《第13章勾股定理》期末复习练习题2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

2025-2026学年华东师大版八年级数学上册《第13章勾股定理》 期末复习综合练习题（附答案） 一、单选题 1．下列各组数据是勾股数的有（    ） ①5，12，13；②，，；③4，7，5；④1，，2；⑤9，12，15． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 2．已知a，b，c是的三条边长，且满足，则的面积为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 3．如图，直角三角形在数轴上，，，，点在数轴上的处，以点为圆心，以为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是（    ） A． B． C． D． 4．杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望．现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐米，横梁米，那么从梁上的任意一点要支一根木头顶住屋顶处，这根木头需要长度可能是（   ） A．2.5米 B．4米 C．6米 D．7米 5．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，若的长为，求的长．设的长为，则以下所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，中，已知，将沿直线折叠，使点与点重合，点、点分别在边和上，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 7．世纪，印度一位著名数学家婆什迦罗在他的名著《丽罗娃提》中记载了一个有趣的问题：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？” 这首诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此时，捕鱼的人发现，花在水平方向上离开原来的位置尺远，由此可知湖水的深度是（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 二、填空题 8．在中，，，上的高长为，则的面积为 ； 9．有一棵大树在离地面高处断裂，大树顶部在离其底部处，大树折断之前的高度是 ． 10．如图，在的正方形网格中，点A，B，C都在正方形网格的格点上，则 ． 11．如图，在中，，分别以点A、C为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线分别交、于点D、E，连接，若，，则的长为 ．   12．如图，甲，乙两船同时从港口O出发，甲以20海里/时的速度向南偏东方向航行，乙船向南偏西方向航行，已知它们离开港口两小时后，两船相距50海里，则乙船的速度为 海里/时． 13．如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，，，当长为 时， 为直角三角形． 14．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知倾斜放置的三个正方形的面积分别是1、3、5，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则 ． 三、解答题 15．如图，在四边形中，，，，，． 求四边形的面积． 16．如图，在锐角中，是 边上一点，，于点，与 交于点． (1)求证：； (2)若，，为的中点，求的长． 17．拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松．如图，已知某种拉杆箱箱体长，拉杆最大伸长距离，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的处，点到地面的距离保持拉杆把手（大小忽略不计）的位置不变，当滚轮圆心位于点处时，拉杆全部缩进箱体（即），此时，过点作于点，延长交于点，点，，在同一条直线上，点，，在同一条直线上，，图中所有的点在同一平面内，求拉杆把手离地面的距离．（图中，） 18．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 19．八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝到地面的高度，他们进行了如下操作： ①测得放风筝的小明到的距离的长度为24米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为30米； ③牵线放风筝的小明身高为1.68米． (1)求风筝的高度； (2)若小亮让风筝沿方向下降了8米到点（即米），求的长度． 20．定义：如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点． 【知识感知】 （1）如图2，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，则这个点是不是关于点的勾股点_____（填“是”或“不是”）； （2）如图3，在等腰三角形中，，，作边上的中线．点是外一点，且点是关于点的勾股点，，求的长； 【知识应用】 （3）如图4，为等腰直角三角形，是斜边延长线上一点，连接，以为直角边作等腰直角（点、、顺时针排列），，连接，，求证：点为关于点的勾股点． 参考答案 1．B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理及勾股数，熟练掌握其定理及勾股数是正整数是解题的关键． 利用勾股定理的逆定理及勾股数的定义逐一判断即可求解． 【详解】解：①∵，且5，12，13都是正整数， ∴5，12，13是勾股数； ②∵，，不是整数， ∴，，不是勾股数； ③∵，， ∴4，7，5不是勾股数； ④∵1，，2不都是整数， ∴1，，2不是勾股数； ⑤∵，且9，12，15都是正整数， ∴9，12，15是勾股数； 共有2组是勾股数，故选：B． 2．C 【分析】先将变形为，即可得出、、的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状即可． 【详解】解： 可变形为 ，， ，， 为直角三角形，其两直角边长分别为5和12 ． 故选：C ． 【点睛】本题考查的知识点是勾股定理逆定理的应用，利用已知条件得出、、的值是解此题的关键． 3．C 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，数轴上两点之间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据勾股定理求出的长，根据作图痕迹可知，得到的长，然后根据两点间的距离求出点对应的数即可． 【详解】解：在直角三角形中，，，， ， 根据作图痕迹可知，， 点在数轴上的处， 点对应的数是． 故选：C ． 4．B 【分析】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的性质等知识，过点A作于点E，由等腰三角形的性质得米，由勾股定理求出米，然后由，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点A作于点E， ∵米，米， ∴（米）， 在中，由勾股定理得：（米）， 由题意可知，， 即3米米， 故这根木头需要长度可能是4米， 故选：B． 5．B 【分析】本题考查列方程解应用题，勾股定理，找到等量关系是解决问题的关键．在和 中分别表示，列方程即可． 【详解】解：由题意：在，， 在 中，， ∴可列方程． 故选：B． 6．C 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，由勾股定理得，由折叠得，设，则，再根据勾股定理解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴线段的长为， 故选：． 7．B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设湖水的深度尺，根据题意，运用勾股定理，列方程解答即可，运用勾股定理列出方程是解题的关键． 【详解】解：设湖水的深度尺，则荷花的长为尺， 在直角三角形中，根据勾股定理得，， 解得， 故选：． 8．或 【分析】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是根据三角形的形状进行分类讨论．分两种情况：当为锐角三角形时，当为钝角三角形时，根据勾股定理和三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：当为锐角三角形时，高在的内部， ，， ， ； 当为钝角三角形时，高在的外部， ，， ， ； 综上所述，的面积为或， 故答案为：或． 9． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题时要注意数形结合思想的应用，由勾股定理计算出树折断部分的长度，即可求得树折断之前的高度． 【详解】解：如图，由题意得，， 根据勾股定理得， 所以大树折断之前的高度是． 故答案为：． 10．/度 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先用勾股定理分别计算，，的长，由此即可判断是等腰直角三角形即可． 【详解】解：根据勾股定理，得， ， ， ∴，， ∴，. 故答案为：． 11．/ 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质和勾股定理的应用，准确计算是解题的关键． 先根据垂直平分线的性质得到，再根据勾股定理求得的长，设，则，根据勾股定理算出结果即可． 【详解】根据题意可得，是线段的垂直平分线， 在中，，，， ， 是线段的垂直平分线， ， 设，则， 在中，， ， 解得． 故的长为． 故答案为：． 12．15 【分析】本题考查勾股定理，方向角的概念，关键是应用勾股定理求出的长．由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：由条件得：(海里)，(海里)， 而， ∴ (海里)， ∴乙船的速度是(海里/时)． 故答案为：15． 13．或或 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键．作于，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理用表示出、，分类讨论，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案． 【详解】解：作于，如图： 则四边形为长方形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，，， ， 当时，， 即， ， 解得，； 当时，如图：作于， 由勾股定理得，，， ， 在中，， 即， ， 解得：； 当时，在中， 则， 解得：， 综上：的长为：或或． 故答案为：或或． 14． 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用等知识．根据正方形的性质求出，证明，可得，结合勾股定理求出，根据，，，可得，同理可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，    根据题意可得，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵，，， ∴， 同理可得：， ∴， 故答案为：． 15．36 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，熟练掌握直角三角形的判定方法是解题的关键． 利用勾股定理求出的长，证得是直角三角形，再利用面积公式运算求解即可． 【详解】在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ． 16．(1)见解析 (2)的长为16． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用，添加适当的辅助线是解题的关键． （）根据垂直定义可得，利用直角三角形的两个锐角互余可得，，再利用等腰三角形的性质可得，然后利用等角的余角相等可得，再根据对顶角相等可得，从而可得，最后利用等角对等边即可解答； （）过点作，垂足为，利用等腰三角形的性质得，再根据中点定义得，再证明，根据全等三角形的性质得出，最后由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点作，垂足为， ∴， ∵，， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为16． 17． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 设，则cm，由题可得，，cm，；利用勾股定理可得、，即可得到，再求解可得，即；从而得到，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答． 【详解】解：设，则cm， 由题可得，，cm，， ∴在中，，在中，， ∴，解得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴拉杆把手离地面的距离为． 18．(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)海港受台风影响的时间会持续h 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）过点作，利用勾股定理求出，再利用等面积法得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）假设当时，正好影响港口，利用勾股定理得出，再得出的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作， ，，， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； （2）如图，假设当时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为， （h）， 答：海港受台风影响的时间会持续h． 19．(1)米 (2)26 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求得的长即可求解； （2）根据勾股定理求得的长即可． 【详解】（1）解：由题意，，， 在中，由勾股定理得，， ∴（取正）， ∴（米）， 答：风筝的高度为米． （2）解： ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴（取正）， 即的长度为26米． 20．（1）是；（2）或；（3）见解析 【分析】（1）根据勾股点的定义，计算和，判断是否相等． （2）先利用等腰三角形三线合一的性质得到和的长度，再根据勾股点的定义分两种情况列出等式，结合勾股定理求解的长度． （3）通过证明，得到线段和角的关系，进而推出，结合勾股定理证明点为关于点的勾股点． 【详解】解：（1）∵，，． ∴， ∴这个点是关于点的勾股点， 故答案为：是； （2）∵，是边上的中线， ∴，． ∵点是关于点的勾股点， ∴或， 情况一：， 在中，， ， ， ， 情况二：， ， ， ， ； （3）为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，， ，，， ，即， 在和中， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 在中，， 又， ， 点为关于点的勾股点． 学科网（北京）股份有限公司 $