精品解析：广西壮族自治区崇左市 扶绥县山圩镇初级中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025学年九年级数学上册能力提升检测试卷 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，请考生用2B铅笔在答题卡选定的答案标号涂黑）． 1. 已知抛物线，下列说法错误是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 抛物线的开口大小与相同 2. 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的函数是二次函数，则m的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0 4. 将抛物线向右平移1个单位长度，在向上平移2个单位长度后，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点．若，则的长为（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 15 6. 如果，那么下列比例式中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线开口向上，点，是抛物线上两点，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法比较 8. 若点、、在反比例函数图象上，则下列结论中的正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处，此时灯塔P位于海轮的什么位置？（ ） A. 北偏西方向，距离海轮40海里处 B. 南偏东方向，距离海轮40海里处 C. 北偏西方向，距离海轮海里处 D. 南偏东方向，距离海轮海里处 11. 如图，四边形与四边形位似，点O是它们的位似中心，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 12. 如图，与位似，点O为位似中心，相似比为，若的周长是3，则的周长是（　） A. 15 B. 12 C. 9 D. 6 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）． 13. 抛物线与抛物线的开口方向和开口大小相同，则__． 14. 如图，的边平行于轴，的延长线过原点，且．反比例函数的图象经过点，连接．若的面积是4，______． 15. 若在中，，，，则的度数为_______． 16. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 如图，在方格纸中，点A，B，C都在格点上（△ABC称为格点三角形，即格点△ABC），用无刻度直尺作图． （1）在图1中的线段AC上找一个点D，使； （2）图2中作一个格点△CEF，使△CEF与△ABC相似． 18. 在中，，，，求的周长和面积． 19. 如图，甲、乙两座建筑物间的距离为，甲建筑物的高为，在甲建筑物的顶端A处测得乙建筑物的顶端C的仰角为，求乙建筑物的高． 20. 如图，点D在等边的边上，为等边三角形，与交于点F．证明：． 21. 已知，如图，在中，，求证： （1） （2）． 22. 如图，在中，，，点P从点A开始沿边向B点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从A，B同时出发，问经过几秒钟，与相似． 23. 近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4 mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46 mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降．如图，根据题中相关信息回答下列问题： （1）求爆炸前与爆炸后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围； （2）矿工只有在空气中的CO浓度降到4 mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年九年级数学上册能力提升检测试卷 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，请考生用2B铅笔在答题卡选定的答案标号涂黑）． 1. 已知抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 抛物线的开口大小与相同 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象性质，掌握图象的开口，对称轴，顶点坐标等知识是解题的关键． 根据二次函数中，的正负判断图象的开口及开口大小，顶点坐标为，对称轴为，由此即可求解． 【详解】解：已知二次函数， ∴，图象开口向下，故选项正确，不符合题意； 二次函数图象的顶点坐标为，故选项错误，符合题意； 二次函数图象的对称轴为，故选项正确，不符合题意； ∵， ∴二次函数的图象开口大小与二次函数的图象开口大小相同，故选项正确，不符合题意； 故选：． 2. 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图像及性质，二次函数的图像及性质．根据一次函数的图像经过的象限确定，，进而根据二次函数的图像的开口方向及对称轴，即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图像经过第二、三、四象限， ，， ∴二次函数的图像开口向下，， ∴对称轴在y轴左侧，则符合题意的选项为C． 故选：C． 3. 关于x的函数是二次函数，则m的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得：． 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的定义．一般地，我们把形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数． 4. 将抛物线向右平移1个单位长度，在向上平移2个单位长度后，所得的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出抛物线平移后的顶点坐标，然后利用顶点式写出即可． 【详解】解∶ ∵抛物线的顶点坐标为（0，0）， ∴将抛物线向右平移1个单位长度，在向上平移2个单位长度后，所得的抛物线的顶点坐标为（1，2）， ∴平移后所得的抛物线的解析式为． 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定抛物线解析式求解更简便． 5. 图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点．若，则的长为（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似图形，解题的关键是掌握位似图形的位似比是对应边的比．根据位似比的概念解答即可． 【详解】解：图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为， ， ， ， 故选：． 6. 如果，那么下列比例式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质：内项之积等于外项之积．利用比例的性质对各选项进行判断． 详解】解：A、由可得，不合题意； B、由可得，不合题意； C、由可得，符合题意； D、由可得，不合题意； 故选：C． 7. 抛物线的开口向上，点，是抛物线上两点，则，的大小关系是（ ） A B. C. D. 无法比较 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的图像与性质，确定抛物线开口向上，对称轴为，函数可取到最小值，从而抛物线上的点离对称轴越近，则对应的函数值越小，根据点，是抛物线上两点，到对称轴距离为，到对称轴距离为，由于得到到对称轴距离比到对称轴距离近，则． 【详解】解：抛物线的图像与性质，确定抛物线开口向上，对称轴为， 函数可取到最小值， 抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越小， 点，是抛物线上两点，到对称轴距离为，到对称轴距离为，， 到对称轴距离比到对称轴距离近， ， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图像与性质比较函数值大小，掌握利用点到对称轴距离比较大小的方法是解决问题的关键． 8. 若点、、在反比例函数的图象上，则下列结论中的正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象与性质，根据反比例函数的性质，当时 ，当时，因此为正数最大；再比较和，由于反比例函数在时，y随x的增大而减小，因为，故 ． 【详解】解：∵点，，在图象上， ∴，，， ∴， 即． 故选：C． 9. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，懂得从二次函数顶点式中解出顶点坐标是解题的关键． 根据题目中函数的解析式即可直接得出此二次函数的顶点坐标． 详解】， ∴二次函数的图象的顶点坐标为， 故选：A． 10. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处，此时灯塔P位于海轮的什么位置？（ ） A. 北偏西方向，距离海轮40海里处 B. 南偏东方向，距离海轮40海里处 C. 北偏西方向，距离海轮海里处 D. 南偏东方向，距离海轮海里处 【答案】C 【解析】 【分析】过点P作，则在中，通过的直角三角形，计算出的长，再根据等腰直角三角形，通过勾股定理即可求出． 【详解】解：作于C点， ∵A在P的北偏东方向， ∴， ∴， 又∵B在P的南偏东方向上， ∴，灯塔P位于海轮的北偏西方向上， ∴， ∴，，（海里） ∴在中，， ∴（海里） ∵在中，， ∴三角形为等腰直角三角形， ∴（海里）， ∴（海里）． 故选：C． 【点睛】本题考查方位角有关的计算以及用勾股定理求航海问题，解决本题的关键是构建直角三角形进行计算． 11. 如图，四边形与四边形位似，点O是它们的位似中心，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似变换的概念得到，得到，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形与四边形位似， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查的是位似变换，熟记位似图形的对应边互相平行是解题的关键． 12. 如图，与位似，点O为位似中心，相似比为，若的周长是3，则的周长是（　） A. 15 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，，再根据相似三角形的性质可得与的周长比为，即可求解． 【详解】解：与位似， ， 与的相似比为， 与的周长比为， 的周长是3， 的周长为：， 故选：C． 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）． 13. 抛物线与抛物线的开口方向和开口大小相同，则__． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向和开口大小由的值决定是解题的关键． 根据二次函数的性质，开口方向由二次项系数的正负决定，开口大小由二次项系数的绝对值决定．由于两抛物线开口方向和大小相同，故二次项系数相等． 【详解】解：∵抛物线 与抛物线 的开口方向和开口大小相同， ∴． 故答案为 ：2． 14. 如图，的边平行于轴，的延长线过原点，且．反比例函数的图象经过点，连接．若的面积是4，______． 【答案】48 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合．延长交轴于点，证明，求得相似比为，利用相似比求得的面积，利用等高的两个三角形求得的面积，再利用比例系数的几何意义求解即可． 【详解】解：延长交轴于点， ∵平行于轴，， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∵的面积是4， ∴的面积是，的面积是， ∴，， 故答案为：48． 15. 若在中，，，，则的度数为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、含直角三角形的性质、勾股定理、平角的定义．做辅助线巧妙构造特殊的直角三角形，并能准确运用“分类讨论”思想是解题关键． 首先，根据题意做垂线构造含角的直角三角形，利用“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”，求出的长；再利用勾股定理求出的长，进而得出是等腰直角三角形；最后，根据“分类讨论”思想分别求出的度数即可． 【详解】如图1，过点作于点． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． ∴． ∴是等腰直角三角形，即； 如图2，过点作于点． 同理可得是等腰直角三角形， ∴． ∴． 综上，的度数为或． 16. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 过点D作交于H，根据平行线分线段成比例定理推出，计算即可． 【详解】解：过点D作交于H， ∴，， ∵D是的中点，，， ∴，， ∴1，4， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 故选：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 如图，在方格纸中，点A，B，C都在格点上（△ABC称为格点三角形，即格点△ABC），用无刻度直尺作图． （1）在图1中的线段AC上找一个点D，使； （2）在图2中作一个格点△CEF，使△CEF与△ABC相似． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据“8字形”相似，可得CD:AD=2:3，从而得出点D的位置； （2）根据∠ACB=90°，AC=2BC，即可画出△CEF． 【小问1详解】 解：如图1所示，点D即为所求， 小问2详解】 如图2所示，△CEF即为所求， 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 18. 在中，，，，求的周长和面积． 【答案】的周长为60，面积为150 【解析】 【分析】由先求解 再利用勾股定理求解 从而可得三角形的周长与面积. 【详解】解：如图，，，， 解得： 经检验：符合题意； 【点睛】本题考查的是锐角的正弦的含义，利用锐角的正弦求解三角形的边长，勾股定理的应用，掌握锐角的正弦的含义是解题的关键. 19. 如图，甲、乙两座建筑物间的距离为，甲建筑物的高为，在甲建筑物的顶端A处测得乙建筑物的顶端C的仰角为，求乙建筑物的高． 【答案】乙建筑物的高为 【解析】 【分析】由题意得四边形是矩形，则，，，在中可得，即可计算出的高度．本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：过点A作，垂足为E，如图， 由题意得四边形是矩形， ∴，，， 在中，， ∴， ∴； 故乙建筑物的高为． 20. 如图，点D在等边的边上，为等边三角形，与交于点F．证明：． 【答案】证明见详解． 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定方法以及等边三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 利用等边三角形的性质以及相似三角形的判定方法两角对应相等的两三角形相似得出即可． 【详解】证明：如图： 为等边三角形， ， 又， ， ． 21. 已知，如图，在中，，求证： （1） （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据成比例线段的性质求解即可； （2）根据成比例线段的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：∵ ∴ ∴； 【小问2详解】 证明：∵ ∴， ∴． 【点睛】此题考查了成比例线段，解题的关键是熟练掌握线段成比例的性质． 22. 如图，在中，，，点P从点A开始沿边向B点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从A，B同时出发，问经过几秒钟，与相似． 【答案】经过秒或秒钟，与相似． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，设经过秒钟时，与相似，得到，，，讨论对应边的不同，分别利用相似三角形对应边成比例，建立方程求解即可． 【详解】解：设经过秒钟，与相似． 由题意得，， ，， ，， 与相似， 当与对应时，有，即，解得， 当与对应时，有，即，解得， 综上所述，经过秒或秒钟，与相似． 23. 近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4 mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46 mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降．如图，根据题中相关信息回答下列问题： （1）求爆炸前与爆炸后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围； （2）矿工只有在空气中的CO浓度降到4 mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井? 【答案】（1）＞7；（2）73．5小时 【解析】 【分析】（1）根据图象可以得到函数关系式，y=k1x+b（k1≠0），再由图象所经过点的坐标（0，4），（7，46）求出k1与b的值，然后得出函数式y=6x+4，从而求出自变量x的取值范围．再由图象知（k2≠0）过点（7，46），求出k2的值，再由函数式求出自变量x的取值范围． （2）由关系式知，y=4时，x=80．5，矿工至少在爆炸后80．5-7=73．5（小时）才能下井． 【详解】（1）因为爆炸前浓度呈直线型增加，所以可设y与x的函数关系式为 由图象知过点（0，4）与（7，46） ∴．解得， ∴，此时自变量的取值范围是0≤≤7． （不取=0不扣分，=7可放在第二段函数中） 因为爆炸后浓度成反比例下降，所以可设y与x的函数关系式为． 由图象知过点（7，46），∴． ∴ ∴，此时自变量的取值范围是＞7． （2）当=4时，由得， =80.5,80.5-7=73.5（小时）． ∴矿工至少在爆炸后73.5小时能才下井． 【点睛】本题考查函数的图像与性质.根据图象求出函数的解析式是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $