第18讲 多边形（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年苏科版七年级数学上册同步讲义与测试

本讲义聚焦多边形核心知识点，系统梳理多边形的概念及要素（顶点、边、内角、外角）、对角线性质（从n边形一个顶点引(n-3)条对角线，将其分成(n-2)个三角形）、正多边形概念（需同时满足各边相等和各角相等），形成从基础概念到性质应用的学习支架。 资料采用“知识点+题型+强化训练”三维设计，题型覆盖概念辨析（如正多边形条件辨析）、动态问题（截角后边数变化）、规律探究（对角线与三角形个数关系）。通过网格面积比较培养数学眼光，截角问题推理发展数学思维，规律总结题提升数学语言表达能力，课中辅助分层教学，课后通过单选、填空、解答题帮助学生巩固知识、查漏补缺。

第18讲 多边形（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.多边形的概念及其要素等 2.多边形的对角线 3.正多边形的概念 题型巩固 一、多边形的概念与分类 二、正多边形概念辨析 三、多边形截角后的边数问题 四、多边形的周长 五、网格中多边形面积比较 六、多边形对角线的条数问题 七、对角线分成的三角形个数问题 强化训练 单选题（7） 填空题（6） 解答题（6） 知识梳理 知识点1.多边形的概念及其要素等 1. 多边形的概念 在平面内，由不在同一条直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形，这些线段叫作多边形的边，线段的公共端点叫作多边形的顶点. 2. 多边形的分类及表示方法 根据边的数量，多边形可以分为三角形、四边形、五边形、n边形等. 图6.5 -1中的图形分别是三角形ABC、四边形ABCD、六边形ABCDEF，三角形ABC可以记作“△ABC”. 3. 多边形的内角、外角 多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角，多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫作多边形的外角. 知识储备 类比三角形、四边形可知，n边形有n个顶点，n条边，n个内角，2n个外角． 多边形的外角与相邻的内角互为补角. 如图6.5 -2，∠A，∠B，∠BCD，∠D是四边形ABCD的四个内角，∠DCE是四边形ABCD的一个外角，∠BCD＋∠DCE＝180° 知识点2.多边形的对角线 1. 概念 连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线，图6.5 -6 中，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线. 2. n边形的分割 从多边形一个顶点出发，沿对角线，将其分割成三 角形. 由图6.5 -7可知，从n(n ≥ 3)边形的一个顶点可以作出(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形. 知识点3.正多边形的概念 1. 概念 和正方形类似，各边相等、各内角也相等的多边形叫作正多边形. 2. 注意：判断一个多边形是不是正多边形, 各边都相等, 各角都相等，两个条件必须同时具备. 如图6 .5 -8，这两个多边形都不是正多边形，第一个图形不符合四个角都相等；第二个图形不符合各边都相等. 题型巩固 题型一、多边形的概念与分类 1．（2022七年级上·全国·专题练习）如图所示的图形中，属于多边形的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）个六边形、个五边形共有 条边． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？ 【特别提示】n边形有n条边，n个内角，n个顶点． 题型二、正多边形概念辨析 4．如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 5．下列说法中，正确的有 ． ①线段就是点与点的距离； ②直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ③各边相等的边形是正边形； ④从直线外一点作点到直线的垂线段，叫做点到直线的距离． 题型三、多边形截角后的边数问题 6．若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（    ） A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8 7．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ． 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余的部分是几边形？请画出示意图说明． 题型四、多边形的周长 9．（25-26七年级上·江苏连云港）一个边长的正方形，把4个角各剪去边长的小正方形．那么它的周长（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．保持不变 10．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）正六边形的边长是1，则这个正六边形的周长是 ． 11．一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°． (1)若，求b的值； (2)若，求a的值． 题型五、网格中多边形面积比较 12．如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 13．如图所示的网格是正方形网格，是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为： (填“>”，“=”或“<”) . 14．计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”，具体计算方法如下：假定每个小方格的边长为1，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有．请根据此方法计算图中四边形的面积． 题型六、多边形对角线的条数问题 15．（24-25七年级上·江苏南京·期末）学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形的一个顶点的对角线条数是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 16．（23-24七年级·江苏泰州·月考）从十边形的一个顶点画这个多边形的对角线，最多可画 条． 17．（2024七年级·江苏·专题练习）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图（1），、是五边形的对角线．思考下列问题： (1)如图（2），边形中，过顶点可以画 条对角线，它们分别是 ；过顶点可以画 条对角线，过顶点可以画 条对角线． (2)过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？ (3)在此基础上，你能发现边形的对角线条数的规律吗？ 题型七、对角线分成的三角形个数问题 18．（23-24七年级·江苏泰州·期中）“转化”是数学中的一种重要思想方法，同学们在研究多边形（边数大于3）的内角和度数时，通常是将多边形的内角和转化为三角形的内角和来解决，从而化陌生的问题为熟悉的情境来解决问题．现从某边形一边上的一点（不包含端点）出发，依次连接多边形的各个顶点，分割得到的所有三角形的内角和是，则该边形是（    ）边形． A．五 B．六 C．七 D．八 19．（24-25七年级上·江苏常州·期末）从七边形纸片的一个顶点出发，沿对角线将其剪成三角形纸片，则可以剪成 个三角形． 20．某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果： 多边形的边数 从多边形的一个顶点出发 ______ ______ 多边形对角线的总条数 ______ ______ ______ 应用得到的结果解决以下问题： ①求十二边形有多少条对角线？ ②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 强化训练 一、单选题 1．若从一个多边形的一个顶点出发，最多可画7条对角线，则它是（    ）边形． A．七 B．八 C．九 D．十 2．要使一个多边形具有稳定性，从该多边形的一个顶点出发，连接其余各顶点转化得到2022个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 3．有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②多边形的边数是不小于4的自然数；③从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成()个三角形．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．下列关于正多边形的说法中，正确的是（    ） A．各边都相等的多边形是正多边形 B．各内角都相等的多边形是正多边形 C．过正n边形一个顶点的对角线有条 D．正多边形的各边相等 5．从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成5个三角形，则这个多边形的边数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（    ） A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18 7．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．一个多边形往往有多种方法进行三角剖分，若边形三角剖分的方法数为，则．其中，则六边形的三角剖分方法数为（    ） A．16 B．15 C．14 D．13 二、填空题 8．一个正八边形的周长是16cm，则这个正八边形的边长是 cm． 9．若从一个多边形一个顶点出发，最多可以引12条对角线，则它的边数为 ． 10．北京时间11月21日0时，2022国际足联卡塔尔世界杯迎来揭幕战吸引了亿万球迷的观看．同学们知道吗？如图，此足球是由32块黑（正五边形）白（正六边形）皮子缝制而成，其中黑色皮子共有 块． 11．若某多边形的一个顶点与和它不相邻的其他各顶点连接，可将多边形分成7个三角形，则该多边形的总对角线条数为 ． 12．一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是 ． 13．过n边形的一个顶点的所有对角线，把n边形分成了6个三角形，则n的值是 ． 三、解答题 14．三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？ 15．计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”，具体计算方法如下：假定每个小方格的边长为1，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有．请根据此方法计算图中四边形的面积． 16．如图，在同一平面内有5个点． (1)请按下列要求作图：连接．你得到了一个怎样的图形？ (2)在（1）的条件下，所连线段相交组成的五边形共有多少条对角线？ 17．如图，在一个多边形内任意取一点，分别连接这一点与各顶点． (1)数一数，上面三个多边形中每一个多边形各被分成了多少个三角形？ (2)总结一下，被分成的三角形的个数与多边形的边数有怎样的关系？ 18．阅读与思考 连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线． 如图所示，过多边形的一个顶点作出所有的对角线，可以把多边形分割成若干个三角形．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①_____ 分割成的三角形个数/个 2 3 4 5 6 …… ②_____ (1)观察探究：请仔细观察上面的图形和表格，并用含的代数式填写表格①______，②______； (2)n边形有n个顶点，那么所有对角线的条数可表示为______； (3)类比应用：数学社团共有11名同学，大家约定，春节期间每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年．请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 19．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图（1），、是五边形的对角线．思考下列问题： (1)如图（2），边形中，过顶点可以画 条对角线，它们分别是 ；过顶点可以画 条对角线，过顶点可以画 条对角线． (2)过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？ (3)在此基础上，你能发现边形的对角线条数的规律吗？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 多边形（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.多边形的概念及其要素等 2.多边形的对角线 3.正多边形的概念 题型巩固 一、多边形的概念与分类 二、正多边形概念辨析 三、多边形截角后的边数问题 四、多边形的周长 五、网格中多边形面积比较 六、多边形对角线的条数问题 七、对角线分成的三角形个数问题 强化训练 单选题（7） 填空题（6） 解答题（6） 知识梳理 知识点1.多边形的概念及其要素等 1. 多边形的概念 在平面内，由不在同一条直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形，这些线段叫作多边形的边，线段的公共端点叫作多边形的顶点. 2. 多边形的分类及表示方法 根据边的数量，多边形可以分为三角形、四边形、五边形、n边形等. 图6.5 -1中的图形分别是三角形ABC、四边形ABCD、六边形ABCDEF，三角形ABC可以记作“△ABC”. 3. 多边形的内角、外角 多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角，多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫作多边形的外角. 知识储备 类比三角形、四边形可知，n边形有n个顶点，n条边，n个内角，2n个外角． 多边形的外角与相邻的内角互为补角. 如图6.5 -2，∠A，∠B，∠BCD，∠D是四边形ABCD的四个内角，∠DCE是四边形ABCD的一个外角，∠BCD＋∠DCE＝180° 知识点2.多边形的对角线 1. 概念 连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线，图6.5 -6 中，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线. 2. n边形的分割 从多边形一个顶点出发，沿对角线，将其分割成三 角形. 由图6.5 -7可知，从n(n ≥ 3)边形的一个顶点可以作出(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形. 知识点3.正多边形的概念 1. 概念 和正方形类似，各边相等、各内角也相等的多边形叫作正多边形. 2. 注意：判断一个多边形是不是正多边形, 各边都相等, 各角都相等，两个条件必须同时具备. 如图6 .5 -8，这两个多边形都不是正多边形，第一个图形不符合四个角都相等；第二个图形不符合各边都相等. 题型巩固 题型一、多边形的概念与分类 1．（2022七年级上·全国·专题练习）如图所示的图形中，属于多边形的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【知识点】多边形的概念与分类 【分析】根据多边形定义，逐个验证即可得到答案． 【详解】解：所示的图形中，第一个是三角形、第二个是四边形、第三个是圆、第四个是正六边形、第五个是正方体， 属于多边形的有第一个、第二个、第四个，共有3个， 故选：A． 【点睛】本题考查多边形定义，熟记多边形定义是解决问题的关键． 2．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）个六边形、个五边形共有 条边． 【答案】 【知识点】多边形的概念与分类 【分析】由六边形有六条边，五边形有五条边，即可计算． 【详解】解：∵个六边形有条边，个五边形有条边， ∴个六边形、个五边形共有条边， 故答案为：. 【点睛】本题考查多边形的概念，关键是掌握n边形有n条边． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？ 【特别提示】n边形有n条边，n个内角，n个顶点． 【答案】见详解 【知识点】多边形的概念与分类 【分析】本题考查了多边形的有关概念，解题关键是准确识别多边形，明确多边形的顶点和内角概念． 根据图形的特征作答即可． 【详解】解：如图所示，三角形有3个顶点，3条边，3个内角； 四边形有4个顶点，4条边，4个内角； 五边形有5个顶点，5条边，5个内角； …… 可发现，多边形的顶点个数和内角个数与边数相同； n边形有n个顶点，n条边，n个内角． 题型二、正多边形概念辨析 4．如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 【答案】D 【知识点】正多边形概念辨析 【分析】根据图，将阴影部分等积变形，推出阴影部分和正十二边形的关系，计算得到结论即可． 本题考查了面积与等积变换，正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：如图，正十二边形是有12个正三角形和6个四边形组成的， 设正三角形的面积为a，四边形的面积为b， 而阴影部分是有4个正三角形和2个四边形组成的，恰好是正十二边形的， 图中阴影部分的面积是， 故选：D． 5．下列说法中，正确的有 ． ①线段就是点与点的距离； ②直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ③各边相等的边形是正边形； ④从直线外一点作点到直线的垂线段，叫做点到直线的距离． 【答案】② 【知识点】垂线段最短、两点间的距离、正多边形概念辨析、点到直线的距离 【分析】本题考查了两点间的距离、垂线段最短、正边形的定义、点到直线的距离，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据两点间的距离、垂线段最短、正边形的定义、点到直线的距离进行判断即可． 【详解】解：①线段的长度就是点与点的距离，故原说法错误，不符合题意； ②直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；故原说法正确，符合题意； ③各边相等，各角都相等的边形是正边形，故原说法错误，不符合题意； ④从直线外一点作点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故原说法错误，不符合题意． 故答案为：②． 题型三、多边形截角后的边数问题 6．若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（    ） A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8 【答案】C 【知识点】多边形截角后的边数问题 【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到． 【详解】解：如图，原来多边形的边数可能是5，6，7． 故选C 【点睛】本题考查的是截去一个多边形的一个角，解此类问题的关键是要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况． 7．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ． 【答案】十七边形，或十八边形，或十九边形 【知识点】多边形截角后的边数问题 【分析】结合题意，根据多边形截角后边数的性质，分三种截下的方式分析，即可得到答案． 【详解】把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，有三种截下的方式： 下图为多边形局部图，如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十七边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十八边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十九边形 ∴原多边形纸片的边数可能是：十七边形，或十八边形，或十九边形 故答案为：十七边形，或十八边形，或十九边形． 【点睛】本题考查了多边形的知识；解题的关键是熟练掌握多边形的性质，从而完成求解． 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余的部分是几边形？请画出示意图说明． 【答案】剩余的部分分别为四边形、五边形和六边形，示意图见解析 【知识点】多边形截角后的边数问题 【分析】本题考查了多边形的截法，正确分类截多边形是解题的关键．分为三种情况，画出图形，解答即可． 【详解】解：如图，剩余的部分分别为四边形、五边形和六边形． 题型四、多边形的周长 9．（25-26七年级上·江苏连云港）一个边长的正方形，把4个角各剪去边长的小正方形．那么它的周长（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．保持不变 【答案】D 【知识点】多边形的周长 【分析】本题考查正方形的周长的问题，在一个正方形上的4个角剪去边长1厘米的小正方形，我们可以在脑海里想象这个画面也可以用画图的方法，得出答案． 【详解】解：这个正方形原来的周长：；剪去小正方形后的周长：；那么它的周长不变． 故选D． 10．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）正六边形的边长是1，则这个正六边形的周长是 ． 【答案】6 【知识点】多边形的周长 【分析】本题考查了多边形的周长，根据正多边形的每条边都相等，求出正六边形的周长即可． 【详解】解：正六边形的边长是1， 这个正六边形的周长是：， 故答案为：． 11．一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°． (1)若，求b的值； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】多边形的周长、正多边形的外角问题 【分析】本题考查了正多边形，多边形的内角与外角， （1）根据正多边形的周长为，边长为，求得边数为，于是得到； （2）根据多边形的外角和等于，求得边数为，根据正多边形的周长为，边长为，于是得到结论． 【详解】（1）解：正多边形的周长为，边长为， 边数为， 一个外角为， ； （2）一个外角为，＝， ， 正多边形的周长为，边长为， ． 题型五、网格中多边形面积比较 12．如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【知识点】网格中多边形面积比较 【分析】利用割补法分别求出和的面积，再作差即可． 【详解】解：如图， ， ， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查不规则图形的面积，掌握割补法求不规则图形的面积是解题关键． 13．如图所示的网格是正方形网格，是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为： (填“>”，“=”或“<”) . 【答案】= 【知识点】网格中多边形面积比较 【分析】根据图形可知=，=，然后由图易知△ABC和△ADC同底等高，所以△ABC和△ADC面积相等从而得到△ABO和△DCO的关系． 【详解】解：由图易有：=，=， ∵△ABC和△ADC同底等高， ∴， ∴=． 故答案为：= 【点睛】本题考查了三角形的面积，判断所求三角形的计算方法是本题的关键． 14．计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”，具体计算方法如下：假定每个小方格的边长为1，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有．请根据此方法计算图中四边形的面积． 【答案】 【知识点】网格中多边形面积比较 【分析】本题考查了用“方格法”来计算四角形的面积，结合图形得出公式中的相关字母的值，则问题不难解答．根据图形分别得出和的值，代入公式计算即可． 【详解】解：由图形可知，， ． 题型六、多边形对角线的条数问题 15．（24-25七年级上·江苏南京·期末）学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形的一个顶点的对角线条数是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角的条数是边数，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：四边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 五边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 六边形从一个顶点出发，可以画条对角线， ∴十二边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 故选：A ． 16．（23-24七年级·江苏泰州·月考）从十边形的一个顶点画这个多边形的对角线，最多可画 条． 【答案】/七 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】此题主要考查了多边形对角线，根据边形从一个顶点出发可引出条对角线进行计算即可，解题的关键是熟练掌握计算公式． 【详解】解：从十边形一个顶点画对角线能画（条）， 故答案为：． 17．（2024七年级·江苏·专题练习）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图（1），、是五边形的对角线．思考下列问题： (1)如图（2），边形中，过顶点可以画 条对角线，它们分别是 ；过顶点可以画 条对角线，过顶点可以画 条对角线． (2)过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？ (3)在此基础上，你能发现边形的对角线条数的规律吗？ 【答案】(1)，，， (2)过点的和过点的没有重复的，但和过点的有重复的和重复） (3)边形的对角线条数的为 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】此题考查了多边形的对角线的知识． （1）过点和任意不相邻的两点连接可得出到一条对角线；同理可得过点、的情况． （2）过点的和过点的没有重复的，但和过点的有重复的和重复）； （3）过每一点有条对角线，除去重复的即可得出总对角线的条数． 【详解】（1）解：过顶点可以画条对角线，它们分别是； 过顶点可以画条对角线， 过顶点可以画条对角线； 故答案为：，，，； （2）解：过点的和过点的没有重复的，但和过点的有重复的和重复）； （3）解：边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出条， 共有个顶点，应为条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2． 即边形的对角线条数的为． 题型七、对角线分成的三角形个数问题 18．（23-24七年级·江苏泰州·期中）“转化”是数学中的一种重要思想方法，同学们在研究多边形（边数大于3）的内角和度数时，通常是将多边形的内角和转化为三角形的内角和来解决，从而化陌生的问题为熟悉的情境来解决问题．现从某边形一边上的一点（不包含端点）出发，依次连接多边形的各个顶点，分割得到的所有三角形的内角和是，则该边形是（    ）边形． A．五 B．六 C．七 D．八 【答案】D 【知识点】对角线分成的三角形个数问题 【分析】本题主要考查了多边形的性质，解题的关键是熟悉从边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为的规律； 根据从一个n边形的某个顶点出发，把n边形分为个三角形，再根据三角形的内角和公式列方程即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，解得： 故选：D． 19．（24-25七年级上·江苏常州·期末）从七边形纸片的一个顶点出发，沿对角线将其剪成三角形纸片，则可以剪成 个三角形． 【答案】5 【知识点】对角线分成的三角形个数问题 【分析】本题主要考查多边形的对角线，掌握从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为是解答本题的关键． 【详解】解：从七边形纸片的一个顶点出发，沿对角线将其剪成三角形纸片，则可以剪成个三角形， 故答案为：5． 20．某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果： 多边形的边数 从多边形的一个顶点出发 ______ ______ 多边形对角线的总条数 ______ ______ ______ 应用得到的结果解决以下问题： ①求十二边形有多少条对角线？ ②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【答案】填表： ；①54；②可以为，这个多边形的边数1014 【知识点】多边形对角线的条数问题、对角线分成的三角形个数问题 【分析】根据题意求出相应数据，填表即可； ①由表格探求的边形对角线总条数公式：得出最终结果； ②从边形的一个顶点出发可引条对角线，这些对角线分多边形所得的三角形个数为，据此求解． 【详解】解：填表如下： 多边形的边数 从多边形的一个顶点出发 3 多边形对角线的总条数 5 9 故答案为：3，，， ； 把代入得，． 十二边形有条对角线． 能． 由题意得，23， 解得=1014． 多边形的边数n是正整数， 过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可以为，这个多边形的边数1014． 【点睛】本题考查边形对角线公式，过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题关键． 强化训练 一、单选题 1．若从一个多边形的一个顶点出发，最多可画7条对角线，则它是（    ）边形． A．七 B．八 C．九 D．十 【答案】D 【分析】根据多边形的边数与对角线的数量关系列方程求解即可． 【详解】设多边形有n条边， 则， 解得：， 故多边形的边数为10，即它是十边形， 故选：D． 【点睛】此题考查了多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有条，熟练掌握是解题的关键． 2．要使一个多边形具有稳定性，从该多边形的一个顶点出发，连接其余各顶点转化得到2022个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的对角线，设多边形的边数为n，根据n边形从一个顶点出发画对角线，可分成个三角形进行计算． 【详解】解：设多边形的边数为n，则： ， 解得． 故选：C． 3．有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②多边形的边数是不小于4的自然数；③从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成()个三角形．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的概念，多边形的对角线分成的三角形个数问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据多边形的概念逐个判断即可． 【详解】解：因为由许多条线段首尾顺次连接而成的封闭平面图形叫做多边形，所以①错误； 因为多边形的边数是不小于3的自然数，所以②错误； 因为从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成()个三角形，所以③正确； 因此正确的说法只有1个， 故选：B． 4．下列关于正多边形的说法中，正确的是（    ） A．各边都相等的多边形是正多边形 B．各内角都相等的多边形是正多边形 C．过正n边形一个顶点的对角线有条 D．正多边形的各边相等 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的定义，以及对角线数量问题，注意各边相等，各角相等，两个条件必须同时成立． 根据正多边形的定义即可判断A、B、D，根据多边形从一个顶点出发可以作条对角线判断C． 【详解】解：A、各个边相等，各个角相等的多边形是正多边形，故选项A错误，不符合题意； B、各个边相等，各个角相等的多边形是正多边形，故选项B错误，不符合题意； C、过正n边形一个顶点的对角线有条，故选项C错误，不符合题意； D、正多边形的各边相等，正确，符合题意， 故选：D． 5．从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成5个三角形，则这个多边形的边数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】设这个多边形的边数是边形，根据从一个边形的某个顶点出发，可以引条对角线，把边形分为个三角形，由此可得，进行计算即可得到答案 【详解】解：设这个多边形的边数是边形， 根据题意可得：， 解得：， 这个多边形的边数是7， 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形，解题的关键是掌握从一个边形的某个顶点出发，可以引条对角线，把边形分为个三角形． 6．一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（    ） A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18 【答案】A 【分析】分三种情况讨论，当截线不经过多边形的顶点时，当截线经过多边形的一个顶点时，当截线经过多边形的两个顶点时，再利用数形结合的方法可得答案. 【详解】解：如图，当截线不经过多边形的顶点时，被截后的多边形比原多边形增加一条边， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为15边形， 如图，当截线经过多边形的一个顶点时，被截后的多边形与原多边形边数相同， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为16边形， 如图，当截线经过多边形的两个顶点时，被截后的多边形比原多边形少一条边， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为17边形， 故选： 【点睛】本题考查的是用直线截多边形的一个角后，被截后的多边形的边数与原多边形的边数之间的关系，解题的关键是清晰的分类讨论. 7．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．一个多边形往往有多种方法进行三角剖分，若边形三角剖分的方法数为，则．其中，则六边形的三角剖分方法数为（    ） A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了新定义——多边形的三角剖分．熟练掌握新定义是解题的关键， 根据递推公式并用它来计算六边形三角剖分数．根据给定的递推关系和初始值，可逐步计算出． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ． 故选：C． 二、填空题 8．一个正八边形的周长是16cm，则这个正八边形的边长是 cm． 【答案】 【分析】本题需要根据正多边形的周长公式来求解正八边形的边长． 【详解】正八边形有条边，且每条边长度相等． 设正八边形的边长为，根据正多边形周长公式，可得 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的周长，掌握正边形的周长等于边长乘以，利用这一公式建立方程求解正八边形的边长是解题的关键． 9．若从一个多边形一个顶点出发，最多可以引12条对角线，则它的边数为 ． 【答案】15 【分析】根据多边形的对角线的定义可知，从n边形的一个顶点出发，可以引（n-3）条对角线，由此可得到答案． 【详解】设这个多边形是n边形， 依题意，得n - 3= 12， n= 15， 故这个多边形是15边形， 故答案为：15． 【点睛】本题主要考查多边形对角线的条数问题，属于基础题，记住从n边形的一个顶点出发可以引的对角线条数公式是解题关键． 10．北京时间11月21日0时，2022国际足联卡塔尔世界杯迎来揭幕战吸引了亿万球迷的观看．同学们知道吗？如图，此足球是由32块黑（正五边形）白（正六边形）皮子缝制而成，其中黑色皮子共有 块． 【答案】12 【分析】设足球上黑皮有x块，则白皮为块，可得五边形的边数共有条，六边形边数有条．由图可得，一块白皮（六边形）中，有三边与黑皮（五边形）相连，可得白皮边数是黑皮边数的2倍，由此列出方程，即可求解． 【详解】解：设足球上黑皮有x块，则白皮为块， ∴五边形的边数共有条，六边形边数有条． 由图形关系得：每个正六边形白皮的周围有3个黑皮边， ∴白皮的边数为黑皮的2倍， ∴ 解得：， 答：白皮20块，黑皮12块． 故答案为：12 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到白皮的边数为黑皮的2倍是解题的关键． 11．若某多边形的一个顶点与和它不相邻的其他各顶点连接，可将多边形分成7个三角形，则该多边形的总对角线条数为 ． 【答案】27 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握n边形的总对角线条数公式是解题的关键． 经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，由此求出多边形的边数，再根据n边形的总对角线条数公式计算即可． 【详解】解：若某多边形的一个顶点与和它不相邻的其他各顶点连接，可将多边形分成7个三角形， 则这个多边形的边数为， 所以该多边形的总对角线条数为＝27（条）， 故答案为：27． 12．一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是 ． 【答案】3或4或5 【分析】一个四边形剪去一个角后，分三种情况求解即可，①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【详解】解：一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形． 故答案为：3或4或5． 【点睛】本题考查的知识点是多边形的定义，解题关键是列举出所有可能的情况． 13．过n边形的一个顶点的所有对角线，把n边形分成了6个三角形，则n的值是 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了多边形的对角线，根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列出方程是解题的关键． 经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵过n边形的一个顶点的所有对角线，把n边形分成了6个三角形， ∴，解得：． 故答案为：8． 三、解答题 14．三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？ 【答案】见解析 【分析】根据图形的特征作答即可． 【详解】解：如图所示，三角形有3个顶点，3条边，3个内角； 四边形有4个顶点，4条边，4个内角； 五边形有5个顶点，5条边，5个内角； …… 可发现，多边形的顶点个数和内角个数与边数相同； n边形有n个顶点，n条边，n个内角． 【点睛】本题考查了多边形的有关概念，解题关键是准确识别多边形，明确多边形的顶点和内角概念． 15．计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”，具体计算方法如下：假定每个小方格的边长为1，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有．请根据此方法计算图中四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了用“方格法”来计算四角形的面积，结合图形得出公式中的相关字母的值，则问题不难解答．根据图形分别得出和的值，代入公式计算即可． 【详解】解：由图形可知，， ． 16．如图，在同一平面内有5个点． (1)请按下列要求作图：连接．你得到了一个怎样的图形？ (2)在（1）的条件下，所连线段相交组成的五边形共有多少条对角线？ 【答案】(1)画图见解析，得到的图形为五角星 (2)5条 【分析】本题主要考查了画线段，多边形对角线条数问题，正确结合题意以及线段的画法画出对应的图形是解题的关键： （1）根据线段的画法作图即可； （2）根据（1）所求画出对应五边形的对角线即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； 由图可知，得到的图形是一个五角星； （2）解：如图所示，所连线段相交组成的五边形共有5条对角线． 17．如图，在一个多边形内任意取一点，分别连接这一点与各顶点． (1)数一数，上面三个多边形中每一个多边形各被分成了多少个三角形？ (2)总结一下，被分成的三角形的个数与多边形的边数有怎样的关系？ 【答案】(1)四边形被分成了个三角形，五边形被分成了个三角形，六边形被分成了个三角形 (2)以这种方式分割，边形被分成了个三角形，即被分成的三角形的个数与多边形的边数相等 【分析】本题通过观察不同边数的多边形，在内部取一点连接各顶点后形成三角形的个数，进而总结出三角形个数与多边形边数的关系． 【详解】（1）对于四边形，在其内部取一点，连接这一点与各顶点，可直接数出被分成了个三角形； 对于五边形，同样的操作，数出被分成了个三角形； 对于六边形，数出被分成了个三角形； 可以总结出：四边形被分成了个三角形，五边形被分成了个三角形，六边形被分成了个三角形． （2）由（1）中四边形被分成个三角形（边数，三角形个数）、五边形被分成个三角形（边数，三角形个数）、六边形被分成个三角形（边数，三角形个数） 可以总结出：以这种方式分割，边形被分成了个三角形，即被分成的三角形的个数与多边形的边数相等． 【点睛】本题考查了多边形的分割与三角形个数的关系，掌握通过观察特殊多边形被分割成三角形的个数，归纳出边形被分割后三角形个数与边数的关系是解题的关键． 18．阅读与思考 连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线． 如图所示，过多边形的一个顶点作出所有的对角线，可以把多边形分割成若干个三角形．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①_____ 分割成的三角形个数/个 2 3 4 5 6 …… ②_____ (1)观察探究：请仔细观察上面的图形和表格，并用含的代数式填写表格①______，②______； (2)n边形有n个顶点，那么所有对角线的条数可表示为______； (3)类比应用：数学社团共有11名同学，大家约定，春节期间每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年．请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 【答案】(1)①，② (2) (3)44个 【分析】本题考查了多边形对角线规律及其应用，难点是理解这个规律的应用． （1）根据所给图形总结规律解答即可； （2）当多边形的顶点数为n时，从一个顶点可以引出条对角线，则n个顶点可以引出条对角线，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为． （3）根据（2）的结论求解即可． 【详解】（1）∵4边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 5边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 6边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 7边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 8边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， …， ∴n边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 故答案为：①，②； （2）当多边形的顶点数为n时，从一个顶点可以引出条对角线，则n个顶点可以引出条对角线，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为． 故答案为：； （3）11名学生看成是顶点数为11的多边形，每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年是这个多边形的对角线，则由（2）可得，数学社团的同学们一共将拨打电话（个）． 19．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图（1），、是五边形的对角线．思考下列问题： (1)如图（2），边形中，过顶点可以画 条对角线，它们分别是 ；过顶点可以画 条对角线，过顶点可以画 条对角线． (2)过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？ (3)在此基础上，你能发现边形的对角线条数的规律吗？ 【答案】(1)，，， (2)过点的和过点的没有重复的，但和过点的有重复的和重复） (3)边形的对角线条数的为 【分析】此题考查了多边形的对角线的知识． （1）过点和任意不相邻的两点连接可得出到一条对角线；同理可得过点、的情况． （2）过点的和过点的没有重复的，但和过点的有重复的和重复）； （3）过每一点有条对角线，除去重复的即可得出总对角线的条数． 【详解】（1）解：过顶点可以画条对角线，它们分别是； 过顶点可以画条对角线， 过顶点可以画条对角线； 故答案为：，，，； （2）解：过点的和过点的没有重复的，但和过点的有重复的和重复）； （3）解：边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出条， 共有个顶点，应为条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2． 即边形的对角线条数的为. 学科网（北京）股份有限公司 $