精品解析：陕西省咸阳市秦都区咸阳彩虹学校2025-2026学年七年级上学期第二次月考数学试题

2025-2026学年度第一学期第二次学科素养调研 初一 数学 第一部分（选择题） 一、选择题（共8小题，每小题只有一个选项符合题意） 1. 下图是由5个相同的小正方体木块搭成的几何体，从上面看到的图形是（ ） A B. C. D. 2. 若x=1是关于x的方程ax+1=2的解，则a是（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 3. 下列变形正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 4. 已知，，，则的值是（ ） A. 8 B. 4或8 C. D. 或 5. 下列图形是用黑色棋子摆成的，第①个图棋子数量为3个，第②个图棋子数量为6个，第③个图棋子数量为9个，…，按此规律推断，则第⑧个图棋子数量为（ ） A 21 B. 22 C. 23 D. 24 6. 有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（ ） A. B. C. 或 D. 以上都不对 7. 如图，射线，分别在，的内部，且射线，分别平分，．若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的一元一次方程的解是，关于y的一元一次方程的解是（其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题） 二、填空题（共5小题） 9. 一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“全面落实双减”，把它折成正方体后，与“面”相对的字是______． 10. 若一个多边形从一个顶点可以引8条对角线，则这个多边形边数是______． 11. 已知，则的值为______． 12. 如图，已知O为直线上一点，是直角，平分．若，则度数为______°． 13. 已知为线段上一点，为的中点，为的中点，为的中点.若，则___________. 三、解答题（共13小题） 14. 计算： 15. 如图，在中，是边上的一点．请用尺规作图法，作出，使，交边于点．（保留作图痕迹不写作法） 16. 化简求值：，其中， 17. 解方程： （1） （2） （3） 18. 若m、n互为相反数，p、q互为倒数，数a表示的点到原点的距离为6个单位长度，求 +2pq－a的值． 19. 两个圆柱体容器如图所示，它们的底面直径分别为4cm和8cm，高分别为20cm和9cm．先在右侧容器中倒满水，然后把右侧容器的水向左侧容器倒，当左侧容器倒满水后，求：此时右侧容器的水面高为多少cm？ 20. 如图，线段，，点M是的中点． （1）求线段的长度； （2）在上取一点N，使得．求的长． 21. 我国古代问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？”这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺，问：井深几尺？（列方程解决问题） 22. 已知，，且的值与的取值无关，求的值． 23. 如图，O直线上一点，以O为顶点作，且，位于直线两侧，平分． （1）当时，求的度数； （2）请你猜想和的数量关系，并说明理由． 24. 如何解关于的一元一次方程呢？小明和小暗在课后使用了不同的解题思路． 小明的思路 去括号，得： 移项，合并同类项，得： 方程的两边都除以2，得： 小暗的思路 移项，合并同类项，得：……第1步 方程的两边都除以2，得：……第2步 移项，合并同类项， 得：……第3步 经过验算，两人的结果都正确．同时，小暗发现，对于方程，只需进行思路中的第1步与第2步，可解得，这刚好对应了．小暗认为，方程中的“”就相当于方程中的“”． 请阅读以上内容，并解决下面的问题，方法不限，合理即可： （1）解方程 （2）若是关于的方程的解，请你求出关于的方程的解． 25. 咸阳市一商场经销的、两种商品，种商品每件售价元，利润率为；种商品每件进价元，售价元． （1）若该商场同时购进、两种商品共件，恰好总进价为元，求购进种商品多少件？ （2）在“春节”期间，该商场只对、两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于元 不优惠 超过元，但不超过元 按总售价打九折 超过元 其中元部分八折优惠，超过元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买、商品实际付款元，求若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付多少元？ 26. 定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果原角是这两条射线所成的角的倍，那么原角叫做这两条射线所成的角的倍角．如图1，若，则是的两倍角． （1）如图1：已知，，是的两倍角，则___________； （2）如图2：已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的三倍角． （3）已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4）．问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成三倍角？若能，请求出旋转的时间：若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期第二次学科素养调研 初一 数学 第一部分（选择题） 一、选择题（共8小题，每小题只有一个选项符合题意） 1. 下图是由5个相同的小正方体木块搭成的几何体，从上面看到的图形是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了从不同的方向看几何体．熟练掌握从上面看到的图形形状是解题的关键．根据从上面看到的图形中几个正方形组成的图形形状，进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，从上面看到的图形是： 故选：B． 2. 若x=1是关于x的方程ax+1=2的解，则a是（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】首先由已知把x=1代入ax+1=2得到关于a的方程，然后解方程求出a． 【详解】解：把x=1代入ax+1=2得： a+1=2， 解得：a=1． 故答案为A． 【点睛】此题考查的是一元一次方程的解，关键是先把x=1代入方程，然后解关于a得方程． 3. 下列变形正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．根据等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A. 如果，那么，故该选项原说法不正确，不符合题意； B. 如果，那么，故该选项原说法不正确，不符合题意； C. 如果，那么，故该选项正确，符合题意； D. 如果，且，那么，故该选项原说法不正确，不符合题意； 故选C． 4. 已知，，，则的值是（ ） A. 8 B. 4或8 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 根据绝对值的定义得出，，进而得出，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴或， 故选：D． 5. 下列图形是用黑色棋子摆成的，第①个图棋子数量为3个，第②个图棋子数量为6个，第③个图棋子数量为9个，…，按此规律推断，则第⑧个图棋子数量为（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形规律，理解图示，找出规律是解题的关键． 根据图形及数量关系找出规律即可． 【详解】解：第①个图棋子数量为3个，即， 第②个图棋子数量为6个，即， 第③个图棋子数量为9个，， ∴第⑧个图棋子数量为个， 故选：D ． 6. 有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（ ） A. B. C. 或 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了两点之间的距离问题，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解． 分两种情况画出图形求解即可． 【详解】解：（1）当A、C（或B、D）重合，且剩余两端点在重合点同侧时， （厘米）； （2）当B、C（或A、C）重合，且剩余两端点在重合点两侧时， （厘米）． 所以两根木条的小圆孔之间的距离是或． 故选：C． 7. 如图，射线，分别在，的内部，且射线，分别平分，．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了和差计算，角平分线的定义，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，然后由角平分线的定义得到，，然后求出，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵射线，分别平分， ∴， ∴ ∴． 故选：B． 8. 已知关于x的一元一次方程的解是，关于y的一元一次方程的解是（其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，得到，得到的解为，类比得到答案． 【详解】∵，得到， ∴的解为， ∵方程的解是， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键． 第二部分（非选择题） 二、填空题（共5小题） 9. 一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“全面落实双减”，把它折成正方体后，与“面”相对的字是______． 【答案】实 【解析】 【分析】根据正方体展开图的相对面：同行隔一个，进行判断即可． 【详解】解：根据正方体展开图的相对面：同行隔一个，可知： 与“面”相对的字是：实； 故答案为：实． 【点睛】本题考查正方体展开图的相对面问题．熟练掌握确定相对面的方法是解题的关键． 10. 若一个多边形从一个顶点可以引8条对角线，则这个多边形的边数是______． 【答案】11 【解析】 【分析】根据一个多边形从一个顶点出发可以引条对角线可进行求解问题． 【详解】解：由题意得： ， ∴n=11； 故答案为11． 【点睛】本题主要考查多边形的对角线，熟练掌握多边形的对角线的求法是解题的关键． 11. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，由已知得，再整体代入代数式计算即可，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，已知O为直线上一点，是直角，平分．若，则的度数为______°． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了角度直角的和差关系，角平分线，先求出，根据角平分线的定义得出，最后根据，即可解答． 【详解】解：∵，是直角， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：40． 13. 已知为线段上一点，为的中点，为的中点，为的中点.若，则___________. 【答案】或 【解析】 【分析】由题意设AC=x，BC=y，易得DE=DC+CE=（x+y），再计算出DF=DE=（x+y），讨论：当AC＜BC，CF=DF-DC=（y-x），接着利用AB=16CF得到x+y=16•（y-x），化简后有5x=3y，然后利用比例性质即可得到的值；当AC＞BC时，同样方法可得=. 【详解】解：设AC=x，BC=y，则DC=AC=x，CE=BC=y， ∴DE=DC+CE=（x+y）， ∵F为DE的中点， ∴DF=DE=（x+y）， 当AC＜BC时， ∴CF=DF-DC=（x+y）-x=（y-x）； ∵AB=16CF， ∴x+y=16•（y-x）， ∴5x=3y， ∴， 当AC＞BC． ∴CF=DC-DF=x-（x+y）=（x-y）； ∵AB=16CF， ∴x+y=16•（x-y）， ∴3x=5y， ∴， 综上所述，或. 【点睛】本题考查两点间线段的距离即连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．利用中点性质理清线段之间的关系是解决本题的关键． 三、解答题（共13小题） 14. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，灵活运用乘法分配律是解题的关键．先计算乘方，再利用乘法分配律将括号内的每一项与相乘，最后进行加减运算即可求解． 【详解】解： ． 15. 如图，在中，是边上的一点．请用尺规作图法，作出，使，交边于点．（保留作图痕迹不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查作作一个角等于已知角，根据作一个角等于已知角作即可． 【详解】解：如图，即为所求． 16. 化简求值：，其中， 【答案】，39 【解析】 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，去括号，合并同类项，化简后，代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 17. 解方程： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的求解，熟练掌握去括号、移项、合并同类项、系数化为（含分母方程需先去分母）的步骤是解题关键． （1）方程不含分母、括号，直接通过移项、合并同类项、系数化为求解； （2）方程含括号，先去括号，再依次进行移项、合并同类项、系数化为的操作； （3）方程含分母，先去分母（注意每一项都要乘最简公分母），再去括号、移项、合并同类项、系数化为求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； 【小问3详解】 解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得． 18. 若m、n互为相反数，p、q互为倒数，数a表示的点到原点的距离为6个单位长度，求 +2pq－a的值． 【答案】5或－1 【解析】 【分析】根据m，n互为相反数，p，q互为倒数，数轴上表示数a的点距原点的距离恰为6个单位长度，可以求得所求式子的值． 【详解】解：∵m，n互为相反数，p，q互为倒数，数轴上表示数a的点距原点的距离恰为6个单位长度， ∴m＋n＝0，pq＝1，a＝±6， 当a＝6时，+2pq－a＝ ， 当a＝−6时，+2pq－a＝， 由上可得，+2pq－a的值是5或－1． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 19. 两个圆柱体容器如图所示，它们的底面直径分别为4cm和8cm，高分别为20cm和9cm．先在右侧容器中倒满水，然后把右侧容器的水向左侧容器倒，当左侧容器倒满水后，求：此时右侧容器的水面高为多少cm？ 【答案】4cm 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆柱的体积，一元一次方程的应用， 分别求出两个容器的体积，再求出体积的差，然后根据剩余体积相等列出方程，求出解即可． 【详解】解：右侧圆柱容器的体积为，左侧圆柱容器的体积是， 所以． 设右侧圆柱容器的水面高为，得 ， 解得， 所以右侧容器的水面高为． 20. 如图，线段，，点M是中点． （1）求线段长度； （2）在上取一点N，使得．求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据线段的中点以及和差关系，求解即可； （2）根据线段的比值关系以及和差关系，即可求解． 【小问1详解】 解：线段线段，， ∴． 又∵点M是的中点． ∴，即线段的长度是． 【小问2详解】 ∵， ∴． 又∵点M是的中点，， ∴， ∴，即的长度是． 【点睛】此题考查了与线段中点有关的和差关系，解题的关键是理解题意，正确的进行求解． 21. 我国古代问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？”这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺，问：井深几尺？（列方程解决问题） 【答案】井深8尺 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，仔细阅读题目从中找出等量关系建立方程是解题的关键． 设绳长是x尺，井深是y尺，再根据题意把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺列方程组即可． 【详解】解：设绳长是x尺，井深是y尺， 由题意得：， 解得：， 答：井深是8尺． 22. 已知，，且的值与的取值无关，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值，根据题意列式计算后求得的值后代入中计算即可． 【详解】解：，， ， 的值与的取值无关， ， 解得：， 则． 23. 如图，O是直线上一点，以O为顶点作，且，位于直线两侧，平分． （1）当时，求的度数； （2）请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由见详解 【解析】 【分析】本题考查了角度之间的和差关系，和角平分线有关的计算． （1）先求出，再根据平分，得出，即可求解； （2）易得，根据角平分线的定义得出，最后根据，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 整理得：． 24. 如何解关于的一元一次方程呢？小明和小暗在课后使用了不同的解题思路． 小明的思路 去括号，得： 移项，合并同类项，得： 方程的两边都除以2，得： 小暗的思路 移项，合并同类项，得：……第1步 方程的两边都除以2，得：……第2步 移项，合并同类项， 得：……第3步 经过验算，两人的结果都正确．同时，小暗发现，对于方程，只需进行思路中的第1步与第2步，可解得，这刚好对应了．小暗认为，方程中的“”就相当于方程中的“”． 请阅读以上内容，并解决下面的问题，方法不限，合理即可： （1）解方程 （2）若是关于的方程的解，请你求出关于的方程的解． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的求解，熟记相关步骤是解题关键． （1）去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为即可求解． （2）将代入方程，可求得；按照法一和法二均可求解； 【小问1详解】 解：方法一：去分母，得：， 移项，合并同类项得：， 再次移项，合并同类项得：， 方程的两边都除以4，得： 方法二：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项得：， 方程的两边都除以4，得： 【小问2详解】 解：方法一：根据观察可以发现，因为满足方程， 因此满足方程， 由解得： 方法二：由题意，将代入方程， 得，解得：， 代入方程，得： 解得：． 25. 咸阳市一商场经销的、两种商品，种商品每件售价元，利润率为；种商品每件进价元，售价元． （1）若该商场同时购进、两种商品共件，恰好总进价为元，求购进种商品多少件？ （2）在“春节”期间，该商场只对、两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于元 不优惠 超过元，但不超过元 按总售价打九折 超过元 其中元部分八折优惠，超过元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买、商品实际付款元，求若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付多少元？ 【答案】（1）购进种商品件 （2）元或元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意，列出符合题意的方程是解题的关键． (1) 设种商品每件进价为元，根据利润率列出方程计算出商品的进价，再根据题意设购进种商品件，则购进种商品件，列出方程计算出购进种商品的件数即可． (2)设小华打折前应付款为元，根据小华一次性购买、商品实际付款元，说明小华一定享受了优惠，分两种情况求解即可． 【详解】（1）设种商品每件进价为元， 则，解得：． 故种商品每件进价为元； 设购进种商品件，则购进种商品件， 由题意得，， 解得：． 即购进种商品件，种商品件． （2）设小华打折前应付款为元， 因为， 所以小华一定享受了优惠，分两种情况讨论， ①打折前购物金额超过元，但不超过元， 由题意得，解得：； ②打折前购物金额超过元， ，解得：． 综上可得，小华在该商场购买同样商品要付元或元． 26. 定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果原角是这两条射线所成的角的倍，那么原角叫做这两条射线所成的角的倍角．如图1，若，则是的两倍角． （1）如图1：已知，，是的两倍角，则___________； （2）如图2：已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的三倍角． （3）已知，把一块含有角三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4）．问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成三倍角？若能，请求出旋转的时间：若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）能，75秒或30秒或150秒或172.5秒 【解析】 【分析】本题考查了角度计算、一元一次方程的应用，理解倍角的定义，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据两倍角的定义得到，再利用角的和差即可求解； （2）由题意得，利用角的和差得到，，再根据三倍角的定义列出方程，求出的值即可解答； （3）设旋转的时间为秒，则三角板旋转的角度为度，根据题意分4种情况讨论：①射线在内部，射线在外部，且是的三倍角；②射线、都在外部，且是的三倍角；③射线、都在外部，且是的三倍角；④射线在内部，射线在外部，且是的三倍角，画出示意图，根据三倍角的定义列出方程，求出的值即可解答． 【小问1详解】 解：∵是的两倍角， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴，， ∵是的三倍角， ∴， ∴， 解得， ∴当旋转的角度时，是的三倍角； 【小问3详解】 解：设旋转的时间为秒，则三角板旋转的角度为度， ①当射线在内部，射线在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ②当射线、都在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ③当射线、都在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ④当射线在内部，射线在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ∴综上所述，射线，，，能构成三倍角，旋转的时间为7.5秒或30秒或150秒或172.5秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $