精品解析：湖南省邵阳市邵东市第一中学2025-2026学年高一上学期第三次诊断性检测数学试题

2025年下学期高一第三次诊断性测试 数学试卷 时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用集合的交、补运算求结果． 【详解】由题设，则． 故选：B 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定，将任意改为存在，并否定原结论，即可得． 【详解】由全称量词命题的否定为特称量词命题，则原命题的否定为，． 故选：A 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数之间的基本关系由弦化切计算可得结果. 【详解】由题得. 故选：C. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式和充分条件、必要条件的定义进行判断即可. 【详解】当时，，当且仅当时，即时取等号，故充分性成立； 当时，也成立，不满足，故必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：. 5. 已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用扇形的弧长及面积公式计算求解. 【详解】设扇形的半径为， 因为扇形的圆心角为，且所对应的弧长为， 则，所以 则该扇形的面积为. 故选：B. 6. 设函数（且）在上是增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性以及对数函数的单调性，结合分段函数的单调性即可求解. 【详解】根据题意可得，解得， 故选：A 7. 已知函数，若方程有4个不相等的实数根，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先作出的函数图像，令，则方程有4个不相等的实数根等价于方程在有两个不等的实根，令， 即，解出即可. 【详解】由题意作出的函数图像： 令，所以， 当时，方程没有解， 当时，方程的解集为， 当时，方程的解集为， 当时，方程有两个不相等的实数根， 设两根为，则，，故， 当时，方程有两个不相等的实数根， 设两根为，则，，故， 方程有4个不相等的实数根等价于方程在有两个不等的实根， 令， 所以，解得， 所以实数取值范围是， 故选：B. 8. 设函数，若存在使不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断出函数为奇函数，再结合单调性将题意转化为存在使不等式成立，结合含参二次函数的性质解题即可. 【详解】函数定义域为，定义域关于原点对称， 由于， 所以函数为奇函数， 又因为函数和均为上的减函数， 所以为上的减函数， 所以存在使不等式成立， 即成立，等价于存在使不等式成立， 当时显然满足； 当时，则，即， 综上可得实数的取值范围是， 故选：B. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，则下列结论成立的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为2 C. 的最小值为3 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质，以及题干所给条件，逐一判断各选项正误，判断结果即可. 【详解】对A，，当且仅当时取等号，A正确； 对B，结合A，有，时取等号，B错； 对C，，当且仅当即时取等号，C正确； 对D，因为，，，所以，， 所以，当，取得最小值为，D正确． 故选：ACD． 10. 下面关于叙述中正确的是（ ） A. 关于点对称 B. 关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 函数是奇函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】将代入即可判断AB；根据求出，结合三角函数的图象即可判断C；求出的解析式即可判断D. 【详解】， 对于AB：因为，不为最值， 的图象关于点对称，且不为对称轴，故A正确，B错误； 对于C：当时，，且正弦函数在内单调递增， 在区间上单调递增，C正确； 对于D：又为奇函数，D正确. 故选：ACD. 11. 下列命题中正确的是（ ） A. 定义在上的偶函数满足在上单调递减，且，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 B. 函数在上的值域为 C. 函数，若不等式对恒成立，则 D. 若一元二次方程的两根都是负数，则的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A，通过函数单调性和奇偶性得到，即可求解，B，通过换元，，结合一元二次函数即可求解，C，将不等式转换成，结合基本不等式即可求解，D，通过判别式和韦达定理即可求解. 【详解】对于A，因为定义在上的偶函数满足在上单调递减，且，所以在上单调递增，且， 所以当，则，， 又因为对恒成立，故，故A对； 对于B，， 因为时，令， 则，对称轴为， 当时，， 当时，， 所以值域为，B正确， 对于C，当时，，所以， 又因为，所以 ， 故若不等式对恒成立对恒成立， 又 当且仅当即时等号成立， 所以即范围为，故C对； 对于D，首先， 设方程的两根为，则， 所以，又，解得或．D错， 故选：ABC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ________． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式求解. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复合函数单调性，结合对数函数、二次函数单调性及真数恒正列式求解. 【详解】函数在上单调递增，由函数在上单调递增， 得函数在上单调递增，且，恒成立， 因此，解得，所以实数的取值范围为. 故答案为： 14. 对于函数，若存在，使 ，则称点与点是函数 的一对 “隐对称点”.若函数的图象存在 “隐对称点”，则实数  的取值范围是_________ 【答案】 【解析】 【分析】由隐对称点的定义可知函数图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义将问题转化为方程的零点问题，再结合基本不等式即可得出实数的取值范围. 【详解】由隐对称点的定义可知函数图象上存在关于原点对称的点， 设的图象与函数的图象关于原点对称， 令，则，， 所以， 因为，又， 由题意得与在上有交点，即方程在上有根， 则， 又因为，当且仅当， 即时，等号成立， 所以，即． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 按要求完成下列各题． （1）求值：； （2）已知点为角终边上一点，求的值． 【答案】（1）102 （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数式与对数式运算法则，可得答案； （2）根据正切函数的定义可得正切值，利用同角三角函数的商数关系，可得答案． 【小问1详解】 ，，， 故原式． 【小问2详解】 由三角函数的概念可得， 故原式． 16. 已知函数． （1）求的周期及单调减区间； （2）求在区间上的值域． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的单调性可得答案； （2）利用的范围求出及的范围可得答案． 【小问1详解】 ， 由得， 则的单调减区间为； 【小问2详解】 当时，， 则，故． 17. 某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元，已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产x万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量小于20万件时，；当年产量大于或等于20万件时，．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本） （2）如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 【答案】（1） （2）9万件 【解析】 【分析】（1）分和，两种情况，分别求出函数解析式； （2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解． 【小问1详解】 根据题意得，当时，， 当时，， 故. 【小问2详解】 当时，， 且当时，单调递增，当时，单调递减， 此时． 当时，， 设，则在上是单调递增函数， 故在上是单调递增函数， 故当时，取得最大值，. 因为，故当时，取得最大值24， 即为使公司获得的年利润最大，每年应生产9万件该芯片． 18. 已知函数是上的奇函数，函数． （1）求实数k的值； （2）当时，函数的最小值是关于a的函数，求； （3）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知函数的性质，利用奇函数的定义列方程求解； （2）先求出在上的值域，利用换元法化简已知函数，再根据二次函数的性质分情况讨论求出； （3）利用（2）的结论结合已知条件，分情况讨论求出实数a的取值范围． 【小问1详解】 函数是上的奇函数， ，即，整理得， 对任意成立，，解得． 【小问2详解】 ，在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递增， ， 在上的值域为， 令，则，函数开口向上，对称轴为， 当时，在上单调递增，最小值为； 当时，在对称轴处取得最小值，最小值为； 当时，在上单调递减，最小值为； ． 【小问3详解】 若对任意的，恒成立，即对恒成立； 当时，，成立； 当时，，解得，又，； 当时，，解得，与矛盾，舍去； 的取值范围是． 19. 若函数为幂函数，则称与互为“和幂函数”；若函数为幂函数，则称与互为“积幂函数”． （1）试问函数与是否互为“和幂函数”？请说明你的理由． （2）已知函数与互为“积幂函数”． ①证明：函数存在负零点，且负零点唯一． ②已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，若函数在上有两个零点，求的取值范围（结果用含字母的区间表示）． 【答案】（1）是，理由如下： 对任意的，， 所以，、恒成立， 所以，函数、的定义域均为， ， 故函数与互为“和幂函数”； （2） ①， 由函数与互为“积幂函数”， 则，即，故， 则与， 则， 令，即，令， 由函数在上单调递增，在上单调递减， 故在定义域内单调递增， 又，， 故在上存在唯一零点， 即函数存在负零点，且负零点唯一； ② 【解析】 【分析】（1）根据定义，求出是否为幂函数即可得； （2）①结合“积幂函数”，计算即可得，再令，可得，再构造函数，结合零点的存在性定义及其单调性即可得证；②由题意计算可得，结合复合函数单调性，可得在上的单调性，再结合零点与方程的根的关系即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②，则， 又，则当时，， 由在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增，则当时， 在上单调递增，在上单调递减， 由，则，又，， 若函数在上有两个零点， 则在上有两个不同根，故. 【点睛】关键点点睛：②中关键点在于利用对数运算，得到，即可由单调性，得到单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期高一第三次诊断性测试 数学试卷 时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数（且）在上是增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若方程有4个不相等的实数根，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若存在使不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，则下列结论成立的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为2 C. 的最小值为3 D. 的最小值为 10. 下面关于叙述中正确的是（ ） A. 关于点对称 B. 关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 函数是奇函数 11. 下列命题中正确的是（ ） A. 定义在上的偶函数满足在上单调递减，且，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 B. 函数在上的值域为 C. 函数，若不等式对恒成立，则 D. 若一元二次方程的两根都是负数，则的取值范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ________． 13. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为___________． 14. 对于函数，若存在，使 ，则称点与点是函数 的一对 “隐对称点”.若函数的图象存在 “隐对称点”，则实数  的取值范围是_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 按要求完成下列各题． （1）求值：； （2）已知点为角终边上一点，求的值． 16. 已知函数． （1）求的周期及单调减区间； （2）求在区间上的值域． 17. 某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元，已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产x万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量小于20万件时，；当年产量大于或等于20万件时，．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本） （2）如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 18. 已知函数是上的奇函数，函数． （1）求实数k的值； （2）当时，函数的最小值是关于a的函数，求； （3）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围． 19. 若函数为幂函数，则称与互为“和幂函数”；若函数为幂函数，则称与互为“积幂函数”． （1）试问函数与是否互为“和幂函数”？请说明你的理由． （2）已知函数与互为“积幂函数”． ①证明：函数存在负零点，且负零点唯一． ②已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，若函数在上有两个零点，求的取值范围（结果用含字母的区间表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $