精品解析：河北省廊坊市第四中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度第一学期质量评估（12月）八年级数学 一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的识别，，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】解：、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 下列式子从左到右的变形，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的除法依次对各选项逐一分析判断即可．解题的关键是掌握整式运算的相关法则． 【详解】解：A．，不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：C． 4. 已知a、b、c是三角形的边长，那么代数式的值是（ ） A. 小于零 B. 等于零 C. 大于零 D. 大小不确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形三边的关系可以得到，，即，，再根据求解即可． 【详解】解：∵a、b、c是三角形的边长， ∴，， ∴，， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，平方差公式，解题的关键在于能熟练掌握相关知识进行求解． 5. 观察如图所示的尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ） A. 高线 B. 角平分线 C. 中线 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图．根据作图痕迹判断出线段是的高即可． 【详解】解：由作图可知，故线段是的高线． 故选：A． 6. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用； 游戏公平需要凳子到三顶点距离相等，此点为三角形外心，即三边垂直平分线的交点． 【详解】解：∵凳子到A、B、C距离相等， ∴凳子应放于的三边垂直平分线的交点， 故选：A． 7. 已知多项式因式分解后得到一个因式为，则m的值为（ ） A. B. 5 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】令，求出x的值，代入多项式计算求出m的值即可． 【详解】解：令，即 把代入多项式得： 解得 故选C． 【点睛】此题考查了因式分解的概念，特殊值法是本题的关键． 8. 若，，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的除法运算，解分式方程， 将分式除法转化为乘法，化简后分析可能的取值即可． 【详解】解：由题，，，则 ， 需满足 ， 令 ，解得 ，此时不符合条件， 令 ，解得 ，此时不符合条件， 令 ，解得 ，此时分母均非零，符合条件， 令 ，无解，此时不符合条件， 故选C． 9. 若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂，积的乘方逆用，平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握相关运算法则，分别计算a、b、c的值，然后比较大小即可． 【详解】解：∵， ∵ ， ∵ ， ， ， ∴, ，， 故． 故选：B． 10. 表格是张亮的答卷，他的得分应是（ ） 判断题（每题2分，共10分） （1）当时，分式有意义（√） （2）当时，分式的值为0（√） （3）（×） （4）（√） （5）（√） A. 4分 B. 6分 C. 8分 D. 10分 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式的值为0，分式的化简，根据分式有意义得条件判断（1）；再根据分式的值等于0的条件判断（2）；然后根据不能分解，判断（3）；再根据当时没有意义判断（4）；最后根据化简得结果说明（5）． 【详解】解：当时，分式有意义，正确，所以（1）得2分； 当时，分式的值为0，正确，所以得2分； 因为时最简二次根式，不正确，所以得2分； 当时，无意义，不正确，所以不得分； 因为，不正确，所以不得分． 他的得分时6分． 故选：B． 11. 有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（ ） A. 方案一：√、方案二：√ B. 方案一：×、方案二：× C. 方案一：×、方案二：√ D. 方案一：√、方案二：× 【答案】D 【解析】 【分析】对于方案一，可以运用“角边角”的判定定理证明两个阴影部分的三角形全等；对于方案二，只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等． 【详解】解：如图，方案一： ∵，，， ∴． 又∵，， ∴在与中， ， ∴， 即方案一正确； 方案二： 只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等， ∴方案二中两个阴影部分的三角形不一定全等． 12. 如图，，，是直线上的三点，，，是直线外一点，且，，若动点从点出发，向点移动，移动到点停止，在形状变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ） A. 直角三角形—等边三角形—直角三角形—等腰三角形 B. 直角三角形—等腰三角形—直角三角形—等边三角形 C. 等边三角形—直角三角形—等腰三角形—直角三角形 D. 等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质和判定是解题的关键．点Q从点M出发，沿直线l向点N移动，移动到点N停止的整个过程，逐次考虑确定三角形的形状即可判断． 【详解】解：当点Q移动到，此时点Q在点A的左侧，且，是等腰三角形； 当点Q移动到点A的右侧，且，是直角三角形； 当点Q移动到点A的右侧，且，是等边三角形； 当点Q移动到点A的右侧，且，是直角三角形； ∴在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是：等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形． 故选：D． 二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. 化简分式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简． 通过约去分子和分母的公因式进行化简即可． 【详解】解：原分式为， 分子和分母的公因式为， 约分后得． 故答案为：． 14. 若分式的值为零，则______． 【答案】 【解析】 【分析】分式的值为零需满足分子为零，同时分母不为零，据此计算求解． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，且， 解得， 由得， ∴． 15. 小明将等腰直角三角板放置到两堆砖块（砖块堆与地面垂直）之间，如图所示．若每块砖的厚度都为，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的定义；利用即可证明，根据全等三角形的性质得到，，即可得到答案． 【小问1详解】 证明：是等腰直角三角形， ∴，， ， ， 在中，， ， 在与中， ， ∴； ∵，， ， ，， ， 即的长度为． 故答案为：． 16. 现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）． （1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为___________； （2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片___________块． 【答案】 ①. ②. 4 【解析】 【分析】（1）直接利用正方形面积公式进行计算即可； （2）根据已知图形的面积公式的特征，利用完全平方公式即可判定应增加的项，再对应到图形上即可． 【详解】解：（1）∵甲、乙都是正方形纸片，其边长分别为 ∴取甲、乙纸片各1块，其面积和为； 故答案为：． （2）要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则它们的面积和为，若再加上（刚好是4个丙），则，则刚好能组成边长为的正方形，图形如下所示，所以应取丙纸片4块． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了正方形的面积公式以及完全平方公式的几何意义，解决本题的关键是牢记公式特点，灵活运用公式等，本题涉及到的方法为观察、假设与实践，涉及到的思想为数形结合的思想． 三．解答题（共8小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是∶ （1）根据十字相乘法进行因式分解即可； （2）先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）两个分式相乘，直接进行约分即可； （2）首先对分子、分母分别进行因式分解，运用分式的除法法则把除法变为乘法，然后继续约分即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 在平面直角坐标系中，． （1）在图中作关于轴对称的； （2）在（1）中，点是边上一点，其对应点为，则_____； （3）如果要使以为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点的坐标．（点与点不重合） 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2）4 （3）或或 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形．熟练掌握轴对称的画法，全等三角形的性质，是解题的关键． （1）找到关于y轴的对称点，再进行连线，即可得到； （2）利用关于轴对称求出、，直接进行计算即可； （3）画出与全等的以B，C，D为顶点的三角形，根据图形确定点D的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点关于轴对称点为， 所以,， 则， 故答案为：4； 【小问3详解】 解：如图，共有3个以B，C，D为顶点的三角形与全等， 由图可知：； ∴以B，C，D为顶点的三角形与全等时，点坐标为：或或． 20. 先化简，再求值：，其中x＝1，y＝－2． 【答案】； 【解析】 【分析】根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式计算括号内的，然后根据多项式除以单项式进行计算化简，最后将字母的值代入即可求解． 【详解】解：原式＝ ， 当x＝1，y＝－2时，原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，化简求值，正确的计算是解题的关键． 21. 如图，点分别在上，． （1）求证：； （2），，求的度数． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）直接根据“”就可证明； （）由，则，然后由三角形的内角和定理求出，又，则，最后通过角度和差即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（）得， ∴， ∴． 22. （1）探究规律： ； _______， ．．． （2）猜想规律：_______（表示十位上数字是，个位上数字是5的两位数，表示此两位数的平方）． （3）请证明上述猜想． （4）知识迁移：“十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积”即当时，也有类似的规律，请直接写出该规律． 【答案】（1）；（2） （3）证明：设 则 ∵  ∴ ，猜想得证 （4） 【解析】 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据所给等式发现各部分变化的规律是解题的关键． （1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题． （2）由（1）中的发现即可解决问题． （3）对发现的等式进行证明即可． （4）根据题意，直接写出规律即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：． （2）解：根据前面的规律，得， 故答案为：． （3） 略 （4）解：有类似规律，；理由如下， ， 由， 故． 23. 如图所示，在中，作的平分线． （1）下列操作中，作的平分线的正确顺序是______（将序号按正确的顺序写在横线上）． ①分别以点为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点； ②以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点； ③画射线，交于点． （2）能说明的依据是_______（填序号）． ①；②；③；④角平分线上的点到角两边的距离相等 （3）若，，，过点作于，求的长． 【答案】（1）②①③ （2）① （3）5 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，作角平分线； （1）根据作角平分线的顺序进行判断，即可求解； （2）证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （3）根据角平分线的性质可得，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 作的平分线的正确顺序是②①③ 【小问2详解】 解：能说明的依据是①；如图所示，连接，．    在和中， ， 故选：①． 【小问3详解】 解：如图所示，过点作于点．    ，，， ． ， 即， ， 解得． 24. 【探索】 （1）观察图1，图2，请写出之间的等量关系是：________； 根据（1）的结论，若，则的值是_______． 【应用】 （2）如图3．是线段上的一点，以，边向上分别作等腰和等腰，点在上，连接，若，求的面积． 【拓展】 （3）利用5张完全相同的小长方形纸片（长为，宽为）拼成如图4所示的大长方形，记长方形的面积为，长方形的面积为．若不论的长为何值时，永远为定值，直接写出之间的数量关系． 【答案】（1），12；（2）（3） 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘多项式的应用，整式的加减无关型问题，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）观察图1和图2即可表示出4个小长方形的面积即可得到；然后根据题意得到，将代入求解即可； （2）设由题意得，， ，则，最后根据求解即可； （3）根据长方形的面积得，结合不论的长为何值时，永远为定值，且，得到的值与无关，即，即可作答． 【详解】解：（1）通过观察图1可知图1中4个小长方形的面积为， 通过观察图2可知图2中4个长方形的面积为， ∵图1和图2的面积相等，由此可得； ∵， 根据题意得， ∴， ∴； （2）设， ∵以为边向上分别作等腰 和等腰， ∴ ∴， ， ∴， ∴， ∴； （3）∵长方形的面积为，长方形的面积为， ∴，， ∴， ∵不论的长为何值时，永远为定值，且， ∴的值与无关， ∴， ∴与之间的数量关系为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期质量评估（12月）八年级数学 一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子从左到右的变形，正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知a、b、c是三角形的边长，那么代数式的值是（ ） A. 小于零 B. 等于零 C. 大于零 D. 大小不确定 5. 观察如图所示的尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ） A. 高线 B. 角平分线 C. 中线 D. 无法判断 6. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 7. 已知多项式因式分解后得到一个因式为，则m的值为（ ） A. B. 5 C. D. 6 8. 若，，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 0 9. 若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 表格是张亮的答卷，他的得分应是（ ） 判断题（每题2分，共10分） （1）当时，分式有意义（√） （2）当时，分式的值为0（√） （3）（×） （4）（√） （5）（√） A. 4分 B. 6分 C. 8分 D. 10分 11. 有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（ ） A. 方案一：√、方案二：√ B. 方案一：×、方案二：× C. 方案一：×、方案二：√ D. 方案一：√、方案二：× 12. 如图，，，是直线上的三点，，，是直线外一点，且，，若动点从点出发，向点移动，移动到点停止，在形状变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ） A. 直角三角形—等边三角形—直角三角形—等腰三角形 B. 直角三角形—等腰三角形—直角三角形—等边三角形 C. 等边三角形—直角三角形—等腰三角形—直角三角形 D. 等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形 二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. 化简分式：______． 14. 若分式的值为零，则______． 15. 小明将等腰直角三角板放置到两堆砖块（砖块堆与地面垂直）之间，如图所示．若每块砖的厚度都为，则的长为___________． 16. 现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）． （1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为___________； （2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片___________块． 三．解答题（共8小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 分解因式： （1）； （2）． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 在平面直角坐标系中，． （1）在图中作关于轴对称的； （2）在（1）中，点是边上一点，其对应点为，则_____； （3）如果要使以为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点的坐标．（点与点不重合） 20. 先化简，再求值：，其中x＝1，y＝－2． 21. 如图，点分别在上，． （1）求证：； （2），，求的度数． 22. （1）探究规律： ； _______， ．．． （2）猜想规律：_______（表示十位上数字是，个位上数字是5的两位数，表示此两位数的平方）． （3）请证明上述猜想． （4）知识迁移：“十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积”即当时，也有类似的规律，请直接写出该规律． 23. 如图所示，在中，作的平分线． （1）下列操作中，作的平分线的正确顺序是______（将序号按正确的顺序写在横线上）． ①分别以点为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点； ②以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点； ③画射线，交于点． （2）能说明的依据是_______（填序号）． ①；②；③；④角平分线上的点到角两边的距离相等 （3）若，，，过点作于，求的长． 24. 【探索】 （1）观察图1，图2，请写出之间的等量关系是：________； 根据（1）的结论，若，则的值是_______． 【应用】 （2）如图3．是线段上的一点，以，边向上分别作等腰和等腰，点在上，连接，若，求的面积． 【拓展】 （3）利用5张完全相同的小长方形纸片（长为，宽为）拼成如图4所示的大长方形，记长方形的面积为，长方形的面积为．若不论的长为何值时，永远为定值，直接写出之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $