专题04 勾股定理（5个知识点+9个核心考点+复习提升）（寒假复习讲义）八年级数学新教材华东师大版

专题04 勾股定理 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【知识点1：勾股定理的定义与表示】 1.文字表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.公式表示：设直角三角形两直角边为、，斜边为，则（为“勾”，较短直角边；为“股”，较长直角边；为“弦”，斜边）。 3.适用范围：仅针对直角三角形，非直角三角形不能直接应用。 【知识点2：勾股定理的验证】 1.核心思想：数形结合，通过“算两次”同一图形面积建立等式。 2.常用方法：拼图法（如赵爽弦图、直角梯形拼图）。 3.验证步骤：拼出含直角三角形的图形→两种方式表示图形面积→建立等式→化简推导得出。 【知识点3：勾股定理的逆定理（直角三角形的判定）】 1.文字表述：若三角形三边、、满足，则该三角形为直角三角形（为斜边，对应直角）。 2.判定步骤：①确定最长边；②计算最长边的平方与另外两边平方和；③比较两者是否相等，相等则为直角三角形。 3.补充判定：三角形中两锐角互余，也可判定为直角三角形。 【知识点4：勾股数】 1.定义：满足的三个正整数，称为勾股数。 2.核心特征：①均为正整数；②两较小数的平方和等于最大数的平方。 3.拓展性质：勾股数的整数倍仍为勾股数（如3、4、5的2倍6、8、10）。 4.常见形式：①、、（的整数）；②、、（为正整数）。 【知识点5：勾股定理的应用】 1.几何计算：①已知直角三角形两边求第三边；②求线段平方和（差）；③计算图形面积（含正方形、三角形组合图形）。 2.实际场景：①梯子滑动、旗杆高度、大树折断问题；②航海方位、两点距离计算；③立体图形表面最短 路径（如长方体、圆柱侧面爬行）。 3.辅助技巧：构造直角三角形、利用方程思想求解未知线段。 【题型1：直接利用勾股定理求边长】 方法技巧：①先明确直角边与斜边，未说明时需分情况讨论； ②代入公式（求斜边）或（求直角边）； ③结果需验证是否符合三角形三边关系。 【例题1】.（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，，则的长为（   ） A．2.5 B．2.4 C．2.2 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，求三角形的面积， 先根据勾股定理求出，再根据三角形面积相等得出答案即可． 【详解】解：在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 即， 解得． 故选：B． 【变式1-1】.（24-25八年级上·辽宁阜新·月考）如图，与均为直角三角形，且，点是的中点，则的长为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形性质和判定、勾股定理，平行线的判定（垂直于同一直线的两直线平行）等知识点．通过延长线构造全等三角形，将转化为，结合勾股定理求线段长． 【详解】解：延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 故选B． 【变式1-2】.（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如下图，和均为等腰直角三角形，点在同一直线上，连接．若，求线段的长是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理．过C作交于F，先根据已知条件和等腰直角三角形的性质证明，从而证明，可得，再求出，最后根据求解即可． 【详解】证明：如图， 过C作交于F， ． 和均为等腰直角三角形， ，，． ， 即． 在和中， ， ， ． ，， ，． ∴． ， ． ． ． ， ． ． 故选：C． 【变式1-3】.（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，平分，于D，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记相关性质定理是解题的关键． 根据角平分线的性质得出，证明，得出，再在中，由勾股定理得出方程求解即可． 【详解】解：平分，于D，， ， 又， ∴， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得，即， 故答案为： 【题型2：勾股数的识别与构造】 方法技巧：①先判断是否为正整数； ②计算两较小数平方和与最大数平方； ③构造勾股数可套用常见形式（如、、）或利用整数倍性质。 【例题2】.（25-26八年级上·河南周口·月考）下列各组数中，是勾股数的一组是（    ） A．5，6，7 B．0.3，0.4，0.5 C．，， D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键．根据勾股数是满足较小的两个数的平方之和等于最大的数的平方的一组正整数，据此逐项分析即可作答． 【详解】解：∵ 对于选项 A：，∴ A 不符合题意； ∵ 对于选项 B：0.3, 0.4, 0.5 不是正整数，∴ B 不符合题意； ∵ 对于选项 C: ，∴ C 不符合题意； ∵ 对于选项 D：, 且均为正整数，∴ D 符合题意． 故选：D． 【变式2-1】.（25-26八年级上·四川成都·期中）定义：若三个正整数，，满足，，且，则称为“邻近”勾股数组．例如：，都是“邻近”勾股数组，将从小到大排列，分别记为，，，，（为正整数），若时，的值为 ；若时，的值为 ． 【答案】 7 41 【分析】本题考查数字规律探索和勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据“邻近”勾股数组找到、、的关系，找到规律求出和即可． 【详解】解：三个正整数，，满足，，且，则称为“邻近”勾股数组， ， ∵b是正整数， 为奇数， ∵“邻近”勾股数组中，a是连续的奇数， ∴当时，（对应数组）； 当时，（对应数组）； 当时，下一个奇数为7， 验证：，， 满足且， ∴， 由规律可知，是第n个符合条件的奇数， ∴， ∴当时，． 故答案为：7；41． 【变式2-2】.（25-26八年级上·江苏南京·期中）如果满足等式的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数． (1)已知m，n是正整数且，证明：，，是勾股数． (2)请写出任意一组含有68的“勾股数”： ． 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查勾股数，熟练掌握勾股数，是解题的关键： （1）证明，即可； （2）由（1）将分解为，由（1）得到与，可以构成勾股数，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵m，n是正整数且， ∴，，均是正整数， ∵； 故，，是勾股数． （2）， 由（1）可知，与可以构成勾股数； 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2-3】.（25-26八年级上·江苏常州·期中）已知：，， (1)当n时，写出的值_______； (2)当n时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是_______．（直接写出答案） (3)小明发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)20 (2)24 (3)正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理和完全平方公式，熟练掌握勾股定理及逆定理进行求解是解决本题的关键． （1）根据题意可得，，把代入计算即可； （2）先求解，再证明，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，计算可得，应用勾股定理的逆定理即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴当n时， ， 故答案为：20； （2）解：， 当时， ， ， ， 这个三角形的面积是， 故答案为：24； （3）解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． 【题型3：网格中直角三角形的判断与计算】 方法技巧：①利用网格边长为1，用勾股定理求线段长度； ②通过“平方和相等”判定直角三角形； ③计算角度时可结合等腰直角三角形性质。 【例题3】.（23-24八年级下·内蒙古·期中）如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为 ．（可以用含根号的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题考查的是实数与数轴，勾股定理的应用，先求解，再进一步求解即可． 【详解】解：由勾股定理可得，， 则， 点表示的数是1， ， 点所表示的数为． 故答案为：． 【变式3-1】.（2024·湖南·模拟预测）如图，在的正方形网格中，点A，B，C都在正方形网格的格点上，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先用勾股定理分别计算，，的长，由此即可判断是等腰直角三角形即可． 【详解】解：根据勾股定理，得， ， ， ∴，， ∴，. 故答案为：． 【变式3-2】.（25-26八年级上·天津·期中）线段的端点A，B在的正方形网格的格点上．只用无刻度的直尺在网格中画图（保留画图痕迹，每小题画出一个即可，并用文字语言表述如何作图） （1）在图①中找出格点D，使； （2）在图②中画出非格点的点E，使． 【答案】 图见详解，文字说明见详解 图与文字说明见详解 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． （1）构造等腰直角三角形，点D即为所求； （2）构造推出，再由，可得． 【详解】解：（1）所作点D如图所示： 由作图可知：是等腰直角三角形， ∴； （2）所作点E如图所示； 先构造， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 【变式3-3】.（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，有，点A、B、C均在小正方形的顶点上． (1)将绕着点C顺时针旋转得到（点A、B的对应点分别为D、E），画出； (2)在正方形网格的格点上找一点F，连接，使的面积等于的面积，并直接写出线段的长． 【答案】(1)图见解析 (2)点见解析，的长为或 【分析】本题考查了作图：旋转变换，三角形的面积问题． （1）根据旋转的性质可知，对应角都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形； （2）三角形面积相等时，本题要充分利用等底等高的三角形面积相等这一性质即可构造，再根据网格求线段长即可． 【详解】（1）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、B的对应点D、E即可，如下图： （2）平移使它过点C，则可得到格点，然后找关于点的对称点，都为所求，如下图： ， ， ． 【题型4：利用勾股定理求图形面积】 方法技巧：①直接求直角三角形面积（）； ②组合图形面积转化为规则图形（正方形、梯形）面积差/和； ③利用“以直角三角形三边为边的正方形面积关系”解题。 【例题4】.（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，、、分别表示这三个正方形的面积，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，根据三个正方形的面积为直角三角形的三边的平方，结合勾股定理，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， 由勾股定理，得，即， ∴， ∵， ∴； 故选B． 【变式4-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）图中数据分别表示其所在正方形的面积，请根据这些数据，分别求出未知的正方形面积A，B和C． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股树，熟练掌握勾股定理是解题的关键；因此此题可根据勾股定理及正方形的面积公式可进行求解． 【详解】解：如图， 由图及勾股定理得：，且， ∴，即正方形的面积为153； 同理可得：，． 【变式4-2】.（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，校园里有一块四边形的空地，，，，，过点修一条小路，是的中点，且． (1)证明：； (2)求这块空地的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可得出结论； （2）连接，由线段垂直平分线的性质得，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【详解】（1）证明：∵E是的中点，， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，E是的中点， ∴垂直平分， ∴． ∵ ，， ∴， ∴， ∴四边形空地的面积=． 【变式4-3】.（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）在学习了“勾股定理”和“实数”后，某同学以“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”为主题开展了数学活动． 操作发现：如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，在图中画出，同时构造正方形，且它的边，分别经过点，，借助此图便可求出的面积． (1)实践探究：在图所画的中， ， ， ， ． (2)在图的正方形网格中画出，使，，，并求出的面积． 【答案】(1) ；；； (2)画图见解析；4 【分析】本题主要考查了勾股定理、借助网格画图． (1)借助网格图，利用勾股定理求出各边的长度，再根据与正方形的位置关系求出的面积； (2)借助网格，利用勾股定理画出，利用网格求出的面积． 【详解】（1）解：由图可知， ， ， ； ； 故答案为：，，，； （2）解： ，，， 画图如下， 在一个的矩形网格内， ． 【题型5：折叠问题中的勾股定理应用】 方法技巧：①折叠后对应边相等、对应角相等； ②设未知线段为，用表示相关线段； ③在直角三角形中建立勾股定理方程求解。 【例题5】.（25-26八年级上·广东揭阳·月考）如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线处，若，则（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，利用勾股定理求出的长，由折叠的性质得到，根据列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴； 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式5-1】.（23-24八年级上·内蒙古乌海·期末）如图，将一长方形纸片沿折叠，若，，则重叠部分的面积为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，长方形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据长方形的性质得， ，推出，根据折叠的性质得，得到，继而得到，根据勾股定理求出，得到． 【详解】解：长方形纸片， ， ， ， 由折叠的性质得 ， ， ， 在中， ， ， 故选：B． 【变式5-2】.（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在长方形中，点E，点F分别为边，上的点，将长方形纸片沿折叠，使点B与点D重合，若，，则折痕的长是 ． 【答案】/ 【分析】连接，，设与相交于点O，先求出，设，则，由折叠性质得，，，，证明四边形是菱形，在中，由勾股定理求出得，由菱形的面积公式得菱形的面积，即，据此可得折痕的长． 【详解】解：连接，，设与相交于点O，如图所示： ∵四边形是长方形，且，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 由折叠性质得：，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 由菱形的面积公式得：菱形的面积， ∴， 解得：， 即折痕的长是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了图形的折叠变换及其性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解图形的折叠变换及其性质，矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 【变式5-3】.（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）在中，，，，、分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点． (1)如图1，在中，______； (2)如图1，如果点和顶点重合，求的长； (3)如图2，如果点落在直角边的中点上，连接与直线交于点，画出点并求出的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理、折叠的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用勾股定理计算即可得解； （2）由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得解； （3）由题意可得，由勾股定理可得，由折叠的性质可得，，，设，则，由勾股定理可得，从而得出，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴； （2）解：由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； （3）解：如图：点即为所作， ， ∵点落在直角边的中点上， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，，， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 【题型6：立体图形表面最短路径问题】 方法技巧：①将立体图形（长方体、圆柱）表面展开为平面图形； ②确定起点与终点的直线距离（最短路径）； ③在展开图的直角三角形中用勾股定理计算。 【例题6】.（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，圆柱的底面周长为6，是底面圆的直径，点P是上一点，且，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短路程是多少？（请画出示意图） 【答案】5 【分析】本题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，首先画出圆柱的侧面展开图，可得，，在中，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：侧面展开图如图所示， ∵圆柱的底面周长为6， ∴， ∵， ∴在中，． 故一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短路程是5． 【变式6-1】.（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员上下油罐使用．为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手．旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两段，该平台的长度约为．若油罐高约，油罐底面圆直径约为，且顶处的扶手位置处于底面扶手正对面上． (1)若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为，求旋梯的扶手长度的最小值． (2)若平台在旋梯中间偏上的某位置，求旋梯的扶手长度的最小值．（本题（1）（2）中） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）由题意得，将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度，即最小，进而通过勾股定理即可求解； （2）由题意得，将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度，即最小，进而通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，如下， 将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度最小，如下图， ∵油罐底面圆直径约为， ∴， ∵， ∴， ∴旋梯的扶手长度 ； （2）解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，如下， 将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度最小，如下图， ∵油罐底面圆直径约为， ∴， ∵， ∴， ∴旋梯的扶手长度 ． 【变式6-2】.（25-26八年级上·全国·期中）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 【答案】(1)A (2)所需金属丝的最短长度为 (3) 【分析】本题考查了平面展开-最短路径，理解转化思想是解题的关键． （1）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长的高为直角三角形的斜边长的4倍； （3）将玻璃杯侧面展开，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵两点之间线段最短， 故选：A； （2）解：若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度与底面周长的4倍及高构成直角三角形．由勾股定理，得． 答：所需金属丝的最短长度为； （3）解：如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则． 所以； 根据两点之间线段最短可知，当A，M，N三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段AN的长即为最短路程． 在中，，根据勾股定理，得： ． 所以最短路程为． 【变式6-3】.（24-25八年级上·山西运城·期中）学科实践 【驱动任务】某校为推进素质教育发展，成立了科技模型社团．学期末，该社团将创作的作品邮寄给希望小学，让更多的同学感受科技带来的魅力．现需将不同的模型装入纸箱打包，然后邮寄． 【包装准备】 如图，根据模型的尺寸，现准备两种纸箱，第一种长方体纸箱，尺寸规格为；第二种长方体纸箱，尺寸规格为，其中该纸箱有两个扣手，尺寸规格为，并且扣手到所在面相对两条边的距离相等． 【问题解决】 (1)如图1，当使用第一种纸箱时，若从顶点A到顶点B需贴胶带，则胶带的最短长度为_______． (2)如图2，将两个第二种长方体纸箱捆绑在一起，现需要在点C和点D之间按照如图所示的方式拉一条绳子固定，请画出长度最短的部分展开图，并求这根绳子的最短长度．（提示：需考虑扣手的大小） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面展开图——最短路径问题，勾股定理，理解转化思想是解题的关键． （1）根据题意，分三种情况展开长方体，再由勾股定理求出线段长比较大小即可得到答案． （2）将长方体展开，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：分三种展开方式求解： ①前与右：； ②左与后：； ③前与下：； ∵， ∴胶带的最短长度为：， 故答案为：． （2）如图所示为长度最短的部分展开图： 如图，连接，，易得． 由题可得． 在中，由勾股定理，得． 所以，这根绳子的最短长度为． 【题型7：勾股定理逆定理的实际应用】 方法技巧：①测量三边长度或计算三边平方； ②验证两较短边平方和是否等于最长边平方； ③判定三角形为直角三角形后，解决方位、垂直等实际问题。 【例题7】.（25-26八年级上·江苏盐城·期中）放风筝是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系．如图，小刚同学站在A处，风筝在C处，先测得他抓线的地方与地面的垂直距离为，然后测得他与风筝的水平距离为，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小刚想风筝沿方向下降，则他应该往回收线多少？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为 (2)他应该往回收线 【分析】本题考查了勾股定理的应用，准确识图，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【详解】（1）解：如下图： 由题意得：，, ，， ， ， 即：风筝的垂直高度为； （2）解：如下图所示，设风筝沿方向下降至点M，连接， ， ， ， 即：他应该往回收线． 【变式7-1】.（25-26八年级上·山西运城·期中）《九章算术》卷九“勾股”中记载：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为：在直立于地面的一根木杆的顶端处，系一根绳索，绳索自然下垂后拖在地面上的长度为3尺（如图1）．在距木杆底端处8尺的地面上点处拉绳索，整根绳索恰好被拉直（如图2）．问绳索有多长？ (1)请通过已学知识解决这个实际问题； (2)将这个问题一般化，即已知直角三角形的勾长（较短的直角边）为，弦长（斜边）与股长（较长的直角边）的差为，弦长为，请用，表示，其结果为 ． 【答案】(1)绳索长尺 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，理解题意，正确运用勾股定理是解此题的关键． （1）设绳索长尺，则尺，利用勾股定理计算即可得解； （2）由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：设绳索长尺，则尺， 由勾股定理可得：， ∴， ∴， 故绳索长尺； （2）解：由题意并结合勾股定理可得， 整理可得：， ∴． 【变式7-2】.（20-21九年级上·全国·课后作业）看过机器人大赛吗？在美国旧金山举办的世界机器人大赛中，机器人踢足球可谓是独占鳌头．如图，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速向点O滚动，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进截小球，在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程是多少？ 【答案】机器人行走的路程是． 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是，抓住“机器人与小球同时出发，速度相等”这两个条件，得到，从而将已知量和未知量集中到中，就可利用勾股定理建立方程来求解．由题意可知，若设，则， ，这样在中，利用勾股定理就可建立一个关于“”的方程，解方程即可求得结果． 【详解】解：小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即， 设，则， ， ∵， ∴由勾股定理可知， 又∵， ， ∴， 解方程得出． 答：机器人行走的路程是． 【变式7-3】.（25-26八年级上·陕西西安·期中）拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松．如图，已知某种拉杆箱箱体长，拉杆最大伸长距离，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的处，点到地面的距离保持拉杆把手（大小忽略不计）的位置不变，当滚轮圆心位于点处时，拉杆全部缩进箱体（即），此时，过点作于点，延长交于点，点，，在同一条直线上，点，，在同一条直线上，，图中所有的点在同一平面内，求拉杆把手离地面的距离．（图中，） 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 设，则cm，由题可得，，cm，；利用勾股定理可得、，即可得到，再求解可得，即；从而得到，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答． 【详解】解：设，则cm， 由题可得，，cm，， ∴在中，，在中，， ∴，解得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴拉杆把手离地面的距离为． 【题型8：勾股定理与最值问题的综合】 方法技巧：①通过“垂线段最短”“两点之间线段最短”转化问题； ②构造直角三角形，用勾股定理表示目标线段； ③结合二次函数或不等式求最值。 【例题8】.（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化．数形结合是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，使抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 【思想应用】 （1）已知均为正实数，且，求的最小值．通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与两端点重合，连接，，设，， ①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此求的最小值； 【类比应用】 （2）根据上述的方法，求代数式的最小值． 【答案】（1）①，；②；（2）20 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题：灵活运用两点之间线段最短或垂线段最短解决此类问题．也考查了勾股定理和类比的方法． （1）利用勾股定理得到，；则，利用三角形三边的关系得到（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，如图，易得四边形为矩形，利用勾股定理计算出，从而得到的最小值； （2）如图，设，，，，则，利用勾股定理得到，；根据三角形三边的关系得到而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，如图，易得四边形为矩形，利用勾股定理计算出，即可得到的最小值． 【详解】解：（1）①利用勾股定理得到，； 故答案为：；． ②， 而（当且仅当，，三点共线时取等号）． 如图，作交的延长线于点， 易得，， 在中，， 的最小值为， 即的最小值为． （2）如图，设，，，， 则， 在中，， 在中，； ， 而（当且仅当，，三点共线时取等号）， 如图，作交的延长线于点， 易得，， 在中，， 的最小值为20， 即的最小值为20． 【变式8-1】.（25-26八年级上·山东青岛·期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题． （1）赵爽弦图：4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，其中，请你利用图形验证勾股定理． （2）求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为_______________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值． 【答案】（1）证明见详解；模型应用：（1）；（2） 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据等积法可进行求证； 模型应用：（1）根据题意及勾股定理可进行求解； （2）同理，根据题中的方法构造图形，进而根据勾股定理可求最小值． 【详解】解：（1）由图及题意可知： 大正方形的面积为，小正方形的面积为，四个直角三角形的面积为， ∴， 整理得：； 模型应用：（1）由题意得：线段即为的最小值， ∴由勾股定理可得：； 即的最小值为； 故答案为； （2）如图，由题意可构造如下三角形， ∴线段即为的最小值， ∴， 即的最小值为． 【变式8-2】.（25-26八年级上·福建漳州·月考）【知识运用】 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知为正实数，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设， ①用含的代数式表示___________，___________，___________； ②据此写出的最小值是___________； (2)【类比应用】根据上述的方法，求代数式的最小值； 【答案】(1)①；；；②5 (2)20 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，也考查了勾股定理和类比的方法．熟练掌握以上知识点是关键． （1）①利用线段和差求得，利用勾股定理可得和的长； ②利用三角形三边的关系得到（当且仅当、、共线时取等号），作交的延长线于，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出，从而得到结论； （2）利用（1）中的方法画出图形，设，，，，则，利用勾股定理得到，，；根据三角形三边的关系得到而（当且仅当、、共线时取等号），作交的延长线于，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出即可得到代数式的最小值． 【详解】（1）解：①， 根据勾股定理可得， ， 故答案为：；；； ②由①得， 而（当且仅当、、共线时取等号）， 作交的延长线于，如图， ，， 则四边形为长方形， ，， ， 的最小值为5， 即的最小值是5； 故答案为：5； （2）解：如图， 设，，，，则， ， ； ， 而（当且仅当、、共线时取等号）， 作交的延长线于，则四边形为长方形， ，， ， ， 的最小值为20， 即的最小值为20． 【变式8-3】.（25-26八年级上·江西赣州·月考）【探究】 （1）把两个全等的直角三角形如图放置，其三边长分别为，，．，点，，在一条直线上．请利用图证明勾股定理． 【运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，求的距离． 【拓展】 （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（）． 【答案】（1）见解析；（2）千米；（3） 【分析】（1）通过表示四边形的面积（两种方法：梯形面积、三个三角形面积和），建立等式推导勾股定理． （2）设长度为未知数，利用结合勾股定理列方程求解． （3）将代数式转化为几何线段长度，通过轴对称找最短路径，利用勾股定理求最小值． 【详解】解：（1）∵四边形是梯形，， ∴． 又∵， ∴， 展开得， 化简得． （2）设千米，则千米． ∵，，， ∴， 即， 展开得， 化简得， ∴，即千米． （3）构造几何模型：设，点在上，，，作且，且，则代数式． 作点关于的对称点，连接交于点，过作于，则， ∴， ∴的长为的最小值． 在中，，， ∴， ∴代数式的最小值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明与应用、轴对称最短路径问题，熟练掌握勾股定理的推导方法、利用几何模型转化代数问题是解题的关键． 【题型9：勾股定理与新定义问题（创新题型）】 方法技巧：①理解新定义（如“垂美四边形”“类勾股三角形”）； ②提取新定义中的勾股定理关联条件（如）； ③结合常规知识点（全等、面积）解题。 【例题9】.（25-26七年级上·山东烟台·期中）【阅读理解】定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形这条边的“中偏度值”．如图1中，和分别为的边上的高和中线，，，则的边BC的“中偏度值”为 【尝试应用】如图2，在中，，， （1）边的长为______，边上的高的值为______； （2）求的边的“中偏度值”； 【拓展延伸】如图3，点A为直线l上方一点，点A到直线l的距离，点B在直线l上，且，若点C在直线l上，且 （3）请直接写出的边BC的“中偏度值”． 【答案】（1）10，；（2）的边BC的“中偏度值”为；（3）的边BC的“中偏度值”为6或 【分析】本题考查三角形的综合应用，主要考查勾股定理及应用，解答本题的关键是掌握分类讨论的思想方法． （1）根据题意和题目中的数据，可以计算出， 中边上的高和该边上的中点到的距离， （2）根据“中偏度值”的定义即可求解； （3）分两种情况：当在外部时，当在内部时，画出图形，分别计算即可． 【详解】解：（1）在中，，，， ， 设BC边上的高为h， ， ， 故答案为：10，； （2）作的中线，高线，如图， 由（1）知，，， 为斜边上的中线，， ， ， 则的边BC的“中偏度值”为； （3）①当在外部时，作的中线，如图， ，，，， ，， ， 为的中线， ， ， 即点E到的距离为2， 则的边BC的“中偏度值”为； ②当在内部时，作的中线，如图， ，，，， ，， ， 为的中线， ， ， 即点E到的距离为7， 则的边的“中偏度值”为； 综上所述，的边的“中偏度值”为6或 【变式9-1】.（25-26八年级上·全国·期末）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)写出两种你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的图形的名称： ； (2)如图1，请你在图中画出以格点为顶点，，为勾股边，且对角线相等的所有勾股四边形； (3)如图2，在四边形中，，，且，连接．探究、和三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)正方形和长方形 (2)见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查勾股定理、全等三角形的性质与判定，正方形和矩形的性质等等，解题的关键在于理解勾股四边形的概念，充分利用其特点解题． （1）正方形相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，即可求解， （2）根据勾股定理计算出对角线的长度，得到，再根据情况画出即可； （3）如图所示，连接，在下方作等边，连接，求出，证明出，得到，，然后求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：正方形和长方形相邻两边的平方和等于一条对角线的平方， 故答案为：正方形和长方形； （2）解：由题意得： ∴，即要使， ∴点都满足条件， 如图所示，四边形和四边形即为所求， （3）如图所示，连接，在下方作等边，连接 ∵在四边形中，，， ∴ ∵是等边三角形 ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ 【变式9-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）定义：如果一个正整数n能表示为两个正整数的平方差，那么称正整数n为“智慧数”，即：若正整数（a，b为正整数，且），则称正整数n为“智慧数”．例如：，是“智慧数”． 探究问题： 探究1：“智慧数”一定是什么数？ 假设n是“智慧数”，则至少存在一组正整数a、b，使（a，b为正整数，且）． 可分为情况1：a、b均为奇数，或均为偶数；情况2：a、b为一奇数、一偶数这两种情况讨论． 讨论结果为：“智慧数”是奇数或4的倍数． 探究2：所有奇数和4的倍数都一定是“智慧数”吗？ 我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论． 先列举几组数值较小，容易验证的“智慧数”（①～⑧），因为“智慧数”不是奇数就是4的倍数，所以我们把这些“智慧数”分成两类． 所以我们把这些“智慧数”分成两类， 表一 实际应用： （4）若一个直角三角形纸片三边的长度都是整数厘米，已知一条直角边长是，则这个直角三角形纸片的周长是 ． 【答案】（1）6，5；（2）见解析；（3）7，5；（4）24或40． 【分析】本题主要考查了平方差公式及勾股定理，解题的关键是根据题意找出规律，从而得出答案，根据“智慧数”的定义和规律即可解答． （1）根据定义进行解答即可； （2）证明，即表示所有4的倍数（4除外），即可得到结论； （3）根据定义进行解答即可； （4）根据前面的讨论可知即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴11是“智慧数”， 故答案为：； （2）验证：设（，且k为整数） ∵， ∴是“智慧数”， 又∵， ∴，即表示所有4的倍数（4除外）， ∴所有4的倍数（4除外）都是“智慧数”； （3）解：∵， ∴24是“智慧数”， 故答案为：； （4）解：因为8是4的倍数， 所以由（2）及勾股定理可知：， 这个直角三角形纸片的周长是或； 故答案为：24或40． 【变式9-3】.（2025九年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． (1)如图1，在中，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形； (2)如图2，在邻余四边形中，（和均为钝角），为的中点，，，时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先结合垂直平分线的性质，得，再结合，，运用勾股逆定理得是直角三角形，则根据直角三角形的两个锐角互余，得是直角三角形，即可作答． （2）先理解题意，运用倍长中线法证明，根据邻余四边形的定义，得出，根据勾股定理，得，又因为，证明，即可作答． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵垂直平分交于点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形是邻余四边形； （2）解：延长至点，使得，连接 ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵四边形是邻余四边形，且和均为钝角， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，勾股逆定理，新定义，垂直平分线的性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 一、单选题 1．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，嘉淇在C点设桩，使，并测得长100米，长80米，则A点和B点之间的距离为（    ）米． A．100 B．80 C．60 D．120 【答案】C 【分析】根据勾股定理可以直接求解． 本题考查了勾股定理，熟练运用勾股定理是解题关键． 【详解】由题可知，米，米，， 米． 故选：C 2．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与弦图有关的勾股定理的应用，完全平方公式的应用，根据小正方形面积为7得出，结合，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵小正方形面积为7， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴得， ∴， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． 故选：D． 3．（25-26八年级上·浙江温州·期中）下列条件中，可以判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理是解题的关键． 使用勾股定理的逆定理（若两边平方和等于第三边平方，则为直角三角形）或检查是否有一个角为90度，据此逐一判断． 【详解】解：A：∵， ∴，故不是直角三角形，不符合题意； B：设， ∴， ∴， ∴，故不是直角三角形，不符合题意； C：设， ∵， ∴，故是直角三角形，符合题意； D：∵， ∴，故不满足勾股定理，不是直角三角形，不符合题意； 故选C． 4．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）下列不能判定是直角三角形的是（    ） A． B．如果的三边长分别为a，b，c，且满足 C． D．如果的三边长分别为a，b，c，且满足 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定方法，包括角的关系和边的关系，选项A、B、C均能判定三角形为直角三角形，而选项D不满足勾股定理，不能判定， 【详解】解：A项：设，，，则，解得， ∴，故是直角三角形； B项：由，得， ∴a为斜边，边长为a的边所对的角为，故是直角三角形； C项：∵，且， ∴，，故是直角三角形； D项：设，，， ∵在三边中c边最长，若为直角三角形，则c为斜边， ∴，，， ∴不满足勾股定理，故不是直角三角形， ∴不能判定是直角三角形的是D， 故选：D． 5．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，，分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P，Q两点作直线交于点D，则的长是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质及尺规作图，掌握它们是关键；由作法知，是线段的垂直平分线，则得；由勾股定理求得；设，则，在中，利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：由作法知，是线段的垂直平分线， ∴； ∵在中，，，， 由勾股定理得； 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， 即． 故选：A． 二、填空题 6．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称及等边三角形的性质，熟知等边三角形的性质及中心对称的性质是解题的关键． 先求出及的长，进一步得出及的长，据此求出的长，最后用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵是等边三角形，O为的中点，， ∴，． 在中， ． ∵与关于点B中心对称， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在中，的平分线交于点E，过点C作，垂足为D，连接，则的面积是 ． 【答案】/0.75 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，三角形的面积计算，延长交的延长线于，由勾股定理求出的长，证明得到，，由，即可求解． 【详解】解：如图，延长交的延长线于， ∵在中，， ， ∵平分， ， ， ， 又∵， ∴， ，， ， ； 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，点是边上的一个动点（不与、重合），将沿翻折，点的对应点是点．若以、、为顶点的三角形是直角三角形，则的长度为 ． 【答案】或3 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理及直角三角形的分类讨论，解题的关键是利用折叠得对应边相等，分的直角顶点为或两种情况，结合勾股定理列方程求解． 【详解】解：设，则，由折叠性质得，． ①当时，过作于，连接，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴，即， 在中，由勾股定理， 解得． ②当时， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，又， ∴． 综上，的长度为或． 故答案为：或． 9．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在Rt中，，，，是的角平分线，点E，F分别是AC，AD上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段和最值问题和勾股定理，利用角平分线构造全等三角形是解题关键． 线段和最值问题一般借助对称或者旋转构造全等，将两条线段放置在直线的两边，当两条线段在同一直线上时，达成最小值．本题中可以在上取点G，使得，通过全等可以证出，故最小为．而的长不固定，其最小值等同于点C到的距离，用面积公式即可求出答案． 【详解】解：如图，在上取点G，使得， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 当C、F、G三点共线时，取到最小值， ∵直线外一点与直线上各点的连接的所有线段中，垂线段最短． ∴当时，最小，此时为Rt斜边上的高， 在Rt中，，因此， ， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，射线外有一点，且到射线的距离为6，若点是射线上的一个动点，则当线段与射线所夹锐角是的两倍时，的长为 ．（温馨提示：在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用，解题的关键是通过作高构造直角三角形，结合角的倍数关系转化为边的关系． 先过作，利用勾股定理求出的长度，分点在点右侧、左侧两种情况，结合“等角对等边”构造等腰三角形，再用勾股定理列方程求解的长度． 【详解】解：如图，过作，则， 在中，， 当点在点右侧时，即， 如图，在上截取， 此时， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 当点在点左侧，即， 此时点与上述情况的点重合， ； 综上，的长为或． 故答案为：或． 三、解答题 11．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）为了求出湖两岸，两点之间的距离，观测者小林在点设桩，使△ABC恰好为直角三角形（∠B=90°），如图所示，通过测量得长为10m，长为8m，求出图中、两点之间的距离． 【答案】A、B两点之间的距离是． 【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，关键是明确直角三角形的直角顶点（），从而确定直角边与斜边，再利用勾股定理的变形公式（已知斜边和一条直角边求另一条直角边）进行计算． 题目中是直角三角形且，根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即．要求、两点间的距离即求的长度，已知，，需将已知数值代入勾股定理公式，通过移项、开方计算出的长度． 【详解】解：是直角三角形且， 和为直角边，为斜边． 根据勾股定理可得：． ，，将其代入上述公式，可得： 由于线段长度为正数，得： 故A、B两点之间的距离是． 12．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，等边中，是的中点，将绕点A逆时针旋转得． (1)求线段的长； (2)判断线段与的位置关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】此题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定． （1）由等边中，，D是的中点，根据三线合一的性质与勾股定理，可求得的长为，又由将绕点A逆时针旋转得，得出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解； （2）证明得出，结合，得出垂直平分，即可得证． 【详解】（1）解：∵等边中，， ∴， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． （2）， 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转得， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵是的中点， ∴ ∴ ∴垂直平分， ∴ 13．（25-26八年级上·全国·期末）每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米． (1)求云梯顶端C与墙角O的距离的长； (2)现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理即可得出结论； （2）根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴由勾股定理得， 即， 解得：， 即云梯顶端C与墙角O的距离的长为． （2）解：∵，， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， 即， 解得：， ∵， ∴． 即云梯底端在水平方向上滑动的距离为． 14．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，是钝角． (1)用无刻度的直尺和圆规作出边上的中线和边上的高． (2)在（1）的基础上，若，，，则的面积为 ．（可利用备用图） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂直平分线的作法，垂线的作法，勾股定理，熟练掌握垂直平分线的作法和垂线的作法是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线，交于点，连接，即为边上的中线；延长，以点为圆心，大于的长为半径画弧交射线与两点，再以这两点为圆心，小于的长为半径画弧交于一点，连接点与该点，并延长交射线于点，即为边上的高； （2）过点作于点H，设，则，利用勾股定理得到，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，为所求： （2）解：过点作于点H，则， 设， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴，即， 解得， ∴，， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，下面的正方形方格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按要求画下列图形． (1)在图1中，画一条长度为的线段； (2)在图2中，画一个，使它的三边长为无理数且面积为5； (3)在图3中，画一个面积为3的四边形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理和利用网格求三角形面积是解题关键． （1）根据画图即可； （2）根据画图即可； （3）根据画图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求， （3）解：如图，四边形即为所求， 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 勾股定理 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【知识点1：勾股定理的定义与表示】 1.文字表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.公式表示：设直角三角形两直角边为、，斜边为，则（为“勾”，较短直角边；为“股”，较长直角边；为“弦”，斜边）。 3.适用范围：仅针对直角三角形，非直角三角形不能直接应用。 【知识点2：勾股定理的验证】 1.核心思想：数形结合，通过“算两次”同一图形面积建立等式。 2.常用方法：拼图法（如赵爽弦图、直角梯形拼图）。 3.验证步骤：拼出含直角三角形的图形→两种方式表示图形面积→建立等式→化简推导得出。 【知识点3：勾股定理的逆定理（直角三角形的判定）】 1.文字表述：若三角形三边、、满足，则该三角形为直角三角形（为斜边，对应直角）。 2.判定步骤：①确定最长边；②计算最长边的平方与另外两边平方和；③比较两者是否相等，相等则为直角三角形。 3.补充判定：三角形中两锐角互余，也可判定为直角三角形。 【知识点4：勾股数】 1.定义：满足的三个正整数，称为勾股数。 2.核心特征：①均为正整数；②两较小数的平方和等于最大数的平方。 3.拓展性质：勾股数的整数倍仍为勾股数（如3、4、5的2倍6、8、10）。 4.常见形式：①、、（的整数）；②、、（为正整数）。 【知识点5：勾股定理的应用】 1.几何计算：①已知直角三角形两边求第三边；②求线段平方和（差）；③计算图形面积（含正方形、三角形组合图形）。 2.实际场景：①梯子滑动、旗杆高度、大树折断问题；②航海方位、两点距离计算；③立体图形表面最短 路径（如长方体、圆柱侧面爬行）。 3.辅助技巧：构造直角三角形、利用方程思想求解未知线段。 【题型1：直接利用勾股定理求边长】 方法技巧：①先明确直角边与斜边，未说明时需分情况讨论； ②代入公式（求斜边）或（求直角边）； ③结果需验证是否符合三角形三边关系。 【例题1】.（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，，则的长为（   ） A．2.5 B．2.4 C．2.2 D．2 【变式1-1】.（24-25八年级上·辽宁阜新·月考）如图，与均为直角三角形，且，点是的中点，则的长为（   ） A． B． C．2 D．3 【变式1-2】.（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如下图，和均为等腰直角三角形，点在同一直线上，连接．若，求线段的长是（    ） A． B． C．4 D． 【变式1-3】.（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，平分，于D，则 ． 【题型2：勾股数的识别与构造】 方法技巧：①先判断是否为正整数； ②计算两较小数平方和与最大数平方； ③构造勾股数可套用常见形式（如、、）或利用整数倍性质。 【例题2】.（25-26八年级上·河南周口·月考）下列各组数中，是勾股数的一组是（    ） A．5，6，7 B．0.3，0.4，0.5 C．，， D．5，12，13 【变式2-1】.（25-26八年级上·四川成都·期中）定义：若三个正整数，，满足，，且，则称为“邻近”勾股数组．例如：，都是“邻近”勾股数组，将从小到大排列，分别记为，，，，（为正整数），若时，的值为 ；若时，的值为 ． 【变式2-2】.（25-26八年级上·江苏南京·期中）如果满足等式的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数． (1)已知m，n是正整数且，证明：，，是勾股数． (2)请写出任意一组含有68的“勾股数”： ． 【变式2-3】.（25-26八年级上·江苏常州·期中）已知：，， (1)当n时，写出的值_______； (2)当n时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是_______．（直接写出答案） (3)小明发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【题型3：网格中直角三角形的判断与计算】 方法技巧：①利用网格边长为1，用勾股定理求线段长度； ②通过“平方和相等”判定直角三角形； ③计算角度时可结合等腰直角三角形性质。 【例题3】.（23-24八年级下·内蒙古·期中）如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为 ．（可以用含根号的式子表示） 【变式3-1】.（2024·湖南·模拟预测）如图，在的正方形网格中，点A，B，C都在正方形网格的格点上，则 ． 【变式3-2】.（25-26八年级上·天津·期中）线段的端点A，B在的正方形网格的格点上．只用无刻度的直尺在网格中画图（保留画图痕迹，每小题画出一个即可，并用文字语言表述如何作图） （1）在图①中找出格点D，使； （2）在图②中画出非格点的点E，使． 【变式3-3】.（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，有，点A、B、C均在小正方形的顶点上． (1)将绕着点C顺时针旋转得到（点A、B的对应点分别为D、E），画出； (2)在正方形网格的格点上找一点F，连接，使的面积等于的面积，并直接写出线段的长． ． 【题型4：利用勾股定理求图形面积】 方法技巧：①直接求直角三角形面积（）； ②组合图形面积转化为规则图形（正方形、梯形）面积差/和； ③利用“以直角三角形三边为边的正方形面积关系”解题。 【例题4】.（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，、、分别表示这三个正方形的面积，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）图中数据分别表示其所在正方形的面积，请根据这些数据，分别求出未知的正方形面积A，B和C． 【变式4-2】.（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，校园里有一块四边形的空地，，，，，过点修一条小路，是的中点，且． (1)证明：； (2)求这块空地的面积． 【变式4-3】.（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）在学习了“勾股定理”和“实数”后，某同学以“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”为主题开展了数学活动． 操作发现：如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，在图中画出，同时构造正方形，且它的边，分别经过点，，借助此图便可求出的面积． (1)实践探究：在图所画的中， ， ， ， ． (2)在图的正方形网格中画出，使，，，并求出的面积． 【题型5：折叠问题中的勾股定理应用】 方法技巧：①折叠后对应边相等、对应角相等； ②设未知线段为，用表示相关线段； ③在直角三角形中建立勾股定理方程求解。 【例题5】.（25-26八年级上·广东揭阳·月考）如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线处，若，则（   ） A． B．3 C． D．4 【变式5-1】.（23-24八年级上·内蒙古乌海·期末）如图，将一长方形纸片沿折叠，若，，则重叠部分的面积为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【变式5-2】.（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在长方形中，点E，点F分别为边，上的点，将长方形纸片沿折叠，使点B与点D重合，若，，则折痕的长是 ． 【变式5-3】.（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）在中，，，，、分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点． (1)如图1，在中，______； (2)如图1，如果点和顶点重合，求的长； (3)如图2，如果点落在直角边的中点上，连接与直线交于点，画出点并求出的长． 【题型6：立体图形表面最短路径问题】 方法技巧：①将立体图形（长方体、圆柱）表面展开为平面图形； ②确定起点与终点的直线距离（最短路径）； ③在展开图的直角三角形中用勾股定理计算。 【例题6】.（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，圆柱的底面周长为6，是底面圆的直径，点P是上一点，且，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短路程是多少？（请画出示意图） 【变式6-1】.（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员上下油罐使用．为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手．旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两段，该平台的长度约为．若油罐高约，油罐底面圆直径约为，且顶处的扶手位置处于底面扶手正对面上． (1)若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为，求旋梯的扶手长度的最小值． (2)若平台在旋梯中间偏上的某位置，求旋梯的扶手长度的最小值．（本题（1）（2）中） 【变式6-2】.（25-26八年级上·全国·期中）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 【变式6-3】.（24-25八年级上·山西运城·期中）学科实践 【驱动任务】某校为推进素质教育发展，成立了科技模型社团．学期末，该社团将创作的作品邮寄给希望小学，让更多的同学感受科技带来的魅力．现需将不同的模型装入纸箱打包，然后邮寄． 【包装准备】 如图，根据模型的尺寸，现准备两种纸箱，第一种长方体纸箱，尺寸规格为；第二种长方体纸箱，尺寸规格为，其中该纸箱有两个扣手，尺寸规格为，并且扣手到所在面相对两条边的距离相等． 【问题解决】 (1)如图1，当使用第一种纸箱时，若从顶点A到顶点B需贴胶带，则胶带的最短长度为_______． (2)如图2，将两个第二种长方体纸箱捆绑在一起，现需要在点C和点D之间按照如图所示的方式拉一条绳子固定，请画出长度最短的部分展开图，并求这根绳子的最短长度．（提示：需考虑扣手的大小） 【题型7：勾股定理逆定理的实际应用】 方法技巧：①测量三边长度或计算三边平方； ②验证两较短边平方和是否等于最长边平方； ③判定三角形为直角三角形后，解决方位、垂直等实际问题。 【例题7】.（25-26八年级上·江苏盐城·期中）放风筝是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系．如图，小刚同学站在A处，风筝在C处，先测得他抓线的地方与地面的垂直距离为，然后测得他与风筝的水平距离为，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小刚想风筝沿方向下降，则他应该往回收线多少？ 【变式7-1】.（25-26八年级上·山西运城·期中）《九章算术》卷九“勾股”中记载：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为：在直立于地面的一根木杆的顶端处，系一根绳索，绳索自然下垂后拖在地面上的长度为3尺（如图1）．在距木杆底端处8尺的地面上点处拉绳索，整根绳索恰好被拉直（如图2）．问绳索有多长？ (1)请通过已学知识解决这个实际问题； (2)将这个问题一般化，即已知直角三角形的勾长（较短的直角边）为，弦长（斜边）与股长（较长的直角边）的差为，弦长为，请用，表示，其结果为 ． 【变式7-2】.（20-21九年级上·全国·课后作业）看过机器人大赛吗？在美国旧金山举办的世界机器人大赛中，机器人踢足球可谓是独占鳌头．如图，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速向点O滚动，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进截小球，在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程是多少？ 【变式7-3】.（25-26八年级上·陕西西安·期中）拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松．如图，已知某种拉杆箱箱体长，拉杆最大伸长距离，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的处，点到地面的距离保持拉杆把手（大小忽略不计）的位置不变，当滚轮圆心位于点处时，拉杆全部缩进箱体（即），此时，过点作于点，延长交于点，点，，在同一条直线上，点，，在同一条直线上，，图中所有的点在同一平面内，求拉杆把手离地面的距离．（图中，） 【题型8：勾股定理与最值问题的综合】 方法技巧：①通过“垂线段最短”“两点之间线段最短”转化问题； ②构造直角三角形，用勾股定理表示目标线段； ③结合二次函数或不等式求最值。 【例题8】.（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化．数形结合是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，使抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 【思想应用】 （1）已知均为正实数，且，求的最小值．通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与两端点重合，连接，，设，， ①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此求的最小值； 【类比应用】 （2）根据上述的方法，求代数式的最小值． 【变式8-1】.（25-26八年级上·山东青岛·期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题． （1）赵爽弦图：4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，其中，请你利用图形验证勾股定理． （2）求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为_______________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值． 【变式8-2】.（25-26八年级上·福建漳州·月考）【知识运用】 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知为正实数，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设， ①用含的代数式表示___________，___________，___________； ②据此写出的最小值是___________； (2)【类比应用】根据上述的方法，求代数式的最小值； 【变式8-3】.（25-26八年级上·江西赣州·月考）【探究】 （1）把两个全等的直角三角形如图放置，其三边长分别为，，．，点，，在一条直线上．请利用图证明勾股定理． 【运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，求的距离． 【拓展】 （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（）． 【题型9：勾股定理与新定义问题（创新题型）】 方法技巧：①理解新定义（如“垂美四边形”“类勾股三角形”）； ②提取新定义中的勾股定理关联条件（如）； ③结合常规知识点（全等、面积）解题。 【例题9】.（25-26七年级上·山东烟台·期中）【阅读理解】定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形这条边的“中偏度值”．如图1中，和分别为的边上的高和中线，，，则的边BC的“中偏度值”为 【尝试应用】如图2，在中，，， （1）边的长为______，边上的高的值为______； （2）求的边的“中偏度值”； 【拓展延伸】如图3，点A为直线l上方一点，点A到直线l的距离，点B在直线l上，且，若点C在直线l上，且 （3）请直接写出的边BC的“中偏度值”． 【变式9-1】.（25-26八年级上·全国·期末）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)写出两种你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的图形的名称： ； (2)如图1，请你在图中画出以格点为顶点，，为勾股边，且对角线相等的所有勾股四边形； (3)如图2，在四边形中，，，且，连接．探究、和三者之间的数量关系，并说明理由． 【变式9-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）定义：如果一个正整数n能表示为两个正整数的平方差，那么称正整数n为“智慧数”，即：若正整数（a，b为正整数，且），则称正整数n为“智慧数”．例如：，是“智慧数”． 探究问题： 探究1：“智慧数”一定是什么数？ 假设n是“智慧数”，则至少存在一组正整数a、b，使（a，b为正整数，且）． 可分为情况1：a、b均为奇数，或均为偶数；情况2：a、b为一奇数、一偶数这两种情况讨论． 讨论结果为：“智慧数”是奇数或4的倍数． 探究2：所有奇数和4的倍数都一定是“智慧数”吗？ 我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论． 先列举几组数值较小，容易验证的“智慧数”（①～⑧），因为“智慧数”不是奇数就是4的倍数，所以我们把这些“智慧数”分成两类． 所以我们把这些“智慧数”分成两类， 表一 实际应用： （4）若一个直角三角形纸片三边的长度都是整数厘米，已知一条直角边长是，则这个直角三角形纸片的周长是 ． 【变式9-3】.（2025九年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． (1)如图1，在中，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形； (2)如图2，在邻余四边形中，（和均为钝角），为的中点，，，时，求的长． 一、单选题 1．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，嘉淇在C点设桩，使，并测得长100米，长80米，则A点和B点之间的距离为（    ）米． A．100 B．80 C．60 D．120 2．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江温州·期中）下列条件中，可以判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）下列不能判定是直角三角形的是（    ） A． B．如果的三边长分别为a，b，c，且满足 C． D．如果的三边长分别为a，b，c，且满足 5．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，，分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P，Q两点作直线交于点D，则的长是（   ） A． B． C．1 D． 二、填空题 6．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的面积为 ． 7．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在中，的平分线交于点E，过点C作，垂足为D，连接，则的面积是 ． 8．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，点是边上的一个动点（不与、重合），将沿翻折，点的对应点是点．若以、、为顶点的三角形是直角三角形，则的长度为 ． 9．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在Rt中，，，，是的角平分线，点E，F分别是AC，AD上的动点，则的最小值是 ． 10．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，射线外有一点，且到射线的距离为6，若点是射线上的一个动点，则当线段与射线所夹锐角是的两倍时，的长为 ．（温馨提示：在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） 三、解答题 11．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）为了求出湖两岸，两点之间的距离，观测者小林在点设桩，使△ABC恰好为直角三角形（∠B=90°），如图所示，通过测量得长为10m，长为8m，求出图中、两点之间的距离． 12．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，等边中，是的中点，将绕点A逆时针旋转得． (1)求线段的长； (2)判断线段与的位置关系，并证明． 13．（25-26八年级上·全国·期末）每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米． (1)求云梯顶端C与墙角O的距离的长； (2)现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． 14．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，是钝角． (1)用无刻度的直尺和圆规作出边上的中线和边上的高． (2)在（1）的基础上，若，，，则的面积为 ．（可利用备用图） 15．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，下面的正方形方格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按要求画下列图形． (1)在图1中，画一条长度为的线段； (2)在图2中，画一个，使它的三边长为无理数且面积为5； (3)在图3中，画一个面积为3的四边形． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $