，代入得(-m)²-n²=m²-n² 2. 即时练习（口答填空）： (1+x)(1-x)中a=___，b=___，结果=___；(0.3x-1)(1+0.3x)中a=___，b=___，结果=___ 第5页：平方差公式的进阶应用——拓展延伸 一、进阶应用场景1：需调整因式顺序匹配公式 拓展思考1：计算(a-b)(-a-b) 分析：先将因式整理为(-b+a)(-b-a)，此时相同项为-b，相反项为a与-a，代入公式得(-b)²-a²=b²-a² 二、进阶应用场景2：含常数项与单项式的复杂匹配 拓展思考2：计算(2x+3y)(2x-3y) 分析：相同项为2x，相反项为3y与-3y，结果=(2x)²-(3y)²=4x²-9y² 三、应用关键总结： 1. 先找“相同项”和“相反项”，再代入公式，勿混淆“a²-b²”的顺序（相同项平方在前） 2. 遇到不符合顺序的因式，先调整位置，确保满足“一同一反”特征再应用公式 （1）(3m + 1)(3m - 1)； （2）(x2 + y)(x2 - y)。 解 ：（1）原式= (3m)2 - 1= 9m2 - 1； 计算： （2）原式= (x2)2 - y2= x4 - y2。 如图，边长为 a 的大正方形中有一个边长为 b 的小正方形。 （1）请表示图中阴影部 分的面积。 a b a2 – b2 新课探究 4 （2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的长和宽分别是多少?你能表示出它的面积吗? (a + b) (a – b) a-b a b b 5 （3）比较（1）（2） 的结果， 你能验证平方差公式吗 ? a b a b 阴影部分的面积相等：a2 – b2 =(a + b)(a – b) （4）对于阴影部分的面积，你还有其他计算方法? a b 把阴影部分分割成两个一样的直角梯形，如图所示。 阴影部分的面积：(a + b)(a – b) a+b a-b （1）计算下列各组算式： 7×9 = 8×8 = 11×13 = 12×12 = 79×81 = 80×80 = 63 64 143 144 6399 6400 （2）观察上述算式及其结果，你发现了什么? (a – 1)(a + 1) = a2 – 1。 观察·思考 （3）请用字母表示这一规律。 符合平方差公式。 例 3 用平方差公式进行计算： （1）103×97； （2）118×122 。 解：（1）103×97 =(100 + 3)(100 – 3) = 1002 – 32 = 9 991； （2）118×122 = (120 – 2)(120 + 2) = 1202 – 22 = 14 396。 (103+97)÷2=100 (118+122)÷2=120 你有什么发现? 例 3 计算： （1）a2(a + b) (a – b) + a2b2； （2）(2x – 5) (2x + 5) – 2x(2x – 3)。 解（1）a2(a + b) (a – b) + a2b2； = a2(a2 – b2) + a2b2； = a4 – a2b2 + a2b2； = a4； 例 3 计算： （1）a2(a + b) (a – b) + a2b2； （2）(2x – 5) (2x + 5) – 2x(2x – 3)。 （2）(2x – 5) (2x + 5) – 2x(2x – 3) = (2x)2 – 25 – (4x2 – 6x) = 4x2 – 25 – 4x2 + 6x = 6x – 25。 知识点1 利用图形验证平方差公式 1.如图①，从边长为的大正方形中剪去一个边长为 的小正方形，再将 阴影部分沿虚线剪开，将其拼接成如图②所示的长方形，则根据两个图 中的阴影部分的面积相等可以验证的数学公式为( ) B A. B. C. D. 中考考法 12 2.如图①，阴影部分是边长为的大正方形剪去一个边长为 的小正方形 后得到的图形。若将阴影部分通过分割、拼接，形成新的图形②，则能 够正确表示该图形面积关系的等式是________________________。 中考考法 13 知识点2 利用平方差公式进行简便计算 3.运用平方差公式计算： （________） （_____ ___） ___ ________。 200 5 200 5 5 39 975 中考考法 14 4.［教材观察·思考变式］计算 的结果为 ( ) A A.1 B. C.2 D. 中考考法 15 5.（8分）计算： （1） ； 解：原式 。 （2） 。 解：原式 。 中考考法 16 知识点3 平方差公式的运用 6. 现定义一种新运算“”：对任意有理数， ，都有 ，则 ( ) B A. B. C. D. 中考考法 17 7.（8分）计算： （1） ； 解：原式 。 （2） 。 解：原式 。 中考考法 18 8.（4分）[盐城期末] 先化简，再求值： ， 其中， 。 解：原式 。 当，时，原式 。 中考考法 19 9.有三个连续的整数，若设中间的数是 ，则这三个整数的积是( ) D A. B. C. D. 中考考法 20 10.若，则 的值为( ) B A.12 B.10 C.8 D.6 中考考法 21 11.计算： ___________。 1 236 321 中考考法 22 12.（8分）计算： （1） ; 解：原式 。 （2） 。 解：原式 。 中考考法 23 13.（4分）试说明： 的值 与 的取值无关。 解：原式，所以原式的值与 的取值无关。 中考考法 24 课堂小结 原理:等面积法 简便运算 方法:用不同方法表示 同一图形的面积 混合运算 平方差公式 验证公式 应用 $