专题05一次函数期末复习冲刺必备讲义(核心考点+常考题型精析+压轴题型通关)2025-2026学年北师大版八年级数学上册

该初中数学一次函数期末复习讲义通过核心知识点梳理构建系统知识体系，运用表格对比函数表示方法的优缺点，思维导图呈现一次函数概念、图像性质与待定系数法的内在联系，清晰分布重难点如k和b的作用及实际应用中的取值范围。 讲义亮点在于分层设计15类常考题型，从基础的正比例函数判定到综合的行程问题应用，压轴题强化思维提升。通过“数形结合”技巧培养几何直观，“解题六步走”指导强化模型意识，帮助不同层次学生掌握方法，支持教师实施精准化复习教学。

专题05一次函数期末复习冲刺必备讲义 1.理解一次函数的概念，能识别一次函数和正比例函数。 2.掌握一次函数的图像和性质，并能运用其解决问题。 3.熟练运用待定系数法确定一次函数的解析式。 4.能综合运用一次函数解决实际问题，感受函数的模型思想。 核心知识点梳理 1.变量与函数 2.一次函数与正比例函数 3.待定系数法法求一次函数 4.一次函数的应用 5.解题技巧与易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.函数解析式的确定方法 2.从函数图形提取关键信息 3.正比例函数的定义与判定 4.根据一次函数的定义求未知参数 5.一次函数的自变量与函数值的互求 6.由一次函数的解析式判断图象经过的象限 7.一次函数图象与坐标轴交点的求解 8.一次函数图象的平移规律与应用 9.一次函数增减性的判断方法 10.根据一次函数的增减性确定参数范围 11.一次函数值的大小比较技巧 12.一次函数的实际应用:行程问题 13.一次函数的实际应用:其他综合问题 14.利用图象法解一元一次方程 15.一次函数与几何图形的综合问题 期末备考 压轴通关 压轴题(21题) 【知识点01.函数】 一.变量与常量 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量。 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量。 举例：圆的周长公 C=2πr中，C和r是变量，2和π是常量。 二.函数的定义 定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 核心要素： 1.有两个变量。 2.一个变量的值确定后，另一个变量的值有唯一确定的值与之对应。 三.函数的表示方法 表示方法 优点 缺点 解析式法 准确、全面地反映函数关系，便于进行理论分析和计算 不直观，求函数值时需要计算 列表法 直观、具体，能直接看出部分自变量与函数值的对应关系 只能表示有限个或部分对应关系 图象法 直观、形象，能清晰地反映函数的变化趋势 图象上的点的坐标只能近似地表示函数值 四.函数的取值范围（定义域） 定义：使函数有意义的自变量的取值的全体。 确定方法： 1.整式函数：自变量可取全体实数。 2.分式函数：分母不能为零。 3.二次根式函数：被开方数必须大于或等于零。 4.实际问题：要使实际问题有意义。 【知识点02.一次函数与正比例函数】 一.一次函数的定义 定义：若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数。 特殊形式：当b=.0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫做正比例函数。 二.一次函数的图象 图象形状：一次函数 y=kx+b 的图象是一条直线。 作图方法：通常选取两点，即直线与坐标轴的交点： 1.与 y 轴的交点：令x=0，得y=b，交点为(0,b)。 2.与 x 轴的交点：令y=0，得x=−，交点为(−,0)。 3.正比例函数的图象：正比例函数y=kx的图象是一条经过原点(0,0)的直线。 三.一次函数的性质 函数形式 性质 y=kx+b(k>0) 图象经过一、三象限（当b>0时经过一、二、三象限；当b<0时经过一、三、四象限）；y随x的增大而增大。 y=kx+b(k<0) 图象经过二、四象限（当b>0时经过一、二、四象限；当b<0时经过二、三、四象限）；y随x的增大而减小。 y=kx+b(b>0) 图象与y轴交于正半轴。 y=kx+b(b<0) 图象与y轴交于负半轴。 y=kx+b(b=0) 图象经过原点，是正比例函数。 【知识点03.待定系数法求一次函数】 定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法。 步骤： 1.设：设一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0）。 2.代：将已知点的坐标代入解析式，得到关于k，b的二元一次方程组。 3.解：解这个二元一次方程组，求出k，b的值。 4.写：将求出的k，b的值代入所设的解析式，写出函数解析式。 【知识点04.一次函数的应用】 一.解题基本步骤（六步走） 1.审：读懂题意，明确已知量、未知量及数量关系。 2.设：设自变量为x，因变量为y。 3.列：根据等量关系，列出解析式y=kx+b（k≠0）。 4.解：用函数性质或图象，求解问题。 5.验：检验结果是否正确且符合实际情况。 6.答：写出完整答案（含单位）。 2、 常见应用类型（核心） 1. 行程问题 核心公式：路程=速度×时间（s=vt）；速度恒定为常量，s与t成正比例函数。 速度v恒定，路程s与时间t的关系：s=vt（正比例函数）。 2.工程问题 核心公式：工作量=效率×时间（W=pt）；效率恒定为常量，W与t成正比例函数。 效率p恒定，工作量W与时间t的关系：W=pt（正比例函数）。 3.销售问题 核心公式：销售额=单价×销售量（R=pn）；单价恒定为常量，R与n成正比例函数。 单价p恒定，销售额R与销售量n的关系：R=pn（正比例函数）。 4.几何问题 核心关系：如长方形周长固定（C=20），则长y=10-x（x为宽），y与x成一次函数。 一个几何量固定（如周长），另两个量成一次函数关系（如长y与宽x）。 5. 方案选择问题（高频） 核心逻辑：列各方案解析式（如费用y₁=k₁x+b₁、y₂=k₂x+b₂），求交点找临界值，分情况选最优。 (1)列两种/多种方案的函数解析式； (2)求解析式交点（费用/效果相等时的临界值）；3. (3)分情况讨论，选择最优方案。 【知识点05.解题技巧与易错点警示】 一.技巧： 数形结合：这是解决函数问题的核心思想。看到函数式，要能想到它的图像；看到图像，要能分析出它的性质和解析式。 巧用特殊点：如与坐标轴的交点、两直线的交点等，往往是解题的突破口。 二.易错点： 1.忽略 k ≠ 0：判断一次函数时，忘记检查 x 的系数是否为零。 2.混淆 k 和 b 的作用：特别是在判断图像经过的象限时，容易出错。 3,待定系数法步骤混乱：忘记 “设、代、求、写” 的完整流程。 4.忽略实际问题中自变量的取值范围：导致函数图像画成整条直线，而不是线段或射线。 【题型1.函数解析式的确定方法】 【典例】一只机器狗以的平均速度在路面上行走，则它所走的路程与所用的时间之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了根据实际问题列函数解析式的能力，关键是能根据实际问题间数量关系准确列式． 根据路程＝速度×时间，列出关系式即可． 【详解】解：∵路程＝速度×时间， ． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加．根据小球速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系，第时小球的速度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数值，根据小球速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系为，将代入求值即可，解题的关键是正确列出函数关系式． 【详解】解：由题意，得， 当时，， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，一个长方形菜园，其中一边为足够长的墙，另外三边用一根长的篱笆围成（接口处忽略不计）．设边的长为，边的长为，则与的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求函数解析式，解题的关键是理解题意，熟练掌握矩形周长公式． 根据矩形周长公式写出y与x之间的函数关系式即可． 【详解】解：∵三边总长恰好为， 设边的长为，边的长为， ． 故答案为：B． 【题型2.从函数图象提取关键信息】 【典例】A，B两地相距4000米，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．，分别表示甲、乙两人离开A地的距离（米）与时间（分钟）之间的关系，下列结论： ①乙先出发10分钟，甲才出发； ②甲的速度是100米/分钟； ③乙出发时，甲在乙前面1000米； ④甲、乙相遇时，他们离开A地3200米． 正确的是 ．（填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息． 根据函数图象逐一判断即可． 【详解】解：由函数图象可知：①甲先出发10分钟，乙才出发，故不正确； ②甲的速度是米/分钟，正确； ③乙出发时，甲在乙前面米，正确； ④甲、乙相遇时，他们离开A地3200米，正确． 故答案为：②③④． 【跟踪专练1】如图①，在中，是边上的一个动点，若，则关于的函数图象如图②所示．下列结论正确的是（   ） A．边的长是8 B．随的增大而增大 C．边上的高是7.2 D．边的长是15 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数图象的识别， 先结合已知图形的运动，根据图象可得当时，，此时，随着x的增大，y减小，当时，，此时，随着x的增大，y也增大，当时，y最大，此时，再求出的长逐项判断即可． 【详解】解：当时，，此时，随着x的增大，y减小， 当时，，此时， 随着x的增大，y也增大， 当时，此时，y最大，此时． 当时，根据勾股定理，得， ∴， 根据勾股定理，得． 所以A，B，D不正确，C正确． 故选：C． 【跟踪专练2】如图①，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图②是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象、垂线段最短的性质及三角形面积的计算，解题的关键是从图象中获取的长度、到的距离，结合勾股定理求出的线段长度，进而计算三角形面积． 从图象得的最小值为4（即到的高）；用勾股定理求，结合图象得的长度，再用三角形面积公式计算． 【详解】解：由图象可知，点沿运动时,的最大值为5，故； 当在上运动时,的最小值为4（垂线段最短），即到的距离为4； 在中，； 结合图象得； 故的面积，选项A符合题意； 故选：A． 【题型3.正比例函数的定义与判定】 【典例】下列选项中，y是关于x的正比例函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数定义来判断即可． 【详解】解：A、，是正比例函数，符合题意； B、，不是正比例函数，不符合题意； C、，不是正比例函数，不符合题意； D、，不是正比例函数，不符合题意． 故选：A． 【跟踪专练1】下列说法正确的是 （填序号） ①正比例函数一定是一次函数；②一次函数一定是正比例函数；③若与成正比例，则是的一次函数；④若，则是的一次函数． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查一次函数和正比例函数的定义，根据一次函数和正比例函数的定义进行判断． 【详解】解：正比例函数的形式为，它是一次函数当时的特殊情况，因此①正确； 一次函数中，当时不是正比例函数，因此②错误； 若与成正比例，则，即，符合一次函数的形式，因此③正确； 若，当时，为常数函数，不是一次函数，因此④错误， 故答案为：①③． 【跟踪专练2】如果是正比例函数，那么的值是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的定义，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据正比例函数的定义，函数形式应为（其中 ），因此自变量的指数必须为1． 【详解】解：∵ 是正比例函数， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 【题型4.根据一次函数的定义求未知参数】 【典例】.是关于的一次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数的定义，x 的指数必须为 1 且系数不为 0，据此解答即可． 【详解】解：由一次函数的定义，得 解方程， ， 或 ． 当 时，，系数为 0，不符合一次函数定义， 当 时，，符合一次函数定义． 故答案为： ． 【跟踪专练1】已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，理解一次函数的增减性是解决本题的关键．根据一次函数表达式及已知条件，结合点坐标代入得到，结合即可推导参数关系，进而判断选项． 【详解】解：点在函数图象上，代入得： ∵， ∴，即， ∵，即， ∴ ∴，． 故选：A ． 【跟踪专练2】已知 是关于x的一次函数，则 ，当时， y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质． 根据一次函数的定义，函数中的指数必须为1，且系数，由此求出的值；再代入得到一次函数解析式，根据的取值范围，利用一次函数的性质求的取值范围． 【详解】解：∵是关于的一次函数， ∴且， 解得：或且， ∴； 此时函数为， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是； 故答案为，． 【题型5.一次函数中自变量与函数值的互求】 【典例】下列各点在一次函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一次函数的函数值，将每个点的横坐标代入函数解析式，计算对应的函数值，与对应点的纵坐标比较，判断点是否在图象上． 【详解】解：在中，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴四个点中，只有点在一次函数的图象上， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，点P是上一点，设的长为，的面积为S． （1）S与x之间的函数表达式为 ． （2）当的面积为18时，则的长为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查求函数表达式，已知函数值求自变量的值，求出函数表达式是解题的关键． （1）由题意得，由三角形面积公式即可求解； （2）由（1）中所得，解方程即可求解． 【详解】解：（1）， 则， 故答案为：； （2）当时，即， 解得：， ∴， 故答案为：2． 【跟踪专练2】已知点，都在函数的图象上，下列对于，的关系判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键,将点、代入函数解析式，联立方程消去，得到与的关系式，然后即可求解. 【详解】解：∵点在函数上， 代入得：, ∴， ∵点在函数上， 代入得：， ∴， ∴ ， 化简得 ，即 ， 故选：A. 【题型6.由一次函数解析式判断图象经过的象限】 【典例】现有四张完全相同的卡片，卡片上分别写有，0，2，3，从这四张卡片中随机抽取两张，得到的数字分别记为，则使得一次函数的图像只经过第一、三象限的概率是 ． 【答案】 【分析】题目主要考查一次函数的性质，列举法求概率，理解题意，熟练掌握一次函数的性质及概率的计算是解题关键． 根据题意得出，，然后利用列举法求概率即可． 【详解】解：∵一次函数 的图像只经过第一、三象限， ∴，， 从四张卡片（数字为 ）中随机抽取两张，并分别记为 和 ， 所有可能的有序对共有 种， 分别为：， 其中满足 且 的有序对有和，共 2 种， 因此概率为 ， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知两个一次函数与，它们在同一平面直角坐标系中的图象可能是下列选项中的（    ） A． B． .C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系，由于a、b的符号均不确定，因此分①，，②，，③，，④，四种情况，判断出和所经过的象限，即可求解． 【详解】解：分四种情况： ①当，时，和的图象均经过第一、二、三象限，不存在此选项； ②当，时，的图象经过第一、三、四象限，的图象经过第一、二、四象限，选项B符合此条件； ③当，时，的图象经过第一、二、四象限，的图象经过第一、三、四象限，不存在此选项； ④当，时，和的图象均经过第二、三、四象限，不存在此选项． 故选：B． 【跟踪专练2】已知点在直线上，当时，，则在平面直角坐标系内，它的图象不经过第 象限 【答案】二 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．先利用当时，，判定的正负，再结合，判断一次函数的大致图象位置，即可解决． 【详解】解：∵当时，， 则函数，的值随的值的增大而增大， ∴， ∴一次函数图象过第一、三象限， 又∵，即与轴交于负半轴， ∴一次函数图象经过第一、三、四象限， 即不经过第二象限， 故答案为：二． 【题型7.一次函数图象与坐标轴交点的求解】 【典例】对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．函数的图象不经过第二象限 B．函数的图象与轴的交点坐标是 C．函数的图象向下平移4个单位长度后得到的图象 D．若两点，在该函数图象上，则 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，涉及一次函数的增减性，一次函数与坐标轴的交点，一次函数的平移等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据一次函数的图象与性质，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、∵，， ∴函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故此选项结论错误，不符合题意； B、当时，则，解得， ∴函数的图象与轴的交点坐标是，故此选项结论错误，不符合题意； C、函数的图象向下平移4个单位长度后得到， 即，故此选项结论正确，符合题意； D、∵， ∴函数的图象随的增大而减小， ∵， ∴，故此选项结论错误，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练1】如图，函数 的图象分别与x轴，y轴交于点 A，B，的平分线与轴交于点，则点 的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，角平分线的性质，列一元一次方程解决几何问题，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 过点作，交于点，求出直线和坐标轴的坐标，利用角平分线的性质得出，设，则，利用等面积列出方程进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作，交于点， 当时，，即，， 当时，，解得，即，， 由勾股定理得，， ∵平分， ∴， 设，则， ∴， 即， 解得， 即， 故答案为：． 【跟踪专练2】以下关于直线说法正确的是（　　） A．与轴相交于点 B．与直线：平行 C．将直线向上平移2个单位长度得到直线 D．直线上有三个点，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 依据题意，由直线为，则令，则，可得与x轴相交于点，故可判断A；根据两条直线平行，可得与直线平行的直线，故可判断B；依据题意，将直线向上平移2个单位长度得到直线，即，故可判断C；依据题意，由直线为，，则y随x的增大而增大，结合一次函数的性质即可判断D． 【详解】解：∵直线为， ∴令，则，可得与x轴相交于点，故A错误； 根据两条直线平行，可得与直线平行的直线的，故B错误； 由题意，将直线向上平移2个单位长度得到直线，即，故C错误； ∵直线为，， ∴y随x的增大而增大． ∵点在上，且， ∴，则D正确． 故选：D． 【题型8.一次函数图象平移的规律与应用】 【典例】将直线向上平移5个单位长度，得到直线，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移规律，解题的关键是掌握一次函数图象上下平移时“上加下减”的截距变化规则（斜率保持不变）． 根据一次函数图象向上平移5个单位的“上加”规则，写出直线平移后的解析式，再与直线的解析式对比，列方程求解． 【详解】解：一次函数图象向上平移5个单位，遵循“上加下减”规则， 直线向上平移5个单位后，解析式为； 又平移后得到直线， ， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练1】关于函数，下列说法正确的是（） A．经过第一、二、四象限 B．若函数图象经过点，，则 C．由的图象向下平移个单位得到 D．与轴的交点的坐标为 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数综合 熟练掌握一次函数图象和性质，一次函数的增减性，一次函数的平移，一次函数与坐标轴的交点，是解题的关键． 根据一次函数的性质，，函数图像经过第一、三、四象限，且y随x增大而增大；平移规律为上加下减；与x轴交点令求解，逐一判断即得． 【详解】A、∵中，， ∴函数图像经过第一、三、四象限， 故A错误； B、∵， ∴y随x增大而增大， 又∵， ∴， 故B错误； C、∵向下平移1个单位得， ∴C正确； D、令，得，解得， ∴与x轴交点为， 故D错误． 故选：C． 【跟踪专练2】将一次函数（b是常数且）的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位后，该一次函数图象经过原点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移规律，熟练掌握“左加右减、上加下减”的平移规律是解题的关键．先根据一次函数图象的平移规律得到平移后的函数解析式，再将原点坐标代入解析式，解方程求出的值． 【详解】解：∵ 一次函数向左平移1个单位长度， ∴ 解析式变为． ∵ 再向上平移2个单位长度， ∴ 解析式变为． ∵ 平移后的图象经过原点， ∴ 把，代入，得． ∴ ． 故答案为：． 【题型9.一次函数增减性的判断方法】 【典例】对于函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象必经过点 B．它的图象经过第一、二、三象限 C．当时， D．的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟记性质是正确解答此题的关键． 根据一次函数 的性质，其中 ，，可知函数值 随 增大而减小，图象经过第一、二、四象限．通过计算或不等式验证各选项． 【详解】解：∵ 函数为 ， 对于 A：当 时，，∴ A 错误； 对于 B：∵ ，，∴ 图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，∴ B 错误； 对于 C：当 时，，解得 ，∴ 当 时，，∴ C 正确； 对于 D：∵ ，∴ 随 增大而减小，∴ D 错误． 【跟踪专练1】已知点在直线为常数）上，则 （填“”“ ”或“=”）． 【答案】 【分析】先根据一次函数中判断出函数的增减性，再根据进行解答即可． 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键． 【详解】解：∵一次函数中， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】一次函数与（，）的图象如图所示，则下列结论：①对于函数来说，y随x的增大而减小；②；③函数的图象不经过第一象限；④；⑤x的值每增加1，的值增加．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①③④⑤ C．②③④⑤ D．①②③⑤ 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是关键． 根据一次函数的图象与性质逐项分析判断即可． 【详解】解：①由图象可知：函数中，随的增大而减小；故①正确； ②由图象可知：， ， ∴，故②正确； ③由图象可知：，故函数的图象不经过第一象限；故③正确； ④由图象可知，两函数图象交点的横坐标为，故，故④正确； ⑤当时，， 当时，， ， ∴的值每增加的值增加，故⑤错误， 故选：A． 【题型10.根据一次函数的增减性确定参数范围】 【典例】若关于的函数是一次函数，且随的增大而增大，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数的性质可得，解不等式即可求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵函数是一次函数，且随的增大而增大， ∴， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知点和点在一次函数的图象上，且，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的单调性；当，随的增大而增大；当，随的增大而减小，熟记一次函数的性质是解题关键．由，，知即可解答． 【详解】解：∵一次函数中， ∴随的增大而减小， ∵，且点，点， ∴， ∴的值可能为． 故选：A． 【跟踪专练2】已知函数（为常数），当时，的最大值为，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数的增减性与最值，根据的正负，判断随的增减规律是解题关键． 根据一次函数的性质，分和两种情况讨论最大值的位置． 【详解】解：当时，随的增大而增大，在处取得最大值， 代入得，解得； 当时，随的增大而减小，在处取得最大值， 代入得，解得． 故答案为：或． 【题型11.一次函数大小的比较技巧】 【典例】若点，都在一次函数的图象上，则与大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较大小 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，由可得中随的增大而增大，然后通过性质即可求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴中随的增大而增大， 又∵， ∴， 故选：． 【跟踪专练1】若关于的一次函数的图象经过点和点，当时，，且与轴相交于正半轴，则整数的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 根据已知条件可知y随x的增大而增大，进而得到一次项系数大于零，列出关于m的不等式；再结合函数的图象与y轴相交于正半轴可知常数m大于零，通过解不等式求出m的取值范围，最后求得整数m的值即可． 【详解】解：∵关于x的一次函数的图象经过点和点，， 当时，， ∴函数值y随x的增大而增大， ∴，解得： ， ∵函数的图象与y轴相交于正半轴， ∴， ∴m的取值范围是， ∵m的值为整数， ∴m的值为1． 故答案为：1． 【跟踪专练2】设函数，，，．则（   ）时，？ A． B． C．或 D．无法确定 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的运算及不等式的求解，通过推导与的关系，将不等式转化为，再整理为含b、k的不等式，结合b、k的未知性确定范围无法确定． 【详解】解：， ， 由，得，即，故， 代入的表达式，得，整理为， 因b、k的取值未明确，的符号无法确定，故x的范围无法判断， 故选：D． 【题型12.一次函数的实际应用:行程问题】 【典例】已知甲、乙两车分别从，两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为，甲、乙两车离，两地中点的路程（千米）与甲车出发时间（时）的关系图象如图所示.解答下列问题： （1），两地之间的距离为 千米； （2）的值为 ． 【答案】 180 3.75 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确理解函数图象是解题的关键． （1）设相遇时甲车走了千米，则乙车走了千米，根据交点的意义可得，求解，即可求解，两地之间的距离； （2）先求出甲车3时走的路程，则即可求解甲车的速度，继而求解甲车到达中点时的时间． 【详解】（1）设相遇时甲车走了千米，则乙车走了千米， 因为交点的坐标为， 所以出发3时，两车相遇，此时乙车超过中点18千米，甲车还未到中点，距离中点18千米， 所以， 解得， 所以， 所以，两地之间的距离为180千米， 故答案为：； （2）因为甲车3小时走了72（千米）， 所以甲车的速度为（千米/时）， 所以甲车到达中点时的时间：（时），即的值为3.75． 故答案为：． 【跟踪专练1】、两地相距千米，慢车从地到地，快车从地到地，慢车的速度为千米/小时，快车的速度为千米/小时，两车同时出发．设两车的行驶时间为（小时），两车之间的路程为（千米）．则能大致表示与之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意，确定分段函数的解析式，并根据函数解析式确定函数图象是解题关键．分别求出慢车到达地、快车到达地、两车相遇时间，然后分、、三段求出函数关系式，再结合函数图象即可求解． 【详解】解：根据题意得：慢车从地到地所用时间为（小时）， 快车从地到地所用时间为（小时）， 两车同时出发，相遇时慢车所用时间为（小时）． 当时，﹔ 当时，； 当时，快车已到地，； 故选：C． 【跟踪专练2】甲、乙两只气球分别从不同高度同时匀速上升60min，气球所在位置距离地面的高度与气球上升的时间之间的关系如图所示．给出下列说法：①甲气球上升过程中，与之间的关系式为；②10min时，甲气球在乙气球下方；③当两只气球高度差为15m时，上升时间为50min；④上升60min时，乙气球距离地面的高度为40m．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查一次函数的实际应用，用到了数形结合的思想，读懂题意，求出两个气球的上升速度是解题的关键． ①利用待定系数法求出解析式即可判断；②观察图象看时甲乙谁的图象在上方即可判断；③分别求出两个气球的上升速度，再列方程解答即可判断；④根据乙气球的上升速度列式计算即可判断． 【详解】解：设甲气球上升过程中与的函数关系为：，观察图象可知，函数图象经过点和点， 则， 解得， 故甲气球上升过程中与的函数关系为：，所以①正确； 观察图象可知，时，甲气球在乙气球的下方，所以②正确； 由甲气球上升过程中与的函数关系为，可知甲气球的上升速度为， 观察图象可知，乙气球用时从上升至， 故乙气球的上升速度为：， 设上升时间为x时，两气球高度差为， 根据题意，, 解得， 故两气球高度差为时，上升时间为，所以③正确； 上升时，乙气球距离地面高度为： ，所以④错误， 综上，错误的结论有：①②③． 故答案为：①②③． 【题型13.一次函数的实际应用:其他综合问题】 【典例】如图为一个弹簧挂上重物后弹簧总长（单位：）关于所挂物体质量（单位：）的函数图象（轴），则该弹簧长度最大为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的实际应用，求出前一段线段的解析式，进而求出点的纵坐标，即可得出结果． 【详解】解：设前一段线段所在直线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， ∴当时，； 故该弹簧长度最大为； 故选：C． 【跟踪专练1】定义：在平面直角坐标系中，点的坐标为，则为点到坐标原点的“折线距离”．若点在直线上，且点到坐标原点的“折线距离”，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了新函数定义、绝对值等知识点，理解“折线距离”的定义是解题的关键． 设点的坐标为，易得，解得：，从而确定点P的坐标． 【详解】解：设点的坐标为， ∵， ∴，即， 解得：， ∴， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 【跟踪专练2】某小汽车的油箱最多可装汽油升，原有号汽油升，现再加升同型号的号汽油，其价格是每升元，求油箱内所有汽油的总价（元）与（升）之间的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式，根据总价等于汽油总升数乘以单价，结合油箱容量限制确定的取值范围即可，根据题意找到所求量的等量关系是解题的关键． 【详解】解：∵原有汽油升，再加升，总升数为升，单价为元升， ∴， ∵油箱最多装升， ∴，即， ∴， ∴函数关系为， 故选：． 【题型14.利用图象法解一元一次方程】 【典例】一次函数的图像如图所示，则关于x的方程的解为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据题意可知一次函数的图像经过点，即当时可有，即可获得答案． 【详解】解：由图像可知，一次函数的图像经过点， ∴关于x的方程的解为． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，一次函数的图象经过点，则方程的解是（   ） A．4 B．1 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，由一次函数的图象经过点，可得当时，，从而得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， ∴方程的解是， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象交点坐标与一元一次方程解的关系，掌握一元一次方程的解是对应函数图象交点的横坐标是解题的关键. 由函数图象可知：直线与直线的交点的横坐标为，再根据一次函数图象交点坐标与一元一次方程解的关系求解即可． 【详解】解：∵由函数图象可知：直线与直线的交点的横坐标为， ∴关于的方程的解为． 故答案为：． 【题型15.一次函数与几何图形的综合问题】 【典例】边长为1个单位长度的个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线平分这个正方形所组成的图形的面积，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 过点作轴于点，则，结合直线平分这8个正方形所组成的图形的面积，可得，从而得到点的坐标为，代入中即可求解． 【详解】解：过点作轴于点，则， ∵直线平分这8个正方形所组成的图形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 把代入得： 解得：． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，下列结论正确的是（   ） A．随的增大而增大 B．当时， C．的面积是4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据一次函数图象上点的坐标特征逐项分析判断即可． 【详解】解：A、一次函数中，即y随x的增大而减小，故原说法错误，不符合题意； B、当时，，即一次函数与x轴交点坐标为， 当时，，故原说法错误，不符合题意； C、当时，，即一次函数与y轴交点坐标为，即， 当时，，即一次函数与x轴交点坐标为，即， ，故原说法正确，符合题意； D、一次函数与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， ，， 若，则， 不成立，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】若直线与两坐标轴围成的三角形面积为25，则 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题． 先求直线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形面积公式列方程求解 【详解】解：当时，， 当时，， 故直线与坐标轴的交点为和， 三角形面积， 由题意， 得， 所以， 因此． 故答案为：． 1．下列说法中，正确的个数是（   ） ①实数与数轴上的点一一对应；②若y是x的函数，则当y取一个值时，一定有唯一的x与它对应；③平方根是它本身的数是0和1；④平行于x轴的直线上的点的横坐标相同；⑤在直角三角形中三边关系一定满足；⑥若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴的关系，函数的定义，平方根，平行于x轴的点的特征，直角三角形性质以及二次根式的基本性质，直接利用基础知识点逐一判断即可． 【详解】解：①实数与数轴上的点一一对应；故原说法正确，符合题意； ②根据函数的定义，若y是x的函数，则当x取一个值时，一定有唯一的y与它对应；故原说法错误，不符合题意； ③平方根是它本身的数是0；故原说法错误，不符合题意； ④平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；故原说法错误，不符合题意； ⑤在直角三角形中，当a，b为直角边，c为斜边时，则三边关系一定满足；故原说法错误，不符合题意； ⑥若，则，故；故原说法错误，不符合题意； 故正确的个数有1个； 故选：A． 2．一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地．若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时间为（小时），航行过的路程为（千米），则关于的函数图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用函数的图象解决实际问题．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． 【详解】解：第一段，轮船先从甲地顺水航行到乙地， 是顺水航行， 速度大于静水速度，图象陡一些， 到达乙地后停留一段时间，路程没有变化，图象平行于横轴， 又从乙地逆水航行返回到甲地，路程逐步增加， 是逆水航行， 速度小于静水速度，图象平缓一些， 关于的函数图像大致是D． 故选：D． 3．如图，若直线经过第一、三、四象限，则直线的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据直线经过第一、三、四象限，可知，，可得，所以直线的图象经过一、二、三象限． 【详解】解：直线经过第一、三、四象限， ，， ， 直线的图象经过一、二、三象限． 故选：A． 4．如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数的平移等知识点，灵活运用极值法求解是解题的关键． 先求出平移后的解析式为，分别代入A、B的坐标，求得对应的c的值， 根据函数图象即可解答． 【详解】解：把直线向上平移c个单位长度后得到， 若直线过，则，解得：， 若直线过，则，解得， ∴将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则． 故答案为：． 5．方程有三个实数根，则 ． 【答案】/ 【分析】先将方程化为，方程有三个实数根可以看作是函数y＝|1﹣|x+1||和函数y＝kx﹣k的图象有三个交点，画图分析即可求解． 本题将方程的解转化为函数图象的交点来做，涉及到绝对值的化简，画出分段函数的图象，最后利用函数图象的交点分析即可解决． 【详解】解：将方程化为， ∴方程有三个实数根可以看作是函数和函数的图象有三个交点， ∵化简绝对值可得函数，且函数的图象过定点， ∴函数图象如下： 由图可知，只有当过点时，才有三个交点， ∴， ∴． 故答案为：． 6．一次函数，（m，n为常数，且）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数和正比例函数图象的综合判断，根据每个选项中图象所过象限，判断出的符号，即可得出结果． 【详解】解：A、一次函数过一，二，四象限，则，故，而正比例函数过二，四象限，则，符合题意； B、一次函数过一，二，四象限，则，故，而正比例函数过一，三象限，则，不符合题意； C、一次函数过一，二，三象限，则，故，而正比例函数过二，四象限，则，故不符合题意； D、一次函数过一，三，四象限，则，故，而正比例函数过一，三象限，则，不符合题意； 故选A． 7．一次函数与在同一坐标系中大致的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，求出两个一次函数图象的交点，据此进行判断即可． 【详解】解：由得， ， ∵两直线不重合， ∴， ∴， ∴两条直线交点的横坐标为， 显然只有C选项符合题意． 故选：C． 8．如图，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据函数图象经过的象限以及与轴的交点位置判断的正负，再结合函数过特定点得到与的关系，进而分析各选项． 【详解】由一次函数的图象可得：，， 由一次函数的图象可得：，， ，选项A错误，不符合题意； 函数的图象比函数的图象更陡， ， ，选项B正确，符合题意； ，， ，选项C错误，不符合题意； ，， ，选项D错误，不符合题意； 故选：B． 9．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与坐标变换的规律，通过推导点坐标总结出横纵坐标的符号、绝对值变化规律是解题关键．根据直线和的解析式，依次确定各点坐标，发现每次变换后横、纵坐标的绝对值会乘以，同时符号按周期循环变化，进而推出的坐标． 【详解】根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点、、、、、、、、、等的坐标． 解：当时，， 点的坐标为； 当时，， ∴点的坐标为； 同理可得：，，，，，，，． 故答案为：． 10．如图①，在中，D为的中点，动点P从点D出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示，则（1） ；（2）m的值为 ． 【答案】 6 4 【分析】此题考查的是根据函数图象解决问题，掌握图象和图形的对应关系、垂线段最短和勾股定理是解决此题的关键．根据图象和图形的对应关系即可求出的长，从而求出，然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出时，根据勾股定理即可求出，即可解答． 【详解】解：∵动点从点出发，线段的长度为，运动时间为，根据图象可知，当时， ∴， ∵点为边中点， ∴， 由图象可知，当运动时间时，y最小，即最小， ∴根据垂线段最短，此时， 如图所示，此时点P运动的路程， ∴， ∴在中，， 即． 故答案为：6，4． 11．如图，已知点的坐标为，点、分别是某函数图象与轴、轴的交点，点是此图象上的一动点，设点的横坐标为，的长为，且与之间满足关系：．则下列结论：①；②；③；④当时，点的纵坐标为，正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象获取信息，理解函数图象，找到图象上点的横、纵坐标的关系时关键． 如图所示，过点作轴于点，设，由勾股定理得到，结合图形分别代入计算验证即可求解． 【详解】解：的长为，且与之间满足关系：， 如图所示，过点作轴于点，设， ∴， 在中，， ∴， ∴， 当时，即点重合时，， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴，故①正确； 当时，即点重合时，， ∴（负值舍去）， ∴， ∴，故②错误； ∴，故③正确； 当时，， ∴， ∴，即当时，点的纵坐标为，故④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故选：C ． 12．在平面直角坐标系中，直线：与坐标轴交于点、两点，点为线段外一动点，且，以为直角边作等腰直角三角形，其中．连接，求线段长的最大值 ，此时点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理与等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，先求得，，根据勾股定理求得的长，以为直角边作等腰直角三角形，连接，证明得出，，当在上时取得等于号，得出线段长的最大值为；进而证明，过点作轴于点，则是等腰直角三角形，可得，进而求得点，，即可求解． 【详解】解：∵直线：与坐标轴交于点、两点， 当时，，即， 当时，，即， ∴，是等腰直角三角形， ∴， 如图，以为直角边作等腰直角三角形，连接， ∴，， ∵等腰直角三角形，， ∴， ∴即， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，当在上时取得等于号， 此时，即线段长的最大值为； ∵等腰直角三角形，在上， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴ 如图所示，过点作轴于点， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴， ∴． 故答案为：；． 13．如图，，，，，都是等腰直角三角，点，，，均在轴正半轴上，直角顶点，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，，依据图形所反映的规律， ． 【答案】 【分析】分别过点，，作轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答案． 【详解】解：如图，分别过点，，作轴的垂线段，垂足分别为点、、， ∵，且是等腰直角三角形， ∴， 设，， ∴， ∴， 将点的坐标代入，得：， 解得：， ∴，， 同理求得，， ∴， ， ， …… ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查规律型，点的坐标，一次函数图象上的点的坐标特征，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题． 14．阅读下面材料，再回答问题． 一般地，如果函数对于自变量取值范围内的任意，都有，那么就叫偶函数．如果函数对于自变量取值范围内的任意，都有，那么就叫奇函数． 例如： 当取任意实数时， 是偶函数． 又如：． 当取任意实数时， 是奇函数． (1)下列函数中：①；②；③；④；⑤ 是奇函数的有________；是偶函数的有________．（填序号） (2)仿照例证明：函数④或⑤是奇函数还是偶函数（选择其中之一）． 【答案】(1)奇函数，②④；偶函数，①⑤ (2)证明见解析 【分析】本题考查了奇函数与偶函数的定义，熟练掌握新定义，互为相反数的乘方运算，是解题的关键． （1）根据题目信息，求出的表达式，如果，则是偶函数，如果，则是奇函数； （2）同（1）的思路进行计算即可证明． 【详解】（1）解：①， ∴①是偶函数； ②， ∴②是奇函数； ③， ∴③既不是奇函数，也不是偶函数； ④， ∴④是奇函数； ⑤， ∴⑤是偶函数， 故答案为：奇函数有②④；偶函数有①⑤； （2）证明：④∵当时，， ∴是奇函数， ⑤∵， ∴是偶函数． 15.如图，直线与轴、轴分别交于点，． (1)求的值； (2)若点是直线上一点，且的面积为2，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入计算，求出的值即可； （2）先求出点的坐标，再结合的面积为2，求出点坐标即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得 （2）由（1）知，直线的函数表达式为 将代入，得，所以点的坐标为， 设点的坐标为 的面积为2， ，解得， ①将代入，得， 所以点的坐标为； ②将代入，得， 所以点的坐标为， 综上，点的坐标为或． 16．如图，三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于轴成轴对称的，三个顶点坐标分别为 ， ， (2)点在轴上，且，点的坐标为 (3)在轴上求一点，使的值最小，请直接写出点的坐标是 ． 【答案】(1)见解析， (2)或 (3) 【分析】本题考查轴对称最短路线问题、三角形的面积、一次函数等知识，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）作出、、关于轴的对称点、、即可得到坐标； （2）存在．设，分两种情况进行讨论当点在直线的下方时或当点在直线的上方时，利用作为等量关系构建方程即可解决问题； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的值最小，求出直线解析式，然后求其与轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示； 故答案为：，，； （2）解：存在，设， ①如图，当点在直线的上方时， ， ， 解得， ； ②如图，当点在直线的下方时， ， ， 解得， ． 综上所述，点的坐标为或． （3）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的值最小，此时点的坐标是， 设解析式为，代入，， ， 解得， ∴解析式为， 令得，， 解得， ∴． 故答案为：． 17．如图1，在长方形中，，为边中点．动点从点开始，以的速度沿路线运动，到点停止．图2是点出发秒后，的面积随时间变化的图象．根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)______； (2)当点在上运动时，求的面积为时的值； (3)如图3，当点从点出发时，动点同时以的速度从点出发，沿边运动，当点运动到点时，、两点停止运动．当为何值时，与全等，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，全等三角形的性质，三角形的面积公式． （1）根据图1和图2，结合点P运动时，面积的变化情况，进行解答即可； （2）根据，点P在上运动，的面积为，求出，得出，最后求出结果即可； （3）分和根据全等三角形的性质得出线段相等，进而建立方程组，解方程组，即可求解； 【详解】（1）解：∵，E为边中点， ∴， 根据图2可知，当点P运动时，的面积达到最大值，根据图1可知，当点P从点B开始运动，到达点C时，的面积达到最大值， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，点P在上运动，的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴当与全等时，有两种情况， ①时，， ∴， 解得：； ②时，， ∴， 解得：； 综上分析可知：当或时，与全等． 18．对于函数（m为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． (1)当时，函数为；当时，函数为．用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示．观察函数图象可知：函数的图象关于_______对称；对于函数，当_______时， ； (2)当时，函数为． ①在图中画出函数的图象； ②对于函数．，当时，y的取值范围是_______； (3)结合函数和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质．若点和都在函数的图象上，且，直接写出t的取值范围（用含m的式子表示）． 【答案】(1)y轴，或 (2)①见解析；② (3) 【分析】（1）根据时，，时，，得到函数的图象关于y轴对称； 根据函数中，，得到，或； （2）①在中，取作射线，即得函数的图象；②根据函数图象关于直线对称，点对称，在范围内，； （3）根据函数的图象的对称轴为直线，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大；点和都在函数的图象上，且，得到当时，；当时，关于直线的对称点为，得到，得到，即得， 【详解】（1）∵中，当时，，当时，， ∴函数的图象关于y轴对称； ∵函数中，， ∴， ∴， 解得，，或， ∴当，或时，； 故答案为：y轴，或； （2）①在中，令，则，令，则，令，则， 过作射线，即得函数的图象； ②由函数图象看出，函数图象关于直线对称，点对称，顶点是， ∴当时，； 故答案为： ； （3）由图象看出， 函数的图象的对称轴为直线（y轴）， 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大； 函数的图象的对称轴为直线， 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大； 函数的图象的对称轴为直线， 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大； ∴函数的图象的对称轴为直线， 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大； ∵点和都在函数的图象上，且， ∴当时， ； 当时， ∵关于直线的对称点为， ∴， ∴． 综上，． 故t的取值范围是：． 【点睛】本题主要考查了分段函数．熟练掌握绝对值性质，两点法画一次函数图象，一次函数的图象和性质，函数的对称性，函数的增减性，函数与方程，函数与不等式，是解决问题在关键． 19．第十五届全运会将于年在粤港澳三地联合举办，口号为“激情全运会，活力大湾区（，）”全运会吉祥物是名为“喜洋洋”和“乐融融”的中华白海豚，寓意“喜气洋洋、其乐融融、团圆和美”．全运会特许商品零售店预售吉祥物“乐融融”，该吉祥物每个进价为元，规定售价不低于进价，现在售价为每个元，每天可销售个．经市场调查发现，若售价每降价元，则每天销售量将增加个，设每个吉祥物降价元（为整数），每天销售量为y个． (1)写出关于的函数表达式，并写出的取值范围； (2)设每天销售吉祥物“乐融融”的利润为元，零售店如何定价，才能使得每天销售吉祥物“乐融融”的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)，且为整数； (2)当定价为56元时，才能使得每天销售吉祥物“乐融融”的利润最大，最大利润为2112元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用、二次函数的最值问题，熟练掌握根据实际问题列函数表达式并利用函数性质求解是解题的关键． （1）解题思路：根据“销售量原销售量降价增加的数量”列出函数表达式，结合“定价不低于进价”确定的范围； （2）根据“利润=（售价进价降价）销售量”列出利润函数，结合二次函数性质求最大值． 【详解】（1）解：由题意可得， ∵ 定价不低于进价，即， ∴ ， 又∵ 为非负整数， ∴ 且为整数； （2）解：； ， ∵，且x为整数， ∴当时，最大值为2112，此时定价为． ∴当定价为56元时，才能使得每天销售吉祥物“乐融融”的利润最大，最大利润为2112元 20．甲、乙两人从A，B两地同时出发，甲前往B地，乙前往A地，途经休息区时甲休息1小时后加速行驶，而乙没有休息继续原速行驶，结果甲比乙早到达目的地0.5小时，甲、乙两人离各自出发地的路程y（千米）与乙出发的时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)求甲休息前的速度和乙的速度； (2)求加速后甲离出发地的路程y与乙出发的时间x之间的函数关系式； (3)请直接写出乙出发多少小时两人相距30千米． 【答案】(1)甲休息前的速度为75千米/时，乙的速度为60千米/时 (2) (3)乙车出发2小时或3小时，相距30千米 【分析】本题考查函数图象，一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，是解题的关键． （1）根据甲车出发2小时，甲车的路程为150千米，乙车出发2.5小时，乙车的路程为150千米，利用路程除以时间，即可得解； （2）先求出C、E的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （3）设乙车出发x小时后两车相距30千米，由两车相向而行，故分相遇之前和相遇之后，两种情况讨论求解． 【详解】（1）解：根据题意，得：甲休息前的速度为千米/时；乙的速度为千米/时； （2）解：乙车从B地到A地所用的时间为小时， ∵甲比乙早到达目的地0.5小时， ∴， 又， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴； （3）解：两车相遇前， 根据题意，得， 解得； 两车相遇后， 根据题意，得， 解得， 答：乙车出发2小时或3小时，相距30千米 21．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题： 【初步感知】 ________ ________ （1）补全表格中横线部分的数据，并在图所给的坐标系中画出函数的图像； 【探究性质】 （2）观察函数的图像，判断下列关于该函数性质的命题： 当时，的值随的值增大而减小；当时，；该函数存在最小值，最小值为；该函数图像是轴对称图形． 其中正确的是___________．（请写出所有正确命题的序号） （3）当时，求的取值范围； 【类比应用】 （4）一次函数（为常数，）的图像过点，若关于，的方程组无解，则的取值范围是___________； 在平面内构造，其中点，，，当函数的图像与的边有个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】（）填表，画函数图像见解析；（）；（）的取值范围为；（）或；的取值范围为或． 【分析】本题考查了求一次函数的函数值和自变量的值，画一次函数图像，一次函数的性质，一次函数与几何图形综合等，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （）当时，，当时，，然后填表，再根据画函数图像步骤画出图像即可； （）根据函数图像即可求解； （）当时，有最小值：，当时，有最大值，从而求出的取值范围； （）由一次函数（为常数，）的图像过点，则，又关于，的方程组无解，即一次函数与图像无交点，然后分当过图像过点有无数个交点，即与重合，此时， 联立，解得，即当时，关于，的方程组无解；当图像与平行时，一次函数与图像无交点，此时，即当时，关于，的方程组无解； 先求出解析式为，解析式为，解析式为，解析式为，然后找出临界点即可求出的取值范围． 【详解】解：（）当时，，当时，， ∴如表， 描点， 连线， 如图， （）根据图像可得当时，的值随的值增大而减小，原说法正确； 当时，，解得或，原说法错误； 该函数存在最大值，最大值为，原说法错误； 该函数图像是轴对称图形，原说法正确； 故选：； （）∵， ∴当时，有最小值：，当时，有最大值， ∴当时，的取值范围为； （）由一次函数（为常数，）的图像过点， ∴， ∵关于，的方程组无解， ∴一次函数与图像无交点， ∴如图，当过图像过点有无数个交点，即与重合，此时， 联立，解得：， ∴当时，一次函数与图像无交点，即关于，的方程组无解， 如图，当图像与平行时，一次函数与图像无交点， ∴此时， ∴当时，一次函数与图像无交点，即关于，的方程组无解， 综上可得：关于，的方程组无解，则的取值范围是或， 故答案为：或； 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 同理解析式为， 如图，当在上时，此时函数的图像与的边有个公共点，则， 如图，当在上时，此时函数的图像与的边有个公共点，则， 由函数当时，，即解析式为， 时，，即解析式为， 如图，当经过点时，即图像经过点，此时函数的图像与的边有个公共点， ∴，解得：； 如图，当经过点时，即图像经过点，此时函数的图像与的边有个公共点， ∴，解得：， ∴综上可得：的取值范围为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05一次函数期末复习冲刺必备讲义 1.理解一次函数的概念，能识别一次函数和正比例函数。 2.掌握一次函数的图像和性质，并能运用其解决问题。 3.熟练运用待定系数法确定一次函数的解析式。 4.能综合运用一次函数解决实际问题，感受函数的模型思想。 核心知识点梳理 1.变量与函数 2.一次函数与正比例函数 3.待定系数法法求一次函数 4.一次函数的应用 5.解题技巧与易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.函数解析式的确定方法 2.从函数图形提取关键信息 3.正比例函数的定义与判定 4.根据一次函数的定义求未知参数 5.一次函数的自变量与函数值的互求 6.由一次函数的解析式判断图象经过的象限 7.一次函数图象与坐标轴交点的求解 8.一次函数图象的平移规律与应用 9.一次函数增减性的判断方法 10.根据一次函数的增减性确定参数范围 11.一次函数值的大小比较技巧 12.一次函数的实际应用:行程问题 13.一次函数的实际应用:其他综合问题 14.利用图象法解一元一次方程 15.一次函数与几何图形的综合问题 期末备考 压轴通关 压轴题(21题) 【知识点01.函数】 一.变量与常量 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量。 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量。 举例：圆的周长公 C=2πr中，C和r是变量，2和π是常量。 二.函数的定义 定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 核心要素： 1.有两个变量。 2.一个变量的值确定后，另一个变量的值有唯一确定的值与之对应。 三.函数的表示方法 表示方法 优点 缺点 解析式法 准确、全面地反映函数关系，便于进行理论分析和计算 不直观，求函数值时需要计算 列表法 直观、具体，能直接看出部分自变量与函数值的对应关系 只能表示有限个或部分对应关系 图象法 直观、形象，能清晰地反映函数的变化趋势 图象上的点的坐标只能近似地表示函数值 四.函数的取值范围（定义域） 定义：使函数有意义的自变量的取值的全体。 确定方法： 1.整式函数：自变量可取全体实数。 2.分式函数：分母不能为零。 3.二次根式函数：被开方数必须大于或等于零。 4.实际问题：要使实际问题有意义。 【知识点02.一次函数与正比例函数】 一.一次函数的定义 定义：若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数。 特殊形式：当b=.0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫做正比例函数。 二.一次函数的图象 图象形状：一次函数 y=kx+b 的图象是一条直线。 作图方法：通常选取两点，即直线与坐标轴的交点： 1.与 y 轴的交点：令x=0，得y=b，交点为(0,b)。 2.与 x 轴的交点：令y=0，得x=−，交点为(−,0)。 3.正比例函数的图象：正比例函数y=kx的图象是一条经过原点(0,0)的直线。 三.一次函数的性质 函数形式 性质 y=kx+b(k>0) 图象经过一、三象限（当b>0时经过一、二、三象限；当b<0时经过一、三、四象限）；y随x的增大而增大。 y=kx+b(k<0) 图象经过二、四象限（当b>0时经过一、二、四象限；当b<0时经过二、三、四象限）；y随x的增大而减小。 y=kx+b(b>0) 图象与y轴交于正半轴。 y=kx+b(b<0) 图象与y轴交于负半轴。 y=kx+b(b=0) 图象经过原点，是正比例函数。 【知识点03.待定系数法求一次函数】 定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法。 步骤： 1.设：设一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0）。 2.代：将已知点的坐标代入解析式，得到关于k，b的二元一次方程组。 3.解：解这个二元一次方程组，求出k，b的值。 4.写：将求出的k，b的值代入所设的解析式，写出函数解析式。 【知识点04.一次函数的应用】 一.解题基本步骤（六步走） 1.审：读懂题意，明确已知量、未知量及数量关系。 2.设：设自变量为x，因变量为y。 3.列：根据等量关系，列出解析式y=kx+b（k≠0）。 4.解：用函数性质或图象，求解问题。 5.验：检验结果是否正确且符合实际情况。 6.答：写出完整答案（含单位）。 2、 常见应用类型（核心） 1. 行程问题 核心公式：路程=速度×时间（s=vt）；速度恒定为常量，s与t成正比例函数。 速度v恒定，路程s与时间t的关系：s=vt（正比例函数）。 2.工程问题 核心公式：工作量=效率×时间（W=pt）；效率恒定为常量，W与t成正比例函数。 效率p恒定，工作量W与时间t的关系：W=pt（正比例函数）。 3.销售问题 核心公式：销售额=单价×销售量（R=pn）；单价恒定为常量，R与n成正比例函数。 单价p恒定，销售额R与销售量n的关系：R=pn（正比例函数）。 4.几何问题 核心关系：如长方形周长固定（C=20），则长y=10-x（x为宽），y与x成一次函数。 一个几何量固定（如周长），另两个量成一次函数关系（如长y与宽x）。 核心逻辑：列各方案解析式（如费用y₁=k₁x+b₁、y₂=k₂x+b₂），求交点找临界值，分情况选最优。 (1)列两种/多种方案的函数解析式； (2)求解析式交点（费用/效果相等时的临界值）；3. (3)分情况讨论，选择最优方案。 【知识点05.解题技巧与易错点警示】 一.技巧： 数形结合：这是解决函数问题的核心思想。看到函数式，要能想到它的图像；看到图像，要能分析出它的性质和解析式。 巧用特殊点：如与坐标轴的交点、两直线的交点等，往往是解题的突破口。 二.易错点： 1.忽略 k ≠ 0：判断一次函数时，忘记检查 x 的系数是否为零。 2.混淆 k 和 b 的作用：特别是在判断图像经过的象限时，容易出错。 3,待定系数法步骤混乱：忘记 “设、代、求、写” 的完整流程。 4.忽略实际问题中自变量的取值范围：导致函数图像画成整条直线，而不是线段或射线。 【题型1.函数解析式的确定方法】 【典例】一只机器狗以的平均速度在路面上行走，则它所走的路程与所用的时间之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加．根据小球速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系，第时小球的速度为 ． 【跟踪专练2】如图，一个长方形菜园，其中一边为足够长的墙，另外三边用一根长的篱笆围成（接口处忽略不计）．设边的长为，边的长为，则与的关系式为（   ） A． B． C． D． 【题型2.从函数图象提取关键信息】 【典例】A，B两地相距4000米，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．，分别表示甲、乙两人离开A地的距离（米）与时间（分钟）之间的关系，下列结论： ①乙先出发10分钟，甲才出发； ②甲的速度是100米/分钟； ③乙出发时，甲在乙前面1000米； ④甲、乙相遇时，他们离开A地3200米． 正确的是 ．（填写序号） 【跟踪专练1】如图①，在中，是边上的一个动点，若，则关于的函数图象如图②所示．下列结论正确的是（   ） A．边的长是8 B．随的增大而增大 C．边上的高是7.2 D．边的长是15 【跟踪专练2】如图①，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图②是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【题型3.正比例函数的定义与判定】 【典例】下列选项中，y是关于x的正比例函数的为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列说法正确的是 （填序号） ①正比例函数一定是一次函数；②一次函数一定是正比例函数；③若与成正比例，则是的一次函数；④若，则是的一次函数． 【跟踪专练2】如果是正比例函数，那么的值是（    ） A．1 B． C．0 D． 【题型4.根据一次函数的定义求未知参数】 【典例】.是关于的一次函数，则 ． 【跟踪专练1】已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【跟踪专练2】已知 是关于x的一次函数，则 ，当时， y的取值范围是 ． 【题型5.一次函数中自变量与函数值的互求】 【典例】下列各点在一次函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，点P是上一点，设的长为，的面积为S． （1）S与x之间的函数表达式为 ． （2）当的面积为18时，则的长为 ． 【跟踪专练2】已知点，都在函数的图象上，下列对于，的关系判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型6.由一次函数解析式判断图象经过的象限】 【典例】现有四张完全相同的卡片，卡片上分别写有，0，2，3，从这四张卡片中随机抽取两张，得到的数字分别记为，则使得一次函数的图像只经过第一、三象限的概率是 ． 【跟踪专练1】已知两个一次函数与，它们在同一平面直角坐标系中的图象可能是下列选项中的（    ） A． B． .C． D． 【跟踪专练2】已知点在直线上，当时，，则在平面直角坐标系内，它的图象不经过第 象限 【题型7.一次函数图象与坐标轴交点的求解】 【典例】对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．函数的图象不经过第二象限 B．函数的图象与轴的交点坐标是 C．函数的图象向下平移4个单位长度后得到的图象 D．若两点，在该函数图象上，则 【跟踪专练1】如图，函数 的图象分别与x轴，y轴交于点 A，B，的平分线与轴交于点，则点 的坐标为 ． 【跟踪专练2】以下关于直线说法正确的是（　　） A．与轴相交于点 B．与直线：平行 C．将直线向上平移2个单位长度得到直线 D．直线上有三个点，则 【题型8.一次函数图象平移的规律与应用】 【典例】将直线向上平移5个单位长度，得到直线，则 ． 【跟踪专练1】关于函数，下列说法正确的是（） A．经过第一、二、四象限 B．若函数图象经过点，，则 C．由的图象向下平移个单位得到 D．与轴的交点的坐标为 【跟踪专练2】将一次函数（b是常数且）的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位后，该一次函数图象经过原点，则 ． 【题型9.一次函数增减性的判断方法】 【典例】对于函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象必经过点 B．它的图象经过第一、二、三象限 C．当时， D．的值随值的增大而增大 【跟踪专练1】已知点在直线为常数）上，则 （填“”“ ”或“=”）． 【跟踪专练2】一次函数与（，）的图象如图所示，则下列结论：①对于函数来说，y随x的增大而减小；②；③函数的图象不经过第一象限；④；⑤x的值每增加1，的值增加．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①③④⑤ C．②③④⑤ D．①②③⑤ 【题型10.根据一次函数的增减性确定参数范围】 【典例】若关于的函数是一次函数，且随的增大而增大，则的取值范围为 ． 【跟踪专练1】已知点和点在一次函数的图象上，且，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知函数（为常数），当时，的最大值为，则的值为 ． 【题型11.一次函数大小的比较技巧】 【典例】若点，都在一次函数的图象上，则与大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较大小 【跟踪专练1】若关于的一次函数的图象经过点和点，当时，，且与轴相交于正半轴，则整数的值为 ． 【跟踪专练2】设函数，，，．则（   ）时，？ A． B． C．或 D．无法确定 【题型12.一次函数的实际应用:行程问题】 【典例】已知甲、乙两车分别从，两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为，甲、乙两车离，两地中点的路程（千米）与甲车出发时间（时）的关系图象如图所示.解答下列问题： （1），两地之间的距离为 千米； （2）的值为 ． 【跟踪专练1】、两地相距千米，慢车从地到地，快车从地到地，慢车的速度为千米/小时，快车的速度为千米/小时，两车同时出发．设两车的行驶时间为（小时），两车之间的路程为（千米）．则能大致表示与之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】甲、乙两只气球分别从不同高度同时匀速上升60min，气球所在位置距离地面的高度与气球上升的时间之间的关系如图所示．给出下列说法：①甲气球上升过程中，与之间的关系式为；②10min时，甲气球在乙气球下方；③当两只气球高度差为15m时，上升时间为50min；④上升60min时，乙气球距离地面的高度为40m．其中正确的有 ．（填序号） 【题型13.一次函数的实际应用:其他综合问题】 【典例】如图为一个弹簧挂上重物后弹簧总长（单位：）关于所挂物体质量（单位：）的函数图象（轴），则该弹簧长度最大为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】定义：在平面直角坐标系中，点的坐标为，则为点到坐标原点的“折线距离”．若点在直线上，且点到坐标原点的“折线距离”，则点的坐标为 ． 【跟踪专练2】某小汽车的油箱最多可装汽油升，原有号汽油升，现再加升同型号的号汽油，其价格是每升元，求油箱内所有汽油的总价（元）与（升）之间的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【题型14.利用图象法解一元一次方程】 【典例】一次函数的图像如图所示，则关于x的方程的解为 ． 【跟踪专练1】如图，一次函数的图象经过点，则方程的解是（   ） A．4 B．1 C．3 D．2 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于的方程的解为 ． 【题型15.一次函数与几何图形的综合问题】 【典例】边长为1个单位长度的个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线平分这个正方形所组成的图形的面积，则的值为 ． 【跟踪专练1】如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，下列结论正确的是（   ） A．随的增大而增大 B．当时， C．的面积是4 D． 【跟踪专练2】若直线与两坐标轴围成的三角形面积为25，则 1．下列说法中，正确的个数是（   ） ①实数与数轴上的点一一对应；②若y是x的函数，则当y取一个值时，一定有唯一的x与它对应；③平方根是它本身的数是0和1；④平行于x轴的直线上的点的横坐标相同；⑤在直角三角形中三边关系一定满足；⑥若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地．若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时间为（小时），航行过的路程为（千米），则关于的函数图像大致是（    ） A． B． C． D． 3．如图，若直线经过第一、三、四象限，则直线的图象可能是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则c的取值范围是 ． 5．方程有三个实数根，则 ． 6．一次函数，（m，n为常数，且）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ）． A． B． C． D． 7．一次函数与在同一坐标系中大致的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．如图，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为 ． 10．如图①，在中，D为的中点，动点P从点D出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示，则（1） ；（2）m的值为 ． 11．如图，已知点的坐标为，点、分别是某函数图象与轴、轴的交点，点是此图象上的一动点，设点的横坐标为，的长为，且与之间满足关系：．则下列结论：①；②；③；④当时，点的纵坐标为，正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 12．在平面直角坐标系中，直线：与坐标轴交于点、两点，点为线段外一动点，且，以为直角边作等腰直角三角形，其中．连接，求线段长的最大值 ，此时点的坐标为 ． 13．如图，，，，，都是等腰直角三角，点，，，均在轴正半轴上，直角顶点，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，，依据图形所反映的规律， ． 14．阅读下面材料，再回答问题． 一般地，如果函数对于自变量取值范围内的任意，都有，那么就叫偶函数．如果函数对于自变量取值范围内的任意，都有，那么就叫奇函数． 例如： 当取任意实数时， 是偶函数． 又如：． 当取任意实数时， 是奇函数． (1)下列函数中：①；②；③；④；⑤ 是奇函数的有________；是偶函数的有________．（填序号） (2)仿照例证明：函数④或⑤是奇函数还是偶函数（选择其中之一）． 15.如图，直线与轴、轴分别交于点，． (1)求的值； (2)若点是直线上一点，且的面积为2，求点的坐标． 16．如图，三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于轴成轴对称的，三个顶点坐标分别为 ， ， (2)点在轴上，且，点的坐标为 (3)在轴上求一点，使的值最小，请直接写出点的坐标是 ． 17．如图1，在长方形中，，为边中点．动点从点开始，以的速度沿路线运动，到点停止．图2是点出发秒后，的面积随时间变化的图象．根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)______； (2)当点在上运动时，求的面积为时的值； (3)如图3，当点从点出发时，动点同时以的速度从点出发，沿边运动，当点运动到点时，、两点停止运动．当为何值时，与全等，请直接写出的值． 18．对于函数（m为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． (1)当时，函数为；当时，函数为．用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示．观察函数图象可知：函数的图象关于_______对称；对于函数，当_______时， ； (2)当时，函数为． ①在图中画出函数的图象； ②对于函数．，当时，y的取值范围是_______； (3)结合函数和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质．若点和都在函数的图象上，且，直接写出t的取值范围（用含m的式子表示）． 19．第十五届全运会将于年在粤港澳三地联合举办，口号为“激情全运会，活力大湾区（，）”全运会吉祥物是名为“喜洋洋”和“乐融融”的中华白海豚，寓意“喜气洋洋、其乐融融、团圆和美”．全运会特许商品零售店预售吉祥物“乐融融”，该吉祥物每个进价为元，规定售价不低于进价，现在售价为每个元，每天可销售个．经市场调查发现，若售价每降价元，则每天销售量将增加个，设每个吉祥物降价元（为整数），每天销售量为y个． (1)写出关于的函数表达式，并写出的取值范围； (2)设每天销售吉祥物“乐融融”的利润为元，零售店如何定价，才能使得每天销售吉祥物“乐融融”的利润最大？最大利润是多少元？ 20．甲、乙两人从A，B两地同时出发，甲前往B地，乙前往A地，途经休息区时甲休息1小时后加速行驶，而乙没有休息继续原速行驶，结果甲比乙早到达目的地0.5小时，甲、乙两人离各自出发地的路程y（千米）与乙出发的时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)求甲休息前的速度和乙的速度； (2)求加速后甲离出发地的路程y与乙出发的时间x之间的函数关系式； (3)请直接写出乙出发多少小时两人相距30千米． 21．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题： 【初步感知】 ________ ________ （1）补全表格中横线部分的数据，并在图所给的坐标系中画出函数的图像； 【探究性质】 （2）观察函数的图像，判断下列关于该函数性质的命题： 当时，的值随的值增大而减小；当时，；该函数存在最小值，最小值为；该函数图像是轴对称图形． 其中正确的是___________．（请写出所有正确命题的序号） （3）当时，求的取值范围； 【类比应用】 （4）一次函数（为常数，）的图像过点，若关于，的方程组无解，则的取值范围是___________； 在平面内构造，其中点，，，当函数的图像与的边有个公共点时，请直接写出的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $