精品解析：北京市海淀区中国人民大学附属中学2025-2026学年 九年级上学期数学周测（二）

北京市海淀区中国人民大学附属中学2025-2026学年+九年级上学期数学周测（二） 一、选择题（共32分，每题4分）第1－8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个． 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线，则下列说法中不正确的是（　　） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 与轴交于点 D. 当时，随的增大而增大 3. 将抛物线向下平移1个单位，所得新抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在抛物线上，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 不能确定 5. 抛物线与轴有一个公共点，且交于负半轴，则的值为（　　） A. 2 B. C. 4 D. 6. 二次函数（为常数，且）的图象经过和两点，则该二次函数（ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最小值 D. 有最大值 7. 如图，菱形对角线，相交于点，点P，Q分别在线段上，且．以为边作一个菱形，使得它的两条对角线分别在线段上，设，新作菱形的面积为，则反映与之间函数关系的图象大致是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，二次函数的图像经过点A，B，C．下面推断中正确的是（　　） A. 抛物线开口向上 B. 当时，取最大值 C. 当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根 D. 直线经过点A，C，当时，的取值范围是 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 请写出一个顶点在原点且开口向下的抛物线解析式_____________． 10. 将抛物线化为的形式为________． 11. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_______． 12. 已知二次函数，当x >4时，函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是_______________ 13. 如图，二次函数的图象与轴的交点坐标为，若函数值，则自变量的取值范围是____________． 14. 在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … 2.35 6.05 … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个根约等于______（结果保留小数点后一位小数）． 15. 已知是二次函数图象上不同两点，那么当时，值为_____． 16. 某商店销售一种进价为40元千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量（千克）与售价（元千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表，下列说法 售价（元千克） 50 60 70 80 … 月销售量（千克） 250 240 230 220 … 下面有4种说法： ①与之间的函数关系式为 ②当月销售利润为7296元时，售价为72元千克 ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元 ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元 其中所有正确说法的序号是_______． 三、解答题（共44分，第题，每题6分，第23题8分） 17. 解方程：． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程仅有一个根是负数，求的取值范围． 19. 已知二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表所示： … 0 1 2 4 … … 8 3 0 3 … （1）直接写出二次函数的顶点坐标； （2）求二次函数的解析式，并在下图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （3）直接写出当时，的取值范围． 20. 抛物线y1＝x2+bx+c与直线y2＝2x+m相交于A（1，4）、B（﹣1，n）两点． （1）求y1和y2的解析式； （2）直接写出y1﹣y2的最小值． 21. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为． （1）直接写出拋物线的顶点坐标为_______（用含的式子表示）； （2）已知点．若抛物线与线段有公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围． 22. 单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系． 某运动员进行了两次训练． （1）第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 5 8 11 14 竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； （2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）． 23. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上． （1）该抛物线的对称轴为________． （2）已知，当时，y的取值范围是，求a，m的值． （3）在（2）的条件下，是否存在实数n，当时，y的取值范围是，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由． 四、附加题（共10分） 24. 已知，点A为射线上的定点，点B为射线上的动点（不与A，O重合），作线段的垂直平分线，分别交，于C，D，连接，，过点A作的垂线，垂足为E，交直线于点F． （1）如图1，当点B在的延长线上时，依题意补全图形，并证明：； （2）当点B在的延长线上时，用等式表示线段，和的数量关系，并证明； （3）若，记的中点为G，连接，当点B在射线上运动时，直接写出线段长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市海淀区中国人民大学附属中学2025-2026学年+九年级上学期数学周测（二） 一、选择题（共32分，每题4分）第1－8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个． 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据抛物线的解析式即可得到抛物线的顶点坐标． 【详解】解：抛物线 ， 抛物线的顶点坐标是：， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确由抛物线的顶点式可以直接得到抛物线的顶点坐标． 2. 已知抛物线，则下列说法中不正确的是（　　） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 与轴交于点 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握这个性质是关键；通过二次函数的性质，包括开口方向、对称轴、与y轴交点、增减性，逐一判断选项的正确性即可． 【详解】解：∵ 二次函数中，， ∴开口向上， 故选项A正确，不符合题意； ∵对称轴公式，，， ∴，即对称轴为直线， 故选项B正确，不符合题意； ∵当时，， ∴与轴交于点， 故选项C正确，不符合题意； ∵开口向上，对称轴， ∴当时，随的增大而减小， 故选项D不正确，符合题意； 故选：D． 3. 将抛物线向下平移1个单位，所得新抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键； 根据二次函数图象平移规律：“上加下减，左加右减”，据此求解即可． 【详解】∵将抛物线向下平移1个单位， ∴所得新抛物线的解析式为：． 故选：A． 4. 已知点在抛物线上，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】分别把代入解析式求解． 【详解】把代入得， 把代入得， ， ， 故选：A. 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数上点的特征． 5. 抛物线与轴有一个公共点，且交于负半轴，则的值为（　　） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与x轴交点问题，一元二次方程根的判别式等知识；抛物线与x轴有一个公共点则判别式为零，且交于负半轴则切点横坐标为负． 【详解】解：∵抛物线与x轴有一个公共点， ∴判别式， ∴，即． 又∵交于负半轴，即切点横坐标， ∴， ∴． 故选：A． 6. 二次函数（为常数，且）的图象经过和两点，则该二次函数（ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最小值 D. 有最大值 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出b的值，然后化为顶点式即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象经过和两点， ∴对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴二次函数的图象开口向下，有最大值， ∴二次函数有最大值． 故选：D． 7. 如图，菱形对角线，相交于点，点P，Q分别在线段上，且．以为边作一个菱形，使得它的两条对角线分别在线段上，设，新作菱形的面积为，则反映与之间函数关系的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，三角函数，菱形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键.由已知条件可求出的长度,进而可表示出的长度,则的面积可以表示,所求菱形的面积为的面积的4倍，利用二次函数的性质进行判断即可． 【详解】解：∵菱形对角线相交于点， ∴， ∴， ∴， 则， ∵，且以为边作一个菱形， ∴, 则， ∴ ， ， 故上述函数为开口向上的抛物线， 当时，取得最小值， 故选：C． 8. 如图，二次函数的图像经过点A，B，C．下面推断中正确的是（　　） A. 抛物线开口向上 B. 当时，取最大值 C. 当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根 D. 直线经过点A，C，当时，的取值范围是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数与不等式的关系，二次函数的图像和性质，二次函数与一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． 依据题意，结合函数图像，利用二次函数的对称性，以及函数图像与不等式和方程的关系逐项判断得出答案． 【详解】解：①由图像可知，抛物线开口向下，故A错误； ②若当时，取最大值，则对称轴应为直线， ∵点和点到的距离相等，这两点的纵坐标应该相等， 但是图中点和点纵坐标显然不相等，故B错误； ③当时，而点不是抛物线的顶点， 则当时，抛物线与直线有两个交点， 即关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根，故C是正确的； ④∵直线经过点，， ∴当时，的取值范围是或．从而D错误； 故选：C． 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 请写出一个顶点在原点且开口向下的抛物线解析式_____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意，抛物线是形式，值为负即可． 【详解】解：根据题意，抛物线是形式，值为负即可， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，解题关键是熟记二次函数的性质，准确写出解析式． 10. 将抛物线化为的形式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了化一般式为顶点式，掌握配方法是关键；利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 11. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，掌握这两个知识点是关键；根据一元二次方程的定义和根的判别式，方程有两个实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于或等于零． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴且， 解得：且， ∴且． 12. 已知二次函数，当x >4时，函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是_______________ 【答案】m≤4 【解析】 【详解】∵二次函数y=x2﹣mx﹣1中，a=﹣1＜0，∴此函数开口向下，∵当x＞4时，函数值y随x的增大而减小，∴二次函数的对称轴x= ≥4，即m≤4，故答案为m≤4． 13. 如图，二次函数的图象与轴的交点坐标为，若函数值，则自变量的取值范围是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据解析式求出对称轴为直线，进而得到二次函数图象经过点，再由二次函数开口向上，则离对称轴越近函数值越小进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数对称轴为直线， ∵二次函数图象经过点， ∴二次函数图象也经过点， ∵二次函数开口向上， ∴离对称轴越近函数值越小， ∴当时，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，正确根据题意求出二次函数图象经过点是解题的关键． 14. 在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … 2.35 6.05 … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个根约等于______（结果保留小数点后一位小数）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了利用二次函数求对应一元二次方程的近似根，理解“当自变量取两个值，对应的函数值由负数变为正数时，则对应方程的一个根在两个自变量之间，求函数值的绝对值，取较小绝对值所对应的自变量的值为近似根．”是解题的关键． 【详解】解：根据题意，设方程的一个根为， 当时， ， 当时， ， ， ， ， 故答案：（答案不唯一）． 15. 已知是二次函数图象上不同两点，那么当时，值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．由点P和Q的纵坐标均为4，可得x₁和x₂是方程 + 的两个根，即．根据根与系数的关系，，代入二次函数解析式中，计算y值． 【详解】解：∵，是二次函数图象上不同两点， ∴和是方程的解， 即和是方程的两个根 则； 又∵， 则将代入函数解析式得， ． 故答案为：2． 16. 某商店销售一种进价为40元千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量（千克）与售价（元千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表，下列说法 售价（元千克） 50 60 70 80 … 月销售量（千克） 250 240 230 220 … 下面有4种说法： ①与之间的函数关系式为 ②当月销售利润为7296元时，售价为72元千克 ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元 ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元 其中所有正确说法的序号是_______． 【答案】①④ 【解析】 【分析】本题是函数与方程的应用的综合，涉及一次函数、二次函数，解一元二次方程等知识，掌握相关函数与方程的知识是关键；通过给定数据点求一次函数解析式，判断①正确；根据利润函数解方程，利润为7296元时售价有两个值，判断②错误；在总进价限制下求最大利润，判断③错误；由利润函数顶点求最高利润，判断④正确． 【详解】解：设y与x之间的函数关系式为， 将点和代入，得方程组， 解得， 因此， 故①正确； 月销售利润， 当时，即， 整理得， 解得， 因此售价为72元/千克或268元/千克， 故②错误； 每月总进价不超过5000元，则购进量千克， 即， 解得； ， 当时，w随x增大而减小，在时， w最大值为， 故③错误； ，当时，w取最大值16900元， 故④正确； 故答案为①④． 三、解答题（共44分，第题，每题6分，第23题8分） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程；本题先整理成一元二次方程的标准形式，然后使用因式分解法求解． 【详解】解：原方程可化为：， 即， ∴或， 解得：，． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程仅有一个根是负数，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵   ∴ 方程总有两个实数根 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，因式分解法解一元二次方程． （1）计算根的判别式并证明其非负，即可； （2）因式分解方程得到两个根，根据仅有一个根是负数的条件，令另一个根非负，解不等式，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵   ∴   ∴  或   ∵ 方程仅有一个根是负数，且  总是成立 分两种情况讨论：① 当两根不相等时，一个根为负数，则另一个根为非负数，即，解得； ② 当两根相等时，均为，则，解得； 此时方程只有一个负根，符合题意； 综上所述，的取值范围是或． 19. 已知二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表所示： … 0 1 2 4 … … 8 3 0 3 … （1）直接写出二次函数的顶点坐标； （2）求二次函数的解析式，并在下图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （3）直接写出当时，的取值范围． 【答案】（1） （2）， 画出函数图象如下： （3）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，画二次函数图象，求自变量的取值范围等知识，属于二次函数的基础知识，务必掌握． （1）观察表格即可求解； （2）由（1）设二次函数的解析式为顶点式即可求解，然后描点、连线即可画出函数图象； （3）观察函数图象，图象位于x轴上方的自变量的取值即可． 【小问1详解】 解：由表格知，当自变量取0和4时，函数值均为3，则图象的对称轴为直线， 由表知，当时，函数值为，则抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由于抛物线的顶点坐标为，设， 由表知，当时，，即， 解得：， ∴， 即； 【小问3详解】 解：由图象知，当或时，． 即x的取值范围为或． 20. 抛物线y1＝x2+bx+c与直线y2＝2x+m相交于A（1，4）、B（﹣1，n）两点． （1）求y1和y2的解析式； （2）直接写出y1﹣y2的最小值． 【答案】（1）y1＝x2+2x+1，y2＝2x+2；（2）-1． 【解析】 【分析】（1）把A的坐标代入直线y2＝2x+m求得m的值，然后代入B(﹣1，n)求得n的值，最后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）求得y1﹣y2＝x2﹣1，根据二次函数的性质即可求得最小值． 【详解】（1）∵直线y2＝2x+m经过点A（1，4）， ∴4＝2×1+m． ∴m＝2． ∴y2＝2x+2， ∵直线y2＝2x+2经过点B(﹣1，n)， ∴n＝﹣2+2＝0； ∴B(﹣1，0)， ∵抛物线y1＝x2+bx+c过点A和点B， ∴，解得． ∴y1＝x2+2x+1． （2）y1﹣y2＝(x2+2x+1)﹣(2x+2)＝x2﹣1， ∴y1﹣y2的最小值是﹣1． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，以及二次函数的最值，解题的关键是将点代入函数解析式求出系数． 21. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为． （1）直接写出拋物线的顶点坐标为_______（用含的式子表示）； （2）已知点．若抛物线与线段有公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）将抛物线解析式化为顶点式，即可求解； （2）当时，得出则点在抛物线的上方，根据题意抛物线与线段有公共点，结合函数图象，可知点在抛物线上，或在抛物线的下方，代入可得，即可求解． 【小问1详解】 ， 抛物线的顶点的坐标为． 【小问2详解】 点． 当时， ∴点在抛物线的上方， ∵抛物线与线段有公共点，抛物线的开口向上， ∴点在抛物线上，或在抛物线的下方， 将代入抛物线 得，即 解得或 的取值范围是：或． 22. 单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系． 某运动员进行了两次训练． （1）第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 5 8 11 14 竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； （2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）． 【答案】（1）23.20 m； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h、k的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值，得出函数解析式； （2）着陆点的纵坐标为，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出和，然后进行比较即可． 【小问1详解】 解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：， ∴，， 即该运动员竖直高度的最大值为23.20 m， 根据表格中的数据可知，当时，，代入得： ，解得：， ∴函数关系关系式为：． 【小问2详解】 设着陆点的纵坐标为，则第一次训练时，， 解得：或， ∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离， 第二次训练时，， 解得：或， ∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为，用t表示出和是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上． （1）该抛物线的对称轴为________． （2）已知，当时，y的取值范围是，求a，m的值． （3）在（2）的条件下，是否存在实数n，当时，y的取值范围是，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线 （2）， （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用对称点与对称轴的关系：对称点的横坐标之和等于对称轴的2倍，即可求出该抛物线的对称轴． （2）分别讨论的取值范围与对称轴的位置，分别求出不同情况下取最大值与最小值时，对应的的取值，进而求出，的值． （3）由于的取值范围是，取不到最大值和最小值，故不包含对称轴，分别讨论在对称轴的左右两侧即可． 【小问1详解】 解： 抛物线， 时，， 抛物线过点， 抛物线过点， 该抛物线的对称轴为直线． 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ，即①． ， ． ，抛物线开口向上， 当时，函数值在上取得最小值． 即②． 联立①②，解得，． 抛物线的表达式为，即． ， 当时，随的增大而减小，当时取得最大值， 当时，随的增大而增大，当时取得最大值， 对称轴为， 与时的函数值相等． ， 当时的函数值大于当时的函数值，即时的函数值． 当时，函数值在上取得最大值3． 代入有，舍去负解，得． 【小问3详解】 解：存在，． 当时，的取值范围是，无法取到最大值与最小值， 关于的取值范围一定不包含对称轴， ①当时，在对称轴的左侧， 二次函数开口向上， 时，有最大值，时，有最小值， 由题意可知：，解得：， 故， ②当时，在对称轴的右侧， 二次函数开口向上， 时，有最小值，时，有最大值， 由题意可知：，此时无解， 故不符合题意， ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的最值，解方程组，待定系数法，正确进行分类讨论是解题的关键． 四、附加题（共10分） 24. 已知，点A为射线上的定点，点B为射线上的动点（不与A，O重合），作线段的垂直平分线，分别交，于C，D，连接，，过点A作的垂线，垂足为E，交直线于点F． （1）如图1，当点B在的延长线上时，依题意补全图形，并证明：； （2）当点B在的延长线上时，用等式表示线段，和的数量关系，并证明； （3）若，记的中点为G，连接，当点B在射线上运动时，直接写出线段长的取值范围． 【答案】（1）补全图形如图所示， ∵，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）当点B在的延长线上时，线段和的数量关系为； 证明如下： 如图，过点F作，交直线于点G． ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：； 由（1）知，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， 即， ∴线段和的数量关系为； （3） 【解析】 【分析】（1）补全图形后，得，，再由对顶角性质、互余关系及等腰三角形的性质得，由等腰三角形的判定即可证明； （2）当点B在的延长线上时，过点F作，交直线于点G，则；证明，得，由，，即可得线段和的数量关系为； （3）取的中点H，连接，，取的中点Q，连接，，易得，则，由勾股定理求出即可求得的最小值，当点B运动到无穷远时，点G无限接近点A，则，综合起来即可得的范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，取的中点H，连接，，取的中点Q，连接，． 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由勾股定理得：， ∴， ∵点G是的中点，点H是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点Q为的中点， ∴， ∵， ∴当点G在线段上时，的值最小， ∵，， ∴， ∴的最小值为； 当点B运动到无穷远时，点G无限接近点A，则， 综上，的范围为． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，三角形三边关系等知识，有一定难度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $