反比例函数与一次函数的交点与大小关系、图像问题、以反比例函数为背景的面积问题专项训练-2025-2026学年 人教版九年级数学下册

反比例函数与一次函数的交点与大小关系、图像问题、以反比例函数为背景的面积问题专项训练 反比例函数与一次函数的交点与大小关系、图像问题、以反比例函数为背景的面积问题专项训练 考点目录 反比例函数与一次函数的交点与大小关系问题 反比例函数与一次函数的图像问题 以反比例函数为背景的面积问题 考点一 反比例函数与一次函数的交点与大小关系问题 例1．（25-26九年级上·四川·期中）如图，反比例函数的图象与一次函数图象交于点，则不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 例2．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 例3．（25-26九年级上·河北唐山·月考）如图，点和是一次函数上的图象与反比例函数的图象的两个交点．则： ；当时，x的取值范围是 ． 例4．（25-26九年级上·山西晋中·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式和一次函数的表达式； (2)观察图象直接写出时的取值范围是_____． 变式1．（2025·青海西宁·一模）反比例函数和正比例函数的图象如图，根据图象可以得到满足的的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 变式2．（24-25九年级上·安徽·月考）如图，一次函数和反比例函数的图象相交于点，，若，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 变式3．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，已知直线与双曲线交于，两点，则不等式的解集为 ． 变式4．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边垂直于轴、垂足为点，反比例函数 的图像经过的中点且与相交于点．经过两点的一次函数表达式为，若点的坐标为且． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)请观察图象直接写出不等式的解集． 考点二 反比例函数与一次函数的图像问题 例1．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·陕西西安·期中）在同一平面直角坐标系中，当时，一次函数与反比例函数的图象大致是（    ） A．B． C． D． 例3．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（  ） A．B． C． D． 变式1．（25-26九年级上·福建漳州·月考）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的大致图象可能是（     ） A．B．C． D． 变式2．（25-26九年级上·湖南株洲·月考）在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A．B．C． D． 变式3．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 考点三 以反比例函数为背景的面积问题 例1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，设直线的解析式为，连接， (1)求反比例函数的表达式和点E的坐标； (2)直接写出不等式的解集； (3)轴上是否存在点M，使得的面积等于的面积，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（25-26九年级上·甘肃甘南·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，与反比例函数（为常数，且，）的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点在反比例函数的图象上，连接，，求四边形的面积． 例3．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，轴于点，连接． (1)求，的值； (2)若点是反比例函数图象上的一点，且满足与的面积相等，请求点的坐标． 例4．（2025·四川乐山·二模）如图所示，反比例函数的图象与直线相交于点，且直线与轴相交于点． (1)求该直线与反比例函数的表达式； (2)将直线绕点顺时针旋转得到直线，直线与反比例函数图象交于点和，求的面积． 变式1．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据图像直接写出满足时x的取值范围． (3)连接并延长交的另一支于点C，连接，求的面积． 变式2．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，中，，．点，点，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数解析式： (2)将直线向上平移个单位后经过反比例函数图象上的点，求，的值； (3)求的面积． 变式3．（25-26九年级上·黑龙江绥化·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）． (1)求的面积． (2)将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？ (3)若双曲线上存在一点P，使得和的面积相等，请直接写出点P坐标． 变式4．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)设点在反比例函数的图象上，连接，若的面积是菱形面积的，求点的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $反比例函数与一次函数的交点与大小关系、图像问题、以反比例函数为背景的面积问题专项训练 反比例函数与一次函数的交点与大小关系、图像问题、以反比例函数为背景的面积问题专项训练 考点目录 反比例函数与一次函数的交点与大小关系问题 反比例函数与一次函数的图像问题 以反比例函数为背景的面积问题 考点一 反比例函数与一次函数的交点与大小关系问题 例1．（25-26九年级上·四川·期中）如图，反比例函数的图象与一次函数图象交于点，则不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：把点，代入得： ， 解得：，（舍去）， ∴点，， 观察函数图象发现：当或时，反比例函数图象在一次函数图象的上方， 则不等式的解集为：或． 故选：B． 例2．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：观察图象可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方， 不等式的解集是或． 故选：． 例3．（25-26九年级上·河北唐山·月考）如图，点和是一次函数上的图象与反比例函数的图象的两个交点．则： ；当时，x的取值范围是 ． 【答案】 1 【详解】∵点在反比例函数的图象上， ∴将、代入​，得， ∴解得，即反比例函数解析式为​， ∵点在反比例函数​的图象上， ∴将代入​，得， ∴解得， ∵点和是一次函数与反比例函数的两个交点， ∴结合图象，，一次函数图象位于反比例函数图象上方的区域，对应的取值在两个交点的横坐标之间， ∴当​时，的取值范围是． 故答案为：1；． 例4．（25-26九年级上·山西晋中·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式和一次函数的表达式； (2)观察图象直接写出时的取值范围是_____． 【答案】(1)反比例函数的表达式是；一次函数的表达式为 (2)或 【详解】（1）解：将点的坐标代入反比例函数得：， 解得：， 反比例函数的表达式是； 将点的坐标代入，得：， ． 将点，点的坐标分别代入，得： ，解得：， 一次函数的表达式为； （2）解：观察图象得：时的取值范围是或． 故答案为：或 变式1．（2025·青海西宁·一模）反比例函数和正比例函数的图象如图，根据图象可以得到满足的的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：∵反比例函数和正比例函数的交点关于原点中心对称， ∴反比例函数和正比例函数的另一个交点坐标为， ∴当或时，． 故选：． 变式2．（24-25九年级上·安徽·月考）如图，一次函数和反比例函数的图象相交于点，，若，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：观察图象得：当或时，反比例函数图象在一次函数图象的上方， ∴当时，的取值范围是或． 故选：B 变式3．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，已知直线与双曲线交于，两点，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【详解】解：∵直线与双曲线交于，两点， ∴点A和点B关于原点对称， ∴， ∴由图象可得，当或时，正比例函数在反比例函数图象上方或相交，即， ∴不等式的解集为或． 故答案为：或． 变式4．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边垂直于轴、垂足为点，反比例函数 的图像经过的中点且与相交于点．经过两点的一次函数表达式为，若点的坐标为且． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)请观察图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2)或 【详解】（1）解：把代入，得，解得， ∴反比例函数的表达式为， 由点的坐标为，且，得点的坐标为， ∵点为的中点， ∴点的坐标为， 将点和点代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：观察图象可知，当或时，反比例函数图象在一次函数图象的上方， 不等式的解集为或． 考点二 反比例函数与一次函数的图像问题 例1．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：①当时，， ∴一次函数经过第二、三、四象限，反比例函数经过第一、三象限，选项C符合题意； ②当时，， ∴一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数经过第二、四象限，所有选项都不符合题意； 故选C． 例2．（25-26九年级上·陕西西安·期中）在同一平面直角坐标系中，当时，一次函数与反比例函数的图象大致是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一次函数中的， ∴一次函数交于轴的负半轴， 故B和D选项不符合题意； ∵， ∴经过第一、三、四象限，经过第一、三象限， 故选：A． 例3．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，那么， 则反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限； ∴A选项不符合题意，B选项符合题意， 当时，那么， 则反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限； ∴C、D选项不符合题意， 故选：B． 变式1．（25-26九年级上·福建漳州·月考）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的大致图象可能是（     ） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴当时，，双曲线过一，三象限，直线过一，二，三象限； 当时，，双曲线过二，四象限，直线过一，二，四象限； 故符合题意的只有选项C； 故选C． 变式2．（25-26九年级上·湖南株洲·月考）在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】解：若，则反比函数图象在第一、三象限，一次函数过第一、三、四象限； 若，则反比函数图象在第二、四象限，一次函数过第二、三、四象限，B选项符合； 故选：B． 变式3．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵反比例函数的图象经过二、四象限， ∴， ∵， ∴一次函数的图象经过二、三、四象限， 只有A符合题意． 故选：A． 考点三 以反比例函数为背景的面积问题 例1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，设直线的解析式为，连接， (1)求反比例函数的表达式和点E的坐标； (2)直接写出不等式的解集； (3)轴上是否存在点M，使得的面积等于的面积，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，或 【详解】（1）解：， ，， 为中点， ， ， 反比例函数的表达式为， 点E在直线上， ， ； （2）解：根据图象可知的解集为或， 不等式的解集为或； （3）解：将点，代入得， ，解得， 直线的表达式为， 记直线与x轴交于点K， 令，得， ，即， ， ， ， 或 例2．（25-26九年级上·甘肃甘南·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，与反比例函数（为常数，且，）的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点在反比例函数的图象上，连接，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意知：点在直线上， 将代入中，得：． 点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， 将代入中，得：， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：在中，令，则， 点的坐标为， 即， 令，则， 解得， 点的坐标为， 即， 点在反比例函数的图象上， ， 解得， ． 例3．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，轴于点，连接． (1)求，的值； (2)若点是反比例函数图象上的一点，且满足与的面积相等，请求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【详解】（1）解：把代入中，得， 即， 点A坐标为， 点A在反比例函数的图象上， ； （2）解：， ， 、B关于原点对称， ， 到的距离为， ， ， 设点坐标为，则到的距离为， ，解得或， 点坐标为或. 例4．（2025·四川乐山·二模）如图所示，反比例函数的图象与直线相交于点，且直线与轴相交于点． (1)求该直线与反比例函数的表达式； (2)将直线绕点顺时针旋转得到直线，直线与反比例函数图象交于点和，求的面积． 【答案】(1)， (2)12 【详解】（1）解：由题可知，点在反比例函数图象上 ， 解得    反比例函数的表达式为． 又直线过点和   ， 解得 直线的表达式为． （2）如图所示，连接，记直线与轴交于点，直线与轴交于点． 当时，， ∴   为等腰直角三角形   由旋转可得， 为等腰直角三角形且       设直线表达式为，则 ， 解得   直线表达式为 联立， 解得或   又      ． 变式1．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据图像直接写出满足时x的取值范围． (3)连接并延长交的另一支于点C，连接，求的面积． 【答案】(1)反比例函数的解析式为 (2)x的取值范围为 (3)的面积为15 【详解】（1）解：由题意得， 解得， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由题意可得，， 由图像和两函数交点坐标，可知， x的取值范围为：； （3）解：如图，过点C作x轴的平行线交直线于点D，如图， 由反比例函数图像的中心对称性质可知， ，在一次函数的图像上， 得， 解得， 直线解析式为：， 当时，， ， 解得， 点D的坐标为， ∴，，， ． 变式2．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，中，，．点，点，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数解析式： (2)将直线向上平移个单位后经过反比例函数图象上的点，求，的值； (3)求的面积． 【答案】(1)． (2)，； (3)． 【详解】（1）解：过点作轴于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∴（）， ∵点，点， ∴，， ∴， ∴点坐标为， 将代入，得， ∴， ∴反比例函数解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 将代入，得， ∴， ∴直线的解析式为， 将直线向上平移个单位后解析式为， ∵点在上， ∴， 将代入，得， ∴． （3）解：设直线的解析式为，将、代入： ， 解得，， ∴直线的解析式为． 过点作轴，交于， 将代入直线的解析式，得， ∴． ∴的长度为， ∴． 变式3．（25-26九年级上·黑龙江绥化·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）． (1)求的面积． (2)将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？ (3)若双曲线上存在一点P，使得和的面积相等，请直接写出点P坐标． 【答案】(1) (2)1或9个单位长度 (3)或 【详解】（1）解：把代入， 得， 把代入，得； ， 把，代入得， ， 解得，． 一次函数的解析式为， 把代入，得， ． ； （2）解：设直线向下平移个单位长度，则直线， 根据题意列出方程：， 整理，得． 由于直线与反比例函数图象只有一个交点， 所以． 解得，． 所以将直线向下平移1或9个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点； （3）解：，， ， 当点在的平分线上时，，如图， ， ， ． ，平分， ， 把代入，可得， ， ， 如图，过点作， ， 点横纵坐标相等， 设， 即， ， ， 故点坐标为，使得和的面积相等． 根据反比例函数图象的对称性可得或． 变式4．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)设点在反比例函数的图象上，连接，若的面积是菱形面积的，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点E的坐标为或 【详解】（1）如图1，延长交轴于点D， 四边形为菱形， ，， 又轴， 轴，即轴， ， ， ， 设，则， 由勾股定理得，， 即，解得， ， ， 将点代入，得， 反比例函数的表达式为． （2）由（1）知，， ， ， 点E在反比例函数的图象上， 可设， ， ，， 解得或， 点E的坐标为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $