精品解析：湖北省武汉市黄陂区第七高级中学2025-2026学年高一上学期12月质量检测数学试题

2025级高一年级12月质量检测 数学试题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 幂函数在上单调递增，则过定点（ ） A. B. C. D. 4. 若的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数是上的增函数.则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（    ） A. B. C. D. 7. 流行病学基本参数：基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔T指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可用模型：（其中是开始确诊病例数）描述累计感染病例随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与，T满足，有学者估计出．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，当时，t的值为（）（ ） A. 1.2 B. 1.7 C. 2.0 D. 2.5 8. 已知函数是定义在上的偶函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 不等式的解集为 D. 函数的单调增区间为 11. 给出下列结论，其中正确的结论是（ ） A. 函数的最大值为 B. 已知函数（且）在（0，1）上是减函数，则实数a的取值范围是（1，2] C. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称 D. 若，则的值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数是上的偶函数，则实数的值为______________. 13. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 14. 教材87页第13题有以下阅读材料：我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数.的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.请根据上面阅读材料解决下面问题： 若函数是定义在上的减函数，且函数为奇函数，则函数图像的对称中心为_____；不等式的解集为_____. 四、解答题：本题共5小题，共73分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：. （2）计算：. （3）已知，求的值. 16. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 17. 函数是定义在上的奇函数，且． （1）判断在上的单调性，并用定义证明； （2）解关于的不等式． 18. 2024年巴黎奥运会大众组马拉松女子组冠军是来自云南省昭通市并在厦门工作的32岁女程序员黄雪梅，其完赛成绩为2小时41分03秒，马拉松比赛的标准长度是42.195千米，可测算黄雪梅在这次马拉松比赛的平均时速约为15.7千米／时. 长跑爱好者通常使用配速指标来体现跑步的快慢，配速是指跑步者跑完每千米所需的时间，配速的单位通常以分钟／千米来表示，例如：当某位跑步者的配速为5分钟／千米时，表示其跑完每千米所用的时长为5分钟，换算后相应的时速为（千米／时），配速越小速度越快. （1）计算黄雪梅本次马拉松夺冠成绩的平均配速（单位：分钟／千米，保留小数点后两位数字），并写出时速为千米／时对应的配速分钟／千米的解析式； （2）经统计，业余长跑爱好者不同的配速（分钟／千米）与血氧饱和度有如下关系：，（，为常数），且配速为5分钟／千米时的血氧饱和度为，配速为4分钟／千米时的血氧饱和度为，求和的值； （3）业余长跑者在血氧饱和度低于时容易导致风险，这时必须放慢速度，使身体有时间恢复，按这个健康要求，其配速的最小值为多少？（保留小数点后两位数字） （参考数值：，） 19. “函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”.若函数的图像关于点对称，且当时，. （1）求的值； （2）设函数 （ⅰ）证明：函数的图像关于点对称； （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一年级12月质量检测 数学试题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为，， 故. 故选：C. 2. 已知，，，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为指数函数为上的增函数，则， 对数函数为减函数，则， 对数函数为减函数，则， 因此，. 故选：B. 3. 幂函数在上单调递增，则过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用已知条件得到求出的值，再利用指数型函数过定点问题求解即可. 【详解】由题意得： 或， 又函数在上单调递增， 则， 则， 当时， ， 则过定点. 故选：D. 4. 若的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义域以及函数的解析式有意义可得出关于实数的不等式组，由此可解得函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域是， 对于函数，有，有， 所以，函数的定义域为. 故选：D. 5. 若函数是上的增函数.则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性来确定参数的满足条件，即可求解. 【详解】要使得函数是上的增函数， 则，解得， 故选：C． 6. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数的图象可得，然后结合指数函数的图象分析判断即可. 【详解】由二次函数（其中）的图象可得， 所以的图象过点，且在上为减函数，则函数递减，排除CD； 因为，所以将的图象向下平移个单位可得的图象，排除B； 故选：A 7. 流行病学基本参数：基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔T指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可用模型：（其中是开始确诊病例数）描述累计感染病例随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与，T满足，有学者估计出．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，当时，t的值为（）（ ） A. 1.2 B. 1.7 C. 2.0 D. 2.5 【答案】B 【解析】 【分析】 根据所给模型求得，代入已知模型，再由，得，求解值得答案 【详解】解：把代入，得，解得， 所以， 由，得，则， 两边取对数得，，得， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查函数模型的实际应用，考查计算能力，解题的关键是准确理解题意，弄清函数模型中各个量的关系，属于中档题 8. 已知函数是定义在上的偶函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，由题意先研究其奇偶性，再判断其单调性，最后利用单调性求解抽象不等式即可. 【详解】设，由是定义在上的偶函数， 则， 所以是定义在上的奇函数. 由题意得，若，且，都有， 所以是上的减函数，又 是上的奇函数， 所以图象关于原点对称，则是上的减函数. 由不等式可知. ①当时，不等式可化为， 即，由，则 解得（舍），或； ②当时，不等式可化为， 即，由，则 解得，或（舍）； 综上所述，不等式的解集为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】直接由解析式判断函数的单调性和奇偶性即可得解. 【详解】对于A，因为的定义域为，且，所以函数为偶函数， 又在区间上单调递增，故A错误； 对于B，因为的定义域为，且，所以函数为偶函数， 又在区间上单调递减，故B正确； 对于C，因为的定义域为，且，所以函数为奇函数，故C错误； 对于D，因为的定义域为，且，所以函数为偶函数， 又在区间上单调递减，故D正确. 故选：BD. 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 不等式的解集为 D. 函数的单调增区间为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用奇函数可判断A，利用对称性可判断B，利用解分段函数不等式可判断C，利用分段二次函数的单调性可判断D． 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，故A正确； 当时，由奇函数得：，故B正确； 当时，由， 因为，所以解得， 当时，由， 显然此时无解，综上可得不等式的解集为，故C正确； 当时，由二次函数的递增区间可得， 当时，由的递增区间可得， 故函数的单调增区间为，故D错误； 故选：ABC． 11. 给出下列结论，其中正确的结论是（ ） A. 函数的最大值为 B. 已知函数（且）在（0，1）上是减函数，则实数a的取值范围是（1，2] C. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称 D. 若，则的值为1 【答案】BCD 【解析】 【分析】 直接利用复合函数的性质判定的结论，利用对数的运算判断、的结论，利用函数的对称性判断的结论． 【详解】解：对于：函数的最小值为，故错误； 对于：已知函数且在上是减函数， 所以，解得，故正确． 对于：同一平面直角坐标系中，由于函数与互为反函数，所以他们的图象关于直线对称，故正确； 对于：由于，则，则，同理， 所以，故正确． 故选：． 【点睛】本题考查复合函数的单调性的应用，复合函数的单调性由“同增异减”的法则判断即可； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数是上的偶函数，则实数的值为______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求出的值，再结合函数为偶函数进行检验即可. 【详解】因为函数为幂函数，则， 可得，解得或. 当时，函数是偶函数，合乎题意； 当时，函数为奇函数，不合乎题意. 综上所述，. 故答案为：. 13. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数单调性结合定义域列式计算求解. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以或， 所以， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 教材87页第13题有以下阅读材料：我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数.的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.请根据上面阅读材料解决下面问题： 若函数是定义在上的减函数，且函数为奇函数，则函数图像的对称中心为_____；不等式的解集为_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由函数.的图像关于点成中心对称图形的充要条件可求对称中心；由题意可得，可得，代入利用单调性可求解不等式. 【详解】因为函数为奇函数，所以函数图像的对称中心为； 因为函数为奇函数，所以， 所以，即， 所以， 由，可得，所以， 又因为函数是定义在上的减函数，所以， 所以，所以，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：①；②. 四、解答题：本题共5小题，共73分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：. （2）计算：. （3）已知，求的值. 【答案】（1）2；（2）7；（3） 【解析】 【分析】（1）根据分数指数幂的定义和指数运算性质求解； （2）利用对数运算性质求解； （3）由两边平方可求，再两侧同时平方可求，由此可求结论. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）由，则有， 即， 所以， 所以， 故. 16. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由知，列出不等式组，解得的取值范围； （2）知两个集合存在交集，分情况列出不等式组，解得的取值范围. 【小问1详解】 由集合， 因为，可得，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 因为， 则满足或或， 解得或或， 所以实数的取值范围为. 17. 函数是定义在上的奇函数，且． （1）判断在上的单调性，并用定义证明； （2）解关于的不等式． 【答案】（1） 函数在上为增函数，证明如下： 由函数是定义在上的奇函数，得，解得， 经检验，时，， 所以是上的奇函数，满足题意， 又，解得，故，. 且，则， 因为，所以，，，， 所以，即，故在上为增函数. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数性质求b，由可得a，然后利用单调性定义证明即可； （2）利用单调性和奇偶性去掉函数符号，结合定义域求解可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为奇函数，所以， 不等式可化为， 又在上是增函数，所以，解得， 所以关于t的不等式解集为. 18. 2024年巴黎奥运会大众组马拉松女子组冠军是来自云南省昭通市并在厦门工作的32岁女程序员黄雪梅，其完赛成绩为2小时41分03秒，马拉松比赛的标准长度是42.195千米，可测算黄雪梅在这次马拉松比赛的平均时速约为15.7千米／时. 长跑爱好者通常使用配速指标来体现跑步的快慢，配速是指跑步者跑完每千米所需的时间，配速的单位通常以分钟／千米来表示，例如：当某位跑步者的配速为5分钟／千米时，表示其跑完每千米所用的时长为5分钟，换算后相应的时速为（千米／时），配速越小速度越快. （1）计算黄雪梅本次马拉松夺冠成绩的平均配速（单位：分钟／千米，保留小数点后两位数字），并写出时速为千米／时对应的配速分钟／千米的解析式； （2）经统计，业余长跑爱好者不同的配速（分钟／千米）与血氧饱和度有如下关系：，（，为常数），且配速为5分钟／千米时的血氧饱和度为，配速为4分钟／千米时的血氧饱和度为，求和的值； （3）业余长跑者在血氧饱和度低于时容易导致风险，这时必须放慢速度，使身体有时间恢复，按这个健康要求，其配速的最小值为多少？（保留小数点后两位数字） （参考数值：，） 【答案】（1）3.82（分钟／千米），. （2）. （3）3.11分钟／千米. 【解析】 【分析】（1）根据配速定义直接代入公式计算可得； （2）利用给定解析式代入列方程组，即可解得结果； （3）由（2）中的解析式构造不等关系，解指数不等式并利用参考数据计算即可. 【小问1详解】 由题意，黄雪梅的平均配速为（分钟／千米） 时速为千米／时，配速. 【小问2详解】 因为， 代入数值可得， 解得. 【小问3详解】 由（2）得. 令，则有， 可得， 所以.因此， 即配速的最小值为3.11分钟／千米. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据提供函数模型代入对应数值，求出函数解析式，再构造不等关系解决实际问题进行实际应用. 19. “函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”.若函数的图像关于点对称，且当时，. （1）求的值； （2）设函数 （ⅰ）证明：函数的图像关于点对称； （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）4； （2）（ⅰ）， 故， 故函数的图像关于点对称； （ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）由对称性得到，故； （2）（ⅰ）计算得到，得到的图像关于点对称； （ⅱ）分离常数得到在上单调递增，求出的值域为，设在上的值域为，由题意得，分，和三种情况，结合对称性，得到的单调性，得到值域，结合得到不等式组，求出的取值范围. 【小问1详解】 函数的图像关于点对称， 故， 令得； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）， 故在上单调递增，其中， ， 故的值域为， 设在上的值域为，由题意得， 图象开口向上，对称轴为，且， 当时， 若，即，函数在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，故在上单调递增， 因为，所以， 所以，由得，解得， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 结合对称性可知，或， 因为，所以， ， 又， 所以， 所以当时，满足； 当，即时，在上单调递减， 由对称性可知，在上单调递减，故在上单调递减， 因为，所以， 所以，由得，解得， 综上，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法， 一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件； 二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论； 三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $