1.3乘法公式（第3课时）完全平方公式的认识课件--2025-2026学年北师大版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦完全平方公式的认识，从多项式乘多项式法则及平方差公式复习导入，通过具体算式引导学生观察规律，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助自主推导公式。 其亮点在于融合几何直观与推理能力培养，用图形面积验证公式体现数学眼光，实例观察推导发展数学思维，结合口诀记忆和中考考法练习提升应用意识。学生能深化理解与应用，教师可高效开展教学。

新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】 1.3.3 完全平方公式的认识 第一章 整式的乘除 授课教师： . 班 级： . 时 间： . a i T u j m i a N g 1 新课导入 什么是多项式乘多项式法则? 平方差公式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 (m+a) (n+b) = mn+mb+an+ab 由下面的两个图形你能得到哪个公式? (a + b)(a – b)= a2 – b2 1.3.3 完全平方公式的认识 教学课件幻灯片 第1页：情境导入 1. 问题情境：用边长为(a+b)的正方形地砖铺地，这块地砖的面积如何表示？你有几种表示方法？ 2. 旧知回顾：运用多项式乘法法则计算：(m+2)²、(n-3)²（提示：(m+2)²=(m+2)(m+2)） 3. 引出问题：这类“两数和（或差）的平方”的多项式相乘，是否存在统一的简便规律？ 第2页：探究新知——公式推导 1. 自主计算：完成两组算式，观察结果特征 ① (m+2)² = (m+2)(m+2) = m² + 2m + 2m + 4 = m² + 4m + 4； ② (n-3)² = (n-3)(n-3) = n² - 3n - 3n + 9 = n² - 6n + 9； ③ (a+b)²、(a-b)²（尝试自主展开） 2. 代数推导： ① 推导(a+b)²：(a+b)(a+b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²； ② 推导(a-b)²：将(a-b)转化为(a+(-b))，代入上式得(a+(-b))² = a² + 2a(-b) + (-b)² = a² - 2ab + b²； 3. 归纳公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍，即： (a+b)² = a² + 2ab + b²；(a-b)² = a² - 2ab + b² 第3页：公式验证与本质理解 1. 几何验证： ① 验证(a+b)²：展示边长为(a+b)的正方形，将其分割为边长为a的正方形、边长为b的正方形和两个长a宽b的长方形，面积和为a² + 2ab + b²，与公式对应； ② 验证(a-b)²：展示边长为a的正方形，减去两个长a宽b的长方形后，补全边长为b的正方形，最终面积为a² - 2ab + b²，直观理解公式； 2. 本质理解：完全平方公式是多项式乘法的特殊形式，核心是“两数和（差）的平方”转化为“平方和与积的2倍的和（差）” 第4页：公式结构辨析与易错提醒 1. 结构辨析： ① 公式左边：两数和或差的平方，形式为(□±△)²； ② 公式右边：三项式，分别是两数的平方和（□² + △²）、两数积的2倍（±2□△），中间符号与左边括号内符号一致； 2. 易错提醒： ① 避免漏项：切勿将(a+b)²错误写成a² + b²，忘记中间的“2ab”项； ② 符号注意：(a-b)²的结果是a² - 2ab + b²，不是a² - b²，也不是a² + 2ab - b²； 3. 即时辨析：判断下列式子是否正确，说明理由： ① (x+1)² = x² + 1；② (2y-3)² = 4y² - 12y + 9；③ (m-n)² = m² - n² 第5页：基础应用与课堂小结 1. 基础应用：用完全平方公式计算 ① (3x+2)²：确定a=3x，b=2，代入得(3x)² + 2×3x×2 + 2² = 9x² + 12x + 4； ② (5y-1)²：确定a=5y，b=1，代入得(5y)² - 2×5y×1 + 1² = 25y² - 10y + 1； 2. 课堂小结： ① 两个完全平方公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²，(a-b)² = a² - 2ab + b²； ② 结构特征：左平方，右三项，平方和在中间，积的2倍在两边，符号随左定； ③ 核心要点：牢记公式结构，避免漏项和符号错误 新课探究 计算下列各式： （1）(m + 3)2 ； （2）(2+ 3x)2 。 （1）(m+3)2 =m2+6m+9 =(m+3)(m+3) （2）(2+3x)2 =(2+3x)(2+3x) =4+12x+9x2 观察以上算式及其运算结果， 你有什么发现? m2+2·3m+9 4+2·2·3x+9x2 两个数的和的平方，等于这两个数的平方和加这两个数乘积的 2 倍。 平方式，两项 首平方，尾平方， 积的2倍放中间 你能再举一些类似的例子验证你的发现? （1）(2x + y)2 ; （2）(3a + 2b)2。 （1）(2x + y)2 =(2x + y)(2x + y) = 2x·2x + 2x·y + y·2x + y·y = 4x2 + 4xy + y2 （2）(3a + 2b)2 =(3a + 2b) (3a +2b) = 3a·3a+3a·2b+2b·3a+2b·2b = 9a2 +12ab + 4b2 你能用字母表示你发现的规律吗? (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 （1）你能用下图解释这一公式吗? b a b a 思考·交流 b a b a = + + a2 ab ab b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 （2）如何计算(a – b)2 ?你是怎样做的? (a – b)2 = (a – b)(a – b) = a2 – 2ab + b2 1 (a – b)2 = [a+(– b)]2 = a2 +2a(– b)+(– b)2 = a2 – 2ab + b2 2 用自己的语言叙述这一公式！ 两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍。 b a b a (a – b)2 a2 ab ab b2 = – + (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 请你设计一个图形解释这一公式。 尝试·思考 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 完全平方公式： 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍。 口诀: 首平方，尾平方，首尾二倍中间放。 完全平方公式 平方差公式 整式乘法公式 例 5 利用完全平方公式计算： （1）(2x – 3)2； （2）(4x + 5y)2； （3）(mn – a)2 解：（1） (2x–3)2 = (2x)2–2·2x·3+32 （2）(4x + 5y )2 = (4x)2 + 2·4x·5y + (5y)2 = 16x2 + 40xy + 25y2 ； （3） (mn – a)2 = (mn)2 – 2·mn·a + a2 = m2n2 – 2amn + a2。 (a -b)2 a2 - 2ab + b2 = 4x2–12x+9； 如果将 (a + b)n（n 为非负整数）的每一项按字母 a 的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： 阅读·思考 (a + b)0 = 1，它只有一项，系数为 1； (a + b)1 = a + b，它有两项，系数分别是 1， 1； (a + b)2 = a2 + 2ab + b2，它有三项，系数分别是 1， 2， 1； (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3，它有四项，系数分别是 1， 3， 3， 1. 如果将上述每个式子的各项系数排成下表， 那么你能发现什么规律? 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 按照这个规律可以继续将这个表写下去： 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 …… 杨辉三角 知识点1 完全平方公式的认识 1.根据完全平方公式填空： （1）___ _________ _____________； （2）（_____） （_____） ____（____） _________________； （3）（______） （______） （____） （ ____） _________________。 2 2 中考考法 16 2.计算 的结果正确的是( ) D A. B. C. D. 中考考法 17 3.下列计算正确的是( ) C A. B. C. D. 中考考法 18 4.（16分）运用完全平方公式计算： （1） ； 解：原式 。 （2） ； 解：原式 。 （3） ； 解：原式 。 中考考法 19 （4） 。 解：原式 。 中考考法 20 知识点2 用图形验证完全平方公式 5.如图，根据图中阴影部分的面积关系，得到的数学公 式是( ) C A. B. C. D. 中考考法 21 6.［教材P 21随堂练习T 2变式］已知，则 __。 中考考法 22 7.若，则 _______。 中考考法 23 8.若，则， 的值分别是_ ______。 ， 中考考法 24 9.（8分）运用完全平方公式计算： （1） ; 解：原式 。 （2） 。 解：原式 。 中考考法 25 10. 我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方 的展开式中的各系数规律，称之为“杨辉三角”（如图），这个“三角形” 给出了的展开式的系数规律（按 的次数由大到 小的顺序）。 根据上述规律，的展开式中含 项的系数为_____。 135 中考考法 26 课堂小结 （a±b）2 = a2 ± 2ab + b2 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍。 语言叙述： 完全平方公式： $